Страница 46, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

2.18. Вычислите.

а) 4,78 + 5,22

5,7 + 0,03

9,21 + 2,09

8,37 + 1,63

б) 0,7 - 0,03

1 - 0,36

3 - 2,09

1,78 - 0,6

в) 5,7 : 100

4 : 10

68 : 1000

5,7 : 0,01

г) 0,29 · 0,2 · 5

4,2 · 1,5 - 3,2 · 1,5

4 · 12,5 · 2,5

4,8 · 6,2 + 3,8 · 4,8

2.18

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} 4,78 + 5,22 = 10 \\ 5,7 + 0,03 = 5,73 \\ 9,21 + 2,09 = 11,3 \\ 8,37 + 1,63 = 10 \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} 0,7 – 0,03 = 0,67 \\ 1 – 0,36 = 0,64 \\ 3 – 2,09 = 0,91 \\ 1,78 – 0,6 = 1,18 \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)} 5,7 : 100 = 0,057 \\ 4 : 10 = 0,4 \\ 68 : 1000 = 0,068 \\ 5,7 : 0,01 = 570 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)} 0,29 · 0,2 · 5 = 0,29 · 1 = 0,29 \\ 4,2 · 1,5 – 3,2 · 1,5 = (4,2 – 3,2) · 1,5 = \\ = 1 · 1,5 = 1,5 \\ 4 · 12,5 · 2,5 = (4 · 2,5) · 12,5 = \\ =10 · 12,5 = 125 \\ 4,8 · 6,2 + 3,8 · 4,8 = 4,8 · (6,2 + 3,8) = \\ = 4,8 · 10 = 48 \end{gathered}$$

а)

$4,78 + 5,22$. Сложим дробные части: $0,78 + 0,22 = 1,00$. Затем сложим целые части: $4 + 5 = 9$. Итоговый результат: $9 + 1 = 10$.
$4,78 + 5,22 = 10$

Ответ: 10

$5,7 + 0,03$. Чтобы сложить числа с разным количеством знаков после запятой, уравняем их количество, добавив нуль: $5,7 = 5,70$.
$5,70 + 0,03 = 5,73$

Ответ: 5,73

$9,21 + 2,09$. Складываем числа по разрядам: сотые $1+9=10$ (0 пишем, 1 в уме), десятые $2+0+1=3$, целые $9+2=11$.
$9,21 + 2,09 = 11,30 = 11,3$

Ответ: 11,3

$8,37 + 1,63$. Складываем дробные части: $0,37 + 0,63 = 1,00$. Складываем целые части: $8 + 1 = 9$. Итоговый результат: $9 + 1 = 10$.
$8,37 + 1,63 = 10$

Ответ: 10

б)

$0,7 - 0,03$. Уравняем количество знаков после запятой: $0,7 = 0,70$.
$0,70 - 0,03 = 0,67$

Ответ: 0,67

$1 - 0,36$. Представим $1$ как $1,00$.
$1,00 - 0,36 = 0,64$

Ответ: 0,64

$3 - 2,09$. Представим $3$ как $3,00$.
$3,00 - 2,09 = 0,91$

Ответ: 0,91

$1,78 - 0,6$. Уравняем количество знаков после запятой: $0,6 = 0,60$.
$1,78 - 0,60 = 1,18$

Ответ: 1,18

в)

$5,7 : 100$. При делении на $100$ запятая переносится на 2 знака влево.
$5,7 : 100 = 0,057$

Ответ: 0,057

$4 : 10$. При делении на $10$ запятая переносится на 1 знак влево.
$4 : 10 = 0,4$

Ответ: 0,4

$68 : 1000$. При делении на $1000$ запятая переносится на 3 знака влево.
$68 : 1000 = 0,068$

Ответ: 0,068

$5,7 : 0,01$. Деление на $0,01$ эквивалентно умножению на $100$. При умножении на $100$ запятая переносится на 2 знака вправо.
$5,7 : 0,01 = 5,7 \cdot 100 = 570$

Ответ: 570

г)

$0,29 \cdot 0,2 \cdot 5$. Используем сочетательный закон умножения. Удобнее сначала умножить $0,2$ на $5$.
$0,29 \cdot (0,2 \cdot 5) = 0,29 \cdot 1 = 0,29$

Ответ: 0,29

$4,2 \cdot 1,5 - 3,2 \cdot 1,5$. Используем распределительный закон. Вынесем общий множитель $1,5$ за скобки.
$(4,2 - 3,2) \cdot 1,5 = 1 \cdot 1,5 = 1,5$

Ответ: 1,5

$4 \cdot 12,5 \cdot 2,5$. Используем сочетательный закон умножения. Удобнее сначала умножить $4$ на $2,5$.
$(4 \cdot 2,5) \cdot 12,5 = 10 \cdot 12,5 = 125$

Ответ: 125

$4,8 \cdot 6,2 + 3,8 \cdot 4,8$. Используем распределительный закон. Вынесем общий множитель $4,8$ за скобки.
$4,8 \cdot (6,2 + 3,8) = 4,8 \cdot 10 = 48$

Ответ: 48

2.19. а) Выразите в процентах число: 0,003; 0,02; 0,37; 0,7; 1; 3.

б) Выразите десятичной дробью: 3 %; 7 %; 10 %; 20 %; 50 %; 74 %; 100 %; 140 %.

2.19

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} 0,003 = 0,003 · 100\% = 0,3\% \\ 0,02 = 2\% \\ 0,37 = 37\% \\ 0,7 = 70\% \\ 1 = 100\% \\ 3 = 300\% \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} 3\% = 3 \% : 100\% = 0,03 \\ 7\% = 0,07 \\ 10\% = 0,1 \\ 20\% = 0,2 \\ 50\% = 0,5 \\ 74\% = 0,74 \\ 100\% = 1 \\ 140\% = 1,4 \end{gathered}$$

а) Чтобы выразить число в процентах, необходимо умножить это число на 100 и добавить знак процента (%).

$0,003 \cdot 100\% = 0,3\%$
$0,02 \cdot 100\% = 2\%$
$0,37 \cdot 100\% = 37\%$
$0,7 \cdot 100\% = 70\%$
$1 \cdot 100\% = 100\%$
$3 \cdot 100\% = 300\%$

Ответ: 0,3%; 2%; 37%; 70%; 100%; 300%.

б) Чтобы выразить проценты в виде десятичной дроби, необходимо убрать знак процента (%) и разделить число на 100.

$3\% = \frac{3}{100} = 0,03$
$7\% = \frac{7}{100} = 0,07$
$10\% = \frac{10}{100} = 0,1$
$20\% = \frac{20}{100} = 0,2$
$50\% = \frac{50}{100} = 0,5$
$74\% = \frac{74}{100} = 0,74$
$100\% = \frac{100}{100} = 1$
$140\% = \frac{140}{100} = 1,4$

Ответ: 0,03; 0,07; 0,1; 0,2; 0,5; 0,74; 1; 1,4.

2.20. Найдите удобным способом значение выражения:

а) (а + b) + с при а - 498, b = 317, с = 383;

б) а - (b + с) при а - 51,9, b = 31,7, с = 1,9.

2.20

$\mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }a = 498, b = 317, c = 383$

$$\begin{gathered} (a + b) + c = (498 + 317) + 383 = \\ =498 + (317 + 383) = 498 + 700 = 1198 \end{gathered}$$

$\mathit{б}\mathbf{)} a = 51,9, b = 31,7, c = 1,9$

$$\begin{gathered} a – (b + c) = 51,9 – (31,7 + 1,9) = \\ = 51,9 – 1,9 – 31,7 = 50 – 31,7 = 18,3 \end{gathered}$$

а) Для нахождения значения выражения $(a + b) + c$ при заданных $a = 498$, $b = 317$ и $c = 383$ удобным способом является применение сочетательного свойства сложения. Это свойство гласит, что $(a + b) + c = a + (b + c)$, что позволяет нам изменять группировку слагаемых.
Подставим значения в выражение и перегруппируем слагаемые:
$(498 + 317) + 383 = 498 + (317 + 383)$.
Такая группировка удобна, так как сумма $b$ и $c$ является "круглым" числом.
1. Вычислим сумму в скобках:
$317 + 383 = 700$.
2. Теперь прибавим к результату значение $a$:
$498 + 700 = 1198$.
Ответ: $1198$.

б) Для нахождения значения выражения $a - (b + c)$ при заданных $a = 51.9$, $b = 31.7$ и $c = 1.9$ удобным способом является раскрытие скобок и последующая перегруппировка.
Правило вычитания суммы из числа: $a - (b + c) = a - b - c$.
Подставим значения и раскроем скобки:
$51.9 - (31.7 + 1.9) = 51.9 - 31.7 - 1.9$.
Теперь изменим порядок вычитания для удобства. Удобнее сначала из $a$ вычесть $c$, так как их разность дает целое число.
$51.9 - 31.7 - 1.9 = (51.9 - 1.9) - 31.7$.
1. Выполним вычитание в скобках:
$51.9 - 1.9 = 50$.
2. Теперь вычтем из результата значение $b$:
$50 - 31.7 = 18.3$.
Ответ: $18.3$.

2.21. Одно измерение параллелепипеда равно 20 см, а два других выражаются произвольными натуральными числами сантиметров. Будет ли объём этого параллелепипеда всегда выражаться числом, кратным: а) 2; б) 3; в) 4; г) 5; д) 6?

2.21

$20 = 4 · 5 = 2 · 2 · 5$

а) кратно 2 – может

б) кратно 3 – нет

в) кратно 4 – да

г) кратно 5 - да

д) кратно 6 – нет

Пусть измерения параллелепипеда равны $a, b, c$. По условию задачи, одно измерение равно 20 см, а два других — произвольные натуральные числа. Пусть $a = 20$ см, а $b$ и $c$ — натуральные числа ($b \in \mathbb{N}, c \in \mathbb{N}$).

Объём параллелепипеда $V$ вычисляется по формуле $V = a \cdot b \cdot c$. Подставив известные значения, получаем:$V = 20 \cdot b \cdot c$.

Чтобы определить, будет ли объём $V$ всегда кратен заданным числам, проанализируем множитель 20. Его разложение на простые множители: $20 = 2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^2 \cdot 5$. Следовательно, объём $V = (2^2 \cdot 5) \cdot b \cdot c$.

а) 2
Чтобы объём $V = 20 \cdot b \cdot c$ был кратен 2, необходимо, чтобы произведение делилось на 2. Так как один из множителей (число 20) делится на 2 ($20 : 2 = 10$), то и всё произведение будет делиться на 2 при любых натуральных $b$ и $c$.
Ответ: да.

б) 3
Проверим, будет ли объём $V = 20 \cdot b \cdot c$ всегда кратен 3. Делимость произведения на 3 означает, что хотя бы один из множителей должен быть кратен 3. Множитель 20 не делится на 3. Два других множителя, $b$ и $c$, являются произвольными натуральными числами, и мы можем выбрать такие, которые не делятся на 3. Например, если взять $b=1$ и $c=1$, то объём будет равен $V = 20 \cdot 1 \cdot 1 = 20$. Число 20 не кратно 3. Следовательно, объём не всегда кратен 3.
Ответ: нет.

в) 4
Проверим, будет ли объём $V = 20 \cdot b \cdot c$ всегда кратен 4. Так как один из множителей (число 20) делится на 4 ($20 : 4 = 5$), то и всё произведение будет гарантированно делиться на 4 при любых натуральных $b$ и $c$.
Ответ: да.

г) 5
Проверим, будет ли объём $V = 20 \cdot b \cdot c$ всегда кратен 5. Так как один из множителей (число 20) делится на 5 ($20 : 5 = 4$), то и всё произведение будет всегда делиться на 5 при любых натуральных $b$ и $c$.
Ответ: да.

д) 6
Проверим, будет ли объём $V = 20 \cdot b \cdot c$ всегда кратен 6. Число делится на 6, если оно делится одновременно и на 2, и на 3 ($6 = 2 \cdot 3$). Как мы установили в пункте а), объём всегда делится на 2. Однако, как показано в пункте б), объём не всегда делится на 3 (например, при $b=1, c=1$ объём $V=20$, что не кратно 3). Так как одно из условий делимости на 6 не выполняется всегда, то и объём не всегда будет кратен 6.
Ответ: нет.

222. Разбираемся в решении. Сколько чётных четырёхзначных чисел можно составить из цифр 0, 5, 7, 8, 9, если цифры повторяются?

Решение. На первом месте в записи числа может стоять любая цифра, кроме нуля, — 4 варианта. На втором и на третьем местах может стоять любая из данных пяти цифр — ещё по 5 вариантов. На последнем месте может стоять только одна из двух цифр: 0 или 8, так как число чётное. Получаем ещё два варианта.

Значит, из данных цифр чётных четырёхзначных чисел можно составить 4 · 5 · 5 · 2 = 200 чисел.

2.22

На первом месте в записи числа может стоять любая цифра, кроме нуля, - 4 варианта. На втором и третьем местах может стоять любая из данных пяти цифр – ещё по 5 вариантов. На последнем месте может стоять только одна цифра из двух: 0 или 8, так как число чётное. Получаем ещё два варианта.

Значит, из данных цифр четных четырехзначных чисел можно составит $4 · 5 · 5 · 2 = 200$чисел.

Решение

Чтобы найти количество чётных четырёхзначных чисел, которые можно составить из цифр {0, 5, 7, 8, 9} с возможностью повторения, необходимо последовательно определить количество вариантов для каждой из четырёх позиций в числе.

• Первая цифра (разряд тысяч): На этой позиции не может стоять 0, иначе число не будет четырёхзначным. Следовательно, для первой цифры можно выбрать любую из цифр {5, 7, 8, 9}. Всего 4 варианта.

• Вторая цифра (разряд сотен): На этой позиции нет ограничений. Так как цифры могут повторяться, можно использовать любую из пяти данных цифр {0, 5, 7, 8, 9}. Всего 5 вариантов.

• Третья цифра (разряд десятков): Аналогично второй позиции, здесь также может стоять любая из пяти данных цифр. Всего 5 вариантов.

• Четвёртая цифра (разряд единиц): Чтобы число было чётным, оно должно оканчиваться на чётную цифру. Из данного набора чётными являются {0, 8}. Всего 2 варианта.

Для нахождения общего количества возможных чисел используем комбинаторное правило произведения, перемножая количество вариантов для каждой позиции:

Количество чисел = (варианты для 1-й цифры) × (варианты для 2-й цифры) × (варианты для 3-й цифры) × (варианты для 4-й цифры)

Вычисляем произведение: $4 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 2 = 200$.

Таким образом, из данных цифр можно составить 200 чётных четырёхзначных чисел. Ответ: 200.

2.23. Припишите к числу 1000 по одной цифре справа и слева так, чтобы число делилось на 2, 3, 6 и 9.

2.23

По признакам делимости на 2, 3, 6 и 9 полученное число должно быть четным и сумма его цифр должна быть кратна 9

$610002, 41004, 21006, 810000$

Обозначим цифру, приписываемую слева, как $a$, а цифру, приписываемую справа, как $b$. Исходное число — 1000. Новое число будет иметь вид $\overline{a1000b}$. Согласно условию, цифра $a$ не может быть нулем, так как она стоит на первом месте, поэтому $a \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$. Цифра $b$ может быть любой, то есть $b \in \{0, 1, ..., 9\}$.

Полученное число должно делиться на 2, 3, 6 и 9. Проанализируем условия делимости:

• Если число делится на 9, то оно автоматически делится и на 3 (так как 9 кратно 3).
• Если число делится на 2 и на 3, то оно делится и на 6.

Следовательно, достаточно, чтобы искомое число делилось одновременно на 2 и на 9.

Условие делимости на 2. Число должно оканчиваться на четную цифру. В нашем числе $\overline{a1000b}$ последняя цифра — это $b$. Значит, $b$ может быть одной из цифр: $\{0, 2, 4, 6, 8\}$.

Условие делимости на 9. Сумма цифр числа должна делиться на 9. Сумма цифр числа $\overline{a1000b}$ равна $S = a + 1 + 0 + 0 + 0 + b = a + b + 1$. Значит, $a + b + 1$ должно быть кратно 9.

Объединим условия и найдем все возможные пары $(a, b)$. Сумма $a + b + 1$ находится в диапазоне от $a_{min}+b_{min}+1=1+0+1=2$ до $a_{max}+b_{max}+1=9+8+1=18$. Единственные кратные 9 в этом диапазоне — это 9 и 18.

Случай 1: $a + b + 1 = 9$. Из этого следует, что $a + b = 8$. Учитывая, что $b$ — четное, а $a \ne 0$, переберем варианты:

• Если $b=0$, то $a=8$. Получаем число 81000.
• Если $b=2$, то $a=6$. Получаем число 610002.
• Если $b=4$, то $a=4$. Получаем число 410004.
• Если $b=6$, то $a=2$. Получаем число 210006.

Случай 2: $a + b + 1 = 18$. Из этого следует, что $a + b = 17$. Учитывая, что $b$ — четное, а $a \le 9$, переберем варианты:

• Если $b=8$, то $a=9$. Получаем число 910008.
• Для других четных $b$ значение $a$ будет больше 9, что невозможно.

Ответ: Существует 5 таких чисел: 81000, 610002, 410004, 210006, 910008. Любое из этих чисел является правильным ответом.

2.24. Из множества А = {726 245, 2 977 385, 4 224 423, 65 358, 111 888, 876 555, 909 237} выпишите те числа, которые:

а) кратны 5;

б) кратны 3;

в) делятся без остатка на 3 и на 2;

г) кратны 9 и 5.

2.24

$А=\left\{726245, 2977385, 4224423, 65358, 111888, 876555, 909237\right\}$

$\mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }726 245, 2 977 385, 876 555$

$\mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }4 224 423, 65 358, 111 888, 876 555, 909 237$

$\mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }111 888, 65 358$

$\mathit{г}\mathbf{)} 876 555$

а) кратны 5;

Число кратно 5, если его последняя цифра — 0 или 5. Проверим числа из заданного множества $A = \{726\,245, 2\,977\,385, 4\,224\,423, 65\,358, 111\,888, 876\,555, 909\,237\}$:
- Число 726 245 оканчивается на 5, следовательно, оно кратно 5.
- Число 2 977 385 оканчивается на 5, следовательно, оно кратно 5.
- Число 4 224 423 оканчивается на 3, следовательно, оно не кратно 5.
- Число 65 358 оканчивается на 8, следовательно, оно не кратно 5.
- Число 111 888 оканчивается на 8, следовательно, оно не кратно 5.
- Число 876 555 оканчивается на 5, следовательно, оно кратно 5.
- Число 909 237 оканчивается на 7, следовательно, оно не кратно 5.
Выписываем числа, которые удовлетворяют условию.

Ответ: 726 245, 2 977 385, 876 555.

б) кратны 3;

Число кратно 3, если сумма его цифр делится на 3 без остатка. Вычислим сумму цифр для каждого числа:
- Для 726 245: $7+2+6+2+4+5 = 26$. Число 26 не делится на 3.
- Для 2 977 385: $2+9+7+7+3+8+5 = 41$. Число 41 не делится на 3.
- Для 4 224 423: $4+2+2+4+4+2+3 = 21$. Число 21 делится на 3 ($21 : 3 = 7$).
- Для 65 358: $6+5+3+5+8 = 27$. Число 27 делится на 3 ($27 : 3 = 9$).
- Для 111 888: $1+1+1+8+8+8 = 27$. Число 27 делится на 3 ($27 : 3 = 9$).
- Для 876 555: $8+7+6+5+5+5 = 36$. Число 36 делится на 3 ($36 : 3 = 12$).
- Для 909 237: $9+0+9+2+3+7 = 30$. Число 30 делится на 3 ($30 : 3 = 10$).
Выписываем числа, которые удовлетворяют условию.

Ответ: 4 224 423, 65 358, 111 888, 876 555, 909 237.

в) делятся без остатка на 3 и на 2;

Число делится без остатка на 3 и на 2, если оно удовлетворяет обоим признакам делимости одновременно. Это равносильно делимости на 6.
1. Признак делимости на 2: число должно быть четным, то есть оканчиваться на 0, 2, 4, 6 или 8.
2. Признак делимости на 3: сумма цифр числа должна делиться на 3.
Проверим числа из множества $A$, которые кратны 3 (из пункта б), на четность:
- 4 224 423 - оканчивается на 3 (нечетное).
- 65 358 - оканчивается на 8 (четное). Подходит.
- 111 888 - оканчивается на 8 (четное). Подходит.
- 876 555 - оканчивается на 5 (нечетное).
- 909 237 - оканчивается на 7 (нечетное).
Следовательно, только два числа делятся и на 3, и на 2.

Ответ: 65 358, 111 888.

г) кратны 9 и 5.

Число кратно 9 и 5, если оно удовлетворяет обоим признакам делимости одновременно. Это равносильно делимости на 45.
1. Признак делимости на 5: число должно оканчиваться на 0 или 5.
2. Признак делимости на 9: сумма цифр числа должна делиться на 9.
Проверим числа из множества $A$, которые кратны 5 (из пункта а), на делимость на 9:
- Для 726 245: сумма цифр равна 26. Число 26 не делится на 9.
- Для 2 977 385: сумма цифр равна 41. Число 41 не делится на 9.
- Для 876 555: сумма цифр равна 36. Число 36 делится на 9 ($36 : 9 = 4$). Подходит.
Следовательно, только одно число делится и на 9, и на 5.

Ответ: 876 555.

2.25. Приведите контрпример, опровергающий утверждение:

а) любое число, которое оканчивается цифрой 5, делится на 7;

б) любое число, которое делится на 7, оканчивается цифрой 7.

2.25

а) число 15 не делится на 7

б) число 49 делится на 7, но не оканчивается цифрой 7

а) Утверждение гласит, что любое число, заканчивающееся на 5, делится на 7. Чтобы его опровергнуть, нам нужно найти контрпример — число, которое оканчивается на 5, но при этом не делится на 7 без остатка.
Рассмотрим несколько чисел, оканчивающихся на 5: 5, 15, 25, 35, ...
Проверим число 15. Оно оканчивается на 5. Разделим его на 7:
$15 \div 7 = 2$ (остаток 1)
Поскольку при делении 15 на 7 получается остаток, число 15 не делится на 7 нацело. Таким образом, мы нашли контрпример.
Ответ: 15.

б) Утверждение гласит, что любое число, которое делится на 7, оканчивается на цифру 7. Чтобы его опровергнуть, нам нужно найти контрпример — число, которое делится на 7 нацело, но последняя цифра которого отлична от 7.
Рассмотрим числа, которые являются результатом умножения 7 на другие целые числа (т.е. кратные 7):
$7 \times 1 = 7$ (оканчивается на 7)
$7 \times 2 = 14$ (оканчивается на 4)
Число 14 делится на 7 ($14 \div 7 = 2$), но оканчивается на цифру 4, а не 7. Следовательно, число 14 является контрпримером, опровергающим данное утверждение.
Ответ: 14.

2.26. Поставьте вместо знака вопроса цифру так, чтобы число делилось без остатка на 3 и на 5: а) 25?5; б) 3174?; в) 133?.

2.26

Число делится без остатка на 3, если сумма его цифр кратна 3.

Число делится без остатка на 5, если оно оканчивается цифрой 0 или 5.

$\mathit{а}\mathbf{)} 2505, 2565, 2535, 2595.$

$\mathit{б}\mathbf{)} 31740$

$\mathit{в}\mathbf{)} 1335$

Чтобы число делилось одновременно на 3 и на 5, оно должно удовлетворять признакам делимости на оба этих числа.

Признак делимости на 5: число делится на 5 без остатка, если его последняя цифра — 0 или 5.

Признак делимости на 3: число делится на 3 без остатка, если сумма его цифр делится на 3.

Рассмотрим каждый случай отдельно.

а) 25?5

Пусть неизвестная цифра — это $x$. Получаем число вида $25x5$.

1. Проверка делимости на 5. Число оканчивается на 5, следовательно, оно в любом случае делится на 5.

2. Проверка делимости на 3. Сумма цифр числа должна быть кратна 3. Найдем сумму цифр: $S = 2 + 5 + x + 5 = 12 + x$.

Выражение $12 + x$ должно делиться на 3. Поскольку число 12 уже делится на 3, то и $x$ должен быть цифрой, кратной 3. Среди цифр от 0 до 9 такими являются 0, 3, 6 и 9.

Следовательно, вместо знака вопроса можно подставить любую из этих цифр.

Ответ: 0, 3, 6, 9.

б) 3174?

Пусть неизвестная цифра — это $x$. Получаем число вида $3174x$.

1. Проверка делимости на 5. Чтобы число делилось на 5, его последняя цифра $x$ должна быть 0 или 5.

2. Проверка делимости на 3. Сумма цифр числа $S = 3 + 1 + 7 + 4 + x = 15 + x$ должна делиться на 3.

Рассмотрим два возможных варианта для $x$:

- Если $x = 0$, то сумма цифр $S = 15 + 0 = 15$. Число 15 делится на 3 ($15 \div 3 = 5$). Этот вариант подходит.

- Если $x = 5$, то сумма цифр $S = 15 + 5 = 20$. Число 20 не делится на 3 без остатка. Этот вариант не подходит.

Таким образом, единственная подходящая цифра — 0.

Ответ: 0.

в) 133?

Пусть неизвестная цифра — это $x$. Получаем число вида $133x$.

1. Проверка делимости на 5. Чтобы число делилось на 5, его последняя цифра $x$ должна быть 0 или 5.

2. Проверка делимости на 3. Сумма цифр числа $S = 1 + 3 + 3 + x = 7 + x$ должна делиться на 3.

Рассмотрим два возможных варианта для $x$:

- Если $x = 0$, то сумма цифр $S = 7 + 0 = 7$. Число 7 не делится на 3 без остатка. Этот вариант не подходит.

- Если $x = 5$, то сумма цифр $S = 7 + 5 = 12$. Число 12 делится на 3 ($12 \div 3 = 4$). Этот вариант подходит.

Таким образом, единственная подходящая цифра — 5.

Ответ: 5.

2.27. 1) Для приготовления песочного теста потребовалось $\frac{\mathbf{5}}{\mathbf{9}}$ пачки сливочного масла? Сколько граммов масла потребовалось, если всего в пачке 180 г масла?

2) Для приготовления крема израсходовали $\frac{\mathbf{5}}{\mathbf{8}}$упаковки сливок. Сколько граммов сливок израсходовали, если в упаковке было 600 г сливок?

2.27

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{5}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{9}}}}\mathbf{ }\mathbf{·} \stackrel{20}{\cancel{180} }= \frac{5}{1}\mathbf{ }\mathbf{·} 20 = 100$(г) – масла потребовалось

Ответ: 100 г

$\mathbf{2}\mathbf{)} \frac{5}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{8}}}}· \stackrel{75}{\cancel{600 }}=\frac{5 · 75}{1}= 375$(г) – сливок израсходовали

Ответ: 100г; 375 г.

1) Чтобы найти, сколько граммов масла потребовалось, нужно найти часть от целого. Целое — это масса всей пачки масла, то есть 180 г. Требуемая часть — это дробь $\frac{5}{9}$. Чтобы найти дробь от числа, нужно это число умножить на дробь.
Вычислим массу использованного масла:
$180 \cdot \frac{5}{9} = \frac{180 \cdot 5}{9}$
Сократим 180 и 9. $180 \div 9 = 20$.
$20 \cdot 5 = 100$ (г)
Таким образом, для приготовления песочного теста потребовалось 100 г сливочного масла.
Ответ: 100 г масла.

2) Эта задача решается аналогично предыдущей. Нам нужно найти часть от целого. Целое — это масса всей упаковки сливок, то есть 600 г. Часть, которую израсходовали, — это $\frac{5}{8}$. Умножим общее количество на дробь, чтобы найти, сколько граммов сливок было использовано.
Вычислим массу израсходованных сливок:
$600 \cdot \frac{5}{8} = \frac{600 \cdot 5}{8}$
Сократим 600 и 8. $600 \div 8 = 75$.
$75 \cdot 5 = 375$ (г)
Следовательно, для приготовления крема израсходовали 375 г сливок.
Ответ: 375 г сливок.

Вопросы:

Как разность двух чисел m и n можно заменить суммой? Ответ запишите в виде соответствующего буквенного равенства.

Что такое алгебраическая сумма?

Как найти длину отрезка, зная координаты его концов?

Какое из чисел m и n меньше, если их разность положительна; отрицательна?

32. Действие вычитания

Вопросы к параграфу

• Чтобы найти разность двух чисел, можно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому
  m – n = m + (-n)
  

• Числовое выражение, содержащее только знаки сложения и вычитания, можно представить как сумму, которая называется алгебраической суммой.

• Чтобы найти длину отрезка по координатам его концов, надо из координаты правого конца вычесть координату его левого конца.

• Если разность чисел m и n положительна, то n < m; если разность чисел m и n отрицательна, то m < n.

Как разность двух чисел m и n можно заменить суммой? Ответ запишите в виде соответствующего буквенного равенства.

Разность двух чисел — это результат вычитания. Чтобы заменить вычитание сложением, нужно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому. Для чисел $m$ (уменьшаемое) и $n$ (вычитаемое) число, противоположное вычитаемому, — это $-n$. Таким образом, вычитание числа $n$ эквивалентно прибавлению числа $-n$.

Соответствующее буквенное равенство выглядит следующим образом: $m - n = m + (-n)$.

Ответ: $m - n = m + (-n)$.

Что такое алгебраическая сумма?

Алгебраическая сумма — это математическое выражение, которое состоит из нескольких чисел (слагаемых), соединенных знаками «плюс» или «минус». Такое выражение всегда можно представить в виде суммы положительных и отрицательных чисел, так как любое вычитание можно заменить прибавлением противоположного числа. Например, выражение $15 - 20 + 7 - 3$ является алгебраической суммой, потому что его можно записать как $15 + (-20) + 7 + (-3)$.

Ответ: Алгебраическая сумма — это выражение, которое можно представить в виде суммы положительных и отрицательных чисел.

Как найти длину отрезка, зная координаты его концов?

Чтобы найти длину отрезка на координатной прямой, нужно из координаты его правого конца вычесть координату левого конца. Поскольку правый конец всегда имеет большую координату, результат будет положительным.

Если неизвестно, какой из концов является правым, а какой — левым, можно найти разность их координат и взять модуль (абсолютную величину) этого числа. Модуль разности всегда будет неотрицательным числом, что соответствует понятию длины.

Если концы отрезка $AB$ имеют координаты $A(x_1)$ и $B(x_2)$, то его длина $L$ вычисляется по формуле: $L = |x_2 - x_1|$.

Ответ: Чтобы найти длину отрезка, нужно найти модуль разности координат его концов.

Какое из чисел m и n меньше, если их разность положительна; отрицательна?

Рассмотрим оба условия отдельно:

1. Если разность $m - n$ положительна, это записывается как неравенство $m - n > 0$. Если прибавить к обеим частям этого неравенства число $n$, то знак неравенства не изменится: $m - n + n > 0 + n$, что упрощается до $m > n$. Это означает, что число $m$ больше числа $n$, следовательно, число $n$ меньше.

2. Если разность $m - n$ отрицательна, это записывается как неравенство $m - n < 0$. Если прибавить к обеим частям этого неравенства число $n$, знак неравенства также не изменится: $m - n + n < 0 + n$, что упрощается до $m < n$. Это означает, что число $m$ меньше числа $n$.

Ответ: Если разность $m - n$ положительна, то меньше число $n$. Если разность $m - n$ отрицательна, то меньше число $m$.

4.227. Какой была температура вечером, если за ночь температура воздуха изменилась на –17 °C и к утру стала равна –18 °C ?

4.227

–18⁰С – (–17⁰С) = –18⁰С + 17⁰С = –1⁰С

Для решения этой задачи нужно понять, как связаны начальная температура (вечером), конечное значение (утром) и изменение температуры за ночь. Если мы знаем, какой стала температура и как она изменилась, мы можем найти, какой она была изначально.

Пусть $T_{вечер}$ — это температура вечером, которую нам нужно найти.
Изменение температуры за ночь составляет $\Delta T = -17^\circ\text{C}$.
Температура утром стала $T_{утро} = -18^\circ\text{C}$.

Связь между этими величинами можно выразить формулой:
$T_{утро} = T_{вечер} + \Delta T$

Чтобы найти начальную температуру (вечером), нужно из конечной температуры (утром) вычесть изменение температуры. Выразим $T_{вечер}$ из формулы:
$T_{вечер} = T_{утро} - \Delta T$

Теперь подставим известные значения и вычислим:
$T_{вечер} = -18^\circ\text{C} - (-17^\circ\text{C})$
Вычитание отрицательного числа равносильно сложению положительного:
$T_{вечер} = -18^\circ\text{C} + 17^\circ\text{C}$
$T_{вечер} = -1^\circ\text{C}$

Проверка:
Если вечером температура была $-1^\circ\text{C}$, а за ночь она изменилась на $-17^\circ\text{C}$ (то есть опустилась на 17 градусов), то утром температура стала:
$-1 + (-17) = -1 - 17 = -18^\circ\text{C}$.
Результат совпадает с данными в условии задачи, значит, решение верное.

Ответ: $-1^\circ\text{C}$.

4.228. Термометр показывал t °C , затем температура понизилась на 17 °C. Определите, какую температуру показывает термометр сейчас, если t = 19; t = 17; t = 10; t = 0. Решите задачу сложением, а затем вычитанием.

4.228

t = 19°С
19 + (-17) = 2°С
19 – 17 = 2°С

t = 17°С
17 + (-17) = 0°С
17 – 17 = 0°С

t = 10°С
10 + (-17)= = -7°С
10 – 17 = -(17 – 10) = -7°С

t = 0°С
0 + (-17) = -17°С
0 – 17 = -(17 – 0) = -17°С

Чтобы определить новую температуру, нужно учесть, что начальная температура $t$ °C понизилась на 17 °C. Для каждого значения $t$ решим задачу двумя способами, как указано в условии: сначала сложением, а затем вычитанием.

t = 19

Решение сложением: Понижение температуры на 17 градусов равносильно прибавлению отрицательного числа -17.
$19 + (-17) = 19 - 17 = 2$ (°C).

Решение вычитанием: Так как температура понизилась, необходимо вычесть 17 из начальной температуры.
$19 - 17 = 2$ (°C).
Ответ: 2 °C.

t = 17

Решение сложением: К начальной температуре прибавляем -17.
$17 + (-17) = 17 - 17 = 0$ (°C).

Решение вычитанием: Из начальной температуры вычитаем 17.
$17 - 17 = 0$ (°C).
Ответ: 0 °C.

t = 10

Решение сложением: К начальной температуре прибавляем -17.
$10 + (-17) = -7$ (°C).

Решение вычитанием: Из начальной температуры вычитаем 17.
$10 - 17 = -7$ (°C).
Ответ: -7 °C.

t = 0

Решение сложением: К начальной температуре прибавляем -17.
$0 + (-17) = -17$ (°C).

Решение вычитанием: Из начальной температуры вычитаем 17.
$0 - 17 = -17$ (°C).
Ответ: -17 °C.