Страница 29, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

1.102. Магнитный железняк содержит 0,7 чистого железа. Постройте круговую диаграмму распределения железа и пустой руды в магнитном железняке.

1.102

$0,7 =\frac{ 7}{10}$

$\mathbf{1}\mathbf{)} 360° : 10 = 36°$- приходится на 1 часть;

$\mathbf{2}\mathbf{)} 36° · 7 = 252°$- приходится на чистое железо.

$\mathbf{3}\mathbf{)} 360° - 252° = 108°$– пустой руды в магнитном железняке.

Для построения круговой диаграммы, наглядно представляющей состав магнитного железняка, необходимо выполнить несколько шагов: рассчитать долю каждого компонента, определить соответствующие им углы на диаграмме и затем построить саму диаграмму.

1. Определение долей компонентов

Примем всю массу магнитного железняка за 1. Согласно условию задачи, он содержит 0,7 чистого железа. Это означает, что доля железа составляет 0,7.

Доля железа = $0,7$

Оставшаяся часть руды является пустой породой. Ее доля вычисляется как разница между целым (1) и долей железа:

Доля пустой породы = $1 - 0,7 = 0,3$

Таким образом, магнитный железняк на 70% состоит из чистого железа и на 30% из пустой породы.

2. Расчет углов секторов для диаграммы

Полный круг составляет $360°$. Чтобы найти размер сектора для каждого компонента, умножим его долю на $360°$.

Угол сектора, соответствующего чистому железу:

$\alpha_{железа} = 0,7 \times 360° = 252°$

Угол сектора, соответствующего пустой породе:

$\alpha_{пустой \ породы} = 0,3 \times 360° = 108°$

Для проверки можно сложить полученные углы: $252° + 108° = 360°$, что соответствует полному кругу.

3. Построение круговой диаграммы

Используя вычисленные значения углов, строим круговую диаграмму. Она будет состоять из двух секторов: большого сектора в $252°$, представляющего железо, и малого сектора в $108°$, представляющего пустую породу.

Ответ: Круговая диаграмма, показывающая распределение железа и пустой руды, построена выше. Сектор, представляющий чистое железо, имеет угол $252°$ (70%), а сектор, представляющий пустую породу, — $108°$ (30%).

1.103. Вычислите.

1.103

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} 2 – 0,6 = 1,4; \\ 1,4· 0,3 = 0,42; \\ 0,42 : 6 = 0,07; \\ 0,07 + 0,23 = 0,3. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} 7,5 · 10 = 75; \\ 75 : 50 = 1,5; \\ 1,5 : 5 = 0,3; \\ 0,3 · 0,4 = 0,12. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }0,82 – 0,4 = 0,42; \\ 0,42 : 0,6 = 0,7; \\ 0,7 · 5 = 3,5; \\ 3,5 – 2,5 = 1. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)} 0,25 · 2 = 0,5; \\ 0,5 · 0,6 = 0,3; \\ 0,3 + 3,7 = 4; \\ 4 : 10 = 0,4. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{д}\mathbf{)} 1,17 – 0,93 = 0,24; \\ 0,24 : 0,6 = 0,4; \\ 0,4 + 0,6 = 1; \\ 1 · 1,8 = 1,8. \end{gathered}$$

а) Решим пример, выполняя действия последовательно сверху вниз:

1. Выполним вычитание: $2 - 0,6 = 1,4$.

2. Результат умножим на 0,3: $1,4 \cdot 0,3 = 0,42$.

3. Полученное число разделим на 6: $0,42 : 6 = 0,07$.

4. К результату прибавим 0,23: $0,07 + 0,23 = 0,3$.

Ответ: 0,3

б) Решим пример, выполняя действия последовательно сверху вниз:

1. Выполним умножение: $7,5 \cdot 10 = 75$.

2. Результат разделим на 50: $75 : 50 = 1,5$.

3. Полученное число разделим на 5: $1,5 : 5 = 0,3$.

4. Результат умножим на 0,4: $0,3 \cdot 0,4 = 0,12$.

Ответ: 0,12

в) Решим пример, выполняя действия последовательно сверху вниз:

1. Выполним вычитание: $0,82 - 0,4 = 0,42$.

2. Результат разделим на 0,6: $0,42 : 0,6 = 4,2 : 6 = 0,7$.

3. Полученное число умножим на 5: $0,7 \cdot 5 = 3,5$.

4. Из результата вычтем 2,5: $3,5 - 2,5 = 1$.

Ответ: 1

г) Решим пример, выполняя действия последовательно сверху вниз:

1. Выполним умножение: $0,25 \cdot 2 = 0,5$.

2. Результат умножим на 0,6: $0,5 \cdot 0,6 = 0,3$.

3. К полученному числу прибавим 3,7: $0,3 + 3,7 = 4$.

4. Результат разделим на 10: $4 : 10 = 0,4$.

Ответ: 0,4

д) Решим пример, выполняя действия последовательно сверху вниз:

1. Выполним вычитание: $1,17 - 0,93 = 0,24$.

2. Результат разделим на 0,6: $0,24 : 0,6 = 2,4 : 6 = 0,4$.

3. К полученному числу прибавим 0,6: $0,4 + 0,6 = 1$.

4. Результат умножим на 1,8: $1 \cdot 1,8 = 1,8$.

Ответ: 1,8

1.104. Вычислите:

а) 50 % от 8 ц; 1 мин; 13 см; 180°;

б) 10 % от 1 т; 5000 р.; 10 а; 1 л; 90°.

1.104

$\mathit{а}\mathbf{)} 50\% = \frac{50 \%}{100\%}= 0,5$

$$\begin{gathered} 0,5 · 8 ц = 4 ц; \\ 0,5 · 1 мин = 0,5 мин = 30 с; \\ 0,5 · 13 см = 6,5 см \\ 0,5 · 180° = 90° \end{gathered}$$

$\mathit{б}\mathbf{)} 10\% = \frac{10 \%}{100\%}= 0,1$

$$\begin{gathered} 0,1 · 1 т = 0,1 т = 100 кг \\ 0,1 · 5000 р. = 500 р. \\ 0,1 · 10 а = 1 а \\ 0,1 · 90° = 9° \end{gathered}$$

Для того чтобы найти процент от числа, необходимо перевести проценты в десятичную дробь и умножить исходное число на эту дробь.

а)

Требуется найти 50%. В виде десятичной дроби это 0,5. Это эквивалентно делению числа на 2.

- Найдём 50% от 8 ц (центнеров):
$8 \text{ ц} \cdot 0,5 = 4 \text{ ц}$
Ответ: 4 ц.

- Найдём 50% от 1 мин (минуты):
Сначала переведём минуты в секунды: $1 \text{ мин} = 60 \text{ с}$.
$60 \text{ с} \cdot 0,5 = 30 \text{ с}$
Ответ: 30 с.

- Найдём 50% от 13 см (сантиметров):
$13 \text{ см} \cdot 0,5 = 6,5 \text{ см}$
Ответ: 6,5 см.

- Найдём 50% от 180° (градусов):
$180^\circ \cdot 0,5 = 90^\circ$
Ответ: 90°.

б)

Требуется найти 10%. В виде десятичной дроби это 0,1. Это эквивалентно делению числа на 10.

- Найдём 10% от 1 т (тонны):
Сначала переведём тонны в килограммы: $1 \text{ т} = 1000 \text{ кг}$.
$1000 \text{ кг} \cdot 0,1 = 100 \text{ кг}$
Ответ: 100 кг.

- Найдём 10% от 5000 р. (рублей):
$5000 \text{ р.} \cdot 0,1 = 500 \text{ р.}$
Ответ: 500 р.

- Найдём 10% от 10 а (аров):
$10 \text{ а} \cdot 0,1 = 1 \text{ а}$
Ответ: 1 а.

- Найдём 10% от 1 л (литра):
Сначала переведём литры в миллилитры: $1 \text{ л} = 1000 \text{ мл}$.
$1000 \text{ мл} \cdot 0,1 = 100 \text{ мл}$
Ответ: 100 мл.

- Найдём 10% от 90° (градусов):
$90^\circ \cdot 0,1 = 9^\circ$
Ответ: 9°.

1.105. Найдите, сколько процентов составляют:

а) 8 г от 1 кг;

б) 15 мин от 1 ч;

в) 15 м от 1 км;

г) 300 л от 1 м³;

д) 25 см² от 1 м²;

е) 3 см³ от 1 м³.

1.105

$\mathit{а}\mathbf{)} 1 кг = 1000г$

$\frac{8}{1000}· 100\% = 0,008 · 100\% = 0,8\%;$

$\mathit{б}\mathbf{)} 1 час = 60 мин$

$\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{15}}}}{{\displaystyle \underset{4}{\cancel{60}}}} · 100\% = \frac{1}{4} · 100\% =\frac{100\%}{4} =25\%;$

$\mathit{в}\mathbf{)} 1 км = 1000 м$

$\frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{15}}}}{{\displaystyle \underset{200}{\cancel{1000}}}}· 100\% = \frac{3}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{200}}}}· \stackrel{1}{\cancel{100}}\% =\frac{ 3}{2}· 1\% = 1,5\%;$

$\mathit{г}\mathbf{)} 1 {м}^3 = 1000 л$

$\frac{300}{{\displaystyle \underset{10}{\cancel{1000}}}}·\stackrel{1}{\cancel{100}}\% = \frac{300}{10}· 1\%= 30\%;$

$\mathit{д}\mathbf{)} 1 {м}^{2 }= 10000 с{м}^2$

$\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{25}}}}{{\displaystyle \underset{400}{\cancel{10000}}}}· 100\% = \frac{1}{{\displaystyle \underset{4}{\cancel{400}}}}·\stackrel{1}{ \cancel{100}}\%= \frac{1}{4}· 1\%= 0,25\%;$

$\mathit{е}\mathbf{)} 1 {м}^3 = 1000000 с{м}^3$

$\frac{3}{{\displaystyle \underset{10 000}{\cancel{10 000 000}}}}· \stackrel{1}{\cancel{100}}\% = \frac{3}{10 000}· 1\%=0,0003\%.$

а) Чтобы найти, сколько процентов составляет 8 г от 1 кг, сначала приведем величины к одной единице измерения. В 1 килограмме 1000 граммов ($1 \text{ кг} = 1000 \text{ г}$). Теперь составим пропорцию: разделим 8 г на 1000 г и умножим на 100%, чтобы получить ответ в процентах.
Расчет: $\frac{8 \text{ г}}{1000 \text{ г}} \cdot 100\% = 0.008 \cdot 100\% = 0.8\%$.
Ответ: 0.8%.

б) Чтобы найти, сколько процентов составляет 15 мин от 1 ч, приведем величины к минутам. В 1 часе 60 минут ($1 \text{ ч} = 60 \text{ мин}$).
Теперь разделим 15 мин на 60 мин и умножим на 100%.
Расчет: $\frac{15 \text{ мин}}{60 \text{ мин}} \cdot 100\% = \frac{1}{4} \cdot 100\% = 25\%$.
Ответ: 25%.

в) Чтобы найти, сколько процентов составляет 15 м от 1 км, приведем величины к метрам. В 1 километре 1000 метров ($1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$).
Теперь разделим 15 м на 1000 м и умножим на 100%.
Расчет: $\frac{15 \text{ м}}{1000 \text{ м}} \cdot 100\% = 0.015 \cdot 100\% = 1.5\%$.
Ответ: 1.5%.

г) Чтобы найти, сколько процентов составляет 300 л от 1 м³, приведем величины к одной единице измерения. В 1 кубическом метре 1000 литров ($1 \text{ м}^3 = 1000 \text{ л}$).
Теперь разделим 300 л на 1000 л и умножим на 100%.
Расчет: $\frac{300 \text{ л}}{1000 \text{ л}} \cdot 100\% = 0.3 \cdot 100\% = 30\%$.
Ответ: 30%.

д) Чтобы найти, сколько процентов составляет 25 см² от 1 м², приведем величины к квадратным сантиметрам. В 1 метре 100 сантиметров, значит в 1 квадратном метре $100 \text{ см} \cdot 100 \text{ см} = 10000 \text{ см}^2$.
Теперь разделим 25 см² на 10000 см² и умножим на 100%.
Расчет: $\frac{25 \text{ см}^2}{10000 \text{ см}^2} \cdot 100\% = 0.0025 \cdot 100\% = 0.25\%$.
Ответ: 0.25%.

е) Чтобы найти, сколько процентов составляет 3 см³ от 1 м³, приведем величины к кубическим сантиметрам. В 1 метре 100 сантиметров, значит в 1 кубическом метре $100 \text{ см} \cdot 100 \text{ см} \cdot 100 \text{ см} = 1000000 \text{ см}^3$.
Теперь разделим 3 см³ на 1000000 см³ и умножим на 100%.
Расчет: $\frac{3 \text{ см}^3}{1000000 \text{ см}^3} \cdot 100\% = 0.000003 \cdot 100\% = 0.0003\%$.
Ответ: 0.0003%.

1.106. Найдите число:

а) 10 % которого равны 1; 10; 0,4; 1,8;

б) 25 % которого равны 4; 15; 25; 1,6; 10,3;

в) 1 % которого равен 1; 8; 0,3; 2,4;

г) 0,2 % которого равны 4; 5; 0,8; 1,2.

1.106

$\mathit{а}\mathbf{)} 10\% = \frac{10 \%}{100\%} = 0,1$

$$\begin{gathered} 1 : 0,1 = 10 : 1 = 10 \\ 10 : 0,1 = 100 : 1 = 100 \\ 0,4 : 0,1 = 4 : 1 = 4 \\ 1,8 : 0,1 = 18 : 1 = 18 \end{gathered}$$

$\mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }25\% = \frac{25 \%}{100\%} = 0,25$

$$\begin{gathered} 4 : 0,25 = 400 : 25 = 16 \\ 15 : 0,25 = 1500 : 25 = 60 \\ 25 : 0,25 = 2500 : 25 = 100 \\ 1,6 : 0,25 = 160 : 25 = 6,4 \end{gathered}$$

$10,3 : 0,25 = 1030 : 25 = 41,2$

$\mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }1\% = \frac{1 \%}{100\%}= 0,01$

$$\begin{gathered} 1 : 0,01 = 100 : 1 = 100 \\ 8 : 0,01 = 800 : 1 = 800 \\ 0,3 : 0,01 = 30 : 1 = 30 \\ 2,4 : 0,01 = 24 : 0,1 = 240 \end{gathered}$$

$\mathit{г}\mathbf{)} 0,2\% = \frac{0,2 \%}{100\%}= 0,002$

$$\begin{gathered} 4 : 0,002 = 4000 : 2 = 2000 \\ 5 : 0,002 = 5000 : 2 = 2500 \\ 0,8 : 0,002 = 800 : 2 = 400 \\ 1,2 : 0,002 = 1200 : 2 = 600 \end{gathered}$$

Чтобы найти число по его проценту, необходимо данное значение, которое составляет этот процент, разделить на сам процент, выраженный в виде десятичной дроби. Если искомое число обозначить как $X$, данное значение как $V$, а процент как $p\%$, то формула для нахождения числа будет:
$X = \frac{V}{p / 100}$

а)

Находим число, 10% которого ($10\% = 0,1$) равны заданным значениям. Для этого делим каждое значение на 0,1.

Если 10% равны 1, то число: $1 / 0,1 = 10$.

Если 10% равны 10, то число: $10 / 0,1 = 100$.

Если 10% равны 0,4, то число: $0,4 / 0,1 = 4$.

Если 10% равны 1,8, то число: $1,8 / 0,1 = 18$.

Ответ: 10; 100; 4; 18.

б)

Находим число, 25% которого ($25\% = 0,25$) равны заданным значениям. Для этого делим каждое значение на 0,25.

Если 25% равны 4, то число: $4 / 0,25 = 16$.

Если 25% равны 15, то число: $15 / 0,25 = 60$.

Если 25% равны 25, то число: $25 / 0,25 = 100$.

Если 25% равны 1,6, то число: $1,6 / 0,25 = 6,4$.

Если 25% равны 10,3, то число: $10,3 / 0,25 = 41,2$.

Ответ: 16; 60; 100; 6,4; 41,2.

в)

Находим число, 1% которого ($1\% = 0,01$) равен заданным значениям. Для этого делим каждое значение на 0,01.

Если 1% равен 1, то число: $1 / 0,01 = 100$.

Если 1% равен 8, то число: $8 / 0,01 = 800$.

Если 1% равен 0,3, то число: $0,3 / 0,01 = 30$.

Если 1% равен 2,4, то число: $2,4 / 0,01 = 240$.

Ответ: 100; 800; 30; 240.

г)

Находим число, 0,2% которого ($0,2\% = 0,002$) равны заданным значениям. Для этого делим каждое значение на 0,002.

Если 0,2% равны 4, то число: $4 / 0,002 = 2000$.

Если 0,2% равны 5, то число: $5 / 0,002 = 2500$.

Если 0,2% равны 0,8, то число: $0,8 / 0,002 = 400$.

Если 0,2% равны 1,2, то число: $1,2 / 0,002 = 600$.

Ответ: 2000; 2500; 400; 600.

1.107. Найдите значение выражения:

а) 3813 − 513 + (1539 − 113);

б) (123 − 16)² · 213 : 56.

1.107

$\mathit{а}\mathbf{)} 3\frac{8}{13}\stackrel{2}{-}\frac{5}{13}\stackrel{3}{+}\left(1\frac{5}{39}\stackrel{1}{-}\frac{1}{13}\right)=4\frac{11}{39}$

$1) 1\frac{5}{39}-{\frac{1}{13}}^{\overline{)·3}}=1\frac{5}{39}-\frac{3}{39}=1\frac{2}{39}$

$2) 3\frac{8}{13}-\frac{5}{13}=3\frac{3}{13}$

$3) {3\frac{3}{13}}^{\overline{)·3}}+1\frac{2}{39}=3\frac{9}{39}+1\frac{2}{39}=4\frac{11}{39}$

$\mathit{б}\mathbf{)} {\left(1\frac{2}{3}\stackrel{1}{-}\frac{1}{6}\right)}^{\stackrel{2}{2}}\stackrel{3}{·}2\frac{1}{3}\stackrel{4}{:}\frac{5}{6} = 6,3$

$1) {1\frac{2}{3}}^{\overline{)·2}}-\frac{1}{6}=1\frac{4}{6}-\frac{1}{6}=1\frac{3}{6}=1\frac{1}{2}$

$2) {\left(1\frac{1}{2}\right)}^2=1\frac{1}{2}·1\frac{1}{2}=\frac{3}{2}·\frac{3}{2}=\frac{9}{4}$

$3) \frac{9}{4}·2\frac{1}{3}=\frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{9}}}}{4}·\frac{7}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{3}}}}=\frac{21}{4}$

$4) \frac{21}{4}:\frac{5}{6}=\frac{21}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{4}}}}·\frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{6}}}}{5}=\frac{21}{2}·\frac{3}{5}=\frac{63}{10}=6,3.$

а) $3\frac{8}{13} - \frac{5}{13} + (1\frac{5}{39} - \frac{1}{13})$

Решим выражение по действиям. Сначала выполним вычитание в скобках.

1) Найдем разность в скобках: $1\frac{5}{39} - \frac{1}{13}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 39. Для этого умножим числитель и знаменатель второй дроби на 3: $\frac{1}{13} = \frac{1 \cdot 3}{13 \cdot 3} = \frac{3}{39}$.
Теперь выполним вычитание: $1\frac{5}{39} - \frac{3}{39} = 1\frac{5-3}{39} = 1\frac{2}{39}$.

2) Теперь исходное выражение выглядит так: $3\frac{8}{13} - \frac{5}{13} + 1\frac{2}{39}$.
Выполним действия по порядку слева направо. Сначала вычитание: $3\frac{8}{13} - \frac{5}{13} = 3\frac{8-5}{13} = 3\frac{3}{13}$.

3) Теперь выполним сложение: $3\frac{3}{13} + 1\frac{2}{39}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 39. Для этого умножим числитель и знаменатель первой дроби на 3: $3\frac{3}{13} = 3\frac{3 \cdot 3}{13 \cdot 3} = 3\frac{9}{39}$.
Сложим целые и дробные части: $3\frac{9}{39} + 1\frac{2}{39} = (3+1) + (\frac{9}{39} + \frac{2}{39}) = 4 + \frac{9+2}{39} = 4\frac{11}{39}$.

Ответ: $4\frac{11}{39}$.

б) $(1\frac{2}{3} - \frac{1}{6})^2 \cdot 2\frac{1}{3} : \frac{5}{6}$

Решим выражение по действиям, соблюдая порядок: сначала действия в скобках, затем возведение в степень, и после этого умножение и деление слева направо.

1) Выполним вычитание в скобках: $1\frac{2}{3} - \frac{1}{6}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 6: $1\frac{2}{3} = 1\frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} = 1\frac{4}{6}$.
$1\frac{4}{6} - \frac{1}{6} = 1\frac{4-1}{6} = 1\frac{3}{6}$.
Сократим дробную часть: $1\frac{3}{6} = 1\frac{1}{2}$.

2) Возведем результат в квадрат: $(1\frac{1}{2})^2$.
Переведем смешанное число в неправильную дробь: $1\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2}$.
Возведем в степень: $(\frac{3}{2})^2 = \frac{3^2}{2^2} = \frac{9}{4}$.

3) Теперь выражение выглядит так: $\frac{9}{4} \cdot 2\frac{1}{3} : \frac{5}{6}$.
Выполним умножение: $\frac{9}{4} \cdot 2\frac{1}{3}$.
Переведем смешанное число $2\frac{1}{3}$ в неправильную дробь: $2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$.
$\frac{9}{4} \cdot \frac{7}{3} = \frac{9 \cdot 7}{4 \cdot 3}$. Сократим 9 и 3 на 3: $\frac{3 \cdot 7}{4 \cdot 1} = \frac{21}{4}$.

4) Выполним деление: $\frac{21}{4} : \frac{5}{6}$.
Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь: $\frac{21}{4} \cdot \frac{6}{5} = \frac{21 \cdot 6}{4 \cdot 5}$. Сократим 6 и 4 на 2: $\frac{21 \cdot 3}{2 \cdot 5} = \frac{63}{10}$.

5) Переведем неправильную дробь в смешанное число: $\frac{63}{10} = 6\frac{3}{10}$.

Ответ: $6\frac{3}{10}$.

1.108 Решите уравнение:

а) х + 518 = 1136;

б) 712 − x = 59;

в) 916 · х = 38;

г) х : 734 = 18.

1.108

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} х + \frac{5}{18} =\frac{ 11}{36}; \\ х = \frac{ 11}{36}-{\frac{5}{18}}^{\overline{)·2}}; \\ х = \frac{ 11}{36}-\frac{10}{36}; \\ х = \frac{1}{36}. \end{gathered}$$

Ответ: $\frac{1}{36}.$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} \frac{7}{12}– х = \frac{5}{9}; \\ х={\frac{7}{12}}^{\overline{)·3}}-{\frac{5}{9}}^{\overline{)·4}}; \\ х = \frac{21}{36}-\frac{20}{36}; \\ х=\frac{1}{36}. \end{gathered}$$

Ответ: $\frac{1}{36}.$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)} \frac{9}{16}· х = \frac{3}{8}; \\ х=\frac{3}{8}:\frac{9}{16}; \\ х=\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{3}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{8}}}}·\frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\cancel{16}}}}{{\displaystyle \underset{3}{\cancel{9}}}}; \\ х=\frac{1}{1}·\frac{2}{3}. \\ х=\frac{2}{3}. \end{gathered}$$

Ответ: $\frac{2}{3}.$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }х:\frac{7}{34}=\frac{1}{8}; \\ х=\frac{1}{8}·\frac{7}{34}; \\ х=\frac{1·7}{8·34}; \\ х=\frac{7}{272}. \end{gathered}$$

Ответ: $\frac{7}{272}.$

а) Дано уравнение: $x + \frac{5}{18} = \frac{11}{36}$.
Чтобы найти неизвестное слагаемое $x$, нужно из суммы вычесть известное слагаемое:
$x = \frac{11}{36} - \frac{5}{18}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 36. Для этого домножим числитель и знаменатель второй дроби на 2:
$x = \frac{11}{36} - \frac{5 \cdot 2}{18 \cdot 2} = \frac{11}{36} - \frac{10}{36}$.
Теперь вычтем числители:
$x = \frac{11 - 10}{36} = \frac{1}{36}$.
Ответ: $x = \frac{1}{36}$.

б) Дано уравнение: $\frac{7}{12} - x = \frac{5}{9}$.
Чтобы найти неизвестное вычитаемое $x$, нужно из уменьшаемого вычесть разность:
$x = \frac{7}{12} - \frac{5}{9}$.
Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для 12 и 9 равно 36. Домножим первую дробь на 3, а вторую на 4:
$x = \frac{7 \cdot 3}{12 \cdot 3} - \frac{5 \cdot 4}{9 \cdot 4} = \frac{21}{36} - \frac{20}{36}$.
Выполним вычитание:
$x = \frac{21 - 20}{36} = \frac{1}{36}$.
Ответ: $x = \frac{1}{36}$.

в) Дано уравнение: $\frac{9}{16} \cdot x = \frac{3}{8}$.
Чтобы найти неизвестный множитель $x$, нужно произведение разделить на известный множитель:
$x = \frac{3}{8} : \frac{9}{16}$.
Деление на дробь заменяем умножением на обратную (перевернутую) дробь:
$x = \frac{3}{8} \cdot \frac{16}{9}$.
Сократим дроби перед умножением: числитель 3 и знаменатель 9 делим на 3, а числитель 16 и знаменатель 8 делим на 8.
$x = \frac{3 \cdot 16}{8 \cdot 9} = \frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 3} = \frac{2}{3}$.
Ответ: $x = \frac{2}{3}$.

г) Дано уравнение: $x : \frac{7}{34} = \frac{1}{8}$.
Чтобы найти неизвестное делимое $x$, нужно частное умножить на делитель:
$x = \frac{1}{8} \cdot \frac{7}{34}$.
Перемножим числители и знаменатели дробей:
$x = \frac{1 \cdot 7}{8 \cdot 34} = \frac{7}{272}$.
Дробь $\frac{7}{272}$ является несократимой, так как 7 — простое число, а 272 на 7 не делится.
Ответ: $x = \frac{7}{272}$.

1.109. Углы MNK и KND составляют развёрнутый угол. Каким является угол MNK, если угол KND:

а) острый; б) тупой; в) прямой?

1.109

а) если $\angle$KND острый, то $\angle$ MNK – тупой

б) если $\angle$ KND тупой, то $\angle$ MNK – острый

в) если $\angle$ KND прямой, то $\angle$ MNK – прямой

По условию, углы $MNK$ и $KND$ составляют развёрнутый угол. Это означает, что они являются смежными, и их сумма равна $180^\circ$.

$\angle MNK + \angle KND = 180^\circ$

Из этого соотношения мы можем выразить величину угла $MNK$:

$\angle MNK = 180^\circ - \angle KND$

Теперь рассмотрим каждый случай отдельно.

Если угол $KND$ острый, то его величина находится в пределах $0^\circ < \angle KND < 90^\circ$.
Подставим это неравенство в нашу формулу для угла $MNK$:
$180^\circ - 90^\circ < \angle MNK < 180^\circ - 0^\circ$
$90^\circ < \angle MNK < 180^\circ$
Угол, который больше $90^\circ$, но меньше $180^\circ$, является тупым.
Ответ: тупой.

Если угол $KND$ тупой, то его величина находится в пределах $90^\circ < \angle KND < 180^\circ$.
Тогда для угла $MNK$ получаем:
$180^\circ - 180^\circ < \angle MNK < 180^\circ - 90^\circ$
$0^\circ < \angle MNK < 90^\circ$
Угол, который больше $0^\circ$, но меньше $90^\circ$, является острым.
Ответ: острый.

Если угол $KND$ прямой, то его величина равна ровно $90^\circ$.
$\angle KND = 90^\circ$
Тогда величина угла $MNK$ будет:
$\angle MNK = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$
Угол, равный $90^\circ$, является прямым.
Ответ: прямой.

1.110. Верно ли, что:

а) угол меньший тупого — острый;

б) половина тупого угла — острый угол;

в) угол больший прямого — тупой;

г) сумма градусных мер острых углов больше 90º?

1.110

а) нет, он может быть прямым

б) верно

в) нет, он может быть развернутым

г) неверно, например, $23° + 41° = 64° < 90°$

а) угол меньший тупого — острый;
Тупым называется угол $\beta$, градусная мера которого находится в пределах $90^\circ < \beta < 180^\circ$. Острым называется угол $\alpha$ с мерой $0^\circ < \alpha < 90^\circ$. Утверждение неверно. В качестве контрпримера: пусть тупой угол равен $120^\circ$. Угол в $100^\circ$ меньше него, но является тупым, а не острым. Угол в $90^\circ$ также меньше $120^\circ$, но он прямой. Таким образом, угол, меньший тупого, не обязательно является острым.
Ответ: Неверно.

б) половина тупого угла — острый угол;
Пусть $\beta$ — тупой угол, то есть $90^\circ < \beta < 180^\circ$. Разделив неравенство на 2, получим диапазон для половины этого угла: $\frac{90^\circ}{2} < \frac{\beta}{2} < \frac{180^\circ}{2}$, то есть $45^\circ < \frac{\beta}{2} < 90^\circ$. Любой угол в этом диапазоне по определению является острым (так как его мера меньше $90^\circ$ и больше $0^\circ$). Следовательно, утверждение верно.
Ответ: Верно.

в) угол больший прямого — тупой;
Прямой угол равен $90^\circ$. Тупой угол — это угол, который больше $90^\circ$, но меньше $180^\circ$. Утверждение неверно. Например, развернутый угол, равный $180^\circ$, больше прямого угла, но не является тупым. Углы, большие $180^\circ$ (например, $200^\circ$), также являются контрпримерами, так как они больше прямого угла, но не тупые.
Ответ: Неверно.

г) сумма градусных мер острых углов больше 90°?
Утверждение "сумма градусных мер острых углов больше 90°" следует понимать как "всегда ли эта сумма больше 90°?". В такой трактовке утверждение неверно. Острый угол имеет меру от $0^\circ$ до $90^\circ$. Возьмем в качестве контрпримера два острых угла: $30^\circ$ и $40^\circ$. Их сумма равна $30^\circ + 40^\circ = 70^\circ$, что не больше $90^\circ$. Таким образом, сумма острых углов не всегда больше $90^\circ$.
Ответ: Неверно.

1.111. Найдите градусную меру угла КОТ на рисунке 1.10.

1.111

$\mathit{а}\mathbf{)} \angle KOT = \angle KOM - \angle TOM = 180° - 115° = 65°;$

$\mathit{б}\mathbf{)} \angle KOT = \angle KOM - \angle TOM = 90° - 35° = 55°;$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }\angle KOT = \angle MOP – (\angle MOK + \angle TOP) = \\ = 180° - (45° + 30°) = \\ =180° - 75° = 105° \end{gathered}$$

$\mathit{г}\mathbf{)} \angle TOP = \angle MOP - \angle MOT = 180° - 130° = 50°$

$\angle KOT = \angle KOP - \angle TOP = 140° - 50° = 90°.$

а

Углы $ \angle KOT $ и $ \angle TOM $ являются смежными, так как они имеют общую сторону $OT$, а стороны $OK$ и $OM$ лежат на одной прямой $KM$. Сумма смежных углов равна $180°$.

Следовательно, $ \angle KOT + \angle TOM = 180° $.

Чтобы найти градусную меру угла $ \angle KOT $, нужно из $180°$ вычесть градусную меру известного угла $ \angle TOM $:

$ \angle KOT = 180° - 115° = 65° $

Ответ: $65°$

б

Угол $ \angle KOM $ является прямым, на что указывает символ квадрата в его вершине. Градусная мера прямого угла составляет $90°$.

Луч $OT$ проходит между сторонами угла $ \angle KOM $, разделяя его на два угла: $ \angle KOT $ и $ \angle TOM $. Таким образом, $ \angle KOM = \angle KOT + \angle TOM $.

Чтобы найти градусную меру угла $ \angle KOT $, нужно из градусной меры угла $ \angle KOM $ вычесть градусную меру угла $ \angle TOM $:

$ \angle KOT = 90° - 35° = 55° $

Ответ: $55°$

в

Точки $ M, O, P $ лежат на одной прямой, следовательно, угол $ \angle MOP $ является развернутым, и его градусная мера равна $180°$.

Этот развернутый угол состоит из трех углов: $ \angle MOK $, $ \angle KOT $ и $ \angle TOP $. Значит, их сумма равна $180°$:

$ \angle MOK + \angle KOT + \angle TOP = 180° $

Чтобы найти градусную меру угла $ \angle KOT $, нужно из $180°$ вычесть сумму градусных мер известных углов $ \angle MOK $ и $ \angle TOP $:

$ \angle KOT = 180° - (\angle MOK + \angle TOP) = 180° - (45° + 30°) = 180° - 75° = 105° $

Ответ: $105°$

г

Точки $ M, O, P $ лежат на одной прямой, поэтому угол $ \angle MOP $ является развернутым и равен $180°$.

Углы $ \angle MOT $ и $ \angle POT $ являются смежными, значит их сумма равна $180°$. Найдем градусную меру угла $ \angle MOT $:

$ \angle MOT = 180° - \angle POT = 180° - 140° = 40° $

Из рисунка видно, что угол $ \angle MOK $ складывается из углов $ \angle MOT $ и $ \angle KOT $.

$ \angle MOK = \angle MOT + \angle KOT $

Теперь мы можем найти искомый угол $ \angle KOT $, вычитая из угла $ \angle MOK $ угол $ \angle MOT $:

$ \angle KOT = \angle MOK - \angle MOT = 130° - 40° = 90° $

Ответ: $90°$

4.124. Объясните смысл предложения.

а) «Изменение длины равно t км», если t = –15; t = 13,2; t = –5,2.

б) «Изменение высоты дерева равно а см», если а = 32; а = –70; а = 0.

4.124

а) t = -15 – длина уменьшилась на 15 км
t = 13,2 – длина увеличилась на 13,2 км
t = -5,2 – длина уменьшилась на 5,2 км

б) а = 32 – длина увеличилась на 32 см
а = -70 – длина уменьшилась на 70 см
а = 0 – длина не изменилась

а)

В данном контексте "изменение длины" — это величина, которая показывает, на сколько километров изменилась первоначальная длина. Эта величина, обозначенная как $t$, может быть положительной, отрицательной или равной нулю.

• Положительное значение ($t > 0$) означает, что длина увеличилась.
• Отрицательное значение ($t < 0$) означает, что длина уменьшилась.
• Нулевое значение ($t = 0$) означает, что длина не изменилась.

Рассмотрим конкретные значения:

При $t = -15$: фраза «Изменение длины равно -15 км» означает, что длина уменьшилась на 15 км.

При $t = 13,2$: фраза «Изменение длины равно 13,2 км» означает, что длина увеличилась на 13,2 км.

При $t = -5,2$: фраза «Изменение длины равно -5,2 км» означает, что длина уменьшилась на 5,2 км.

Ответ: При $t = -15$ длина уменьшилась на 15 км; при $t = 13,2$ длина увеличилась на 13,2 км; при $t = -5,2$ длина уменьшилась на 5,2 км.

б)

Аналогично, «изменение высоты дерева» — это величина $a$, показывающая, на сколько сантиметров изменилась высота дерева за определенный период.

• Если $a > 0$, это означает, что дерево выросло, то есть его высота увеличилась.
• Если $a < 0$, это означает, что высота дерева уменьшилась (например, если у дерева спилили верхушку или отломилась ветка).
• Если $a = 0$, это означает, что высота дерева осталась прежней.

Рассмотрим конкретные значения:

При $a = 32$: фраза «Изменение высоты дерева равно 32 см» означает, что дерево выросло на 32 см.

При $a = -70$: фраза «Изменение высоты дерева равно -70 см» означает, что высота дерева уменьшилась на 70 см.

При $a = 0$: фраза «Изменение высоты дерева равно 0 см» означает, что высота дерева не изменилась.

Ответ: При $a = 32$ высота дерева увеличилась на 32 см; при $a = -70$ высота дерева уменьшилась на 70 см; при $a = 0$ высота дерева не изменилась.

4.125. Изменение цены товара равно с р. Чему равно с, если цена товара:

а) понизилась на 7 р.;
б) повысилась на 1,1 р.;
в) повысилась на 20 р.;
г) понизилась на 1,5 р.?

4.125

а) с = -7 р.

б) с = 1,1 р.

в) с = 20 р.

г) с = -1,5 р.

В данной задаче переменная $c$ обозначает изменение цены товара. В математике принято считать изменение величины положительным числом, если она увеличивается, и отрицательным, если уменьшается. Таким образом, повышение цены мы будем обозначать знаком «+» (который можно опускать), а понижение — знаком «–».

а) Цена товара понизилась на 7 р. Поскольку произошло понижение, изменение цены $c$ будет отрицательным.
$c = -7$
Ответ: $c = -7$

б) Цена товара повысилась на 1,1 р. Поскольку произошло повышение, изменение цены $c$ будет положительным.
$c = 1,1$
Ответ: $c = 1,1$

в) Цена товара повысилась на 20 р. Поскольку произошло повышение, изменение цены $c$ будет положительным.
$c = 20$
Ответ: $c = 20$

г) Цена товара понизилась на 1,5 р. Поскольку произошло понижение, изменение цены $c$ будет отрицательным.
$c = -1,5$
Ответ: $c = -1,5$

4.126. Изменение массы тела равно а г. Чему равно а, если масса тела:

а) увеличилась на 10 г; б) уменьшилась на 325 г?

4.126

а) а = 10 г

б) а = -325 г

а) Изменение величины (в данном случае массы) — это разница между её конечным и начальным значением. Если масса увеличилась, то изменение положительно.
Пусть начальная масса тела равна $m$ г. После увеличения она стала равной $(m + 10)$ г.
Изменение массы $a$ равно:
$a = (m + 10) - m = 10$ г.
Ответ: $a = 10$.

б) Если масса уменьшилась, то изменение отрицательно.
Пусть начальная масса тела равна $m$ г. После уменьшения она стала равной $(m - 325)$ г.
Изменение массы $a$ равно:
$a = (m - 325) - m = -325$ г.
Ответ: $a = -325$.

4.127. Назовите показания термометров (рис. 4.24). Какую температуру покажет каждый из этих термометров, если температура изменится:

а) на –1 °C; б) на 1 °C; в) на 0,5 °C; г) на –0,5 °C?

4.127

а) термометр показывает -3,5°С
а) -4,5°С; б) -2,5°С; в) -3°С; г) -4°С;

б) термометр показывает -1°С
а) -2°С; б) 0°С; в) -0,5°С; г) -1,5°С;

в) термометр показывает 0°С
а) -1°С; б) 1°С; в) 0,5°С; г) -0,5°С;

г) термометр показывает 2°С
а) 1°С; б) 3°С; в) 2,5°С; г) 1,5°С;

д) термометр показывает 3,5°С
а) 2,5°С; б) 4,5°С; в) 4°С; г) 3°С.

Сначала определим начальные показания каждого термометра. Шкала имеет оцифрованные деления через каждый градус ($1$ °C). Между двумя соседними оцифрованными делениями находится одно малое деление, которое делит градус пополам. Следовательно, цена малого деления составляет $0,5$ °C.

Начальные показания термометров:
Термометр а: $-4$ °C.
Термометр б: $-2$ °C.
Термометр в: $0$ °C.
Термометр г: $1,5$ °C.
Термометр д: $3,5$ °C.

Теперь рассчитаем, какую температуру покажет каждый из термометров после изменения.

а) Если температура изменится на $-1$ °C, то новые показания будут:
Термометр а: $-4 + (-1) = -5$ °C.
Термометр б: $-2 + (-1) = -3$ °C.
Термометр в: $0 + (-1) = -1$ °C.
Термометр г: $1,5 + (-1) = 0,5$ °C.
Термометр д: $3,5 + (-1) = 2,5$ °C.
Ответ: $-5$ °C; $-3$ °C; $-1$ °C; $0,5$ °C; $2,5$ °C.

б) Если температура изменится на $1$ °C, то новые показания будут:
Термометр а: $-4 + 1 = -3$ °C.
Термометр б: $-2 + 1 = -1$ °C.
Термометр в: $0 + 1 = 1$ °C.
Термометр г: $1,5 + 1 = 2,5$ °C.
Термометр д: $3,5 + 1 = 4,5$ °C.
Ответ: $-3$ °C; $-1$ °C; $1$ °C; $2,5$ °C; $4,5$ °C.

в) Если температура изменится на $0,5$ °C, то новые показания будут:
Термометр а: $-4 + 0,5 = -3,5$ °C.
Термометр б: $-2 + 0,5 = -1,5$ °C.
Термометр в: $0 + 0,5 = 0,5$ °C.
Термометр г: $1,5 + 0,5 = 2$ °C.
Термометр д: $3,5 + 0,5 = 4$ °C.
Ответ: $-3,5$ °C; $-1,5$ °C; $0,5$ °C; $2$ °C; $4$ °C.

г) Если температура изменится на $-0,5$ °C, то новые показания будут:
Термометр а: $-4 + (-0,5) = -4,5$ °C.
Термометр б: $-2 + (-0,5) = -2,5$ °C.
Термометр в: $0 + (-0,5) = -0,5$ °C.
Термометр г: $1,5 + (-0,5) = 1$ °C.
Термометр д: $3,5 + (-0,5) = 3$ °C.
Ответ: $-4,5$ °C; $-2,5$ °C; $-0,5$ °C; $1$ °C; $3$ °C.

4.128. На координатной прямой отмечена точка К(3). Отметьте:

а) точку М, в которую при перемещении на 5 перейдёт точка К;
б) точку N, в которую при перемещении на –5 перейдёт точка К;
в) точку Q, в которую при перемещении на –3,5 перейдёт точка К;
г) точку Р, в которую при перемещении на 4,5 перейдёт точка К.

Запишите координаты точек М, N, Q и Р.

4.128

M(8); N(–2); Q(–0,5); P(7,5)

Исходная точка на координатной прямой — K(3), что означает, её координата равна 3. Перемещение точки на некоторое число — это операция сложения этого числа с начальной координатой точки. Если число перемещения положительное, точка сдвигается по оси вправо. Если отрицательное — влево.

а) точку М, в которую при перемещении на 5 перейдёт точка K;

Чтобы найти новую координату точки M, необходимо к начальной координате точки K (равной 3) прибавить величину перемещения, то есть 5. Выполним расчёт: $3 + 5 = 8$. Следовательно, координата точки M равна 8.
Ответ: M(8).

б) точку N, в которую при перемещении на –5 перейдёт точка K;

Чтобы найти координату точки N, к координате точки K (равной 3) прибавляем величину перемещения, равную –5. Выполним расчёт: $3 + (-5) = 3 - 5 = -2$. Следовательно, координата точки N равна -2.
Ответ: N(-2).

в) точку Q, в которую при перемещении на –3,5 перейдёт точка K;

Чтобы найти координату точки Q, к координате точки K (равной 3) прибавляем величину перемещения, равную –3,5. Выполним расчёт: $3 + (-3.5) = 3 - 3.5 = -0.5$. Следовательно, координата точки Q равна -0,5.
Ответ: Q(-0,5).

г) точку P, в которую при перемещении на 4,5 перейдёт точка K.

Чтобы найти координату точки P, к координате точки K (равной 3) прибавляем величину перемещения, равную 4,5. Выполним расчёт: $3 + 4.5 = 7.5$. Следовательно, координата точки P равна 7,5.
Ответ: P(7,5).

4.129. На сколько единиц должна переместиться точка М(8) по координатной прямой, чтобы попасть:

а) в точку N(1); б) в точку А(–3)?

4.129

а) М(8) – N(1)
на -7 единиц

б) М(8) – А(-3)
на -11 единиц

а) Чтобы найти, на сколько единиц должна переместиться точка $M(8)$ по координатной прямой, чтобы попасть в точку $N(1)$, необходимо найти расстояние между этими точками. Расстояние между двумя точками на координатной прямой равно модулю разности их координат.

Координата начальной точки $M$ равна $8$. Координата конечной точки $N$ равна $1$.

Расстояние $MN$ можно вычислить по формуле: $d = |x_2 - x_1|$, где $d$ — расстояние, $x_1$ и $x_2$ — координаты точек.

Подставим наши значения:

$d = |1 - 8| = |-7| = 7$.

Таким образом, точка должна переместиться на 7 единиц. Поскольку координата конечной точки меньше начальной ($1 < 8$), перемещение происходит влево.

Ответ: на 7 единиц.

б) Аналогично, чтобы найти, на сколько единиц должна переместиться точка $M(8)$, чтобы попасть в точку $A(-3)$, найдем расстояние между ними.

Координата начальной точки $M$ равна $8$. Координата конечной точки $A$ равна $-3$.

Используем ту же формулу для расстояния:

$d = |-3 - 8| = |-11| = 11$.

Таким образом, точка должна переместиться на 11 единиц. Поскольку координата конечной точки меньше начальной ($-3 < 8$), перемещение также происходит влево.

Ответ: на 11 единиц.

4.130. С помощью рисунка 4.25 найдите значение х.

4.130

а) | -3 | + | 2 | = 3 + 2 = 5
Ответ: 5.

б) – 1-х=-6;
х = -1 – (-6);
х = -1 + 6;
x = 5.
- х = -5
Ответ: -5.

в) х – 6 = -5;
х = - 5 + 6;
х = 1.
Ответ: 1.

г) -4 + 8 = 4.
Ответ: 4

а

На рисунке показано перемещение из точки с координатой -3 в точку с координатой 2. Стрелка, направленная вправо, и подпись $+x$ означают прибавление числа x. Таким образом, мы можем составить следующее уравнение:

$-3 + x = 2$

Чтобы найти неизвестное слагаемое x, нужно из суммы (2) вычесть известное слагаемое (-3):

$x = 2 - (-3)$

$x = 2 + 3$

$x = 5$

Ответ: $x = 5$.

б

На рисунке показано перемещение из точки -1 в точку -6. Стрелка, направленная влево, и подпись $-x$ означают вычитание числа x. Составим уравнение:

$-1 - x = -6$

Чтобы найти неизвестное вычитаемое x, нужно из уменьшаемого (-1) вычесть разность (-6):

$x = -1 - (-6)$

$x = -1 + 6$

$x = 5$

Ответ: $x = 5$.

в

На рисунке показано перемещение из неизвестной точки x в точку -5. Подпись $-6$ означает, что из начальной координаты вычли 6. Составим уравнение:

$x - 6 = -5$

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое x, нужно к разности (-5) прибавить вычитаемое (6):

$x = -5 + 6$

$x = 1$

Ответ: $x = 1$.

г

На рисунке показано перемещение из точки -4 в неизвестную точку x. Подпись $+8$ означает, что к начальной координате прибавили 8. Составим уравнение:

$-4 + 8 = x$

Чтобы найти x, нужно выполнить сложение в левой части уравнения:

$x = 4$

Ответ: $x = 4$.