Страница 36, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

1.156. Используя линейку и транспортир, постройте треугольник MNK, у которого:

а) угол М равен 90º, сторона MN равна 7 см угол К равен 40º;

б) угол М равен 60º, сторона MN равна 7 см и угол К равен 60º;

в) угол М равен 30º, сторона MN равна 7 см и угол К равен 30º.

Определите вид треугольников.

1.156

а) 1) начертим $\angle$ М = 90°

2) на одной стороне угла от точки М откладываем отрезок MN = 7 см

3) на луче NM от точки N откладываем $\angle$ N = 180° - (90° + 40°) = 50°

4) обозначим полученную точку пересечения К

5) соединяем точки N и K, получим ∆ MNK – прямоугольный

б) 1) начертим $\angle$ М = 60°

2) на одной стороне угла от точки М откладываем отрезок MN = 7 см

3) на луче NM от точки N откладываем $\angle$ N = 180° - (60° + 60°) = 60°

4) обозначим полученную точку пересечения К

5) соединяем точки N и K, получим ∆ MNK – равносторонний

в) 1) начертим $\angle$ М = 30°

2) на одной стороне угла от точки М откладываем отрезок MN = 7 см

3) на луче NM от точки N откладываем $\angle$ N = 180° - (30° + 30°) = 120°

4) обозначим полученную точку пересечения К

5) соединяем точки N и K, получим ∆ MNK – тупоугольный равнобедренный

а)

Чтобы построить треугольник MNK с заданными параметрами ($\angle M = 90^\circ$, сторона $MN = 7$ см и $\angle K = 40^\circ$), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Сначала найдем величину третьего угла треугольника, $\angle N$. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$.
   $\angle N = 180^\circ - \angle M - \angle K = 180^\circ - 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ$.
2. С помощью линейки построим отрезок $MN$ длиной 7 см.
3. В точке M с помощью транспортира построим прямой угол, то есть $\angle M = 90^\circ$. Проведем из точки M луч.
4. В точке N с помощью транспортира построим угол, равный $50^\circ$. Проведем из точки N луч так, чтобы он пересек луч, проведенный из точки M.
5. Точка пересечения этих двух лучей и будет вершиной K. Треугольник MNK построен.

Определение вида треугольника:
Поскольку один из углов треугольника ($\angle M$) равен $90^\circ$, этот треугольник является прямоугольным. Так как все углы треугольника имеют разную величину ($90^\circ$, $50^\circ$, $40^\circ$), то и все его стороны имеют разную длину. Следовательно, треугольник также является разносторонним.

Ответ: Треугольник MNK — прямоугольный, разносторонний.

б)

Чтобы построить треугольник MNK с заданными параметрами ($\angle M = 60^\circ$, сторона $MN = 7$ см и $\angle K = 60^\circ$), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найдем величину угла N. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$.
   $\angle N = 180^\circ - \angle M - \angle K = 180^\circ - 60^\circ - 60^\circ = 60^\circ$.
2. С помощью линейки построим отрезок $MN$ длиной 7 см.
3. В точке M с помощью транспортира построим угол, равный $60^\circ$, и проведем из нее луч.
4. В точке N с помощью транспортира построим угол, равный $60^\circ$, и проведем из нее луч до пересечения с первым лучом.
5. Точка пересечения лучей будет вершиной K. Треугольник MNK построен.

Определение вида треугольника:
Все углы этого треугольника равны $60^\circ$ ($\angle M = \angle N = \angle K = 60^\circ$). Треугольник, у которого все углы равны, является равносторонним (или правильным). В равностороннем треугольнике все стороны также равны. Поскольку все углы меньше $90^\circ$, он также является остроугольным.

Ответ: Треугольник MNK — равносторонний (остроугольный).

в)

Чтобы построить треугольник MNK с заданными параметрами ($\angle M = 30^\circ$, сторона $MN = 7$ см и $\angle K = 30^\circ$), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найдем величину угла N. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$.
   $\angle N = 180^\circ - \angle M - \angle K = 180^\circ - 30^\circ - 30^\circ = 120^\circ$.
2. С помощью линейки построим отрезок $MN$ длиной 7 см.
3. В точке M с помощью транспортира построим угол, равный $30^\circ$, и проведем из нее луч.
4. В точке N с помощью транспортира построим угол, равный $120^\circ$, и проведем из нее луч до пересечения с первым лучом.
5. Точка пересечения лучей будет вершиной K. Треугольник MNK построен.

Определение вида треугольника:
В треугольнике MNK два угла равны: $\angle M = \angle K = 30^\circ$. Треугольник, у которого равны два угла, является равнобедренным. Стороны, лежащие напротив равных углов ($NK$ и $MN$), равны между собой. Так как один из углов треугольника ($\angle N = 120^\circ$) больше $90^\circ$, этот треугольник является тупоугольным.

Ответ: Треугольник MNK — равнобедренный, тупоугольный.

1.157. Найдите периметр треугольника со сторонами 6,1 см, 5,7 см, 10,2 см.

1.157

$Р = 6,1 + 5,7 + 10,2 = 22$(см) – периметр треугольника

Ответ: 22 см

Периметр многоугольника — это сумма длин всех его сторон. Для треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$ периметр $P$ вычисляется по формуле:

$P = a + b + c$

В данной задаче нам даны длины сторон треугольника:
$a = 6,1$ см
$b = 5,7$ см
$c = 10,2$ см

Чтобы найти периметр, нужно сложить длины этих сторон. Перед вычислением убедимся, что такой треугольник существует, проверив неравенство треугольника (сумма длин любых двух сторон должна быть больше третьей стороны):
$6,1 + 5,7 = 11,8 > 10,2$ (Верно)
$6,1 + 10,2 = 16,3 > 5,7$ (Верно)
$5,7 + 10,2 = 15,9 > 6,1$ (Верно)
Поскольку все три неравенства выполняются, треугольник с такими сторонами существует.

Теперь вычислим периметр:
$P = 6,1 \text{ см} + 5,7 \text{ см} + 10,2 \text{ см}$
Сложим первые два слагаемых:
$6,1 + 5,7 = 11,8$
Теперь прибавим третье слагаемое:
$11,8 + 10,2 = 22,0$

Периметр треугольника равен 22 см.

Ответ: 22 см.

1.158. Найдите периметр треугольника АВС, если сторона АВ равна 18 см, сторона АС в два раза больше стороны АВ, а сторона ВС на 10 см меньше стороны АС.

1.158

$\mathbf{1}\mathbf{)} 2 · 18 = 36$(см) – сторона АС;

$\mathbf{2}\mathbf{)} 36 – 10 = 26$(см) – сторона ВС;

$\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathrm{Р} = 18 + 36 + 26 = 80 (\mathrm{см});$

Ответ: 80 см

Для того чтобы найти периметр треугольника $ABC$, необходимо последовательно вычислить длины всех его сторон, а затем сложить их.

1. Найдём длину стороны AC

В условии сказано, что сторона $AC$ в два раза больше стороны $AB$. Длина стороны $AB$ дана и равна 18 см. Чтобы найти длину стороны $AC$, умножим длину $AB$ на 2:

$AC = AB \cdot 2 = 18 \text{ см} \cdot 2 = 36 \text{ см}$

2. Найдём длину стороны BC

Далее, по условию, сторона $BC$ на 10 см меньше стороны $AC$. Мы уже определили, что длина $AC$ составляет 36 см. Теперь вычтем 10 см из длины $AC$, чтобы найти длину $BC$:

$BC = AC - 10 \text{ см} = 36 \text{ см} - 10 \text{ см} = 26 \text{ см}$

3. Найдём периметр треугольника ABC

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон. Теперь у нас есть длины всех трёх сторон: $AB = 18$ см, $AC = 36$ см и $BC = 26$ см. Сложим их:

$P_{ABC} = AB + AC + BC$

$P_{ABC} = 18 \text{ см} + 36 \text{ см} + 26 \text{ см} = 80 \text{ см}$

Ответ: 80 см.

1.159. Найдите сторону равностороннего треугольника, если его периметр равен 6,09 дм.

1.159

Р = 6,09 дм

$\mathbf{1}\mathbf{)} 6,09 : 3 = 2,03$(дм) – сторона равностороннего треугольника.

Ответ: 2,03 дм.

1.159

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон. Равносторонний треугольник имеет три стороны одинаковой длины.

Пусть $a$ — это длина стороны равностороннего треугольника. Тогда его периметр $P$ можно выразить формулой: $P = a + a + a = 3 \cdot a$

Из условия задачи известно, что периметр равен $6,09$ дм. $P = 6,09$ дм.

Чтобы найти длину стороны $a$, необходимо периметр $P$ разделить на 3: $a = P \div 3$

Выполним вычисление: $a = 6,09 \div 3 = 2,03$ дм.

Ответ: 2,03 дм.

1.160. В треугольнике KLM угол KLM равен 80º, а угол MKL в 4 раза меньше. Найдите угол KML.

1.160

$\mathbf{1}\mathbf{)} 80° : 4 = 20° - \angle MKL;$

$\mathbf{2}\mathbf{)} 180° - (80° + 20°) = 80° - \angle KML.$

Ответ: 80°

По условию задачи дан треугольник $KLM$. Величина угла $KLM$ составляет $80°$.

Указано, что угол $MKL$ в 4 раза меньше угла $KLM$. Вычислим величину угла $MKL$:
$\angle MKL = \angle KLM \div 4 = 80° \div 4 = 20°$.

Сумма всех внутренних углов треугольника всегда равна $180°$. Для треугольника $KLM$ это можно записать в виде формулы:
$\angle KLM + \angle MKL + \angle KML = 180°$.

Чтобы найти неизвестный угол $KML$, подставим в формулу известные значения и решим уравнение:
$80° + 20° + \angle KML = 180°$
$100° + \angle KML = 180°$
$\angle KML = 180° - 100°$
$\angle KML = 80°$.

Ответ: $80°$.

1.161. В треугольнике АВС угол А в 2 раза больше угла В и на 20º меньше угла С. Найдите углы треугольника АВС.

1.161

Пусть х - ∠ В, тогда 2х - ∠ А, 2х + 20° - ∠ С. Зная, что сумма углов треугольника равна 180°, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} 2х + х + 2х + 20 =180; \\ 5х + 20 = 180; \\ 5х = 180 – 20; \\ 5х = 160; \\ х = 160 : 5; \\ х = 32° - \angle В \end{gathered}$$

$\mathbf{1}\mathbf{)} 2 · 32° = 64° - \angle А;$

$\mathbf{2}\mathbf{)} 64° + 20° = 84° - \angle С.$

Ответ: 64°, 32° и 84°.

Пусть величина угла B равна $x$.

Согласно условию задачи, угол A в 2 раза больше угла B. Следовательно, мы можем выразить угол A через $x$: $\angle A = 2 \cdot \angle B = 2x$.

Также по условию, угол A на $20^\circ$ меньше угла C. Это означает, что угол C на $20^\circ$ больше угла A. Выразим угол C: $\angle C = \angle A + 20^\circ$. Подставив сюда выражение для угла A, получим: $\angle C = 2x + 20^\circ$.

Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$. Используя это свойство, составим уравнение: $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$.

Подставим в уравнение выражения для каждого угла через $x$: $2x + x + (2x + 20^\circ) = 180^\circ$.

Теперь решим полученное уравнение:

$5x + 20^\circ = 180^\circ$

$5x = 180^\circ - 20^\circ$

$5x = 160^\circ$

$x = \frac{160^\circ}{5}$

$x = 32^\circ$

Мы нашли величину угла B: $\angle B = 32^\circ$.

Теперь найдем остальные углы:

$\angle A = 2x = 2 \cdot 32^\circ = 64^\circ$.

$\angle C = 2x + 20^\circ = 2 \cdot 32^\circ + 20^\circ = 64^\circ + 20^\circ = 84^\circ$.

Проверка: $\angle A + \angle B + \angle C = 64^\circ + 32^\circ + 84^\circ = 180^\circ$. Все условия задачи выполнены.

Ответ: угол A равен $64^\circ$, угол B равен $32^\circ$, угол C равен $84^\circ$.

1.162. Найдите корень уравнения:

а) (2 – 123) · х = 59;

б) х : (23 + 19) = 935.

1.162

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }\left(2 - 1\frac{2}{3}\right)\mathbf{ }· х = \frac{5}{9}; \\ \left(1\frac{3}{3} - 1\frac{2}{3}\right)\mathbf{ }· х = \frac{5}{9}; \\ \frac{1}{3}\mathbf{ }· х = \frac{5}{9}; \\ х = \frac{5}{9} : \frac{1}{3}; \\ х = \frac{5}{{\displaystyle \underset{3}{\cancel{9}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{3}}}}{1}; \\ х = \frac{5}{3}; \\ х = 1\frac{2}{3}. \\ Ответ: 1\frac{2}{3}. \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }х : \left({\frac{2}{3}}^{\overline{)·3}} + \frac{1}{9}\right) = \frac{9}{35}; \\ х : \left(\frac{6}{9} + \frac{1}{9}\right) = \frac{9}{35}; \\ х : \frac{7}{9} = \frac{9}{35}; \\ х = \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{9}}}}{{\displaystyle \underset{5}{\cancel{35}}}} ·\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{7}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{9}}}}; \\ х = \frac{1}{5}. \\ Ответ: \frac{1}{5}. \end{gathered}$$

а)

Дано уравнение: $(2 - 1\frac{2}{3}) \cdot x = \frac{5}{9}$.

1. Сначала упростим выражение в скобках. Для этого преобразуем смешанное число в неправильную дробь и представим целое число в виде дроби.

$1\frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{5}{3}$

$2 = \frac{2}{1} = \frac{6}{3}$

2. Выполним вычитание в скобках:

$2 - 1\frac{2}{3} = \frac{6}{3} - \frac{5}{3} = \frac{6-5}{3} = \frac{1}{3}$

3. Теперь уравнение выглядит так:

$\frac{1}{3} \cdot x = \frac{5}{9}$

4. Чтобы найти неизвестный множитель $x$, нужно произведение разделить на известный множитель:

$x = \frac{5}{9} : \frac{1}{3}$

5. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:

$x = \frac{5}{9} \cdot \frac{3}{1} = \frac{5 \cdot 3}{9 \cdot 1} = \frac{15}{9}$

6. Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 3:

$x = \frac{15 \div 3}{9 \div 3} = \frac{5}{3}$

7. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$x = 1\frac{2}{3}$

Ответ: $1\frac{2}{3}$.

б)

Дано уравнение: $x : (\frac{2}{3} + \frac{1}{9}) = \frac{9}{35}$.

1. Сначала упростим выражение в скобках. Для этого приведем дроби к общему знаменателю, который равен 9.

$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} = \frac{6}{9}$

2. Выполним сложение в скобках:

$\frac{6}{9} + \frac{1}{9} = \frac{6+1}{9} = \frac{7}{9}$

3. Теперь уравнение выглядит так:

$x : \frac{7}{9} = \frac{9}{35}$

4. В этом уравнении $x$ является делимым. Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель:

$x = \frac{9}{35} \cdot \frac{7}{9}$

5. Выполним умножение. Можно сократить дроби перед вычислением (9 в числителе и знаменателе, а также 7 и 35):

$x = \frac{\cancel{9}^1 \cdot \cancel{7}^1}{\cancel{35}_5 \cdot \cancel{9}_1} = \frac{1 \cdot 1}{5 \cdot 1} = \frac{1}{5}$

Ответ: $\frac{1}{5}$.

1.163. Вычислите:

а) 51 - (3,75 : 3 + 86,45 : 24,7) · 2,4;

б) (650 000 : 3125 - 196,5) · 3,14.

1.163

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} 51 – (3,75 \stackrel{1}{:} 3 + 86,45 : 24,7) · 2,4 = \\ = 51 – (1,25 + 864,5 \stackrel{2}{:} 247) · 2,4 = \\ = 51 – (1,25 + 3,5) · 2,4 = 51 – 4,75 \stackrel{3}{·} 2,4 = \\ =51 \stackrel{4}{–} 11,4 = 39,6 \end{gathered}$$

1.	2.
3.	4.

$\mathit{б}\mathbf{)} (650 000 \stackrel{1}{:} 3125 \stackrel{2}{–} 196,5) \stackrel{3}{·} 3,14 = 36,11$

1.

2.

3.

а) $51 - (3,75 : 3 + 86,45 : 24,7) \cdot 2,4$

Решим данный пример по действиям, соблюдая их правильный порядок: сначала действия в скобках (деление, затем сложение), затем умножение и в последнюю очередь вычитание.

1. Выполним первое деление в скобках:

$3,75 : 3 = 1,25$

2. Выполним второе деление в скобках. Чтобы упростить вычисление, избавимся от десятичной дроби в делителе, умножив и делимое, и делитель на 10:

$86,45 : 24,7 = 864,5 : 247 = 3,5$

3. Теперь выполним сложение результатов, полученных в скобках:

$1,25 + 3,5 = 4,75$

4. Умножим результат, полученный в скобках, на 2,4:

$4,75 \cdot 2,4 = 11,4$

5. Выполним последнее действие — вычитание:

$51 - 11,4 = 39,6$

Ответ: 39,6.

б) $(650 000 : 3125 - 196,5) \cdot 3,14$

Решим данный пример по действиям: сначала действия в скобках (деление, затем вычитание), а затем умножение.

1. Выполним деление в скобках:

$650 000 : 3125 = 208$

2. Выполним вычитание в скобках:

$208 - 196,5 = 11,5$

3. Умножим полученную разность на 3,14:

$11,5 \cdot 3,14 = 36,11$

Ответ: 36,11.

4.154. Вычислите.

4.154

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} 2 : 4 = 0,5; \\ 0,5 · 3 = 1,5; \\ 1,5 – 1,2 = 0,3; \\ 0,3 : 0,1 = 3 : 1 = 3. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }6 · 0,6 = 3,6; \\ 3,6 + 1,2 = 4,8; \\ 4,8 : 0,4 = 48 : 4 = 12; \\ 12 · 0,3 = 3,6. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)} {\frac{1}{3}}^{\overline{)·2}} - \frac{1}{6} = \frac{2}{6} - \frac{1}{6} =\frac{ 1}{6}; \\ \frac{1}{6} : \frac{1}{2} = \frac{1}{6} · 2 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}; \\ \frac{1}{\cancel{3}} · \frac{\cancel{3}}{7} = \frac{1}{1} · \frac{1}{7} = \frac{1}{7}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)} {\frac{1}{2}}^{\overline{)·2}} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} + \frac{1}{4} =\frac{3}{4}; \\ \frac{3}{4} · 1\frac{1}{3} = \frac{\cancel{3}}{\bcancel{4}} · \frac{\bcancel{4}}{\cancel{3}} = 1; \\ 1 - \frac{5}{6} = \frac{6}{6} - \frac{5}{6} = \frac{1}{6}. \end{gathered}$$

а)
Выполним вычисления последовательно, по действиям:
1) $2 : 4 = 0,5$
2) $0,5 \cdot 3 = 1,5$
3) $1,5 - 1,2 = 0,3$
4) $0,3 : 0,1 = 3$
Ответ: 3

б)
Выполним вычисления последовательно, по действиям:
1) $6 \cdot 0,6 = 3,6$
2) $3,6 + 1,2 = 4,8$
3) $4,8 : 0,4 = 48 : 4 = 12$
4) $12 \cdot 0,3 = 3,6$
Ответ: 3,6

в)
Выполним вычисления последовательно, по действиям:
1) Первое действие — вычитание дробей. Приведем их к общему знаменателю 6.
$\frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6} = \frac{2}{6} - \frac{1}{6} = \frac{1}{6}$
2) Второе действие — деление дробей. Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь.
$\frac{1}{6} : \frac{1}{2} = \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{1} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
3) Третье действие — умножение дробей.
$\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{7} = \frac{1 \cdot 3}{3 \cdot 7} = \frac{1}{7}$
Ответ: $\frac{1}{7}$

г)
Выполним вычисления последовательно, по действиям:
1) Первое действие — сложение дробей. Приведем их к общему знаменателю 4.
$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
2) Второе действие — умножение. Сначала преобразуем смешанное число $1\frac{1}{3}$ в неправильную дробь.
$1\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3}$
Теперь выполним умножение:
$\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3} = \frac{3 \cdot 4}{4 \cdot 3} = 1$
3) Третье действие — вычитание. Представим 1 как дробь со знаменателем 6.
$1 - \frac{5}{6} = \frac{6}{6} - \frac{5}{6} = \frac{1}{6}$
Ответ: $\frac{1}{6}$

4.152. Найдите числа на координатной прямой, удалённые от:

а) числа 3 на 7 единиц;
б) числа –2 на 5 единиц;
в) числа –13 на 2 единицы;
г) числа 9 на 11 единиц.

4.155

а)

-4 и 10

б)

-7 и 3

в)

-15 и -11

г)

-2 и 20

Чтобы найти числа на координатной прямой, удаленные от заданного числа на некоторое расстояние, необходимо рассмотреть два случая: движение вправо (сложение) и движение влево (вычитание) от исходной точки на это расстояние.

а) числа 3 на 7 единиц;

Ищем числа, которые находятся на расстоянии 7 единиц от числа 3. Для этого мы прибавляем и вычитаем 7 из 3.

1. Находим число, расположенное правее (в сторону увеличения):

$3 + 7 = 10$

2. Находим число, расположенное левее (в сторону уменьшения):

$3 - 7 = -4$

Таким образом, искомые числа — это 10 и -4.

Ответ: 10 и -4.

б) числа -2 на 5 единиц;

Ищем числа, которые находятся на расстоянии 5 единиц от числа -2.

1. Движение вправо:

$-2 + 5 = 3$

2. Движение влево:

$-2 - 5 = -7$

Искомые числа — это 3 и -7.

Ответ: 3 и -7.

в) числа -13 на 2 единицы;

Ищем числа, которые находятся на расстоянии 2 единиц от числа -13.

1. Движение вправо:

$-13 + 2 = -11$

2. Движение влево:

$-13 - 2 = -15$

Искомые числа — это -11 и -15.

Ответ: -11 и -15.

г) числа 9 на 11 единиц.

Ищем числа, которые находятся на расстоянии 11 единиц от числа 9.

1. Движение вправо:

$9 + 11 = 20$

2. Движение влево:

$9 - 11 = -2$

Искомые числа — это 20 и -2.

Ответ: 20 и -2.

4.156. Найдите, сколько целых чисел между числами:

а) –33 и 33; б) 40,3 и –40,3.

4.156

а) 32 отрицательных числа, число 0 и 32 положительных числа
32 + 1 + 32 = 65 чисел

б) 40 отрицательных чисел, число 0 и 40 положительных чисел
40 + 1 + 40 = 81 число

а) Требуется найти количество целых чисел между числами -33 и 33. Это все целые числа $x$, которые удовлетворяют строгому неравенству $-33 < x < 33$.

Наименьшее целое число, которое больше -33, это -32. Наибольшее целое число, которое меньше 33, это 32. Следовательно, нам нужно найти количество всех целых чисел от -32 до 32 включительно.

Множество этих чисел состоит из трех частей:
1. Отрицательные целые числа от -32 до -1. Их количество равно 32.
2. Число 0. Это одно число.
3. Положительные целые числа от 1 до 32. Их количество равно 32.

Общее количество целых чисел равно сумме этих количеств: $32 + 1 + 32 = 65$.

Также можно использовать общую формулу для нахождения количества целых чисел в диапазоне от $m$ до $n$ включительно: $n - m + 1$.
В нашем случае $m = -32$ и $n = 32$.
Количество чисел: $32 - (-32) + 1 = 32 + 32 + 1 = 65$.

Ответ: 65

б) Требуется найти количество целых чисел между числами 40,3 и -40,3. Это все целые числа $x$, которые удовлетворяют строгому неравенству $-40,3 < x < 40,3$.

Наименьшее целое число, которое больше -40,3, это -40. Наибольшее целое число, которое меньше 40,3, это 40. Следовательно, нам нужно найти количество всех целых чисел от -40 до 40 включительно.

Множество этих чисел состоит из трех частей:
1. Отрицательные целые числа от -40 до -1. Их количество равно 40.
2. Число 0. Это одно число.
3. Положительные целые числа от 1 до 40. Их количество равно 40.

Общее количество целых чисел равно сумме этих количеств: $40 + 1 + 40 = 81$.

Применяя формулу для количества целых чисел в диапазоне от $m$ до $n$ включительно ($n - m + 1$), где $m = -40$ и $n = 40$:
Количество чисел: $40 - (-40) + 1 = 40 + 40 + 1 = 81$.

Ответ: 81

4.157. Какими могут быть числа –m и –(m):

а) положительными; б) отрицательными; в) нулём?

4.157

- m = -(m)

а) при m < 0 числа –m и –(m) являются положительными

б) при m > 0 числа –m и –(m) являются отрицательными

в) при m = 0 числа –m и –(m) являются нулями

Для ответа на этот вопрос проанализируем выражения $-m$ и $-(-m)$ в зависимости от знака числа $m$.

В первую очередь, упростим выражение $-(-m)$. Число, противоположное противоположному числу, равно исходному числу. Следовательно, $-(-m) = m$.

Таким образом, вопрос сводится к тому, какими могут быть числа $-m$ и $m$. Это зависит от того, каким является само число $m$. Рассмотрим три возможных случая для $m$.

• Если $m$ — положительное число (например, $m=5$), то $-m$ — отрицательное число ($-m=-5$), а $-(-m) = m$ — положительное число ($-(-5)=5$).
• Если $m$ — отрицательное число (например, $m=-5$), то $-m$ — положительное число ($-m=-(-5)=5$), а $-(-m) = m$ — отрицательное число ($-(-(-5))=-5$).
• Если $m$ — нуль ($m=0$), то $-m$ — тоже нуль ($-m=0$), и $-(-m) = m$ — тоже нуль ($-(-0)=0$).

Теперь ответим на каждый подпункт вопроса.

а) положительными

Да, оба числа могут быть положительными, но при разных условиях.

Число $-m$ будет положительным, если само число $m$ является отрицательным. Математически: если $m < 0$, то $-m > 0$. Например, если взять $m = -3$, то $-m = -(-3) = 3$, что является положительным числом.

Число $-(-m)$, которое равно $m$, будет положительным, если само число $m$ является положительным. Математически: если $m > 0$, то $-(-m) = m > 0$. Например, если взять $m = 8$, то $-(-m) = 8$, что является положительным числом.

Ответ: Да, числа $-m$ и $-(-m)$ могут быть положительными. Число $-m$ положительно, если $m$ — отрицательное число. Число $-(-m)$ положительно, если $m$ — положительное число.

б) отрицательными

Да, оба числа могут быть отрицательными, но при разных условиях.

Число $-m$ будет отрицательным, если само число $m$ является положительным. Математически: если $m > 0$, то $-m < 0$. Например, если взять $m = 4$, то $-m = -4$, что является отрицательным числом.

Число $-(-m)$, которое равно $m$, будет отрицательным, если само число $m$ является отрицательным. Математически: если $m < 0$, то $-(-m) = m < 0$. Например, если взять $m = -10$, то $-(-m) = -10$, что является отрицательным числом.

Ответ: Да, числа $-m$ и $-(-m)$ могут быть отрицательными. Число $-m$ отрицательно, если $m$ — положительное число. Число $-(-m)$ отрицательно, если $m$ — отрицательное число.

в) нулём

Да, оба числа могут быть равны нулю.

Это происходит в единственном случае: когда само число $m$ равно нулю. Если $m = 0$, то:

• $-m = -0 = 0$
• $-(-m) = -(-0) = 0$

В этом случае оба выражения, $-m$ и $-(-m)$, одновременно равны нулю.

Ответ: Да, числа $-m$ и $-(-m)$ могут быть равны нулю. Это происходит тогда и только тогда, когда $m = 0$.

4.158. Выполните сложение:

а) |–9| + |–5|; б) |–4,5| + |–3,7|; в) |– 511| + |– 711|; г) |–159| + |–2518|.

4.158

$\mathit{а}\mathbf{)} |-9|+|-5|=9+5=14$

$\mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }|-4,5|+|-3,7|=4,5+3,7=8,2$

$\mathit{в}\mathbf{)} \left|-\frac{5}{11}\right| + \left|-\frac{7}{11}\right| = \frac{5}{11} + \frac{7}{11} = \frac{12}{11} = 1\frac{1}{11}$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)} \left|-1\frac{5}{9}\right| + \left|-2\frac{5}{18}\right| ={ 1\frac{5}{9}}^{\overline{)·2}} + 2\frac{5}{18} = \\ = 1\frac{10}{18} + 2\frac{5}{18} = 3\frac{15}{18} = 3\frac{5}{6}. \end{gathered}$$

а) $|-9| + |-5|$

Модуль (абсолютная величина) числа — это расстояние от начала координат до точки, изображающей это число на координатной прямой. Модуль любого отрицательного числа равен противоположному ему положительному числу.
$|-9| = 9$
$|-5| = 5$
Теперь выполним сложение полученных значений:
$|-9| + |-5| = 9 + 5 = 14$

Ответ: 14

б) $|-4,5| + |-3,7|$

Находим модули десятичных дробей:
$|-4,5| = 4,5$
$|-3,7| = 3,7$
Складываем полученные числа:
$4,5 + 3,7 = 8,2$

Ответ: 8,2

в) $|-\frac{5}{11}| + |-\frac{7}{11}|$

Находим модули обыкновенных дробей:
$|-\frac{5}{11}| = \frac{5}{11}$
$|-\frac{7}{11}| = \frac{7}{11}$
Складываем дроби с одинаковым знаменателем:
$\frac{5}{11} + \frac{7}{11} = \frac{5+7}{11} = \frac{12}{11}$
Так как числитель больше знаменателя, это неправильная дробь. Выделим целую часть:
$\frac{12}{11} = 1\frac{1}{11}$

Ответ: $1\frac{1}{11}$

г) $|-1\frac{5}{9}| + |-2\frac{5}{18}|$

Находим модули смешанных чисел:
$|-1\frac{5}{9}| = 1\frac{5}{9}$
$|-2\frac{5}{18}| = 2\frac{5}{18}$
Чтобы сложить смешанные числа, нужно привести их дробные части к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 9 и 18 — это 18.
Приведем дробную часть первого числа к знаменателю 18:
$1\frac{5}{9} = 1\frac{5 \cdot 2}{9 \cdot 2} = 1\frac{10}{18}$
Теперь сложим смешанные числа. Сначала сложим целые части, а затем дробные:
$1\frac{10}{18} + 2\frac{5}{18} = (1+2) + (\frac{10}{18} + \frac{5}{18}) = 3 + \frac{10+5}{18} = 3\frac{15}{18}$
Сократим дробную часть, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 3:
$\frac{15}{18} = \frac{15 \div 3}{18 \div 3} = \frac{5}{6}$
Таким образом, получаем:
$3\frac{5}{6}$

Ответ: $3\frac{5}{6}$

4.159. Какое из чисел меньше:

а) –7,8 и –13,3; б) – 711 и – 811; в) – 34 и – 78; г) –378 и –367?

4.159

$\mathit{а}\mathbf{)} -13,3 < -7,8$

$\mathit{б}\mathbf{)} -\frac{8}{11} < -\frac{7}{11}$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)} {-\frac{3}{4}}^{\overline{)·2}} = -\frac{6}{8}; \\ -\frac{6}{8} > -\frac{7}{8}; \\ -\frac{7}{8} <-\frac{3}{4} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)} {-3\frac{7}{8}}^{\overline{)·7}} = -3\frac{49}{56}; \\ {-3\frac{6}{7}}^{\overline{)·8}} = -3\frac{48}{56} \\ -3\frac{49}{56} < -3\frac{48}{56} \\ -3\frac{7}{8} <-3\frac{6}{7} \end{gathered}$$

а) Чтобы сравнить два отрицательных числа, нужно сравнить их модули (абсолютные величины). Из двух отрицательных чисел меньше то, модуль которого больше. Сравним модули чисел $-7,8$ и $-13,3$.
$|-7,8| = 7,8$
$|-13,3| = 13,3$
Поскольку $13,3 > 7,8$, то $-13,3 < -7,8$.
Ответ: $-13,3$

б) Сравниваем две отрицательные дроби с одинаковыми знаменателями: $-\frac{7}{11}$ и $-\frac{8}{11}$. Сначала сравним их модули: $\frac{7}{11}$ и $\frac{8}{11}$.
Так как знаменатели одинаковы, сравниваем числители: $7 < 8$. Значит, $\frac{7}{11} < \frac{8}{11}$.
Для отрицательных чисел правило сравнения противоположное: из двух отрицательных чисел меньше то, модуль которого больше. Следовательно, $-\frac{8}{11} < -\frac{7}{11}$.
Ответ: $-\frac{8}{11}$

в) Чтобы сравнить дроби $-\frac{3}{4}$ и $-\frac{7}{8}$, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 4 и 8 это 8.
Приведем дробь $-\frac{3}{4}$ к знаменателю 8:
$-\frac{3}{4} = -\frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} = -\frac{6}{8}$
Теперь сравним дроби $-\frac{6}{8}$ и $-\frac{7}{8}$. Так как их модули $\frac{6}{8}$ и $\frac{7}{8}$ имеют одинаковые знаменатели, а $6 < 7$, то $\frac{6}{8} < \frac{7}{8}$.
Для отрицательных чисел, чем больше модуль, тем меньше число. Поэтому $-\frac{7}{8} < -\frac{6}{8}$.
Значит, $-\frac{7}{8} < -\frac{3}{4}$.
Ответ: $-\frac{7}{8}$

г) Сравним смешанные отрицательные числа $-3\frac{7}{8}$ и $-3\frac{6}{7}$. Целые части у этих чисел одинаковы (-3), поэтому для сравнения нужно рассмотреть их дробные части: $-\frac{7}{8}$ и $-\frac{6}{7}$.
Сначала сравним положительные дроби $\frac{7}{8}$ и $\frac{6}{7}$. Приведем их к общему знаменателю $56$.
$\frac{7}{8} = \frac{7 \cdot 7}{8 \cdot 7} = \frac{49}{56}$
$\frac{6}{7} = \frac{6 \cdot 8}{7 \cdot 8} = \frac{48}{56}$
Так как $49 > 48$, то $\frac{49}{56} > \frac{48}{56}$, а значит $\frac{7}{8} > \frac{6}{7}$.
Для отрицательных чисел правило обратное: чем больше модуль, тем меньше само число. Так как модуль числа $-3\frac{7}{8}$ больше модуля числа $-3\frac{6}{7}$ ($3\frac{7}{8} > 3\frac{6}{7}$), то $-3\frac{7}{8} < -3\frac{6}{7}$.
Ответ: $-3\frac{7}{8}$

4.160. На тренировке биатлонист попал в цель 168 раз. Сколько он сделал выстрелов, если 84 % всех выстрелов попали в цель?

4.160

Всего выстрелов - ?

Попал – 168 раз = 84% =0,84.

168 : 0,84 = 16800 : 84 = 200 (в.) – сделал биатлонист.

Ответ: 200 выстрелов.

Для решения этой задачи нам нужно найти общее число (все выстрелы) по его известной части (168 попаданий) и проценту, который эта часть составляет (84%).

Пусть $x$ — это общее количество выстрелов, которое сделал биатлонист. Это количество мы принимаем за 100%.

Согласно условию, 168 попаданий составляют 84% от общего числа выстрелов. Мы можем составить пропорцию, чтобы найти $x$:
168 попаданий — это 84%
$x$ выстрелов — это 100%

Запишем эту зависимость в виде математической пропорции:
$\frac{168}{x} = \frac{84}{100}$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $x$:
$x = \frac{168 \times 100}{84}$

Для упрощения вычислений, сначала разделим 168 на 84:
$\frac{168}{84} = 2$

Теперь подставим полученный результат обратно в формулу для $x$:
$x = 2 \times 100 = 200$

Таким образом, всего биатлонист сделал 200 выстрелов.

Ответ: 200.

4.161. На бобину намотано 150 м тесьмы. Сколько метров тесьмы осталось, если отрезали 15 % её длины?

4.161

Тесьмы – 150 м

Отрезали - ? м = 15% = 0,15

Осталось - ? м.

1) 150 • 0,15 = 22,5 (м) – отрезали;

2) 150 – 22,5 = 127,5 (м) – осталось.

Ответ: 127,5 м тесьмы осталось

Эту задачу можно решить двумя способами.

Способ 1: Вычисление через длину отрезанной части

1. Сначала найдём, сколько метров составляет 15% от общей длины тесьмы (150 м). Для этого нужно перевести проценты в десятичную дробь и умножить на общую длину.

$15\% = \frac{15}{100} = 0.15$

Длина отрезанной части: $150 \text{ м} \cdot 0.15 = 22.5 \text{ м}$.

2. Теперь, чтобы найти оставшуюся длину тесьмы, вычтем из первоначальной длины длину отрезанной части.

Оставшаяся длина: $150 \text{ м} - 22.5 \text{ м} = 127.5 \text{ м}$.

Ответ: осталось 127,5 м тесьмы.

Способ 2: Вычисление через оставшийся процент

1. Изначально вся длина тесьмы составляет 100%. Если отрезали 15%, то оставшаяся часть в процентах равна:

$100\% - 15\% = 85\%$

2. Теперь найдём, какую длину составляют эти 85% от 150 м. Как и в первом способе, переведём проценты в десятичную дробь и умножим на общую длину.

$85\% = \frac{85}{100} = 0.85$

Оставшаяся длина: $150 \text{ м} \cdot 0.85 = 127.5 \text{ м}$.

Ответ: осталось 127,5 м тесьмы.

4.162. Вася подарил маме букет из 15 тюльпанов. Через некоторое время 6 тюльпанов завяли, и их выбросили. Сколько процентов всех тюльпанов осталось в букете?

4.162

Подарил – 15 тюльпанов;

Завяли – 6 тюльпанов;

Осталось - ? %.

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }15 – 6 = 9 (\mathrm{т})$– осталось;

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{9}{15} · 100\% = {\frac{3}{5}}^{\overline{)·2}} · 100\% = \frac{6}{10} · 100\% =$

$= 0,6 · 100\% = 60\%$ - тюльпанов осталось в букете.

Ответ: 60%

Для решения этой задачи необходимо выполнить два основных действия: сначала найти количество оставшихся тюльпанов, а затем вычислить, какую долю в процентах они составляют от первоначального количества.

1. Находим количество тюльпанов, которые остались в букете.
Изначально было 15 тюльпанов. После того как 6 из них завяли и были выброшены, их количество уменьшилось. Чтобы найти, сколько тюльпанов осталось, нужно из первоначального количества вычесть количество завядших тюльпанов.
$15 - 6 = 9$ (тюльпанов) — осталось в букете.

2. Рассчитываем процент оставшихся тюльпанов.
Первоначальное количество, 15 тюльпанов, принимается за 100%. Нам нужно найти, какой процент от этого целого составляют 9 оставшихся тюльпанов (часть). Для этого разделим часть на целое и умножим результат на 100%.
Формула для нахождения процента: $\frac{\text{часть}}{\text{целое}} \times 100\%$.
Подставим наши значения:
$\frac{9}{15} \times 100\%$.
Сначала можно сократить дробь $\frac{9}{15}$, разделив числитель и знаменатель на 3:
$\frac{9 \div 3}{15 \div 3} = \frac{3}{5}$.
Теперь умножим полученную дробь на 100, чтобы получить проценты:
$\frac{3}{5} \times 100\% = \frac{3 \times 100}{5}\% = \frac{300}{5}\% = 60\%$.
Таким образом, в букете осталось 60% всех тюльпанов.

Ответ: 60%.

4.163. Возможно ли занести в комнату шкаф через дверной проём высотой 2 м и шириной 70 см, если его высота 1,6 м, глубина составляет 50 % высоты, а длина – 125 % глубины?

4.163

1) 1,6 • 0,5 = 0,8 (м) – глубина шкафа;

2) 0,8 • 1,25 = 1 (м) – длина шкафа;

т.к. 0,7 м < 0,8 м и 0,7 м < 1 м, то шкаф занести невозможно

Ответ: невозможно.

Для решения задачи сначала определим точные размеры шкафа и сравним их с размерами дверного проема. Все размеры для удобства расчетов переведем в метры.

1. Расчет размеров шкафа

Размеры дверного проема: высота $H = 2$ м, ширина $W = 70$ см $= 0,7$ м.

Согласно условию, размеры шкафа следующие:

• Высота: $h_{ш} = 1,6$ м.
• Глубина: $d_{ш} = 50\%$ от высоты, то есть $0,5 \times 1,6 \text{ м} = 0,8$ м.
• Длина: $l_{ш} = 125\%$ от глубины, то есть $1,25 \times 0,8 \text{ м} = 1,0$ м.

Таким образом, шкаф представляет собой прямоугольный параллелепипед с габаритами 1,6 м × 1,0 м × 0,8 м.

2. Анализ возможности проноса шкафа

Рассмотрим различные способы проноса шкафа через дверной проем.

Если нести шкаф вертикально (сохраняя его высоту 1,6 м параллельно высоте двери), то высота шкафа (1,6 м) меньше высоты двери (2,0 м), и он проходит по высоте. Однако два других измерения шкафа — длина (1,0 м) и глубина (0,8 м) — оба больше ширины дверного проема (0,7 м). Это означает, что без наклона шкаф не пройдет.

Если положить шкаф на бок, ситуация не улучшится. Например, если его "высотой" станет глубина 0,8 м (что проходит в дверь 2,0 м), то его "шириной" и "глубиной" будут 1,0 м и 1,6 м, что не пройдет через ширину двери 0,7 м.

Единственный шанс пронести шкаф — это использовать сложную траекторию, наклоняя его. Наиболее оптимальной стратегией является пронос шкафа так, чтобы его самое длинное измерение было направлено перпендикулярно плоскости двери (то есть вдоль направления движения). В нашем случае мы можем попробовать пронести шкаф так, чтобы его высота 1,6 м была перпендикулярна проему.

Тогда задача сводится к тому, чтобы "профиль" шкафа, представляющий собой прямоугольник размером 1,0 м × 0,8 м (длина × глубина), смог пройти через дверной проем размером 2,0 м × 0,7 м.

3. Геометрический расчет и вывод

Итак, можем ли мы пронести прямоугольник со сторонами $a = 1,0$ м и $b = 0,8$ м через прямоугольное отверстие размером $H = 2,0$ м и $W = 0,7$ м?

Без наклона это сделать нельзя, так как меньшая сторона прямоугольника ($b = 0,8$ м) больше ширины проема ($W = 0,7$ м).

Однако, наклоняя прямоугольник, мы можем "вписать" его по ширине. При этом его вертикальный габарит увеличится. Нам необходимо рассчитать, какой минимальной высоты проем потребуется для такого маневра, и сравнить ее с реальной высотой двери.

Минимальная высота проема ($H_{min}$), необходимая для проноса прямоугольника $a \times b$ через щель шириной $W$ (при условии $W < b$), вычисляется по формуле:

$H_{min} = \frac{aW + b\sqrt{b^2 - W^2}}{b^2}$

Подставим наши значения: $a = 1,0$ м, $b = 0,8$ м, $W = 0,7$ м.

$H_{min} = \frac{1,0 \cdot 0,7 + 0,8\sqrt{0,8^2 - 0,7^2}}{0,8^2} = \frac{0,7 + 0,8\sqrt{0,64 - 0,49}}{0,64} = \frac{0,7 + 0,8\sqrt{0,15}}{0,64}$

Вычислим приближенное значение:

$H_{min} \approx \frac{0,7 + 0,8 \cdot 0,3873}{0,64} \approx \frac{0,7 + 0,3098}{0,64} \approx \frac{1,0098}{0,64} \approx 1,578$ м.

Минимально необходимая высота дверного проема для осуществления такого маневра составляет примерно 1,58 м.

Фактическая высота двери — 2,0 м.

Сравниваем полученный результат с высотой двери: $1,58 \text{ м} < 2,0 \text{ м}$.

Поскольку необходимая для маневра высота меньше, чем высота дверного проема, шкаф можно занести в комнату.

Ответ: Да, возможно занести шкаф в комнату.

4.164. Рассмотрите форму отдельных частей башен Московского Кремля. Есть ли среди них призмы, цилиндры, пирамиды, конусы? Есть ли у этих башен элементы, размеры которых соответствуют золотому сечению?

4.164

Части башен Московского Кремля состоят из призм, цилиндров, пирамид и конусов.

Да, у этих башен есть элементы, размеры которых соотвествуют золотому сечению.

Есть ли среди них призмы, цилиндры, пирамиды, конусы?

Да, в архитектуре башен Московского Кремля можно найти все перечисленные геометрические фигуры. Они являются основными формами, из которых скомпонованы эти сложные архитектурные сооружения.

• Призмы: Основные объемы большинства башен представляют собой многоугольные призмы. Например, Спасская, Троицкая и Никольская башни в своей основе являются четырехугольными призмами. Зубцы на стенах и башнях, известные как «ласточкин хвост», также имеют форму сложных призм.
• Цилиндры: Некоторые башни имеют круглую форму, то есть их основная часть является цилиндром. Яркими примерами служат Беклемишевская (Москворецкая) и Водовзводная башни. Также цилиндрическую форму могут иметь отдельные декоративные элементы, такие как небольшие башенки-фонарики или колонны.
• Пирамиды: Знаменитые шатровые завершения, которые были надстроены на многих башнях в XVII веке, по своей форме являются многогранными пирамидами. Шатры Спасской, Троицкой и Боровицкой башен — это классические примеры пирамидальных крыш.
• Конусы: Крыши круглых (цилиндрических) башен имеют форму конуса. Например, шатер Водовзводной башни является коническим.

Ответ: Да, среди отдельных частей башен Московского Кремля есть и призмы (основные объемы башен, зубцы), и цилиндры (Водовзводная, Беклемишевская башни), и пирамиды (шатровые завершения Спасской, Троицкой башен), и конусы (крыша Водовзводной башни).

Есть ли у этих башен элементы, размеры которых соответствуют золотому сечению?

Да, существует широко распространенное мнение и ряд исследований, указывающих на то, что в пропорциях башен Московского Кремля мог быть использован принцип «золотого сечения».

Золотое сечение — это такое пропорциональное деление отрезка на две неравные части, при котором отношение всего отрезка к его большей части равно отношению большей части к меньшей. Это отношение является иррациональным числом, обозначается греческой буквой фи ($ \phi $) и приблизительно равно 1,618. Математически это выражается формулой: $ \frac{a+b}{a} = \frac{a}{b} = \phi \approx 1,618 $ Считается, что пропорции, основанные на золотом сечении, воспринимаются человеком как наиболее гармоничные и эстетически совершенные.

Хотя прямых исторических документов, которые бы однозначно подтверждали сознательное использование этого принципа русскими зодчими, сохранилось мало, анализ пропорций многих кремлевских сооружений показывает наличие соотношений, близких к золотому сечению. Например:

• В пропорциях Спасской башни можно усмотреть золотое сечение в отношении высоты ее основной, четырехугольной части (четверика) к высоте верхних ярусов вместе с шатром.
• Колокольня Ивана Великого, архитектурная доминанта Кремля, часто приводится как образец сооружения, построенного с использованием золотого сечения. Считается, что ее ярусы делят общую высоту в пропорциях, близких к $ \phi $.

Таким образом, можно с высокой долей вероятности утверждать, что исключительная гармония и соразмерность башен Кремля достигнуты не случайно, а благодаря применению сложных математических принципов построения, к которым может относиться и золотое сечение.

Ответ: Да, многие исследователи и искусствоведы считают, что в пропорциях башен Кремля (например, Спасской башни или Колокольни Ивана Великого) можно обнаружить элементы, соотношение размеров которых соответствует золотому сечению, что придает их облику особую гармоничность, хотя это и остается предметом научных дискуссий.

4.165. Выполните действия:

1) 68,973 : 8,31 + 61,71 : ((18,61 – 17,93) · 1,5);

2) 64,124 : 7,82 + 73,32 : ((22,34 – 21,69) · 1,6).

Проверьте результат вычислений с помощью калькулятора.

4.165

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }68,973 \stackrel{3}{:} 8,31 \stackrel{5}{+} 61,71\stackrel{4}{ :} ((18,61 \stackrel{1}{–} 17,93)\stackrel{2}{ ·} 1,5) = 68,8$

1.	2.
3.	4.
5.

$\mathbf{2}\mathbf{)} 64,124\stackrel{3}{ :} 7,82 \stackrel{5}{+} 73,32 \stackrel{4}{:} ((22,34 \stackrel{1}{–} 21,69)\stackrel{2}{ ·} 1,6) = 78,7$

1.	2.
3.	4.
5.

1) $68,973 : 8,31 + 61,71 : ((18,61 - 17,93) \cdot 1,5)$

Для решения примера необходимо соблюдать порядок действий. Сначала выполняются действия в скобках, затем деление и умножение слева направо, а после — сложение.

1. Выполним вычитание в скобках: $18,61 - 17,93 = 0,68$.

2. Затем выполним умножение в скобках: $0,68 \cdot 1,5 = 1,02$.

3. Теперь выполняем деление слева направо. Первое деление: $68,973 : 8,31 = 8,3$.

4. Второе деление: $61,71 : 1,02 = 60,5$.

5. Последним действием выполним сложение: $8,3 + 60,5 = 68,8$.

Проверка на калькуляторе подтверждает результат: $68,973 / 8,31 + 61,71 / (0,68 \cdot 1,5) = 8,3 + 61,71 / 1,02 = 8,3 + 60,5 = 68,8$.

Ответ: $68,8$

2) $64,124 : 7,82 + 73,32 : ((22,34 - 21,69) \cdot 1,6)$

Решим по аналогии с первым примером, соблюдая порядок действий.

1. Действие в скобках (вычитание): $22,34 - 21,69 = 0,65$.

2. Действие в скобках (умножение): $0,65 \cdot 1,6 = 1,04$.

3. Первое деление: $64,124 : 7,82 = 8,2$.

4. Второе деление: $73,32 : 1,04 = 70,5$.

5. Сложение: $8,2 + 70,5 = 78,7$.

Проверка на калькуляторе: $64,124 / 7,82 + 73,32 / (0,65 \cdot 1,6) = 8,2 + 73,32 / 1,04 = 8,2 + 70,5 = 78,7$.

Ответ: $78,7$