Страница 41, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

1.185. Решите уравнение:

а) (0,87m - 0,66m) · 10 : 2 : 3 = 0;

б) 10 · (1,37k - 0,12k) : 5 : 8 = 0.

1.185

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} (0,87m – 0,66m) · 10 : 2 : 3 = 0; \\ (0,87m – 0,66m) · 10 : 2 = 0 · 3; \\ (0,87m – 0,66m) · 10 = 0 · 2; \\ (0,87m – 0,66m) = 0 : 10; \\ 0,87m – 0,66m = 0; \\ 0,21m = 0; \\ m = 0 : 0,21; \\ m = 0. \\ \mathrm{Ответ}: 0. \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} 10 · (1,37k – 0,12k) : 5 : 8 = 0; \\ 10 · (1,37k – 0,12k) : 5 = 0 · 8; \\ 10 · (1,37k – 0,12k) = 0 · 5; \\ (1,37k – 0,12k) = 0 : 10; \\ 1,37k – 0,12k = 0; \\ 1,25k = 0; \\ k = 0 : 1,25; \\ k = 0. \\ \mathrm{Ответ}: 0. \end{gathered}$$

а) $(0,87m - 0,66m) \cdot 10 : 2 : 3 = 0$

Данное уравнение представляет собой цепочку умножений и делений, результат которой равен нулю. Произведение или частное равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей (или делимое) равен нулю. В данном случае множитель $10$ и делители $2$ и $3$ не равны нулю. Следовательно, для выполнения равенства необходимо, чтобы выражение в скобках было равно нулю.

Приравняем выражение в скобках к нулю:

$0,87m - 0,66m = 0$

Упростим левую часть, вынеся общий множитель $m$ за скобки:

$(0,87 - 0,66)m = 0$

Выполним вычитание в скобках:

$0,21m = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Так как $0,21 \neq 0$, то:

$m = 0$

Проверка: подставим $m=0$ в исходное уравнение. $(0,87 \cdot 0 - 0,66 \cdot 0) \cdot 10 : 2 : 3 = (0 - 0) \cdot 10 : 2 : 3 = 0 \cdot 10 : 2 : 3 = 0$. Равенство выполняется.

Ответ: $m = 0$.

б) $10 \cdot (1,37k - 0,12k) : 5 : 8 = 0$

Рассуждая аналогично предыдущему пункту, мы видим, что множитель $10$ и делители $5$ и $8$ не равны нулю. Это означает, что для равенства всего выражения нулю, значение выражения в скобках должно быть равно нулю.

Приравняем выражение в скобках к нулю:

$1,37k - 0,12k = 0$

Упростим левую часть, вынеся общий множитель $k$ за скобки:

$(1,37 - 0,12)k = 0$

Выполним вычитание в скобках:

$1,25k = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Так как $1,25 \neq 0$, то:

$k = 0$

Проверка: подставим $k=0$ в исходное уравнение. $10 \cdot (1,37 \cdot 0 - 0,12 \cdot 0) : 5 : 8 = 10 \cdot (0 - 0) : 5 : 8 = 10 \cdot 0 : 5 : 8 = 0$. Равенство выполняется.

Ответ: $k = 0$.

1.186. Если число лет Кати увеличить на 11 и полученный результат уменьшить в 6 раз, то будет 4. Сколько лет Кате?

1.186

Пусть х лет Кате, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} (11 + х) : 6 = 4; \\ 11 + х = 4 · 6; \\ 11 + х = 24; \\ х = 24 – 11; \end{gathered}$$

х = 13 (лет) – Кате.

Ответ: 13 лет.

Для решения этой задачи можно составить уравнение или решить ее по действиям, идя от конца к началу.

Решение с помощью уравнения:

1. Обозначим возраст Кати переменной $x$.

2. По условию, "число лет Кати увеличить на 11". Математически это записывается как $x + 11$.

3. Далее, "полученный результат уменьшить в 6 раз". Это означает, что предыдущее выражение нужно разделить на 6: $\frac{x + 11}{6}$.

4. В итоге "то будет 4". Составляем уравнение: $\frac{x + 11}{6} = 4$.

5. Теперь решим это уравнение. Сначала умножим обе части на 6, чтобы избавиться от знаменателя:

$x + 11 = 4 \times 6$

$x + 11 = 24$

6. Перенесем 11 в правую часть уравнения с противоположным знаком (или вычтем 11 из обеих частей), чтобы найти $x$:

$x = 24 - 11$

$x = 13$

Таким образом, возраст Кати составляет 13 лет.

Решение по действиям (обратный ход):

1. Последнее действие было "уменьшить в 6 раз", и в результате получилось 4. Чтобы найти число, которое уменьшили, нужно выполнить обратное действие — умножение: $4 \times 6 = 24$.

2. До этого действия число лет Кати "увеличили на 11", и получили 24. Чтобы найти исходное число лет, нужно выполнить обратное действие — вычитание: $24 - 11 = 13$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 13.

1.187. Из одного пункта в противоположных направлениях отправились два велосипедиста, и через 1,5 ч расстояние между ними стало 39 км. С какой скоростью двигались велосипедисты, если скорость одного из них была на 2 км/ч больше скорости другого?

1.187

Пусть х км/ч – скорость 1 велосипедиста, тогда (х + 2) км/ч – скорость 2 велосипедиста, (х + х + 2) км/ч – скорость удаления велосипедистов. Зная, что через 1,5 часа расстояние между ними стало 39 км, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} 1,5(х + х + 2) = 39; \\ 1,5 · (2х + 2) = 39; \\ 3х + 3 = 39; \\ 3х = 39 – 3; \\ х = 36 : 3; \end{gathered}$$

х = 12 (км/ч) – скорость 1 велосипедиста;

$1) 12 + 2 = 14$(км/ч) – скорость 2 велосипедиста.

Ответ: 12 км/ч и 14 км/ч.

Для решения задачи обозначим скорость одного велосипедиста через $x$ км/ч. Согласно условию, скорость второго велосипедиста была на 2 км/ч больше, следовательно, его скорость составляет $(x + 2)$ км/ч.

Так как велосипедисты отправились из одного пункта в противоположных направлениях, то расстояние между ними увеличивалось. Скорость, с которой они удаляются друг от друга (скорость удаления), равна сумме их индивидуальных скоростей:

$v_{удал} = v_1 + v_2 = x + (x + 2) = (2x + 2)$ км/ч.

Общее расстояние $S$, на которое удалились объекты за время $t$, вычисляется по формуле $S = v_{удал} \cdot t$.

По условию задачи, через время $t = 1,5$ ч расстояние между велосипедистами составило $S = 39$ км. Подставим известные значения в формулу, чтобы составить уравнение:

$(2x + 2) \cdot 1,5 = 39$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $x$. Для начала, разделим обе части уравнения на 1,5:

$2x + 2 = \frac{39}{1,5}$

$2x + 2 = 26$

Далее, вычтем 2 из обеих частей уравнения:

$2x = 26 - 2$

$2x = 24$

Наконец, найдем значение $x$, разделив обе части на 2:

$x = \frac{24}{2}$

$x = 12$

Таким образом, мы нашли скорость первого (более медленного) велосипедиста — она равна 12 км/ч. Теперь найдем скорость второго велосипедиста:

$x + 2 = 12 + 2 = 14$ км/ч.

Ответ: скорость одного велосипедиста 12 км/ч, а скорость другого — 14 км/ч.

1.188. Составьте множество, элементами которого являются:

а) океаны;

б) материки;

в) континенты;

г) моря, омывающие российские берега;

д) все правильные дроби со знаменателем 12;

е) неправильные дроби с числителем 10.

1.188

а) {Тихий, Атлантический, Индийский, Южный, Северный Ледовитый}

б) {Евразия, Австралия, Африка, Антарктида, Южная Америка, Северная Америка}

в) {Евразия, Австралия, Африка, Антарктида, Южная Америка, Северная Америка}

г) {Черное, Азовское, Каспийское, Белое, Балтийское, Баренцево, Северное, Карское, Лаптевых, Берингово, Восточно-Сибирское, Охотское, Японское}

$\mathbf{д}\mathbf{)}\mathbf{ }\left\{\frac{1}{12}\mathbf{;}\mathbf{ }\frac{2}{12}; \frac{3}{12}; \frac{4}{12}; \frac{5}{12}; \frac{6}{12}; \frac{7}{12}; \frac{8}{12}; \frac{9}{12};\frac{10}{12}; \frac{11}{12}\right\}$

$\mathit{е}\mathbf{)}\mathbf{ }\left\{\frac{10}{1}\mathbf{;}\mathbf{ }\frac{10}{2}; \frac{10}{3}; \frac{10}{4}; \frac{10}{5}; \frac{10}{6}; \frac{10}{7}; \frac{10}{8}; \frac{10}{9};\frac{10}{10}\right\}$

а)

Множество океанов Земли. Океан — крупнейший водный объект, составляющая часть Мирового океана. В зависимости от классификации, выделяют четыре или пять океанов. Современная география чаще всего рассматривает пять океанов, включая Южный, официально выделенный Международной гидрографической организацией в 2000 году. Элементами этого множества являются названия океанов.

Ответ: {Тихий, Атлантический, Индийский, Северный Ледовитый, Южный}.

б)

Множество материков. Материк (или континент) — это огромный участок суши, окружённый со всех или почти со всех сторон морями и океанами. На планете Земля существует шесть материков.

Ответ: {Евразия, Африка, Северная Америка, Южная Америка, Антарктида, Австралия}.

в)

Множество континентов. В географии, особенно в русскоязычной традиции, понятия "материк" и "континент" считаются синонимами. Поэтому множество континентов полностью совпадает с множеством материков, определённым в предыдущем пункте.

Ответ: {Евразия, Африка, Северная Америка, Южная Америка, Антарктида, Австралия}.

г)

Множество морей, омывающих российские берега. Российская Федерация имеет выход к морям трёх океанов, а также к Каспийскому морю, которое является крупнейшим в мире бессточным озером, но исторически и географически именуется морем. Список морей следующий:

Бассейн Атлантического океана: Балтийское, Чёрное, Азовское.
Бассейн Северного Ледовитого океана: Белое, Баренцево, Печорское, Карское, море Лаптевых, Восточно-Сибирское, Чукотское.
Бассейн Тихого океана: Берингово, Охотское, Японское.
Бессточная область: Каспийское море.

Ответ: {Балтийское море, Чёрное море, Азовское море, Белое море, Баренцево море, Печорское море, Карское море, море Лаптевых, Восточно-Сибирское море, Чукотское море, Берингово море, Охотское море, Японское море, Каспийское море}.

д)

Правильная дробь — это обыкновенная дробь, у которой числитель (натуральное число) строго меньше знаменателя. В данном задании знаменатель равен 12. Если обозначить числитель буквой $n$, то для правильной дроби должно выполняться условие $n < 12$. Поскольку числитель в таких дробях является натуральным числом, он может принимать целочисленные значения от 1 до 11.

Ответ: {$\frac{1}{12}, \frac{2}{12}, \frac{3}{12}, \frac{4}{12}, \frac{5}{12}, \frac{6}{12}, \frac{7}{12}, \frac{8}{12}, \frac{9}{12}, \frac{10}{12}, \frac{11}{12}$}.

е)

Неправильная дробь — это обыкновенная дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю. В данном задании числитель равен 10. Если обозначить знаменатель буквой $d$, то для неправильной дроби должно выполняться условие $10 \ge d$. Знаменатель дроби по определению должен быть натуральным числом, то есть $d \ge 1$. Следовательно, знаменатель $d$ может принимать любые целочисленные значения от 1 до 10 включительно.

Ответ: {$\frac{10}{1}, \frac{10}{2}, \frac{10}{3}, \frac{10}{4}, \frac{10}{5}, \frac{10}{6}, \frac{10}{7}, \frac{10}{8}, \frac{10}{9}, \frac{10}{10}$}.

1.189. Запишите множество из трёх-четырёх элементов, состоящее из единиц измерения:

а) длины; б) массы; в) площади; г) объёма.

1.189

$\mathbf{а}\mathbf{)}\mathbf{ }\left\{\mathrm{мм}, \mathrm{см}, \mathrm{дм}, \mathrm{м}\right\}$

$\mathbf{б}\mathbf{)}\mathbf{ }\left\{\mathrm{г}, \mathrm{кг}, \mathrm{ц}, \mathrm{т}\right\}$

$\mathbf{в}\mathbf{)}\mathbf{ }\left\{{\mathrm{мм}}^2, {\mathrm{см}}^2, {\mathrm{дм}}^2, {\mathrm{м}}^2\right\}$

$\mathbf{г}\mathbf{)}\mathbf{ }\left\{{\mathrm{мм}}^3, {\mathrm{см}}^3, {\mathrm{дм}}^3, {\mathrm{м}}^3\right\}$

а) длины;
Единицы измерения длины — это стандартизированные величины для измерения расстояний. Существует множество таких единиц. Например, в Международной системе единиц (СИ) основной единицей длины является метр. Можно составить множество из трёх-четырёх таких единиц. Возьмём, к примеру, метр, сантиметр, километр и миллиметр.
Ответ: $Д = \{метр, сантиметр, километр, миллиметр\}$

б) массы;
Единицы измерения массы используются для количественной оценки инертных и гравитационных свойств тел. Основной единицей массы в системе СИ является килограмм. Для составления множества можно выбрать распространённые единицы, такие как грамм, килограмм, тонна и центнер.
Ответ: $М = \{грамм, килограмм, тонна, центнер\}$

в) площади;
Площадь — это мера, характеризующая размер поверхности. Единицы площади являются производными от единиц длины. Например, квадратный метр ($м^2$) — это площадь квадрата со стороной один метр. Для сельского и лесного хозяйства используются такие единицы как гектар (га) и ар (а). Составим множество из этих единиц.
Ответ: $П = \{квадратный\ метр\ (м^2), квадратный\ сантиметр\ (см^2), гектар, ар\}$

г) объёма.
Объём — это величина, показывающая, какую часть пространства занимает тело. Единицы объёма часто являются кубическими единицами длины, например, кубический метр ($м^3$). Также широко используется внесистемная единица — литр (л), который равен одному кубическому дециметру ($дм^3$). Множество единиц объёма может состоять, например, из следующих элементов.
Ответ: $О = \{кубический\ метр\ (м^3), литр, кубический\ сантиметр\ (см^3), миллилитр\}$

1.190. Дано множество М = {0,4; 3; 23; 8; 2,5; 78; 312; 1; 0}. Составьте из его элементов подмножество Р всех:

а) натуральных чисел;
б) обыкновенных дробей;
в) десятичных дробей;
г) целых чисел.

1.190

$М=\left\{0,4; 3; \frac{2}{3}; 8; 2,5; \frac{7}{8}; 3\frac{1}{2}; 1; 0\right\}$

$\mathit{а}\mathbf{)} Р=\left\{3; 8; 1\right\}$

$\mathit{б}\mathbf{)} Р=\left\{\frac{2}{3}; \frac{7}{8}; 3\frac{1}{2}\right\}$

$\mathit{в}\mathbf{)} Р=\left\{0,4; 2,5\right\}$

$\mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }Р=\left\{3; 8; 1; 0\right\}$

Для решения задачи проанализируем каждый элемент данного множества $M = \{0,4; 3; \frac{2}{3}; 8; 2,5; \frac{7}{8}; 3\frac{1}{2}; 1; 0\}$ и определим, к какому типу чисел он относится, чтобы сформировать соответствующие подмножества $P$.

а) натуральных чисел;
Натуральные числа — это целые положительные числа, используемые для счета (1, 2, 3, ...). Из данного множества $M$ выберем те элементы, которые удовлетворяют этому определению. Такими элементами являются числа $3$, $8$ и $1$. Число $0$ по стандартному определению в школьном курсе не является натуральным. Дробные числа также не являются натуральными. Таким образом, подмножество $P$ натуральных чисел, составленное из элементов множества $M$, будет следующим.
Ответ: $P = \{3; 8; 1\}$.

б) обыкновенных дробей;
Обыкновенные дроби — это числа, представленные в виде отношения двух целых чисел $\frac{a}{b}$ (где $b \ne 0$) или в виде смешанных чисел (например, $c\frac{a}{b}$). В множестве $M$ элементы, записанные в такой форме, это $\frac{2}{3}$, $\frac{7}{8}$ и смешанное число $3\frac{1}{2}$. Эти числа и составят искомое подмножество.
Ответ: $P = \{\frac{2}{3}; \frac{7}{8}; 3\frac{1}{2}\}$.

в) десятичных дробей;
Десятичные дроби — это способ представления дробей, в котором используется десятичный разделитель (запятая). Из элементов множества $M$ в форме десятичных дробей представлены числа $0,4$ и $2,5$. Несмотря на то, что некоторые другие элементы множества (как $\frac{7}{8}=0,875$ и $3\frac{1}{2}=3,5$) можно представить в виде конечной десятичной дроби, в задаче требуется составить подмножество из элементов в их исходной форме записи. Поэтому в подмножество войдут только те числа, что изначально записаны как десятичные.
Ответ: $P = \{0,4; 2,5\}$.

г) целых чисел.
Целые числа — это множество, включающее натуральные числа, число ноль и отрицательные целые числа. Из множества $M$ к целым числам относятся $3, 8, 1$ (которые также являются натуральными) и $0$. Отрицательных целых чисел в множестве $M$ нет. Таким образом, подмножество $P$ всех целых чисел из множества $M$ будет состоять из этих четырех элементов.
Ответ: $P = \{3; 8; 1; 0\}$.

1.191. Запишите множество всех трёхзначных чисел, в записи которых используются только цифры 1 и 0.

1.191

{100, 101, 110; 111}

Для того чтобы число было трёхзначным, оно должно состоять из трёх цифр, при этом первая цифра (разряд сотен) не может быть нулём. В нашем случае для записи чисел разрешено использовать только цифры 1 и 0.

Рассмотрим, какие цифры могут стоять в каждом разряде:

Разряд сотен: Так как число не может начинаться с нуля, на этой позиции может стоять только цифра 1.

Разряд десятков: На этой позиции может стоять любая из разрешённых цифр — 0 или 1.

Разряд единиц: Аналогично, на этой позиции может стоять цифра 0 или 1.

Теперь составим все возможные комбинации, зная, что первая цифра всегда 1:

• 1, 0, 0 → 100
• 1, 0, 1 → 101
• 1, 1, 0 → 110
• 1, 1, 1 → 111

Таким образом, существует всего четыре трёхзначных числа, в записи которых используются только цифры 1 и 0.

Ответ: $\{100, 101, 110, 111\}$

1.192. Найдите пересечение множеств А и С, если А — множество всех натуральных чисел от 1 до 30, которые при делении на 3 дают остаток 1, а С — множество всех натуральных чисел до 30, которые делятся на 4 без остатка.

1.192

A = {4; 7; 10; 13; 16; 19; 22; 25; 28}

C = {4; 8; 12; 16; 20; 24; 28}

A ∩ C = {4; 16; 28}

Для того чтобы найти пересечение множеств $A$ и $C$ (обозначается как $A \cap C$), необходимо найти все элементы, которые принадлежат одновременно и множеству $A$, и множеству $C$.

Определение элементов множества A

Множество $A$ состоит из всех натуральных чисел от 1 до 30, которые при делении на 3 дают в остатке 1. Такие числа можно представить в виде формулы $n = 3k + 1$, где $k$ — целое неотрицательное число. Выпишем все такие числа в диапазоне от 1 до 30:
При $k=0 \Rightarrow n = 3 \cdot 0 + 1 = 1$
При $k=1 \Rightarrow n = 3 \cdot 1 + 1 = 4$
При $k=2 \Rightarrow n = 3 \cdot 2 + 1 = 7$
При $k=3 \Rightarrow n = 3 \cdot 3 + 1 = 10$
При $k=4 \Rightarrow n = 3 \cdot 4 + 1 = 13$
При $k=5 \Rightarrow n = 3 \cdot 5 + 1 = 16$
При $k=6 \Rightarrow n = 3 \cdot 6 + 1 = 19$
При $k=7 \Rightarrow n = 3 \cdot 7 + 1 = 22$
При $k=8 \Rightarrow n = 3 \cdot 8 + 1 = 25$
При $k=9 \Rightarrow n = 3 \cdot 9 + 1 = 28$
Таким образом, множество $A = \{1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28\}$.

Определение элементов множества C

Множество $C$ состоит из всех натуральных чисел от 1 до 30, которые делятся на 4 без остатка, то есть кратны 4. Выпишем эти числа:
$4, 8, 12, 16, 20, 24, 28$.
Таким образом, множество $C = \{4, 8, 12, 16, 20, 24, 28\}$.

Нахождение пересечения множеств A и C

Пересечение $A \cap C$ содержит элементы, которые есть в обоих множествах. Сравним элементы множеств $A$ и $C$:
$A = \{1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28\}$
$C = \{4, 8, 12, 16, 20, 24, 28\}$
Общими элементами для этих двух множеств являются числа 4, 16 и 28.
Следовательно, пересечение множеств $A$ и $C$ есть множество $\{4, 16, 28\}$.

Ответ: $A \cap C = \{4, 16, 28\}$.

1.193. Найдите пересечение и объединение множеств X и Y, если X — множество всех натуральных чисел, на которые число 24 делится без остатка, а Y — множество всех натуральных чисел, на которые число 18 делится без остатка.

1.193

$X=\left\{1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24\right\}$

$Y=\left\{1; 2; 3; 6; 9; 18\right\}$

$X\cap Y=\left\{1; 2; 3; 6\right\}$

$X\cup Y=\left\{1; 2; 3; 4; 6; 8; 9; 12; 18; 24\right\}$

По условию задачи, множество $X$ — это множество всех натуральных чисел, на которые число 24 делится без остатка. Иными словами, $X$ — это множество натуральных делителей числа 24.

Найдем все элементы множества $X$, перечислив все делители числа 24: $X = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\}$.

Множество $Y$ — это множество всех натуральных чисел, на которые число 18 делится без остатка. То есть, $Y$ — это множество натуральных делителей числа 18.

Найдем все элементы множества $Y$, перечислив все делители числа 18: $Y = \{1, 2, 3, 6, 9, 18\}$.

Пересечение множеств X и Y

Пересечение множеств, обозначаемое как $X \cap Y$, состоит из всех элементов, которые принадлежат одновременно и множеству $X$, и множеству $Y$. В нашем случае это общие натуральные делители чисел 24 и 18.

Сравним элементы множеств $X$ и $Y$:

$X = \{ \mathbf{1}, \mathbf{2}, \mathbf{3}, 4, \mathbf{6}, 8, 12, 24 \}$

$Y = \{ \mathbf{1}, \mathbf{2}, \mathbf{3}, \mathbf{6}, 9, 18 \}$

Общими элементами для обоих множеств являются числа 1, 2, 3 и 6.

Следовательно, пересечение множеств $X$ и $Y$ есть: $X \cap Y = \{1, 2, 3, 6\}$.

Ответ: $X \cap Y = \{1, 2, 3, 6\}$.

Объединение множеств X и Y

Объединение множеств, обозначаемое как $X \cup Y$, состоит из всех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств ($X$ или $Y$). Для нахождения объединения нужно взять все уникальные элементы из обоих множеств.

Возьмем все элементы из множества $X$ и добавим к ним те элементы из множества $Y$, которые еще не были включены:

Элементы из $X$: $\{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\}$.

Элементы из $Y$, которых нет в $X$: $\{9, 18\}$.

Теперь объединим их в одно множество и упорядочим по возрастанию: $\{1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24\}$.

Следовательно, объединение множеств $X$ и $Y$ есть: $X \cup Y = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24\}$.

Ответ: $X \cup Y = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24\}$.

1.194. Найдите пересечение и объединение множеств М и N, если М — множество всех степеней числа 2 с показателем от 1 до 10, N — множество всех степеней числа 4 с показателем от 1 до 5.

1.195

$M=\left\{2; 4; 8; 16; 32; 64; 128; 256; 512; 1024\right\}$

$N=\left\{4; 16; 64; 256; 1024\right\}$

$M\cap N=\left\{4; 16; 64; 256; 1024\right\}$

$M\cup N=\left\{2; 4; 8; 16; 32; 64; 128; 256; 512; 1024\right\}$

Для нахождения пересечения и объединения множеств M и N, сначала определим их элементы.

Множество M, по условию, является множеством всех степеней числа 2 с показателем от 1 до 10.
Его можно записать как $M = \{2^k \mid k \in \{1, 2, ..., 10\}\}$.
Вычислим элементы множества M:
$M = \{2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024\}$.

Множество N является множеством всех степеней числа 4 с показателем от 1 до 5.
Его можно записать как $N = \{4^k \mid k \in \{1, 2, 3, 4, 5\}\}$.
Вычислим элементы множества N:
$N = \{4, 16, 64, 256, 1024\}$.

Пересечение
Пересечение множеств $M \cap N$ содержит элементы, которые принадлежат одновременно и множеству M, и множеству N. Чтобы найти общие элементы, можно представить элементы множества N как степени числа 2. Так как $4 = 2^2$, то каждый элемент множества N вида $4^k$ можно записать как $(2^2)^k = 2^{2k}$.
$N = \{2^{2 \cdot 1}, 2^{2 \cdot 2}, 2^{2 \cdot 3}, 2^{2 \cdot 4}, 2^{2 \cdot 5}\} = \{2^2, 2^4, 2^6, 2^8, 2^{10}\}$.
Все элементы множества N ($2^2, 2^4, 2^6, 2^8, 2^{10}$) являются также элементами множества M, поскольку их показатели (2, 4, 6, 8, 10) входят в диапазон показателей для M (от 1 до 10). Это означает, что множество N является подмножеством множества M ($N \subset M$).
Пересечением множества и его подмножества является само подмножество. Следовательно, пересечение M и N равно N.

Ответ: $M \cap N = \{4, 16, 64, 256, 1024\}$.

Объединение
Объединение множеств $M \cup N$ содержит все элементы, которые принадлежат хотя бы одному из множеств.
Поскольку мы установили, что все элементы множества N уже содержатся в множестве M ($N \subset M$), объединение этих множеств не добавит новых элементов и будет равно самому множеству M.

Ответ: $M \cup N = \{2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024\}$.

1.195. В зимние каникулы каждый из 18 детей побывал на спектакле или на новогоднем представлении. Из них 12 человек смотрели спектакль, а 9 — новогоднее представление. Сколько детей было и на спектакле, и на новогоднем представлении?

1.195

$1) (12 + 9) – 18 = 21 – 18 = 3$(ч) – смотрели спектакль и новогоднее представление

Ответ: 3 детей.

Для решения этой задачи воспользуемся принципом включений-исключений. Пусть $A$ — это множество детей, которые были на спектакле, а $B$ — множество детей, которые были на новогоднем представлении.

Из условия задачи мы знаем:
1. Общее количество детей, которые побывали хотя бы на одном мероприятии (объединение множеств $A$ и $B$): $|A \cup B| = 18$.
2. Количество детей, которые смотрели спектакль (мощность множества $A$): $|A| = 12$.
3. Количество детей, которые смотрели новогоднее представление (мощность множества $B$): $|B| = 9$.

Нам нужно найти количество детей, которые были и на спектакле, и на новогоднем представлении, то есть найти размер пересечения множеств $A$ и $B$: $|A \cap B|$.

Если просто сложить количество детей, посетивших спектакль, с количеством детей, посетивших новогоднее представление, то те дети, которые были на обоих мероприятиях, будут посчитаны дважды.
$12 + 9 = 21$

Эта сумма (21) больше общего числа детей (18) как раз на количество детей, которых посчитали дважды. Чтобы найти это количество, нужно из полученной суммы вычесть общее число детей:
$21 - 18 = 3$

Также можно использовать формулу включений-исключений:
$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$
Выразим из нее искомое значение $|A \cap B|$:
$|A \cap B| = |A| + |B| - |A \cup B|$
Подставим известные значения в формулу:
$|A \cap B| = 12 + 9 - 18 = 21 - 18 = 3$

Ответ: 3 ребенка.

1.196. Выполните действия:

а) (97 548 + 69 432) : (16 400 - 15 388);

б) 1 067 154 : 4 807 - 189 + 707 · 390.

1.196

$\mathbf{а}\mathbf{)}\mathbf{ }(97 548 \stackrel{1}{+} 69 432)\stackrel{3}{ :} (16 400 \stackrel{2}{–} 15 388) = 166980 : 1012 = 165$

1.

2.

3.

$$\begin{gathered} \mathbf{б}\mathbf{)}\mathbf{ }1 067 154 \stackrel{1}{:} 4807 \stackrel{3}{–} 189 \stackrel{4}{+} 707 \stackrel{2}{·} 390 = 222 – 189 + 275730 = \\ =33 + 275730 = 275 763 \end{gathered}$$

1.	2.
3.	4.

а) $(97 548 + 69 432) : (16 400 - 15 388)$

Решим задачу по действиям, соблюдая порядок выполнения операций. Сначала выполняем действия в скобках, а затем деление.

1. Первое действие – сложение в первых скобках:
$97 548 + 69 432 = 166 980$
+ 97548 69432--------- 166980

2. Второе действие – вычитание во вторых скобках:
$16 400 - 15 388 = 1 012$
- 16400 15388--------- 1012

3. Третье действие – деление результатов первых двух действий:
$166 980 : 1 012 = 165$
166980 | 1012-1012 |----------- | 165 6578- 6072------ 5060- 5060------ 0

Ответ: 165

б) $1 067 154 : 4 807 - 189 + 707 \cdot 390$

Соблюдаем порядок действий: сначала деление и умножение (слева направо), затем вычитание и сложение (слева направо).

1. Первое действие – деление:
$1 067 154 : 4 807 = 222$
1067154 | 4807- 9614 |----------- | 222 10575- 9614------- 9614- 9614------- 0

2. Второе действие – умножение:
$707 \cdot 390 = 275 730$
× 707 390------ 000 6363 2121------ 275730

3. Теперь подставим полученные значения в исходное выражение:
$222 - 189 + 275 730$

4. Третье действие – вычитание:
$222 - 189 = 33$

5. Четвертое действие – сложение:
$33 + 275 730 = 275 763$

Ответ: 275 763

1.197. В пяти маленьких и двух больших коробках 54 цветных карандаша, а в трёх маленьких и двух больших коробках 42 карандаша. Сколько карандашей в одной маленькой и сколько в одной большой коробке?

1.197

5 м. и 2 б. - 54 карандаша

3 м. и 2 б. - 42 карандаша

1 м. - ?

1 б. - ?

$\mathbf{1}\mathbf{)} (54 – 42) : (5 – 3) = 12 : 2 = 6$(к) – в маленькой коробке;

$\mathbf{2}\mathbf{)} 3 · 6 = 18$(к) – в трех маленьких коробках;

$\mathbf{3}\mathbf{)} 42 – 18 = 24$(к) – в двух больших коробках;

$\mathbf{4}\mathbf{)} 24 : 2 = 12$(к) – в большой коробке.

Ответ: 6 карандашей и 12 карандашей

Для решения этой задачи можно использовать метод составления системы уравнений. Пусть $x$ — это количество карандашей в одной маленькой коробке, а $y$ — количество карандашей в одной большой коробке.

Исходя из условий задачи, мы можем составить два уравнения:
1. Известно, что в пяти маленьких и двух больших коробках всего 54 карандаша. Это можно записать в виде уравнения:
$5x + 2y = 54$
2. Также известно, что в трёх маленьких и двух больших коробках всего 42 карандаша. Это дает нам второе уравнение:
$3x + 2y = 42$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:
$\begin{cases} 5x + 2y = 54 \\ 3x + 2y = 42\end{cases}$

Наиболее простой способ решить эту систему — вычесть второе уравнение из первого. Это позволит нам найти разницу в количестве карандашей между наборами коробок и, соответственно, найти $x$.
$(5x + 2y) - (3x + 2y) = 54 - 42$
$5x - 3x + 2y - 2y = 12$
$2x = 12$

Теперь найдем значение $x$:
$x = 12 / 2$
$x = 6$
Таким образом, в одной маленькой коробке находится 6 карандашей.

Теперь, зная количество карандашей в маленькой коробке, подставим значение $x = 6$ в любое из исходных уравнений, чтобы найти $y$. Возьмем, к примеру, второе уравнение:
$3x + 2y = 42$
$3 \cdot 6 + 2y = 42$
$18 + 2y = 42$

Решим уравнение относительно $y$:
$2y = 42 - 18$
$2y = 24$
$y = 24 / 2$
$y = 12$
Следовательно, в одной большой коробке находится 12 карандашей.

Ответ: в одной маленькой коробке 6 карандашей, а в одной большой коробке 12 карандашей.

1.198. Выполните действия:

а) 1,7 · (3,9658 + 16,0142) - 8,591 : (7,1 - 5,68);

б) ((4 : 0,128 + 14628,25) : 1,011 · 0,00008 + 6,84) : 12,5.

1.198

$\mathbf{а}\mathbf{)} 1,7\stackrel{3}{ ·} (3,9658 \stackrel{1}{+} 16,0142) \stackrel{5}{–} 8,591 \stackrel{4}{: }(7,1 \stackrel{2}{–} 5,68) = 27,916$

1.	2.	3.
4.		5.

$\mathbf{б}\mathbf{)} ((4 \stackrel{1}{:} 0,128 \stackrel{2}{+} 14628,25) \stackrel{3}{:} 1,011 \stackrel{4}{· }0,00008 \stackrel{5}{+} 6,84) \stackrel{6}{:} 12,5 = 0,64$

1.	2.
3.	4.
5.	6.

а) $1,7 \cdot (3,9658 + 16,0142) - 8,591 : (7,1 - 5,68)$

Для решения этого примера необходимо соблюдать порядок выполнения арифметических действий: сначала выполняются действия в скобках, затем умножение и деление (слева направо), и в последнюю очередь — сложение и вычитание (слева направо).

1. Выполним действие в первых скобках (сложение):
$3,9658 + 16,0142 = 19,98$

2. Выполним действие во вторых скобках (вычитание):
$7,1 - 5,68 = 1,42$

3. Подставим полученные результаты в исходное выражение:
$1,7 \cdot 19,98 - 8,591 : 1,42$

4. Теперь выполним умножение:
$1,7 \cdot 19,98 = 33,966$

5. Выполним деление:
$8,591 : 1,42 = 6,05$

6. Выполним последнее действие — вычитание:
$33,966 - 6,05 = 27,916$

Ответ: $27,916$

б) $((4 : 0,128 + 14628,25) : 1,011 \cdot 0,00008 + 6,84) : 12,5$

Решение этого примера также требует соблюдения порядка действий. Начнем с вычислений в самых внутренних скобках.

1. Выполним деление в самых внутренних скобках:
$4 : 0,128 = 31,25$

2. Выполним сложение в тех же скобках:
$31,25 + 14628,25 = 14659,5$

3. Теперь выражение выглядит так:
$(14659,5 : 1,011 \cdot 0,00008 + 6,84) : 12,5$

4. Внутри оставшихся скобок выполняем действия слева направо. Начнем с деления:
$14659,5 : 1,011 = 14500$

5. Далее выполняем умножение:
$14500 \cdot 0,00008 = 1,16$

6. Теперь выполняем сложение:
$1,16 + 6,84 = 8$

7. Выражение упростилось до следующего:
$8 : 12,5$

8. Выполним последнее действие — деление:
$8 : 12,5 = 0,64$

Ответ: $0,64$