Номер 528, страница 116, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 2. Глава 3. Рациональные числа. Параграф 2. Арифметика рациональных чисел. 3. Умножение рациональных чисел - номер 528, страница 116.

Условие 2023.

528 Реши задачи, составляя пропорции.

1) Промышленный насос откачивает 16 т воды за 24 мин. За какое время насос откачает 24 т воды?

2) Из 0,4 т винограда получается 72 кг изюма. Сколько надо взять винограда, чтобы получить 0,18 т изюма?

3) Если пешеход будет идти со скоростью 3,6 км/ч, то он пройдёт путь от деревни до станции за 0,5 ч. Сколько он сэкономит времени, если увеличит скорость на 25 %?

4) Фермер засеял под картошку 7,5 га и получил урожай 14 т картофеля с гектара. На сколько процентов надо увеличить урожайность картофеля, чтобы сократить посевные площади на 0,5 га? (Ответ округли с точностью до целых.)

Решение 2 (2023).

1)

Пусть x — искомое время в минутах. Зависимость между количеством откачиваемой воды и временем является прямой пропорциональностью: чем больше воды, тем больше времени требуется. Составим пропорцию:

16 т воды — 24 мин

24 т воды — x мин

Из пропорции следует соотношение:

$ \frac{16}{24} = \frac{24}{x} $

Чтобы найти x, воспользуемся основным свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$ 16 \cdot x = 24 \cdot 24 $

$ 16x = 576 $

$ x = \frac{576}{16} $

$ x = 36 $

Таким образом, насосу потребуется 36 минут, чтобы откачать 24 тонны воды.

Ответ: 36 мин.

2)

Сначала приведем все величины к одной единице измерения. Удобнее всего перевести тонны в килограммы, зная, что 1 т = 1000 кг:

0,4 т винограда = $ 0,4 \cdot 1000 = 400 $ кг винограда.

0,18 т изюма = $ 0,18 \cdot 1000 = 180 $ кг изюма.

Пусть x — необходимое количество винограда в килограммах. Зависимость между количеством винограда и получаемым из него изюмом прямая. Составим пропорцию:

Из 400 кг винограда — получается 72 кг изюма

Из x кг винограда — получается 180 кг изюма

$ \frac{400}{x} = \frac{72}{180} $

Решим уравнение:

$ 72 \cdot x = 400 \cdot 180 $

$ 72x = 72000 $

$ x = \frac{72000}{72} $

$ x = 1000 $ кг.

Переведем результат обратно в тонны: 1000 кг = 1 т.

Ответ: 1 т.

3)

Сначала найдем новую скорость пешехода. Первоначальная скорость $ v_1 = 3,6 $ км/ч. Увеличение на 25% составляет:

$ 3,6 \cdot \frac{25}{100} = 3,6 \cdot 0,25 = 0,9 $ км/ч.

Новая скорость: $ v_2 = 3,6 + 0,9 = 4,5 $ км/ч.

Пусть $ t_1 = 0,5 $ ч — первоначальное время, а $ t_2 $ — новое время в пути. Поскольку расстояние постоянно, то скорость и время движения являются обратно пропорциональными величинами. Составим пропорцию:

$ \frac{v_1}{v_2} = \frac{t_2}{t_1} $

Подставим известные значения:

$ \frac{3,6}{4,5} = \frac{t_2}{0,5} $

Решим уравнение относительно $ t_2 $:

$ t_2 = \frac{3,6 \cdot 0,5}{4,5} = \frac{1,8}{4,5} = 0,4 $ ч.

Экономия времени составит разницу между первоначальным и новым временем:

$ \Delta t = t_1 - t_2 = 0,5 - 0,4 = 0,1 $ ч.

Переведем сэкономленное время в минуты: $ 0,1 \cdot 60 = 6 $ мин.

Ответ: 6 мин.

4)

Сначала найдем общий урожай картофеля, который собрал фермер. Он равен произведению площади на урожайность:

Общий урожай = $ 7,5 \text{ га} \cdot 14 \text{ т/га} = 105 $ т.

Фермер хочет получить тот же урожай (105 т), но сократить посевные площади на 0,5 га. Новая площадь составит:

$ A_2 = 7,5 - 0,5 = 7,0 $ га.

Теперь найдем, какая урожайность потребуется на новой площади, чтобы собрать 105 т картофеля:

Новая урожайность $ Y_2 = \frac{\text{Общий урожай}}{\text{Новая площадь}} = \frac{105 \text{ т}}{7,0 \text{ га}} = 15 $ т/га.

Исходная урожайность была $ Y_1 = 14 $ т/га. Чтобы найти, на сколько процентов нужно её увеличить, составим пропорцию, приняв исходную урожайность за 100%:

14 т/га — 100%

15 т/га — x%

$ \frac{14}{15} = \frac{100}{x} $

Решим уравнение:

$ 14 \cdot x = 15 \cdot 100 $

$ 14x = 1500 $

$ x = \frac{1500}{14} \approx 107,14 $%

Процент увеличения равен разнице между новым и старым процентным значением:

$ 107,14\% - 100\% \approx 7,14\% $.

Согласно условию, ответ нужно округлить до целых. Округляем 7,14% и получаем 7%.

Ответ: на 7%.

Условие 2010-2022.

528 Реши задачи, составляя пропорции:

1) Выкурив 3 сигареты, человек принимает $2,4 \text{ мг}$ яда никотина. Сколько яда примет человек, если выкурит за день пачку сигарет ($20 \text{ штук}$)?

2) Из $0,4 \text{ т}$ винограда получается $72 \text{ кг}$ изюма. Сколько надо взять винограда, чтобы получить $0,18 \text{ т}$ изюма?

3) Если пешеход будет идти со скоростью $3,6 \text{ км/ч}$, то он пройдет путь от деревни до станции за $0,5 \text{ ч}$. Сколько он сэкономит времени, если увеличит скорость на $25\%$?

4) Фермер засеял под картошку $7,5 \text{ га}$ и получил урожай $14 \text{ т}$ картофеля с гектара. На сколько процентов надо увеличить урожайность картофеля, чтобы сократить посевные площади на $0,5 \text{ га}$? (Ответ округли с точностью до целых.)

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).