Страница 114, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

513 Составь блок-схему алгоритма умножения рациональных чисел.

Алгоритм умножения двух рациональных чисел можно представить в виде следующей последовательности шагов, которая легко преобразуется в блок-схему. Рациональные числа представляются в виде дробей $A = \frac{m}{n}$ и $B = \frac{p}{q}$.

Блок-схема состоит из следующих блоков:

1. Начало. Блок овальной формы, обозначающий начало выполнения алгоритма.
2. Ввод данных. Блок в форме параллелограмма. Вводятся два рациональных числа $A$ и $B$.
3. Проверка на ноль. Блок в форме ромба (условие). Проверяется условие: "$A=0$ или $B=0$?" У этого блока есть два выхода: "Да" и "Нет".
4. Если "Да" (одно из чисел равно нулю), то следует переход к блоку процесса: "Результат $C=0$". После этого происходит переход к блоку вывода результата.
5. Если "Нет" (оба числа не равны нулю), то следует переход к блоку процесса "Вычисление произведения модулей". Здесь вычисляется произведение абсолютных величин чисел: $C_{mag} = |A| \cdot |B|$.
6. Проверка знаков. Далее следует еще один блок в форме ромба (условие). Проверяется условие: "Числа $A$ и $B$ имеют одинаковые знаки?" (т.е. оба положительные или оба отрицательные). У этого блока также два выхода: "Да" и "Нет".
7. Если "Да" (знаки одинаковые), то следует переход к блоку процесса: "Результат $C = C_{mag}$". Произведение положительно.
8. Если "Нет" (знаки разные), то следует переход к блоку процесса: "Результат $C = -C_{mag}$". Произведение отрицательно.
9. Вывод результата. Блок в форме параллелограмма. Все пути (из шагов 4, 7 и 8) ведут к этому блоку. Здесь выводится полученное значение $C$.
10. Конец. Блок овальной формы, обозначающий завершение алгоритма.

Таким образом, алгоритм сначала обрабатывает особый случай умножения на ноль, а затем определяет знак и модуль произведения для ненулевых чисел.

Ответ: Блок-схема алгоритма умножения рациональных чисел включает в себя последовательное выполнение следующих шагов: начало, ввод двух чисел, проверка на равенство одного из чисел нулю (если да, результат равен нулю, и переход к выводу), вычисление произведения модулей чисел, проверка на совпадение их знаков (если знаки совпадают, результат положителен, иначе — отрицателен), присвоение результату вычисленного значения с соответствующим знаком, вывод результата и конец алгоритма.

513 Составь блок-схему алгоритма умножения рациональных чисел.

514 Переведи с математического языка на русский частные случаи умножения рациональных чисел:

1) $a \cdot 0 = 0 \cdot a = 0;$

2) $a \cdot 1 = 1 \cdot a = a;$

3) $a \cdot (-1) = (-1) \cdot a = -a.$

1) $a \cdot 0 = 0 \cdot a = 0;$
Это равенство формулирует свойство умножения на ноль для любого рационального числа $a$. Оно гласит, что произведение любого числа и нуля всегда равно нулю. Часть равенства $a \cdot 0 = 0 \cdot a$ является иллюстрацией переместительного (коммутативного) закона умножения, согласно которому результат умножения не зависит от порядка множителей.
На русском языке это правило звучит так: если один из множителей равен нулю, то произведение равно нулю.
Ответ: Произведение любого рационального числа на нуль равно нулю.

2) $a \cdot 1 = 1 \cdot a = a;$
Это равенство определяет свойство умножения на единицу. Оно означает, что для любого рационального числа $a$ его произведение с числом 1 равно самому числу $a$. Иначе говоря, число 1 является нейтральным элементом по умножению. Равенство $a \cdot 1 = 1 \cdot a$ также демонстрирует переместительный закон умножения.
На русском языке это правило звучит так: если один из множителей равен единице, то произведение равно другому множителю.
Ответ: Произведение любого рационального числа на единицу равно этому же числу.

3) $a \cdot (-1) = (-1) \cdot a = -a.$
Это равенство описывает результат умножения любого рационального числа $a$ на -1. В результате такого умножения получается число $-a$, которое является противоположным числу $a$. Это означает, что умножение на -1 меняет знак числа на противоположный. Равенство $a \cdot (-1) = (-1) \cdot a$ показывает, что и в этом случае выполняется переместительный закон умножения.
На русском языке это правило можно сформулировать так: чтобы умножить число на минус один, нужно изменить его знак на противоположный.
Ответ: Произведение любого рационального числа на -1 равно числу, противоположному данному.

514 Переведи с математического языка на русский частные случаи умножения рациональных чисел:

1) $a \cdot 0 = 0 \cdot a = 0;$

2) $a \cdot 1 = 1 \cdot a = a;$

3) $a \cdot (-1) = (-1) \cdot a = -a.$

515 Выполни умножение:

а) $-3 \cdot 9$;

б) $-4 \cdot (-15)$;

в) $12 \cdot (-7)$;

г) $-45 \cdot (-1)$;

д) $8 \cdot (-0,7)$;

е) $-0,5 \cdot 40$;

ж) $-0,1 \cdot (-3)$;

з) $0,9 \cdot (-0,6)$;

и) $0 \cdot (-7,4)$;

к) $-\frac{7}{9} \cdot 3$;

л) $-0,04 \cdot (-10)$;

м) $\frac{6}{7} \cdot \left(-9 \frac{1}{3}\right)$;

н) $-0,125 \cdot (-6,4)$;

о) $2,4 \cdot \left(-4 \frac{1}{6}\right)$;

п) $-1 \cdot 3,2$;

р) $-\frac{9}{28} \cdot \left(-2 \frac{4}{5}\right)$.

а) Чтобы умножить отрицательное число на положительное, нужно перемножить их модули (абсолютные величины) и перед полученным произведением поставить знак минус.

$-3 \cdot 9 = -(3 \cdot 9) = -27$.

Ответ: $-27$.

б) Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом. Чтобы найти его, нужно перемножить модули сомножителей.

$-4 \cdot (-15) = 4 \cdot 15 = 60$.

Ответ: $60$.

в) Произведение положительного числа и отрицательного числа есть число отрицательное.

$12 \cdot (-7) = -(12 \cdot 7) = -84$.

Ответ: $-84$.

г) Произведение двух отрицательных чисел есть число положительное.

$-45 \cdot (-1) = 45 \cdot 1 = 45$.

Ответ: $45$.

д) Произведение положительного и отрицательного чисел - число отрицательное.

$8 \cdot (-0,7) = -(8 \cdot 0,7) = -5,6$.

Ответ: $-5,6$.

е) Произведение отрицательного и положительного чисел - число отрицательное.

$-0,5 \cdot 40 = -(0,5 \cdot 40) = -20$.

Ответ: $-20$.

ж) Произведение двух отрицательных чисел - число положительное.

$-0,1 \cdot (-3) = 0,1 \cdot 3 = 0,3$.

Ответ: $0,3$.

з) Произведение положительного и отрицательного чисел - число отрицательное.

$0,9 \cdot (-0,6) = -(0,9 \cdot 0,6) = -0,54$.

Ответ: $-0,54$.

и) Произведение любого числа на ноль равно нулю.

$0 \cdot (-7,4) = 0$.

Ответ: $0$.

к) Произведение отрицательного и положительного чисел - число отрицательное. Чтобы умножить дробь на целое число, нужно числитель дроби умножить на это число, а знаменатель оставить без изменений. Затем, если возможно, сократить дробь.

$-\frac{7}{9} \cdot 3 = -\frac{7 \cdot 3}{9} = -\frac{21}{9}$.

Сократим дробь на 3:

$-\frac{21 \div 3}{9 \div 3} = -\frac{7}{3}$.

Ответ: $-\frac{7}{3}$.

л) Произведение двух отрицательных чисел - число положительное. При умножении десятичной дроби на 10, запятая переносится на один знак вправо.

$-0,04 \cdot (-10) = 0,04 \cdot 10 = 0,4$.

Ответ: $0,4$.

м) Чтобы умножить обыкновенную дробь на смешанное число, сначала представим смешанное число в виде неправильной дроби. Так как множители имеют разные знаки, результат будет отрицательным.

Сначала преобразуем смешанное число: $-9\frac{1}{3} = -(\frac{9 \cdot 3 + 1}{3}) = -\frac{28}{3}$.

Теперь выполним умножение:

$\frac{6}{7} \cdot (-\frac{28}{3}) = -(\frac{6 \cdot 28}{7 \cdot 3})$.

Сократим дробь перед вычислением: $6$ и $3$ делятся на $3$, а $28$ и $7$ делятся на $7$.

$-(\frac{6^2 \cdot 28^4}{7_1 \cdot 3_1}) = -(2 \cdot 4) = -8$.

Ответ: $-8$.

н) Произведение двух отрицательных чисел - число положительное. Для удобства вычислений представим десятичные дроби в виде обыкновенных.

$-0,125 = -\frac{125}{1000} = -\frac{1}{8}$.

$-6,4 = -\frac{64}{10} = -\frac{32}{5}$.

$(-\frac{1}{8}) \cdot (-\frac{32}{5}) = \frac{1 \cdot 32}{8 \cdot 5} = \frac{32}{40}$.

Сократим дробь на 8:

$\frac{32 \div 8}{40 \div 8} = \frac{4}{5} = 0,8$.

Ответ: $0,8$.

о) Произведение чисел с разными знаками - число отрицательное. Преобразуем оба множителя в обыкновенные дроби для удобства вычислений.

$2,4 = \frac{24}{10} = \frac{12}{5}$.

$-4\frac{1}{6} = -(\frac{4 \cdot 6 + 1}{6}) = -\frac{25}{6}$.

Выполним умножение:

$\frac{12}{5} \cdot (-\frac{25}{6}) = -(\frac{12 \cdot 25}{5 \cdot 6})$.

Сократим дробь: $12$ и $6$ на $6$, $25$ и $5$ на $5$.

$-(\frac{12^2 \cdot 25^5}{5_1 \cdot 6_1}) = -(2 \cdot 5) = -10$.

Ответ: $-10$.

п) При умножении любого числа на $-1$, это число меняет свой знак на противоположный.

$-1 \cdot 3,2 = -3,2$.

Ответ: $-3,2$.

р) Произведение двух отрицательных чисел - число положительное. Преобразуем смешанное число в неправильную дробь.

$-2\frac{4}{5} = -(\frac{2 \cdot 5 + 4}{5}) = -\frac{14}{5}$.

Выполним умножение:

$(-\frac{9}{28}) \cdot (-\frac{14}{5}) = \frac{9 \cdot 14}{28 \cdot 5}$.

Сократим дробь: $14$ и $28$ на $14$.

$\frac{9 \cdot 14^1}{28_2 \cdot 5} = \frac{9 \cdot 1}{2 \cdot 5} = \frac{9}{10}$.

Ответ: $\frac{9}{10}$.

515 Выполни умножение:

а) $-3 \cdot 9;$

б) $-4 \cdot (-15);$

в) $12 \cdot (-7);$

г) $-45 \cdot (-1);$

д) $8 \cdot (-0,7);$

е) $-0,5 \cdot 40;$

ж) $-0,1 \cdot (-3);$

з) $0,9 \cdot (-0,6);$

и) $0 \cdot (-7,4);$

к) $-\frac{7}{9} \cdot 3;$

л) $-0,04 \cdot (-10);$

м) $\frac{6}{7} \cdot (-9\frac{1}{3});$

н) $-0,125 \cdot (-6,4);$

о) $2,4 \cdot (-4\frac{1}{6});$

п) $-1 \cdot 3,2;$

р) $-\frac{9}{28} \cdot (-2\frac{4}{5}).$

516 Реши уравнения:

а) $-2(x-9)=0;$

б) $-0,5(y+7)=0;$

в) $-a(a-4)=0;$

г) $8n(n+6)=0;$

д) $-3(b+1)(b-1)=0;$

е) $c(c-5)(c+2)=0.$

а) $-2(x - 9) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Так как первый множитель $-2$ не равен нулю, то нулю должен быть равен второй множитель:
$x - 9 = 0$
Перенесем $-9$ в правую часть уравнения, изменив знак:
$x = 9$
Ответ: $9$.

б) $-0,5(y + 7) = 0$
Это уравнение также основано на свойстве произведения, равного нулю. Множитель $-0,5$ не равен нулю, значит, нулю равна скобка:
$y + 7 = 0$
Перенесем $7$ в правую часть уравнения с противоположным знаком:
$y = -7$
Ответ: $-7$.

в) $-a(a - 4) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. В данном случае у нас три множителя: $-1$, $a$ и $(a - 4)$. Приравниваем к нулю множители, содержащие переменную:
1) $a = 0$
2) $a - 4 = 0 \implies a = 4$
Уравнение имеет два корня.
Ответ: $0; 4$.

г) $8n(n + 6) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Множитель $8$ не равен нулю. Приравниваем к нулю остальные множители:
1) $n = 0$
2) $n + 6 = 0 \implies n = -6$
Уравнение имеет два корня.
Ответ: $0; -6$.

д) $-3(b + 1)(b - 1) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Множитель $-3$ не равен нулю. Приравниваем к нулю множители в скобках:
1) $b + 1 = 0 \implies b = -1$
2) $b - 1 = 0 \implies b = 1$
Уравнение имеет два корня.
Ответ: $-1; 1$.

е) $c(c - 5)(c + 2) = 0$
Произведение трех множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю. Приравниваем каждый множитель к нулю и находим корни:
1) $c = 0$
2) $c - 5 = 0 \implies c = 5$
3) $c + 2 = 0 \implies c = -2$
Уравнение имеет три корня.
Ответ: $-2; 0; 5$.

516 Реши уравнения:

а) $-2(x - 9) = 0;$

В) $-a(a - 4) = 0;$

Д) $-3(b + 1)(b - 1) = 0;$

б) $-0,5(y + 7) = 0;$

Г) $8n(n + 6) = 0;$

е) $c(c - 5)(c + 2) = 0.$

517 Сравни с нулём:

а) $-23.798 \cdot (-18\frac{74}{169});$

б) $450.06 \cdot (-9.9042);$

в) $-34\frac{2}{705} \cdot 0.0000125;$

г) $-7.30329 \cdot (-56.0808);$

д) $(-16\frac{4}{89})^2;$

е) $(-42.725)^3.$

а)

Чтобы сравнить с нулём произведение $-23,798 \cdot (-18\frac{74}{169})$, нужно определить знак результата. Первый множитель ($-23,798$) является отрицательным числом. Второй множитель ($-18\frac{74}{169}$) также является отрицательным числом. Произведение двух отрицательных чисел всегда является положительным числом. Любое положительное число больше нуля.

$-23,798 \cdot (-18\frac{74}{169}) > 0$

Ответ: больше нуля.

б)

В выражении $450,06 \cdot (-9,9042)$ первый множитель ($450,06$) — положительное число, а второй ($-9,9042$) — отрицательное. Произведение положительного и отрицательного чисел всегда является отрицательным числом. Любое отрицательное число меньше нуля.

$450,06 \cdot (-9,9042) < 0$

Ответ: меньше нуля.

в)

В выражении $-34\frac{2}{705} \cdot 0,0000125$ первый множитель ($-34\frac{2}{705}$) — отрицательное число, а второй ($0,0000125$) — положительное. Произведение отрицательного и положительного чисел является отрицательным числом. Любое отрицательное число меньше нуля.

$-34\frac{2}{705} \cdot 0,0000125 < 0$

Ответ: меньше нуля.

г)

В выражении $-7,30329 \cdot (-56,080808)$ оба множителя являются отрицательными числами. Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом. Любое положительное число больше нуля.

$-7,30329 \cdot (-56,080808) > 0$

Ответ: больше нуля.

д)

В выражении $(-16\frac{4}{89})^2$ отрицательное число возводится во вторую (чётную) степень. Любое отличное от нуля число, возведённое в чётную степень, даёт в результате положительное число. Любое положительное число больше нуля.

$(-16\frac{4}{89})^2 > 0$

Ответ: больше нуля.

е)

В выражении $(-42,725)^3$ отрицательное число возводится в третью (нечётную) степень. При возведении отрицательного числа в нечётную степень результат всегда является отрицательным числом. Любое отрицательное число меньше нуля.

$(-42,725)^3 < 0$

Ответ: меньше нуля.

517 Сравни с нулем:

а) $-23.798 \cdot \left(-18 \frac{74}{169}\right)$;

в) $-34 \frac{2}{705} \cdot 0.0000125$;

д) $\left(-16 \frac{4}{89}\right)^2$;

б) $450.06 \cdot (-9.9042)$;

г) $-7.30329 \cdot (-56.0808)$;

е) $(-42.725)^3$.

518. Запиши на математическом языке.

1) Числа $a$ и $b$ одного знака.

2) Числа $x$ и $y$ разных знаков.

1) Числа a и b одного знака

Утверждение, что числа $a$ и $b$ имеют одинаковый знак, означает, что они либо оба положительные, либо оба отрицательные. Рассмотрим оба случая:

1. Если оба числа положительны, то $a > 0$ и $b > 0$.
2. Если оба числа отрицательны, то $a < 0$ и $b < 0$.

Вспомним правило знаков при умножении: произведение двух чисел с одинаковыми знаками всегда положительно.

• Если $a > 0$ и $b > 0$, то их произведение $ab > 0$.
• Если $a < 0$ и $b < 0$, то их произведение $ab > 0$.

Таким образом, условие, что числа $a$ и $b$ одного знака, можно кратко записать в виде одного неравенства. Также это можно выразить через совокупность двух систем неравенств: $\left[ \begin{gathered} \begin{cases} a > 0 \\ b > 0 \end{cases} \\ \begin{cases} a < 0 \\ b < 0 \end{cases} \end{gathered} \right.$. Однако наиболее лаконичной формой является $ab > 0$.

Ответ: $ab > 0$.

2) Числа x и y разных знаков

Утверждение, что числа $x$ и $y$ имеют разные знаки, означает, что одно из них положительное, а другое отрицательное. Рассмотрим два возможных случая:

1. Число $x$ положительно, а число $y$ отрицательно: $x > 0$ и $y < 0$.
2. Число $x$ отрицательно, а число $y$ положительно: $x < 0$ и $y > 0$.

Согласно правилу знаков при умножении, произведение двух чисел с разными знаками всегда отрицательно.

• Если $x > 0$ и $y < 0$, то их произведение $xy < 0$.
• Если $x < 0$ и $y > 0$, то их произведение $xy < 0$.

Следовательно, условие, что числа $x$ и $y$ имеют разные знаки, можно записать в виде одного неравенства. Эквивалентной записью является совокупность систем $\left[ \begin{gathered} \begin{cases} x > 0 \\ y < 0 \end{cases} \\ \begin{cases} x < 0 \\ y > 0 \end{cases} \end{gathered} \right.$. Наиболее краткая форма записи: $xy < 0$.

Ответ: $xy < 0$.

518 Запиши на математическом языке:

1) Числа $a$ и $b$ одного знака.

2) Числа $x$ и $y$ разных знаков.

519 Каким числом — положительным, отрицательным или нулём — является произведение:

а) $ (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) $;

б) $ (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) $;

в) $ (-1) \cdot (-2) \cdot (-3) \cdot \ldots \cdot (-2007) $;

г) $ (-1) \cdot (-2) \cdot (-3) \cdot \ldots \cdot (-2008) $;

д) $ (-3) \cdot (-2) \cdot (-1) \cdot 0 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 $;

е) $ (-1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6) \cdot (-56) $;

ж) $ (1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8) \cdot (-678) $;

з) $ (-1 + 2 - 3 + 4 - \ldots - 9 + 10) \cdot (-10) $;

и) $ (-1)^2 \cdot (-1)^3 \cdot (-1)^4 \cdot (-1)^5 \cdot (-1)^6 \cdot (-1)^7 $;

к) $ 1 \cdot (-1) \cdot 2 \cdot (-2) \cdot \ldots \cdot n \cdot (-n)? $

а) Произведение содержит 4 отрицательных множителя. Так как 4 — чётное число, результат произведения будет положительным.$(-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) = (-1)^4 = 1$.Ответ: положительным.

б) Произведение содержит 5 отрицательных множителей. Так как 5 — нечётное число, результат произведения будет отрицательным.$(-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) = (-1)^5 = -1$.Ответ: отрицательным.

в) Данное произведение содержит целые числа от -1 до -2007. Количество множителей равно 2007. Все множители отрицательные. Так как 2007 — нечётное число, произведение нечётного числа отрицательных множителей является отрицательным числом.Ответ: отрицательным.

г) Данное произведение содержит целые числа от -1 до -2008. Количество множителей равно 2008. Все множители отрицательные. Так как 2008 — чётное число, произведение чётного числа отрицательных множителей является положительным числом.Ответ: положительным.

д) В данном произведении один из множителей равен нулю. Произведение любого числа на ноль равно нулю.$(-3) \cdot (-2) \cdot (-1) \cdot 0 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 = 0$.Ответ: нулём.

е) Сначала вычислим значение выражения в скобках:$-1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 = -(1+2+3+4+5+6) = -21$.Теперь необходимо найти произведение $(-21) \cdot (-56)$. Это произведение двух отрицательных чисел. Произведение двух отрицательных чисел всегда положительно.Ответ: положительным.

ж) Вычислим значение выражения в первых скобках:$1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 = (1-2) + (3-4) + (5-6) + (7-8) = (-1) + (-1) + (-1) + (-1) = -4$.Теперь необходимо найти произведение $(-4) \cdot (-678)$. Это произведение двух отрицательных чисел, результат будет положительным.Ответ: положительным.

з) Вычислим значение выражения в первых скобках, сгруппировав слагаемые попарно:$(-1 + 2) + (-3 + 4) + \dots + (-9 + 10)$.Всего в ряду 10 чисел, то есть 5 пар. Сумма каждой пары равна 1.$1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5$.Теперь необходимо найти произведение $5 \cdot (-10)$. Это произведение положительного и отрицательного числа, результат будет отрицательным.Ответ: отрицательным.

и) При возведении отрицательного числа в степень, результат будет положительным, если показатель степени чётный, и отрицательным, если показатель нечётный. Используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, сложим показатели:$(-1)^{2+3+4+5+6+7} = (-1)^{27}$.Так как показатель степени 27 — нечётное число, результат будет равен -1. Следовательно, произведение является отрицательным числом.Ответ: отрицательным.

к) Перегруппируем множители в произведении:$(1 \cdot (-1)) \cdot (2 \cdot (-2)) \cdot \dots \cdot (n \cdot (-n))$.Каждая пара множителей вида $(k \cdot (-k))$ даёт в результате отрицательное число $-k^2$ (при $k \geq 1$).Произведение состоит из $n$ таких отрицательных сомножителей: $(-1^2) \cdot (-2^2) \cdot \dots \cdot (-n^2)$.Знак конечного произведения зависит от количества отрицательных множителей, то есть от числа $n$.Если $n$ — чётное число, то произведение чётного числа отрицательных множителей будет положительным.Если $n$ — нечётное число, то произведение нечётного числа отрицательных множителей будет отрицательным.Ответ: положительным, если $n$ — чётное натуральное число, и отрицательным, если $n$ — нечётное натуральное число.

519 Каким числом – положительным, отрицательным или нулем – является произведение:

а) $(-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1);$

б) $(-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1);$

в) $(-1) \cdot (-2) \cdot (-3) \cdot \dots \cdot (-2007);$

г) $(-1) \cdot (-2) \cdot (-3) \cdot \dots \cdot (-2008);$

д) $(-3) \cdot (-2) \cdot (-1) \cdot 0 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3;$

е) $(-1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6) \cdot (-56);$

ж) $(1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8) \cdot (-678);$

з) $(-1 + 2 - 3 + 4 - \dots - 9 + 10) \cdot (-10);$

и) $(-1)^2 \cdot (-1)^3 \cdot (-1)^4 \cdot (-1)^5 \cdot (-1)^6 \cdot (-1)^7;$

к) $1 \cdot (-1) \cdot 2 \cdot (-2) \cdot \dots \cdot n \cdot (-n)?$

520 Найди значения выражений:

1) $-2.5a$, если $a = 0$; $1$; $-1$; $4$; $-30$; $-3,2$; $\frac{4}{15}$;

2) $-\frac{3}{7}b$, если $b = 0$; $1$; $-1$; $7$; $350$; $-1,4$; $-8\frac{1}{6}$;

3) $x^2$, если $x = -1$; $-2$; $-\frac{1}{3}$; $-0,4$; $-0,05$; $-1\frac{3}{4}$;

4) $y^3$, если $y = -1$; $-2$; $-0,3$; $-\frac{4}{5}$; $-0,01$; $-2\frac{1}{2}$.

Будешь хорошо решать примеры- будешь ездить на такси...

1) Для нахождения значения выражения $-2,5a$ подставим в него заданные значения $a$.

Если $a = 0$, то $-2,5 \cdot 0 = 0$.

Если $a = 1$, то $-2,5 \cdot 1 = -2,5$.

Если $a = -1$, то $-2,5 \cdot (-1) = 2,5$.

Если $a = 4$, то $-2,5 \cdot 4 = -10$.

Если $a = -30$, то $-2,5 \cdot (-30) = 75$.

Если $a = -3,2$, то $-2,5 \cdot (-3,2) = 8$.

Если $a = \frac{4}{15}$, то $-2,5 \cdot \frac{4}{15} = -\frac{25}{10} \cdot \frac{4}{15} = -\frac{5}{2} \cdot \frac{4}{15} = -\frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 15} = -\frac{20}{30} = -\frac{2}{3}$.

Ответ: $0; -2,5; 2,5; -10; 75; 8; -\frac{2}{3}$.

2) Для нахождения значения выражения $-\frac{3}{7}b$ подставим в него заданные значения $b$.

Если $b = 0$, то $-\frac{3}{7} \cdot 0 = 0$.

Если $b = 1$, то $-\frac{3}{7} \cdot 1 = -\frac{3}{7}$.

Если $b = -1$, то $-\frac{3}{7} \cdot (-1) = \frac{3}{7}$.

Если $b = 7$, то $-\frac{3}{7} \cdot 7 = -3$.

Если $b = 350$, то $-\frac{3}{7} \cdot 350 = -3 \cdot \frac{350}{7} = -3 \cdot 50 = -150$.

Если $b = -1,4$, то $-\frac{3}{7} \cdot (-1,4) = \frac{3}{7} \cdot \frac{14}{10} = \frac{3 \cdot 2}{10} = \frac{6}{10} = 0,6$.

Если $b = -8\frac{1}{6}$, то $-\frac{3}{7} \cdot (-8\frac{1}{6}) = \frac{3}{7} \cdot (-\frac{49}{6}) = \frac{3 \cdot 49}{7 \cdot 6} = \frac{1 \cdot 7}{1 \cdot 2} = \frac{7}{2} = 3,5$.

Ответ: $0; -\frac{3}{7}; \frac{3}{7}; -3; -150; 0,6; 3,5$.

3) Для нахождения значения выражения $x^2$ подставим в него заданные значения $x$.

Если $x = -1$, то $(-1)^2 = 1$.

Если $x = -2$, то $(-2)^2 = 4$.

Если $x = -\frac{1}{3}$, то $(-\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$.

Если $x = -0,4$, то $(-0,4)^2 = 0,16$.

Если $x = -0,05$, то $(-0,05)^2 = 0,0025$.

Если $x = -1\frac{3}{4}$, то $(-1\frac{3}{4})^2 = (-\frac{7}{4})^2 = \frac{49}{16} = 3\frac{1}{16}$.

Ответ: $1; 4; \frac{1}{9}; 0,16; 0,0025; 3\frac{1}{16}$.

4) Для нахождения значения выражения $y^3$ подставим в него заданные значения $y$.

Если $y = -1$, то $(-1)^3 = -1$.

Если $y = -2$, то $(-2)^3 = -8$.

Если $y = -0,3$, то $(-0,3)^3 = -0,027$.

Если $y = -\frac{4}{5}$, то $(-\frac{4}{5})^3 = -\frac{64}{125} = -0,512$.

Если $y = -0,01$, то $(-0,01)^3 = -0,000001$.

Если $y = -2\frac{1}{2}$, то $(-2\frac{1}{2})^3 = (-\frac{5}{2})^3 = -\frac{125}{8} = -15,625$.

Ответ: $-1; -8; -0,027; -0,512; -0,000001; -15,625$.

520 Найди значения выражений:

1) $-2,5a$, если $a = 0; 1; -1; 4; -30; -3,2; \frac{4}{15}$;

2) $-\frac{3}{7}b$, если $b = 0; 1; -1; 7; 350; -1,4; -8\frac{1}{6}$;

3) $x^2$, если $x = -1; -2; -\frac{1}{3}; -0,4; -0,05; -1\frac{3}{4}$;

4) $y^3$, если $y = -1; -2; -0,3; -\frac{4}{5}; -0,01; -2\frac{1}{2}$.

БУДЕШЬ ХОРОШО РЕШАТЬ ПРИМЕРЫ- БУДЕШЬ ЕЗДИТЬ НА ТАКСИ...

479 Воспроизведи в тетради рисунок пирамиды. Сколько у неё вершин, рёбер, граней, боковых граней? Какие из них являются невидимыми?

а) б)

a)

Данная фигура — четырехугольная пирамида SABCD.

Вершины: У пирамиды 5 вершин. Это одна вершина пирамиды S и четыре вершины в основании: A, B, C, D.

Рёбра: У пирамиды 8 рёбер. 4 ребра лежат в основании (AB, BC, CD, DA), и 4 боковых ребра (SA, SB, SC, SD) соединяют вершину S с вершинами основания. Общее количество рёбер: $4 + 4 = 8$.

Грани: У пирамиды 5 граней. Одна грань — это основание (четырехугольник ABCD). Остальные 4 грани — боковые, они являются треугольниками. Общее количество граней: $1 + 4 = 5$.

Боковые грани: У пирамиды 4 боковые грани: $\triangle SAB$, $\triangle SBC$, $\triangle SCD$, $\triangle SDA$.

Невидимые элементы: На чертеже невидимые элементы принято изображать штриховыми линиями. В данной пирамиде невидимыми являются: вершина B; рёбра AB, BC, SB; боковые грани SAB, SBC, а также основание ABCD.

Ответ: 5 вершин, 8 рёбер, 5 граней, 4 боковые грани. Невидимыми являются вершина B, рёбра AB, BC, SB, грани SAB, SBC и основание ABCD.

б)

Данная фигура — пятиугольная пирамида SABCDE.

Вершины: У пирамиды 6 вершин. Это одна вершина пирамиды S и пять вершин в основании: A, B, C, D, E.

Рёбра: У пирамиды 10 рёбер. 5 рёбер лежат в основании (AB, BC, CD, DE, EA), и 5 боковых рёбер (SA, SB, SC, SD, SE) соединяют вершину S с вершинами основания. Общее количество рёбер: $5 + 5 = 10$.

Грани: У пирамиды 6 граней. Одна грань — это основание (пятиугольник ABCDE). Остальные 5 граней — боковые, они являются треугольниками. Общее количество граней: $1 + 5 = 6$.

Боковые грани: У пирамиды 5 боковых граней: $\triangle SAB$, $\triangle SBC$, $\triangle SCD$, $\triangle SDE$, $\triangle SEA$.

Невидимые элементы: На чертеже невидимые элементы изображены штриховыми линиями. В данной пирамиде невидимыми являются: вершины B, C; рёбра AB, BC, CD, SB, SC; боковые грани SAB, SBC, SCD, а также основание ABCDE.

Ответ: 6 вершин, 10 рёбер, 6 граней, 5 боковых граней. Невидимыми являются вершины B, C, рёбра AB, BC, CD, SB, SC, грани SAB, SBC, SCD и основание ABCDE.

479 Воспроизведи в тетради рисунок пирамиды. Сколько у нее вершин, ребер, граней, боковых граней? Какие из них являются невидимыми?

a) В пирамиде с основанием ABCD (четырехугольная пирамида):

Вершин: 5 (S, A, B, C, D)

Ребер: 8 (SA, SB, SC, SD, AB, BC, CD, DA)

Граней: 5 (основание ABCD и 4 боковые грани: SAB, SBC, SCD, SDA)

Боковых граней: 4 (SAB, SBC, SCD, SDA)

Невидимые элементы:

Ребра: SB, AB, BC

Грани: SBC, SAB

б) В пирамиде с основанием ABCDE (пятиугольная пирамида):

Вершин: 6 (S, A, B, C, D, E)

Ребер: 10 (SA, SB, SC, SD, SE, AB, BC, CD, DE, EA)

Граней: 6 (основание ABCDE и 5 боковых граней: SAB, SBC, SCD, SDE, SEA)

Боковых граней: 5 (SAB, SBC, SCD, SDE, SEA)

Невидимые элементы:

Ребра: SB, AB, BC

Грани: SBC, SAB

480 а) Сколько рёбер семиугольной пирамиды выходит из вершины, не принадлежащей основанию? Сколько у неё всего рёбер?

б) Существует ли пирамида, у которой 999 рёбер?

в) У пирамиды 100 рёбер. Какая это пирамида?

г) У пирамиды 725 вершин. Сколько вершин у основания этой пирамиды?

а) В основании семиугольной пирамиды лежит многоугольник с семью углами (семиугольник), у которого 7 вершин. Вершина пирамиды, не принадлежащая основанию (также называемая вершиной или апексом), соединена рёбрами с каждой из вершин основания. Следовательно, из этой вершины выходит 7 рёбер.
Общее количество рёбер пирамиды складывается из количества рёбер в основании и количества боковых рёбер. В основании семиугольной пирамиды 7 рёбер. Количество боковых рёбер равно количеству вершин основания, то есть тоже 7. Таким образом, общее число рёбер равно $7 + 7 = 14$.
Ответ: 7 рёбер выходит из вершины, не принадлежащей основанию; всего у пирамиды 14 рёбер.

б) Для любой $n$-угольной пирамиды (пирамиды, в основании которой лежит $n$-угольник) общее число рёбер равно удвоенному числу вершин в основании. В основании $n$ рёбер и ещё $n$ боковых рёбер, соединяющих вершины основания с вершиной пирамиды. Общее число рёбер всегда равно $2n$. Это означает, что общее число рёбер любой пирамиды всегда является чётным числом. Число 999 — нечётное, поэтому пирамиды с 999 рёбрами существовать не может.
Ответ: нет, не существует.

в) Пусть в основании пирамиды лежит $n$-угольник. Тогда, как указано выше, общее число рёбер равно $2n$. По условию задачи, у пирамиды 100 рёбер. Составим уравнение: $2n = 100$. Решив его, получим $n = 100 / 2 = 50$. Это означает, что в основании пирамиды лежит многоугольник с 50 сторонами (пятидесятиугольник). Такая пирамида называется пятидесятиугольной.
Ответ: это пятидесятиугольная пирамида.

г) У $n$-угольной пирамиды $n$ вершин в основании и одна вершина, не принадлежащая основанию. Общее число вершин равно $n + 1$. По условию, у пирамиды 725 вершин. Составим уравнение: $n + 1 = 725$. Чтобы найти количество вершин в основании ($n$), решим уравнение: $n = 725 - 1 = 724$. Таким образом, у основания этой пирамиды 724 вершины.
Ответ: 724 вершины.

480 а) Сколько ребер семиугольной пирамиды выходит из вершины, не принадлежащей основанию? Сколько у нее всего ребер?

б) Существует ли пирамида, у которой 999 ребер?

в) У пирамиды 100 ребер. Какая это пирамида?

г) У пирамиды 725 вершин. Сколько вершин у основания этой пирамиды?

481 a) Сколько вершин у $k$-угольной пирамиды? Сколько у неё рёбер? Сколько граней?

б) У пирамиды $a$ граней. Сколько у неё рёбер и сколько вершин? Сколько вершин у многоугольника в её основании?

а)

Рассмотрим $k$-угольную пирамиду. Это многогранник, основанием которого является $k$-угольник, а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину.
Сколько вершин у $k$-угольной пирамиды?
В основании пирамиды находится $k$-угольник, который имеет $k$ вершин. Помимо этих вершин, есть ещё одна — вершина пирамиды, не лежащая в плоскости основания.
Общее число вершин равно сумме вершин основания и вершины пирамиды: $k + 1$.

Сколько у неё рёбер?
Основание пирамиды, $k$-угольник, имеет $k$ рёбер. Кроме того, каждая из $k$ вершин основания соединена ребром с вершиной пирамиды. Эти рёбра называются боковыми. Их количество равно $k$.
Общее число рёбер равно сумме рёбер основания и боковых рёбер: $k + k = 2k$.

Сколько граней?
Одна грань — это основание пирамиды ($k$-угольник). Боковые грани представляют собой треугольники. Каждое ребро основания вместе с вершиной пирамиды образует одну боковую грань. Так как в основании $k$ рёбер, то и боковых граней тоже $k$.
Общее число граней равно сумме основания и боковых граней: $1 + k$.
Ответ: у $k$-угольной пирамиды $k+1$ вершина, $2k$ рёбер и $k+1$ грань.

б)

Пусть у пирамиды $a$ граней.
Обозначим число вершин многоугольника в основании пирамиды через $k$. Из пункта а) мы знаем, что общее число граней ($F$) у $k$-угольной пирамиды вычисляется по формуле $F = k + 1$.
По условию задачи, у пирамиды $a$ граней, то есть $F = a$.
Приравнивая два выражения для числа граней, получаем: $k + 1 = a$.
Отсюда мы можем выразить $k$: $k = a - 1$. Это и есть количество вершин у многоугольника в основании.

Сколько у неё рёбер и сколько вершин?
Теперь, зная, что $k = a - 1$, мы можем найти число рёбер и вершин, используя формулы из пункта а).
Число рёбер ($E$) у $k$-угольной пирамиды равно $2k$. Подставляем наше выражение для $k$: $E = 2(a - 1)$.
Число вершин ($V$) у $k$-угольной пирамиды равно $k + 1$. Подставляем наше выражение для $k$: $V = (a - 1) + 1 = a$.

Сколько вершин у многоугольника в её основании?
Как мы уже определили ранее, число вершин у многоугольника в основании равно $k$, что в данном случае составляет $a - 1$.
Ответ: у пирамиды $2(a-1)$ рёбер и $a$ вершин; у многоугольника в её основании $a-1$ вершина.

481 a) Сколько вершин у $k$-угольной пирамиды? Сколько у нее ребер? Сколько граней?

b) У пирамиды $a$ граней. Сколько у нее ребер и сколько вершин? Сколько вершин у многоугольника в ее основании?

482 Развёртка какой фигуры изображена на рис. 62? Перенеси её на лист бумаги, увеличив размеры в 4 раза, затем вырежи и сверни многогранник.

Рис. 62

Развёртка какой фигуры изображена на рис. 62?

На рисунке 62 изображена развёртка (плоский шаблон) объёмной геометрической фигуры. Эта развёртка состоит из одной центральной фигуры — квадрата, и четырёх одинаковых равнобедренных треугольников, каждый из которых пристроен к одной из сторон квадрата.
Если мысленно или физически свернуть эту развёртку по линиям, общим для квадрата и треугольников, то:
- Квадрат станет основанием фигуры.
- Четыре треугольника станут боковыми гранями, которые сойдутся своими вершинами в одной точке над центром основания.
Такой многогранник называется пирамидой. Поскольку в основании лежит правильный четырёхугольник (квадрат), а боковые грани — равные равнобедренные треугольники, то это правильная четырёхугольная пирамида.

Ответ: На рисунке изображена развёртка правильной четырёхугольной пирамиды.

Перенеси её на лист бумаги, увеличив размеры в 4 раза, затем вырежи и сверни многогранник.

Для выполнения этого задания необходимо последовательно выполнить следующие шаги:

1. Определение исходных размеров.
Посмотрим на рисунок 62. Фигура начерчена на сетке из квадратов. Примем сторону одной клетки за 1 условную единицу.
- Сторона центрального квадрата равна 2 клеткам ($a_{исх} = 2$ ед.).
- Боковые грани — это треугольники. Их основание равно стороне квадрата ($b_{исх} = 2$ ед.), а высота, проведённая к основанию, также равна 2 клеткам ($h_{исх} = 2$ ед.).

2. Расчёт новых размеров.
Все линейные размеры нужно увеличить в 4 раза.
- Новая сторона квадрата: $a_{нов} = a_{исх} \times 4 = 2 \times 4 = 8$ ед.
- Новое основание треугольника: $b_{нов} = b_{исх} \times 4 = 2 \times 4 = 8$ ед.
- Новая высота треугольника: $h_{нов} = h_{исх} \times 4 = 2 \times 4 = 8$ ед.
Для удобства можно принять 1 условную единицу за 1 сантиметр. Тогда все размеры будут в сантиметрах.

3. Построение развёртки на бумаге.
- Возьмите лист бумаги (лучше в клетку или миллиметровую), карандаш и линейку.
- В центре листа начертите квадрат со стороной 8 см.
- К каждой из четырёх сторон квадрата достройте снаружи по равнобедренному треугольнику. Для этого найдите середину каждой стороны квадрата и отложите от неё перпендикулярно наружу отрезок длиной 8 см. Конец этого отрезка будет вершиной треугольника. Соедините эту вершину с концами стороны квадрата.

4. Сборка многогранника.
- Аккуратно вырежьте получившуюся фигуру по внешнему контуру.
- Согните бумагу по сторонам нарисованного квадрата. Это будут линии сгиба.
- Поднимите треугольные грани вверх до тех пор, пока их вершины не встретятся в одной точке.
- Склейте соседние боковые рёбра пирамиды (стороны треугольников) с помощью клея или скотча.

Ответ: После выполнения всех шагов у вас получится объёмная модель правильной четырёхугольной пирамиды, у которой сторона основания равна 8 см, а апофема (высота боковой грани) также равна 8 см.

482 Развертка какой фигуры изображена на рис. 62? Перенеси ее на лист бумаги, увеличив размеры в 4 раза, затем вырежи и сверни многогранник.

Рис. 62

483 Какие из заготовок на рис. 63 могут быть развёртками пирамиды и почему?

а) в) д) е) б) г) Рис. 63

114

Для того чтобы заготовка была развёрткой четырёхугольной пирамиды, она должна состоять из одного квадрата (основания) и четырёх треугольников (боковых граней). При сворачивании развёртки боковые рёбра треугольников, которые должны соединиться, должны быть равны по длине, и все вершины треугольников (не лежащие на основании) должны сойтись в одной точке — вершине пирамиды.

Рассмотрим каждую заготовку:

а)

Эта заготовка состоит из одного квадрата и четырёх треугольников, примыкающих к его сторонам. Однако, судя по рисунку, боковые грани не являются одинаковыми треугольниками. Два противолежащих треугольника (верхний и нижний) — высокие и узкие, а два других (левый и правый) — низкие и широкие. Это означает, что их боковые рёбра имеют разную длину. При попытке свернуть такую развёртку боковые рёбра разной длины не сойдутся вместе, чтобы образовать рёбра пирамиды. Следовательно, из этой заготовки нельзя сложить пирамиду.

Ответ: не может быть развёрткой пирамиды.

б)

Эта заготовка состоит из квадрата и четырёх одинаковых (равнобедренных) треугольников, каждый из которых примыкает к одной из сторон квадрата. Это классическая развёртка правильной четырёхугольной пирамиды. При сгибании по сторонам квадрата все четыре треугольника поднимутся, их боковые рёбра совпадут, так как они равны по длине, и их вершины сойдутся в одной точке, образуя вершину пирамиды.

Ответ: может быть развёрткой пирамиды.

в)

Эта заготовка состоит из двух квадратов и трёх треугольников. Пирамида с квадратным основанием должна иметь одно основание (квадрат) и четыре боковые грани (треугольники). Данная заготовка не соответствует этому требованию по количеству и типу граней.

Ответ: не может быть развёрткой пирамиды.

г)

Заготовка состоит из одного квадрата и четырёх треугольников. Однако их расположение не позволяет правильно собрать пирамиду. Три треугольника примыкают к сторонам квадрата, а четвёртый — к боковой стороне одного из треугольников. Если мы согнём три треугольника, примыкающие к основанию, они образуют три боковые грани. Но четвёртый треугольник окажется присоединённым к ребру одной из граней, а не к стороне основания, и не сможет занять место четвёртой боковой грани. При сворачивании грани будут накладываться друг на друга, и закрыть тело не получится.

Ответ: не может быть развёрткой пирамиды.

д)

Эта заготовка состоит из одного квадрата и четырёх треугольников. Квадрат — это основание. Три треугольника (нижний, правый и верхний на рисунке) примыкают к трём сторонам квадрата. Четвёртый треугольник примыкает к боковому ребру верхнего треугольника. При сворачивании три треугольника, примыкающие к основанию, поднимаются и образуют три боковые грани. Четвёртый треугольник "закрывает" оставшееся пустое пространство, образуя четвёртую боковую грань. Его свободная сторона соединяется с оставшейся свободной стороной основания, а другое свободное боковое ребро соединяется с боковым ребром нижнего треугольника. Все вершины треугольников сходятся в одной точке.

Ответ: может быть развёрткой пирамиды.

е)

Эта заготовка состоит из квадрата и четырёх треугольников. Однако все четыре треугольника сгруппированы вместе и примыкают только к одной стороне квадрата. При попытке свернуть эту фигуру, вся группа треугольников поднимется как единое целое, но не сможет образовать четыре отдельные боковые грани, которые должны опираться на все четыре стороны основания. Таким образом, эта заготовка не может образовать замкнутое тело пирамиды.

Ответ: не может быть развёрткой пирамиды.

Таким образом, развёртками пирамиды могут быть заготовки б) и д).

483 Какие из заготовок на рис. 63 могут быть развертками пирамиды и почему?

а) в) д) е) б) г) Рис. 63