Страница 35, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

1.144. Найдите угол треугольника, если два других угла равны 65º и 25º.

1.144

Сумма углов треугольника равна 180°.

$180° - (65° + 25°) = 90°$- третий угол треугольника.

Ответ: 90°

Для нахождения неизвестного угла треугольника воспользуемся основной теоремой геометрии о сумме углов треугольника. Эта теорема гласит, что сумма всех трех внутренних углов любого треугольника всегда равна $180^\circ$.

Пусть нам даны два угла треугольника: $\angle1 = 65^\circ$ и $\angle2 = 25^\circ$. Обозначим искомый третий угол как $\angle3$.

Согласно теореме о сумме углов треугольника, мы можем записать следующее равенство:

$\angle1 + \angle2 + \angle3 = 180^\circ$

Подставим известные значения углов в эту формулу:

$65^\circ + 25^\circ + \angle3 = 180^\circ$

Сначала сложим известные углы:

$65^\circ + 25^\circ = 90^\circ$

Теперь наше уравнение принимает вид:

$90^\circ + \angle3 = 180^\circ$

Чтобы найти $\angle3$, нужно вычесть сумму известных углов из $180^\circ$:

$\angle3 = 180^\circ - 90^\circ$

$\angle3 = 90^\circ$

Следовательно, третий угол треугольника равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

1.145. Найдите углы треугольника, если два угла равны, а третий равен 130º.

1.145

Сумма углов треугольника равна 180°.

$(180° - 130°) : 2 = 25°$- каждый из равных углов

Ответ: 25°, 25° и 130°

Согласно теореме о сумме углов треугольника, сумма всех трех внутренних углов равна $180^{\circ}$.

В условии задачи дано, что два угла треугольника равны, а третий равен $130^{\circ}$. Это значит, что треугольник равнобедренный. Рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: Равные углы имеют величину по $130^{\circ}$ каждый. Тогда их сумма уже составляет $130^{\circ} + 130^{\circ} = 260^{\circ}$. Эта сумма превышает $180^{\circ}$, что невозможно для треугольника. Следовательно, этот случай не является решением.

Случай 2: Два угла равны между собой, а третий, отличный от них, равен $130^{\circ}$. Обозначим величину каждого из двух равных углов через $x$. Тогда, исходя из теоремы о сумме углов треугольника, можно составить уравнение:
$x + x + 130^{\circ} = 180^{\circ}$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти значение $x$:
$2x + 130^{\circ} = 180^{\circ}$
$2x = 180^{\circ} - 130^{\circ}$
$2x = 50^{\circ}$
$x = \frac{50^{\circ}}{2}$
$x = 25^{\circ}$

Таким образом, два равных угла треугольника составляют по $25^{\circ}$, а третий угол — $130^{\circ}$.

Ответ: углы треугольника равны $25^{\circ}$, $25^{\circ}$ и $130^{\circ}$.

1.146. В треугольнике два угла равны, а третий угол равен 70º. Найдите углы треугольника. Рассмотрите два способа решения.

1.146

1 способ

(180° - 70°) : 2 = 55° - каждый из равных углов

Ответ: 55°, 55° и 70°

2 способ

Пусть х° - один угол, тогда х° - второй угол. Зная, что третий угол треугольника равен 70° и сумма углов равна 180°, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} х + х + 70 = 180; \\ 2х = 180 – 70; \\ 2х = 110; \\ х = 110 : 2; \end{gathered}$$

х = 55° - каждый из равных углов

Ответ: 55°, 55° и 70°.

В условии задачи сказано, что в треугольнике два угла равны, а третий равен $70°$. Это означает, что треугольник является равнобедренным. Основное свойство, которое мы будем использовать, — это теорема о сумме углов треугольника, которая гласит, что сумма всех трех углов любого треугольника равна $180°$.

Существует два возможных варианта расположения этих углов, которые мы рассмотрим как два способа решения.

Способ 1

Предположим, что два неизвестных угла равны между собой, а известный угол в $70°$ является третьим, отличным от них. Пусть равные углы равны $x$. Тогда, согласно теореме о сумме углов треугольника, мы можем составить уравнение:

$x + x + 70° = 180°$

Упростим и решим его:

$2x + 70° = 180°$

$2x = 180° - 70°$

$2x = 110°$

$x = \frac{110°}{2}$

$x = 55°$

В этом случае углы треугольника равны $55°$, $55°$ и $70°$.

Ответ: $55°$, $55°$, $70°$.

Способ 2

Предположим, что один из двух равных углов равен $70°$. Следовательно, и второй угол также равен $70°$. Пусть третий, неизвестный угол равен $y$. Составим уравнение, исходя из той же теоремы:

$70° + 70° + y = 180°$

Упростим и решим его:

$140° + y = 180°$

$y = 180° - 140°$

$y = 40°$

В этом случае углы треугольника равны $70°$, $70°$ и $40°$.

Ответ: $70°$, $70°$, $40°$.

1.147 Вычислите.

а) 0,01 + 1,1 + 0,09

8,1 + 2,99 + 1,01

1,88 + 3,7 + 0,12

2,8 + 1,85 + 2,15

1,07 + 0,88 + 1,93

б) 15 - 2,3

0,3 - 0,29

7 - 0,2

6 - 2,75

16,4 - 4

в) 2,5 · 2,7 · 4

3,9 · 0,5 · 2

1,25 · 1,9 · 8

4 · 5,6 · 0,25

0,5 · 30 · 0,1

г) 1 : 10

8,08 : 8

9 : 100

6,73 : 10

0,3 : 0,1

1.147

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }0,01+1,1+0,09=0,1+1,1=1,2 \\ 8,1+2,99+1,01=4+8,1=12,1 \\ 1,88+3,7+0,12=2+3,7=5,7 \\ 2,8+1,85+2,15=4+2,8=6,8 \\ 1,07+0,88+1,93=3+0,88=3,88 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} 15-2,3=12,7 \\ 0,3-0,29=0,01 \\ 7-0,2=6,8 \\ 6-2,75=3,25 \\ 16,4-4=12,4 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }2,5·2,7·4=10·2,7=27 \\ 3,9·0,5·2=3,9·1=3,9 \\ 1,25·1,9·8=1,9·10=19 \\ 4·5,6·0,25=5,6·1=5,6 \\ 0,5·30·0,1= 0,5·3=1,5 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)} 1:10=0,1 \\ 8,08:8=1,01 \\ 9:100=0,09 \\ 6,73:10=0,673 \\ 0,3:0,1=3 \end{gathered}$$

а)

В данных примерах для удобства вычислений воспользуемся переместительным и сочетательным законами сложения, чтобы сгруппировать слагаемые, которые в сумме дают целое число или "круглое" десятичное число.

$0,01 + 1,1 + 0,09 = (0,01 + 0,09) + 1,1 = 0,1 + 1,1 = 1,2$
Ответ: 1,2

$8,1 + 2,99 + 1,01 = 8,1 + (2,99 + 1,01) = 8,1 + 4 = 12,1$
Ответ: 12,1

$1,88 + 3,7 + 0,12 = (1,88 + 0,12) + 3,7 = 2 + 3,7 = 5,7$
Ответ: 5,7

$2,8 + 1,85 + 2,15 = 2,8 + (1,85 + 2,15) = 2,8 + 4 = 6,8$
Ответ: 6,8

$1,07 + 0,88 + 1,93 = (1,07 + 1,93) + 0,88 = 3 + 0,88 = 3,88$
Ответ: 3,88

б)

При вычитании десятичных дробей из целого числа или другой десятичной дроби, для удобства вычислений "в столбик" можно уравнять количество знаков после запятой, добавляя при необходимости нули.

$15 - 2,3 = 15,0 - 2,3 = 12,7$
Ответ: 12,7

$0,3 - 0,29 = 0,30 - 0,29 = 0,01$
Ответ: 0,01

$7 - 0,2 = 7,0 - 0,2 = 6,8$
Ответ: 6,8

$6 - 2,75 = 6,00 - 2,75 = 3,25$
Ответ: 3,25

$16,4 - 4 = 16,4 - 4,0 = 12,4$
Ответ: 12,4

в)

При умножении нескольких чисел, включая десятичные дроби, можно менять множители местами (переместительный закон), чтобы упростить вычисления. Например, удобно перемножать числа, дающие в произведении 1, 10, 100 и т.д.

$2,5 \cdot 2,7 \cdot 4 = (2,5 \cdot 4) \cdot 2,7 = 10 \cdot 2,7 = 27$
Ответ: 27

$3,9 \cdot 0,5 \cdot 2 = 3,9 \cdot (0,5 \cdot 2) = 3,9 \cdot 1 = 3,9$
Ответ: 3,9

$1,25 \cdot 1,9 \cdot 8 = (1,25 \cdot 8) \cdot 1,9 = 10 \cdot 1,9 = 19$
Ответ: 19

$4 \cdot 5,6 \cdot 0,25 = (4 \cdot 0,25) \cdot 5,6 = 1 \cdot 5,6 = 5,6$
Ответ: 5,6

$0,5 \cdot 30 \cdot 0,1 = (0,5 \cdot 30) \cdot 0,1 = 15 \cdot 0,1 = 1,5$
Ответ: 1,5

г)

Вспомним правила деления десятичных дробей. При делении на 10, 100 и т.д. запятая в делимом переносится влево на столько знаков, сколько нулей в делителе. При делении на десятичную дробь, нужно перенести запятую в делимом и делителе вправо на столько же знаков, чтобы делитель стал целым числом, а затем выполнить деление.

$1 : 10 = 0,1$
Ответ: 0,1

$8,08 : 8 = 1,01$
Ответ: 1,01

$9 : 100 = 0,09$
Ответ: 0,09

$6,73 : 10 = 0,673$
Ответ: 0,673

$0,3 : 0,1 = \frac{0,3}{0,1} = \frac{0,3 \cdot 10}{0,1 \cdot 10} = \frac{3}{1} = 3$
Ответ: 3

1.148. Существуют ли натуральные значения с, при которых произведение 31с является простым числом?

1.148

Существует, с = 1.

$31с = 31 · 1 = 31$– простое число

По определению, простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два различных натуральных делителя: 1 и само себя.

Нам необходимо определить, существуют ли такие натуральные числа $c$ (то есть $c \in \{1, 2, 3, \dots\}$), при которых произведение $31c$ будет простым.

Рассмотрим делители числа $31c$. Это число всегда делится на 1, на $c$, на 31 и на $31c$. Чтобы число $31c$ было простым, оно должно иметь ровно два делителя.

Рассмотрим два возможных случая для $c$:

1. Пусть $c = 1$.
В этом случае произведение равно $31 \cdot 1 = 31$. Число 31 является простым, так как его единственные натуральные делители — это 1 и 31. Этот случай удовлетворяет условию задачи.

2. Пусть $c > 1$.
Если $c$ — натуральное число больше 1, то у числа $31c$ есть как минимум три различных натуральных делителя: 1, 31 и само число $31c$. Поскольку $c > 1$, то $31c > 31 > 1$, и все три указанных делителя различны. Число, имеющее более двух делителей, является составным, а не простым. Следовательно, при $c > 1$ произведение $31c$ не может быть простым.

Таким образом, существует единственное натуральное значение $c$, при котором произведение $31c$ является простым числом — это $c=1$.

Ответ: да, существует. При $c=1$ произведение равно $31$, что является простым числом.

1.149. Может ли выражаться простым числом периметр или площадь прямоугольника, стороны которого выражены натуральными числами?

1.149

Периметр прямоугольника не может быть простым числом, т.к. он всегда будет иметь более 2 делителей.

Площадь прямоугольника может быть простым числом, когда одна из его сторон равна 1, а другая – простому числу.

Рассмотрим две части этого вопроса отдельно: для периметра и для площади.

Периметр

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$. По условию, $a$ и $b$ — натуральные числа, то есть $a \ge 1$ и $b \ge 1$. Периметр прямоугольника $P$ вычисляется по формуле: $P = 2a + 2b = 2(a+b)$.

Так как $a$ и $b$ — натуральные числа, их сумма $(a+b)$ также является натуральным числом. Минимальное значение суммы $(a+b)$ равно $1+1=2$. Следовательно, периметр $P$ всегда является произведением числа 2 на натуральное число $(a+b)$, которое не меньше 2. Это означает, что $P$ — это четное число, и $P \ge 2 \cdot 2 = 4$.

Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два делителя: 1 и само себя. Единственное четное простое число — это 2. Поскольку периметр $P$ всегда является четным числом и $P \ge 4$, он не может быть равен 2. Любое другое четное число является составным, так как делится на 2 (и не равно 2). Таким образом, периметр прямоугольника со сторонами, выраженными натуральными числами, не может быть простым числом.

Ответ: нет, периметр прямоугольника с натуральными сторонами не может выражаться простым числом.

Площадь

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$, где $a, b$ — натуральные числа. Площадь прямоугольника $S$ вычисляется по формуле: $S = a \cdot b$.

Мы хотим выяснить, может ли площадь $S$ быть простым числом. Пусть $p$ — некоторое простое число. По определению, единственными натуральными делителями простого числа $p$ являются 1 и само $p$. Если мы хотим, чтобы площадь $S = a \cdot b$ была равна простому числу $p$, то множители $a$ и $b$ должны быть равны 1 и $p$ (в любом порядке).

Например, мы можем взять прямоугольник со сторонами $a=1$ и $b=p$. Так как любое простое число $p$ является натуральным ($p \ge 2$), то $a=1$ и $b=p$ являются натуральными числами, что удовлетворяет условию задачи. Площадь такого прямоугольника будет равна $S = 1 \cdot p = p$.

Пример: возьмем простое число 7. Прямоугольник со сторонами 1 и 7 (оба числа натуральные) имеет площадь $S = 1 \cdot 7 = 7$. Число 7 — простое. Следовательно, площадь прямоугольника со сторонами, выраженными натуральными числами, может быть простым числом.

Ответ: да, площадь прямоугольника с натуральными сторонами может выражаться простым числом (если одна из сторон равна 1, а другая — этому простому числу).

1.150. Не выполняя вычислений, сравните значения выражений:

а) 14 · 0,76 и (14 · 76) : 100;

б) 340 · 0,02 и (340 · 2) : 10;

в) 0,6 · 0,2 и (6 · 2) : 100;

г) 1,234 : 0,02 и 123,4 : 0,2.

1.150

$\mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }14 · 0,76 = (14 · 76) : 100$

$\mathit{б}\mathbf{)} 340 · 0,02 < (340 · 2) : 10$

$\mathit{в}\mathbf{)} 0,6 · 0,2 = (6 · 2) : 100$

$\mathit{г}\mathbf{)} 1,234 : 0,02 < 123,4 : 0,2$

а) Для сравнения выражений $14 \cdot 0,76$ и $(14 \cdot 76) : 100$ преобразуем второе выражение.
Умножение на десятичную дробь $0,76$ эквивалентно умножению на $76$ и последующему делению на $100$. То есть, $14 \cdot 0,76 = 14 \cdot (76 : 100)$.
Используя сочетательное свойство умножения, можно записать второе выражение так: $(14 \cdot 76) : 100 = 14 \cdot (76 : 100)$.
Поскольку $76 : 100 = 0,76$, то второе выражение равно $14 \cdot 0,76$.
Таким образом, значения выражений равны.
Ответ: $14 \cdot 0,76 = (14 \cdot 76) : 100$.

б) Сравним выражения $340 \cdot 0,02$ и $(340 \cdot 2) : 10$.
Преобразуем второе выражение: $(340 \cdot 2) : 10 = 340 \cdot (2 : 10) = 340 \cdot 0,2$.
Теперь задача сводится к сравнению двух произведений: $340 \cdot 0,02$ и $340 \cdot 0,2$.
Так как первый множитель ($340$) в обоих выражениях одинаков и положителен, результат сравнения зависит от второго множителя.
Сравниваем $0,02$ и $0,2$. Очевидно, что $0,02 < 0,2$.
Следовательно, и произведение в первом выражении будет меньше.
Ответ: $340 \cdot 0,02 < (340 \cdot 2) : 10$.

в) Сравним выражения $0,6 \cdot 0,2$ и $(6 \cdot 2) : 100$.
Преобразуем первое выражение. Мы знаем, что $0,6 = 6 : 10$ и $0,2 = 2 : 10$.
Тогда произведение $0,6 \cdot 0,2$ можно записать как $(6 : 10) \cdot (2 : 10)$.
Используя свойства умножения и деления, получаем: $(6 \cdot 2) : (10 \cdot 10) = (6 \cdot 2) : 100$.
Полученное выражение полностью совпадает со вторым выражением.
Ответ: $0,6 \cdot 0,2 = (6 \cdot 2) : 100$.

г) Сравним выражения $1,234 : 0,02$ и $123,4 : 0,2$.
Воспользуемся основным свойством частного: значение частного не изменится, если делимое и делитель умножить на одно и то же число, не равное нулю.
Для первого выражения умножим делимое и делитель на $100$:
$1,234 : 0,02 = (1,234 \cdot 100) : (0,02 \cdot 100) = 123,4 : 2$.
Для второго выражения умножим делимое и делитель на $10$:
$123,4 : 0,2 = (123,4 \cdot 10) : (0,2 \cdot 10) = 1234 : 2$.
Теперь сравним полученные выражения: $123,4 : 2$ и $1234 : 2$.
Поскольку делители ($2$) одинаковы, результат сравнения зависит от делимых.
Так как $123,4 < 1234$, то и результат деления первого выражения будет меньше.
Ответ: $1,234 : 0,02 < 123,4 : 0,2$.

1.151. Фермер посадил на поле прямоугольной формы свёклу. Длина поля равна 73,4 м, что в полтора раза больше его ширины. Сколько свёклы фермер собрал с поля, если урожайность равна 2,25 ц с одного ара. Запишите полученный ответ в тоннах и килограммах.

1.151

$\mathbf{1}\mathbf{)} 73,4 : 1,5 = 734 : 15 \approx 48,9$(м) – ширина поля

$\mathbf{2}\mathbf{)} 73,4 · 48,9 \approx 3589,26 (м2) \approx 35,89$(а) – площадь поля

$\mathbf{3}\mathbf{)} 2,25 · 35,89 = 80,7525 (\mathrm{ц}) = 8 \mathrm{т} 80 \mathrm{кг}$

Ответ: 8 т 80 кг.

Для решения данной задачи необходимо выполнить несколько шагов: найти размеры поля, вычислить его площадь, а затем рассчитать массу собранного урожая и выразить ее в требуемых единицах.

1. Нахождение ширины поля.

Из условия известно, что длина поля равна $73,4$ м, и это в $1,5$ раза (в полтора раза) больше его ширины. Чтобы найти ширину поля, нужно его длину разделить на $1,5$.

Ширина $= 73,4 \text{ м} \div 1,5$.

Для удобства и точности вычислений представим десятичную дробь $1,5$ в виде обыкновенной дроби $\frac{3}{2}$:

Ширина $= 73,4 : \frac{3}{2} = 73,4 \cdot \frac{2}{3} = \frac{146,8}{3}$ м.

2. Вычисление площади поля.

Площадь прямоугольного поля ($S$) вычисляется как произведение его длины на ширину.

$S = \text{длина} \times \text{ширина} = 73,4 \text{ м} \times \frac{146,8}{3} \text{ м} = \frac{73,4 \times 146,8}{3} = \frac{10775,12}{3}$ м$^2$.

3. Перевод площади в ары.

Урожайность дана в центнерах с одного ара, поэтому необходимо перевести площадь поля из квадратных метров в ары. Известно, что $1 \text{ ар} = 100 \text{ м}^2$.

$S \text{ в арах} = \frac{10775,12}{3} \text{ м}^2 \div 100 = \frac{10775,12}{300}$ ар.

4. Расчет массы урожая.

Урожайность составляет $2,25$ центнера (ц) с одного ара. Чтобы найти общую массу урожая, умножим площадь в арах на урожайность. Представим $2,25$ в виде дроби $\frac{9}{4}$:

Масса урожая $= \frac{10775,12}{300} \text{ ар} \times 2,25 \frac{\text{ц}}{\text{ар}} = \frac{10775,12}{300} \times \frac{9}{4} = \frac{10775,12 \times 9}{300 \times 4} = \frac{96976,08}{1200} = 80,8134$ ц.

5. Перевод массы урожая в тонны и килограммы.

Сначала переведем центнеры в килограммы, зная, что $1 \text{ ц} = 100 \text{ кг}$:

$80,8134 \text{ ц} \times 100 = 8081,34$ кг.

Затем выразим полученное значение в тоннах и килограммах. Так как $1 \text{ т} = 1000 \text{ кг}$, получаем:

$8081,34 \text{ кг} = 8000 \text{ кг} + 81,34 \text{ кг} = 8 \text{ т } 81,34 \text{ кг}$.

Ответ: $8$ т $81,34$ кг.

1.152. Масса ведра с водой равна 12,5 кг. После того как из ведра вылили половину воды, масса оставшейся воды с ведром стала 6,5 кг. Найдите массу пустого ведра.

1.152

$\mathbf{1}\mathbf{)} 12,5 – 6,5 = 6$(кг) – весит половина воды;

$\mathbf{2}\mathbf{)} 2 · 6 = 12$(кг) – весит вода в полном ведре;

$\mathbf{3}\mathbf{)} 12,5 – 12 = 0,5$(кг) – масса пустого ведра;

Ответ: 0,5 кг.

Чтобы найти массу пустого ведра, выполним следующие действия:

1. Первоначально масса ведра с водой составляла 12,5 кг. После того как половину воды вылили, масса стала 6,5 кг. Разница в массе соответствует массе половины воды, которую вылили. Найдем эту массу:

$12,5 \text{ кг} - 6,5 \text{ кг} = 6 \text{ кг}$

Следовательно, масса половины воды в ведре равна 6 кг.

2. Мы знаем, что масса ведра вместе с половиной воды составляет 6,5 кг. Чтобы найти массу пустого ведра, нужно из этой массы вычесть массу половины воды, которую мы нашли в предыдущем шаге:

$6,5 \text{ кг} - 6 \text{ кг} = 0,5 \text{ кг}$

Таким образом, масса пустого ведра составляет 0,5 кг.

Проверка:
Если масса пустого ведра 0,5 кг, а масса половины воды 6 кг, то масса всей воды равна $6 \cdot 2 = 12$ кг.
Масса ведра с полной водой: $0,5 \text{ кг} + 12 \text{ кг} = 12,5 \text{ кг}$.
Масса ведра с половиной воды: $0,5 \text{ кг} + 6 \text{ кг} = 6,5 \text{ кг}$.
Все сходится с условием задачи.

Ответ: 0,5 кг.

1.153 Решите уравнение:

а) x + 2316 = 318;

б) x - 134 = 21112;

в) 29 : x = 718;

г) 35 · x = 67;

д) x : (123 + 49) = 938;

е) (812 − 714) · x = 512.

1.153

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} х + 2\frac{3}{16}= 3\frac{1}{8}; \\ х= {3\frac{1}{8}}^{\overline{)·2}}-2\frac{3}{16}; \\ х=3\frac{2}{16}-2\frac{3}{16}; \\ х=2\frac{18}{16}-2\frac{3}{16}; \\ х=\frac{15}{16}. \\ Ответ: \frac{15}{16}. \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} х-1\frac{3}{4}=2\frac{11}{12}; \\ х = 2\frac{11}{12}+ {1\frac{3}{4}}^{\overline{)·3}}; \\ х = 2\frac{11}{12}+1\frac{9}{12}; \\ х = 3\frac{20}{12}; \\ х = 4\frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\cancel{8}}}}{{\displaystyle \underset{3}{\cancel{12}}}}; \\ х = 4\frac{2}{3}. \\ Ответ: 4\frac{2}{3}. \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{2}{9}: х = \frac{7}{18}; \\ х = \frac{2}{9} : \frac{7}{18}; \\ х = \frac{2}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{9}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\cancel{18}}}}{7}; \\ х = \frac{4}{7}. \\ Ответ: \frac{4}{7}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{3}{5} · х = \frac{6}{7}; \\ х = \frac{6}{7} : \frac{3}{5}; \\ х = \frac{6}{7} · \frac{5}{3}; \\ х = \frac{10}{7}; \\ х = 1\frac{3}{7}. \\ Ответ: 1\frac{3}{7}. \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} \mathit{д}\mathbf{)}\mathbf{ }х : \left({1\frac{2}{3}}^{\overline{)\mathbf{·}\mathbf{3}}}+\frac{4}{9}\right) = \frac{9}{38}; \\ х : \left(1\frac{6}{9}+\frac{4}{9}\right) = \frac{9}{38}; \\ х : 1\frac{10}{9} = \frac{9}{38}; \\ х : 2\frac{1}{9} = \frac{9}{38}; \\ х = \frac{9}{38} ·2\frac{1}{9}; \\ х = \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{9}}}}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{38}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{19}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{9}}}}; \\ х = \frac{1}{2}. \\ Ответ: \frac{1}{2}. \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} \mathit{е}\mathbf{)}\mathbf{ }\left({8\frac{1}{2}}^{\overline{)·2}}- 7\frac{1}{4}\right) ·х = \frac{5}{12}; \\ \left(8\frac{2}{4}- 7\frac{1}{4}\right) ·х = \frac{5}{12}; \\ 1\frac{1}{4} · х = \frac{5}{12}; \\ х = \frac{5}{12} : 1\frac{1}{4}; \\ х = \frac{5}{12} : \frac{5}{4}; \\ х = \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{5}}}}{{\displaystyle \underset{3}{\cancel{12}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{4}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{5}}}}; \\ х= \frac{1}{3}. \\ Ответ: \frac{1}{3}. \end{gathered}$$

а) Чтобы найти неизвестное слагаемое $x$, нужно из суммы $3\frac{1}{8}$ вычесть известное слагаемое $2\frac{3}{16}$.
$x = 3\frac{1}{8} - 2\frac{3}{16}$
Приведем дроби к общему знаменателю 16:
$3\frac{1}{8} = 3\frac{1 \cdot 2}{8 \cdot 2} = 3\frac{2}{16}$
Подставим в уравнение:
$x = 3\frac{2}{16} - 2\frac{3}{16}$
Так как дробная часть уменьшаемого ($\frac{2}{16}$) меньше дробной части вычитаемого ($\frac{3}{16}$), займем единицу у целой части уменьшаемого:
$3\frac{2}{16} = 2 + 1 + \frac{2}{16} = 2 + \frac{16}{16} + \frac{2}{16} = 2\frac{18}{16}$
Теперь выполним вычитание:
$x = 2\frac{18}{16} - 2\frac{3}{16} = (2-2) + (\frac{18-3}{16}) = \frac{15}{16}$
Ответ: $\frac{15}{16}$

б) Чтобы найти уменьшаемое $x$, нужно к разности $2\frac{11}{12}$ прибавить вычитаемое $1\frac{3}{4}$.
$x = 2\frac{11}{12} + 1\frac{3}{4}$
Приведем дроби к общему знаменателю 12:
$1\frac{3}{4} = 1\frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = 1\frac{9}{12}$
Выполним сложение:
$x = 2\frac{11}{12} + 1\frac{9}{12} = (2+1) + (\frac{11+9}{12}) = 3\frac{20}{12}$
Дробь $\frac{20}{12}$ является неправильной, выделим из нее целую часть:
$\frac{20}{12} = 1\frac{8}{12} = 1\frac{2}{3}$
Прибавим к целой части:
$x = 3 + 1\frac{2}{3} = 4\frac{2}{3}$
Ответ: $4\frac{2}{3}$

в) В данном уравнении $x$ является неизвестным делителем. Чтобы найти делитель, нужно делимое $\frac{2}{9}$ разделить на частное $\frac{7}{18}$.
$x = \frac{2}{9} : \frac{7}{18}$
Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь:
$x = \frac{2}{9} \cdot \frac{18}{7}$
Сократим дроби перед умножением:
$x = \frac{2}{\cancel{9}_1} \cdot \frac{\cancel{18}_2}{7} = \frac{2 \cdot 2}{1 \cdot 7} = \frac{4}{7}$
Ответ: $\frac{4}{7}$

г) В данном уравнении $x$ является неизвестным множителем. Чтобы найти множитель, нужно произведение $\frac{6}{7}$ разделить на известный множитель $\frac{3}{5}$.
$x = \frac{6}{7} : \frac{3}{5}$
Выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь:
$x = \frac{6}{7} \cdot \frac{5}{3}$
Сократим дроби и вычислим результат:
$x = \frac{\cancel{6}_2}{7} \cdot \frac{5}{\cancel{3}_1} = \frac{2 \cdot 5}{7 \cdot 1} = \frac{10}{7}$
Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:
$x = 1\frac{3}{7}$
Ответ: $1\frac{3}{7}$

д) Сначала выполним действие в скобках: $1\frac{2}{3} + \frac{4}{9}$.
Приведем к общему знаменателю 9: $1\frac{2}{3} = 1\frac{6}{9}$.
$1\frac{6}{9} + \frac{4}{9} = 1\frac{10}{9}$
Выделим целую часть: $1\frac{10}{9} = 1 + 1\frac{1}{9} = 2\frac{1}{9}$.
Уравнение принимает вид:
$x : 2\frac{1}{9} = \frac{9}{38}$
Здесь $x$ — неизвестное делимое. Чтобы его найти, нужно частное $\frac{9}{38}$ умножить на делитель $2\frac{1}{9}$.
$x = \frac{9}{38} \cdot 2\frac{1}{9}$
Переведем смешанное число в неправильную дробь: $2\frac{1}{9} = \frac{2 \cdot 9 + 1}{9} = \frac{19}{9}$.
Выполним умножение:
$x = \frac{9}{38} \cdot \frac{19}{9} = \frac{\cancel{9}_1}{\cancel{38}_2} \cdot \frac{\cancel{19}_1}{\cancel{9}_1} = \frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2}$
Ответ: $\frac{1}{2}$

е) Сначала выполним вычитание в скобках: $8\frac{1}{2} - 7\frac{1}{4}$.
Приведем к общему знаменателю 4: $8\frac{1}{2} = 8\frac{2}{4}$.
$8\frac{2}{4} - 7\frac{1}{4} = (8-7) + (\frac{2-1}{4}) = 1\frac{1}{4}$
Уравнение принимает вид:
$1\frac{1}{4} \cdot x = \frac{5}{12}$
Здесь $x$ — неизвестный множитель. Чтобы его найти, нужно произведение $\frac{5}{12}$ разделить на известный множитель $1\frac{1}{4}$.
$x = \frac{5}{12} : 1\frac{1}{4}$
Переведем смешанное число в неправильную дробь: $1\frac{1}{4} = \frac{5}{4}$.
Выполним деление, умножив на обратную дробь:
$x = \frac{5}{12} \cdot \frac{4}{5} = \frac{\cancel{5}_1}{\cancel{12}_3} \cdot \frac{\cancel{4}_1}{\cancel{5}_1} = \frac{1 \cdot 1}{3 \cdot 1} = \frac{1}{3}$
Ответ: $\frac{1}{3}$

1.154. Нарисуйте треугольник:

а) прямоугольный;

б) остроугольный;

в) тупоугольный;

г) равносторонний;

д) равнобедренный;

е) разносторонний;

ж) тупоугольный и равнобедренный;

з) остроугольный и равнобедренный;

и) прямоугольный и равнобедренный.

1.154

а) прямоугольный

б) остроугольный

в) тупоугольный

г) равносторонний

д) равнобедренный

е) разносторонний

ж) тупоугольный и равнобедренный

з) остроугольный и равнобедренный

и) прямоугольный и равнобедренный

а) прямоугольный

Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один из углов прямой, то есть равен $90^\circ$. Стороны, образующие прямой угол, называются катетами, а сторона, лежащая напротив прямого угла, — гипотенузой. Сумма двух острых углов в прямоугольном треугольнике всегда равна $90^\circ$. Для сторон прямоугольного треугольника выполняется теорема Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$, где $a$ и $b$ — длины катетов, а $c$ — длина гипотенузы.

Ответ: Изображен прямоугольный треугольник, у которого угол при одной из вершин равен $90^\circ$.

б) остроугольный

Остроугольный треугольник — это треугольник, у которого все три внутренних угла являются острыми, то есть их градусная мера меньше $90^\circ$. Равносторонний треугольник является частным случаем остроугольного.

Ответ: Изображен остроугольный треугольник, все углы которого меньше $90^\circ$.

в) тупоугольный

Тупоугольный треугольник — это треугольник, у которого один из внутренних углов является тупым, то есть его градусная мера больше $90^\circ$. Два других угла в таком треугольнике всегда острые.

Ответ: Изображен тупоугольный треугольник, один из углов которого больше $90^\circ$.

г) равносторонний

Равносторонний (или правильный) треугольник — это треугольник, у которого все три стороны равны по длине. Вследствие этого, все его внутренние углы также равны и составляют $60^\circ$ каждый. Равносторонний треугольник всегда является остроугольным.

Ответ: Изображен равносторонний треугольник, все стороны и углы которого равны. Равенство сторон отмечено штрихами.

д) равнобедренный

Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны имеют одинаковую длину. Эти равные стороны называются боковыми, а третья сторона — основанием. Углы при основании равнобедренного треугольника равны. Такой треугольник может быть остроугольным, прямоугольным или тупоугольным.

Ответ: Изображен равнобедренный треугольник, две боковые стороны которого равны, что отмечено штрихами.

е) разносторонний

Разносторонний треугольник — это треугольник, у которого все три стороны имеют разную длину. Соответственно, все три его угла также имеют разную величину. Разносторонний треугольник может быть остроугольным, прямоугольным или тупоугольным.

Ответ: Изображен разносторонний треугольник, все стороны которого имеют разную длину, что символически показано разным количеством штрихов на каждой стороне.

ж) тупоугольный и равнобедренный

Это равнобедренный треугольник, у которого угол при вершине (угол между равными боковыми сторонами) является тупым (больше $90^\circ$). Углы при основании в таком треугольнике всегда острые и равны друг другу.

Ответ: Изображен треугольник, который одновременно является и тупоугольным (угол при верхней вершине > $90^\circ$), и равнобедренным (боковые стороны равны).

з) остроугольный и равнобедренный

Это равнобедренный треугольник, у которого все углы острые (меньше $90^\circ$). Для этого необходимо, чтобы угол при вершине также был острым. Высота, опущенная на основание, в таком треугольнике больше половины длины основания.

Ответ: Изображен треугольник, который одновременно является и остроугольным (все углы < $90^\circ$), и равнобедренным (боковые стороны равны).

и) прямоугольный и равнобедренный

Это прямоугольный треугольник, у которого катеты равны по длине. Углы при гипотенузе (основании) такого треугольника равны и составляют по $45^\circ$ каждый. Таким образом, углы треугольника равны $45^\circ$, $45^\circ$ и $90^\circ$.

Ответ: Изображен треугольник, который является и прямоугольным (один угол $90^\circ$), и равнобедренным (катеты равны, что отмечено штрихами).

1.155. Используя линейку и транспортир, постройте треугольник MNK, у которого:

а) угол М равен 90º, сторона MN равна 7 см и МК равна 5 см;

б) угол М равен 60º, а стороны MN и МК равны по 6 см;

в) угол М равен 135º, а стороны MN и МК равны по 4 см.

Определите вид треугольников.

1.155

а) 1) строим $\angle$М = 90°

2) на одной стороне угла от точки М откладываем отрезок MN = 7 см

3) на другой стороне угла от точки М откладываем отрезок МК = 5 см

4) соединяем точки N и K, получим ∆ MNK – прямоугольный

б) 1) строим $\angle$ М = 60°

2) на одной стороне угла от точки М откладываем отрезок MN = 6 см

3) на другой стороне угла от точки М откладываем отрезок МК = 6 см

4) соединяем точки N и K, получим ∆MNK – остроугольный равносторонний

в) 1) строим $\angle$ М = 135°

2) на одной стороне угла от точки М откладываем отрезок MN = 4 см

3) на другой стороне угла от точки М откладываем отрезок МК = 4 см

4) соединяем точки N и K, получим ∆ MNK – тупоугольный равнобедренный

а) Для построения треугольника $MNK$ с углом $\angle M = 90^\circ$, стороной $MN = 7$ см и стороной $MK = 5$ см, необходимо выполнить следующие действия:

1. С помощью линейки начертить отрезок $MN$ длиной 7 см.
2. Приложить транспортир к точке $M$ так, чтобы его центр совпал с точкой $M$, а нулевая отметка — с лучом $MN$. Отметить угол $90^\circ$.
3. Провести луч из точки $M$ через сделанную отметку.
4. На этом луче отложить отрезок $MK$ длиной 5 см.
5. Соединить точки $N$ и $K$ отрезком.

Определение вида треугольника:
Поскольку угол $\angle M = 90^\circ$, треугольник $MNK$ является прямоугольным.
Стороны, образующие прямой угол (катеты), имеют разную длину: $MN = 7$ см и $MK = 5$ см. Третья сторона (гипотенуза) $NK$ будет иметь длину, отличную от длин катетов. Таким образом, все три стороны треугольника имеют разную длину, и он является разносторонним.

Ответ: построен прямоугольный разносторонний треугольник.

б) Для построения треугольника $MNK$ с углом $\angle M = 60^\circ$ и сторонами $MN = MK = 6$ см, необходимо выполнить следующие действия:

1. С помощью линейки начертить отрезок $MN$ длиной 6 см.
2. Приложить транспортир к точке $M$ так, чтобы его центр совпал с точкой $M$, а нулевая отметка — с лучом $MN$. Отметить угол $60^\circ$.
3. Провести луч из точки $M$ через сделанную отметку.
4. На этом луче отложить отрезок $MK$ длиной 6 см.
5. Соединить точки $N$ и $K$ отрезком.

Определение вида треугольника:
Поскольку две стороны треугольника равны ($MN = MK = 6$ см), он является равнобедренным.
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Сумма углов в треугольнике $180^\circ$, поэтому углы при основании $NK$ равны: $\angle N = \angle K = (180^\circ - 60^\circ) / 2 = 60^\circ$.
Так как все три угла треугольника равны $60^\circ$, он является равносторонним. Все его стороны также равны 6 см.

Ответ: построен равносторонний треугольник.

в) Для построения треугольника $MNK$ с углом $\angle M = 135^\circ$ и сторонами $MN = MK = 4$ см, необходимо выполнить следующие действия:

1. С помощью линейки начертить отрезок $MN$ длиной 4 см.
2. Приложить транспортир к точке $M$ так, чтобы его центр совпал с точкой $M$, а нулевая отметка — с лучом $MN$. Отметить угол $135^\circ$.
3. Провести луч из точки $M$ через сделанную отметку.
4. На этом луче отложить отрезок $MK$ длиной 4 см.
5. Соединить точки $N$ и $K$ отрезком.

Определение вида треугольника:
Поскольку угол $\angle M = 135^\circ$, что больше $90^\circ$, треугольник является тупоугольным.
Так как две стороны треугольника равны ($MN = MK = 4$ см), он также является равнобедренным.

Ответ: построен тупоугольный равнобедренный треугольник.

4.145. Сложите числа:

а) 5 и 0; б) 0 и –7; в) –9,3 и 0; г) –14 и 14; д) 10,5 и –10,5; е) 0 и –7,4; ж) З14 и –314; з) 1713 и 0.

4.145

а) 5 + 0 = 5

б) 0 + (-7) = -7

в) -9,3 + 0 = -9,3

г) -14 + 14 = 0

д) 10,5 + (-10,5) = 0

е) 0 + (-7,4) = -7,4

ж) $3\frac{1}{4} + \left(-3\frac{1}{4}\right) =0$

з) $17\frac{1}{3} + 0 = 17\frac{1}{3}$

а) Чтобы сложить число 5 и 0, применяется свойство сложения с нулем. Свойство гласит, что сумма любого числа и нуля равна самому этому числу.
Математически это записывается так: $a + 0 = a$.
Применяя это правило, получаем: $5 + 0 = 5$.
Ответ: 5

б) Чтобы сложить 0 и -7, мы также используем свойство сложения с нулем. Порядок слагаемых не меняет сумму, поэтому $0 + a = a$.
Таким образом, получаем: $0 + (-7) = -7$.
Ответ: -7

в) Сложение чисел -9,3 и 0. Согласно свойству сложения с нулем, сумма любого числа (в данном случае, отрицательного десятичного) и нуля равна этому числу.
$-9,3 + 0 = -9,3$.
Ответ: -9,3

г) Чтобы сложить числа -14 и 14, нужно обратить внимание, что это противоположные числа. Противоположными называются числа, которые имеют одинаковый модуль, но разные знаки. Сумма двух противоположных чисел всегда равна нулю.
Математически: $a + (-a) = 0$.
В данном случае: $-14 + 14 = 0$.
Ответ: 0

д) Складываем числа 10,5 и -10,5. Эти числа также являются противоположными. Их модули равны ($|10,5| = |-10,5| = 10,5$), а знаки — разные. Сумма противоположных чисел равна нулю.
$10,5 + (-10,5) = 10,5 - 10,5 = 0$.
Ответ: 0

е) Чтобы сложить числа 0 и -7,4, мы вновь применяем свойство сложения с нулем. Сумма нуля и любого числа равна этому числу.
$0 + (-7,4) = -7,4$.
Ответ: -7,4

ж) Складываем смешанные дроби $3\frac{1}{4}$ и $-3\frac{1}{4}$. Эти числа являются противоположными, так как они отличаются только знаком. Их сумма равна нулю.
$3\frac{1}{4} + (-3\frac{1}{4}) = 3\frac{1}{4} - 3\frac{1}{4} = 0$.
Ответ: 0

з) Чтобы сложить смешанную дробь $17\frac{1}{3}$ и 0, мы используем свойство сложения с нулем. Прибавление нуля к любому числу не изменяет его.
$17\frac{1}{3} + 0 = 17\frac{1}{3}$.
Ответ: $17\frac{1}{3}$

4.146. Выполните действия:

а) 123 – (–72 + 72); б) –405 + (0 + 405); в) (–4,7 + 4,7) + (–10,5); г) 0 + (13,3 + (–13,3)).

Чему равна сумма данного числа и числа 0? Чему равна сумма противоположных чисел?

4.146

а) 123 – (-72 + 72) = 123 – 0 = 123

б) -405 + (0 + 405) = -405 + 405 = 0

в) (-4,7 + 4,7) + (-10,5) = 0 + (-10,5) = -10,5

г) 0 + (13,3 + (-13,3)) = 0 + 0 = 0

Сумма данного числа и числа 0 равна самому числу.

Сумма противоположных чисел равна нулю.

а) В данном выражении $123 - (-72 + 72)$ сначала необходимо выполнить действие в скобках. Числа $-72$ и $72$ являются противоположными, поэтому их сумма равна нулю.
$-72 + 72 = 0$
Теперь исходное выражение принимает вид:
$123 - 0 = 123$
Ответ: 123

б) В выражении $-405 + (0 + 405)$ сначала выполним действие в скобках. Сумма нуля и любого числа равна самому этому числу.
$0 + 405 = 405$
Теперь подставим результат в выражение. Мы получили сумму двух противоположных чисел.
$-405 + 405 = 0$
Ответ: 0

в) В выражении $(-4,7 + 4,7) + (-10,5)$ сначала найдем сумму в первых скобках. Числа $-4,7$ и $4,7$ являются противоположными, их сумма равна нулю.
$-4,7 + 4,7 = 0$
Теперь выражение выглядит так:
$0 + (-10,5) = -10,5$
Ответ: -10,5

г) В выражении $0 + (13,3 + (-13,3))$ сначала выполним действие в скобках. Сумма противоположных чисел $13,3$ и $-13,3$ равна нулю.
$13,3 + (-13,3) = 0$
Теперь подставим результат в исходное выражение:
$0 + 0 = 0$
Ответ: 0

Чему равна сумма данного числа и числа 0?
Сумма любого числа и нуля всегда равна самому этому числу. Это одно из основных свойств сложения, которое называется свойством нуля или свойством сложения с нулем. Если обозначить любое число буквой $a$, то можно записать правило: $a + 0 = a$.
Ответ: Сумма данного числа и числа 0 равна самому данному числу.

Чему равна сумма противоположных чисел?
Противоположными называются числа, которые имеют одинаковый модуль, но разные знаки. Сумма двух противоположных чисел всегда равна нулю. Например, для числа $a$ противоположным будет число $-a$. Их сумма: $a + (-a) = 0$.
Ответ: Сумма противоположных чисел равна 0.

4.147. Используя рисунок 4.34, изобразите на координатной прямой числа:

а) m + 4; б) m + (–1); в) m + (–6,5); г) m + (–312); д) m + 312.

4.147

а) m + 4

б) m + (-1)

в) m + (-6,5)

г) $\mathrm{m} + \left(-3\frac{1}{2}\right)$

д) $\mathrm{m} + 3\frac{1}{2}$

Для решения задачи сначала определим масштаб координатной прямой. На рисунке 4.34 отмечены точки с координатами $m$ и $m+2$. Расстояние между этими точками равно $(m+2) - m = 2$. Это расстояние разделено на два равных отрезка (деления). Следовательно, длина одного единичного отрезка (одного деления) на координатной прямой равна $2 \div 2 = 1$.

Зная, что одно деление равно 1, мы можем изобразить требуемые числа, откладывая от точки $m$ соответствующее количество единичных отрезков. Прибавление положительного числа означает сдвиг вправо, а прибавление отрицательного числа — сдвиг влево.

a) $m + 4$
Чтобы найти точку с координатой $m+4$, необходимо от точки $m$ отложить 4 единичных отрезка вправо. Это на 2 деления правее точки $m+2$.
Ответ: Точка, соответствующая числу $m+4$, расположена на 4 деления правее точки $m$.

б) $m + (-1)$
Сложение с $-1$ равносильно вычитанию 1: $m + (-1) = m - 1$. Чтобы найти точку с координатой $m-1$, необходимо от точки $m$ отложить 1 единичный отрезок влево.
Ответ: Точка, соответствующая числу $m+(-1)$, расположена на 1 деление левее точки $m$.

в) $m + (-6,5)$
Сложение с $-6,5$ равносильно вычитанию 6,5: $m + (-6,5) = m - 6,5$. Чтобы найти точку с координатой $m-6,5$, необходимо от точки $m$ отложить 6,5 единичных отрезков влево. Это значит, что нужно отсчитать 6 полных делений влево и еще половину следующего деления.
Ответ: Точка, соответствующая числу $m+(-6,5)$, расположена на 6,5 делений левее точки $m$.

г) $m + (-3\frac{1}{2})$
Представим смешанную дробь в виде десятичной: $-3\frac{1}{2} = -3,5$. Сложение с $-3,5$ равносильно вычитанию 3,5: $m + (-3,5) = m - 3,5$. Чтобы найти точку с координатой $m-3,5$, необходимо от точки $m$ отложить 3,5 единичных отрезка влево. Это значит, что нужно отсчитать 3 полных деления влево и еще половину следующего деления.
Ответ: Точка, соответствующая числу $m+(-3\frac{1}{2})$, расположена на 3,5 деления левее точки $m$.

д) $m + 3\frac{1}{2}$
Представим смешанную дробь в виде десятичной: $3\frac{1}{2} = 3,5$. Чтобы найти точку с координатой $m+3,5$, необходимо от точки $m$ отложить 3,5 единичных отрезка вправо. Это значит, что нужно отсчитать 3 полных деления вправо и еще половину следующего деления.
Ответ: Точка, соответствующая числу $m+3\frac{1}{2}$, расположена на 3,5 деления правее точки $m$.

4.148. Точке N на координатной прямой соответствует число n + (–6), а точке М – число n + 6. Найдите число, которое соответствует середине отрезка MN.

4.148

$\frac{n + (-6) + n + 6}{2} = \frac{n - 6 + n + 6}{2} = \frac{2n}{2} = n.$

Точка О(n) – середина отрезка МN.

Чтобы найти число, соответствующее середине отрезка на координатной прямой, нужно найти среднее арифметическое чисел, соответствующих концам этого отрезка.

Координата точки N задана выражением $n + (-6)$, что равно $n - 6$.

Координата точки M задана выражением $n + 6$.

Найдем среднее арифметическое этих двух координат. Для этого сложим координаты точек N и M и разделим результат на 2.

Координата середины отрезка MN = $\frac{(\text{координата N}) + (\text{координата M})}{2}$

Подставим выражения для координат:

$\frac{(n - 6) + (n + 6)}{2}$

Сложим выражения в числителе:

$\frac{n - 6 + n + 6}{2} = \frac{2n}{2}$

Сократим полученную дробь:

$\frac{2n}{2} = n$

Следовательно, середина отрезка MN соответствует числу $n$.

Ответ: $n$.

4.149. Используя координатную прямую, определите, какой стала температура при изменении на 4 °C, 15 °C, 13 °C, –7 °C, –15 °C, –8 °C, если первоначально она была –13 °C.

4.149

-13°C + 4°C = -9°С

-13°C + 15°C = 2°С

-13°C + 13°C = 0°С

-13°C + (-7°C) = -20°С

-13°C + (-15°C) = -28°С

-13°C + (-8°C) = -21°С

Для решения задачи представим шкалу температур в виде координатной прямой. Начальная температура $-13$ °C является нашей отправной точкой. Изменение температуры — это смещение от этой точки. Повышение температуры (положительное изменение) соответствует движению вправо по прямой, а понижение (отрицательное изменение) — движению влево.

4 °C:

Температура повысилась на $4$ °C. На координатной прямой это означает, что мы двигаемся от точки $-13$ на $4$ единицы вправо. Выполняем сложение:

$-13 + 4 = -9$

Новая температура составит $-9$ °C.

Ответ: $-9$ °C.

15 °C:

Температура повысилась на $15$ °C. Двигаемся от точки $-13$ на $15$ единиц вправо:

$-13 + 15 = 2$

Новая температура составит $2$ °C.

Ответ: $2$ °C.

13 °C:

Температура повысилась на $13$ °C. Двигаемся от точки $-13$ на $13$ единиц вправо:

$-13 + 13 = 0$

Новая температура составит $0$ °C.

Ответ: $0$ °C.

-7 °C:

Температура понизилась на $7$ °C. На координатной прямой это означает, что мы двигаемся от точки $-13$ на $7$ единиц влево. Выполняем сложение с отрицательным числом (вычитание):

$-13 + (-7) = -13 - 7 = -20$

Новая температура составит $-20$ °C.

Ответ: $-20$ °C.

-15 °C:

Температура понизилась на $15$ °C. Двигаемся от точки $-13$ на $15$ единиц влево:

$-13 + (-15) = -13 - 15 = -28$

Новая температура составит $-28$ °C.

Ответ: $-28$ °C.

-8 °C:

Температура понизилась на $8$ °C. Двигаемся от точки $-13$ на $8$ единиц влево:

$-13 + (-8) = -13 - 8 = -21$

Новая температура составит $-21$ °C.

Ответ: $-21$ °C.

4.150. С помощью координатной прямой найдите значение выражения:

а) –6 + 4 + (–9); б) 8 + (–12) + 4; в) –1 + (–5) + 9; г) –2 + (–3) + 5; д) –3 + 7 + (–8); е) 1 + (–6) + 10.

4.150

а) -6 + 4 + (-9) = -11

б) 8 + (-12) + 4 = 0

в) -1 + (-5) + 9 = 3

г) -2 + (-3) + 5 = 0

д) -3 + 7 + (-8) = -4

е) 1 + (-6) + 10 = 5

а) Для нахождения значения выражения $-6 + 4 + (-9)$ с помощью координатной прямой, мы последовательно выполняем действия, представляя их как перемещения по прямой.
1. Начинаем в точке 0. Первое слагаемое -6, поэтому перемещаемся из точки 0 на 6 единиц влево и попадаем в точку -6.
2. Второе слагаемое +4. Из точки -6 перемещаемся на 4 единицы вправо. $-6 + 4 = -2$. Попадаем в точку -2.
3. Третье слагаемое +(-9). Это равносильно перемещению на 9 единиц влево из точки -2. $-2 - 9 = -11$. Попадаем в точку -11.
Таким образом, $-6 + 4 + (-9) = -11$.
Ответ: -11

б) Для нахождения значения выражения $8 + (-12) + 4$ с помощью координатной прямой:
1. Начинаем в точке 0. Перемещаемся на 8 единиц вправо, в точку 8.
2. Из точки 8 прибавляем -12, то есть перемещаемся на 12 единиц влево. $8 - 12 = -4$. Попадаем в точку -4.
3. Из точки -4 прибавляем 4, то есть перемещаемся на 4 единицы вправо. $-4 + 4 = 0$. Попадаем в точку 0.
Таким образом, $8 + (-12) + 4 = 0$.
Ответ: 0

в) Для нахождения значения выражения $-1 + (-5) + 9$ с помощью координатной прямой:
1. Начинаем в точке 0. Перемещаемся на 1 единицу влево, в точку -1.
2. Из точки -1 прибавляем -5, то есть перемещаемся еще на 5 единиц влево. $-1 - 5 = -6$. Попадаем в точку -6.
3. Из точки -6 прибавляем 9, то есть перемещаемся на 9 единиц вправо. $-6 + 9 = 3$. Попадаем в точку 3.
Таким образом, $-1 + (-5) + 9 = 3$.
Ответ: 3

г) Для нахождения значения выражения $-2 + (-3) + 5$ с помощью координатной прямой:
1. Начинаем в точке 0. Перемещаемся на 2 единицы влево, в точку -2.
2. Из точки -2 прибавляем -3, то есть перемещаемся еще на 3 единицы влево. $-2 - 3 = -5$. Попадаем в точку -5.
3. Из точки -5 прибавляем 5, то есть перемещаемся на 5 единиц вправо. $-5 + 5 = 0$. Попадаем в точку 0.
Таким образом, $-2 + (-3) + 5 = 0$.
Ответ: 0

д) Для нахождения значения выражения $-3 + 7 + (-8)$ с помощью координатной прямой:
1. Начинаем в точке 0. Перемещаемся на 3 единицы влево, в точку -3.
2. Из точки -3 прибавляем 7, то есть перемещаемся на 7 единиц вправо. $-3 + 7 = 4$. Попадаем в точку 4.
3. Из точки 4 прибавляем -8, то есть перемещаемся на 8 единиц влево. $4 - 8 = -4$. Попадаем в точку -4.
Таким образом, $-3 + 7 + (-8) = -4$.
Ответ: -4

е) Для нахождения значения выражения $1 + (-6) + 10$ с помощью координатной прямой:
1. Начинаем в точке 0. Перемещаемся на 1 единицу вправо, в точку 1.
2. Из точки 1 прибавляем -6, то есть перемещаемся на 6 единиц влево. $1 - 6 = -5$. Попадаем в точку -5.
3. Из точки -5 прибавляем 10, то есть перемещаемся на 10 единиц вправо. $-5 + 10 = 5$. Попадаем в точку 5.
Таким образом, $1 + (-6) + 10 = 5$.
Ответ: 5

4.151. По схеме на рисунке 4.35 найдите значения х и у.

4.151

а) х = 4, у = 2

б) х = -6, у = 4

в) х = -8, у = 12

г) х = -3, у = -6

а

На схеме а стрелка, обозначенная буквой $x$, начинается в точке $-4$ и заканчивается в точке $0$. Это означает, что к числу $-4$ прибавили число $x$ и получили $0$. Составим уравнение:

$-4 + x = 0$

Чтобы найти $x$, перенесем $-4$ в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$x = 0 - (-4)$

$x = 4$

Стрелка, обозначенная буквой $y$, начинается в точке $0$ и заканчивается в точке $2$. Это означает, что к числу $0$ прибавили число $y$ и получили $2$. Составим уравнение:

$0 + y = 2$

$y = 2$

Ответ: $x = 4$, $y = 2$.

б

На схеме б стрелка, обозначенная буквой $x$, начинается в точке $-3$ и заканчивается в точке $3$. Составим уравнение:

$-3 + x = 3$

Решим уравнение для $x$:

$x = 3 - (-3)$

$x = 3 + 3$

$x = 6$

Стрелка, обозначенная буквой $y$, начинается в точке $-3$ и заканчивается в точке $1$. Составим уравнение:

$-3 + y = 1$

Решим уравнение для $y$:

$y = 1 - (-3)$

$y = 1 + 3$

$y = 4$

Ответ: $x = 6$, $y = 4$.

в

На схеме в зеленая стрелка начинается в точке $x$ и заканчивается в точке $-1$. Действие, соответствующее этой стрелке, обозначено числом $-7$. Это означает, что к числу $x$ прибавили $-7$ и получили $-1$. Составим уравнение:

$x + (-7) = -1$

$x - 7 = -1$

Решим уравнение для $x$:

$x = -1 + 7$

$x = 6$

Красная стрелка, обозначенная буквой $y$, начинается в точке $x$ (которую мы нашли, $x=6$) и заканчивается в точке $4$. Составим уравнение:

$x + y = 4$

Подставим найденное значение $x=6$:

$6 + y = 4$

Решим уравнение для $y$:

$y = 4 - 6$

$y = -2$

Ответ: $x = 6$, $y = -2$.

г

На схеме г зеленая стрелка начинается в точке $1$ и заканчивается в точке $x$. Действие, соответствующее этой стрелке, обозначено числом $-4$. Это означает, что к числу $1$ прибавили $-4$ и получили $x$. Составим уравнение:

$1 + (-4) = x$

$1 - 4 = x$

$x = -3$

Другая зеленая стрелка, обозначенная буквой $y$, начинается в точке $x$ (которую мы нашли, $x=-3$) и заканчивается в точке $-9$. Составим уравнение:

$x + y = -9$

Подставим найденное значение $x=-3$:

$-3 + y = -9$

Решим уравнение для $y$:

$y = -9 - (-3)$

$y = -9 + 3$

$y = -6$

Ответ: $x = -3$, $y = -6$.

4.152. С помощью координатной прямой решите уравнение:

а) –5 + х = –1; б) х + (–4) = 1; в) 3 + х = –2; г) х + 2 = –2.

4.152

а)

-5+x=-1
x=4
Ответ:4.

б)

x+(-4)=1
x=5
Ответ:5.

в)

3+x=-2
x=-5
Ответ: -5.

г)

x+2=-2
x=-4
Ответ: -4.

а) Чтобы решить уравнение $ -5 + x = -1 $ с помощью координатной прямой, представим это как движение. Мы начинаем в точке с координатой $-5$. Прибавление неизвестного числа $x$ — это смещение по прямой. Результат, $-1$, — это конечная точка нашего движения. Чтобы из точки $-5$ попасть в точку $-1$, нужно двигаться вправо. Величина смещения равна разности конечной и начальной координат: $x = -1 - (-5) = -1 + 5 = 4$. Движение вправо на 4 единицы соответствует прибавлению положительного числа 4. Таким образом, $x=4$.
Ответ: $x = 4$.

б) Уравнение $x + (-4) = 1$ можно переписать как $x - 4 = 1$. На координатной прямой это означает, что мы начинаем движение из неизвестной точки $x$, смещаемся на 4 единицы влево (потому что вычитаем 4) и оказываемся в точке $1$. Чтобы найти начальную точку $x$, нужно выполнить обратное действие: из конечной точки $1$ переместиться на 4 единицы вправо (то есть прибавить 4). $x = 1 + 4 = 5$.
Ответ: $x = 5$.

в) В уравнении $3 + x = -2$ мы начинаем движение из точки $3$ и, сместившись на $x$ единиц, попадаем в точку $-2$. Чтобы из точки $3$ попасть в точку $-2$, необходимо двигаться влево. Величина смещения равна разности конечной и начальной координат: $x = -2 - 3 = -5$. Движение влево на 5 единиц соответствует прибавлению отрицательного числа -5. Таким образом, $x=-5$.
Ответ: $x = -5$.

г) В уравнении $x + 2 = -2$ мы начинаем движение из неизвестной точки $x$, смещаемся на 2 единицы вправо (потому что прибавляем 2) и оказываемся в точке $-2$. Чтобы найти начальную точку $x$, необходимо из конечной точки $-2$ сместиться на 2 единицы влево (то есть вычесть 2). $x = -2 - 2 = -4$.
Ответ: $x = -4$.

4.153. Какие координаты у точек Р, R, S, Т, F и L (рис. 4.36)?

4.153

$\mathrm{R}\left(-2\frac{1}{3}\right), \mathrm{S}\left(-1\frac{2}{3}\right), \mathrm{P}\left(-1\frac{1}{3}\right), \mathrm{T}\left(-\frac{1}{3}\right), \mathrm{F}\left(1\frac{2}{3}\right), \mathrm{L}\left(2\right)$

Для того чтобы определить координаты заданных точек на координатной прямой, необходимо сначала найти цену одного деления шкалы. На прямой отмечены точки с координатами 0 (это точка T) и 1. Расстояние между этими двумя точками разделено на 5 равных интервалов (делений). Это означает, что длина одного деления составляет $ \frac{1 - 0}{5} = \frac{1}{5} $.

Теперь, зная цену одного деления, мы можем найти координаты каждой точки, посчитав количество делений от начала отсчета (точки T). Точки, расположенные слева от нуля, имеют отрицательные координаты, а точки справа — положительные.

P: Точка P находится на 2 деления левее точки T(0). Следовательно, ее координата равна $ -2 \times \frac{1}{5} = -\frac{2}{5} $.
Ответ: $P(-\frac{2}{5})$.

R: Точка R находится на 5 делений левее точки T(0). Ее координата равна $ -5 \times \frac{1}{5} = -\frac{5}{5} = -1 $.
Ответ: $R(-1)$.

S: Точка S находится на 3 деления левее точки T(0). Ее координата равна $ -3 \times \frac{1}{5} = -\frac{3}{5} $.
Ответ: $S(-\frac{3}{5})$.

T: Точка T совпадает с началом отсчета, поэтому ее координата равна 0.
Ответ: $T(0)$.

F: Точка F находится на 9 делений правее точки T(0). Ее координата равна $ 9 \times \frac{1}{5} = \frac{9}{5} $. Эту неправильную дробь можно представить в виде смешанного числа $1\frac{4}{5}$.
Ответ: $F(\frac{9}{5})$.

L: Точка L находится на 10 делений правее точки T(0). Ее координата равна $ 10 \times \frac{1}{5} = \frac{10}{5} = 2 $.
Ответ: $L(2)$.