Страница 116, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

528 Реши задачи, составляя пропорции.

1) Промышленный насос откачивает 16 т воды за 24 мин. За какое время насос откачает 24 т воды?

2) Из 0,4 т винограда получается 72 кг изюма. Сколько надо взять винограда, чтобы получить 0,18 т изюма?

3) Если пешеход будет идти со скоростью 3,6 км/ч, то он пройдёт путь от деревни до станции за 0,5 ч. Сколько он сэкономит времени, если увеличит скорость на 25 %?

4) Фермер засеял под картошку 7,5 га и получил урожай 14 т картофеля с гектара. На сколько процентов надо увеличить урожайность картофеля, чтобы сократить посевные площади на 0,5 га? (Ответ округли с точностью до целых.)

1)

Пусть x — искомое время в минутах. Зависимость между количеством откачиваемой воды и временем является прямой пропорциональностью: чем больше воды, тем больше времени требуется. Составим пропорцию:

16 т воды — 24 мин

24 т воды — x мин

Из пропорции следует соотношение:

$ \frac{16}{24} = \frac{24}{x} $

Чтобы найти x, воспользуемся основным свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$ 16 \cdot x = 24 \cdot 24 $

$ 16x = 576 $

$ x = \frac{576}{16} $

$ x = 36 $

Таким образом, насосу потребуется 36 минут, чтобы откачать 24 тонны воды.

Ответ: 36 мин.

2)

Сначала приведем все величины к одной единице измерения. Удобнее всего перевести тонны в килограммы, зная, что 1 т = 1000 кг:

0,4 т винограда = $ 0,4 \cdot 1000 = 400 $ кг винограда.

0,18 т изюма = $ 0,18 \cdot 1000 = 180 $ кг изюма.

Пусть x — необходимое количество винограда в килограммах. Зависимость между количеством винограда и получаемым из него изюмом прямая. Составим пропорцию:

Из 400 кг винограда — получается 72 кг изюма

Из x кг винограда — получается 180 кг изюма

$ \frac{400}{x} = \frac{72}{180} $

Решим уравнение:

$ 72 \cdot x = 400 \cdot 180 $

$ 72x = 72000 $

$ x = \frac{72000}{72} $

$ x = 1000 $ кг.

Переведем результат обратно в тонны: 1000 кг = 1 т.

Ответ: 1 т.

3)

Сначала найдем новую скорость пешехода. Первоначальная скорость $ v_1 = 3,6 $ км/ч. Увеличение на 25% составляет:

$ 3,6 \cdot \frac{25}{100} = 3,6 \cdot 0,25 = 0,9 $ км/ч.

Новая скорость: $ v_2 = 3,6 + 0,9 = 4,5 $ км/ч.

Пусть $ t_1 = 0,5 $ ч — первоначальное время, а $ t_2 $ — новое время в пути. Поскольку расстояние постоянно, то скорость и время движения являются обратно пропорциональными величинами. Составим пропорцию:

$ \frac{v_1}{v_2} = \frac{t_2}{t_1} $

Подставим известные значения:

$ \frac{3,6}{4,5} = \frac{t_2}{0,5} $

Решим уравнение относительно $ t_2 $:

$ t_2 = \frac{3,6 \cdot 0,5}{4,5} = \frac{1,8}{4,5} = 0,4 $ ч.

Экономия времени составит разницу между первоначальным и новым временем:

$ \Delta t = t_1 - t_2 = 0,5 - 0,4 = 0,1 $ ч.

Переведем сэкономленное время в минуты: $ 0,1 \cdot 60 = 6 $ мин.

Ответ: 6 мин.

4)

Сначала найдем общий урожай картофеля, который собрал фермер. Он равен произведению площади на урожайность:

Общий урожай = $ 7,5 \text{ га} \cdot 14 \text{ т/га} = 105 $ т.

Фермер хочет получить тот же урожай (105 т), но сократить посевные площади на 0,5 га. Новая площадь составит:

$ A_2 = 7,5 - 0,5 = 7,0 $ га.

Теперь найдем, какая урожайность потребуется на новой площади, чтобы собрать 105 т картофеля:

Новая урожайность $ Y_2 = \frac{\text{Общий урожай}}{\text{Новая площадь}} = \frac{105 \text{ т}}{7,0 \text{ га}} = 15 $ т/га.

Исходная урожайность была $ Y_1 = 14 $ т/га. Чтобы найти, на сколько процентов нужно её увеличить, составим пропорцию, приняв исходную урожайность за 100%:

14 т/га — 100%

15 т/га — x%

$ \frac{14}{15} = \frac{100}{x} $

Решим уравнение:

$ 14 \cdot x = 15 \cdot 100 $

$ 14x = 1500 $

$ x = \frac{1500}{14} \approx 107,14 $%

Процент увеличения равен разнице между новым и старым процентным значением:

$ 107,14\% - 100\% \approx 7,14\% $.

Согласно условию, ответ нужно округлить до целых. Округляем 7,14% и получаем 7%.

Ответ: на 7%.

528 Реши задачи, составляя пропорции:

1) Выкурив 3 сигареты, человек принимает $2,4 \text{ мг}$ яда никотина. Сколько яда примет человек, если выкурит за день пачку сигарет ($20 \text{ штук}$)?

2) Из $0,4 \text{ т}$ винограда получается $72 \text{ кг}$ изюма. Сколько надо взять винограда, чтобы получить $0,18 \text{ т}$ изюма?

3) Если пешеход будет идти со скоростью $3,6 \text{ км/ч}$, то он пройдет путь от деревни до станции за $0,5 \text{ ч}$. Сколько он сэкономит времени, если увеличит скорость на $25\%$?

4) Фермер засеял под картошку $7,5 \text{ га}$ и получил урожай $14 \text{ т}$ картофеля с гектара. На сколько процентов надо увеличить урожайность картофеля, чтобы сократить посевные площади на $0,5 \text{ га}$? (Ответ округли с точностью до целых.)

529 Реши уравнения:

1) $|a+5|=4;$

2) $|b-8|=1;$

3) $|x-3|=7;$

4) $|y+2|=6.$

Для решения уравнений с модулем вида $|f(x)| = c$, где $c \ge 0$, необходимо рассмотреть два случая: $f(x) = c$ и $f(x) = -c$.

1) $|a + 5| = 4$

Данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

1) $a + 5 = 4$
$a = 4 - 5$
$a = -1$

2) $a + 5 = -4$
$a = -4 - 5$
$a = -9$

Уравнение имеет два корня: -1 и -9.

Ответ: $a = -1$ или $a = -9$.

2) $|b - 8| = 1$

Раскрываем модуль, что приводит к двум возможным уравнениям:

1) $b - 8 = 1$
$b = 1 + 8$
$b = 9$

2) $b - 8 = -1$
$b = -1 + 8$
$b = 7$

Корни уравнения: 7 и 9.

Ответ: $b = 7$ или $b = 9$.

3) $|x - 3| = 7$

Рассматриваем два случая, в зависимости от знака выражения под модулем:

1) $x - 3 = 7$
$x = 7 + 3$
$x = 10$

2) $x - 3 = -7$
$x = -7 + 3$
$x = -4$

Уравнение имеет два решения: -4 и 10.

Ответ: $x = -4$ или $x = 10$.

4) $|y + 2| = 6$

Решение данного уравнения сводится к решению двух линейных уравнений:

1) $y + 2 = 6$
$y = 6 - 2$
$y = 4$

2) $y + 2 = -6$
$y = -6 - 2$
$y = -8$

Получаем два корня: -8 и 4.

Ответ: $y = -8$ или $y = 4$.

529 Реши уравнения:

1) $ |a + 5| = 4; $

2) $ |b - 8| = 1; $

3) $ |x - 3| = 7; $

4) $ |y + 2| = 6. $

530 Реши неравенства (ответ запиши в виде двойного неравенства):

1) $|x| < 2,5;$

2) $|y| \le 9,6;$

3) $|a - 1| < 3;$

4) $|n + 2| \le 5.$

1) Неравенство вида $|x| < c$, где $c > 0$, равносильно двойному неравенству $-c < x < c$. В данном случае $c = 2,5$. Следовательно, неравенство $|x| < 2,5$ можно записать в виде следующего двойного неравенства:
$-2,5 < x < 2,5$.
Ответ: $-2,5 < x < 2,5$.

2) Неравенство вида $|y| \le c$, где $c > 0$, равносильно двойному неравенству $-c \le y \le c$. В данном случае $c = 9,6$. Таким образом, неравенство $|y| \le 9,6$ эквивалентно двойному неравенству:
$-9,6 \le y \le 9,6$.
Ответ: $-9,6 \le y \le 9,6$.

3) Неравенство $|a - 1| < 3$ равносильно двойному неравенству:
$-3 < a - 1 < 3$.
Чтобы найти значения $a$, прибавим 1 ко всем частям неравенства:
$-3 + 1 < a - 1 + 1 < 3 + 1$
$-2 < a < 4$.
Ответ: $-2 < a < 4$.

4) Неравенство $|n + 2| \le 5$ равносильно двойному неравенству:
$-5 \le n + 2 \le 5$.
Чтобы найти значения $n$, вычтем 2 из всех частей неравенства:
$-5 - 2 \le n + 2 - 2 \le 5 - 2$
$-7 \le n \le 3$.
Ответ: $-7 \le n \le 3$.

530 Реши неравенства (ответ запиши в виде двойного неравенства):

1) $|x| < 2,5$;

2) $|y| \leq 9,6$;

3) $|a - 1| < 3$;

4) $|n + 2| \leq 5$.

531 Вычисли:

а) $-3,6 \cdot (-0,25);$

б) $-\frac{1}{7} \cdot 14,56;$

в) $0,75 \cdot (-480);$

г) $-2 \frac{4}{13} \cdot (-2,6);$

д) $4,32 \cdot (-12,5);$

е) $-\frac{5}{9} \cdot (-18,18);$

ж) $-2,106 \cdot 1050;$

з) $704,5 \cdot (-2,008);$

и) $(1,6 - 12) \cdot (-2,5 + 3);$

к) $(-9 + 6,8 - 1,2) \cdot (-0,49 - 0,51);$

л) $-1,2 \cdot (-0,4 - (-4,6) - (+4,7));$

м) $[-0,9 - 2,5 - (-8,2)] \cdot (-0,625).$

а) $-3,6 \cdot (-0,25)$

Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом. Умножим модули чисел. Десятичную дробь $0,25$ можно представить в виде обыкновенной дроби $\frac{1}{4}$.

$-3,6 \cdot (-0,25) = 3,6 \cdot 0,25 = 3,6 \cdot \frac{1}{4} = \frac{3,6}{4} = 0,9$.

Ответ: 0,9.

б) $-\frac{1}{7} \cdot 14,56$

Произведение отрицательного и положительного чисел является отрицательным числом. Умножим $-\frac{1}{7}$ на $14,56$, что равносильно делению $14,56$ на $7$.

$-\frac{1}{7} \cdot 14,56 = -\frac{14,56}{7} = -2,08$.

Ответ: -2,08.

в) $0,75 \cdot (-480)$

Произведение положительного и отрицательного чисел является отрицательным числом. Десятичную дробь $0,75$ можно представить в виде обыкновенной дроби $\frac{3}{4}$.

$0,75 \cdot (-480) = - (0,75 \cdot 480) = - (\frac{3}{4} \cdot 480) = - (3 \cdot \frac{480}{4}) = - (3 \cdot 120) = -360$.

Ответ: -360.

г) $-2\frac{4}{13} \cdot (-2,6)$

Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом. Преобразуем смешанное число и десятичную дробь в неправильные дроби.

$-2\frac{4}{13} = -\frac{2 \cdot 13 + 4}{13} = -\frac{30}{13}$.

$-2,6 = -2\frac{6}{10} = -2\frac{3}{5} = -\frac{13}{5}$.

$(-\frac{30}{13}) \cdot (-\frac{13}{5}) = \frac{30 \cdot 13}{13 \cdot 5} = \frac{30}{5} = 6$.

Ответ: 6.

д) $4,32 \cdot (-12,5)$

Произведение положительного и отрицательного чисел является отрицательным числом. Умножим модули чисел.

$4,32 \cdot (-12,5) = - (4,32 \cdot 12,5)$.

Можно умножить столбиком или представить $12,5$ как $\frac{100}{8}$.

$- (4,32 \cdot \frac{100}{8}) = - (\frac{432}{8}) = -54$.

Ответ: -54.

е) $-\frac{5}{9} \cdot (-18,18)$

Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом.

$-\frac{5}{9} \cdot (-18,18) = \frac{5}{9} \cdot 18,18 = 5 \cdot \frac{18,18}{9} = 5 \cdot 2,02 = 10,1$.

Ответ: 10,1.

ж) $-2,106 \cdot 1050$

Произведение отрицательного и положительного чисел является отрицательным числом. Умножим модули чисел.

$-2,106 \cdot 1050 = -(2,106 \cdot 1050) = -2211,3$.

Ответ: -2211,3.

з) $704,5 \cdot (-2,008)$

Произведение положительного и отрицательного чисел является отрицательным числом. Умножим модули чисел.

$704,5 \cdot (-2,008) = -(704,5 \cdot 2,008) = -1414,636$.

Ответ: -1414,636.

и) $(1,6 - 12) \cdot (-2,5 + 3)$

Сначала выполним действия в скобках, затем умножение.

1) $1,6 - 12 = -10,4$.

2) $-2,5 + 3 = 0,5$.

3) $-10,4 \cdot 0,5 = -5,2$.

Ответ: -5,2.

к) $(-9 + 6,8 - 1,2) \cdot (-0,49 - 0,51)$

Сначала выполним действия в скобках, затем умножение.

1) $-9 + 6,8 - 1,2 = -2,2 - 1,2 = -3,4$.

2) $-0,49 - 0,51 = -(0,49 + 0,51) = -1$.

3) $-3,4 \cdot (-1) = 3,4$.

Ответ: 3,4.

л) $-1,2 \cdot (-0,4 - (-4,6) - (+4,7))$

Сначала выполним действия в скобках, затем умножение.

1) $-0,4 - (-4,6) - (+4,7) = -0,4 + 4,6 - 4,7 = 4,2 - 4,7 = -0,5$.

2) $-1,2 \cdot (-0,5) = 1,2 \cdot 0,5 = 0,6$.

Ответ: 0,6.

м) $[-0,9 - 2,5 - (-8,2)] \cdot (-0,625)$

Сначала выполним действия в квадратных скобках, затем умножение. Десятичную дробь $0,625$ можно представить в виде обыкновенной дроби $\frac{5}{8}$.

1) $-0,9 - 2,5 - (-8,2) = -0,9 - 2,5 + 8,2 = -3,4 + 8,2 = 4,8$.

2) $4,8 \cdot (-0,625) = 4,8 \cdot (-\frac{5}{8}) = -(4,8 \cdot \frac{5}{8}) = -(\frac{4,8}{8} \cdot 5) = -(0,6 \cdot 5) = -3$.

Ответ: -3.

531 Вычисли:

a) $-3,6 \cdot (-0,25)$;

б) $-\frac{1}{7} \cdot 14,56$;

в) $0,75 \cdot (-480)$;

г) $-2\frac{4}{13} \cdot (-2,6)$;

д) $4,32 \cdot (-12,5)$;

е) $-\frac{5}{9} \cdot (-18,18)$;

ж) $-2,106 \cdot 1050$;

з) $704,5 \cdot (-2,008)$;

и) $(1,6 - 12) \cdot (-2,5 + 3)$;

к) $(-9 + 6,8 - 1,2) \cdot (-0,49 - 0,51)$;

л) $-1,2 \cdot (-0,4 - (-4,6) - (+4,7))$;

м) $[-0,9 - 2,5 - (-8,2)] \cdot (-0,625)$.

532 Реши уравнения:

а) $-8(x + 6) = 0;$

б) $-y(y - 3) = 0;$

в) $3(z + 2)(z - 4) = 0.$

а) $-8(x + 6) = 0$

Данное уравнение представляет собой произведение, равное нулю. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Множители в уравнении: $-8$ и $(x+6)$.

Поскольку первый множитель $-8$ не равен нулю ($-8 \neq 0$), то равенство будет верным только если второй множитель равен нулю:

$x + 6 = 0$

Для нахождения $x$ перенесем $6$ из левой части уравнения в правую, изменив знак на противоположный:

$x = -6$

Ответ: $-6$

б) $-y(y - 3) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. В данном уравнении множители, содержащие переменную, это $-y$ и $(y-3)$. Приравняем каждый из них к нулю, чтобы найти все возможные корни.

1) Первый случай:

$-y = 0$

Умножив обе части на $-1$, получаем:

$y_1 = 0$

2) Второй случай:

$y - 3 = 0$

Перенесем $-3$ в правую часть, изменив знак:

$y_2 = 3$

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: $0; 3$

в) $3(z + 2)(z - 4) = 0$

Это уравнение также основано на свойстве равенства произведения нулю. Множители здесь: $3$, $(z+2)$ и $(z-4)$.

Множитель $3$ не равен нулю ($3 \neq 0$), значит, равенство будет верным, если один из оставшихся множителей равен нулю. Это приводит к совокупности двух уравнений:

1) $z + 2 = 0$

Перенесем $2$ в правую часть с противоположным знаком:

$z_1 = -2$

2) $z - 4 = 0$

Перенесем $-4$ в правую часть с противоположным знаком:

$z_2 = 4$

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: $-2; 4$

532 Реши уравнения:

а) $-8(x+6)=0$;

б) $-y(y-3)=0$;

в) $3(z+2)(z-4)=0$.

533 Вычисли, используя законы умножения:

а) $\frac{5}{14} \cdot (-4,75) \cdot (-\frac{1}{3}) \cdot \frac{4}{19} \cdot 2,8 \cdot (-15)$;

б) $\frac{7}{12} \cdot 1,9 - \frac{7}{12} \cdot 4,3$;

а) $\frac{5}{14} \cdot (-4,75) \cdot (-\frac{1}{3}) \cdot \frac{4}{19} \cdot 2,8 \cdot (-15)$

Для решения этого примера воспользуемся переместительным и сочетательным законами умножения, чтобы сгруппировать множители наиболее удобным образом. Также, для удобства вычислений, преобразуем десятичные дроби в обыкновенные.

1. Определим знак произведения. В выражении три отрицательных множителя: $(-4,75)$, $(-\frac{1}{3})$ и $(-15)$. Так как количество отрицательных множителей нечетное (три), то итоговое произведение будет отрицательным.

2. Преобразуем десятичные дроби в обыкновенные:
$4,75 = 4\frac{75}{100} = 4\frac{3}{4} = \frac{19}{4}$
$2,8 = 2\frac{8}{10} = 2\frac{4}{5} = \frac{14}{5}$

3. Подставим полученные дроби в исходное выражение. Так как мы уже определили знак конечного результата, далее будем работать с модулями (абсолютными значениями) чисел:
$\frac{5}{14} \cdot \frac{19}{4} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{19} \cdot \frac{14}{5} \cdot 15$

4. Используя переместительный и сочетательный законы, сгруппируем множители для удобного сокращения:
$(\frac{5}{14} \cdot \frac{14}{5}) \cdot (\frac{19}{4} \cdot \frac{4}{19}) \cdot (\frac{1}{3} \cdot 15)$

5. Вычислим значение каждой группы:
$\frac{5}{14} \cdot \frac{14}{5} = 1$
$\frac{19}{4} \cdot \frac{4}{19} = 1$
$\frac{1}{3} \cdot 15 = \frac{15}{3} = 5$

6. Перемножим полученные результаты:
$1 \cdot 1 \cdot 5 = 5$

7. Учитывая, что итоговый знак должен быть отрицательным, получаем окончательный результат.

Ответ: -5

б) $\frac{7}{12} \cdot 1,9 - \frac{7}{12} \cdot 4,3$

Для решения этого примера применим распределительный закон умножения относительно вычитания: $a \cdot b - a \cdot c = a \cdot (b - c)$.

1. Вынесем общий множитель $\frac{7}{12}$ за скобки:
$\frac{7}{12} \cdot (1,9 - 4,3)$

2. Выполним вычитание в скобках:
$1,9 - 4,3 = -2,4$

3. Теперь выражение выглядит так:
$\frac{7}{12} \cdot (-2,4)$

4. Преобразуем десятичную дробь $-2,4$ в неправильную обыкновенную дробь для удобства умножения:
$-2,4 = -2\frac{4}{10} = -2\frac{2}{5} = -\frac{12}{5}$

5. Выполним умножение дробей:
$\frac{7}{12} \cdot (-\frac{12}{5}) = -\frac{7 \cdot 12}{12 \cdot 5}$

6. Сократим дробь на 12:
$-\frac{7 \cdot \cancel{12}}{\cancel{12} \cdot 5} = -\frac{7}{5}$

7. Преобразуем полученную неправильную дробь в десятичную:
$-\frac{7}{5} = -1\frac{2}{5} = -1,4$

Ответ: -1,4

533 Вычисли, используя законы умножения:

а) $ \frac{5}{14} \cdot (-4,75) \cdot (-\frac{1}{3}) \cdot \frac{4}{19} \cdot 2,8 \cdot (-15); $

б) $ \frac{7}{12} \cdot 1,9 - \frac{7}{12} \cdot 4,3. $

534 Заполни таблицу. Какие закономерности ты наблюдаешь? Попробуй записать свою гипотезу на математическом языке.

$x$ | $-5$ | $-4$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $-\frac{1}{2}$ | $-\frac{1}{3}$ | $-\frac{1}{4}$ | $-\frac{1}{5}$ | $0$

$x^2$ | | | | | | | | | |

$x^3$ | | | | | | | | | |

Заполни таблицу

Для заполнения таблицы возведем каждое значение $x$ в квадрат ($x^2$) и в куб ($x^3$).

• При $x = -5$: $x^2 = (-5)^2 = 25$; $x^3 = (-5)^3 = -125$
• При $x = -4$: $x^2 = (-4)^2 = 16$; $x^3 = (-4)^3 = -64$
• При $x = -3$: $x^2 = (-3)^2 = 9$; $x^3 = (-3)^3 = -27$
• При $x = -2$: $x^2 = (-2)^2 = 4$; $x^3 = (-2)^3 = -8$
• При $x = -1$: $x^2 = (-1)^2 = 1$; $x^3 = (-1)^3 = -1$
• При $x = -\frac{1}{2}$: $x^2 = (-\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$; $x^3 = (-\frac{1}{2})^3 = -\frac{1}{8}$
• При $x = -\frac{1}{3}$: $x^2 = (-\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$; $x^3 = (-\frac{1}{3})^3 = -\frac{1}{27}$
• При $x = -\frac{1}{4}$: $x^2 = (-\frac{1}{4})^2 = \frac{1}{16}$; $x^3 = (-\frac{1}{4})^3 = -\frac{1}{64}$
• При $x = -\frac{1}{5}$: $x^2 = (-\frac{1}{5})^2 = \frac{1}{25}$; $x^3 = (-\frac{1}{5})^3 = -\frac{1}{125}$
• При $x = 0$: $x^2 = 0^2 = 0$; $x^3 = 0^3 = 0$

Ответ:

Какие закономерности ты наблюдаешь?

На основе заполненной таблицы можно заметить следующие закономерности:

Ответ:

• Значения $x^2$ всегда неотрицательны (положительны или равны нулю), независимо от знака $x$.
• Знак значения $x^3$ всегда совпадает со знаком $x$. Если $x$ отрицательное, то и $x^3$ отрицательное.
• Квадраты противоположных чисел равны. Например, $(-4)^2 = 16$ и $4^2 = 16$.
• Кубы противоположных чисел также являются противоположными числами. Например, $(-2)^3 = -8$, а $2^3 = 8$.
• Если модуль числа $x$ больше 1 (например, -5, -4, -3, -2), то при возведении в степень его модуль увеличивается.
• Если модуль числа $x$ меньше 1 (например, $-\frac{1}{2}, -\frac{1}{3}$), то при возведении в степень его модуль уменьшается.
• Для чисел -1 и 0, возведение в куб не меняет значение. Для числа 0 возведение в квадрат также не меняет значение. Для -1 квадрат равен 1.

Попробуй записать свою гипотезу на математическом языке.

Наблюдаемые закономерности можно сформулировать в виде следующих математических гипотез для любого действительного числа $x$.

Ответ:

• Четность и нечетность степенных функций:
  • Функция $y=x^2$ является четной, так как для любого $x$ выполняется равенство: $(-x)^2 = x^2$.
  • Функция $y=x^3$ является нечетной, так как для любого $x$ выполняется равенство: $(-x)^3 = -x^3$.
• Знак степени:
  • Квадрат любого действительного числа является неотрицательным числом: $x^2 \ge 0$.
  • Знак куба числа совпадает со знаком самого числа.
• Сравнение модуля числа с модулем его степени:
  • Если $|x| > 1$, то $|x| < x^2$ и $|x| < |x^3|$.
  • Если $0 < |x| < 1$, то $|x| > x^2$ и $|x| > |x^3|$.
  • Если $|x| = 1$ или $x = 0$, то $x^2 = |x|$ и $|x^3| = |x|$.

534 Заполни таблицу. Какие закономерности ты наблюдаешь? Попробуй записать свою гипотезу на математическом языке.

$x$: $-5$, $-4$, $-3$, $-2$, $-1$, $-\frac{1}{2}$, $-\frac{1}{3}$, $-\frac{1}{4}$, $-\frac{1}{5}$, $0$

$x^2$

$x^3$

489 Мысленно сверни куб и определи, какая грань является верхней, если нижняя грань закрашена.

а) 4
1 2 (закрашенная) 5
3

б) (закрашенная)
4 1 3 2
5

в) 1
(закрашенная) 2 3 5
4

г) 3
5 4 2 (закрашенная)
1

Чтобы решить задачу, для каждой развертки нужно определить, какая грань окажется на противоположной стороне от закрашенной. Если закрашенная грань — нижняя, то противоположная ей будет верхней.

Мысленно свернем куб, взяв закрашенную грань за основание (низ). Грань с цифрой 2, примыкающая к ней, станет передней стенкой. Тогда грань с цифрой 4, которая соединена с гранью 2, сложится и станет верхней крышкой куба. Остальные грани (1, 5 и 3) станут боковыми и задней стенками. Таким образом, грань, противоположная закрашенной, — это грань с цифрой 4.

Ответ: 4

Эта развертка имеет форму креста. В таких развертках грани, находящиеся на противоположных концах одной оси, являются противоположными. Закрашенная грань и грань с цифрой 5 находятся на концах вертикальной оси, проходящей через грань 1. Следовательно, они противоположны. Если закрашенная грань — нижняя, то грань с цифрой 5 будет верхней.

Ответ: 5

В этой развертке можно определить противоположные грани по правилу: две грани, разделенные ровно одной гранью в прямой линии, являются противоположными. В ряду "закрашенная–2–3" закрашенная грань и грань с цифрой 3 разделены гранью 2, следовательно, они противоположны. Если закрашенная грань является нижней, то грань с цифрой 3 будет верхней.

Ответ: 3

Определим пары противоположных граней. В ряду "5–4–2" грань 5 и грань 2 являются противоположными. Теперь мысленно соберем куб, взяв грань 4 за переднюю стенку. Тогда грань 3 будет верхней, а грань 5 — левой. Грань 2, примыкающая к грани 4, станет задней стенкой. Закрашенная грань, соединенная с гранью 2 (задней), станет правой стенкой. Грань 1, соединенная с гранью 2 (задней), станет нижней. В этой сборке правая (закрашенная) и левая (5) стенки не противоположны.
Попробуем по-другому. Пусть грань 2 будет передней. Тогда грань 4 станет левой стенкой, грань 1 — нижней, а закрашенная грань — правой. Грань 3, соединенная с левой стенкой (4), станет верхней. Грань 5, также соединенная с левой стенкой (4), станет задней. В этой конфигурации все сходится. Противоположными парами граней являются: (2 и 5), (1 и 3), (4 и закрашенная).
Следовательно, если закрашенная грань будет нижней, то противоположная ей грань с цифрой 4 окажется верхней.

Ответ: 4

489 Мысленно сверни куб и определи, какая грань является верхней, если нижняя грань закрашена?

а) $4$

$1$ $2$ $5$

$3$

б) $4$ $1$ $3$ $2$

$5$

в) $1$

$2$ $3$ $5$

$4$

г) $5$ $4$ $2$

$1$

490 а) Многогранник называется выпуклым, если любые две его точки можно соединить содержащимся в нём отрезком. Какие из многогранников на рис. 50 (см. с. 111) являются выпуклыми, а какие – нет? Почему? Какие ещё выпуклые многогранники ты знаешь?

б) Леонард Эйлер открыл удивительную формулу зависимости между числом вершин ($B$), числом рёбер ($P$) и числом граней ($\Gamma$) выпуклого многогранника. Восстанови эту формулу по записи:

$B + \Gamma - P = 2$

а) Согласно определению, многогранник является выпуклым, если любой отрезок, соединяющий две его точки, целиком находится внутри этого многогранника. Визуально это означает, что у многогранника нет "впадин" или "углублений", и он целиком лежит по одну сторону от плоскости любой из его граней.

Чтобы определить, какие из многогранников на рисунке 50 выпуклые, а какие — нет, необходимо для каждой фигуры мысленно провести проверку. Если вы можете найти две такие точки внутри многогранника, что отрезок между ними частично проходит снаружи фигуры, то такой многогранник не является выпуклым. Если же для любой пары точек отрезок полностью содержится в многограннике, то он выпуклый.

К выпуклым многогранникам относятся, например, все платоновы тела (тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр), а также любые призмы и пирамиды.

Ответ: Выпуклыми являются те многогранники с рисунка, у которых нет "вмятин", и отрезок, соединяющий любые две их точки, полностью им принадлежит. Примеры других выпуклых многогранников: куб, призма, пирамида, тетраэдр, октаэдр.

б) Формула, открытая Леонардом Эйлером, связывает число вершин (В), рёбер (Р) и граней (Г) для любого выпуклого многогранника. В предложенной записи $ \Box + \Box - \Box = 2 $ нужно расставить эти три величины.

Эта знаменитая формула гласит: сумма числа вершин и граней минус число рёбер равна двум. Следовательно, складываются числа В и Г, а вычитается число Р. Восстановленная формула выглядит так:

$ В + Г - Р = 2 $

Для проверки можно взять простой выпуклый многогранник, например, куб. У куба:

• 8 вершин (В = 8)
• 12 рёбер (Р = 12)
• 6 граней (Г = 6)

Подставим эти значения в формулу: $ 8 + 6 - 12 = 14 - 12 = 2 $. Равенство выполняется, значит, формула верна.

Ответ: $ В + Г - Р = 2 $

490 а) Многогранник называется выпуклым, если любые две его точки можно соединить содержащимся в нем отрезком. Какие из многогранников на рис. 50 (см. стр.111) являются выпуклыми, а какие – нет? Почему? Какие еще выпуклые многогранники ты знаешь?

б) Леонард Эйлер открыл удивительную формулу зависимости между числом вершин ($B$), числом ребер ($P$) и числом граней ($Г$) выпуклого многогранника. Восстанови эту формулу по записи:

$B + \Gamma - P = 2.$

491 a) Прямоугольный параллелепипед сложили из одинаковых кубиков (рис. 68). Сколько кубиков для этого понадобилось?

б) Запиши формулы объёма и площади полной поверхности прямоугольного параллелепипеда с измерениями $a$, $b$ и $c$.

в) Запиши формулы объёма и площади полной поверхности куба с ребром $a$.

Рис. 68

a)

Чтобы найти общее количество кубиков, из которых сложен прямоугольный параллелепипед, необходимо определить его размеры в кубиках (длину, ширину и высоту) и перемножить эти значения.
Посчитаем количество кубиков по каждому измерению, глядя на рисунок 68:
- По длине (передний край) уложено 5 кубиков.
- По ширине (боковой край) уложено 4 кубика.
- По высоте уложено 3 кубика.
Общее количество кубиков равно произведению этих трёх чисел:
$5 \cdot 4 \cdot 3 = 20 \cdot 3 = 60$
Следовательно, для сборки этого прямоугольного параллелепипеда понадобилось 60 кубиков.
Ответ: 60 кубиков.

б)

Для прямоугольного параллелепипеда с измерениями (длиной, шириной и высотой) $a, b$ и $c$ существуют стандартные формулы для расчёта объёма и площади полной поверхности.
Объём ($V$) вычисляется как произведение трёх его измерений:
$V = a \cdot b \cdot c$
Площадь полной поверхности ($S$) — это сумма площадей всех шести его граней. Противоположные грани попарно равны, поэтому формула имеет вид:
$S = 2(ab + ac + bc)$
Ответ: Формула объёма: $V = abc$. Формула площади полной поверхности: $S = 2(ab + ac + bc)$.

в)

Куб является частным случаем прямоугольного параллелепипеда, у которого все три измерения равны. Обозначим длину ребра куба как $a$. Тогда его длина, ширина и высота равны $a$.
Объём ($V$) куба вычисляется по формуле:
$V = a \cdot a \cdot a = a^3$
Площадь полной поверхности ($S$) куба состоит из площадей шести одинаковых квадратных граней. Площадь одной грани равна $a \cdot a = a^2$. Тогда площадь полной поверхности равна:
$S = 6 \cdot a^2 = 6a^2$
Ответ: Формула объёма: $V = a^3$. Формула площади полной поверхности: $S = 6a^2$.

491 a) Прямоугольный параллелепипед сложили из одинаковых кубиков (рис. 68). Сколько кубиков для этого понадобилось?

б) Запиши формулы объема и площади полной поверхности прямоугольного параллелепипеда с измерениями $a, b$ и $c$.

$V = abc$

$S = 2(ab + bc + ac)$

в) Запиши формулы объема и площади полной поверхности куба с ребром $a$.

$V = a^3$

$S = 6a^2$

492 a) Хватит ли проволоки длиной 1 м, чтобы сделать каркасную модель прямоугольного параллелепипеда с измерениями 7 см, 9 см и 14 см?

b) Прямоугольный лист бумаги имеет размеры 12 см и 8 см. Достаточно ли этого листа, чтобы оклеить всю поверхность прямоугольного параллелепипеда с измерениями 3 см, 4 см и 5 см?

а) Чтобы определить, хватит ли проволоки, нужно найти сумму длин всех ребер прямоугольного параллелепипеда и сравнить ее с длиной проволоки.

Прямоугольный параллелепипед имеет 12 ребер. Есть 3 группы по 4 ребра одинаковой длины. Длины ребер соответствуют измерениям параллелепипеда: $a = 7$ см, $b = 9$ см, $c = 14$ см.

Сумма длин всех ребер $L$ вычисляется по формуле:

$L = 4a + 4b + 4c = 4(a+b+c)$

Подставим значения измерений:

$L = 4(7 + 9 + 14) = 4 \times 30 = 120$ см.

Длина проволоки составляет 1 м. Переведем метры в сантиметры для сравнения:

1 м = 100 см.

Сравним необходимую длину проволоки с имеющейся:

$120 \text{ см} > 100 \text{ см}$.

Таким образом, проволоки длиной 1 м не хватит, чтобы сделать каркасную модель.

Ответ: не хватит.

б) Чтобы определить, достаточно ли листа бумаги, нужно найти площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда и сравнить ее с площадью листа бумаги.

Измерения параллелепипеда: $a = 3$ см, $b = 4$ см, $c = 5$ см.

Площадь полной поверхности $S$ вычисляется по формуле:

$S = 2(ab + bc + ac)$

Подставим значения измерений:

$S = 2(3 \times 4 + 4 \times 5 + 3 \times 5) = 2(12 + 20 + 15) = 2 \times 47 = 94 \text{ см}^2$.

Теперь найдем площадь листа бумаги. Размеры листа 12 см и 8 см.

$S_{бумаги} = 12 \text{ см} \times 8 \text{ см} = 96 \text{ см}^2$.

Сравним площадь поверхности параллелепипеда с площадью листа бумаги:

$96 \text{ см}^2 > 94 \text{ см}^2$.

Площадь листа бумаги больше, чем площадь поверхности параллелепипеда. Следовательно, бумаги достаточно, чтобы оклеить всю его поверхность (предполагая, что бумагу можно разрезать на части).

Ответ: достаточно.

492 а) Хватит ли проволоки длиной 1 м, чтобы сделать каркасную модель прямоугольного параллелепипеда с измерениями 7 см, 9 см и 14 см?

б) Прямоугольный лист бумаги имеет размеры 12 см и 8 см. Достаточно ли этого листа, чтобы оклеить всю поверхность прямоугольного параллелепипеда с измерениями 3 см, 4 см и 5 см?

493 Сравни сумму длин всех рёбер (L), объём (V) и площадь (S) полной поверхности куба и прямоугольного параллелепипеда.

$L_1 = $

$V_1 = $

$S_1 = $

$L_2 = $

$V_2 = $

$S_2 = $

Для решения задачи сначала вычислим сумму длин всех рёбер (L), объём (V) и площадь полной поверхности (S) для каждой из фигур.

1. Прямоугольный параллелепипед

Даны измерения: длина $a = 12$ дм, ширина $b = 5$ дм, высота $c = 7$ дм.

L₁

Сумма длин всех рёбер прямоугольного параллелепипеда находится по формуле $L = 4(a + b + c)$.

$L_1 = 4 \cdot (12 + 5 + 7) = 4 \cdot 24 = 96$ дм.

Ответ: 96 дм.

V₁

Объём прямоугольного параллелепипеда находится по формуле $V = a \cdot b \cdot c$.

$V_1 = 12 \cdot 5 \cdot 7 = 60 \cdot 7 = 420$ дм³.

Ответ: 420 дм³.

S₁

Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда находится по формуле $S = 2(ab + bc + ac)$.

$S_1 = 2 \cdot (12 \cdot 5 + 5 \cdot 7 + 12 \cdot 7) = 2 \cdot (60 + 35 + 84) = 2 \cdot 179 = 358$ дм².

Ответ: 358 дм².

2. Куб

Дана длина ребра: $a = 8$ дм.

L₂

У куба 12 одинаковых рёбер, поэтому сумма их длин находится по формуле $L = 12a$.

$L_2 = 12 \cdot 8 = 96$ дм.

Ответ: 96 дм.

V₂

Объём куба находится по формуле $V = a^3$.

$V_2 = 8^3 = 8 \cdot 8 \cdot 8 = 512$ дм³.

Ответ: 512 дм³.

S₂

У куба 6 одинаковых граней-квадратов, поэтому площадь его полной поверхности находится по формуле $S = 6a^2$.

$S_2 = 6 \cdot 8^2 = 6 \cdot 64 = 384$ дм².

Ответ: 384 дм².

3. Сравнение

Теперь сравним полученные значения для параллелепипеда (индекс 1) и куба (индекс 2).

• Сравнение сумм длин рёбер (L): $L_1 = 96$ дм и $L_2 = 96$ дм. Таким образом, $L_1 = L_2$.

• Сравнение объёмов (V): $V_1 = 420$ дм³ и $V_2 = 512$ дм³. Таким образом, $V_1 < V_2$.

• Сравнение площадей полной поверхности (S): $S_1 = 358$ дм² и $S_2 = 384$ дм². Таким образом, $S_1 < S_2$.

Ответ: Суммы длин рёбер фигур равны. Объём и площадь полной поверхности куба больше, чем у прямоугольного параллелепипеда.

493 Сравни сумму длин всех ребер (L), объем (V) и площадь (S) полной поверхности куба и прямоугольного параллелепипеда:

$L_1 = $

$V_1 = $

$S_1 = $

$L_2 = $

$V_2 = $

$S_2 = $