Страница 23, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

1.65. Длина прямоугольного параллелепипеда равна 60 см, его высота составляет 120 % длины, а ширина составляет 50 % высоты. Найдите объём параллелепипеда.

1.65

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{120·60}{100}=\frac{12·6}{1}=72$ (см) – высота;

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{50·72}{100}=\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{50}}}·72}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{100}}}}=\frac{1·72}{2}=36$ (см) – ширина;

$\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{ }V = 72 · 36 · 60 = 72 \stackrel{1}{· }60 \stackrel{2}{· }36 =155 520 с{м}^3$

1.

2.

Ответ: $155 520 с{м}^3$

Для решения задачи необходимо последовательно найти все три измерения прямоугольного параллелепипеда — длину, ширину и высоту, а затем вычислить его объём.

Согласно условию, длина параллелепипеда $l$ равна 60 см.

Высота $h$ составляет 120% от длины. Чтобы найти процент от числа, нужно представить проценты в виде десятичной дроби (разделив на 100) и умножить на это число.

$120\% = \frac{120}{100} = 1.2$

Находим высоту:

$h = l \cdot 1.2 = 60 \text{ см} \cdot 1.2 = 72 \text{ см}$

Далее, ширина $w$ составляет 50% от высоты. Аналогично находим значение ширины.

$50\% = \frac{50}{100} = 0.5$

Находим ширину:

$w = h \cdot 0.5 = 72 \text{ см} \cdot 0.5 = 36 \text{ см}$

Теперь, когда известны все три измерения, мы можем найти объём параллелепипеда $V$ по формуле:

$V = l \cdot w \cdot h$

Подставляем найденные значения:

$V = 60 \text{ см} \cdot 36 \text{ см} \cdot 72 \text{ см} = 155520 \text{ см}^3$

Ответ: $155520 \text{ см}^3$.

1.66. Вычислите.

1.66

$\mathbf{а}\mathbf{)} 0,5 · 4 = 2;$

$$\begin{gathered} 2 : 0,1 = 20 : 1 = 20; \\ 20 – 0,8 = 19,2; \\ 19,2 : 30 = 0,64. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} 7,2 : 0,1 = 72 : 1 = 72; \\ 72 : 7,2 = 720 : 72 = 10; \\ 10 · 0,36 = 3,6; \\ 3,6 + 0,7 = 4,3. \end{gathered}$$

$\mathbf{в}\mathbf{)} 57 · 0,1 = 5,7;$

$1,9 + 4,4 = 6,3;$

$6,3 : 0,9 = 63 : 9 = 7.$

$$\begin{gathered} \mathbf{г}\mathbf{)} 4,4 : 11 = 0,4; \\ 0,4 : 0,1 = 4 : 1 = 4; \\ 4 · 0,25 = 1; \end{gathered}$$

$1 : 20 = 0,05.$

а)

Решим пример по действиям, выполняя операции последовательно сверху вниз:

1) Первое действие - умножение: $0,5 \cdot 4 = 2$

2) Второе действие - деление: $2 : 0,1$. Чтобы разделить на десятичную дробь, мы можем умножить и делимое, и делитель на 10, чтобы делитель стал целым числом: $20 : 1 = 20$.

3) Третье действие - вычитание: $20 - 0,8 = 19,2$.

4) Четвертое действие - деление: $19,2 : 30$. Это можно записать как $\frac{19,2}{30} = \frac{192}{300}$. Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 3: $\frac{64}{100} = 0,64$.

Ответ: 0,64

б)

Решим пример по действиям, выполняя операции последовательно сверху вниз:

1) Первое действие - деление: $7,2 : 0,1$. Умножим делимое и делитель на 10: $72 : 1 = 72$.

2) Второе действие - деление: $72 : 7,2$. Умножим делимое и делитель на 10: $720 : 72 = 10$.

3) Третье действие - умножение: $10 \cdot 0,36 = 3,6$.

4) Четвертое действие - сложение: $3,6 + 0,7 = 4,3$.

Ответ: 4,3

в)

Решим пример по действиям, выполняя операции последовательно сверху вниз:

1) Первое действие - умножение: $57 \cdot 0,1 = 5,7$.

2) Второе действие - деление: $5,7 : 3$. Можно разделить 57 на 3, а затем поставить запятую: $57 : 3 = 19$, значит $5,7 : 3 = 1,9$.

3) Третье действие - сложение: $1,9 + 4,4 = 6,3$.

4) Четвертое действие - деление: $6,3 : 0,9$. Умножим делимое и делитель на 10: $63 : 9 = 7$.

Ответ: 7

г)

Решим пример по действиям, выполняя операции последовательно сверху вниз:

1) Первое действие - деление: $4,4 : 11$. Так как $44 : 11 = 4$, то $4,4 : 11 = 0,4$.

2) Второе действие - деление: $0,4 : 0,1$. Умножим делимое и делитель на 10: $4 : 1 = 4$.

3) Третье действие - умножение: $4 \cdot 0,25$. Это то же самое, что взять четверть от четырех, то есть $4 \cdot \frac{1}{4} = 1$.

4) Четвертое действие - деление: $1 : 20$. Это можно записать как дробь $\frac{1}{20}$. Чтобы перевести в десятичную дробь, умножим числитель и знаменатель на 5: $\frac{1 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{5}{100} = 0,05$.

Ответ: 0,05

1.67. Диктант в 6 «А» успешно написали 36 учащихся, а в 6 «Б» — 35 учащихся. Какой класс лучше написал диктант, если в 6 «А» 45 учеников, а в 6 «Б» 40 учеников?

1.67

Кто лучше написал - ?

$\mathbf{1}\mathbf{)} \frac{36}{45}=0,8$ - 6 А ;

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{34}{40}=0,875$ - 6 Б;

$0,875 > 0,8.$

Ответ:6"Б".

Чтобы определить, какой класс написал диктант лучше, нужно найти, какая часть учеников в каждом классе успешно справилась с работой, и сравнить эти части.

1. Найдем долю успешных учеников в 6 «А» классе.
Всего в классе 45 учеников, из них 36 написали диктант успешно. Доля учеников, успешно написавших диктант, составляет дробь $\frac{36}{45}$.
Сократим эту дробь. Наибольший общий делитель для 36 и 45 равен 9.
$\frac{36}{45} = \frac{36 \div 9}{45 \div 9} = \frac{4}{5}$
Таким образом, в 6 «А» классе диктант успешно написали $\frac{4}{5}$ всех учеников.

2. Найдем долю успешных учеников в 6 «Б» классе.
Всего в классе 40 учеников, из них 35 написали диктант успешно. Доля учеников, успешно написавших диктант, составляет дробь $\frac{35}{40}$.
Сократим эту дробь. Наибольший общий делитель для 35 и 40 равен 5.
$\frac{35}{40} = \frac{35 \div 5}{40 \div 5} = \frac{7}{8}$
Таким образом, в 6 «Б» классе диктант успешно написали $\frac{7}{8}$ всех учеников.

3. Сравним полученные дроби.
Нам нужно сравнить дроби $\frac{4}{5}$ и $\frac{7}{8}$. Для этого приведем их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для знаменателей 5 и 8 равно 40.
Приведем дробь $\frac{4}{5}$ к знаменателю 40:
$\frac{4}{5} = \frac{4 \cdot 8}{5 \cdot 8} = \frac{32}{40}$
Приведем дробь $\frac{7}{8}$ к знаменателю 40:
$\frac{7}{8} = \frac{7 \cdot 5}{8 \cdot 5} = \frac{35}{40}$
Теперь сравним дроби $\frac{32}{40}$ и $\frac{35}{40}$. Так как $35 > 32$, то $\frac{35}{40} > \frac{32}{40}$.
Следовательно, $\frac{7}{8} > \frac{4}{5}$.

Поскольку доля учеников, успешно написавших диктант, в 6 «Б» классе больше, чем в 6 «А», то 6 «Б» класс написал диктант лучше.

Ответ: 6 «Б» класс написал диктант лучше.

1.68. Найдите 0,4 числа:

а) 240; б) 900; в) 80; г) 7.

1.68

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} 0,4 · 240 = 96; \\ \mathit{б}\mathbf{)} 0,4 · 900 = 360; \\ \mathit{в}\mathbf{)} 0,4 · 80 = 32; \\ \mathit{г}\mathbf{)} 0,4 · 7 = 2,8. \end{gathered}$$

а)

б)

в)

г)

Чтобы найти часть от числа, выраженную десятичной дробью, нужно это число умножить на данную дробь. В нашем случае, чтобы найти 0,4 от числа, нужно умножить это число на 0,4.

а) Найдём 0,4 от числа 240.
Для этого выполним умножение:
$240 \times 0,4 = 96$
Ответ: 96

б) Найдём 0,4 от числа 900.
Для этого выполним умножение:
$900 \times 0,4 = 360$
Ответ: 360

в) Найдём 0,4 от числа 80.
Для этого выполним умножение:
$80 \times 0,4 = 32$
Ответ: 32

г) Найдём 0,4 от числа 7.
Для этого выполним умножение:
$7 \times 0,4 = 2,8$
Ответ: 2,8

1.69. Ширина прямоугольного параллелепипеда равна 50 см, длина в 1,5 раза больше ширины, а высота составляет 0,3 ширины. Найдите объём параллелепипеда.

1.69

$\mathbf{1}\mathbf{)} 1,5 · 50 = 75$(см) – длина прямоугольного параллелепипеда;

$\mathbf{2}\mathbf{)} 0,3 · 50 = 15$(см) – высота прямоугольного параллелепипеда;

$\mathbf{3}\mathbf{)} \mathrm{V} = 50 \stackrel{1}{·} 75 \stackrel{2}{·} 15 = 56 250 ({\mathrm{см}}^3)$

1.

2.

Ответ: $56 250 {\mathrm{см}}^3.$

Для нахождения объёма прямоугольного параллелепипеда необходимо перемножить его длину, ширину и высоту. Формула для расчёта объёма: $V = a \cdot b \cdot c$, где $a$ — длина, $b$ — ширина, $c$ — высота.

По условию задачи нам даны следующие данные:

• Ширина ($b$) = 50 см
• Длина ($a$) в 1,5 раза больше ширины
• Высота ($c$) составляет 0,3 от ширины

Выполним вычисления по шагам.

1. Найдём длину параллелепипеда

Длина в 1,5 раза больше ширины, поэтому умножим ширину на 1,5:
$a = 50 \text{ см} \cdot 1,5 = 75 \text{ см}$

2. Найдём высоту параллелепипеда

Высота составляет 0,3 от ширины, поэтому умножим ширину на 0,3:
$c = 50 \text{ см} \cdot 0,3 = 15 \text{ см}$

3. Найдём объём параллелепипеда

Теперь, когда у нас есть все три измерения (длина = 75 см, ширина = 50 см, высота = 15 см), мы можем вычислить объём, перемножив их:
$V = a \cdot b \cdot c = 75 \cdot 50 \cdot 15 = 56250 \text{ см}^3$

Ответ: $56250 \text{ см}^3$.

1.70. Переведите в десятичную дробь число:

а) 512; б) 615; в) 318; г) 1125; д) 10150;

1.70

$\mathbf{а}\mathbf{)}\mathbf{ }5\frac{1}{2}=\frac{2·5+1}{2}= \frac{11}{2}= 5,5;$

$\mathbf{б}\mathbf{)}\mathbf{ }6\frac{1}{5} = \frac{31}{5} = 6,2;$

$\mathbf{в}\mathbf{)} 3\frac{1}{8}= \frac{25 }{8}= 3,125;$

$\mathbf{г}\mathbf{)} 1\frac{1}{25}=\frac{26}{25}=1,04$

$\mathbf{д}\mathbf{)} 10\frac{1}{50}=\frac{501}{50}=10,02$

а) Чтобы перевести смешанное число в десятичную дробь, необходимо его дробную часть представить в виде десятичной дроби и прибавить к целой части. Целая часть числа $5\frac{1}{2}$ равна 5, а дробная часть равна $\frac{1}{2}$.

Для перевода дроби $\frac{1}{2}$ в десятичную, приведем ее к знаменателю, равному степени 10 (например, 10, 100, 1000 и т.д.). Умножим числитель и знаменатель дроби на 5, чтобы получить в знаменателе 10:

$\frac{1}{2} = \frac{1 \times 5}{2 \times 5} = \frac{5}{10} = 0.5$

Теперь сложим целую часть и полученную десятичную дробь:

$5 + 0.5 = 5.5$

Ответ: $5.5$

б) В числе $6\frac{1}{5}$ целая часть равна 6, а дробная часть равна $\frac{1}{5}$.

Приведем дробь $\frac{1}{5}$ к знаменателю 10, умножив числитель и знаменатель на 2:

$\frac{1}{5} = \frac{1 \times 2}{5 \times 2} = \frac{2}{10} = 0.2$

Сложим целую часть и десятичную дробь:

$6 + 0.2 = 6.2$

Ответ: $6.2$

в) В числе $3\frac{1}{8}$ целая часть равна 3, а дробная часть равна $\frac{1}{8}$.

Чтобы представить дробь $\frac{1}{8}$ в виде десятичной, нужно привести ее к знаменателю, равному степени 10. Знаменатель 8 ($2^3$) можно привести к 1000 ($10^3$), умножив его на 125 ($5^3$). Умножим числитель и знаменатель дроби на 125:

$\frac{1}{8} = \frac{1 \times 125}{8 \times 125} = \frac{125}{1000} = 0.125$

Сложим целую часть и десятичную дробь:

$3 + 0.125 = 3.125$

Ответ: $3.125$

г) В числе $1\frac{1}{25}$ целая часть равна 1, а дробная часть равна $\frac{1}{25}$.

Приведем дробь $\frac{1}{25}$ к знаменателю 100, умножив числитель и знаменатель на 4:

$\frac{1}{25} = \frac{1 \times 4}{25 \times 4} = \frac{4}{100} = 0.04$

Сложим целую часть и десятичную дробь:

$1 + 0.04 = 1.04$

Ответ: $1.04$

д) В числе $10\frac{1}{50}$ целая часть равна 10, а дробная часть равна $\frac{1}{50}$.

Приведем дробь $\frac{1}{50}$ к знаменателю 100, умножив числитель и знаменатель на 2:

$\frac{1}{50} = \frac{1 \times 2}{50 \times 2} = \frac{2}{100} = 0.02$

Сложим целую часть и десятичную дробь:

$10 + 0.02 = 10.02$

Ответ: $10.02$

1.71. Выполните вычисления. Объясните, почему получается одинаковый ответ.

1.71

$500 : 200 = 2,5$

$2,5 · 0,25 = 0,625$

$0,625 · 100 = 62,5$

$500 · 0,005 = 2,5$

$2,5 : 4 = 0,625$

$0,625 : 0,01 = 62,5 : 1 = 62,5$

Результаты получились одинаковые, т.к. $0,25=\frac{25}{100}=\frac{1}{4}$, т.е. умножить на 0,25 – то же самое, что разделить на 4; при делении на 100 и при умножении на 0,01 запятая переносится на 2 знака вправо.

Выполните вычисления

Для верхней цепочки действий:

1. $500 : 200 = 2,5$

2. $2,5 \cdot 0,25 = 0,625$

3. $0,625 \cdot 100 = 62,5$

Для нижней цепочки действий:

1. $500 \cdot 0,005 = 2,5$

2. $2,5 : 4 = 0,625$

3. $0,625 : 0,01 = 62,5$

Ответ: В результате вычислений по обеим цепочкам получается число 62,5.

Объясните, почему получается одинаковый ответ

Одинаковый ответ получается потому, что обе последовательности операций математически эквивалентны. Чтобы это доказать, представим каждую цепочку в виде единого выражения и найдем итоговый коэффициент, на который умножается исходное число 500.

Для верхней цепочки выражение имеет вид: $(500 : 200) \cdot 0,25 \cdot 100$.

Это то же самое, что умножить 500 на произведение коэффициентов: $500 \cdot (\frac{1}{200} \cdot 0,25 \cdot 100)$.

Рассчитаем общий коэффициент: $\frac{1}{200} \cdot 0,25 \cdot 100 = \frac{25}{200} = \frac{1}{8} = 0,125$.

Таким образом, вся верхняя цепочка сводится к действию: $500 \cdot 0,125 = 62,5$.

Для нижней цепочки выражение имеет вид: $(500 \cdot 0,005) : 4 : 0,01$.

Это то же самое, что умножить 500 на произведение коэффициентов: $500 \cdot (0,005 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{0,01})$.

Рассчитаем общий коэффициент: $0,005 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{0,01} = 0,005 \cdot 0,25 \cdot 100 = 0,005 \cdot 25 = 0,125$.

Таким образом, вся нижняя цепочка также сводится к действию: $500 \cdot 0,125 = 62,5$.

Ответ: Одинаковый ответ получается потому, что обе последовательности математических операций сводятся к умножению исходного числа 500 на один и тот же коэффициент, равный 0,125.

1.72. Выполните действия:

а) 3,0728 + 48,0433 : (9 - 2,195);

б) 101,5898 - 103,1556 : (7,2572 + 7,3128);

в) 687,2 + (75,0602 - 71,7162) : 0,055;

г) 3,05² : 0,61 - 5,25.

1.72

$\mathbf{а}\mathbf{)}\mathbf{ }3,0728 \stackrel{3}{+} 48,0433\stackrel{2}{ :} (9\stackrel{1}{ –} 2,195) = 10,1328;$

1.

2.

3.

$\mathbf{б}\mathbf{)} 101,5898 \stackrel{3}{–} 103,1556\stackrel{2}{ :} (7,2572 \stackrel{1}{+} 7,3128) = 94,5098;$

1.

2.

3.

$\mathbf{в}\mathbf{)}\mathbf{ }687,2 \stackrel{3}{+} (75,0602 \stackrel{1}{–} 71,7162)\stackrel{2}{ :} 0,055 = 748;$

1.

2.

3.

$\mathbf{г}\mathbf{)} 3,{05}^2 : 0,61 – 5,25 = 3,05 \stackrel{1}{·} 3,05\stackrel{2}{ :} 0,61 \stackrel{3}{–} 5,25=10$

1.

2.

3.

а) $3,0728 + 48,0433 : (9 - 2,195)$

Для решения этого примера следуем порядку действий: сначала выполняем действие в скобках, затем деление, и в конце сложение.

1. Выполним вычитание в скобках:

$9 - 2,195 = 6,805$

2. Теперь выполним деление:

$48,0433 : 6,805 = 7,06$

3. Наконец, выполним сложение:

$3,0728 + 7,06 = 10,1328$

Ответ: $10,1328$

б) $101,5898 - 103,1556 : (7,2572 + 7,3128)$

Соблюдаем порядок действий: сначала сложение в скобках, затем деление, и в последнюю очередь вычитание.

1. Выполним сложение в скобках:

$7,2572 + 7,3128 = 14,57$

2. Выполним деление:

$103,1556 : 14,57 = 7,08$

3. Выполним вычитание:

$101,5898 - 7,08 = 94,5098$

Ответ: $94,5098$

в) $687,2 + (75,0602 - 71,7162) : 0,055$

Порядок действий следующий: сначала вычитание в скобках, затем деление, и в конце сложение.

1. Выполним вычитание в скобках:

$75,0602 - 71,7162 = 3,344$

2. Выполним деление:

$3,344 : 0,055 = 60,8$

3. Выполним сложение:

$687,2 + 60,8 = 748$

Ответ: $748$

г) $3,05^2 : 0,61 - 5,25$

Порядок действий следующий: сначала возведение в степень, затем деление, и в конце вычитание.

1. Выполним возведение в квадрат:

$3,05^2 = 3,05 \cdot 3,05 = 9,3025$

2. Выполним деление:

$9,3025 : 0,61 = 15,25$

3. Выполним вычитание:

$15,25 - 5,25 = 10$

Ответ: $10$

1.73. Турист шёл 2 ч по равнине, 1,5 ч поднимался в гору и 2,5 ч спускался с горы. Скорость туриста на равнине в 1,5 раза больше скорости при подъёме в гору, а скорость спуска с горы в 2 раза больше скорости при подъёме в гору. Найдите скорость туриста при подъёме в гору, если его средняя скорость на всём пути 4,75 км/ч.

1.73

$\mathbf{1}\mathbf{)} 2 + 1,5 + 2,5 = 6$(ч) – время движения туриста;

$\mathbf{2}\mathbf{)} 4,75 · 6 = 28,5$(км) – пройденный путь;

Пусть х км/ч – скорость движения в гору, тогда 1,5х км/ч – скорость движения по равнине, 2х км/ч – скорость движения с горы. Зная, что время движения и пройденный путь 28,5 км, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} (2 · 1,5х) + 1,5х + (2,5 · 2х) =28,5; \\ 3х + 1,5х + 5х = 28,5; \\ 9,5х = 28,5; \\ х = 28,5 : 9,5; \\ х = 285 : 95; \end{gathered}$$

$х = 3$км/ч – скорость движения туриста в гору.

Ответ: 3 км/ч.

Для решения задачи обозначим искомую величину — скорость туриста при подъёме в гору — через переменную $x$ (в км/ч).

Согласно условиям задачи, выразим остальные скорости движения туриста через $x$:
- Скорость на равнине в 1,5 раза больше скорости при подъёме, следовательно, она равна $1.5x$ км/ч.
- Скорость спуска с горы в 2 раза больше скорости при подъёме, следовательно, она равна $2x$ км/ч.

Теперь вычислим расстояние, пройденное туристом на каждом из трёх участков пути, по формуле «расстояние = скорость × время» ($S = v \cdot t$):
- Расстояние, пройденное по равнине за 2 часа: $S_1 = 1.5x \cdot 2 = 3x$ км.
- Расстояние, пройденное при подъёме в гору за 1,5 часа: $S_2 = x \cdot 1.5 = 1.5x$ км.
- Расстояние, пройденное при спуске с горы за 2,5 часа: $S_3 = 2x \cdot 2.5 = 5x$ км.

Общее расстояние, которое преодолел турист, равно сумме расстояний на всех участках:
$S_{общ} = S_1 + S_2 + S_3 = 3x + 1.5x + 5x = 9.5x$ км.

Общее время в пути равно сумме времени, затраченного на каждый участок:
$T_{общ} = 2 + 1.5 + 2.5 = 6$ часов.

Средняя скорость на всём пути ($v_{ср}$) определяется как отношение общего расстояния к общему времени:
$v_{ср} = \frac{S_{общ}}{T_{общ}}$

В условии сказано, что средняя скорость туриста составила 4,75 км/ч. Подставим все известные данные в формулу и составим уравнение:
$4.75 = \frac{9.5x}{6}$

Решим полученное уравнение, чтобы найти $x$:
$9.5x = 4.75 \cdot 6$
$9.5x = 28.5$
$x = \frac{28.5}{9.5}$
$x = 3$

Следовательно, скорость туриста при подъёме в гору равна 3 км/ч.

Ответ: 3 км/ч.

1.74. На покупку тетрадей Наташа потратила 415 имевшихся у неё денег. Сколько денег осталось у Наташи, если она потратила 60 р.?

1.74

$\mathbf{1}\mathbf{)} 60:\frac{ 4}{15}=60·\frac{15}{4}=\stackrel{15}{\cancel{60}}·\frac{15}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{4}}}}=$

$= 15 · 15=225$(р.)-было;

$\mathbf{2}\mathbf{)} 225-60=165$(р.)-осталось.

Ответ:165 р.

Для того чтобы узнать, сколько денег осталось у Наташи, нам необходимо сначала выяснить, какая сумма у нее была изначально. После этого мы сможем вычесть потраченную сумму и найти остаток.

1. Находим общую сумму денег, которая была у Наташи.

В условии задачи сказано, что Наташа потратила 60 рублей, и эта сумма составляет $ \frac{4}{15} $ от всех её денег. Чтобы найти целое по его части, нужно число, соответствующее этой части (60 р.), разделить на саму дробь ($ \frac{4}{15} $).

Выполним вычисление:

$ 60 : \frac{4}{15} = 60 \cdot \frac{15}{4} = \frac{60 \cdot 15}{4} $

Сократим 60 и 4 на 4:

$ \frac{15 \cdot 15}{1} = 225 $ рублей.

Таким образом, изначально у Наташи было 225 рублей.

2. Находим, сколько денег осталось у Наташи.

Теперь, зная общую сумму денег и сумму, которую Наташа потратила, мы можем найти остаток. Для этого из общей суммы вычтем потраченную:

$ 225 - 60 = 165 $ рублей.

Альтернативный способ решения:

1. Находим, какая часть денег осталась.

Всю сумму денег можно представить как единицу, или $ \frac{15}{15} $. Наташа потратила $ \frac{4}{15} $ от этой суммы. Чтобы найти оставшуюся часть, вычтем потраченную часть из целого:

$ 1 - \frac{4}{15} = \frac{15}{15} - \frac{4}{15} = \frac{11}{15} $

Значит, у Наташи осталось $ \frac{11}{15} $ от первоначальной суммы.

2. Находим денежный эквивалент оставшейся части.

Мы знаем из первого способа (или можем вычислить заново), что вся сумма составляет 225 рублей. Теперь найдем $ \frac{11}{15} $ от этой суммы:

$ 225 \cdot \frac{11}{15} = \frac{225 \cdot 11}{15} = 15 \cdot 11 = 165 $ рублей.

Ответ: у Наташи осталось 165 рублей.

1.75. В баке автомобиля было 42 л бензина. Во время первой поездки за город было израсходовано 27 всего количества бензина. Во время второй поездки — 35 оставшейся части бензина в баке. Сколько бензина осталось в баке после этих двух поездок?

1.75

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }42·\frac{2}{7}=\stackrel{6}{\cancel{42}}·\frac{2}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{7}}}}=6 · 2=12$(л)- было израсходовано  

во время первой поездки;

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }42-12=30$(л)-осталось после первой поездки;

$\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{ }30·\frac{3}{5}=\stackrel{6}{\cancel{30}}·\frac{3}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{5}}}}=6 · 3=18$(л) - было израсходовано во время второй поездки;

$\mathbf{4}\mathbf{)} 30-18=12$ (л)-осталось после двух поездок.

Ответ:12 л.

Для решения этой задачи необходимо последовательно выполнить несколько действий.

1. Найдем количество бензина, израсходованного во время первой поездки.
В баке было 42 л бензина. Согласно условию, во время первой поездки было израсходовано $\frac{2}{7}$ всего количества. Чтобы найти эту величину, умножим общее количество бензина на данную дробь:
$42 \cdot \frac{2}{7} = \frac{42 \cdot 2}{7} = 6 \cdot 2 = 12$ (л).

2. Определим, сколько бензина осталось в баке после первой поездки.
Для этого из начального количества бензина вычтем то, что было израсходовано:
$42 - 12 = 30$ (л).
Таким образом, после первой поездки в баке осталось 30 л бензина.

3. Найдем количество бензина, израсходованного во время второй поездки.
Во время второй поездки было израсходовано $\frac{3}{5}$ от оставшейся части бензина. После первой поездки осталось 30 л, поэтому найдем $\frac{3}{5}$ от этого числа:
$30 \cdot \frac{3}{5} = \frac{30 \cdot 3}{5} = 6 \cdot 3 = 18$ (л).

4. Вычислим, сколько бензина осталось в баке после двух поездок.
Из количества бензина, которое было в баке перед второй поездкой (30 л), вычтем количество, израсходованное во время нее (18 л):
$30 - 18 = 12$ (л).

Ответ: после этих двух поездок в баке осталось 12 л бензина.

1.76. Найдите значение выражения:

1) (7,3 · 1,5 - 7,31) : 2,8 + 0,7;

2) (27,93 - 4,2 · 5,6) : 2,1 - 0,1.

1.76

$\mathbf{1}\mathbf{)} (7,3\stackrel{1}{·} 1,5 \stackrel{2}{–} 7,31) \stackrel{3}{:} 2,8 \stackrel{4}{+} 0,7 = 2$

1.

2.

3.

4.

$\mathbf{2}\mathbf{)} (27,93 \stackrel{2}{–} 4,2 \stackrel{1}{·} 5,6)\stackrel{3}{ :} 2,1 \stackrel{4}{–} 0,1 = 2$

1.

2.

3.

4. $2,1 – 0,1 = 2$

1)

Вычислим значение выражения $(7,3 \cdot 1,5 - 7,31) : 2,8 + 0,7$ по действиям, соблюдая порядок их выполнения (сначала действия в скобках, затем деление и сложение).
1. Первое действие в скобках — умножение: $7,3 \cdot 1,5 = 10,95$.
2. Второе действие в скобках — вычитание: $10,95 - 7,31 = 3,64$.
3. Третье действие — деление результата из скобок на $2,8$: $3,64 : 2,8 = 1,3$.
4. Четвертое действие — сложение: $1,3 + 0,7 = 2$.
Таким образом, $(7,3 \cdot 1,5 - 7,31) : 2,8 + 0,7 = (10,95 - 7,31) : 2,8 + 0,7 = 3,64 : 2,8 + 0,7 = 1,3 + 0,7 = 2$.
Ответ: 2

2)

Вычислим значение выражения $(27,93 - 4,2 \cdot 5,6) : 2,1 - 0,1$ по действиям, соблюдая порядок их выполнения.
1. Первое действие в скобках — умножение: $4,2 \cdot 5,6 = 23,52$.
2. Второе действие в скобках — вычитание: $27,93 - 23,52 = 4,41$.
3. Третье действие — деление результата из скобок на $2,1$: $4,41 : 2,1 = 2,1$.
4. Четвертое действие — вычитание: $2,1 - 0,1 = 2$.
Таким образом, $(27,93 - 4,2 \cdot 5,6) : 2,1 - 0,1 = (27,93 - 23,52) : 2,1 - 0,1 = 4,41 : 2,1 - 0,1 = 2,1 - 0,1 = 2$.
Ответ: 2

4.86. Грузоподъёмность первого самосвала составляет 47 грузоподъёмности второго самосвала. Чему равна грузоподъёмность второго самосвала, если грузоподъёмность первого равна 12 т?

4.86

$\mathbf{1}\mathbf{)} 12 : \frac{4}{7} = \stackrel{3}{\cancel{12}} · \frac{7}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{4}}}} = 3 · \frac{7}{1} = 21 (\mathrm{т})$ – грузоподъемность второго самосвала.

Ответ: 21 т.

В этой задаче нам известна часть от целого и нужно найти целое. Грузоподъёмность первого самосвала (12 т) — это часть, которая составляет $\frac{4}{7}$ от грузоподъёмности второго самосвала (целое).

Пусть $x$ — грузоподъёмность второго самосвала. Тогда, исходя из условия, мы можем составить следующее уравнение:

$\frac{4}{7} \cdot x = 12$

Чтобы найти целое ($x$), нужно значение части (12) разделить на дробь, которую эта часть составляет ($\frac{4}{7}$):

$x = 12 : \frac{4}{7}$

Чтобы разделить число на дробь, нужно умножить это число на дробь, обратную делителю (то есть на перевёрнутую дробь):

$x = 12 \cdot \frac{7}{4}$

Выполним вычисление:

$x = \frac{12 \cdot 7}{4} = \frac{84}{4} = 21$

Таким образом, грузоподъёмность второго самосвала составляет 21 тонну.

Ответ: 21 т.

4.87. Семья израсходовала за месяц 6 м³ горячей воды, что составило 80 % потребления холодной воды.

а) Какой воды больше израсходовала данная семья: горячей или холодной?
б) Сколько кубометров холодной воды было израсходовано?

4.87

а) семья больше израсходовала холодной воды

б) 6 : 0,8 = 60 : 8 = 7,5 (м³) – израсходовали холодной воды.

Ответ: 7,5 м³.

а) По условию задачи, объем израсходованной горячей воды ($6 \text{ м}^3$) составляет $80\%$ от объема потребления холодной воды. Поскольку $80\%$ меньше, чем $100\%$, это означает, что объем горячей воды меньше, чем объем холодной воды. Следовательно, семья израсходовала больше холодной воды.
Ответ: Холодной воды.

б) Пусть $V_{хв}$ — это объем холодной воды, который израсходовала семья. По условию, объем горячей воды, равный $6 \text{ м}^3$, составляет $80\%$ от $V_{хв}$. Чтобы найти целое ($V_{хв}$) по его части ($6 \text{ м}^3$) и соответствующей ей доле ($80\% = 0.8$), нужно эту часть разделить на долю.

Составим уравнение: $0.8 \cdot V_{хв} = 6$

Найдем $V_{хв}$: $V_{хв} = \frac{6}{0.8} = \frac{60}{8} = 7.5 \text{ м}^3$

Таким образом, семья израсходовала $7.5$ кубометров холодной воды.
Ответ: $7.5 \text{ м}^3$.

4.88. Длина первого участка пути составляет 79 длины второго участка. Чему равна длина всего пути, если второй участок длиннее первого на 36 км?

4.88

Пусть х (км) – второй участок, тогда $\frac{7}{9} х$ (км) – первый участок. Зная, что второй участок на 36 км больше, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} \mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }х - \frac{7}{9} х = 36; \\ \left(1 - \frac{7}{9}\right) х = 36; \\ \left(\frac{9}{9}- \frac{7}{9}\right) х = 36; \\ \frac{2}{9} х = 36; \\ х = 36 : \frac{2}{9}; \\ х = \stackrel{18}{\cancel{36}} · \frac{9}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{2}}}}; \\ х = 18 · \frac{9}{1}; \end{gathered}$$

$\mathrm{х} = 162 \left(\mathrm{км}\right)$ – второй участок;

$\mathbf{2}\mathbf{)} \stackrel{18}{\cancel{162}} · \frac{7}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{9}}}} = 18 · \frac{7}{1} = 126 (\mathrm{км})$ – первый участок;

$\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{ }162 + 126 = 288 (\mathrm{км})$ – весь путь.

Ответ: 288 км.

Для решения этой задачи введем переменную. Пусть длина второго участка пути равна $x$ км.

Согласно условию, длина первого участка составляет $\frac{7}{9}$ от длины второго. Следовательно, длина первого участка равна $\frac{7}{9}x$ км.

В условии также сказано, что второй участок длиннее первого на 36 км. Это можно выразить в виде уравнения, где разница между длиной второго и первого участков равна 36:

$x - \frac{7}{9}x = 36$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $x$. Для этого сначала приведем дроби в левой части к общему знаменателю:

$\frac{9}{9}x - \frac{7}{9}x = 36$

$\frac{2}{9}x = 36$

Чтобы найти $x$, нужно 36 разделить на $\frac{2}{9}$ (или умножить на обратную дробь $\frac{9}{2}$):

$x = 36 \div \frac{2}{9} = 36 \times \frac{9}{2} = 18 \times 9 = 162$

Таким образом, мы нашли длину второго участка — она составляет 162 км.

Теперь, зная длину второго участка, мы можем вычислить длину первого:

Длина первого участка = $\frac{7}{9} \times 162 = 7 \times (162 \div 9) = 7 \times 18 = 126$ км.

Вопрос задачи — найти длину всего пути. Для этого сложим длины первого и второго участков:

Длина всего пути = $126 \text{ км} + 162 \text{ км} = 288 \text{ км}$.

Ответ: 288 км.

4.89. По акции цена на товар была снижена на 15 %. Какова новая цена на товар, если она меньше первоначальной на 180 р.?

4.89

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{180}{15\%} · 100\% = 12 · 100 = 1200 (\mathrm{руб}.)$ – первоначальная цена товара;

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }1200 - 180 = 1020 (руб.)$ – новая цена товара

Ответ: 1020 рублей.

По условию задачи, цена на товар была снижена на 15%. Это означает, что скидка составила 15% от первоначальной цены. Также нам дано, что эта скидка в денежном выражении равна 180 рублям, так как новая цена меньше первоначальной именно на эту сумму.

Пусть $x$ — первоначальная цена товара. Тогда 15% от этой цены можно выразить как $0.15 \cdot x$.

Мы знаем, что эти 15% и есть 180 рублей. Составим и решим уравнение:

$0.15 \cdot x = 180$

Чтобы найти первоначальную цену $x$, разделим 180 на 0.15:

$x = \frac{180}{0.15} = \frac{18000}{15} = 1200$

Таким образом, первоначальная цена товара составляла 1200 рублей.

Теперь найдем новую цену. Для этого нужно из первоначальной цены вычесть сумму скидки:

Новая цена = $1200 \text{ р.} - 180 \text{ р.} = 1020 \text{ р.}$

Ответ: 1020 р.

4.90. Выполните действия

54 · 3,5 + 5,4 · 652,7 + 118,81,1.

4.90

$$\begin{gathered} \frac{54 · 3,5 + 5,4 · 65}{ 2,7} + \frac{118,8}{1,1}= \frac{5,4 · 35 + 5,4 · 65}{ 2,7} + \\ +\frac{1188}{11}= \frac{5,4 · \left(35 + 65\right)}{2,7} + 108 = \frac{5,4 · 100}{2,7} + 108 = \\ = \frac{540}{2,7} + 108 = \frac{5400}{27} + 108 = 200 + 108 = 308. \end{gathered}$$

Для решения данного выражения, необходимо выполнить действия в правильном порядке. Сначала вычислим значение каждой дроби по отдельности, а затем сложим полученные результаты.

$$ \frac{54 \cdot 3,5 + 5,4 \cdot 65}{2,7} + \frac{118,8}{1,1} $$

1. Вычислим значение первой дроби.

Сначала упростим числитель: $54 \cdot 3,5 + 5,4 \cdot 65$.

Можно заметить, что $5,4 = 54 \cdot 0,1$. Используем это для преобразования второго слагаемого: $5,4 \cdot 65 = (54 \cdot 0,1) \cdot 65 = 54 \cdot (0,1 \cdot 65) = 54 \cdot 6,5$.

Теперь числитель выглядит так: $54 \cdot 3,5 + 54 \cdot 6,5$.

Вынесем общий множитель 54 за скобки, используя распределительный закон умножения:

$$ 54 \cdot (3,5 + 6,5) $$

Выполним сложение в скобках:

$$ 3,5 + 6,5 = 10 $$

Теперь умножим результат на 54:

$$ 54 \cdot 10 = 540 $$

Значение числителя равно 540. Теперь разделим его на знаменатель 2,7:

$$ \frac{540}{2,7} $$

Для удобства деления, избавимся от десятичной дроби в знаменателе, умножив и числитель, и знаменатель на 10:

$$ \frac{540 \cdot 10}{2,7 \cdot 10} = \frac{5400}{27} = 200 $$

Таким образом, значение первой дроби равно 200.

2. Вычислим значение второй дроби.

$$ \frac{118,8}{1,1} $$

Также умножим числитель и знаменатель на 10, чтобы работать с целыми числами:

$$ \frac{118,8 \cdot 10}{1,1 \cdot 10} = \frac{1188}{11} $$

Выполним деление:

$$ 1188 \div 11 = 108 $$

Значение второй дроби равно 108.

3. Сложим полученные результаты.

Сложим значения первой и второй дробей:

$$ 200 + 108 = 308 $$

Ответ: 308

1. Модуль отрицательного числа равен:
а) самому числу;
б) нулю;
в) противоположному числу;
г) единице.

Проверочная работа

1.

Ответ: в

Модуль (или абсолютная величина) числа — это его значение без учета знака. Геометрически, это расстояние на координатной прямой от нуля до точки, соответствующей этому числу. Так как расстояние не может быть отрицательным, модуль любого числа является неотрицательной величиной.

Определение модуля числа $a$ (обозначается $|a|$) выглядит так: модуль равен самому числу $a$, если $a$ — положительное число или ноль ($a \ge 0$), и равен противоположному числу $-a$, если $a$ — отрицательное число ($a < 0$).

В данном вопросе речь идет об отрицательном числе. Обозначим его как $x$, где $x < 0$. По определению, его модуль будет равен $|x| = -x$. Число $-x$ является положительным и называется противоположным для $x$.

Проанализируем предложенные варианты ответов:

а) самому числу;

Этот вариант неверен. Модуль отрицательного числа — это всегда положительное число, в то время как само число отрицательно. Например, если взять число -7, его модуль $|-7| = 7$, что не равно -7.

б) нулю;

Этот вариант неверен. Модуль равен нулю только для одного числа — самого нуля ($|0|=0$). Для любого отрицательного числа, которое не равно нулю, его модуль будет строго больше нуля.

в) противоположному числу;

Этот вариант верен. Противоположным для отрицательного числа $x$ является число $-x$. Как мы выяснили из определения, модуль отрицательного числа $x$ как раз и равен $-x$. Например, для числа -15 противоположным будет число 15, и модуль $|-15|$ также равен 15.

г) единице.

Этот вариант неверен. Модуль равен единице только для двух чисел: 1 и -1. Это частный случай, а не общее правило для всех отрицательных чисел. Например, $|-12| = 12$, что не равно 1.

Следовательно, правильный ответ заключается в том, что модуль отрицательного числа равен его противоположному числу.

Ответ: в) противоположному числу;

2. Какое из чисел расположено на координатной прямой ближе к нулю:

а) –3,6 или –3,06; б) –7,8 или 3,6; в) 5,4 или –525; г) – 12 или 0,4?

2.

а) -3,06

б) 3,6

в) одинаково

$\mathrm{т}.\mathrm{к}. {5\frac{2}{5}}^{\overline{)·2}} = 5\frac{4}{10} = 5,4$

г) 0,4

$-\frac{1}{2} = - 0,5$

Чтобы определить, какое из двух чисел расположено на координатной прямой ближе к нулю, необходимо сравнить их модули (абсолютные величины). Число, модуль которого меньше, расположено ближе к нулю. Расстояние от числа a до нуля на координатной прямой равно его модулю $|a|$.

а) Сравним числа -3,6 и -3,06.

Найдем модули этих чисел:

$|-3,6| = 3,6$

$|-3,06| = 3,06$

Сравним полученные модули: $3,06 < 3,6$.

Так как модуль числа -3,06 меньше модуля числа -3,6, то число -3,06 расположено ближе к нулю.

Ответ: -3,06

б) Сравним числа -7,8 и 3,6.

Найдем модули этих чисел:

$|-7,8| = 7,8$

$|3,6| = 3,6$

Сравним полученные модули: $3,6 < 7,8$.

Так как модуль числа 3,6 меньше модуля числа -7,8, то число 3,6 расположено ближе к нулю.

Ответ: 3,6

в) Сравним числа 5,4 и $-5\frac{2}{5}$.

Для удобства сравнения представим смешанную дробь в виде десятичной дроби:

$-5\frac{2}{5} = -5\frac{4}{10} = -5,4$

Теперь найдем модули чисел 5,4 и -5,4:

$|5,4| = 5,4$

$|-5,4| = 5,4$

Сравним полученные модули: $|5,4| = |-5,4|$.

Модули чисел равны, следовательно, эти числа находятся на одинаковом расстоянии от нуля.

Ответ: числа 5,4 и $-5\frac{2}{5}$ находятся на одинаковом расстоянии от нуля.

г) Сравним числа $-\frac{1}{2}$ и 0,4.

Для удобства сравнения представим обыкновенную дробь в виде десятичной дроби:

$-\frac{1}{2} = -0,5$

Теперь найдем модули чисел -0,5 и 0,4:

$|-0,5| = 0,5$

$|0,4| = 0,4$

Сравним полученные модули: $0,4 < 0,5$.

Так как модуль числа 0,4 меньше модуля числа -0,5, то число 0,4 расположено ближе к нулю.

Ответ: 0,4

3. Вычислите, ответ запишите в виде десятичной дроби:

а) |1,5| + |–234|; б) |–0.5| – |25|.

3.

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)} |1,5| + |-2\frac{3}{4}| = 1,5 +{ 2\frac{3}{4}}^{\overline{)·25}} = 1,5 + 2\frac{75}{100} = \\ = 1,5 + 2,75 = 4,25; \end{gathered}$$

$\mathbf{б}\mathbf{)} |-0,5| - \left|\frac{2}{5}\right|= 0,5 -\frac{2}{5} = 0,5 – 0,4 = 0,1.$

а) $|1,5| + |-2\frac{3}{4}|$
Модуль числа (абсолютная величина) — это значение числа без учета его знака. Модуль положительного числа равен самому числу, а модуль отрицательного числа равен противоположному ему положительному числу.
$|1,5| = 1,5$
$|-2\frac{3}{4}| = 2\frac{3}{4}$
Чтобы выполнить сложение и записать ответ в виде десятичной дроби, необходимо перевести смешанное число $2\frac{3}{4}$ в десятичную дробь. Дробная часть $\frac{3}{4}$ равна $0,75$.
$2\frac{3}{4} = 2 + 0,75 = 2,75$
Теперь выполним сложение полученных значений:
$1,5 + 2,75 = 4,25$
Ответ: 4,25

б) $|-0,5| - |\frac{2}{5}|$
Аналогично, находим модули чисел:
$|-0,5| = 0,5$
$|\frac{2}{5}| = \frac{2}{5}$
Для выполнения вычитания переведем обыкновенную дробь $\frac{2}{5}$ в десятичную.
$\frac{2}{5} = \frac{4}{10} = 0,4$
Теперь выполним вычитание:
$0,5 - 0,4 = 0,1$
Ответ: 0,1

4. Запишите все целые числа, модуль которых меньше 7, но больше 3.

4.

числа, модуль которых меньше 7, но больше 3: -6, -5, -4, 4, 5, 6

Пусть $x$ — искомое целое число. По условию, модуль этого числа должен быть меньше 7, но больше 3. Это можно записать в виде двойного неравенства:

$3 < |x| < 7$

Мы ищем целые числа, удовлетворяющие этому неравенству. Так как $x$ — целое число, его модуль $|x|$ также является целым неотрицательным числом.

Найдем, какие целые значения может принимать $|x|$. Это целые числа, которые строго больше 3 и строго меньше 7. Такими числами являются 4, 5 и 6.

Теперь рассмотрим все возможные случаи для $|x|$:

1. Если $|x| = 4$, то это означает, что число $x$ находится на расстоянии 4 единиц от нуля. Таких чисел два: $x = 4$ и $x = -4$.

2. Если $|x| = 5$, то это означает, что число $x$ находится на расстоянии 5 единиц от нуля. Таких чисел два: $x = 5$ и $x = -5$.

3. Если $|x| = 6$, то это означает, что число $x$ находится на расстоянии 6 единиц от нуля. Таких чисел два: $x = 6$ и $x = -6$.

Объединив все найденные решения, получаем полный список целых чисел, удовлетворяющих заданному условию.

Ответ: -6, -5, -4, 4, 5, 6.