Страница 30, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

1.112. а) Постройте угол MNK, градусная мера которого равна 60º. На сторонах угла отложите равные отрезки NB и NC и соедините отрезком точки В и С.

б) Измерьте стороны и углы треугольника CNB и сравните его стороны и углы.

в) Найдите сумму углов и периметр треугольника наиболее удобным способом.

1.112

$\mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }NB = 23 мм; NC = 23 мм; BC = 23 мм$

$\angle BNC = 60°; \angle BCN = 60°; \angle NBC = 60°$

Все углы и стороны равны.

$\mathit{в}\mathbf{)} 3 · 60° = 180°$- сумма углов треугольника;

$Р = 3 · 23 = 69$(мм) – периметр треугольника.

а) Для построения угла и треугольника выполним следующие шаги:

1. Начертим произвольный луч с началом в точке N, например, луч NM.

2. С помощью транспортира от луча NM отложим угол, равный 60°. Для этого приложим центр транспортира к точке N так, чтобы луч NM прошел через отметку 0°. На шкале транспортира найдем отметку 60° и поставим точку K.

3. Проведем луч NK. Мы получили угол $\angle MNK = 60°$.

4. На луче NM отложим отрезок NB произвольной длины. Для этого можно использовать линейку или циркуль. Например, пусть длина NB будет равна 4 см.

5. На луче NK отложим отрезок NC такой же длины, то есть $NC = NB$.

6. Соединим точки B и C отрезком.

В результате этих построений мы получили треугольник CNB.

Ответ: Построен треугольник CNB, в котором по построению угол $\angle CNB = 60°$ и две стороны, образующие этот угол, равны: $NB = NC$.

б) Проведем измерения и сравнение сторон и углов полученного треугольника CNB.

Измерив стороны линейкой, мы получим, что $NB$ и $NC$ равны по построению. Измерив третью сторону BC, мы обнаружим, что ее длина также равна длинам сторон NB и NC. Таким образом, $NB = NC = BC$.

Измерив углы транспортиром, мы получим: $\angle CNB = 60°$ (по построению). Измерив два других угла, мы найдем, что $\angle NBC \approx 60°$ и $\angle NCB \approx 60°$.

Сравнение можно провести и без измерений, основываясь на свойствах треугольников. Так как по построению $NB = NC$, треугольник CNB является равнобедренным с основанием BC. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть $\angle NBC = \angle NCB$. Сумма углов любого треугольника составляет $180°$. Тогда:

$\angle CNB + \angle NBC + \angle NCB = 180°$

$60° + 2 \cdot \angle NBC = 180°$

$2 \cdot \angle NBC = 180° - 60°$

$2 \cdot \angle NBC = 120°$

$\angle NBC = 60°$

Следовательно, все три угла треугольника равны $60°$ ($\angle CNB = \angle NBC = \angle NCB = 60°$). Треугольник, у которого все углы равны, является равносторонним. В равностороннем треугольнике все стороны также равны.

Ответ: Все стороны треугольника $CNB$ равны между собой ($NB = NC = BC$), и все его углы равны между собой ($\angle CNB = \angle NBC = \angle NCB = 60°$).

в) Найдем сумму углов и периметр треугольника CNB наиболее удобным способом.

Сумма углов: Наиболее удобный способ — использовать теорему о сумме углов треугольника, которая утверждает, что сумма внутренних углов любого треугольника всегда равна $180°$. Этот факт не требует измерений и верен для абсолютно любого треугольника.

Периметр: Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон: $P = NB + NC + BC$. Так как из пункта б) мы знаем, что треугольник CNB равносторонний, то есть все его стороны равны ($NB = NC = BC$), наиболее удобный способ найти периметр — это измерить длину одной любой стороны и умножить это значение на 3. Если обозначить длину стороны как $a$, то формула периметра будет $P = 3 \cdot a$.

Ответ: Сумма углов треугольника равна $180°$. Периметр треугольника вычисляется по формуле $P = 3 \cdot a$, где $a$ — длина его стороны.

1.113. Масса масла составляет 4,8% массы молока. Сколько коров необходимо для получения 6 т масла за 10 дней, если каждая корова даёт в среднем 20 кг молока в день?

1.113

$4,8 \% = 4,8 \% : 100\% = 0,048.$

6 т = 6000 кг.

$\mathbf{1}\mathbf{)} 20 · 10 = 200$(кг) – молока даст за 10 дней одна корова;

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }0,048 · 200 = 9,6$(кг) – получится масла из 200 кг молока;

$\mathbf{3}\mathbf{)} 60 000 кг : 96 кг = 625$– коров потребуется.

Ответ: 625 коров.

Для решения задачи необходимо выполнить несколько последовательных вычислений.

1. Найдем общую массу молока, необходимую для производства 6 тонн масла.
Сначала переведем требуемую массу масла из тонн в килограммы, так как производительность коров дана в килограммах:
$M_{масла} = 6 \text{ т} = 6 \times 1000 \text{ кг} = 6000 \text{ кг}$.
По условию, масса масла составляет 4,8% от массы молока. Представим проценты в виде десятичной дроби: $4,8\% = 0,048$.
Пусть $M_{молока}$ — это искомая масса молока. Тогда можно составить пропорцию:
$M_{масла} = 0,048 \times M_{молока}$
Выразим из этой формулы массу молока:
$M_{молока} = \frac{M_{масла}}{0,048} = \frac{6000}{0,048} = 125000 \text{ кг}$.
Таким образом, для получения 6 тонн масла необходимо 125 000 кг молока.

2. Рассчитаем, какое количество молока необходимо получать ежедневно.
Общее количество молока (125 000 кг) требуется получить за 10 дней. Найдем суточную норму производства молока:
$M_{суточная} = \frac{125000 \text{ кг}}{10 \text{ дней}} = 12500 \text{ кг/день}$.

3. Определим необходимое количество коров.
Известно, что одна корова дает в среднем 20 кг молока в день. Чтобы найти общее количество коров, разделим суточную потребность в молоке на производительность одной коровы:
Количество коров = $\frac{M_{суточная}}{20 \text{ кг/день}} = \frac{12500}{20} = 625$.

Ответ: 625 коров.

1.114. Практическая работа

Оборудование: линейка, карандаш, циркуль, транспортир.

Порядок работы:

1) Проведите окружность и её диаметр АВ.

2) На окружности отметьте точки К, L, М и N.

3) Соедините точки К, L, М и N с точками А и В.

4) Измерьте углы АКВ, ALB, АМВ и ANB. Сделайте предположение о величине этих углов.

5) Ответьте на вопрос: «Как построить прямой угол, имея только линейку и циркуль?»

1.114

$\angle AKB = 90°; \angle ALB = 90°; \angle AMB = 90°; \angle ANB = 90°$

Все полученные углы прямые.

Чтобы построить прямой угол, имея только линейку и циркуль, нужно:

1. Построить окружность любого радиуса
2. Провести диаметр окружности
3. Отметить на окружности любую точку и соединить ее с концами диаметра.

Получим прямой угол.

1), 2), 3)

Для выполнения этих пунктов необходимо взять циркуль, карандаш и линейку. Сначала с помощью циркуля чертим окружность произвольного радиуса. Отметим ее центр точкой $O$. Затем, используя линейку, проводим через центр $O$ прямую линию до пересечения с окружностью в двух точках. Обозначим эти точки $A$ и $B$. Полученный отрезок $AB$ является диаметром окружности. Далее на линии окружности произвольно выбираем четыре точки, не совпадающие с $A$ и $B$, и обозначаем их $K$, $L$, $M$ и $N$. Наконец, с помощью линейки соединяем каждую из этих четырех точек с точками $A$ и $B$. В результате получаются четыре треугольника: $\Delta AKB$, $\Delta ALB$, $\Delta AMB$ и $\Delta ANB$.

4)

С помощью транспортира измерим углы $\angle AKB$, $\angle ALB$, $\angle AMB$ и $\angle ANB$, образованные в предыдущем задании. В результате измерений мы заметим, что все эти углы, несмотря на разное расположение точек $K$, $L$, $M$ и $N$ на окружности, равны $90^\circ$ (возможны небольшие погрешности из-за неточности инструментов и построений).

Предположение: любой вписанный в окружность угол, который опирается на ее диаметр, является прямым, то есть его величина равна $90^\circ$.

Это предположение является верным и представляет собой известную теорему геометрии (теорема Фалеса). Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Диаметр $AB$ стягивает дугу, равную половине окружности, то есть $180^\circ$. Следовательно, любой угол, опирающийся на эту дугу (например, $\angle AKB$), будет равен $180^\circ / 2 = 90^\circ$.

Ответ: Величина каждого из углов $\angle AKB, \angle ALB, \angle AMB$ и $\angle ANB$ равна $90^\circ$.

5)

Основываясь на выводе, сделанном в пункте 4, можно построить прямой угол, используя только линейку без делений (прямой край) и циркуль. Для этого нужно выполнить следующие шаги:

1. С помощью линейки начертить произвольную прямую и отметить на ней две любые точки, $A$ и $B$.
2. Найти середину отрезка $AB$. Для этого:
   • Раствором циркуля, большим половины длины отрезка $AB$, провести дугу с центром в точке $A$.
   • Тем же раствором циркуля провести дугу с центром в точке $B$ так, чтобы она пересеклась с первой дугой в двух точках (над и под отрезком $AB$).
   • Через эти две точки пересечения провести прямую с помощью линейки. Точка, в которой эта прямая пересечет отрезок $AB$, будет его серединой. Обозначим ее $O$.
3. Установить иглу циркуля в точку $O$, а карандаш — в точку $A$ (или $B$).
4. Начертить окружность (или хотя бы полуокружность) с центром в точке $O$ и радиусом $OA$.
5. Выбрать любую точку на этой окружности (или полуокружности) и обозначить ее $C$.
6. Соединить точку $C$ с точками $A$ и $B$ при помощи линейки.

Угол $\angle ACB$, который мы построили, будет прямым ($90^\circ$), так как он является вписанным углом, опирающимся на диаметр $AB$.

Ответ: Чтобы построить прямой угол, нужно начертить окружность, провести ее диаметр, отметить на окружности любую точку и соединить ее с концами диаметра. Полученный угол будет прямым.

1.115. Практическая работа

Оборудование: циркуль, линейка, карандаш, транспортир.

Порядок работы:

1) Проведите окружность с центром О и её диаметр CD.

2) Используя транспортир, разделите оба развёрнутых угла COD на три равных угла. Отметьте точки пересечения сторон углов с окружностью буквами С, А, В, D, М и N. Сколько получилось равных частей в круге?

3) Соедините отрезками точки С, А, В, D, М и N. Как называется этот многоугольник?

4) Сравните стороны многоугольника и радиус круга. Сделайте предположение.

1.115

1)

2) В круге получилось 6 равных частей.

3) Многоугольник САВDNM называется шестиугольник.

4) Длины сторон многоугольника равны радиусу круга.

1) С помощью циркуля чертим на листе бумаги окружность, отмечая её центр буквой O. Далее, используя линейку, проводим прямую линию через центр O. Точки, в которых эта линия пересекает окружность, обозначаем буквами C и D. Полученный отрезок CD является диаметром окружности.

2) Диаметр CD образует два развёрнутых угла с вершиной в центре O, каждый из которых равен $180^\circ$. С помощью транспортира делим каждый из этих развёрнутых углов на три равных угла. Величина каждого такого угла будет $180^\circ \div 3 = 60^\circ$. Откладываем от луча OC (против часовой стрелки) угол в $60^\circ$ и отмечаем точку пересечения его стороны с окружностью буквой A. Затем от луча OA откладываем еще один угол в $60^\circ$ и отмечаем точку пересечения буквой B. Точка B и D образуют третий угол $\angle BOD = 60^\circ$. Повторяем процедуру для второй полуокружности: от луча OD откладываем угол $60^\circ$ и отмечаем точку N, а затем от луча ON откладываем угол $60^\circ$ и отмечаем точку M. Таким образом, мы получаем шесть центральных углов ($\angle COA, \angle AOB, \angle BOD, \angle DON, \angle NOM, \angle MOC$), каждый из которых равен $60^\circ$. Эти углы делят круг на шесть равных частей (секторов).
Ответ: Получилось 6 равных частей в круге.

3) Соединяем отрезками точки C, A, B, D, M и N, расположенные на окружности, в указанном порядке. В результате получается замкнутая фигура — многоугольник CABDMN. Этот многоугольник имеет 6 вершин и 6 сторон.
Ответ: Этот многоугольник называется шестиугольником. Поскольку он вписан в окружность и все центральные углы, опирающиеся на его стороны, равны, то это правильный шестиугольник.

4) Для сравнения длины стороны многоугольника с радиусом круга рассмотрим треугольник $\triangle COA$. Стороны OC и OA этого треугольника являются радиусами окружности, поэтому они равны: $OC = OA$. Следовательно, треугольник $\triangle COA$ является равнобедренным. По построению, центральный угол $\angle COA$ равен $60^\circ$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, значит $\angle OCA = \angle OAC$. Так как сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, то каждый из углов при основании равен $(180^\circ - 60^\circ) \div 2 = 60^\circ$. Получается, что все три угла треугольника $\triangle COA$ равны $60^\circ$, а значит, он является равносторонним. Из этого следует, что длина стороны CA равна длинам сторон OC и OA, то есть $CA = OC = OA$. Таким образом, сторона построенного шестиугольника равна радиусу окружности.
Ответ: Стороны многоугольника равны радиусу круга. Предположение: сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равна радиусу этой окружности.

1.116. Постройте развёрнутый угол РОТ и проведите луч OS. Чему равны углы POS и SOT, если:

а) угол POS вдвое меньше угла SOT;

б) угол POS на 80º больше угла SOT;

в) угол SOT в 5 раз больше угла POS?

1.116

а) Пусть х – $\angle$POS, тогда 2х – $\angle$ SOT. Зная, что развернутый угол равен 180°, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} х + 2х = 180; \\ 3х = 180; \\ х = 180 : 3; \\ х = 60° - \angle POS. \end{gathered}$$

$1) 60° · 2 = 120° - \angle SOT.$

Ответ: 60° и 120°.

б) Пусть х – $\angle$ POS, тогда х - 80° – $\angle$ SOT. Зная, что развернутый угол равен 180°, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} х + х – 80 = 180; \\ х + х – 80 = 180; \\ 2х = 260; \\ х = 260 : 2; \\ х = 130° - \angle POS; \end{gathered}$$

$1) 130° – 80° = 50° - \angle SOT.$

Ответ: 130° и 50°.

в) Пусть х – $\angle$ POS, тогда 5х – $\angle$ SOT. Зная, что развернутый угол равен 180°, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} х + 5х = 180; \\ 6х = 180; \\ х = 180 : 6; \\ х = 30° - \angle POS \end{gathered}$$

$1) 30° · 5 = 150° - \angle SOT$

Ответ: 30° и 150°.

Развернутый угол $POT$ равен $180^\circ$. Луч $OS$ проходит между его сторонами, образуя два смежных угла: $\angle POS$ и $\angle SOT$. Сумма смежных углов равна $180^\circ$, следовательно, $\angle POS + \angle SOT = 180^\circ$.

а) угол POS вдвое меньше угла SOT

Пусть $\angle POS = x$. Тогда, по условию, $\angle SOT = 2x$.
Составим и решим уравнение, используя свойство смежных углов:
$x + 2x = 180^\circ$
$3x = 180^\circ$
$x = \frac{180^\circ}{3}$
$x = 60^\circ$
Таким образом, $\angle POS = 60^\circ$.
Находим $\angle SOT$:
$\angle SOT = 2x = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ$.
Проверка: $60^\circ + 120^\circ = 180^\circ$.
Ответ: $\angle POS = 60^\circ$, $\angle SOT = 120^\circ$.

б) угол POS на 80° больше угла SOT

Пусть $\angle SOT = y$. Тогда, по условию, $\angle POS = y + 80^\circ$.
Составим и решим уравнение:
$(y + 80^\circ) + y = 180^\circ$
$2y + 80^\circ = 180^\circ$
$2y = 180^\circ - 80^\circ$
$2y = 100^\circ$
$y = \frac{100^\circ}{2}$
$y = 50^\circ$
Таким образом, $\angle SOT = 50^\circ$.
Находим $\angle POS$:
$\angle POS = y + 80^\circ = 50^\circ + 80^\circ = 130^\circ$.
Проверка: $130^\circ + 50^\circ = 180^\circ$.
Ответ: $\angle POS = 130^\circ$, $\angle SOT = 50^\circ$.

в) угол SOT в 5 раз больше угла POS

Пусть $\angle POS = z$. Тогда, по условию, $\angle SOT = 5z$.
Составим и решим уравнение:
$z + 5z = 180^\circ$
$6z = 180^\circ$
$z = \frac{180^\circ}{6}$
$z = 30^\circ$
Таким образом, $\angle POS = 30^\circ$.
Находим $\angle SOT$:
$\angle SOT = 5z = 5 \cdot 30^\circ = 150^\circ$.
Проверка: $30^\circ + 150^\circ = 180^\circ$.
Ответ: $\angle POS = 30^\circ$, $\angle SOT = 150^\circ$.

1.117. Внутри прямого угла АВС проведён луч BD. Чему равны углы ABD и DBC, если:

а) угол ABD в 4 раза меньше угла DBC;

б) угол DBC больше угла ABD на 32º;

в) угол ABD в 8 раз больше угла DBC?

1.117

а) Пусть х – $\angle$ ABD, тогда 4х – $\angle$ DBC. Зная, что прямой угол равен 90°, 

составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} х + 4х = 90; \\ 5х = 90; \\ х = 90 : 5; \\ х = 18° - \angle ABD \end{gathered}$$

$1) 18° · 4 = 72° - \angle DBC.$

Ответ: 18° и 72°.

б) Пусть х – $\angle$ ABD, тогда  х + 32° – $\angle$ DBC. Зная, что прямой угол равен 90°, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} х + х + 32 = 90; \\ 2х = 90 – 32; \\ 2х = 58; \\ х = 58 : 2; \\ х = 29° - \angle ABD \end{gathered}$$

$1) 29° + 32° = 61° - \angle DBC.$

Ответ: 29° и 61°.

в) Пусть х – $\angle$ DBC, тогда  8х – $\angle$ ABD. Зная, что прямой угол равен 90°, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} х + 8х = 90; \\ 9х = 90; \\ х = 90 : 9; \\ х = 10° - \angle DBC \end{gathered}$$

$1) 10° · 8 = 80° - \angle ABD$

Ответ: 10° и 80°.

По условию задачи, угол ABC является прямым, что означает, что его величина составляет $90^\circ$. Луч BD, проведенный внутри этого угла, делит его на два угла: $\angle ABD$ и $\angle DBC$. Сумма этих двух углов равна величине исходного угла ABC:

$\angle ABD + \angle DBC = \angle ABC = 90^\circ$

Исходя из этого основного соотношения, решим задачу для каждого из предложенных условий.

а) угол ABD в 4 раза меньше угла DBC;

Это условие можно записать как $\angle DBC = 4 \cdot \angle ABD$.

Обозначим величину угла $\angle ABD$ через $x$. Тогда величина угла $\angle DBC$ будет равна $4x$.

Подставим эти выражения в наше основное уравнение:

$x + 4x = 90^\circ$

$5x = 90^\circ$

Теперь найдем $x$:

$x = \frac{90^\circ}{5} = 18^\circ$

Следовательно, $\angle ABD = 18^\circ$.

Тогда $\angle DBC = 4 \cdot 18^\circ = 72^\circ$.

Проверим: $18^\circ + 72^\circ = 90^\circ$.

Ответ: $\angle ABD = 18^\circ$, $\angle DBC = 72^\circ$.

б) угол DBC больше угла ABD на 32°;

Это условие можно записать как $\angle DBC = \angle ABD + 32^\circ$.

Обозначим величину угла $\angle ABD$ через $y$. Тогда величина угла $\angle DBC$ будет равна $y + 32^\circ$.

Подставим эти выражения в основное уравнение:

$y + (y + 32^\circ) = 90^\circ$

$2y + 32^\circ = 90^\circ$

Теперь решим уравнение относительно $y$:

$2y = 90^\circ - 32^\circ$

$2y = 58^\circ$

$y = \frac{58^\circ}{2} = 29^\circ$

Следовательно, $\angle ABD = 29^\circ$.

Тогда $\angle DBC = 29^\circ + 32^\circ = 61^\circ$.

Проверим: $29^\circ + 61^\circ = 90^\circ$.

Ответ: $\angle ABD = 29^\circ$, $\angle DBC = 61^\circ$.

в) угол ABD в 8 раз больше угла DBC?

Это условие можно записать как $\angle ABD = 8 \cdot \angle DBC$.

Обозначим величину угла $\angle DBC$ через $z$. Тогда величина угла $\angle ABD$ будет равна $8z$.

Подставим эти выражения в основное уравнение:

$8z + z = 90^\circ$

$9z = 90^\circ$

Теперь найдем $z$:

$z = \frac{90^\circ}{9} = 10^\circ$

Следовательно, $\angle DBC = 10^\circ$.

Тогда $\angle ABD = 8 \cdot 10^\circ = 80^\circ$.

Проверим: $80^\circ + 10^\circ = 90^\circ$.

Ответ: $\angle ABD = 80^\circ$, $\angle DBC = 10^\circ$.

1.118. Вычислите 6%, 12%, 24%, 30%, 60% от числа 420. Предложите разные способы решения этой задачи.

1.118

1 способ:

$0,06 · 420 = 25,2$

$0,12 · 420 = 50,4$

$0,24 · 420 = 100,8$

$0,3 · 420 = 126$

$0,6 · 420 = 252$

2 способ:

$420 : 100 · 6 = 4,2 · 6 = 25,2$

$420 : 100 · 12 = 4,2 · 12 = 50,4$

$420 : 100 · 24 = 4,2 · 24 = 100,8$

$420 : 100 · 30 = 4,2 · 30 = 126$

$420 : 100 · 60 = 4,2 · 60 = 252$

3 способ:

$0,06 · 420 = 25,2$– составляют 6% от числа 420

$25,2 · (12 : 6) = 25,2 · 2 = 50,4$– составляют 12% от числа 420

$25,2 · (24 : 6) = 25,2 · 4 = 100,8$– составляют 24% от числа 420   

$25,2 · (30 : 6) = 25,2 · 5 = 126$ – составляют 30% от числа 420

$25,2 · (60 : 6) = 25,2 · 10 = 252$– составляют 60% от числа 420.

Для вычисления процентов от числа можно использовать несколько подходов. Рассмотрим их и применим для решения задачи.

Разные способы решения

Способ 1: Преобразование процента в десятичную дробь.
Чтобы найти процент от числа, нужно представить процент в виде десятичной дроби, разделив его на 100, и затем умножить данное число на эту дробь.Формула: $A \cdot \frac{p}{100}$, где $A$ — число, $p$ — количество процентов.

Способ 2: Метод нахождения 1%.
Сначала находится значение 1% от числа (для этого число делится на 100), а затем полученный результат умножается на искомое количество процентов.Для числа 420, 1% равен: $420 / 100 = 4.2$.

Способ 3: Использование пропорциональных соотношений.
Можно заметить, что искомые проценты связаны между собой (например, 12% вдвое больше 6%). Это позволяет использовать уже полученные результаты для быстрых вычислений.

Теперь выполним вычисления для каждого значения.

6 %

Воспользуемся первым способом. Переведем 6% в десятичную дробь: $6\% = 0.06$.

Найдем 6% от 420:

$420 \cdot 0.06 = 25.2$

Ответ: 25.2

12 %

Применим третий способ. Так как $12\% = 2 \cdot 6\%$, мы можем просто удвоить результат, полученный для 6%.

$25.2 \cdot 2 = 50.4$

Для проверки можно использовать второй способ: $4.2 \cdot 12 = 50.4$.

Ответ: 50.4

24 %

Снова используем третий способ, так как $24\% = 2 \cdot 12\%$.

Удвоим результат, полученный для 12%:

$50.4 \cdot 2 = 100.8$

Для проверки используем первый способ: $420 \cdot 0.24 = 100.8$.

Ответ: 100.8

30 %

Здесь удобнее всего первый способ. Переведем 30% в десятичную дробь: $30\% = 0.3$.

$420 \cdot 0.3 = 126$

Также можно было найти 10% ($420 / 10 = 42$) и умножить на 3: $42 \cdot 3 = 126$.

Ответ: 126

60 %

Используем третий способ, заметив, что $60\% = 2 \cdot 30\%$.

Удвоим результат, полученный для 30%:

$126 \cdot 2 = 252$

Для проверки: $420 \cdot 0.6 = 252$.

Ответ: 252

1.119. Вычислите 1 %, 15%, 25%, 30%, 50%, 75%, 100% от числа, если 3% этого числа равны 15.

1.119

$\mathbf{1}\mathbf{)} 15 : 3 = 5$– составляет 1% числа

$5 · 15 = 75$– составляют 15% числа

$5 · 25 = 125$– составляют 25% числа

$5 · 30 = 150$– составляют 30% числа

$5 · 50 = 250$– составляют 50% числа

$5 · 75 = 375$– составляют 75% числа

$5 · 100 = 500$– составляют 100% числа

Для решения задачи сначала найдем, чему равен 1% от искомого числа. По условию задачи, 3% этого числа равны 15. Следовательно, чтобы найти 1%, нужно 15 разделить на 3.

$1\% = 15 : 3 = 5$

Таким образом, 1% от заданного числа равен 5. Зная это, мы можем вычислить остальные требуемые значения, умножая 5 на соответствующее количество процентов.

1%

Как было вычислено выше, 1% от числа равен 5.

Ответ: 5

15%

Чтобы найти 15%, умножим значение 1% на 15:

$15 \cdot 5 = 75$

Ответ: 75

25%

Чтобы найти 25%, умножим значение 1% на 25:

$25 \cdot 5 = 125$

Ответ: 125

30%

Чтобы найти 30%, умножим значение 1% на 30:

$30 \cdot 5 = 150$

Ответ: 150

50%

Чтобы найти 50%, умножим значение 1% на 50. Это также соответствует половине числа:

$50 \cdot 5 = 250$

Ответ: 250

75%

Чтобы найти 75%, умножим значение 1% на 75:

$75 \cdot 5 = 375$

Ответ: 375

100%

100% — это само число. Чтобы его найти, умножим значение 1% на 100:

$100 \cdot 5 = 500$

Ответ: 500

1.120. Вместимость стадиона «Спартак» — 45 360 человек.

а) Сколько человек посетило футбольный матч, если было занято 5%; 10%; 40%; 65 % всех мест?

б) На сколько процентов был заполнен стадион, если было занято 9072; 22 680; 38 556 мест?

1.120

Всего – 45 360 человек

$\mathit{а}\mathbf{)} \frac{5 \%}{100\%}· 45360 = 0,05 · 45 360 = 2268$зрителей – составляют 5% всех мест

$\frac{10 \%}{100\%}· 45360 = 0,1 · 45 360 = 4536$зрителей – составляют 10% всех мест

$\frac{40 \%}{100\%}· 45360 = 0,4 · 45 360 = 18 144$зрителей – составляют 40% всех мест

$\frac{65 \%}{100\%}· 45360 = 0,65 · 45 360 = 29 484$зрителей – составляют 65% всех мест

$\mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{ 9072}{45 360}· 100\% = 0,2 · 100\% = 20\%$заполнено

$\frac{22 680}{45 360}· 100\% = 0,5 · 100\% = 50\%$заполнено

$\frac{38556}{45 360}· 100\% = 0,85 · 100\% = 85\%$заполнено

Общая вместимость стадиона «Спартак» составляет 45 360 человек. Это значение принимается за 100%.

а) Чтобы найти, сколько человек посетило матч при известном проценте заполненности, нужно общую вместимость умножить на долю, соответствующую данному проценту (процент, деленный на 100).

Если было занято 5% мест: $45360 \cdot \frac{5}{100} = 45360 \cdot 0.05 = 2268$ человек.
Если было занято 10% мест: $45360 \cdot \frac{10}{100} = 45360 \cdot 0.1 = 4536$ человек.
Если было занято 40% мест: $45360 \cdot \frac{40}{100} = 45360 \cdot 0.4 = 18144$ человека.
Если было занято 65% мест: $45360 \cdot \frac{65}{100} = 45360 \cdot 0.65 = 29484$ человека.

Ответ: 2268 человек; 4536 человек; 18 144 человека; 29 484 человека.

б) Чтобы найти, на сколько процентов был заполнен стадион, нужно количество занятых мест разделить на общую вместимость и результат умножить на 100%.

Если было занято 9072 места, то стадион был заполнен на: $\frac{9072}{45360} \cdot 100\% = 0.2 \cdot 100\% = 20\%$.
Если было занято 22 680 мест, то стадион был заполнен на: $\frac{22680}{45360} \cdot 100\% = 0.5 \cdot 100\% = 50\%$.
Если было занято 38 556 мест, то стадион был заполнен на: $\frac{38556}{45360} \cdot 100\% = 0.85 \cdot 100\% = 85\%$.

Ответ: на 20%; на 50%; на 85%.

1.121. а) На сколько процентов увеличилось число 90, если его увеличили на 45?

б) На сколько процентов уменьшилось число 115, если его уменьшили на 23?

в) На сколько процентов увеличилось число, если его увеличили в 4 раза?

г) На сколько процентов уменьшилось число, если его уменьшили в 4 раза?

1.121

а)

$1) 90 + 45 = 135$– стало число после увеличения;

$2) \frac{135}{90}· 100\% = 1,5 · 100\% = 150\%$- стало составлять полученное число от числа 90;

$3) 150\% – 100\% = 50\%$- увеличилось число 90.

б)

$1) 115 – 23 = 92$– стало число после уменьшения

$2)\frac{ 92}{115}· 100\% = 0,8 · 100\% = 80\%$- составляет полученное число от числа 115

$3) 100\% – 80\% = 20\%$- уменьшилось число 92.

в)

Пусть х – было число, тогда 4х – стало число, составим и решим уравнение:

$1) \frac{4х}{х}·100\% = 4 · 100\% = 400\%$- стало число;

$2) 400\% - 100\% = 300\%$- увеличилось.

Если число увеличили в 4 раза, то оно увеличилось на 300%

г)

Пусть х – было число, $\frac{1}{4}х$ – стало число, составим и решим уравнение:

$1) \left(\frac{1}{4}х\right) : х · 100\% = \frac{1}{4} · 100\% = 0,25 · 100\% = 25 \%$- стало число;

$2) 100 \% - 25\% = 75\%$- уменьшилось.

Если число уменьшили в 4 раза, то оно уменьшилось на 75%.

а) Чтобы найти, на сколько процентов увеличилось число, необходимо найти отношение величины увеличения к исходному числу и выразить его в процентах. Исходное число — 90, его увеличили на 45. Найдем, какую часть составляет 45 от 90, и умножим на 100%.

Процентное увеличение = $\frac{45}{90} \cdot 100\% = 0.5 \cdot 100\% = 50\%$.

Ответ: на 50%.

б) Чтобы найти, на сколько процентов уменьшилось число, необходимо найти отношение величины уменьшения к исходному числу и выразить его в процентах. Исходное число — 115, его уменьшили на 23. Найдем, какую часть составляет 23 от 115, и умножим на 100%.

Процентное уменьшение = $\frac{23}{115} \cdot 100\% = 0.2 \cdot 100\% = 20\%$.

Ответ: на 20%.

в) Пусть исходное число равно $x$. Исходное число всегда принимается за 100%. Если число увеличили в 4 раза, то новое число стало $4x$. Увеличение составило $4x - x = 3x$. Чтобы найти, на сколько процентов увеличилось число, нужно найти отношение величины увеличения к исходному числу.

Процентное увеличение = $\frac{3x}{x} \cdot 100\% = 3 \cdot 100\% = 300\%$.

Ответ: на 300%.

г) Пусть исходное число равно $x$ (что составляет 100%). Если число уменьшили в 4 раза, то новое число стало $\frac{x}{4}$. Уменьшение составило $x - \frac{x}{4} = \frac{3x}{4}$. Чтобы найти, на сколько процентов уменьшилось число, нужно найти отношение величины уменьшения к исходному числу.

Процентное уменьшение = $\frac{\frac{3x}{4}}{x} \cdot 100\% = \frac{3}{4} \cdot 100\% = 0.75 \cdot 100\% = 75\%$.

Ответ: на 75%.

4.131. Для множества А = {–2,7; 523; –(– 711); 0; –27; 17; –4,5; 0,01} составьте подмножество:

а) D положительных чисел;
б) М отрицательных чисел;
в) N неположительных чисел;
г) В неотрицательных чисел;
д) С чисел, не являющихся ни положительными, ни отрицательными.

4.131

а) $D = \left\{5\frac{2}{3}; -\left(-\frac{7}{11}\right); 17; 0,01\right\}$

б) M = {-2,7; -27; -4,5}

в) N = {-2,7; 0; -27; -4,5}

г) $\mathrm{В} = \left\{5\frac{2}{3}; -\left(-\frac{7}{11}\right); 0; 17; 0,01\right\}$

д) C = {0}

Для решения задачи проанализируем каждый элемент данного множества $A = \{-2,7; 5\frac{2}{3}; -(-\frac{7}{11}); 0; -27; 17; -4,5; 0,01\}$.

Прежде всего, упростим элемент $-(-\frac{7}{11})$. Произведение двух отрицательных знаков дает положительный, поэтому $-(-\frac{7}{11}) = \frac{7}{11}$.

Теперь, когда все элементы множества $A$ нам понятны, составим требуемые подмножества.

а) D положительных чисел

Положительными называются числа, которые строго больше нуля ($x > 0$). Выберем из множества $A$ все числа, удовлетворяющие этому условию. Это числа $5\frac{2}{3}$, $-(-\frac{7}{11})$ (так как это $\frac{7}{11}$), $17$ и $0,01$.

Ответ: $D = \{5\frac{2}{3}; -(-\frac{7}{11}); 17; 0,01\}$.

б) M отрицательных чисел

Отрицательными называются числа, которые строго меньше нуля ($x < 0$). Выберем из множества $A$ все числа, удовлетворяющие этому условию. Это числа $-2,7$, $-27$ и $-4,5$.

Ответ: $M = \{-2,7; -27; -4,5\}$.

в) N неположительных чисел

Неположительными называются числа, которые меньше или равны нулю ($x \le 0$). Это подмножество включает в себя все отрицательные числа и ноль. Из множества $A$ это будут числа $-2,7$, $0$, $-27$ и $-4,5$.

Ответ: $N = \{-2,7; 0; -27; -4,5\}$.

г) B неотрицательных чисел

Неотрицательными называются числа, которые больше или равны нулю ($x \ge 0$). Это подмножество включает в себя все положительные числа и ноль. Из множества $A$ это будут числа $5\frac{2}{3}$, $-(-\frac{7}{11})$, $0$, $17$ и $0,01$.

Ответ: $B = \{5\frac{2}{3}; -(-\frac{7}{11}); 0; 17; 0,01\}$.

д) C чисел, не являющихся ни положительными, ни отрицательными

Единственное число, которое не является ни положительным, ни отрицательным, — это ноль ($0$). Это число присутствует в исходном множестве $A$.

Ответ: $C = \{0\}$.

4.132. На рисунке 4.26 отмечены числа р, n, m и с. Укажите верные неравенства: m > n; с < m; р > n; m > р; с > n.

4.132

Ответ: m > n; m > p; c > n.

Для того чтобы определить, какие из неравенств верные, необходимо проанализировать расположение отмеченных чисел на координатной прямой. На числовой оси числа увеличиваются при движении слева направо. Точка $O$ соответствует нулю.

Из рисунка видно, что:

• Точки $p$ и $n$ расположены левее нуля, значит, это отрицательные числа, причем точка $p$ находится левее точки $n$, следовательно, $p < n$.
• Точки $m$ и $c$ расположены правее нуля, значит, это положительные числа, причем точка $m$ находится левее точки $c$, следовательно, $m < c$.

Таким образом, все числа можно расположить в порядке возрастания: $p < n < 0 < m < c$.

Теперь проверим каждое из предложенных неравенств.

$m > n$

Точка $m$ расположена на числовой оси правее точки $n$. Это означает, что число $m$ больше числа $n$. Кроме того, $m$ — положительное число, а $n$ — отрицательное, а любое положительное число больше любого отрицательного. Следовательно, неравенство верное.

Ответ: Верно.

$c < m$

Точка $c$ расположена на числовой оси правее точки $m$, следовательно, число $c$ больше числа $m$. Неравенство $c < m$ утверждает обратное, поэтому оно является неверным.

Ответ: Неверно.

$p > n$

Точка $p$ расположена на числовой оси левее точки $n$, следовательно, число $p$ меньше числа $n$. Неравенство $p > n$ является неверным.

Ответ: Неверно.

$m > p$

Точка $m$ расположена на числовой оси правее точки $p$. Число $m$ положительное, а число $p$ отрицательное. Следовательно, $m$ больше $p$. Неравенство является верным.

Ответ: Верно.

$c > n$

Точка $c$ расположена на числовой оси правее точки $n$. Число $c$ положительное, а число $n$ отрицательное. Следовательно, $c$ больше $n$. Неравенство является верным.

Ответ: Верно.

4.133. Развивай воображение. Определите вид фигуры на рисунке 4.27.

4.133

а) шар или сфера

б) куб

в) треугольная пирамида

г) цилиндр

д) прямоугольный параллелепипед

е) конус

а) Для данной фигуры вид спереди представляет собой круг, и вид сверху также является кругом. Трехмерный объект, проекции которого на взаимно перпендикулярные плоскости являются кругами, — это шар.
Ответ: Шар.

б) Вид спереди — это квадрат, и вид сверху — это квадрат. Если проекции тела на плоскости спереди и сверху являются квадратами, значит, все его грани — квадраты. Такой фигурой является куб.
Ответ: Куб.

в) Вид спереди — это треугольник. Это означает, что фигура сужается кверху, как пирамида или конус. Вид сверху — это треугольник с отрезками, соединяющими вершины с центром. Это показывает, что в основании фигуры лежит треугольник, а отрезки — это боковые ребра, сходящиеся в одной точке (вершине). Следовательно, это треугольная пирамида.
Ответ: Треугольная пирамида.

г) Вид спереди — это прямоугольник, а вид сверху — это круг. Такое сочетание проекций характерно для цилиндра. Круг — это вид на основание цилиндра, а прямоугольник — это его боковая проекция.
Ответ: Цилиндр.

д) Вид спереди — это прямоугольник, а вид сверху — это квадрат. Квадратный вид сверху означает, что основание фигуры — квадрат. Прямоугольный вид спереди показывает, что высота фигуры не равна стороне ее основания (иначе это был бы куб, как в пункте б). Такая фигура является прямоугольным параллелепипедом (в данном случае — прямой призмой с квадратным основанием).
Ответ: Прямоугольный параллелепипед.

е) Вид спереди — это треугольник. Вид сверху — это круг с точкой в центре. Треугольная проекция спереди и круглое основание (вид сверху) являются признаками конуса. Точка в центре вида сверху — это проекция вершины конуса на плоскость основания.
Ответ: Конус.

4.134. Какое из чисел больше:

а) 0 и 350; б) –23 и –15; в) –49 и 0; г) –137 и –167; д) – 712 и – 58; е) – 67 и – 1921; ж) –5,22 и –5,2; з) –3,6 и 6,3.

4.134

а) 0 < 350

б) – 23 < – 15

в) – 49 < 0

г) $-1\frac{3}{7} > -1\frac{6}{7}$

$$\begin{gathered} \mathbf{д}\mathbf{)} {-\frac{7}{12}}^{\overline{)·2}} = -\frac{14}{24}; {-\frac{5}{8}}^{\overline{)·3}} = -\frac{15}{24} \\ -\frac{7}{12} >-\frac{5}{8} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{е}\mathbf{)} {-\frac{6}{7}}^{\overline{)·3}} = -\frac{18}{21} \\ -\frac{6}{7} > -\frac{19}{21} \end{gathered}$$

ж) – 5,22 < – 5,2

з) -3,6 < 6,3.

а) 0 и 350

Для сравнения чисел 0 и 350 используется правило: любое положительное число больше нуля.
Поскольку 350 — положительное число, оно больше 0.
$350 > 0$
Ответ: 350.

б) -23 и -15

Чтобы сравнить два отрицательных числа, -23 и -15, необходимо сравнить их модули. Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше.
Найдем модули данных чисел:
$|-23| = 23$
$|-15| = 15$
Поскольку $15 < 23$, то соответствующее отрицательное число будет больше: $-15 > -23$.
Ответ: -15.

в) -49 и 0

Для сравнения чисел -49 и 0 используется правило: любое отрицательное число меньше нуля.
Поскольку -49 — отрицательное число, оно меньше 0.
$0 > -49$
Ответ: 0.

г) $-1\frac{3}{7}$ и $-1\frac{6}{7}$

Чтобы сравнить два отрицательных смешанных числа, $-1\frac{3}{7}$ и $-1\frac{6}{7}$, сравним сначала их модули (положительные значения): $1\frac{3}{7}$ и $1\frac{6}{7}$.
Целые части у этих чисел одинаковы (1). Сравним их дробные части: $\frac{3}{7}$ и $\frac{6}{7}$.
Так как у дробей одинаковые знаменатели, сравниваем числители: $3 < 6$. Следовательно, $\frac{3}{7} < \frac{6}{7}$.
Это означает, что $1\frac{3}{7} < 1\frac{6}{7}$.
Для отрицательных чисел знак неравенства меняется на противоположный, поэтому $-1\frac{3}{7} > -1\frac{6}{7}$.
Ответ: $-1\frac{3}{7}$.

д) $-\frac{7}{12}$ и $-\frac{5}{8}$

Чтобы сравнить отрицательные дроби $-\frac{7}{12}$ и $-\frac{5}{8}$, сначала сравним их модули: $\frac{7}{12}$ и $\frac{5}{8}$.
Для этого приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 12 и 8 — это 24.
$\frac{7}{12} = \frac{7 \cdot 2}{12 \cdot 2} = \frac{14}{24}$
$\frac{5}{8} = \frac{5 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{15}{24}$
Теперь сравним полученные дроби: $\frac{14}{24} < \frac{15}{24}$, так как $14 < 15$.
Значит, $\frac{7}{12} < \frac{5}{8}$.
Поскольку мы сравниваем отрицательные числа, знак неравенства меняется на противоположный: $-\frac{7}{12} > -\frac{5}{8}$.
Ответ: $-\frac{7}{12}$.

е) $-\frac{6}{7}$ и $-\frac{19}{21}$

Сначала сравним модули данных отрицательных дробей: $\frac{6}{7}$ и $\frac{19}{21}$.
Приведем дробь $\frac{6}{7}$ к знаменателю 21, умножив числитель и знаменатель на 3:
$\frac{6}{7} = \frac{6 \cdot 3}{7 \cdot 3} = \frac{18}{21}$
Теперь сравним $\frac{18}{21}$ и $\frac{19}{21}$. Так как $18 < 19$, то $\frac{18}{21} < \frac{19}{21}$.
Следовательно, $\frac{6}{7} < \frac{19}{21}$.
При переходе к отрицательным числам знак неравенства меняется: $-\frac{6}{7} > -\frac{19}{21}$.
Ответ: $-\frac{6}{7}$.

ж) -5,22 и -5,2

Чтобы сравнить отрицательные десятичные дроби -5,22 и -5,2, сравним их модули: 5,22 и 5,2.
Для удобства запишем 5,2 как 5,20.
Сравнивая 5,22 и 5,20, видим, что целые части и десятые равны. Сравниваем сотые: $2 > 0$.
Следовательно, $5,22 > 5,20$, или $5,22 > 5,2$.
Для отрицательных чисел знак неравенства меняется на противоположный: $-5,22 < -5,2$.
Ответ: -5,2.

з) -3,6 и 6,3

Здесь необходимо сравнить отрицательное число (-3,6) и положительное число (6,3).
Любое положительное число всегда больше любого отрицательного числа.
Следовательно, $6,3 > -3,6$.
Ответ: 6,3.

4.135. Найдите целые числа, которые находятся между числами:

а) –5,3 и 1,79; б) –4,32 и 4,3; в) –7,5 и –4,7; г) –314 и 427; д) –734 и –1217; е) – 478 и – 78.

Есть ли среди них противоположные числа?

4.135

а) -5; -4; -3; -2; -1; 0; 1

б) -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4

в) -7; -6; -5

г) -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4

д) -7; -6; -5; -4; -3; -2

е) -4; -3; -2; -1

а) Требуется найти все целые числа $x$, которые удовлетворяют неравенству $-5,3 < x < 1,79$. На числовой оси это все целые числа, расположенные правее $-5,3$ и левее $1,79$. Такими числами являются $-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1$.
Ответ: $-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1$.

б) Необходимо найти все целые числа $x$, для которых выполняется неравенство $-4,32 < x < 4,3$. Целые числа, которые больше $-4,32$, начинаются с $-4$. Целые числа, которые меньше $4,3$, заканчиваются на $4$. Следовательно, искомые числа — это все целые от $-4$ до $4$ включительно.
Ответ: $-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4$.

в) Ищем целые числа $x$ в интервале $-7,5 < x < -4,7$. Целые числа, которые больше $-7,5$, — это $-7, -6, -5$ и так далее. Целые числа, которые меньше $-4,7$, — это $-5, -6, -7$ и так далее. Условию удовлетворяют числа, находящиеся в пересечении этих множеств.
Ответ: $-7, -6, -5$.

г) Найдём целые числа $x$ между $-3\frac{1}{4}$ и $4\frac{2}{7}$. Для удобства представим смешанные числа в виде десятичных дробей: $-3\frac{1}{4} = -3,25$, а $4\frac{2}{7} \approx 4,28$. Таким образом, мы ищем целые числа в интервале $-3,25 < x < 4,28$.
Ответ: $-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4$.

д) Найдём целые числа $x$ между $-7\frac{3}{4}$ и $-1\frac{2}{17}$. Переведём в десятичные дроби: $-7\frac{3}{4} = -7,75$ и $-1\frac{2}{17} \approx -1,12$. Ищем целые числа $x$, для которых выполняется неравенство $-7,75 < x < -1,12$.
Ответ: $-7, -6, -5, -4, -3, -2$.

е) Найдём целые числа $x$ между $-4\frac{7}{8}$ и $-\frac{7}{8}$. Переведём в десятичные дроби: $-4\frac{7}{8} = -4,875$ и $-\frac{7}{8} = -0,875$. Ищем целые числа $x$, удовлетворяющие неравенству $-4,875 < x < -0,875$.
Ответ: $-4, -3, -2, -1$.

Есть ли среди них противоположные числа?
Противоположные числа — это пара чисел, имеющих одинаковый модуль, но разные знаки (например, $a$ и $-a$). Проанализируем полученные наборы целых чисел:

• В наборе из пункта а) ($-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1$) есть одна пара противоположных чисел: $-1$ и $1$.
• В наборе из пункта б) ($-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4$) есть четыре пары: $(-1, 1), (-2, 2), (-3, 3), (-4, 4)$.
• В наборе из пункта в) ($-7, -6, -5$) все числа отрицательные, противоположных нет.
• В наборе из пункта г) ($-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4$) есть три пары: $(-1, 1), (-2, 2), (-3, 3)$.
• В наборе из пункта д) ($-7, -6, -5, -4, -3, -2$) все числа отрицательные, противоположных нет.
• В наборе из пункта е) ($-4, -3, -2, -1$) все числа отрицательные, противоположных нет.

Ответ: Да, среди найденных чисел есть противоположные. Они встречаются в решениях для пунктов а), б) и г).

4.136. Назовите два числа, которые:
а) меньше 23, но больше 13;
б) меньше – 79, но больше – 89;
в) меньше 2,13, но больше 2,12;
г) меньше –3,17, но больше –3,18.

4.136

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} \frac{1}{3} < х <\frac{2}{3} \\ {\frac{2}{3}}^{\overline{)·4}} = \frac{8}{12}; {\frac{1}{3}}^{\overline{)·4}} = \frac{4}{12} \\ \frac{8}{12} < х <\frac{4}{12} \\ х = \left\{\frac{5}{12}; \frac{7}{12}\right\} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} -\frac{7}{9} < х < -\frac{8}{9} \\ {-\frac{7}{9}}^{\overline{)·3}} = -\frac{21}{27}; {-\frac{8}{9}}^{\overline{)·3}} = -\frac{24}{27} \\ -\frac{21}{27} < х <-\frac{24}{27} \\ х = \left\{-\frac{22}{27}; -\frac{23}{27}\right\} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)} 2,13<х<2,12 \\ 2,13=2,130; 2,12=2,120 \\ 2,130<х<2,120 \\ х=\left\{2,121; 2,125\right\} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)}-3,17<х<-3,18 \\ -3,17=-3,170; -3,18=-3,180 \\ -3,170 < х <-3,180 \\ х=\left\{-3,171;-3,175\right\} \end{gathered}$$

а) меньше $\frac{2}{3}$, но больше $\frac{1}{3}$

Чтобы найти два числа между $\frac{1}{3}$ и $\frac{2}{3}$, нам нужно найти два числа $x$, которые удовлетворяют неравенству $\frac{1}{3} < x < \frac{2}{3}$. Для удобства приведем дроби к общему знаменателю, который будет больше исходного, чтобы между числителями появились целые числа. Умножим числитель и знаменатель каждой дроби, например, на 3.

$\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3}{3 \cdot 3} = \frac{3}{9}$

$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} = \frac{6}{9}$

Теперь наше неравенство выглядит так: $\frac{3}{9} < x < \frac{6}{9}$. Между числителями 3 и 6 находятся целые числа 4 и 5. Следовательно, мы можем выбрать дроби с этими числителями и знаменателем 9. Такими числами будут $\frac{4}{9}$ и $\frac{5}{9}$.

Ответ: $\frac{4}{9}$ и $\frac{5}{9}$.

б) меньше $-\frac{7}{9}$, но больше $-\frac{8}{9}$

Нам нужно найти два числа $x$, удовлетворяющие неравенству $-\frac{8}{9} < x < -\frac{7}{9}$. Важно помнить, что для отрицательных чисел, чем больше модуль числа, тем оно меньше. Как и в предыдущем задании, приведем дроби к большему общему знаменателю. Умножим числитель и знаменатель, например, на 3.

$-\frac{8}{9} = -\frac{8 \cdot 3}{9 \cdot 3} = -\frac{24}{27}$

$-\frac{7}{9} = -\frac{7 \cdot 3}{9 \cdot 3} = -\frac{21}{27}$

Теперь ищем два числа $x$ в интервале $-\frac{24}{27} < x < -\frac{21}{27}$. Между числителями -24 и -21 находятся целые числа -23 и -22. Таким образом, мы можем выбрать дроби $-\frac{23}{27}$ и $-\frac{22}{27}$.

Ответ: $-\frac{23}{27}$ и $-\frac{22}{27}$.

в) меньше 2,13, но больше 2,12

Требуется найти два числа $x$, для которых выполняется неравенство $2,12 < x < 2,13$. Между любыми двумя различными десятичными дробями существует бесконечно много других десятичных дробей. Чтобы их найти, мы можем просто добавить знаки после запятой. Представим числа 2,12 и 2,13 с тремя знаками после запятой: 2,120 и 2,130. Теперь нам нужно найти два числа в интервале от 2,120 до 2,130. Подходят любые числа, например, 2,121, 2,122, ..., 2,129. Мы можем выбрать любые два из них.

Ответ: 2,121 и 2,125.

г) меньше -3,17, но больше -3,18

Нужно найти два числа $x$, которые удовлетворяют неравенству $-3,18 < x < -3,17$. Для отрицательных чисел $-3,18$ меньше, чем $-3,17$. Аналогично предыдущему пункту, добавим знаки после запятой, чтобы "расширить" интервал. Представим числа -3,18 и -3,17 с тремя знаками после запятой: -3,180 и -3,170. Теперь ищем два числа в интервале от -3,180 до -3,170. Например, можно выбрать числа -3,175 и -3,179.

Ответ: -3,175 и -3,179.

4.137. Под строительство спортивной площадки отвели поле прямоугольной формы площадью 9200 м² и шириной 80 м. По периметру поля планируется сделать беговые дорожки шириной 5 м, а в центральной части – футбольное поле. Найдите периметр и площадь футбольного поля.

4.137

S = 9200 м²

Ширина поля - ? м;

Ширина дорожки – 5 м;

P и S фут.поля - ?

1) 9200 : 80 = 115 (м) – длина площадки;

2) 80 – 5 •2 = 70 (м) – ширина футбольного поля

3) 115 – 5 • 2 = 105 (м) – длина футбольного поля

4) 2 • (70 + 105) = 2 • 175 = 350 (м) – периметр футбольного поля

5) 70 • 105 = 7350 (м²) – площадь футбольного поля

Ответ: 350 м, 7350 м²

Для решения задачи сначала найдем размеры всей прямоугольной площадки. По условию, ее площадь $S_{общ} = 9200 \, м^2$, а ширина $b_{общ} = 80 \, м$. Длину площадки $a_{общ}$ можно найти, используя формулу площади прямоугольника $S = a \cdot b$:

$a_{общ} = \frac{S_{общ}}{b_{общ}} = \frac{9200 \, м^2}{80 \, м} = 115 \, м$.

Таким образом, размеры всей спортивной площадки составляют 115 м в длину и 80 м в ширину.

Далее определим размеры футбольного поля. Оно расположено в центральной части, а по периметру проходят беговые дорожки шириной 5 м. Это значит, что от длины и ширины всей площадки нужно отнять ширину дорожек с двух сторон.

Длина футбольного поля ($a_{футб}$):
$a_{футб} = a_{общ} - 2 \cdot 5 \, м = 115 \, м - 10 \, м = 105 \, м$.

Ширина футбольного поля ($b_{футб}$):
$b_{футб} = b_{общ} - 2 \cdot 5 \, м = 80 \, м - 10 \, м = 70 \, м$.

Теперь, зная размеры футбольного поля (105 м на 70 м), можем найти его периметр и площадь.

Найдите периметр футбольного поля

Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(a + b)$. Подставим размеры футбольного поля:

$P_{футб} = 2(a_{футб} + b_{футб}) = 2(105 \, м + 70 \, м) = 2 \cdot 175 \, м = 350 \, м$.

Ответ: 350 м.

Найдите площадь футбольного поля

Площадь прямоугольника вычисляется по формуле $S = a \cdot b$. Подставим размеры футбольного поля:

$S_{футб} = a_{футб} \cdot b_{футб} = 105 \, м \cdot 70 \, м = 7350 \, м^2$.

Ответ: 7350 м².

4.138. Яблоки составляли 60 % всех собранных фруктов, причём 40 % этих яблок пришлось на антоновку. Сколько тонн фруктов было собрано, если антоновки было собрано 24 т?

4.138

1) 24 : 0,4 = 240 : 4 = 60 (т) – собрали яблок;

2) 60 : 0,6 = 600 : 6 = 100 (т) – фруктов собрано.

Ответ: 100 т фруктов.

Для решения этой задачи выполним действия в обратном порядке: сначала найдём общую массу яблок, зная массу антоновки, а затем найдём общую массу всех фруктов, зная массу яблок.

1. Найдём общую массу всех собранных яблок.

Из условия известно, что антоновка составляет 40% от всех яблок. Масса собранной антоновки — 24 тонны. Пусть $m_{яблок}$ — общая масса всех яблок. Тогда 40% от этой массы равно 24 т.

Представим 40% в виде десятичной дроби: $40\% = 0.4$.

Составим уравнение:

$0.4 \cdot m_{яблок} = 24$

Отсюда найдём общую массу яблок:

$m_{яблок} = 24 / 0.4 = 60$ т.

Таким образом, всего было собрано 60 тонн яблок.

2. Найдём общую массу всех собранных фруктов.

Теперь мы знаем, что общая масса яблок равна 60 т. По условию, яблоки составляют 60% от всех собранных фруктов. Пусть $m_{фруктов}$ — общая масса всех фруктов.

Представим 60% в виде десятичной дроби: $60\% = 0.6$.

Составим уравнение:

$0.6 \cdot m_{фруктов} = 60$

Найдём общую массу всех фруктов:

$m_{фруктов} = 60 / 0.6 = 100$ т.

Ответ: 100 т.