Страница 16, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

1.12. Среднее арифметическое четырнадцати чисел равно 4,5, а среднее арифметическое шести других чисел — 2,75. Найдите среднее арифметическое этих двадцати чисел.

1.12

$\mathbf{1}\mathbf{)} 14·4,5=63$– сумма четырнадцати чисел;

$\mathbf{2}\mathbf{)} 6·2,75=16,5$– сумма шести чисел;

$\mathbf{3}\mathbf{)} (63\stackrel{1}{+}16,5):20=79,5\stackrel{2}{:}20=3,975$– среднее арифметическое двадцати чисел.

1.

2.

Ответ: 3,975.

Для решения этой задачи необходимо найти общую сумму всех чисел и разделить ее на общее количество чисел.

1. Сначала найдем сумму первой группы, состоящей из четырнадцати чисел. Согласно определению, сумма чисел равна их среднему арифметическому, умноженному на их количество.
Количество чисел в первой группе $n_1 = 14$.
Среднее арифметическое первой группы $M_1 = 4,5$.
Сумма чисел в первой группе $S_1$ равна:
$S_1 = n_1 \times M_1 = 14 \times 4,5 = 63$.

2. Теперь найдем сумму второй группы, состоящей из шести чисел.
Количество чисел во второй группе $n_2 = 6$.
Среднее арифметическое второй группы $M_2 = 2,75$.
Сумма чисел во второй группе $S_2$ равна:
$S_2 = n_2 \times M_2 = 6 \times 2,75 = 16,5$.

3. Далее найдем общее количество чисел и их общую сумму.
Общее количество чисел $N$ равно сумме чисел в обеих группах:
$N = n_1 + n_2 = 14 + 6 = 20$.
Общая сумма всех чисел $S$ равна сумме сумм обеих групп:
$S = S_1 + S_2 = 63 + 16,5 = 79,5$.

4. Наконец, вычислим среднее арифметическое всех двадцати чисел, разделив их общую сумму на их общее количество.
$M_{общ} = \frac{S}{N} = \frac{79,5}{20} = 3,975$.

Ответ: 3,975.

1.13. На первом участке трассы лыжник шёл 3 ч с некоторой скоростью, а на втором — 2 ч со скоростью 25 км/ч. Найдите скорость лыжника на первом участке трассы, если его средняя скорость на трассе равна 28 км/ч.

1.13

$\mathbf{1}\mathbf{)} 3+2=5$(ч) – время , пройденное лыжником;

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }28·5=140$(км) – расстояние, которое прошел лыжник;

$\mathbf{3}\mathbf{)} 25·2=50$(км) – длина второго участка трассы;

$\mathbf{4}\mathbf{)} 140–50=90$(км) – длина первого участка трассы;

$\mathbf{5}\mathbf{)} 90:3=30$(км/ч) – скорость на первом участке трассы.

Ответ: 30 (км/ч)

Для решения этой задачи воспользуемся определением средней скорости. Средняя скорость — это отношение всего пройденного пути ко всему затраченному времени.

Обозначим искомую скорость лыжника на первом участке как $v_1$ (в км/ч).

Дано:
Время движения на первом участке: $t_1 = 3$ ч.
Скорость на первом участке: $v_1$.
Время движения на втором участке: $t_2 = 2$ ч.
Скорость на втором участке: $v_2 = 25$ км/ч.
Средняя скорость на всей трассе: $v_{ср} = 28$ км/ч.

Формула средней скорости: $v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$, где $S_{общ}$ — общий путь, а $t_{общ}$ — общее время.

Общий путь равен сумме путей на двух участках: $S_{общ} = S_1 + S_2$.
Общее время равно сумме времен на двух участках: $t_{общ} = t_1 + t_2$.
Таким образом, $v_{ср} = \frac{S_1 + S_2}{t_1 + t_2}$.

Найдем расстояние, пройденное на каждом участке, по формуле $S = v \cdot t$:
Путь, пройденный на первом участке: $S_1 = v_1 \cdot t_1 = v_1 \cdot 3 = 3v_1$ км.
Путь, пройденный на втором участке: $S_2 = v_2 \cdot t_2 = 25 \cdot 2 = 50$ км.

Найдем общее время движения:
$t_{общ} = t_1 + t_2 = 3 + 2 = 5$ ч.

Теперь подставим все известные и выраженные величины в формулу средней скорости и составим уравнение:
$28 = \frac{3v_1 + 50}{5}$

Решим полученное уравнение для нахождения $v_1$:
1. Умножим обе части уравнения на 5:
$28 \cdot 5 = 3v_1 + 50$
$140 = 3v_1 + 50$
2. Перенесем 50 в левую часть уравнения с противоположным знаком:
$140 - 50 = 3v_1$
$90 = 3v_1$
3. Найдем $v_1$, разделив 90 на 3:
$v_1 = \frac{90}{3}$
$v_1 = 30$

Следовательно, скорость лыжника на первом участке трассы составляла 30 км/ч.

Ответ: 30 км/ч.

1.14. Скорость теплохода по течению 20,8 км/ч, а против течения 14,4 км/ч. Найдите собственную скорость теплохода и скорость течения

1.14

$\mathbf{1}\mathbf{)} (20,8\stackrel{1}{–}14,4)\stackrel{2}{:}2=3,2$(км/ч) – скорость течения реки;

1.

2.

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }14,4+3,2=17,6$(км/ч) – собственная скорость теплохода.

Ответ: 17,6 км/ч и 3,2 км/ч.

Для решения этой задачи введем обозначения. Пусть $v_{соб}$ — это собственная скорость теплохода (скорость в стоячей воде), а $v_{теч}$ — скорость течения реки.

Скорость движения по течению ($v_{по}$) является суммой собственной скорости теплохода и скорости течения. Скорость движения против течения ($v_{против}$) является разностью собственной скорости и скорости течения. Это можно выразить следующими формулами:
$v_{по} = v_{соб} + v_{теч}$
$v_{против} = v_{соб} - v_{теч}$

Используя данные из условия задачи, мы можем составить систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
$\begin{cases} v_{соб} + v_{теч} = 20,8 \\ v_{соб} - v_{теч} = 14,4 \end{cases}$

Решим эту систему, чтобы найти искомые скорости.

Собственная скорость теплохода

Для нахождения собственной скорости теплохода сложим первое и второе уравнения системы. В результате этого действия переменная $v_{теч}$ взаимно уничтожится:
$(v_{соб} + v_{теч}) + (v_{соб} - v_{теч}) = 20,8 + 14,4$
$2 \cdot v_{соб} = 35,2$
Теперь разделим обе части уравнения на 2:
$v_{соб} = \frac{35,2}{2}$
$v_{соб} = 17,6$ км/ч.
Ответ: собственная скорость теплохода равна 17,6 км/ч.

Скорость течения

Для нахождения скорости течения вычтем из первого уравнения системы второе:
$(v_{соб} + v_{теч}) - (v_{соб} - v_{теч}) = 20,8 - 14,4$
$v_{соб} + v_{теч} - v_{соб} + v_{теч} = 6,4$
$2 \cdot v_{теч} = 6,4$
Разделим обе части уравнения на 2:
$v_{теч} = \frac{6,4}{2}$
$v_{теч} = 3,2$ км/ч.
В качестве альтернативного способа, можно было подставить найденное значение $v_{соб} = 17,6$ в одно из исходных уравнений. Например, в первое: $17,6 + v_{теч} = 20,8$, откуда $v_{теч} = 20,8 - 17,6 = 3,2$ км/ч. Оба способа дают одинаковый результат.
Ответ: скорость течения равна 3,2 км/ч.

1.15. Среднее арифметическое двух чисел равно 42. Чему равны эти числа, если одно из них в 2,5 раза меньше другого?

1.15

$\mathbf{1}\mathbf{)} 42·2=84$– сумма двух чисел;

Пусть х –1число, тогда 2,5х – 2 число. Зная, что их сумма равна 84, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} \mathbf{2}\mathbf{)} \mathrm{х}+2,5\mathrm{х}=84; \\ 3,5\mathrm{х}=84; \\ \mathrm{х}=84:3,5; \end{gathered}$$

х = 24 - 1 число

$\mathbf{3}\mathbf{)} 84–24=60$– 2 число.

Ответ: 24; 60.

Пусть первое число будет $x$, а второе число — $y$.

Среднее арифметическое двух чисел — это их сумма, деленная на два. По условию задачи, среднее арифметическое равно 42. Составим первое уравнение:

$\frac{x + y}{2} = 42$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы найти сумму этих чисел:

$x + y = 42 \cdot 2$

$x + y = 84$

Также из условия известно, что одно из чисел в 2,5 раза меньше другого. Допустим, что $x$ — это меньшее число. Тогда можно записать второе уравнение:

$y = 2.5x$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$\begin{cases} x + y = 84 \\ y = 2.5x\end{cases}$

Подставим выражение для $y$ из второго уравнения в первое:

$x + 2.5x = 84$

Сложим слагаемые с $x$:

$3.5x = 84$

Теперь найдем $x$:

$x = \frac{84}{3.5}$

Чтобы избавиться от десятичной дроби в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на 10:

$x = \frac{840}{35}$

$x = 24$

Мы нашли меньшее число. Теперь найдем большее число, подставив значение $x$ во второе уравнение:

$y = 2.5 \cdot 24$

$y = 60$

Проверим полученные результаты:

1. Найдем среднее арифметическое чисел 24 и 60: $\frac{24 + 60}{2} = \frac{84}{2} = 42$. Это соответствует условию задачи.

2. Проверим соотношение чисел: $\frac{60}{24} = 2.5$. Число 60 в 2,5 раза больше числа 24, что также соответствует условию.

Ответ: искомые числа равны 24 и 60.

1.16. Вычислите.

а) 35,5 : 5

3,9 : 2

6,3 : 10

0,64 : 8

0,7 : 100

б) 11 · 0,2

1 · 0,1

39 · 0,01

31 · 0,4

0,5 · 48

в) 0,7 : 5

7 : 2

23,23 : 23

25,75 : 25

0,9 : 18

г) 6,7 - 2,3

6 - 0,02

3,08 + 0,2

2,54 +0,06

8,2 - 2,2

1.16

а) 35,5 : 5 = 7,1

3,9 : 2 = 1,95

6,3 : 10 = 0,63

0,64 : 8 = 0,08

0,7 : 100 = 0,007

б) $11·0,2=2,2$

$1·0,1=0,1$

$39·0,01=0,39$

$31·0,4=12,4$

$0,5·48=24$

в) 0,7 : 5 = 0,14

7 : 2 = 3,5

23,23 : 23 = 1,01

25,75 : 25 = 1,03

0,9 : 18 = 0,05

г) 6,7 – 2,3 = 4,4

6 – 0,02 = 5,98

3,08 + 0,2 = 3,28

2,54 + 0,06 = 2,60

8,2 – 2,2 = 6.

а)

$35,5 : 5$. Чтобы разделить десятичную дробь на натуральное число, можно выполнить деление столбиком или по частям. Сначала делим целую часть $35$ на $5$, получаем $7$. Ставим запятую в частном. Затем делим дробную часть: $5$ десятых разделить на $5$ будет $1$ десятая. Таким образом, $35,5 : 5 = 7,1$.
Ответ: 7,1

$3,9 : 2$. Можно представить $3,9$ как $3,90$. Выполним деление в столбик. $3$ делим на $2$, получаем $1$ и $1$ в остатке. Ставим запятую. Сносим $9$, получаем $19$. $19$ делим на $2$, получаем $9$ и $1$ в остатке. Сносим $0$, получаем $10$. $10$ делим на $2$, получаем $5$. Результат: $1,95$.
Ответ: 1,95

$6,3 : 10$. При делении десятичной дроби на $10$, $100$, $1000$ и т.д., запятая в этой дроби переносится влево на столько знаков, сколько нулей в делителе. В данном случае делим на $10$ (один ноль), поэтому запятую переносим на один знак влево. $6,3 \rightarrow 0,63$.
Ответ: 0,63

$0,64 : 8$. Не обращая внимания на запятую, делим $64$ на $8$, получаем $8$. В делимом $0,64$ два знака после запятой. В частном должно быть столько же знаков после запятой, поэтому отделяем два знака: $0,08$.
Ответ: 0,08

$0,7 : 100$. При делении на $100$ (два нуля) запятая переносится на два знака влево. Чтобы перенести запятую на два знака, нужно добавить слева нули: $0,7 \rightarrow 0,07 \rightarrow 0,007$.
Ответ: 0,007

б)

$11 \cdot 0,2$. Умножаем числа, не обращая внимания на запятую: $11 \cdot 2 = 22$. В множителях суммарно один знак после запятой (в числе $0,2$). Значит, в произведении нужно отделить запятой один знак справа: $2,2$.
Ответ: 2,2

$1 \cdot 0,1$. При умножении любого числа на $1$ получается то же самое число. Соответственно, $1 \cdot 0,1 = 0,1$.
Ответ: 0,1

$39 \cdot 0,01$. Умножение на $0,01$ равносильно делению на $100$. Чтобы разделить целое число на $100$, нужно перенести запятую на два знака влево: $39,0 \rightarrow 0,39$.
Ответ: 0,39

$31 \cdot 0,4$. Умножаем $31$ на $4$, получаем $124$. В множителе $0,4$ один знак после запятой, поэтому в результате $124$ отделяем один знак справа: $12,4$.
Ответ: 12,4

$0,5 \cdot 48$. Умножение на $0,5$ равносильно делению на $2$. $48 : 2 = 24$.
Ответ: 24

в)

$0,7 : 5$. Можно представить $0,7$ как $0,70$. Не обращая внимания на запятую, делим $70$ на $5$, получаем $14$. В делимом $0,70$ было два знака после запятой, значит, в ответе отделяем два знака: $0,14$.
Ответ: 0,14

$7 : 2$. Семь разделить на два. $6 : 2 = 3$ и остаток $1$. $1$ это $10$ десятых. $10$ десятых разделить на $2$ будет $5$ десятых, то есть $0,5$. Итого: $3 + 0,5 = 3,5$.
Ответ: 3,5

$23,23 : 23$. Разделим число на слагаемые: $23,23 = 23 + 0,23$. Тогда $(23 + 0,23) : 23 = 23:23 + 0,23:23 = 1 + 0,01 = 1,01$.
Ответ: 1,01

$25,75 : 25$. Разделим число на слагаемые: $25,75 = 25 + 0,75$. Тогда $(25 + 0,75) : 25 = 25:25 + 0,75:25 = 1 + 0,03 = 1,03$.
Ответ: 1,03

$0,9 : 18$. Чтобы разделить десятичную дробь на число, можно умножить и делимое, и делитель на $10$, чтобы делимое стало целым: $(0,9 \cdot 10) : (18 \cdot 10) = 9 : 180$. Сокращаем дробь: $9/180 = 1/20$. Переводим в десятичную дробь: $1/20 = 5/100 = 0,05$.
Ответ: 0,05

г)

$6,7 - 2,3$. Вычитание десятичных дробей выполняется поразрядно. Вычитаем дробные части: $0,7 - 0,3 = 0,4$. Вычитаем целые части: $6 - 2 = 4$. Складываем результаты: $4 + 0,4 = 4,4$.
Ответ: 4,4

$6 - 0,02$. Представим $6$ как $6,00$. Выполняем вычитание в столбик, выравнивая по запятой: $6,00 - 0,02 = 5,98$.
Ответ: 5,98

$3,08 + 0,2$. При сложении десятичных дробей важно записывать их так, чтобы запятая была под запятой. Для удобства можно добавить ноль: $3,08 + 0,20$. Складываем сотые: $8+0=8$. Складываем десятые: $0+2=2$. Складываем целые: $3+0=3$. Результат: $3,28$.
Ответ: 3,28

$2,54 + 0,06$. Складываем поразрядно. Сотые: $4 + 6 = 10$. Пишем $0$ в разряд сотых и $1$ переносим в разряд десятых. Десятые: $5 + 0 + 1 = 6$. Целые: $2+0=2$. Результат: $2,60$ или $2,6$.
Ответ: 2,6

$8,2 - 2,2$. Вычитаем дробные части: $0,2 - 0,2 = 0$. Вычитаем целые части: $8 - 2 = 6$. Результат: $6,0$ или просто $6$.
Ответ: 6

1.17. Найдите частное:

а) 60 : 0,6;

б) 0,9 : 0,3;

в) 40 : 0,2;

г) 100 : 0,1;

е) 1000 : 0,01;

е) 8 : 0,4;

ж) 0,42 : 0,7;

з) 0,1 : 0,01;

и) 1 : 0,5.

1.17

$\mathrm{а}) 60:0,6=600:6=100;$

$\mathrm{б}) 0,9:0,3=9:3=3;$

$\mathrm{в}) 40:0,2=400:2=200;$

$\mathrm{г}) 100:0,1=1000;$

$\mathrm{д}) 1000:0,01=100 000;$

$\mathrm{е}) 8:0,4=80:4=20;$

$\mathrm{ж}) 0,42:0,7=4,2:7=0,6;$

$\mathrm{з}) 0,1:0,01=10;$

$\mathrm{и}) 1:0,5=10:5=2.$

а) Чтобы разделить число на десятичную дробь, нужно перенести запятую в делимом и делителе на столько знаков вправо, сколько их после запятой в делителе. В данном случае в делителе 0,6 один знак после запятой, поэтому переносим запятую на один знак вправо в обоих числах (в числе 60 добавляем ноль).
$60 : 0,6 = 600 : 6 = 100$.
Ответ: 100.

б) В делителе 0,3 один знак после запятой. Переносим запятую на один знак вправо в делимом (0,9) и делителе (0,3).
$0,9 : 0,3 = 9 : 3 = 3$.
Ответ: 3.

в) В делителе 0,2 один знак после запятой. Переносим запятую на один знак вправо в обоих числах.
$40 : 0,2 = 400 : 2 = 200$.
Ответ: 200.

г) В делителе 0,1 один знак после запятой. Переносим запятую на один знак вправо.
$100 : 0,1 = 1000 : 1 = 1000$.
Ответ: 1000.

д) В делителе 0,01 два знака после запятой. Переносим запятую на два знака вправо в обоих числах.
$1000 : 0,01 = 100000 : 1 = 100000$.
Ответ: 100000.

е) В делителе 0,4 один знак после запятой. Переносим запятую на один знак вправо.
$8 : 0,4 = 80 : 4 = 20$.
Ответ: 20.

ж) В делителе 0,7 один знак после запятой. Переносим запятую на один знак вправо в делимом (0,42) и делителе (0,7).
$0,42 : 0,7 = 4,2 : 7$.
Так как $42 : 7 = 6$, то $4,2 : 7 = 0,6$.
Ответ: 0,6.

з) В делителе 0,01 два знака после запятой. Переносим запятую на два знака вправо в обоих числах.
$0,1 : 0,01 = 10 : 1 = 10$.
Ответ: 10.

и) В делителе 0,5 один знак после запятой. Переносим запятую на один знак вправо.
$1 : 0,5 = 10 : 5 = 2$.
Ответ: 2.

1.18. При покупке красных гвоздик в упаковках оказалось 35, 26, 39, 28, 20, 26, 29 цветов. Можно ли из всех этих цветов сделать 7 одинаковых букетов?

1.18

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }35\stackrel{1}{+}26\stackrel{2}{+}39\stackrel{3}{+}28\stackrel{4}{+}20\stackrel{5}{+}26\stackrel{6}{+}29=203$(цв.) – во всех упаковках вместе;

1.	2.	3.
4.	5.	6.

$\mathbf{2}\mathbf{)} 203:7=29$(цв.) – в одном букете.

Ответ: можно.

Чтобы определить, можно ли из всех купленных цветов сделать 7 одинаковых букетов, необходимо выполнить два действия:

1. Найти общее количество цветов, сложив их количество в каждой упаковке.

2. Проверить, делится ли полученная сумма на 7 без остатка. Если да, то составить одинаковые букеты возможно.

Решение:

1. Найдем общее количество гвоздик:

$35 + 26 + 39 + 28 + 20 + 26 + 29 = 203$

Всего в упаковках было 203 цветка.

2. Теперь разделим общее количество цветов на 7, чтобы узнать, можно ли сформировать 7 одинаковых букетов:

$203 \div 7 = 29$

Поскольку общее количество цветов (203) делится на 7 нацело, то из всех цветов можно сделать 7 одинаковых букетов. В каждом таком букете будет по 29 гвоздик.

Ответ: да, можно.

1.19. Как проще всего найти произведение:

а) 7000 · 0,1; б) 600 · 0,2; в) 48 · 0,25; г) 32 · 0,125; д) 114 · 0,5?

1.19

$\mathrm{а}) 7000·0,1 = 7000 ·\frac{1}{10}=\frac{{\displaystyle \stackrel{700}{\cancel{7000}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{10}}}}=700;$

$б) 600·0,2 = 600 ·\frac{2}{10}=\frac{600·{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{2}}}}{{\displaystyle \underset{5}{\cancel{10}}}}=\frac{{\displaystyle 600}}{{\displaystyle 5}}=120;$

$\mathrm{в}) 48·0,25=48·\frac{25}{100}=\frac{48·{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{25}}}}{{\displaystyle \underset{4}{\cancel{100}}}}=\frac{48}{4}=12;$

$\mathrm{г}) 32·0,125=32·\frac{125}{1000}=\frac{32·{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{125}}}}{{\displaystyle \underset{8}{\cancel{1000}}}}=\frac{{\displaystyle \stackrel{4}{\cancel{32}}}·1}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{8}}}}=4;$

$\mathrm{д}) 114·0,5=114·\frac{5}{10}=\frac{114·{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{5}}}}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{10}}}}=\frac{114·1}{2}=57.$

а) Чтобы найти произведение $7000 \cdot 0,1$, проще всего представить множитель $0,1$ в виде обыкновенной дроби $0,1 = \frac{1}{10}$. Умножение на $\frac{1}{10}$ эквивалентно делению на $10$. Для этого достаточно убрать один ноль в конце числа или сдвинуть запятую на один знак влево: $7000 \cdot 0,1 = 7000 \div 10 = 700$.

Ответ: 700.

б) Чтобы найти произведение $600 \cdot 0,2$, проще всего представить $0,2$ в виде обыкновенной дроби $0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$. Умножение на $0,2$ в этом случае заменяется делением на $5$: $600 \cdot 0,2 = 600 \div 5 = 120$. Альтернативный простой способ — это представить $0,2$ как $2 \cdot 0,1$. Тогда вычисление будет выглядеть так: $600 \cdot 0,2 = 600 \cdot 2 \cdot 0,1 = 1200 \cdot 0,1 = 120$.

Ответ: 120.

в) Чтобы найти произведение $48 \cdot 0,25$, проще всего представить десятичную дробь $0,25$ в виде обыкновенной дроби. Мы знаем, что $0,25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$. Следовательно, умножение на $0,25$ равносильно делению на $4$: $48 \cdot 0,25 = 48 \div 4 = 12$.

Ответ: 12.

г) Чтобы найти произведение $32 \cdot 0,125$, проще всего представить $0,125$ в виде обыкновенной дроби $\frac{1}{8}$. Это следует из того, что $0,125 = \frac{125}{1000}$, и если сократить эту дробь на $125$, получится $\frac{1}{8}$. Таким образом, умножение на $0,125$ — это то же самое, что деление на $8$: $32 \cdot 0,125 = 32 \div 8 = 4$.

Ответ: 4.

д) Чтобы найти произведение $114 \cdot 0,5$, проще всего вспомнить, что $0,5$ — это половина, то есть обыкновенная дробь $\frac{1}{2}$. Умножить число на $0,5$ — значит найти его половину, то есть разделить на $2$: $114 \cdot 0,5 = 114 \div 2 = 57$.

Ответ: 57.

1.20. 1) Может ли произведение двух чисел оказаться меньше:

а) одного из множителей;

б) обоих множителей?

Приведите примеры.

2) Может ли частное оказаться больше делимого? Приведите примеры.

1.20

1) а) может, если один из множителей меньше 1:

Примеры:

$$\begin{gathered} 5·0,1=0,5 \\ 0,5<5 \end{gathered}$$$$\begin{gathered} 0,2·2=0,4 \\ 0,4<2 \end{gathered}$$

б) может, если оба множителя меньше 1:

Примеры:

$$\begin{gathered} 0,2·0,4=0,08 \\ 0,08<0,2 \mathrm{и} 0,08<0,4 \end{gathered}$$$$\begin{gathered} 0,12·0,13=0,0156 \\ 0,0156<0,12 \mathrm{и} 0,0156<0,13. \end{gathered}$$

2) может, если делитель меньше 1:

Примеры:

$$\begin{gathered} 12:0,2=60 \\ 60>12 \end{gathered}$$$$\begin{gathered} 20:0,1=200 \\ 200>20. \end{gathered}$$

а) Да, произведение двух чисел может быть меньше одного из множителей. Это происходит, если один из множителей — положительное число, а второй — число из интервала от 0 до 1 (не включая концы). Также это возможно при умножении на отрицательные числа.

Пример:
Возьмем множители 20 и 0,5. Их произведение: $20 \cdot 0,5 = 10$.
Произведение 10 меньше одного из множителей, числа 20 ($10 < 20$).

Ответ: да, может.

б) Да, произведение двух чисел может быть меньше обоих множителей. Это происходит, например, когда оба множителя являются положительными числами, меньшими 1. Другой случай — когда один множитель положителен и больше 1, а второй отрицателен.

Пример 1 (положительные множители):
Возьмем множители 0,4 и 0,2. Их произведение: $0,4 \cdot 0,2 = 0,08$.
Произведение 0,08 меньше каждого из множителей: $0,08 < 0,4$ и $0,08 < 0,2$.

Пример 2 (множители разных знаков):
Возьмем множители 5 и -3. Их произведение: $5 \cdot (-3) = -15$.
Произведение -15 меньше каждого из множителей: $-15 < 5$ и $-15 < -3$.

Ответ: да, может.

2) Да, частное может оказаться больше делимого. Это происходит, когда делитель по модулю меньше 1 (и не равен нулю). Для положительных чисел это означает, что делитель должен быть числом в интервале от 0 до 1.

Пример:
Возьмем делимое 12 и делитель 0,5. Найдем их частное:
$12 \div 0,5 = 24$
В этом случае частное 24 больше делимого 12 ($24 > 12$).

Ответ: да, может.

1.21. Папе, чтобы купить нужное количество материалов для починки забора, нужно определить его длину, но нет рулетки. Петя заметил, что расстояние между двумя соседними столбиками забора равно пяти его шагам, а столбиков всего 40. Чему равна длина забора, если один шаг мальчика 0,45 м? Сколько решений имеет задача.

1.21

1 способ:

$10-1=9$– кол-во расстояний между столбиками. 

$\mathbf{1}\mathbf{)} (40-1)·5=39·5=195$(шагов)-длина забора;

$\mathbf{2}\mathbf{)} 0,45·195=87,75$(м)-длина всего забора.

Ответ: 87,75 метров.

2 способ:

$\mathbf{1}\mathbf{)} 5·0,45=2,25$(м) – расстояние между столбиками;

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }39·2,25=87,75$(м) – длина забора.

Ответ: 87,75 метров.

Для начала определим расстояние между двумя соседними столбиками забора. По условию, это расстояние равно пяти шагам Пети.

Длина одного шага Пети: $L_{шага} = 0,45$ м.

Расстояние между двумя соседними столбиками ($D$):

$D = 5 \times L_{шага} = 5 \times 0,45 \text{ м} = 2,25 \text{ м}$.

Далее, чтобы найти общую длину забора, необходимо определить количество промежутков (секций) между столбиками. Задача не уточняет, является ли забор замкнутым (например, вокруг участка) или представляет собой прямую линию. Поэтому необходимо рассмотреть два возможных случая.

Случай 1: Забор представляет собой прямую линию (незамкнутый)

Если 40 столбиков установлены в один ряд, то количество промежутков между ними будет на единицу меньше, чем количество столбиков.

Количество промежутков ($n_1$):

$n_1 = 40 - 1 = 39$

Общая длина забора ($L_1$) в этом случае будет равна произведению количества промежутков на расстояние между столбиками:

$L_1 = n_1 \times D = 39 \times 2,25 \text{ м} = 87,75 \text{ м}$.

Ответ: если забор не замкнут, его длина равна 87,75 м.

Случай 2: Забор представляет собой замкнутый контур

Если 40 столбиков образуют замкнутый контур (например, огораживают участок со всех сторон), то количество промежутков между ними будет равно количеству столбиков.

Количество промежутков ($n_2$):

$n_2 = 40$

Общая длина забора ($L_2$) в этом случае будет равна:

$L_2 = n_2 \times D = 40 \times 2,25 \text{ м} = 90 \text{ м}$.

Ответ: если забор замкнут, его длина равна 90 м.

Сколько решений имеет задача?

Поскольку в условии задачи не указан тип забора (замкнутый или нет), оба рассмотренных случая являются возможными. Следовательно, задача имеет два различных решения.

Ответ: задача имеет 2 решения.

1.22. Найдите частное:

а) 0,468 : 0,26;

б) 0,9775 : 0,425;

в) 3,648 : 4,56;

г) 0,559 : 0,043;

д) 50,02 : 41;

е) 142,4 : 178.

1.22

$\mathrm{а}) 0,468:0,26=46,8:26=1,8$

$\mathrm{б}) 0,9775:0,425=977,5:425=2,3$

$\mathrm{в}) 3,648:4,56=364,8:456=0,8$

$\mathrm{г}) 0,559:0,043=559:43=13$

$\mathrm{д}) 50,02:41=1,22$

$\mathrm{е}) 142,4:178=0,8.$

а) Чтобы найти частное от деления 0,468 на 0,26, мы можем избавиться от десятичной дроби в делителе. Для этого умножим и делимое, и делитель на 100, что равносильно переносу запятой на два знака вправо в обоих числах.
$0,468 : 0,26 = (0,468 \cdot 100) : (0,26 \cdot 100) = 46,8 : 26$
Теперь выполним деление в столбик:
$46,8 \div 26 = 1,8$
Сначала делим 46 на 26, получаем 1. $46 - 1 \cdot 26 = 20$.
Сносим 8, получаем 208. Делим 208 на 26, получаем 8. $208 - 8 \cdot 26 = 0$.
Ответ: 1,8

б) Для деления 0,9775 на 0,425, перенесем запятую на три знака вправо в обоих числах, так как в делителе 0,425 три знака после запятой.
$0,9775 : 0,425 = (0,9775 \cdot 1000) : (0,425 \cdot 1000) = 977,5 : 425$
Выполним деление в столбик:
$977,5 \div 425 = 2,3$
Делим 977 на 425, получаем 2. $977 - 2 \cdot 425 = 977 - 850 = 127$.
Сносим 5, получаем 1275. Делим 1275 на 425, получаем 3. $1275 - 3 \cdot 425 = 0$.
Ответ: 2,3

в) Чтобы разделить 3,648 на 4,56, перенесем запятую на два знака вправо в делимом и делителе.
$3,648 : 4,56 = (3,648 \cdot 100) : (4,56 \cdot 100) = 364,8 : 456$
Так как 364 меньше 456, частное будет меньше единицы.
$364,8 \div 456 = 0,8$
Можно проверить умножением: $456 \cdot 0,8 = 364,8$.
Ответ: 0,8

г) Для деления 0,559 на 0,043, перенесем запятую на три знака вправо в обоих числах.
$0,559 : 0,043 = (0,559 \cdot 1000) : (0,043 \cdot 1000) = 559 : 43$
Выполним деление целых чисел в столбик:
$559 \div 43 = 13$
Делим 55 на 43, получаем 1. $55 - 1 \cdot 43 = 12$.
Сносим 9, получаем 129. Делим 129 на 43, получаем 3. $129 - 3 \cdot 43 = 0$.
Ответ: 13

д) В данном случае делитель 41 является целым числом, поэтому можно сразу приступать к делению в столбик.
$50,02 : 41 = 1,22$
Делим 50 на 41, получаем 1. $50 - 1 \cdot 41 = 9$.
Сносим 0, ставим запятую в частном. Делим 90 на 41, получаем 2. $90 - 2 \cdot 41 = 90 - 82 = 8$.
Сносим 2, получаем 82. Делим 82 на 41, получаем 2. $82 - 2 \cdot 41 = 0$.
Ответ: 1,22

е) Делитель 178 — целое число. Делимое 142,4 меньше делителя, поэтому частное будет меньше единицы.
$142,4 : 178 = 0,8$
Чтобы найти частное, можно представить деление как $1424 \div 178$, а затем учесть запятую.
$178 \cdot 8 = 1424$.
Следовательно, $142,4 \div 178 = 0,8$.
Ответ: 0,8

1.23. Найдите корень уравнения:

а) 4,1x - 2,9x + 7,5 = 7,98;

б) 7,8y - (5,6y + 10,6) = 3,7;

в) (8,3 - z) · 4,9 = 5,88;

г) (11,2 - p) · 4,5 = 31,5.

1.23

$$\begin{gathered} \mathrm{а}) 4,1\mathrm{х}–2,9\mathrm{х}+7,5=7,98; \\ 1,2\mathrm{х}=7,98–7,5; \\ 1,2\mathrm{х}=0,48; \\ \mathrm{х}=0,48:1,2; \\ \mathrm{х}=4,8:12; \\ \mathrm{х}=0,4. \end{gathered}$$

Ответ: 0,4

$$\begin{gathered} \mathrm{б}) 7,8\mathrm{у}–(5,6\mathrm{у}+10,6)=3,7; \\ 7,8\mathrm{у}–5,6\mathrm{у}–10,6=3,7; \\ 2,2\mathrm{у}–10,6=3,7; \\ 2,2\mathrm{у}=3,7+10,6; \\ 2,2\mathrm{у}=14,3; \\ \mathrm{у}=14,3:2,2; \\ \mathrm{у}=143:22; \\ \mathrm{у}= 6,5. \end{gathered}$$

Ответ: 6,5.

$$\begin{gathered} \mathrm{в}) (8,3–\mathrm{z})·4,9=5,88; \\ 8,3–\mathrm{z}=5,88:4,9; \\ 8,3–\mathrm{z}=58,8:49; \\ 8,3–\mathrm{z}=1,2; \\ \mathrm{z}=8,3–1,2; \\ \mathrm{z}=7,1. \end{gathered}$$

Ответ: 7,1.

$$\begin{gathered} \mathrm{г}) (11,2–\mathrm{p})·4,5=31,5; \\ 11,2–\mathrm{p}=31,5:4,5; \\ 11,2–\mathrm{p}=315:45; \\ 11,2–\mathrm{p}=7; \\ \mathrm{p}=11,2–7; \\ \mathrm{p} = 4,2. \end{gathered}$$

Ответ: 4,2.

а) $4,1x - 2,9x + 7,5 = 7,98$

Сначала приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$(4,1 - 2,9)x + 7,5 = 7,98$

$1,2x + 7,5 = 7,98$

Далее, перенесем число $7,5$ в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный:

$1,2x = 7,98 - 7,5$

$1,2x = 0,48$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на $1,2$:

$x = \frac{0,48}{1,2}$

$x = 0,4$

Ответ: $x = 0,4$.

б) $7,8y - (5,6y + 10,6) = 3,7$

Раскроем скобки. Так как перед скобками стоит знак минус, все знаки внутри скобок меняются на противоположные:

$7,8y - 5,6y - 10,6 = 3,7$

Приведем подобные слагаемые с переменной $y$:

$(7,8 - 5,6)y - 10,6 = 3,7$

$2,2y - 10,6 = 3,7$

Перенесем число $-10,6$ в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$2,2y = 3,7 + 10,6$

$2,2y = 14,3$

Чтобы найти $y$, разделим обе части уравнения на $2,2$:

$y = \frac{14,3}{2,2}$

$y = \frac{143}{22}$

$y = 6,5$

Ответ: $y = 6,5$.

в) $(8,3 - z) \cdot 4,9 = 5,88$

В данном уравнении выражение в скобках $(8,3 - z)$ является неизвестным множителем. Чтобы его найти, нужно произведение ($5,88$) разделить на известный множитель ($4,9$):

$8,3 - z = \frac{5,88}{4,9}$

$8,3 - z = 1,2$

Теперь $z$ является неизвестным вычитаемым. Чтобы его найти, нужно из уменьшаемого ($8,3$) вычесть разность ($1,2$):

$z = 8,3 - 1,2$

$z = 7,1$

Ответ: $z = 7,1$.

г) $(11,2 - p) \cdot 4,5 = 31,5$

Выражение в скобках $(11,2 - p)$ является неизвестным множителем. Найдем его, разделив произведение ($31,5$) на известный множитель ($4,5$):

$11,2 - p = \frac{31,5}{4,5}$

$11,2 - p = \frac{315}{45}$

$11,2 - p = 7$

Теперь $p$ является неизвестным вычитаемым. Чтобы его найти, нужно из уменьшаемого ($11,2$) вычесть разность ($7$):

$p = 11,2 - 7$

$p = 4,2$

Ответ: $p = 4,2$.

4.38. Какое число противоположно числу:

–348; 2145; –171; 53; 5; –1; 1; –9,3; –19,6; 0,7; – 49; 51113; –114; 116?

4.38

-348 и 348;
2145 и -2145;
-171 и 171;
53 и -53;
5 и -5;
-1 и 1;
1 и -1;
-9,3 и 9,3;
-19,6 и 19,6;
0,7 и -0,7;
$-\frac{4}{9}$ и $\frac{4}{9}$;
$5\frac{11}{13}$ и $- 5\frac{11}{13}$;
$- 1\frac{1}{4}$и $1\frac{1}{4}$;
$\frac{1}{16}$ и $-\frac{1}{16}$.

Противоположными числами называют два числа, которые отличаются друг от друга только знаком. Сумма противоположных чисел всегда равна нулю. Чтобы найти число, противоположное данному, необходимо изменить его знак на противоположный (плюс на минус, а минус на плюс). Число 0 противоположно самому себе.

-348: Число $-348$ является отрицательным. Чтобы найти противоположное ему число, нужно изменить его знак на положительный.
Ответ: $348$.

2145: Число $2145$ является положительным. Противоположное ему число будет отрицательным.
Ответ: $-2145$.

-171: Противоположным для отрицательного числа $-171$ является положительное число $171$.
Ответ: $171$.

53: Противоположным для положительного числа $53$ является отрицательное число $-53$.
Ответ: $-53$.

5: Противоположным для положительного числа $5$ является отрицательное число $-5$.
Ответ: $-5$.

-1: Противоположным для отрицательного числа $-1$ является положительное число $1$.
Ответ: $1$.

1: Противоположным для положительного числа $1$ является отрицательное число $-1$.
Ответ: $-1$.

-9,3: Противоположным для отрицательной десятичной дроби $-9,3$ является положительная дробь $9,3$.
Ответ: $9,3$.

-19,6: Противоположным для отрицательной десятичной дроби $-19,6$ является положительная дробь $19,6$.
Ответ: $19,6$.

0,7: Противоположным для положительной десятичной дроби $0,7$ является отрицательная дробь $-0,7$.
Ответ: $-0,7$.

-4/9: Противоположным для отрицательной обыкновенной дроби $-\frac{4}{9}$ является положительная дробь $\frac{4}{9}$.
Ответ: $\frac{4}{9}$.

5 11/13: Противоположным для положительного смешанного числа $5\frac{11}{13}$ является отрицательное смешанное число $-5\frac{11}{13}$.
Ответ: $-5\frac{11}{13}$.

-1 1/4: Противоположным для отрицательного смешанного числа $-1\frac{1}{4}$ является положительное смешанное число $1\frac{1}{4}$.
Ответ: $1\frac{1}{4}$.

1/16: Противоположным для положительной обыкновенной дроби $\frac{1}{16}$ является отрицательная дробь $-\frac{1}{16}$.
Ответ: $-\frac{1}{16}$.

4.39. Какое число должно стоять вместо знака вопроса, чтобы получилось верное равенство:

а) –(–21) = ?; б) 4,7 = –?; в) –(–13,2) = ?; г) 49 = –?; д) –(– 919) = ?; е) 16713 = ??

4.39

а) –(-21) = 21;

б) 4,7 = -(-4,7);

в) –(-13,2) = 13,2;

г) 49 = -(-49);

д) $-\left(-\frac{9}{19}\right)$ = $\frac{9}{19}$;

е) $16\frac{7}{13}$ = $-\left(-16\frac{7}{13}\right)$.

а) В выражении $-(-21)$ мы ищем число, противоположное числу $-21$. Число, противоположное отрицательному числу, является соответствующим ему положительным числом. Это основано на правиле: минус на минус дает плюс.
$-(-21) = 21$.
Ответ: $21$.

б) В равенстве $4,7 = -?$ нам нужно найти число, которое, будучи взятым со знаком минус, даст $4,7$. Это означает, что мы ищем число $x$, для которого $4,7 = -x$. Умножив обе части на $-1$, получим $x = -4,7$. Таким образом, искомое число — это $-4,7$, а само равенство имеет вид $4,7 = -(-4,7)$.
Ответ: $-4,7$.

в) Аналогично пункту а), мы находим число, противоположное $-13,2$.
$-(-13,2) = 13,2$.
Ответ: $13,2$.

г) Аналогично пункту б), мы ищем число, противоположное которому равно $49$. Если $49 = -x$, то $x = -49$. Равенство принимает вид $49 = -(-49)$.
Ответ: $-49$.

д) В данном выражении мы ищем число, противоположное отрицательной дроби $-\frac{9}{19}$.
$-( - \frac{9}{19} ) = \frac{9}{19}$.
Ответ: $\frac{9}{19}$.

е) В равенстве $16\frac{7}{13} = \text{??}$ для того, чтобы оно было верным, число справа должно быть равно числу слева. Несмотря на возможное наличие опечатки в задании (исходя из контекста других пунктов), единственным числом, которое можно подставить вместо знаков вопроса для получения верного равенства, является само число $16\frac{7}{13}$.
$16\frac{7}{13} = 16\frac{7}{13}$.
Ответ: $16\frac{7}{13}$.

4.40. Чему равно значение выражения:

а) –n, если n = 2; n = –16; n = 0;

б) а, если –а = 38; –а = –17; –а = 1,7; –а = –14,5; –а = 230; –а = –140; –а = 911; –а = – 1417; –а = 534;

в) –(–m), если m = 41; m = –3,6; m = 0; m = –2935; m = 89?

4.40

а) если n = 2, то -n = -2
если n = -16, то -n = -(-16) = 16
если n = 0, то -n = 0.

б) если -а = 38, то а = -38
если -а = -17, то а = 17
если -а = 1,7, то а = -1,7
если -а = -14,5, то а = 14,5
если -а = 230, то а = -230
если -а = -140, то а = 140
если -а = $\frac{9}{11}$, то а = $-\frac{9}{11}$
если -а = $-\frac{14}{17}$, то а = $\frac{14}{17}$
если -а = $5\frac{3}{4}$, то а = $-5\frac{3}{4}$

в) если m = 41, то –(-m) = m = 41
если m = -3,6, то –(-m) = m = -3,6
если m = 0, то –(-m) = m = 0
если m = $-2\frac{9}{35}$, то –(-m) = m = $-2\frac{9}{35}$
если m = $\frac{8}{9}$, то –(-m) = m = $\frac{8}{9}$.

а) Чтобы найти значение выражения $-n$, необходимо подставить в него заданные значения переменной $n$ и взять противоположное им число.

• Если $n = 2$, то значение выражения $-n$ равно $-(2) = -2$.

• Если $n = -16$, то значение выражения $-n$ равно $-(-16) = 16$.

• Если $n = 0$, то значение выражения $-n$ равно $-(0) = 0$, так как ноль противоположен сам себе.

Ответ: -2; 16; 0.

б) В данном задании требуется найти значение переменной $a$, зная значение выражения $-a$. Число $a$ является противоположным числу $-a$. Чтобы найти $a$, нужно изменить знак известного значения на противоположный.

• Если $-a = 38$, то $a = -38$.

• Если $-a = -17$, то $a = -(-17) = 17$.

• Если $-a = 1,7$, то $a = -1,7$.

• Если $-a = -14,5$, то $a = -(-14,5) = 14,5$.

• Если $-a = 230$, то $a = -230$.

• Если $-a = -140$, то $a = -(-140) = 140$.

• Если $-a = \frac{9}{11}$, то $a = -\frac{9}{11}$.

• Если $-a = -\frac{14}{17}$, то $a = -(-\frac{14}{17}) = \frac{14}{17}$.

• Если $-a = 5\frac{3}{4}$, то $a = -5\frac{3}{4}$.

Ответ: -38; 17; -1,7; 14,5; -230; 140; $-\frac{9}{11}$; $\frac{14}{17}$; $-5\frac{3}{4}$.

в) Сначала упростим выражение $-(-m)$. Число, противоположное противоположному числу $m$, является самим числом $m$. Математически это записывается как $-(-m) = m$. Следовательно, значение выражения $-(-m)$ всегда будет равно значению $m$.

• Если $m = 41$, то $-(-m) = m = 41$.

• Если $m = -3,6$, то $-(-m) = m = -3,6$.

• Если $m = 0$, то $-(-m) = m = 0$.

• Если $m = -2\frac{9}{35}$, то $-(-m) = m = -2\frac{9}{35}$.

• Если $m = \frac{8}{9}$, то $-(-m) = m = \frac{8}{9}$.

Ответ: 41; -3,6; 0; $-2\frac{9}{35}$; $\frac{8}{9}$.

4.41. Запишите координаты точек М, N, Р, D и К (рис. 4.17).

4.41

N(-5,5), K(-2), P(0,5), M(2), D(6,25)

Для того чтобы определить координаты точек, изображенных на числовой оси, необходимо сначала найти цену одного деления (масштаб оси).

На оси отмечены две точки с известными координатами: -4 и 4. Найдем расстояние между этими точками. Оно равно $4 - (-4) = 4 + 4 = 8$.

Теперь посчитаем количество делений (интервалов) между отметками -4 и 4. Между ними 8 интервалов.

Чтобы найти цену одного деления, разделим расстояние на количество интервалов: $8 \div 8 = 1$. Таким образом, каждое деление на оси соответствует 1 единице.

Теперь, зная масштаб, мы можем определить координаты каждой из указанных точек.

Координата точки M

Точка M находится на 2 деления левее точки с координатой 4. Чтобы найти ее координату, нужно от 4 отнять 2 единицы: $4 - 2 = 2$.

Ответ: M(2)

Координата точки N

Точка N находится на 2 деления левее точки с координатой -4. Чтобы найти ее координату, нужно от -4 отнять 2 единицы: $-4 - 2 = -6$.

Ответ: N(-6)

Координата точки P

Точка P находится на 4 деления правее точки с координатой -4. Чтобы найти ее координату, нужно к -4 прибавить 4 единицы: $-4 + 4 = 0$. Точка P является началом отсчета.

Ответ: P(0)

Координата точки D

Точка D находится на 3 деления правее точки с координатой 4. Чтобы найти ее координату, нужно к 4 прибавить 3 единицы: $4 + 3 = 7$.

Ответ: D(7)

Координата точки K

Точка K находится на 2 деления правее точки с координатой -4. Чтобы найти ее координату, нужно к -4 прибавить 2 единицы: $-4 + 2 = -2$.

Ответ: K(-2)

4.42. Назовите такое число х, чтобы число (–х) было:

а) положительное; б) нуль; в) отрицательное.

4.42

а) х = - 15, тогда – х = 15

б) х = 0, тогда – х = 0

в) х = 15, тогда – х = -15.

а) положительное;

Чтобы число $(-x)$ было положительным, оно должно быть больше нуля. Запишем это в виде неравенства:

$-x > 0$

Чтобы решить это неравенство относительно $x$, умножим обе его части на $-1$. При умножении неравенства на отрицательное число его знак меняется на противоположный:

$(-x) \cdot (-1) < 0 \cdot (-1)$

$x < 0$

Это означает, что $x$ должен быть любым отрицательным числом. Например, если взять $x = -5$, то $-x = -(-5) = 5$, а 5 — положительное число.

Ответ: любое отрицательное число (например, -5).

б) нуль;

Чтобы число $(-x)$ было равно нулю, нужно решить уравнение:

$-x = 0$

Умножив обе части уравнения на $-1$, получим:

$x = 0$

Единственное число, которое удовлетворяет этому условию, — это ноль.

Ответ: 0.

в) отрицательное.

Чтобы число $(-x)$ было отрицательным, оно должно быть меньше нуля. Запишем это в виде неравенства:

$-x < 0$

Умножим обе части неравенства на $-1$ и поменяем знак неравенства на противоположный:

$(-x) \cdot (-1) > 0 \cdot (-1)$

$x > 0$

Это означает, что $x$ должен быть любым положительным числом. Например, если взять $x = 8$, то $-x = -(8) = -8$, а -8 — отрицательное число.

Ответ: любое положительное число (например, 8).

4.43. Заполните таблицу. Отметьте эти числа на координатной прямой.

4.43

Заполните таблицу.

Чтобы заполнить таблицу, необходимо для каждого известного значения найти ему противоположное. Если в столбце дано число $x$, мы находим $-x$. Если дано число $-x$, мы находим $x$. Противоположные числа — это числа, которые отличаются только знаком. Например, противоположным числу 5 является -5, а противоположным числу -5 является $-(-5) = 5$.

Выполним вычисления для каждого столбца с пропущенным значением:

• Если $x = 3$, то $-x = -3$.
• Если $-x = 4$, то $x = -4$.
• Если $x = 9$, то $-x = -9$.
• Если $-x = 7,5$, то $x = -7,5$.
• Если $x = -5$, то $-x = -(-5) = 5$.
• Если $-x = 1\frac{1}{2}$, то $x = -1\frac{1}{2}$.
• Если $x = 2\frac{3}{4}$, то $-x = -2\frac{3}{4}$.
• Если $-x = -6$, то $x = -(-6) = 6$.
• Если $x = 0$, то $-x = -0 = 0$.
• Если $-x = -1$, то $x = -(-1) = 1$.
• Если $x = \frac{1}{4}$, то $-x = -\frac{1}{4}$.
• Если $-x = -\frac{3}{4}$, то $x = -(-\frac{3}{4}) = \frac{3}{4}$.
• Если $x = -10$, то $-x = -(-10) = 10$.

Ответ:

Отметьте эти числа на координатной прямой.

Для выполнения этой части задания начертим координатную прямую и отметим на ней все числа из заполненной таблицы. Список всех чисел для отметки на прямой: $0, \pm\frac{1}{4}, \pm\frac{3}{4}, \pm1, \pm1\frac{1}{2}, \pm2\frac{3}{4}, \pm3, \pm4, \pm5, \pm6, \pm7,5, \pm9, \pm10$.

Ответ:

4.44. Найдите корень уравнения:

а) –y = 543; б) –z = –41719; в) –n = –41,7.

4.44

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)} –\mathrm{у} = 543; \\ - (-\mathrm{у}) = - 543; \\ \mathrm{у} = -543; \\ \mathrm{Ответ}: - 543. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{б}\mathbf{)} -\mathrm{z} = -4\frac{17}{19}; \\ -(-\mathrm{z}) = -(-4\frac{17}{19}); \\ \mathrm{z} = 4\frac{17}{19}. \\ \mathrm{Ответ}: 4\frac{17}{19}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{в}\mathbf{)} –\mathrm{n} = -41,7; \\ –(-\mathrm{n}) = -(-41,7); \\ \mathrm{n} = 41,7. \\ \mathrm{Ответ}: 41,7. \end{gathered}$$

а) Дано уравнение $-y = 543$.

Это уравнение вида $-x = a$, где $x$ — неизвестная переменная, а $a$ — некоторое число. Чтобы найти корень такого уравнения, то есть найти значение переменной, нужно обе части уравнения умножить или разделить на $-1$.

Умножим обе части уравнения на $-1$:

$-y \cdot (-1) = 543 \cdot (-1)$

Выполним умножение:

$y = -543$

Выполним проверку, подставив найденное значение $y$ в исходное уравнение:

$-(-543) = 543$

$543 = 543$

Равенство верное, значит, корень найден правильно.

Ответ: $-543$.

б) Дано уравнение $-z = -4\frac{17}{19}$.

Чтобы найти значение переменной $z$, необходимо избавиться от знака "минус" перед ней. Для этого, как и в предыдущем случае, умножим обе части уравнения на $-1$.

$-z \cdot (-1) = -4\frac{17}{19} \cdot (-1)$

При умножении двух отрицательных чисел получается положительное число. Следовательно:

$z = 4\frac{17}{19}$

Выполним проверку:

$-(4\frac{17}{19}) = -4\frac{17}{19}$

$-4\frac{17}{19} = -4\frac{17}{19}$

Равенство верное.

Ответ: $4\frac{17}{19}$.

в) Дано уравнение $-n = -41,7$.

Чтобы найти корень уравнения $n$, умножим обе части данного уравнения на $-1$.

$-n \cdot (-1) = -41,7 \cdot (-1)$

Произведение двух отрицательных чисел положительно, поэтому получаем:

$n = 41,7$

Выполним проверку, подставив найденное значение $n$ в исходное уравнение:

$-(41,7) = -41,7$

$-41,7 = -41,7$

Равенство верное, корень найден правильно.

Ответ: $41,7$.