Страница 14, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

4.32. Отметьте на координатной прямой точки А(–3), В(5), С(–6,5), D(5,5), E(–5), K(2,5).

4.32

Для того чтобы отметить точки на координатной прямой, нужно определить их положение относительно начала отсчета (точки с координатой $0$). Координатная прямая — это прямая с выбранным на ней началом отсчета, единичным отрезком и положительным направлением (обычно вправо). Положительные числа располагаются справа от нуля, а отрицательные — слева.

Точка A(-3) имеет отрицательную координату $-3$, поэтому она находится на расстоянии 3 единичных отрезков слева от нуля.

Точка B(5) имеет положительную координату $5$, поэтому она находится на расстоянии 5 единичных отрезков справа от нуля.

Точка C(-6,5) имеет отрицательную координату $-6,5$. Она находится на расстоянии 6,5 единичных отрезков слева от нуля, то есть ровно посередине между отметками $-6$ и $-7$.

Точка D(5,5) имеет положительную координату $5,5$. Она находится на расстоянии 5,5 единичных отрезков справа от нуля, то есть ровно посередине между отметками $5$ и $6$.

Точка E(-5) имеет отрицательную координату $-5$, поэтому она находится на расстоянии 5 единичных отрезков слева от нуля.

Точка K(2,5) имеет положительную координату $2,5$. Она находится на расстоянии 2,5 единичных отрезков справа от нуля, то есть ровно посередине между отметками $2$ и $3$.

Ответ:

4.33. Приняв за единичный отрезок длину 12 клеток тетради, начертите координатную прямую и отметьте на ней точки M(14), K(– 12), A(– 1112), C(512), F(113), X(– 56), D(43), N(– 16), P(1,25).

4.33

Для решения задачи необходимо начертить координатную прямую, на которой единичный отрезок, то есть расстояние между целыми числами (например, от 0 до 1 или от -1 до -2), составляет 12 клеток тетради. Чтобы найти положение любой точки на этой прямой, нужно ее координату умножить на 12. Результат покажет, на сколько клеток и в какую сторону от начала отсчета (точки O с координатой 0) нужно отступить. Для положительных координат отступаем вправо, для отрицательных — влево.

M($\frac{1}{4}$)

Координата точки M равна $\frac{1}{4}$. Найдем ее положение в клетках от начала отсчета: $ \frac{1}{4} \times 12 = 3 $ клетки. Так как координата положительная, откладываем 3 клетки вправо от точки O(0).

Ответ: Точка M находится на расстоянии 3 клеток справа от начала отсчета.

K($-\frac{1}{2}$)

Координата точки K равна $-\frac{1}{2}$. Найдем расстояние в клетках, умножив модуль координаты на 12: $ |-\frac{1}{2}| \times 12 = \frac{1}{2} \times 12 = 6 $ клеток. Так как координата отрицательная, откладываем 6 клеток влево от точки O(0).

Ответ: Точка K находится на расстоянии 6 клеток слева от начала отсчета.

A( $-1\frac{1}{12}$ )

Координата точки A равна $-1\frac{1}{12}$. Переведем смешанное число в неправильную дробь: $-1\frac{1}{12} = -\frac{1 \times 12 + 1}{12} = -\frac{13}{12}$. Найдем расстояние в клетках: $ |-\frac{13}{12}| \times 12 = 13 $ клеток. Так как координата отрицательная, откладываем 13 клеток влево от точки O(0). Это на 1 клетку левее точки с координатой -1.

Ответ: Точка A находится на расстоянии 13 клеток слева от начала отсчета.

C($\frac{5}{12}$)

Координата точки C равна $\frac{5}{12}$. Вычисляем расстояние в клетках: $ \frac{5}{12} \times 12 = 5 $ клеток. Так как координата положительная, откладываем 5 клеток вправо от точки O(0).

Ответ: Точка C находится на расстоянии 5 клеток справа от начала отсчета.

F($1\frac{1}{3}$)

Координата точки F равна $1\frac{1}{3}$. Переведем смешанное число в неправильную дробь: $1\frac{1}{3} = \frac{4}{3}$. Вычисляем расстояние в клетках: $ \frac{4}{3} \times 12 = 4 \times 4 = 16 $ клеток. Так как координата положительная, откладываем 16 клеток вправо от точки O(0). Это на 4 клетки правее точки с координатой 1.

Ответ: Точка F находится на расстоянии 16 клеток справа от начала отсчета.

X($-\frac{5}{6}$)

Координата точки X равна $-\frac{5}{6}$. Вычисляем расстояние в клетках: $ |-\frac{5}{6}| \times 12 = 5 \times 2 = 10 $ клеток. Так как координата отрицательная, откладываем 10 клеток влево от точки O(0).

Ответ: Точка X находится на расстоянии 10 клеток слева от начала отсчета.

D($\frac{4}{3}$)

Координата точки D равна $\frac{4}{3}$. Вычисляем расстояние в клетках: $ \frac{4}{3} \times 12 = 4 \times 4 = 16 $ клеток. Так как координата положительная, откладываем 16 клеток вправо от точки O(0). Заметим, что координата точки D ($ \frac{4}{3} $) совпадает с координатой точки F ($ 1\frac{1}{3} = \frac{4}{3} $), следовательно, эти точки совпадают на координатной прямой.

Ответ: Точка D находится на расстоянии 16 клеток справа от начала отсчета.

N($-\frac{1}{6}$)

Координата точки N равна $-\frac{1}{6}$. Вычисляем расстояние в клетках: $ |-\frac{1}{6}| \times 12 = 2 $ клетки. Так как координата отрицательная, откладываем 2 клетки влево от точки O(0).

Ответ: Точка N находится на расстоянии 2 клеток слева от начала отсчета.

P(1,25)

Координата точки P равна $1,25$. Переведем десятичную дробь в обыкновенную: $1,25 = 1\frac{25}{100} = 1\frac{1}{4}$. Теперь переведем в неправильную дробь: $1\frac{1}{4} = \frac{5}{4}$. Вычисляем расстояние в клетках: $ \frac{5}{4} \times 12 = 5 \times 3 = 15 $ клеток. Так как координата положительная, откладываем 15 клеток вправо от точки O(0).

Ответ: Точка P находится на расстоянии 15 клеток справа от начала отсчета.

Инструкция по построению:

Начертите горизонтальную линию и выберите на ней точку O — начало отсчета. Отложите 12 клеток вправо и отметьте точку 1, отложите 12 клеток влево и отметьте точку -1. Затем, в соответствии с расчетами, отметьте точки в следующих позициях от точки O: N — 2 клетки влево, K — 6 клеток влево, X — 10 клеток влево, A — 13 клеток влево; M — 3 клетки вправо, C — 5 клеток вправо, P — 15 клеток вправо, F и D (в одном месте) — 16 клеток вправо.

4.34. Начертите шкалу температур от –40 до 40 °C, приняв отрезок длиной 1 см за 10 °C. Отметьте на этой шкале:

а) нормальную температуру кошки (39 °C);
б) температуру замерзания ртути (–39 °C);
в) температуру замерзания 50 %–го раствора уксусной кислоты (–22 °C);
г) температуру кипения эфира (35 °C);
д) температуру кипения хлора (–34 °C).

4.34

Для решения задачи сначала построим температурную шкалу. Диапазон температур составляет от $-40$ °C до $40$ °C, что равно $40 - (-40) = 80$ градусам. Согласно условию, отрезок длиной 1 см соответствует $10$ °C. Следовательно, общая длина шкалы будет $80 \text{ °C} \div 10 \text{ °C/см} = 8$ см.

Начертим прямую линию длиной 8 см. Разделим ее на 8 равных отрезков по 1 см. Отметим на ней основные точки: $-40, -30, -20, -10, 0, 10, 20, 30, 40$ °C.

Теперь определим положение каждой из указанных температур на этой шкале. Для этого будем рассчитывать расстояние от отметки $0$ °C. Расстояние $L$ (в см) для температуры $T$ (в °C) вычисляется по формуле: $L = \frac{T}{10}$. Положительное значение $L$ означает отступ вправо от нуля, а отрицательное — влево.

Ниже представлена визуализация шкалы с отмеченными значениями:

а) нормальную температуру кошки (39 °C)

Вычисляем расстояние от $0$ °C: $L = \frac{39}{10} = 3.9$ см. Это означает, что точка должна находиться на расстоянии 3.9 см вправо от отметки $0$ °C. Это положение на 1 мм левее отметки $40$ °C.

Ответ: Точка, соответствующая температуре $39$ °C, находится на расстоянии $3.9$ см вправо от $0$ °C.

б) температуру замерзания ртути (–39 °C)

Вычисляем расстояние от $0$ °C: $L = \frac{-39}{10} = -3.9$ см. Знак «минус» указывает направление влево от нуля. Точка должна находиться на расстоянии 3.9 см влево от $0$ °C. Это положение на 1 мм правее отметки $-40$ °C.

Ответ: Точка, соответствующая температуре $-39$ °C, находится на расстоянии $3.9$ см влево от $0$ °C.

в) температуру замерзания 50%-го раствора уксусной кислоты (–22 °C)

Вычисляем расстояние от $0$ °C: $L = \frac{-22}{10} = -2.2$ см. Точка должна находиться на расстоянии 2.2 см влево от $0$ °C. Это положение на 2 мм левее отметки $-20$ °C.

Ответ: Точка, соответствующая температуре $-22$ °C, находится на расстоянии $2.2$ см влево от $0$ °C.

г) температуру кипения эфира (35 °C)

Вычисляем расстояние от $0$ °C: $L = \frac{35}{10} = 3.5$ см. Точка должна находиться на расстоянии 3.5 см вправо от $0$ °C. Это положение находится ровно посередине между отметками $30$ °C и $40$ °C.

Ответ: Точка, соответствующая температуре $35$ °C, находится на расстоянии $3.5$ см вправо от $0$ °C.

д) температуру кипения хлора (–34 °C)

Вычисляем расстояние от $0$ °C: $L = \frac{-34}{10} = -3.4$ см. Точка должна находиться на расстоянии 3.4 см влево от $0$ °C. Это положение на 4 мм левее отметки $-30$ °C.

Ответ: Точка, соответствующая температуре $-34$ °C, находится на расстоянии $3.4$ см влево от $0$ °C.

4.32. Трасса для роликовых коньков состоит из семи участков. Шесть участков имеют одинаковую длину, а центральный – на 16 м длиннее. Найдите длину каждого участка, если длина трассы 282 м.

4.35

Пусть х м – 1 из одинаковых участков, тогда (х + 16) м – центральный участок. Зная, что длинна всей трассы равна 282 м, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} \mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }6 · х + (х + 16) = 282; \\ 6х + х + 16 = 282; \\ 7х + 16 = 282; \\ 7х = 282 – 16; \\ 7х = 266; \\ х = 266 : 7; \end{gathered}$$

$\mathrm{х} = 38 \left(\mathrm{м}\right)$– длина 1 из 6 равных участков;

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }38 + 16 = 54 (\mathrm{м})$– длина центрального участка.

Ответ: 38 м; 38 м; 38 м; 54м; 38 м; 38 м; 38 м.

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ метров — это длина одного из шести одинаковых участков трассы.

По условию, центральный участок на 16 м длиннее. Значит, его длина равна $(x + 16)$ метров.

Общая длина трассы, которая состоит из шести одинаковых участков и одного центрального, составляет 282 м. Мы можем составить уравнение, сложив длины всех семи участков:

$6 \cdot x + (x + 16) = 282$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $x$:

$6x + x + 16 = 282$

$7x + 16 = 282$

Вычтем 16 из обеих частей уравнения:

$7x = 282 - 16$

$7x = 266$

Разделим обе части на 7:

$x = \frac{266}{7}$

$x = 38$

Таким образом, мы нашли длину одного из шести одинаковых участков — она составляет 38 м.

Теперь найдем длину центрального участка, который на 16 м длиннее:

$38 + 16 = 54$ м.

Ответ: длина каждого из шести одинаковых участков составляет 38 м, а длина центрального участка — 54 м.

4.36. Отдыхающих можно разместить в коттеджах по 12 человек и по 8 человек, при этом в коттеджах не останется свободных мест. Сколько было отдыхающих, если их больше 71, но меньше 80?

4.36

Найдем наименьшее общие кратные чисел 12 и 8, это 24, 48, 72, 96, …

условию задачи соответствует число 72

Ответ: 72 отдыхающих.

Пусть $N$ — общее количество отдыхающих.

Согласно условию задачи, отдыхающих можно разместить в коттеджах по 12 человек и по 8 человек, и при этом не останется свободных мест. Это означает, что общее число отдыхающих $N$ должно делиться нацело и на 12, и на 8. Другими словами, число $N$ является общим кратным чисел 12 и 8.

Чтобы найти все возможные значения для $N$, сначала найдем наименьшее общее кратное (НОК) этих чисел.

Разложим числа 12 и 8 на простые множители:
$12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$
$8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$

Для нахождения НОК(12, 8) нужно взять каждый простой множитель в наибольшей степени, в которой он встречается в разложениях:
НОК(12, 8) = $2^3 \cdot 3^1 = 8 \cdot 3 = 24$.

Это значит, что общее количество отдыхающих должно быть кратно 24. Найдем все числа, кратные 24:
$24 \cdot 1 = 24$
$24 \cdot 2 = 48$
$24 \cdot 3 = 72$
$24 \cdot 4 = 96$
и так далее.

В условии сказано, что количество отдыхающих больше 71, но меньше 80. Запишем это в виде двойного неравенства:
$71 < N < 80$.

Теперь из списка чисел, кратных 24, выберем то, которое удовлетворяет этому неравенству.
Единственное число, которое подходит, — это 72, так как $71 < 72 < 80$.

Проверка:
1. Можно ли разместить 72 человека в коттеджах по 12 человек? $72 / 12 = 6$. Да, потребуется 6 коттеджей.
2. Можно ли разместить 72 человека в коттеджах по 8 человек? $72 / 8 = 9$. Да, потребуется 9 коттеджей.
3. Выполняется ли условие $71 < 72 < 80$? Да, выполняется.

Ответ: 72 отдыхающих.

4.37. Артель заготовила 840 кг клюквы. В первый день она заготовила 33 % всей клюквы, что составило 67 количества клюквы, собранной во второй день. Сколько килограммов клюквы артель собрала в третий день?

4.37

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }840 · 0,33 = 277,2 (\mathrm{кг})$– собрали в 1 день;

$\mathbf{2}\mathbf{)} 277,2 : \frac{6}{7} = 277\frac{1}{5} · \frac{7}{6} = \frac{{\displaystyle \stackrel{231}{\cancel{1386}}}}{5}· \frac{7}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{6}}}} =$

$=\frac{231}{5} · \frac{7}{1} = \frac{1617}{5} = 324,5 \left(\mathrm{кг}\right)$ – собрали во 2 день;

$\mathbf{3}\mathbf{)} 840 – (277,2 + 323,4) = 239,4 (\mathrm{кг})$– собрали в 3 день.

Ответ: 239,4 кг клюквы.

Для решения этой задачи необходимо последовательно выполнить три шага.

1. Расчет количества клюквы, собранной в первый день

В условии сказано, что в первый день артель заготовила 33% от всего урожая в 840 кг. Чтобы найти это количество, необходимо общее количество умножить на долю, выраженную в процентах.

$840 \text{ кг} \cdot \frac{33}{100} = 840 \cdot 0.33 = 277.2 \text{ кг}$

Итак, в первый день было собрано 277,2 кг клюквы.

2. Расчет количества клюквы, собранной во второй день

Количество, собранное в первый день (277,2 кг), составляет $\frac{6}{7}$ от количества, собранного во второй день. Обозначим количество клюквы, собранной во второй день, за $x$. Тогда можно составить уравнение:

$\frac{6}{7} \cdot x = 277.2 \text{ кг}$

Чтобы найти $x$, нужно 277,2 разделить на дробь $\frac{6}{7}$:

$x = 277.2 : \frac{6}{7} = 277.2 \cdot \frac{7}{6} = 323.4 \text{ кг}$

Следовательно, во второй день артель собрала 323,4 кг клюквы.

3. Расчет количества клюквы, собранной в третий день

Чтобы найти, сколько клюквы было собрано в третий день, нужно из общего количества (840 кг) вычесть то количество, которое было собрано в первый и второй дни вместе.

Сумма за первые два дня составляет:

$277.2 \text{ кг} + 323.4 \text{ кг} = 600.6 \text{ кг}$

Теперь вычтем эту сумму из общего количества:

$840 \text{ кг} - 600.6 \text{ кг} = 239.4 \text{ кг}$

Таким образом, в третий день артель собрала 239,4 кг клюквы.

Ответ: 239,4 кг.

1. Верно ли записаны координаты точек на рисунке 4.15:

а) М(3); б) N(– 12); в) K(5,4); г) Р(-7)?

Проверочная работа

1.

а) М(3) – неверно, М(-3)

б) N($-\frac{1}{2}$) – верно

в) К(5,4) – неверно, К(5,8)

г) Р(-7) – неверно, Р(7)

Для решения задачи сначала определим цену одного деления на координатной прямой. На рисунке 4.15 мы видим, что отрезок между точкой O(0) и точкой E(1) разделен на два равных деления. Это означает, что длина одного деления составляет: $1 \div 2 = 0.5$ или $\frac{1}{2}$.

а) M(3)
Точка M расположена слева от начала координат (точки O) на 4 деления. Координаты точек, расположенных слева от нуля, являются отрицательными. Таким образом, координата точки M вычисляется как: $ -4 \times 0.5 = -2 $. В задании указана координата M(3). Так как $ -2 \neq 3 $, запись неверна.
Ответ: неверно. Правильная координата точки M(-2).

б) N(-1/2)
Точка N расположена слева от начала координат на 1 деление. Ее координата отрицательна и равна: $ -1 \times 0.5 = -0.5 $. Переведем десятичную дробь в обыкновенную: $ -0.5 = -\frac{1}{2} $. В задании указана координата N($-\frac{1}{2}$). Так как $ -\frac{1}{2} = -\frac{1}{2} $, запись верна.
Ответ: верно.

в) K(5,4)
Точка K расположена справа от начала координат на 8 делений. Координаты точек, расположенных справа от нуля, являются положительными. Координата точки K вычисляется как: $ 8 \times 0.5 = 4 $. В задании указана запись K(5,4). Такая запись используется для обозначения координат точки на двумерной плоскости (x, y), а не на числовой прямой, где точка имеет только одну координату. Следовательно, сама форма записи неверна для данной задачи. Правильная координата точки K — это 4.
Ответ: неверно. Запись некорректна, а правильная координата K(4).

г) P(-7)
Точка P расположена справа от начала координат на 9 делений. Ее координата положительна и равна: $ 9 \times 0.5 = 4.5 $. В задании указана координата P(-7). Так как $ 4.5 \neq -7 $, запись неверна.
Ответ: неверно. Правильная координата точки P(4.5).

2. На термометре в 12 ч дня была зафиксирована температура -12 °C. К 16 ч стало прохладнее на 4 °C. Какую температуру показывал термометр в 16 ч?

2.

–12⁰С + (–4⁰С) = –16⁰С

Ответ: –16⁰С.

Для того чтобы найти температуру в 16 часов, необходимо учесть, как она изменилась по сравнению с температурой в 12 часов.

1. Изначальная температура в 12 часов дня была $-12$ °C.

2. По условию, к 16 часам "стало прохладнее на 4 °C". Это означает, что температура понизилась (уменьшилась) на 4 градуса.

3. Чтобы найти новую температуру, нужно из начальной температуры вычесть 4:

$-12 - 4 = -16$

Таким образом, температура, которую показывал термометр в 16 часов, составила $-16$ °C.

Ответ: $-16$ °C.

3. На координатной прямой отмечена точка Т(-2,5).

а) Запишите координаты точек, которые находятся на расстоянии одного единичного отрезка от точки Т.

б) Выпишите точки, которые находятся справа от точки Т:

Z(-3); V(-2); L(-1); R(-3,5); E(1); Х(5); F(–112).

в) Найдите расстояние между точкой Т и началом отсчёта в единичных отрезках.

3.

Т(-2,5)

а) (-3,5) и (-1,5)

б) справа от точки Т: V(-2), L(-1), E(1), X(5), F(-1$\frac{1}{2}$)

в) расстояние между точкой Т и началом отсчета равно 2,5 единичных отрезка

а) Нам дана точка $T$ с координатой $-2,5$. Точки, которые находятся на расстоянии одного единичного отрезка от точки $T$, лежат на координатной прямой на расстоянии 1 от нее. Таких точек две: одна справа и одна слева.
Координата точки справа находится сложением:
$-2,5 + 1 = -1,5$
Координата точки слева находится вычитанием:
$-2,5 - 1 = -3,5$
Следовательно, искомые координаты — это $-1,5$ и $-3,5$.
Ответ: $-1,5$ и $-3,5$.

б) Точка находится справа от точки $T(-2,5)$, если её координата больше $-2,5$. Проверим каждую из предложенных точек:
$Z(-3)$: $-3 < -2,5$, значит, точка Z находится слева.
$V(-2)$: $-2 > -2,5$, значит, точка V находится справа.
$L(-1)$: $-1 > -2,5$, значит, точка L находится справа.
$R(-3,5)$: $-3,5 < -2,5$, значит, точка R находится слева.
$E(1)$: $1 > -2,5$, значит, точка E находится справа.
$X(5)$: $5 > -2,5$, значит, точка X находится справа.
$F(-1\frac{1}{2})$: координата этой точки равна $-1,5$. Так как $-1,5 > -2,5$, точка F находится справа.
Ответ: $V(-2); L(-1); E(1); X(5); F(-1\frac{1}{2})$.

в) Начало отсчёта — это точка $O$ с координатой 0. Расстояние между двумя точками на координатной прямой вычисляется как модуль разности их координат.
Найдем расстояние между точкой $T(-2,5)$ и началом отсчёта $O(0)$:
$d = |0 - (-2,5)| = |0 + 2,5| = |2,5| = 2,5$
Расстояние между точкой $T$ и началом отсчёта равно 2,5 единичных отрезка.
Ответ: 2,5.

4. Найдите площадь боковой поверхности и площадь основания цилиндра, радиус которого равен 4 см. Принять π = 3.

4.

π ≈ 3; r = 4 см; S = πr²; С = 2πr; h – основание цилиндра

$\mathrm{S} = 3 · 42 = 3 · 16 = 48 \left({\mathrm{см}}^2\right)$- площадь основания цилиндра;

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }48 · 2 = 96 ({\mathrm{см}}^2)$ - площадь двух оснований цилиндра;

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathrm{С} = 2 · 3 · 4 = 24 (\mathrm{см})$– сторона боковой поверхности цилиндра;

$\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathrm{S} = 24 · \mathrm{h} = 24 \mathrm{h} ({\mathrm{см}}^2)$ – площадь боковой поверхности цилиндра

Ответ: 48 см² и 24 h см².

Площадь боковой поверхности

Площадь боковой поверхности цилиндра находится по формуле $S_{бок} = 2\pi rh$, где $r$ — это радиус основания, а $h$ — высота цилиндра.

Согласно условию, радиус $r = 4$ см и число $\pi = 3$. Высота цилиндра $h$ в задаче не указана.

Так как высота $h$ неизвестна, мы не можем вычислить конкретное числовое значение площади боковой поверхности. Мы можем только выразить эту площадь через $h$. Подставим известные значения в формулу:

$S_{бок} = 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot h = 24h$ см²

Ответ: Площадь боковой поверхности равна $24h$ см², где $h$ — высота цилиндра в сантиметрах. Для получения числового ответа необходимо знать значение высоты.

Площадь основания

Основание цилиндра — это круг. Площадь круга вычисляется по формуле $S_{осн} = \pi r^2$.

Подставим в формулу известные значения $r = 4$ см и $\pi = 3$:

$S_{осн} = 3 \cdot 4^2 = 3 \cdot 16 = 48$ см²

Ответ: 48 см².