Номер 519, страница 114, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 2. Глава 3. Рациональные числа. Параграф 2. Арифметика рациональных чисел. 3. Умножение рациональных чисел - номер 519, страница 114.

Условие 2023.

519 Каким числом — положительным, отрицательным или нулём — является произведение:

а) $ (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) $;

б) $ (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) $;

в) $ (-1) \cdot (-2) \cdot (-3) \cdot \ldots \cdot (-2007) $;

г) $ (-1) \cdot (-2) \cdot (-3) \cdot \ldots \cdot (-2008) $;

д) $ (-3) \cdot (-2) \cdot (-1) \cdot 0 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 $;

е) $ (-1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6) \cdot (-56) $;

ж) $ (1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8) \cdot (-678) $;

з) $ (-1 + 2 - 3 + 4 - \ldots - 9 + 10) \cdot (-10) $;

и) $ (-1)^2 \cdot (-1)^3 \cdot (-1)^4 \cdot (-1)^5 \cdot (-1)^6 \cdot (-1)^7 $;

к) $ 1 \cdot (-1) \cdot 2 \cdot (-2) \cdot \ldots \cdot n \cdot (-n)? $

Решение 2 (2023).

а) Произведение содержит 4 отрицательных множителя. Так как 4 — чётное число, результат произведения будет положительным.$(-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) = (-1)^4 = 1$.Ответ: положительным.

б) Произведение содержит 5 отрицательных множителей. Так как 5 — нечётное число, результат произведения будет отрицательным.$(-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) = (-1)^5 = -1$.Ответ: отрицательным.

в) Данное произведение содержит целые числа от -1 до -2007. Количество множителей равно 2007. Все множители отрицательные. Так как 2007 — нечётное число, произведение нечётного числа отрицательных множителей является отрицательным числом.Ответ: отрицательным.

г) Данное произведение содержит целые числа от -1 до -2008. Количество множителей равно 2008. Все множители отрицательные. Так как 2008 — чётное число, произведение чётного числа отрицательных множителей является положительным числом.Ответ: положительным.

д) В данном произведении один из множителей равен нулю. Произведение любого числа на ноль равно нулю.$(-3) \cdot (-2) \cdot (-1) \cdot 0 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 = 0$.Ответ: нулём.

е) Сначала вычислим значение выражения в скобках:$-1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 = -(1+2+3+4+5+6) = -21$.Теперь необходимо найти произведение $(-21) \cdot (-56)$. Это произведение двух отрицательных чисел. Произведение двух отрицательных чисел всегда положительно.Ответ: положительным.

ж) Вычислим значение выражения в первых скобках:$1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 = (1-2) + (3-4) + (5-6) + (7-8) = (-1) + (-1) + (-1) + (-1) = -4$.Теперь необходимо найти произведение $(-4) \cdot (-678)$. Это произведение двух отрицательных чисел, результат будет положительным.Ответ: положительным.

з) Вычислим значение выражения в первых скобках, сгруппировав слагаемые попарно:$(-1 + 2) + (-3 + 4) + \dots + (-9 + 10)$.Всего в ряду 10 чисел, то есть 5 пар. Сумма каждой пары равна 1.$1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5$.Теперь необходимо найти произведение $5 \cdot (-10)$. Это произведение положительного и отрицательного числа, результат будет отрицательным.Ответ: отрицательным.

и) При возведении отрицательного числа в степень, результат будет положительным, если показатель степени чётный, и отрицательным, если показатель нечётный. Используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, сложим показатели:$(-1)^{2+3+4+5+6+7} = (-1)^{27}$.Так как показатель степени 27 — нечётное число, результат будет равен -1. Следовательно, произведение является отрицательным числом.Ответ: отрицательным.

к) Перегруппируем множители в произведении:$(1 \cdot (-1)) \cdot (2 \cdot (-2)) \cdot \dots \cdot (n \cdot (-n))$.Каждая пара множителей вида $(k \cdot (-k))$ даёт в результате отрицательное число $-k^2$ (при $k \geq 1$).Произведение состоит из $n$ таких отрицательных сомножителей: $(-1^2) \cdot (-2^2) \cdot \dots \cdot (-n^2)$.Знак конечного произведения зависит от количества отрицательных множителей, то есть от числа $n$.Если $n$ — чётное число, то произведение чётного числа отрицательных множителей будет положительным.Если $n$ — нечётное число, то произведение нечётного числа отрицательных множителей будет отрицательным.Ответ: положительным, если $n$ — чётное натуральное число, и отрицательным, если $n$ — нечётное натуральное число.

Условие 2010-2022.

519 Каким числом – положительным, отрицательным или нулем – является произведение:

а) $(-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1);$

б) $(-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1);$

в) $(-1) \cdot (-2) \cdot (-3) \cdot \dots \cdot (-2007);$

г) $(-1) \cdot (-2) \cdot (-3) \cdot \dots \cdot (-2008);$

д) $(-3) \cdot (-2) \cdot (-1) \cdot 0 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3;$

е) $(-1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6) \cdot (-56);$

ж) $(1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8) \cdot (-678);$

з) $(-1 + 2 - 3 + 4 - \dots - 9 + 10) \cdot (-10);$

и) $(-1)^2 \cdot (-1)^3 \cdot (-1)^4 \cdot (-1)^5 \cdot (-1)^6 \cdot (-1)^7;$

к) $1 \cdot (-1) \cdot 2 \cdot (-2) \cdot \dots \cdot n \cdot (-n)?$

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).