Страница 40, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

1.170. Дано множество А = {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50}. Составьте его подмножество В, элементами которого являются все:

а) числа, которые делятся на 10;

б) нечётные числа;

в) однозначные числа;

г) числа, большие 50.

1.170

$\mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }В=\left\{10,20,30,40,50\right\}$

$\mathit{б}\mathbf{)} B=\left\{5,15,25,35,45\right\}$

$\mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }B=\left\{5\right\}$

$\mathit{г}\mathbf{)} B = \varnothing$

Дано исходное множество $A = \{5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50\}$. Необходимо составить его подмножества $B$, элементы которых удовлетворяют заданным условиям.

а) числа, которые делятся на 10;

Чтобы составить подмножество $B$, нужно выбрать из множества $A$ все элементы, которые делятся на 10 без остатка. Число делится на 10, если его последняя цифра — ноль.

Переберём элементы множества $A$:
5 - не делится на 10.
10 - делится на 10 ($10 : 10 = 1$).
15 - не делится на 10.
20 - делится на 10 ($20 : 10 = 2$).
25 - не делится на 10.
30 - делится на 10 ($30 : 10 = 3$).
35 - не делится на 10.
40 - делится на 10 ($40 : 10 = 4$).
45 - не делится на 10.
50 - делится на 10 ($50 : 10 = 5$).
Подходящие элементы: 10, 20, 30, 40, 50.
Ответ: $B = \{10, 20, 30, 40, 50\}$.

б) нечётные числа;

Для составления подмножества $B$ выберем из множества $A$ все нечётные числа. Нечётные числа — это целые числа, которые не делятся на 2 нацело (оканчиваются на 1, 3, 5, 7 или 9).

Переберём элементы множества $A$:
5 - нечётное.
10 - чётное.
15 - нечётное.
20 - чётное.
25 - нечётное.
30 - чётное.
35 - нечётное.
40 - чётное.
45 - нечётное.
50 - чётное.
Подходящие элементы: 5, 15, 25, 35, 45.
Ответ: $B = \{5, 15, 25, 35, 45\}$.

в) однозначные числа;

Для составления подмножества $B$ выберем из множества $A$ все однозначные числа. Однозначные числа — это целые неотрицательные числа, состоящие из одной цифры (от 0 до 9).

Переберём элементы множества $A$:
5 - однозначное число.
Все остальные числа в множестве $A$ (10, 15, 20 и т.д.) являются двузначными, так как состоят из двух цифр.
Подходящий элемент только один: 5.
Ответ: $B = \{5\}$.

г) числа, большие 50.

Для составления подмножества $B$ выберем из множества $A$ все числа, которые строго больше 50.

Проверим все элементы множества $A = \{5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50\}$.
Наибольший элемент в множестве $A$ — это число 50. Оно не удовлетворяет условию "больше 50", так как $50 = 50$. Все остальные элементы множества $A$ также меньше 50.
Следовательно, в множестве $A$ нет элементов, которые больше 50. Такое подмножество является пустым.
Ответ: $B = \emptyset$.

1.171. Запишите множество всех натуральных чисел, на которые делится число:

а) 6; б) 12; в) 15; г) 2.

1.171

$\mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }\left\{1,2,3,6\right\}$

$\mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }\left\{1, 2, 3, 4, 6, 12\right\}$

$\mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }\left\{1, 3, 5, 15\right\}$

$\mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }\left\{1, 2\right\}$

а) Множество всех натуральных чисел, на которые делится число 6, является множеством его натуральных делителей. Чтобы найти все делители, будем последовательно проверять, делится ли 6 на натуральные числа, начиная с 1, без остатка.
$6 \div 1 = 6$. Следовательно, 1 и 6 являются делителями.
$6 \div 2 = 3$. Следовательно, 2 и 3 являются делителями.
Деление на 4 и 5 дает остаток. Следующий делитель после 3 - это 6, который уже найден.
Таким образом, множество натуральных делителей числа 6 — это $\{1, 2, 3, 6\}$.
Ответ: $\{1, 2, 3, 6\}$.

б) Чтобы найти множество всех натуральных делителей числа 12, перечислим все натуральные числа, на которые 12 делится без остатка.
$12 \div 1 = 12$ — делители 1 и 12.
$12 \div 2 = 6$ — делители 2 и 6.
$12 \div 3 = 4$ — делители 3 и 4.
Проверка следующих чисел (например, 5, 7, 8 и т.д.) показывает, что они не делят 12 нацело.
Таким образом, множество натуральных делителей числа 12 — это $\{1, 2, 3, 4, 6, 12\}$.
Ответ: $\{1, 2, 3, 4, 6, 12\}$.

в) Найдём множество всех натуральных делителей для числа 15.
$15 \div 1 = 15$ — делители 1 и 15.
$15 \div 2$ — деление с остатком.
$15 \div 3 = 5$ — делители 3 и 5.
$15 \div 4$ — деление с остатком.
Следующий делитель 5 уже найден, поэтому все делители найдены.
Таким образом, множество натуральных делителей числа 15 — это $\{1, 3, 5, 15\}$.
Ответ: $\{1, 3, 5, 15\}$.

г) Найдём множество всех натуральных делителей для числа 2.
Число 2 является простым, так как оно больше 1 и имеет только два натуральных делителя: 1 и само себя.
$2 \div 1 = 2$ — делитель 1.
$2 \div 2 = 1$ — делитель 2.
Таким образом, множество натуральных делителей числа 2 — это $\{1, 2\}$.
Ответ: $\{1, 2\}$.

1.172. Составьте множество А всех натуральных чисел, на которые делится без остатка число 20, и множество В всех натуральных чисел, на которые делится без остатка число 30. Найдите пересечение и объединение множеств А и В.

1.172

$A=\left\{1,2,4,5,10,20\right\}$

$B=\left\{1,2,3,5,6,10,15,30\right\}$

$A\cap B=\left\{1,2,5,10\right\}$

$A\cup B=\left\{1,2,3,4,5,6,10,15,20,30\right\}$

Составьте множество A всех натуральных чисел, на которые делится без остатка число 20

Множество A состоит из всех натуральных делителей числа 20. Чтобы найти эти числа, необходимо перечислить все натуральные числа, на которые 20 делится нацело.

Делителями числа 20 являются: 1, 2, 4, 5, 10, 20.

Таким образом, множество A можно записать как: $A = \{1, 2, 4, 5, 10, 20\}$.

Ответ: $A = \{1, 2, 4, 5, 10, 20\}$.

Составьте множество B всех натуральных чисел, на которые делится без остатка число 30

Множество B состоит из всех натуральных делителей числа 30. Найдем их, перечислив все натуральные числа, на которые 30 делится нацело.

Делителями числа 30 являются: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.

Таким образом, множество B можно записать как: $B = \{1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30\}$.

Ответ: $B = \{1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30\}$.

Найдите пересечение и объединение множеств A и B

Пересечение множеств ($A \cap B$) — это множество, которое содержит все элементы, принадлежащие одновременно и множеству A, и множеству B. Сравнивая множества $A = \{1, 2, 4, 5, 10, 20\}$ и $B = \{1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30\}$, мы находим их общие элементы: 1, 2, 5, 10.

Объединение множеств ($A \cup B$) — это множество, которое содержит все элементы, принадлежащие хотя бы одному из этих множеств. Для нахождения объединения мы собираем все уникальные элементы из обоих множеств и располагаем их в порядке возрастания: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 15, 20, 30.

Ответ: Пересечение множеств $A \cap B = \{1, 2, 5, 10\}$. Объединение множеств $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 15, 20, 30\}$.

1.173. Составьте множество А всех натуральных чисел, на которые делится без остатка число 9, и множество В всех натуральных чисел, на которые делится без остатка число 8. Найдите пересечение и объединение множеств А и В.

1.173

$A=\left\{1,3,9\right\}$

$B=\left\{1,2,4,8\right\}$

$A\cap B=\left\{1\right\}$

$A\cup B=\left\{1,2,3,4,8,9\right\}$

Составьте множество A всех натуральных чисел, на которые делится без остатка число 9

Множество $A$ состоит из всех натуральных делителей числа 9. Чтобы найти эти числа, нужно определить, на какие натуральные числа 9 делится без остатка.

Делителями числа 9 являются:

• $9 \div 1 = 9$
• $9 \div 3 = 3$
• $9 \div 9 = 1$

Таким образом, множество $A$ состоит из чисел 1, 3 и 9.

Ответ: $A = \{1, 3, 9\}$.

Составьте множество B всех натуральных чисел, на которые делится без остатка число 8

Множество $B$ состоит из всех натуральных делителей числа 8. Найдем все натуральные числа, на которые 8 делится без остатка.

Делителями числа 8 являются:

• $8 \div 1 = 8$
• $8 \div 2 = 4$
• $8 \div 4 = 2$
• $8 \div 8 = 1$

Таким образом, множество $B$ состоит из чисел 1, 2, 4 и 8.

Ответ: $B = \{1, 2, 4, 8\}$.

Найдите пересечение множеств A и B

Пересечение множеств, обозначаемое символом $\cap$, — это множество, содержащее все элементы, которые принадлежат обоим исходным множествам одновременно. Нам нужно найти $A \cap B$.

Сравним элементы множеств $A = \{1, 3, 9\}$ и $B = \{1, 2, 4, 8\}$. Единственный элемент, который присутствует в обоих множествах, — это 1.

Ответ: $A \cap B = \{1\}$.

Найдите объединение множеств A и B

Объединение множеств, обозначаемое символом $\cup$, — это множество, содержащее все элементы, которые принадлежат хотя бы одному из исходных множеств. Нам нужно найти $A \cup B$.

Для этого мы соберем все уникальные элементы из обоих множеств $A = \{1, 3, 9\}$ и $B = \{1, 2, 4, 8\}$. Объединяем элементы и записываем их в порядке возрастания: 1, 2, 3, 4, 8, 9.

Ответ: $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 8, 9\}$.

1.174. Запишите множество А всех двузначных чисел, которые делятся без остатка на число 15, и множество В всех двузначных чисел, которые делятся без остатка на число 10. Найдите пересечение и объединение множеств А и В.

1.174

$A=\left\{15,30,45,60,75,90\right\}$

$B=\left\{10,20,30,40,50,60,70,80,90\right\}$

$A\cap B=\left\{30,60,90\right\}$

$A\cup B=\left\{10,15,20,30,40,45,50,60,70,75,80,90\right\}$

Запишите множество А всех двузначных чисел, которые делятся без остатка на число 15
Множество А состоит из всех двузначных чисел (в диапазоне от 10 до 99), которые являются кратными числу 15. Чтобы найти эти числа, будем последовательно умножать 15 на натуральные числа, пока результат остается двузначным.
$15 \cdot 1 = 15$
$15 \cdot 2 = 30$
$15 \cdot 3 = 45$
$15 \cdot 4 = 60$
$15 \cdot 5 = 75$
$15 \cdot 6 = 90$
Следующее кратное, $15 \cdot 7 = 105$, уже является трехзначным числом, поэтому оно не входит в множество А.
Ответ: $A = \{15, 30, 45, 60, 75, 90\}$

Запишите множество В всех двузначных чисел, которые делятся без остатка на число 10
Множество В состоит из всех двузначных чисел, которые делятся на 10. Это все двузначные числа, оканчивающиеся на 0.
$10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90$.
Ответ: $B = \{10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90\}$

Найдите пересечение множеств А и В
Пересечение множеств, обозначаемое как $A \cap B$, содержит только те элементы, которые присутствуют одновременно и в множестве А, и в множестве В. Это означает, что мы ищем двузначные числа, которые делятся без остатка и на 15, и на 10.
Такое число должно быть кратно Наименьшему Общему Кратному (НОК) чисел 15 и 10.
НОК(15, 10) = 30.
Теперь найдем все двузначные числа, кратные 30:
$30 \cdot 1 = 30$
$30 \cdot 2 = 60$
$30 \cdot 3 = 90$
Сравнивая элементы множеств $A = \{15, 30, 45, 60, 75, 90\}$ и $B = \{10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90\}$, мы видим, что общими являются числа 30, 60 и 90.
Ответ: $A \cap B = \{30, 60, 90\}$

Найдите объединение множеств А и В
Объединение множеств, обозначаемое как $A \cup B$, содержит все элементы, которые есть хотя бы в одном из множеств (в А, в В или в обоих сразу), при этом каждый элемент учитывается только один раз.
Для нахождения объединения возьмем все элементы из множества А и добавим к ним те элементы из множества В, которые еще не были включены.
Элементы множества A: $\{15, 30, 45, 60, 75, 90\}$.
Элементы множества B: $\{10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90\}$.
Объединив их и расположив в порядке возрастания, получаем следующий набор чисел.
Ответ: $A \cup B = \{10, 15, 20, 30, 40, 45, 50, 60, 70, 75, 80, 90\}$

1.175. На соревнования шестиклассников пришли родители: 27 пап и 39 мам. У скольких учащихся пришли мама с папой вместе, если в соревнованиях принимали участие 53 ученика и у каждого учащегося пришёл хотя бы один из родителей?

1.175

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }(27 + 39) – 53 = 66 – 53 = 13$(уч) - пришли оба родителя.

Ответ: у 13 учащихся

Для решения этой задачи необходимо сопоставить общее количество пришедших родителей с общим количеством учеников.

1. Сначала найдем, сколько всего родителей (пап и мам) пришло на соревнования. Для этого сложим их количество:

$27 + 39 = 66$ (родителей)

2. В соревнованиях участвовало 53 ученика. По условию, у каждого ученика пришел хотя бы один из родителей. Это означает, что 66 пришедших родителей распределяются между 53 учениками.

3. Если бы к каждому из 53 учеников пришел ровно один родитель, то общее число пришедших родителей было бы равно 53. Однако, на самом деле пришло 66 родителей. Разница между этими числами показывает количество учеников, к которым пришел не один, а два родителя (и мама, и папа).

4. Вычислим эту разницу:

$66 - 53 = 13$

Следовательно, у 13 учащихся пришли оба родителя.

Эту задачу также можно решить с помощью формулы включений-исключений. Пусть $A$ — множество учеников, у которых пришел папа, а $B$ — множество учеников, у которых пришла мама. Тогда $|A| = 27$, $|B| = 39$. Общее число учеников, у которых был хотя бы один родитель, — это объединение множеств, $|A \cup B| = 53$. Количество учеников, у которых были оба родителя, — это пересечение множеств, $|A \cap B|$.

Формула: $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$.

Подставим значения: $53 = 27 + 39 - |A \cap B|$.

$53 = 66 - |A \cap B|$.

$|A \cap B| = 66 - 53 = 13$.

Ответ: 13.

1.176. При опросе 100 учеников выяснилось, что у 33 из них есть брат, у 54 — сестра, а у 37 учеников нет ни брата, ни сестры. У скольких учеников есть и брат, и сестра?

1.176

$1) (33 + 54 + 37) – 100 = 124 – 100 = 24$(у) – у стольких есть и брат, и сестра.

Ответ: у 24 учеников

Для решения этой задачи воспользуемся принципом включений-исключений из теории множеств. Обозначим данные из условия:

• Общее количество учеников: $100$.
• Количество учеников, у которых есть брат (множество Б): $|Б| = 33$.
• Количество учеников, у которых есть сестра (множество С): $|С| = 54$.
• Количество учеников, у которых нет ни брата, ни сестры: $37$.

Наша цель — найти количество учеников, у которых есть и брат, и сестра, то есть найти мощность пересечения множеств Б и С: $|Б \cap С|$.

1. Найдем количество учеников, у которых есть хотя бы один родственник (брат или сестра).

Это количество равно общему числу учеников минус те, у кого нет ни братьев, ни сестер. Это число соответствует мощности объединения множеств Б и С: $|Б \cup С|$.

$|Б \cup С| = (\text{Всего учеников}) - (\text{Ученики без братьев и сестер})$

$|Б \cup С| = 100 - 37 = 63$

Таким образом, 63 ученика имеют либо брата, либо сестру, либо и того, и другого.

2. Применим формулу включений-исключений.

Формула для двух множеств выглядит так:

$|Б \cup С| = |Б| + |С| - |Б \cap С|$

Мы знаем значения всех величин в этой формуле, кроме той, которую нужно найти — $|Б \cap С|$. Выразим ее из формулы:

$|Б \cap С| = |Б| + |С| - |Б \cup С|$

3. Подставим известные значения и вычислим результат.

$|Б \cap С| = 33 + 54 - 63$

$|Б \cap С| = 87 - 63$

$|Б \cap С| = 24$

Ответ: 24.

1.177. Вычислите.

1.177

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }1 – 0,2 = 0,8; \\ 0,8 · 10 = 8; \\ 8 : 40 = 0,2; \\ 0,2 + 3,8 = 4; \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }4,9 + 1,4 = 6,3; \\ 6,3 : 3 = 2,1; \\ 2,1 + 3,9 = 6; \\ 6 : 12 = 0,5; \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)} 0,4 · 20 = 8; \\ 8 : 0,2 = 80 : 2 = 40; \\ 40 : 100 = 0,4; \\ 0,4 + 2,6 = 3; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)} 63 : 90 = 0,7; \\ 0,7 + 0,5 = 1,2; \\ 1,2 · 4 = 4,8; \\ 4,8 – 0,9 = 3,9; \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} \mathit{д}\mathbf{)} 15 : 2,5 = 150 : 25 = 6; \\ 6 + 2,1 = 8,1; \\ 8,1 : 2,7 = 81 : 27 = 3; \\ 3 – 0,6 = 2,4. \end{gathered}$$

а)

1. Первое действие: $1 - 0,2 = 0,8$
2. Второе действие: $0,8 : 10 = 0,08$
3. Третье действие: $0,08 : 40 = 0,002$
4. Четвертое действие: $0,002 + 3,8 = 3,802$
Ответ: 3,802

б)

1. Первое действие: $4,9 + 1,4 = 6,3$
2. Второе действие: $6,3 : 3 = 2,1$
3. Третье действие: $2,1 + 3,9 = 6$
4. Четвертое действие: $6 : 12 = 0,5$
Ответ: 0,5

в)

1. Первое действие: $0,4 \cdot 20 = 8$
2. Второе действие: $8 : 0,2 = 40$
3. Третье действие: $40 : 100 = 0,4$
4. Четвертое действие: $0,4 + 2,6 = 3$
Ответ: 3

г)

1. Первое действие: $63 : 90 = 0,7$
2. Второе действие: $0,7 + 0,5 = 1,2$
3. Третье действие: $1,2 \cdot 4 = 4,8$
4. Четвертое действие: $4,8 - 0,9 = 3,9$
Ответ: 3,9

д)

1. Первое действие: $15 : 2,5 = 6$
2. Второе действие: $6 + 2,1 = 8,1$
3. Третье действие: $8,1 : 2,7 = 3$
4. Четвертое действие: $3 - 0,6 = 2,4$
Ответ: 2,4

1.178. Выполните действия:

1) 18 408 : (268 · 75 - 19 746) + 959;

2) (86 · 217 + 275 116) : 859 + 279 569.

1.178

$\mathit{а}\mathbf{)} 18 408 \stackrel{3}{:} (268 \stackrel{1}{·} 75 \stackrel{2}{–} 19 746) \stackrel{4}{+ }959 = 1011$

1.	2.
3.	4.

$\mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }(86 \stackrel{1}{·} 217 \stackrel{2}{+} 275 116) \stackrel{3}{:} 859 \stackrel{4}{+} 279 569 = 279 911$

1.	2.
3.	4.

1) $18 408 : (268 \cdot 75 - 19 746) + 959$

Решим пример по действиям, соблюдая порядок их выполнения. Сначала выполняются действия в скобках (умножение, затем вычитание), потом деление и, наконец, сложение.

1. Первое действие в скобках — умножение:

$268 \cdot 75 = 20 100$

2. Второе действие в скобках — вычитание:

$20 100 - 19 746 = 354$

3. Далее выполняем деление:

$18 408 : 354 = 52$

4. Последнее действие — сложение:

$52 + 959 = 1011$

Таким образом, $18 408 : (268 \cdot 75 - 19 746) + 959 = 1011$.

Ответ: $1011$.

2) $(86 \cdot 217 + 275 116) : 859 + 279 569$

Решим пример по действиям. Сначала выполняются действия в скобках (умножение, затем сложение), потом деление и, в конце, сложение.

1. Первое действие в скобках — умножение:

$86 \cdot 217 = 18 662$

2. Второе действие в скобках — сложение:

$18 662 + 275 116 = 293 778$

3. Далее выполняем деление:

$293 778 : 859 = 342$

4. Последнее действие — сложение:

$342 + 279 569 = 279 911$

Таким образом, $(86 \cdot 217 + 275 116) : 859 + 279 569 = 279 911$.

Ответ: $279 911$.

1.179. Найдите значение выражения:

а) 85 + 203х + 102х + 91, х = 76; 201;

б) 79у - (23y - 15y), у = 15; 309.

1.179

$\mathit{а}\mathbf{)} 85 + 203х + 102х + 91 = (203 + 102)х + (85 + 91) = 305х + 176$

$х = 76 305х + 176 = 305 \stackrel{1}{·} 76 \stackrel{2}{+} 176 = 23356$

1.

2.

$х = 201 305х + 176 = 305 \stackrel{1}{·} 201 \stackrel{2}{+} 176 = 61 481$

1.

2.

$\mathit{б}\mathbf{)} 79у – (23у – 15у) = 79у – 8у = 71у$

$у = 15 71у = 71 · 15 = 1065$

$у = 309 71у = 71 · 309 = 21 939$

а)

Чтобы найти значение выражения $85 + 203x + 102x + 91$, сначала упростим его. Для этого сгруппируем и сложим подобные слагаемые.

1. Сложим слагаемые, содержащие переменную $x$:
$203x + 102x = (203 + 102)x = 305x$

2. Сложим числовые слагаемые (константы):
$85 + 91 = 176$

Таким образом, упрощенное выражение имеет вид: $305x + 176$.

Теперь подставим в него заданные значения $x$.

- Если $x = 76$, то:
$305 \cdot 76 + 176 = 23180 + 176 = 23356$

- Если $x = 201$, то:
$305 \cdot 201 + 176 = 61305 + 176 = 61481$

Ответ: при $x=76$ значение выражения равно $23356$; при $x=201$ значение выражения равно $61481$.

б)

Чтобы найти значение выражения $79y - (23y - 15y)$, сначала упростим его.

1. Выполним действие в скобках:
$23y - 15y = (23 - 15)y = 8y$

2. Подставим полученный результат в исходное выражение и выполним вычитание:
$79y - 8y = (79 - 8)y = 71y$

Таким образом, упрощенное выражение имеет вид: $71y$.

Теперь подставим в него заданные значения $y$.

- Если $y = 15$, то:
$71 \cdot 15 = 1065$

- Если $y = 309$, то:
$71 \cdot 309 = 21939$

Ответ: при $y=15$ значение выражения равно $1065$; при $y=309$ значение выражения равно $21939$.

1.180. На лесоперерабатывающем предприятии по заказу было изготовлено 150 м³ пиломатериалов: бруса, половой доски и вагонки. При этом бруса было изготовлено 72 м³, половой доски — 45 м³. Сколько кубометров вагонки было изготовлено?

1.180

Изготовлено - 150 м³

Брус - 72 м³

Половой доски - 45 м³

Вагонка - ? м³

$\mathbf{1}\mathbf{)} 150 – (72 + 45) = 150 – 117 = 33$(м³) – изготовили вагонки.

Ответ: 33 м³.

Чтобы найти, сколько кубометров вагонки было изготовлено, необходимо из общего объема всех произведенных пиломатериалов вычесть известные объемы бруса и половой доски.
Общий объем пиломатериалов составляет $150 \text{ м}^3$.
Из них:
- Объем бруса: $72 \text{ м}^3$.
- Объем половой доски: $45 \text{ м}^3$.
1. Сначала вычислим суммарный объем бруса и половой доски:
$72 \text{ м}^3 + 45 \text{ м}^3 = 117 \text{ м}^3$.
2. Затем вычтем полученный объем из общего объема пиломатериалов, чтобы определить объем вагонки:
$150 \text{ м}^3 - 117 \text{ м}^3 = 33 \text{ м}^3$.
Ответ: было изготовлено $33 \text{ м}^3$ вагонки.

1.181. Длины двух сторон четырёхугольника составляют 311 и 411 его периметра, а сумма длин этих сторон равна 28 см. Найдите периметр четырёхугольника.

1.181

Пусть х см – периметр четырехугольника, тогда $\frac{3}{11}х$ см – одна сторона четырехугольника, $\frac{4}{11}х$ см – другая сторона четырехугольника. Зная, что сумма сторон 28 см, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} \frac{3}{11}х+\frac{4}{11}х = 28; \\ \frac{7}{11}х = 28; \\ х = 28 : \frac{7}{11}; \\ х = \stackrel{4}{\cancel{28}} · \frac{11}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{7}}}}; \\ х = 44. \end{gathered}$$

х = 44 (см) – периметр четырехугольника

Ответ: 44 см.

Пусть $P$ — периметр четырёхугольника.

Согласно условию, длина одной стороны составляет $\frac{3}{11}$ периметра, то есть $\frac{3}{11}P$.

Длина другой стороны составляет $\frac{4}{11}$ периметра, то есть $\frac{4}{11}P$.

Сумма длин этих двух сторон равна $\frac{3}{11}P + \frac{4}{11}P$.

Чтобы найти, какую часть периметра составляет сумма этих двух сторон, сложим дроби:

$\frac{3}{11} + \frac{4}{11} = \frac{3+4}{11} = \frac{7}{11}$

Таким образом, сумма длин двух сторон составляет $\frac{7}{11}$ от всего периметра.

Из условия известно, что сумма длин этих сторон равна 28 см. Мы можем составить уравнение:

$\frac{7}{11}P = 28$

Чтобы найти весь периметр $P$, нужно число (28) разделить на соответствующую ему дробь ($\frac{7}{11}$):

$P = 28 \div \frac{7}{11}$

Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь:

$P = 28 \times \frac{11}{7} = \frac{28 \times 11}{7} = 4 \times 11 = 44$ см.

Ответ: 44 см.

1.182. Найдите значение выражения:

а) ((3,2 + 0,32) : 0,1 - (50 - 7,2) · 0,1) · 100;

б) ((4,3 - 1,08) : 0,1 + (40 - 8,4) · 0,1) · 100.

1.182

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} ((3,2 + 0,32) : 0,1 – (50 – 7,2) · 0,1) · 100 = \\ = (3,52 : 0,1 – 42,8 · 0,1) \times \\ \times 100 = (35,2 \stackrel{1}{–} 4,28) · 100 = \\ = 30,92 · 100 = 3092 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} ((4,3 \stackrel{1}{–} 1,08) : 0,1 + (40 \stackrel{2}{–} 8,4) · 0,1) · 100 = \\ = (3,22 : 0,1 + 31,6 · 0,1) \times \\ \times 100 = (32,2 \stackrel{3}{+} 3,16) · 100 = \\ = 35,36 · 100 = 3536 \end{gathered}$$

1.

2.

3.

а) $((3,2 + 0,32) : 0,1 - (50 - 7,2) \cdot 0,1) \cdot 100$

Решим выражение по действиям, соблюдая порядок их выполнения (сначала действия в скобках, затем умножение и деление, и в конце сложение и вычитание).

1. Выполним сложение в первых скобках:
$3,2 + 0,32 = 3,52$

2. Выполним вычитание во вторых скобках:
$50 - 7,2 = 42,8$

3. Подставим полученные значения обратно в выражение:
$(3,52 : 0,1 - 42,8 \cdot 0,1) \cdot 100$

4. Теперь выполним действия внутри больших скобок. Сначала деление (деление на 0,1 эквивалентно умножению на 10):
$3,52 : 0,1 = 35,2$

5. Затем умножение (умножение на 0,1 эквивалентно делению на 10):
$42,8 \cdot 0,1 = 4,28$

6. Выполним вычитание внутри больших скобок:
$35,2 - 4,28 = 30,92$

7. И, наконец, умножим результат на 100:
$30,92 \cdot 100 = 3092$

Ответ: 3092

б) $((4,3 - 1,08) : 0,1 + (40 - 8,4) \cdot 0,1) \cdot 100$

Решим это выражение по аналогии с предыдущим, по действиям.

1. Выполним вычитание в первых скобках:
$4,3 - 1,08 = 3,22$

2. Выполним вычитание во вторых скобках:
$40 - 8,4 = 31,6$

3. Подставим полученные значения обратно в выражение:
$(3,22 : 0,1 + 31,6 \cdot 0,1) \cdot 100$

4. Теперь выполним действия внутри больших скобок. Сначала деление:
$3,22 : 0,1 = 32,2$

5. Затем умножение:
$31,6 \cdot 0,1 = 3,16$

6. Выполним сложение внутри больших скобок:
$32,2 + 3,16 = 35,36$

7. И, наконец, умножим результат на 100:
$35,36 \cdot 100 = 3536$

Ответ: 3536

1.183. За 14 дней завод изготовил 560 стиральных машин, а в следующие 6 дней стал выпускать на 5 машин в день больше. Сколько машин выпустил завод за 20 дней?

1.183

$\mathbf{1}\mathbf{)} 560 : 14 = 40$(м) – в день выпускал завод;

$\mathbf{2}\mathbf{)} 40 + 5 = 45$(м) – в день стал выпускать завод;

$\mathbf{3}\mathbf{)} 45 · 6 = 270$(м) – выпустил завод за 6 дней;

$\mathbf{4}\mathbf{)} 560 + 270 = 830$– выпустил завод за 20 дней.

Ответ: 830 машин.

1. Найдём первоначальную производительность завода.
За 14 дней было изготовлено 560 стиральных машин. Чтобы найти, сколько машин завод изготавливал в среднем за один день, нужно разделить общее количество машин на количество дней:
$560 \div 14 = 40$ (машин в день).

2. Определим новую производительность завода.
Согласно условию задачи, завод увеличил выпуск на 5 машин в день. Следовательно, новая производительность составила:
$40 + 5 = 45$ (машин в день).

3. Рассчитаем, сколько машин было выпущено за следующие 6 дней.
Теперь умножим новую дневную производительность на количество дней в этом периоде:
$45 \times 6 = 270$ (машин).

4. Найдём общее количество машин, выпущенных за 20 дней.
Общее время работы составляет $14 + 6 = 20$ дней. Чтобы найти общее количество выпущенных машин, сложим продукцию за первый и второй периоды:
$560 + 270 = 830$ (машин).

Ответ: за 20 дней завод выпустил 830 машин.

1.184. В классе 7 человек хорошо умеют плавать. Сколькими способами из них можно отобрать трёх человек для участия в школьных соревнованиях?

1.184

первого участника можно выбрать 7 способами

второго участника можно выбрать 6 способами

третьего участника можно выбрать 5 способами

$7 · 6 · 5 = 7 · 30 = 210$(с) – можно отобрать трех участников соревнований.

Ответ: 210 способов.

В этой задаче нам необходимо найти количество способов выбрать 3 человека из 7. Поскольку порядок выбора людей для команды не важен (команда из Иванова, Петрова и Сидорова — это та же самая команда, что и из Петрова, Сидорова и Иванова), мы имеем дело с сочетаниями.

Количество сочетаний из $n$ элементов по $k$ вычисляется по формуле:
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
где $n$ — общее количество элементов, а $k$ — количество выбираемых элементов.

В нашем случае:
$n = 7$ (всего человек, умеющих хорошо плавать).
$k = 3$ (количество человек, которых нужно отобрать в команду).

Подставляем эти значения в формулу:
$C_7^3 = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3! \cdot 4!}$

Производим расчет:
$C_7^3 = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 4!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{210}{6} = 35$

Следовательно, существует 35 способов отобрать трёх человек для участия в соревнованиях.

Ответ: 35

4.189. Найдите сумму:

а) –34 + (–26); б) –7 + (–29); в) –227 + (–73); г) –5,3 + (–2,7); д) –6,9 + (–2,9); е) –4,81 + (–2,81).

4.189

а) -34 + (-26) = -(34 + 26) = -60

б) -7 + (-29) = -(7 + 29) = -36

в) -227 + (-73) = -(227 + 73) = -300

г) -5,3 + (-2,7) = -(5,3 + 2,7) = -8

д) -6,9 + (-2,9) = -(6,9 + 2,9) = -9,8

е) -4,81 + (-2,81) = -(4,81 + 2,81) = -7,62

а) Чтобы найти сумму двух отрицательных чисел, нужно сложить их модули (значения без знака минус) и перед полученным результатом поставить знак «минус».

$-34 + (-26) = -(34 + 26) = -60$

Ответ: $-60$

б) Применяем то же правило: складываем модули чисел и ставим знак «минус» перед суммой.

$-7 + (-29) = -(7 + 29) = -36$

Ответ: $-36$

в) Складываем модули чисел 227 и 73, после чего к результату добавляем знак «минус».

$-227 + (-73) = -(227 + 73) = -300$

Ответ: $-300$

г) Это правило также верно и для десятичных дробей. Складываем их модули и ставим знак «минус».

$-5,3 + (-2,7) = -(5,3 + 2,7) = -8$

Ответ: $-8$

д) Складываем модули десятичных дробей 6,9 и 2,9, а затем ставим перед результатом знак «минус».

$-6,9 + (-2,9) = -(6,9 + 2,9) = -9,8$

Ответ: $-9,8$

е) Аналогично предыдущим примерам, находим сумму модулей и добавляем знак «минус».

$-4,81 + (-2,81) = -(4,81 + 2,81) = -7,62$

Ответ: $-7,62$

4.190. Выполните сложение:

а) –47 + (– 27); б) – 37 + (– 34); в) – 59 + (– 78); г) –229 + (–5518); д) –335 + (–5,9); е) –216 + (–4,75).

4.190

$\mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }-\frac{4}{7} + \left(-\frac{2}{7} \right)= - \left(\frac{4}{7} +\frac{2}{7} \right) = - \frac{6}{7}$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} -\frac{3}{7} + \left(-\frac{3}{4}\right) = -\left({\frac{3}{7}}^{\overline{)·4}} +{\frac{3}{4}}^{\overline{)·7}} \right) = - \left(\frac{12}{28} + \frac{21}{28}\right)= \\ = - \frac{33}{28} = - 1\frac{5}{28} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }-\frac{5}{9} + \left(-\frac{7}{8}\right) = - \left({\frac{5}{9}}^{\overline{)·8}} +{\frac{7}{8}}^{\overline{)·9}}\right) = \\ =- \left(\frac{40}{72} + \frac{63}{72}\right) = -\frac{103}{72} = - 1\frac{31}{72} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }-2\frac{2}{9} + \left(-5\frac{5}{18}\right) = - \left({2\frac{2}{9}}^{\overline{)·2}} + 5\frac{5}{18}\right)= \\ = - \left(2\frac{4}{18} + 5\frac{5}{18}\right)=-7\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{9}}}}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{18}}}} = -7\frac{1}{2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{д}\mathbf{)}\mathbf{ }{-3\frac{3}{5}}^{\overline{)·2}} + (-5,9) = -3,6 + (-5,9) = \\ =-(3,6 + 5,9) = -9,5 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{е}\mathbf{)} -2\frac{1}{6} + (-4,75) = -2\frac{1}{6} + \left(-4\frac{3}{4}\right)= \\ = -\left({2\frac{1}{6}}^{\overline{)·2}} + {4\frac{3}{4}}^{\overline{)·3}} \right) = - \left(2\frac{2}{12} + 4\frac{9}{12} \right)= \\ = -6\frac{11}{12} \end{gathered}$$

а) Чтобы сложить два отрицательных числа, нужно сложить их модули и перед результатом поставить знак минус. Так как у дробей одинаковый знаменатель, складываем их числители.

$-\frac{4}{7} + (-\frac{2}{7}) = -(\frac{4}{7} + \frac{2}{7}) = -\frac{4+2}{7} = -\frac{6}{7}$

Ответ: $-\frac{6}{7}$

б) Для сложения дробей с разными знаменателями, сначала приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 7 и 4 это 28. Дополнительный множитель для первой дроби – 4, для второй – 7.

$-\frac{3}{7} + (-\frac{3}{4}) = -(\frac{3}{7} + \frac{3}{4}) = -(\frac{3 \cdot 4}{7 \cdot 4} + \frac{3 \cdot 7}{4 \cdot 7}) = -(\frac{12}{28} + \frac{21}{28}) = -\frac{12+21}{28} = -\frac{33}{28}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$-\frac{33}{28} = -1\frac{5}{28}$

Ответ: $-1\frac{5}{28}$

в) Приведем дроби к наименьшему общему знаменателю. Для 9 и 8 это 72. Дополнительный множитель для первой дроби – 8, для второй – 9.

$-\frac{5}{9} + (-\frac{7}{8}) = -(\frac{5}{9} + \frac{7}{8}) = -(\frac{5 \cdot 8}{9 \cdot 8} + \frac{7 \cdot 9}{8 \cdot 9}) = -(\frac{40}{72} + \frac{63}{72}) = -\frac{40+63}{72} = -\frac{103}{72}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$-\frac{103}{72} = -1\frac{31}{72}$

Ответ: $-1\frac{31}{72}$

г) Чтобы сложить два отрицательных смешанных числа, можно сложить их целые и дробные части по отдельности, а затем сложить результаты. Приведем дробные части к общему знаменателю 18.

$-2\frac{2}{9} + (-5\frac{5}{18}) = -(2\frac{2}{9} + 5\frac{5}{18}) = -((2+5) + (\frac{2}{9} + \frac{5}{18})) = -(7 + (\frac{2 \cdot 2}{18} + \frac{5}{18})) = -(7 + (\frac{4}{18} + \frac{5}{18})) = -(7 + \frac{9}{18})$

Сократим дробную часть $\frac{9}{18}$ на 9, получим $\frac{1}{2}$.

$-(7 + \frac{1}{2}) = -7\frac{1}{2}$

Ответ: $-7\frac{1}{2}$

д) Для удобства вычислений преобразуем смешанное число в десятичную дробь.

$-3\frac{3}{5} = -3\frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 2} = -3\frac{6}{10} = -3,6$

Теперь выполним сложение десятичных дробей:

$-3,6 + (-5,9) = -(3,6 + 5,9) = -9,5$

Ответ: $-9,5$

е) В этом случае удобнее преобразовать десятичную дробь в смешанное число, так как $\frac{1}{6}$ является бесконечной периодической десятичной дробью.

$-4,75 = -4\frac{75}{100} = -4\frac{3}{4}$

Теперь сложим два смешанных числа. Приведем их дробные части к общему знаменателю 12.

$-2\frac{1}{6} + (-4\frac{3}{4}) = -(2\frac{1}{6} + 4\frac{3}{4}) = -((2+4) + (\frac{1}{6} + \frac{3}{4})) = -(6 + (\frac{1 \cdot 2}{6 \cdot 2} + \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3})) = -(6 + (\frac{2}{12} + \frac{9}{12})) = -(6 + \frac{11}{12}) = -6\frac{11}{12}$

Ответ: $-6\frac{11}{12}$

4.191. Выполните действия:

а) –4,75 + (–214) + –259 + (–113);

б) –113 + (–2115) + (–2,43 + (–2,77)).

4.191

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }\left(-4,75 + \left(-2\frac{1}{4}\right)\right) + \left(-2\frac{5}{9} + \left(-1\frac{1}{3}\right)\right)= \\ = -\left(4,75 +2\frac{1}{4} \right) + \left(-\left(2\frac{5}{9} +{1\frac{1}{3}}^{\overline{)·3}} \right)\right)= \\ = -\left(4\frac{3}{4} +2\frac{1}{4} \right) + \left(-\left(2\frac{5}{9} +1\frac{3}{9} \right)\right)= \\ = -6\frac{4}{4} + \left(-3\frac{8}{9}\right)= -7 + \left(-3\frac{8}{9}\right)=-\left(7 + 3\frac{8}{9} \right)= \\ = - 10\frac{8}{9} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} \left(-1\frac{1}{3} + \left(-2\frac{1}{15}\right)\right) + \left(-2,43 + (-2,77)\right)= \\ = -\left({1\frac{1}{3}}^{\overline{)·5}} +2\frac{1}{15} \right)+ \left(-\left(2,43 + 2,77\right)\right) = \\ =-\left(1\frac{5}{15} +2\frac{1}{15} \right)+ \left(-5,2\right) = -3\frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\cancel{6}}}}{{\displaystyle \underset{5}{\cancel{15}}}} + (-5,2) = \\ = {-3\frac{2}{5}}^{\overline{)·2}} + (-5,2) =-3,4 + (-5,2) = -\left(3,4 + 5,2\right)= \\ = - 8,6. \end{gathered}$$

а) $(-4,75 + (-2\frac{1}{4})) + (-2\frac{5}{9} + (-1\frac{1}{3}))$

Для решения этого примера мы можем выполнить действия в каждой скобке отдельно, а затем сложить полученные результаты. Удобнее всего будет работать с одним типом чисел, поэтому преобразуем десятичную дробь в обыкновенную.

1. Преобразуем $-4,75$ в смешанное число: $-4,75 = -4\frac{75}{100} = -4\frac{3}{4}$.

Теперь исходное выражение выглядит так:

$(-4\frac{3}{4} + (-2\frac{1}{4})) + (-2\frac{5}{9} + (-1\frac{1}{3}))$

2. Вычислим сумму в первой скобке. Так как мы складываем два отрицательных числа, мы складываем их модули и ставим знак минус перед результатом:

$-4\frac{3}{4} + (-2\frac{1}{4}) = -(4\frac{3}{4} + 2\frac{1}{4}) = -((4+2) + (\frac{3}{4} + \frac{1}{4})) = -(6 + \frac{4}{4}) = -(6+1) = -7$.

3. Вычислим сумму во второй скобке. Сначала приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для 9 и 3 равен 9.

$-1\frac{1}{3} = -1\frac{1 \cdot 3}{3 \cdot 3} = -1\frac{3}{9}$.

Теперь сложим числа во второй скобке:

$-2\frac{5}{9} + (-1\frac{3}{9}) = -(2\frac{5}{9} + 1\frac{3}{9}) = -((2+1) + (\frac{5}{9} + \frac{3}{9})) = -(3 + \frac{8}{9}) = -3\frac{8}{9}$.

4. Сложим результаты, полученные в шагах 2 и 3:

$-7 + (-3\frac{8}{9}) = -7 - 3\frac{8}{9} = -10\frac{8}{9}$.

Ответ: $-10\frac{8}{9}$.

б) $(-1\frac{1}{3} + (-2\frac{1}{15})) + (-2,43 + (-2,77))$

Этот пример также решим по действиям в скобках. В первой скобке у нас обыкновенные дроби, а во второй — десятичные. Вычислим каждую скобку отдельно.

1. Вычислим сумму в первой скобке. Приведем дроби к общему знаменателю 15.

$-1\frac{1}{3} = -1\frac{1 \cdot 5}{3 \cdot 5} = -1\frac{5}{15}$.

Теперь выполним сложение:

$-1\frac{5}{15} + (-2\frac{1}{15}) = -(1\frac{5}{15} + 2\frac{1}{15}) = -((1+2) + (\frac{5}{15} + \frac{1}{15})) = -(3 + \frac{6}{15}) = -3\frac{6}{15}$.

Сократим дробную часть полученного числа, разделив числитель и знаменатель на 3:

$\frac{6}{15} = \frac{6 \div 3}{15 \div 3} = \frac{2}{5}$.

Результат первого действия: $-3\frac{2}{5}$.

2. Вычислим сумму во второй скобке:

$-2,43 + (-2,77) = -(2,43 + 2,77) = -5,20 = -5,2$.

3. Теперь сложим результаты, полученные в шагах 1 и 2. Для этого представим смешанное число $-3\frac{2}{5}$ в виде десятичной дроби.

$-3\frac{2}{5} = -3\frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 2} = -3\frac{4}{10} = -3,4$.

Выполним финальное сложение:

$-3,4 + (-5,2) = -3,4 - 5,2 = -8,6$.

Ответ: $-8,6$.

4.192. Для получения серой бронзы сплавили кусок меди объёмом 35 см³ и кусок олова объёмом 65 см³. Чему равна масса 1 см³ бронзы, если масса 1 см³ меди 8,9 г, а масса 1 см³ олова 7,3 г? Результат округлите до десятых долей грамма. (Бронза — один из первых освоенных человеком сплавов металлов.)

4.192

V_меди = 35 см³; V_олово = 65 см³;

1 см³ меди = 8,9 г

1 см³ олово = 7,3 г

1) 35 + 65 = 100 (см³) – объем бронзы;

2) 8,9 • 35 = 311,5 (г) – масса куска меди;

3) 7,3 • 65 = 474,5 (г) – масса куска олова;

4) 311,5 + 474,5 = 786 (г) – масса бронзы;

5) 786 : 100 = 7,86 ≈ 7,9 (г) – масса 1 м³ бронзы.

Ответ: ≈ 7,9 г

Для того чтобы найти массу 1 см³ бронзы, необходимо определить общую массу и общий объем полученного сплава, а затем разделить общую массу на общий объем.

1. Находим массу куска меди
Масса равна произведению объема на плотность (массу 1 см³).
$m_{меди} = 35 \text{ см}^3 \cdot 8,9 \text{ г/см}^3 = 311,5 \text{ г}$.

2. Находим массу куска олова
Аналогично находим массу куска олова:
$m_{олова} = 65 \text{ см}^3 \cdot 7,3 \text{ г/см}^3 = 474,5 \text{ г}$.

3. Находим общую массу и общий объем сплава
Общая масса сплава равна сумме масс его компонентов:
$m_{бронзы} = m_{меди} + m_{олова} = 311,5 \text{ г} + 474,5 \text{ г} = 786 \text{ г}$.
Общий объем сплава равен сумме объемов его компонентов (при условии, что объем при сплавлении не изменяется):
$V_{бронзы} = V_{меди} + V_{олова} = 35 \text{ см}^3 + 65 \text{ см}^3 = 100 \text{ см}^3$.

4. Находим массу 1 см³ бронзы и округляем результат
Масса 1 см³ бронзы (ее плотность) вычисляется как отношение общей массы к общему объему:
$\rho_{бронзы} = \frac{m_{бронзы}}{V_{бронзы}} = \frac{786 \text{ г}}{100 \text{ см}^3} = 7,86 \text{ г/см}^3$.
Это означает, что масса 1 см³ бронзы равна $7,86$ г. Согласно условию, результат необходимо округлить до десятых долей грамма:
$7,86 \text{ г} \approx 7,9 \text{ г}$.

Ответ: 7,9 г.

4.193. В стакан налили 120 мл воды, что составляет 48 % объёма стакана. Чему равен объём стакана?

4.193

В стакане – 120 мл = 48% = 0,48

V стакана - ? мл

120 : 0,48 = 12000 : 48 = 250 (мл) – объем стакана.

Ответ: 250 мл.

По условию задачи нам известно, что 120 мл воды — это 48% от общего объёма стакана. Требуется найти полный объём стакана, который соответствует 100%.

Пусть $V$ — это искомый полный объём стакана.

Способ 1: Решение через пропорцию

Можно составить пропорцию, в которой известный объём соотносится со своим процентным значением, а искомый объём — со 100%.
120 мл — 48%
$V$ мл — 100%

Запишем это в виде математического отношения:
$ \frac{120}{48} = \frac{V}{100} $

Чтобы найти $V$, выразим его из пропорции:
$ V = \frac{120 \times 100}{48} $

Выполним вычисления:
$ V = \frac{12000}{48} = 250 $ мл.

Способ 2: Нахождение целого по его части

Сначала найдём, какой объём соответствует 1% от всего объёма стакана. Для этого разделим известный объём на соответствующий ему процент:
$ \frac{120}{48} = 2.5 $ мл.

Это означает, что 1% объёма стакана равен 2.5 мл.

Теперь, чтобы найти полный объём (100%), умножим объём одного процента на 100:
$ V = 2.5 \times 100 = 250 $ мл.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 250 мл.

4.194. Найдите значение выражения:

а) (10,62 + 0,72 : 14,4 - 5,67) · 2,4; б)(7,77 - 0,81 : 16,2 + 0,63) · 3,6.

4.194

$\mathit{а}\mathbf{)} (10,62 \stackrel{2}{+} 0,72\stackrel{1}{ :} 14,4 \stackrel{3}{–} 5,67)\stackrel{4}{ ·} 2,4 = 12$

1.	2.
3.	4.

$\mathit{б}\mathbf{)} (7,77 \stackrel{2}{–} 0,81\stackrel{1}{ :} 16,2\stackrel{3}{ +} 0,63) \stackrel{4}{·} 3,6 = 30,06$

1.	2.
3.	4.

а) $(10,62 + 0,72 : 14,4 - 5,67) \cdot 2,4$

Для решения данного выражения необходимо соблюдать порядок действий: сначала выполняются операции в скобках (при этом деление имеет приоритет перед сложением и вычитанием), а затем умножение за скобками.

1) Первым действием выполним деление внутри скобок:

$0,72 : 14,4 = 7,2 : 144 = 0,05$

2) Далее выполним сложение в скобках:

$10,62 + 0,05 = 10,67$

3) Теперь выполним вычитание в скобках:

$10,67 - 5,67 = 5$

4) Последним действием выполним умножение результата, полученного в скобках, на 2,4:

$5 \cdot 2,4 = 12$

Ответ: 12

б) $(7,77 - 0,81 : 16,2 + 0,63) \cdot 3,6$

Решаем по аналогии с предыдущим примером, соблюдая порядок арифметических операций.

1) Первым действием выполним деление внутри скобок:

$0,81 : 16,2 = 8,1 : 162 = 0,05$

2) Далее выполним вычитание в скобках (действия одного порядка выполняются слева направо):

$7,77 - 0,05 = 7,72$

3) Теперь выполним сложение в скобках:

$7,72 + 0,63 = 8,35$

4) Последним действием выполним умножение:

$8,35 \cdot 3,6 = 30,06$

Ответ: 30,06

1. Выберите вариант правильного ответа. Чтобы сложить два отрицательных числа, надо:
а) сложить их модули и перед полученным числом поставить знак «+»;
б) сложить их модули и перед полученным числом поставить знак «–».

Проверочная работа

1.

Ответ: б.

Чтобы определить правильный вариант ответа, необходимо вспомнить правило сложения двух отрицательных чисел. Это правило является одним из основных в арифметике при работе с целыми и рациональными числами.

Правило гласит: чтобы сложить два отрицательных числа, нужно сложить их модули (абсолютные значения) и перед полученным результатом поставить знак «-».

Проверим это правило на примере. Допустим, нам нужно сложить числа $-15$ и $-4$.

1. Находим модули слагаемых. Модуль числа — это расстояние от начала координат до точки, изображающей это число на координатной прямой. Модуль всегда неотрицателен.
   $|-15| = 15$
   $|-4| = 4$
2. Складываем модули:
   $15 + 4 = 19$
3. Перед полученной суммой модулей ставим знак «-»:
   $-19$

Таким образом, результат сложения: $(-15) + (-4) = -19$.

Теперь рассмотрим предложенные в задаче варианты.

а) сложить их модули и перед полученным числом поставить знак «+»;

Применяя этот вариант к нашему примеру, мы бы сложили модули $15 + 4 = 19$ и поставили бы перед результатом знак «+», получив число $19$. Это неверно, так как сумма двух отрицательных чисел всегда является отрицательным числом, а не положительным. Представьте, что у вас есть долг 15 рублей ($-15$) и вы взяли в долг еще 4 рубля ($-4$), ваш общий долг станет 19 рублей ($-19$), а не 19 рублей прибыли ($+19$).
Ответ: неверно.

б) сложить их модули и перед полученным числом поставить знак «-».

Этот вариант полностью соответствует правилу сложения отрицательных чисел, которое мы рассмотрели и проверили на примере. Складываем модули ($15 + 4 = 19$) и ставим знак «-» перед результатом, получая правильный ответ $-19$.
Ответ: верно.

2. Чему равна сумма чисел:

а) –7,3 и – 7; б) – 1213 и –1; в) –350,6 и –150,4?

2.

$\mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }-7,3 + (-7) = -(7,3 + 7) = -14,3$

$\mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }-\frac{12}{13} + (-1) = -\left(\frac{12}{13} + 1\right) = -1\frac{12}{13}$

$\mathit{в}\mathbf{)} -350,6 + (-150,4) = -(350,6 + 150,4) = -501$

а) Чтобы найти сумму двух отрицательных чисел, нужно сложить их модули (абсолютные величины) и перед полученным результатом поставить знак минус. В данном случае складываем числа $-7,3$ и $-7$.

Сначала сложим их модули:

$|-7,3| + |-7| = 7,3 + 7 = 14,3$

Теперь добавим знак минус к результату. Таким образом, сумма равна:

$(-7,3) + (-7) = -14,3$

Ответ: $-14,3$

б) Для нахождения суммы чисел $-\frac{12}{13}$ и $-1$ необходимо выполнить сложение двух отрицательных чисел. Для этого мы можем представить число $-1$ в виде дроби со знаменателем $13$.

Представление $-1$ в виде дроби:

$-1 = -\frac{13}{13}$

Теперь сложим две дроби с одинаковыми знаменателями:

$-\frac{12}{13} + (-\frac{13}{13}) = \frac{-12 + (-13)}{13} = \frac{-12 - 13}{13} = -\frac{25}{13}$

Результат можно также представить в виде смешанного числа: $-1\frac{12}{13}$.

Ответ: $-\frac{25}{13}$

в) Чтобы найти сумму двух отрицательных десятичных чисел $-350,6$ и $-150,4$, нужно сложить их модули и перед результатом поставить знак минус.

Сложение модулей чисел:

$|-350,6| + |-150,4| = 350,6 + 150,4$

Выполним сложение:

$350,6 + 150,4 = 501,0 = 501$

Так как оба исходных числа были отрицательными, результат также будет отрицательным.

$(-350,6) + (-150,4) = -501$

Ответ: $-501$

3. Найдите значение выражения –237 + (–312) + (– 114).

3.

$$\begin{gathered} -2\frac{3}{7} + \left(-3\frac{1}{2}\right) + \left(-\frac{1}{14}\right) = -\left({2\frac{3}{7}}^{\overline{)·2}} +{3\frac{1}{2}}^{\overline{)·7}}+\frac{1}{14} \right)= \\ = -\left(2\frac{6}{14} +3\frac{7}{14}+\frac{1}{14} \right)=-5\frac{14}{14} = -6 \end{gathered}$$

Для того чтобы найти значение данного выражения, необходимо сложить три отрицательных числа. Сумма отрицательных чисел является отрицательным числом, модуль которого равен сумме модулей слагаемых.

$-2\frac{3}{7} + (-3\frac{1}{2}) + (-\frac{1}{14}) = -(2\frac{3}{7} + 3\frac{1}{2} + \frac{1}{14})$

Выполним сложение смешанных чисел и дроби в скобках. Для этого сложим отдельно целые и дробные части.

Сумма целых частей: $2 + 3 = 5$.

Сумма дробных частей: $\frac{3}{7} + \frac{1}{2} + \frac{1}{14}$.

Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 7, 2 и 14 равен 14.

$\frac{3}{7} = \frac{3 \cdot 2}{7 \cdot 2} = \frac{6}{14}$

$\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 7}{2 \cdot 7} = \frac{7}{14}$

Теперь сложим дробные части:

$\frac{6}{14} + \frac{7}{14} + \frac{1}{14} = \frac{6+7+1}{14} = \frac{14}{14} = 1$

Теперь сложим полученные суммы целых и дробных частей:

$5 + 1 = 6$

Так как мы складывали отрицательные числа, результат будет отрицательным.

$-(5+1) = -6$

Ответ: $-6$

4. а) Может ли сумма двух чисел быть меньше каждого из слагаемых? Если да, приведите пример.
б) Может ли сумма двух чисел быть меньше –100, если одно из слагаемых больше 100? Если да, приведите пример.
в) Запишите три отрицательных числа, сумма которых больше –1.

4.

а) может
-3 + (-5) = -8
число -8 меньше -3 и меньше -5

б) может
104 + (-210) = -106
-106 < -100

$$\begin{gathered} \mathbf{в}\mathbf{)} -\frac{1}{2} + \left(-\frac{1}{4}\right) + \left(-\frac{1}{8}\right) = -\left({\frac{1}{2}}^{\overline{)·4}} + {\frac{1}{4}}^{\overline{)·2}} +\frac{1}{8}\right)= \\ = -\left(\frac{4}{8} + \frac{2}{8} + \frac{1}{8}\right) = - \frac{7}{8} \\ -\frac{7}{8} > -1 \end{gathered}$$

а) Да, сумма двух чисел может быть меньше каждого из слагаемых. Это происходит в том случае, когда оба слагаемых являются отрицательными числами.Пусть у нас есть два числа, $a$ и $b$. Условие, что их сумма меньше каждого из них, можно записать в виде системы неравенств:$a + b < a$$a + b < b$Из первого неравенства $a + b < a$, вычитая $a$ из обеих частей, получаем $b < 0$.Из второго неравенства $a + b < b$, вычитая $b$ из обеих частей, получаем $a < 0$.Следовательно, оба слагаемых должны быть отрицательными.Например, возьмем два отрицательных числа: $-10$ и $-15$.Их сумма равна $(-10) + (-15) = -25$.Сравним сумму с каждым из слагаемых:$-25 < -10$ (верно)$-25 < -15$ (верно)Таким образом, сумма $-25$ меньше каждого из слагаемых.Ответ: Да, может. Например, сумма чисел $-10$ и $-15$ равна $-25$, что меньше каждого из них.

б) Да, сумма двух чисел может быть меньше $-100$, если одно из слагаемых больше $100$.Для этого второе слагаемое должно быть отрицательным и достаточно большим по модулю, чтобы "компенсировать" положительное первое слагаемое и увести сумму в область чисел, меньших $-100$.Пусть слагаемые это $a$ и $b$, и пусть $a > 100$. Нам нужно, чтобы их сумма удовлетворяла неравенству $a+b < -100$.Выразим из этого неравенства $b$: $b < -100 - a$.Так как по условию $a > 100$, то $-a < -100$. Следовательно, $-100 - a < -100 - 100 = -200$. Это означает, что для выполнения условия нам нужно выбрать число $b$, которое меньше $-200$.Например, выберем в качестве первого слагаемого $a = 120$ (что больше $100$).Тогда второе слагаемое $b$ должно быть меньше $-100 - 120$, то есть $b < -220$.Возьмем $b = -230$.Их сумма равна $120 + (-230) = -110$.Эта сумма ($-110$) меньше $-100$, при этом одно из слагаемых ($120$) больше $100$.Ответ: Да, может. Например, сумма чисел $120$ и $-230$ равна $-110$, что меньше $-100$.

в) Нам нужно найти три отрицательных числа, сумма которых больше $-1$.Пусть эти числа $x, y, z$. Условия задачи: $x<0$, $y<0$, $z<0$ и $x+y+z > -1$.Это означает, что сумма этих трех чисел должна быть отрицательным числом, но находиться на числовой прямой правее точки $-1$, то есть быть в интервале $(-1, 0)$.Для этого достаточно взять три отрицательных числа, модули которых в сумме дают число, меньшее 1.Например, можно взять десятичные дроби. Выберем числа $-0.2$, $-0.3$ и $-0.4$.Все они отрицательные. Найдем их сумму:$(-0.2) + (-0.3) + (-0.4) = -0.9$.Проверяем условие: $-0.9 > -1$. Неравенство верное.Таким образом, эти три числа удовлетворяют условию задачи.Ответ: Например, числа $-0.2$, $-0.3$ и $-0.4$.