Страница 52, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

2.62. Найдите наибольший общий делитель числителя и знаменателя дроби:

а) 324432; б) 225275; в) 414504; г) 575825.

2.62

$\mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{324}{432}$

$$\begin{gathered} 324 = \underline{2} ·\underline{ 2} ·\underline{ 3} · \underline{3} · \underline{3} · 3 \\ 432 = \underline{2} · \underline{2} · 2 · 2 · \underline{3 }· \underline{3} · \underline{3} \\ \mathrm{НОД}(324; 432) = 2 · 2 · 3 · 3 · 3 = 108 \end{gathered}$$

$\mathit{б}\mathbf{)} \frac{225}{275}$

$$\begin{gathered} 225 = 3 · 3 · \underline{5} · \underline{5} \\ 275 = \underline{5} · \underline{5 }· 11 \\ \mathrm{НОД}(225; 275) = 5 · 5 = 25 \end{gathered}$$

$\mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{414}{504}$

$$\begin{gathered} 504 = \underline{2 }· 2 · 2 · \underline{3} · \underline{3} · 7 \\ 414 = \underline{2 }·\underline{ 3} · \underline{3} · 23 \\ \mathrm{НОД}(504; 414) = 2 · 3 · 3 = 18 \end{gathered}$$

$\mathit{г}\mathbf{)} \frac{575}{825}$

$$\begin{gathered} 825 = 3 · \underline{5} · \underline{5} · 11 \\ 575 = \underline{5 }· \underline{5} · 23 \\ \mathrm{НОД}(825; 575) = 5 · 5 = 25 \end{gathered}$$

а) Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) числителя 324 и знаменателя 432, разложим оба числа на простые множители.
Разложение числа 324 на простые множители:
$324 = 2 \cdot 162 = 2 \cdot 2 \cdot 81 = 2^2 \cdot 9^2 = 2^2 \cdot (3^2)^2 = 2^2 \cdot 3^4$.
Разложение числа 432 на простые множители:
$432 = 2 \cdot 216 = 2 \cdot 2 \cdot 108 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 54 = 2^3 \cdot 2 \cdot 27 = 2^4 \cdot 3^3$.
Чтобы найти НОД, нужно перемножить общие простые множители, взяв каждый из них с наименьшим показателем степени, с которым он входит в оба разложения.
Общие множители: 2 и 3. Наименьшая степень для 2 это $2^2$, для 3 это $3^3$.
НОД(324, 432) = $2^2 \cdot 3^3 = 4 \cdot 27 = 108$.
Ответ: 108.

б) Найдем наибольший общий делитель для чисел 225 и 275. Для этого разложим их на простые множители.
Разложение числа 225:
$225 = 5 \cdot 45 = 5 \cdot 5 \cdot 9 = 5^2 \cdot 3^2$.
Разложение числа 275:
$275 = 5 \cdot 55 = 5 \cdot 5 \cdot 11 = 5^2 \cdot 11$.
Общий множитель для обоих чисел - это 5. Наименьший показатель степени, с которым 5 входит в оба разложения, это 2.
НОД(225, 275) = $5^2 = 25$.
Ответ: 25.

в) Найдем наибольший общий делитель для чисел 414 и 504. Разложим их на простые множители.
Разложение числа 414:
$414 = 2 \cdot 207 = 2 \cdot 3 \cdot 69 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 23 = 2 \cdot 3^2 \cdot 23$.
Разложение числа 504:
$504 = 2 \cdot 252 = 2 \cdot 2 \cdot 126 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 63 = 2^3 \cdot 9 \cdot 7 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 7$.
Общие простые множители: 2 и 3. Наименьшая степень для 2 это $2^1$, для 3 это $3^2$.
НОД(414, 504) = $2^1 \cdot 3^2 = 2 \cdot 9 = 18$.
Ответ: 18.

г) Найдем наибольший общий делитель для чисел 575 и 825. Разложим их на простые множители.
Разложение числа 575:
$575 = 5 \cdot 115 = 5 \cdot 5 \cdot 23 = 5^2 \cdot 23$.
Разложение числа 825:
$825 = 5 \cdot 165 = 5 \cdot 5 \cdot 33 = 5^2 \cdot 3 \cdot 11$.
Общий множитель для обоих чисел - это 5. Наименьший показатель степени, с которым 5 входит в оба разложения, это 2.
НОД(575, 825) = $5^2 = 25$.
Ответ: 25.

2.63. Найдите наибольший общий делитель чисел:

а) 45, 60 и 105;

б) 162, 222 и 432;

в) 108, 72 и 96;

г) 240, 480 и 720.

2.63

а) 45, 60 и 105

$$\begin{gathered} 45 = \underline{3 }· 3 · \underline{5} \\ 60 = 2 · 2 · \underline{3} · \underline{5} \\ 105 = \underline{3} ·\underline{ 5} · 7 \\ \mathrm{НОД}(45;60;105)=3 · 5 = 15 \end{gathered}$$

б) 162, 222 и 432

$$\begin{gathered} 162 = \underline{2} · \underline{3 }· 3 · 3 · 3 \\ 222 = \underline{2} ·\underline{ 3} · 37 \\ 432 = \underline{2 }· 2 · 2 · 2 · \underline{3} · 3 · 3 \\ \mathrm{НОД}(162; 222; 432) = 2 · 3 = 6 \end{gathered}$$

в) 108, 72 и 96

$$\begin{gathered} 108 = \underline{2 }· \underline{2} · \underline{3 }· 3 · 3 \\ 72 = \underline{2 }· \underline{2} · 2 · \underline{3} · 3 \\ 96 = \underline{2 }· \underline{2} · 2 · 2 · 2 · \underline{3} \\ \mathrm{НОД}(108; 72; 96) =2 · 2 · 3 = 12 \end{gathered}$$

г) 240, 480 и 720

$$\begin{gathered} 240 = \underline{2} · \underline{2} ·\underline{ 2 }·\underline{2 }· \underline{3} · \underline{5} \\ 480 = \underline{2} · \underline{2} ·\underline{ 2 }·\underline{2 } · 2 · \underline{3} · \underline{5} \\ 720 = \underline{2} · \underline{2} ·\underline{ 2 }·\underline{2 }· \underline{3} · 3 · \underline{5} \\ \mathrm{НОД}(240; 480; 720) = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 5 = 240 \end{gathered}$$

а) Для нахождения наибольшего общего делителя (НОД) чисел 45, 60 и 105 разложим каждое из них на простые множители.
Разложение числа 45: $45 = 3 \cdot 15 = 3 \cdot 3 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5$.
Разложение числа 60: $60 = 6 \cdot 10 = 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 5 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$.
Разложение числа 105: $105 = 5 \cdot 21 = 3 \cdot 5 \cdot 7$.
Общими простыми множителями для этих трех чисел являются 3 и 5. Чтобы найти НОД, нужно перемножить эти общие множители, взяв каждый из них с наименьшим показателем степени, с которым он встречается в разложениях. Наименьшая степень для множителя 3 – это $3^1$, а для множителя 5 – это $5^1$.
Следовательно, $НОД(45, 60, 105) = 3^1 \cdot 5^1 = 15$.
Ответ: 15

б) Для нахождения НОД чисел 162, 222 и 432 разложим их на простые множители.
Разложение числа 162: $162 = 2 \cdot 81 = 2 \cdot 3^4$.
Разложение числа 222: $222 = 2 \cdot 111 = 2 \cdot 3 \cdot 37$.
Разложение числа 432: $432 = 4 \cdot 108 = 4 \cdot 4 \cdot 27 = 2^2 \cdot 2^2 \cdot 3^3 = 2^4 \cdot 3^3$.
Общими простыми множителями являются 2 и 3. Возьмем эти множители с наименьшими показателями степени из разложений: для множителя 2 это $2^1$, для множителя 3 это $3^1$.
Перемножим их, чтобы найти НОД: $НОД(162, 222, 432) = 2^1 \cdot 3^1 = 6$.
Ответ: 6

в) Для нахождения НОД чисел 108, 72 и 96 разложим их на простые множители.
Разложение числа 108: $108 = 2 \cdot 54 = 2 \cdot 2 \cdot 27 = 2^2 \cdot 3^3$.
Разложение числа 72: $72 = 8 \cdot 9 = 2^3 \cdot 3^2$.
Разложение числа 96: $96 = 32 \cdot 3 = 2^5 \cdot 3^1$.
Общие простые множители – 2 и 3. Наименьший показатель степени для множителя 2 – это 2 (из разложения $108 = 2^2 \cdot 3^3$). Наименьший показатель степени для множителя 3 – это 1 (из разложения $96 = 2^5 \cdot 3^1$).
Следовательно, НОД равен: $НОД(108, 72, 96) = 2^2 \cdot 3^1 = 4 \cdot 3 = 12$.
Ответ: 12

г) Для нахождения НОД чисел 240, 480 и 720 можно заметить, что числа 480 и 720 являются кратными числу 240:
$480 = 2 \cdot 240$
$720 = 3 \cdot 240$
Это означает, что 480 и 720 делятся на 240 без остатка. Само число 240 также делится на 240. Следовательно, 240 является общим делителем всех трех чисел. Так как 240 — это наибольшее число, на которое может делиться само число 240, то 240 и есть наибольший общий делитель.
$НОД(240, 480, 720) = 240$.
Для проверки можно также использовать метод разложения на множители:
$240 = 24 \cdot 10 = (2^3 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 5) = 2^4 \cdot 3^1 \cdot 5^1$
$480 = 2 \cdot 240 = 2^5 \cdot 3^1 \cdot 5^1$
$720 = 3 \cdot 240 = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5^1$
Общие множители: 2, 3, 5. Наименьшие степени: $2^4$, $3^1$, $5^1$.
$НОД(240, 480, 720) = 2^4 \cdot 3^1 \cdot 5^1 = 16 \cdot 3 \cdot 5 = 240$.
Ответ: 240

2.64. Найдите наибольший общий делитель чисел:

а) 35 и 39;

б) 79 и 97;

в) 44, 21 и 5;

г) 15, 26 и 77.

2.64

а) 35 и 39

$$\begin{gathered} 35 = 5 · 7 \\ 39 = 3 · 13 \\ \mathrm{НОД} (35; 39) = 1 \end{gathered}$$

б) 79 и 97

$\mathrm{НОД} (35; 39) = 1$

в) 44, 21 и 5

$$\begin{gathered} 44 = 2 · 2 · 11 \\ 21 = 3 · 7 \\ \mathrm{НОД} (44; 21; 5) = 1 \end{gathered}$$

г) 15, 26 и 77

$$\begin{gathered} 15 = 3 · 5 \\ 26 = 2 · 13 \\ 77 = 7 · 11 \\ \mathrm{НОД} (15; 26; 77) = 1 \end{gathered}$$

а)

Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) чисел 35 и 39, разложим каждое из них на простые множители.

Разложение числа 35 на простые множители:
$35 = 5 \times 7$

Разложение числа 39 на простые множители:
$39 = 3 \times 13$

Сравнивая множители, мы видим, что у чисел 35 и 39 нет общих простых множителей. Такие числа называются взаимно простыми. Наибольший общий делитель взаимно простых чисел равен 1.

НОД(35, 39) = 1.

Ответ: 1

б)

Чтобы найти НОД чисел 79 и 97, проверим, являются ли эти числа простыми.

Проверим число 79. Оно не делится на 2, 3 (сумма цифр 7+9=16), 5, 7 ($79 = 7 \times 11 + 2$). Квадратный корень из 79 примерно равен 8.8, поэтому достаточно проверить делимость на простые числа до 7. Так как 79 не делится ни на одно из них, оно является простым числом.

Проверим число 97. Оно не делится на 2, 3 (сумма цифр 9+7=16), 5, 7 ($97 = 7 \times 13 + 6$). Квадратный корень из 97 примерно равен 9.8, поэтому достаточно проверить делимость на простые числа до 7. Так как 97 не делится ни на одно из них, оно также является простым числом.

Поскольку 79 и 97 — это два разных простых числа, их единственный общий делитель — это 1.

НОД(79, 97) = 1.

Ответ: 1

в)

Найдем НОД для чисел 44, 21 и 5. Разложим каждое число на простые множители.

Разложение числа 44:
$44 = 2 \times 2 \times 11 = 2^2 \times 11$

Разложение числа 21:
$21 = 3 \times 7$

Число 5 является простым.

Сравнивая простые множители всех трех чисел ({2, 11}, {3, 7} и {5}), мы видим, что у них нет ни одного общего множителя. Следовательно, их наибольший общий делитель равен 1.

НОД(44, 21, 5) = 1.

Ответ: 1

г)

Найдем НОД для чисел 15, 26 и 77. Разложим каждое число на простые множители.

Разложение числа 15:
$15 = 3 \times 5$

Разложение числа 26:
$26 = 2 \times 13$

Разложение числа 77:
$77 = 7 \times 11$

Сравнивая простые множители всех трех чисел ({3, 5}, {2, 13} и {7, 11}), мы видим, что у них нет общих множителей. Таким образом, их наибольший общий делитель равен 1.

НОД(15, 26, 77) = 1.

Ответ: 1

2.65. Укажите взаимно простые числа:

а) 45 и 50;

б) 99 и 40;

в) 15, 30, 47;

г) 249 и 310.

2.65

а) 45 и 50

НОД (45; 50) = 5 - не являются взаимно простыми.

б) 99 и 40

$$\begin{gathered} 99 = 3 · 3 ·11 \\ 40 = 2 · 2 · 2 · 5 \end{gathered}$$

НОД (99; 40) = 1 - являются взаимно простыми.

в) 15, 30 и 47

$$\begin{gathered} 15 = 3 · 5 \\ 30 = 2 · 3 · 5 \\ 47 = 47 \end{gathered}$$

НОД (15; 30; 47) = 1 - являются взаимно простыми.

г) 249 и 310

$$\begin{gathered} 249 = 3 · 83 \\ 310 = 2 · 5 · 31 \end{gathered}$$

НОД (249; 310) = 1 - являются взаимно простыми.

Два или более натуральных числа называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Чтобы определить, какие из предложенных наборов чисел являются взаимно простыми, найдём их НОД.

а) 45 и 50

Найдем наибольший общий делитель (НОД) для чисел 45 и 50. Для этого разложим их на простые множители:
$45 = 3 \cdot 3 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5$
$50 = 2 \cdot 5 \cdot 5 = 2 \cdot 5^2$
Общий простой множитель для обоих чисел - это 5. Таким образом, $НОД(45, 50) = 5$.
Поскольку НОД не равен 1, эти числа не являются взаимно простыми.

Ответ: не являются взаимно простыми.

б) 99 и 40

Найдем НОД для чисел 99 и 40. Разложим их на простые множители:
$99 = 3 \cdot 3 \cdot 11 = 3^2 \cdot 11$
$40 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^3 \cdot 5$
У этих чисел нет общих простых множителей. Следовательно, их НОД равен 1.
$НОД(99, 40) = 1$.
Так как НОД равен 1, числа 99 и 40 являются взаимно простыми.

Ответ: являются взаимно простыми.

в) 15, 30, 47

Найдем НОД для чисел 15, 30 и 47. Разложим их на простые множители:
$15 = 3 \cdot 5$
$30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$
$47$ — это простое число, так как оно делится только на 1 и на само себя.
Чтобы найти $НОД(15, 30, 47)$, мы ищем общие простые множители для всех трех чисел. Таких множителей нет.
Следовательно, $НОД(15, 30, 47) = 1$.
Поскольку НОД равен 1, числа 15, 30 и 47 являются взаимно простыми.

Ответ: являются взаимно простыми.

г) 249 и 310

Найдем НОД для чисел 249 и 310. Разложим их на простые множители:
Для числа 249: сумма цифр $2+4+9=15$, что делится на 3. $249 = 3 \cdot 83$. 83 — простое число.
Для числа 310: $310 = 10 \cdot 31 = 2 \cdot 5 \cdot 31$. 31 — простое число.
Простые множители числа 249: {3, 83}.
Простые множители числа 310: {2, 5, 31}.
У этих чисел нет общих простых множителей, поэтому их НОД равен 1.
$НОД(249, 310) = 1$.
Так как НОД равен 1, числа 249 и 310 являются взаимно простыми.

Ответ: являются взаимно простыми.

2.66. Среди чисел 6, 15, 30 и 77 найдите все пары взаимно простых чисел.

2.66

$$\begin{gathered} 6 = 2 · 3 \\ 15 = 3 · 5 \\ 30 = 2 · 3 · 5 \\ 77 = 7 · 11 \end{gathered}$$

НОД (6; 77) = 1 – числа взаимно простые

НОД (15; 77) = 1 – числа взаимно простые

НОД (30; 77) = 1 – числа взаимно простые

Чтобы найти все пары взаимно простых чисел, необходимо определить, для каких пар наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Для этого сначала разложим каждое из данных чисел на простые множители.

• Разложение числа 6: $6 = 2 \times 3$
• Разложение числа 15: $15 = 3 \times 5$
• Разложение числа 30: $30 = 2 \times 3 \times 5$
• Разложение числа 77: $77 = 7 \times 11$

Теперь поочередно проверим НОД для каждой возможной пары чисел.

Пара (6, 15)
Простые множители для 6: {2, 3}.
Простые множители для 15: {3, 5}.
Общий множитель — 3. Значит, $НОД(6, 15) = 3$. Эта пара не является взаимно простой.

Пара (6, 30)
Простые множители для 6: {2, 3}.
Простые множители для 30: {2, 3, 5}.
Общие множители — 2 и 3. Значит, $НОД(6, 30) = 2 \times 3 = 6$. Эта пара не является взаимно простой.

Пара (6, 77)
Простые множители для 6: {2, 3}.
Простые множители для 77: {7, 11}.
Общих простых множителей нет. Значит, $НОД(6, 77) = 1$. Эта пара является взаимно простой.

Пара (15, 30)
Простые множители для 15: {3, 5}.
Простые множители для 30: {2, 3, 5}.
Общие множители — 3 и 5. Значит, $НОД(15, 30) = 3 \times 5 = 15$. Эта пара не является взаимно простой.

Пара (15, 77)
Простые множители для 15: {3, 5}.
Простые множители для 77: {7, 11}.
Общих простых множителей нет. Значит, $НОД(15, 77) = 1$. Эта пара является взаимно простой.

Пара (30, 77)
Простые множители для 30: {2, 3, 5}.
Простые множители для 77: {7, 11}.
Общих простых множителей нет. Значит, $НОД(30, 77) = 1$. Эта пара является взаимно простой.

Таким образом, мы нашли все пары взаимно простых чисел из данного набора.

Ответ: (6 и 77), (15 и 77), (30 и 77).

2.67. Найдите все правильные дроби, знаменатель которых равен 16, а числитель и знаменатель — взаимно простые числа.

2.67

$\frac{3}{16}; \frac{5}{16}; \frac{7}{16}; \frac{9}{16}; \frac{11}{16};\frac{13}{16};\frac{15}{16}$

Согласно условию задачи, мы ищем правильные дроби, знаменатель которых равен 16. Обозначим такую дробь как $\frac{m}{16}$.

Условие, что дробь является правильной, означает, что ее числитель меньше знаменателя. Так как числитель должен быть натуральным числом, то $1 \le m < 16$. Таким образом, числитель $m$ может быть любым целым числом от 1 до 15.

Условие, что числитель и знаменатель — взаимно простые числа, означает, что их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. В нашем случае это записывается как $\text{НОД}(m, 16) = 1$.

Чтобы найти все такие числители $m$, сначала разложим знаменатель 16 на простые множители: $16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4$.

Число 16 имеет только один простой делитель — это 2. Чтобы число $m$ было взаимно простым с 16, оно не должно делиться на 2. Другими словами, числитель $m$ должен быть нечетным числом.

Теперь нам нужно выбрать все нечетные числа из диапазона от 1 до 15. Это числа: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15.

Подставив эти значения в качестве числителя, мы получим все искомые дроби.

Ответ: $\frac{1}{16}, \frac{3}{16}, \frac{5}{16}, \frac{7}{16}, \frac{9}{16}, \frac{11}{16}, \frac{13}{16}, \frac{15}{16}$.

2.68. В магазине помидоры и огурцы расфасовали в одинаковые упаковки, сделав ассорти.

а) Какое наибольшее число таких упаковок получилось из 84 помидоров и 112 огурцов?

б) Сколько помидоров и сколько огурцов было в каждой упаковке?

2.68

84 = 2 • 2 • 3 • 7

112 = 2 • 2 • 2 • 2 • 7

НОД (84; 112) = 2 • 2 • 7 = 28

Ответ: 28 упаковок

б)

1) 84 : 28 = 3 помидора – в каждой упаковке;

2) 112 : 28 = 4 огурца – в каждой упаковке.

Ответ: 3 помидора и 4 огурца в каждой упаковке.

а) Какое наибольшее число таких упаковок получилось из 84 помидоров и 112 огурцов?

Чтобы найти наибольшее возможное число одинаковых упаковок, необходимо найти наибольший общий делитель (НОД) для количества помидоров и огурцов. В данном случае, нам нужно найти НОД чисел 84 и 112.

Для этого разложим оба числа на простые множители:

Для числа 84:
$84 = 2 \cdot 42 = 2 \cdot 2 \cdot 21 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7$

Для числа 112:
$112 = 2 \cdot 56 = 2 \cdot 2 \cdot 28 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 14 = 2^4 \cdot 7$

Теперь найдем НОД, выбрав общие простые множители в наименьшей степени, в которой они входят в оба разложения. Общими множителями являются 2 и 7. Наименьшая степень для множителя 2 — это $2^2$, а для множителя 7 — это $7^1$.

НОД(84, 112) = $2^2 \cdot 7 = 4 \cdot 7 = 28$.

Следовательно, наибольшее количество одинаковых упаковок, которое можно составить, равно 28.

Ответ: 28.

б) Сколько помидоров и сколько огурцов было в каждой упаковке?

Зная, что всего получилось 28 упаковок, мы можем рассчитать количество овощей в каждой из них.

Количество помидоров в одной упаковке:
$84 \div 28 = 3$ (помидора)

Количество огурцов в одной упаковке:
$112 \div 28 = 4$ (огурца)

Таким образом, в каждой упаковке было по 3 помидора и 4 огурца.

Ответ: 3 помидора и 4 огурца.

2.69. В спортивных соревнованиях приняли участие 108 мальчиков и 144 девочки. И мальчиков, и девочек разбили на группы с одинаковым количеством человек в каждой группе. Какое наибольшее количество человек могло быть в каждой группе? Сколько получилось групп мальчиков и групп девочек?

2.69

108 = 2 • 2 • 3 • 3 • 3

144 = 2 • 2 • 2 • 2 • 3 • 3

НОД (108; 144) = 2 • 2 • 3 • 3 = 36 - человек в каждой группе

1) 108 : 36 = 3 группы мальчиков;

2) 144 : 36 = 4 группы девочек.

Ответ: 36 человек в группе, 3 группы мальчиков и 4 группы девочек.

Какое наибольшее количество человек могло быть в каждой группе?

По условию задачи, и мальчиков, и девочек разделили на группы с одинаковым количеством участников в каждой. Это означает, что размер группы должен быть числом, на которое можно без остатка разделить как общее число мальчиков (108), так и общее число девочек (144). Чтобы найти наибольшее возможное количество человек в группе, необходимо найти наибольший общий делитель (НОД) этих двух чисел.

Для этого разложим числа 108 и 144 на простые множители:

$108 = 2 \cdot 54 = 2 \cdot 2 \cdot 27 = 2^2 \cdot 3^3$

$144 = 2 \cdot 72 = 2 \cdot 2 \cdot 36 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 18 = 2^4 \cdot 3^2$

Теперь найдем НОД, взяв общие простые множители в наименьшей степени, в которой они встречаются в разложениях:

НОД(108, 144) = $2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$.

Следовательно, наибольшее количество человек, которое могло быть в каждой группе, составляет 36.

Ответ: 36 человек.

Сколько получилось групп мальчиков и групп девочек?

Зная, что в каждой группе было по 36 человек, мы можем вычислить количество групп для мальчиков и для девочек, разделив общее число участников на размер одной группы.

Количество групп мальчиков:

$108 \div 36 = 3$

Количество групп девочек:

$144 \div 36 = 4$

Ответ: получилось 3 группы мальчиков и 4 группы девочек.

2.70. Вычислите.

2.70

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} 0,75 – 0,7 = 0,05 \\ 0,05 · 20 = 1 \\ 1 – 0,2 = 0,8 \\ 0,8 : 0,4 = 2 \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} 1 – 0,25 = 0,75 \\ 0,75 · 2 = 1,5 \\ 1,5 : 0,3 = 5 \\ 5 – 0,05 = 4,95 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }0,9 – 0,09 = 0,81 \\ 0,81 : 9 = 0,09 \\ 0,09 + 0,6 = 0,69 \\ 0,69 · 10 = 6,9 \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }0,69 · 10 = 6,9 \\ 20 · 0,15 = 3 \\ 3 – 0,8 = 2,2 \\ 2,2 : 0,1 = 22 \end{gathered}$$

а)

Решим пример по действиям, выполняя операции в указанном порядке:

1) Первое действие — вычитание: $0,75 - 0,7 = 0,75 - 0,70 = 0,05$

2) Второе действие — умножение: $0,05 \cdot 20 = 1$

3) Третье действие — вычитание: $1 - 0,2 = 0,8$

4) Четвертое действие — деление: $0,8 : 0,4 = 8 : 4 = 2$

Ответ: 2

б)

Решим пример по действиям, выполняя операции в указанном порядке:

1) Первое действие — вычитание: $1 - 0,25 = 0,75$

2) Второе действие — умножение: $0,75 \cdot 2 = 1,5$

3) Третье действие — деление: $1,5 : 0,3 = 15 : 3 = 5$

4) Четвертое действие — вычитание: $5 - 0,05 = 4,95$

Ответ: 4,95

в)

Решим пример по действиям, выполняя операции в указанном порядке:

1) Первое действие — вычитание: $0,9 - 0,09 = 0,90 - 0,09 = 0,81$

2) Второе действие — деление: $0,81 : 9 = 0,09$

3) Третье действие — сложение: $0,09 + 0,6 = 0,09 + 0,60 = 0,69$

4) Четвертое действие — умножение: $0,69 \cdot 10 = 6,9$

Ответ: 6,9

г)

Решим пример по действиям, выполняя операции в указанном порядке:

1) Первое действие — вычитание: $23,9 - 3,9 = 20$

2) Второе действие — умножение: $20 \cdot 0,15 = 3$

3) Третье действие — вычитание: $3 - 0,8 = 2,2$

4) Четвертое действие — деление: $2,2 : 0,1 = 22 : 1 = 22$

Ответ: 22

2.71. Определите с помощью линейки, какими числами (простыми или составными) являются натуральные числа a, b и с на рисунке 2.3. Запишите координаты точек К, N, D, М.

2.71

а = 7 + 7 = 14 – составное число

b = 14 + 7 = 21 – составное число

с = 21+ 9 = 30 – составное число

К = 7 – 6 = 1; N= 14 + 2 = 16; D = 21 – 2 = 19; M = 30 – 5 = 25.

К(1), N(16), D(19), M(25)

Определите с помощью линейки, какими числами (простыми или составными) являются натуральные числа a, b и c на рисунке 2.3.

Для решения задачи проанализируем числовую прямую на рисунке. Примем точку O за начало координат, то есть ее координата равна 0. На рисунке показано, что от точки с координатой 7 к точке K ведет дуга со значением -6. Это означает, что координата точки K вычисляется как $7 + (-6) = 1$. Таким образом, расстояние между точкой O(0) и точкой K(1) является единичным отрезком на числовой оси.

На прямой отмечены точки, соответствующие натуральным числам a, b и c. Чтобы найти их значения, воспользуемся отношениями между точками, указанными на схеме, и их взаимным расположением. Точки на оси расположены в следующем порядке: O, K, D, M, N, 7, b, c. Их координаты, соответственно, возрастают: $0 < 1 < a < \text{координата M} < \text{координата N} < 7 < b < c$.

Координата точки D равна a. От точки D к точке N ведет дуга со значением +2, значит, координата точки N равна $a+2$. Точка M расположена между D(a) и N(a+2). Поскольку основные точки на прямой имеют целочисленные координаты, логично предположить, что координата M равна $a+1$. С другой стороны, к точке M ведет дуга со значением -5 от точки с координатой b. Значит, координата M равна $b-5$. Приравнивая два выражения для координаты M, получаем уравнение: $a+1 = b-5$, откуда выражаем b: $b = a+6$.

Теперь используем неравенства, следующие из расположения точек: 1) Координата N меньше 7: $a+2 < 7 \implies a < 5$. 2) Координата b больше 7: $b > 7$. Подставив $b=a+6$, получим $a+6 > 7 \implies a > 1$. Таким образом, для натурального числа a справедливо двойное неравенство $1 < a < 5$. Возможные целые значения для a: 2, 3, 4.

Воспользуемся указанием "с помощью линейки", то есть оценим визуальные пропорции на рисунке. Расстояние между точками K(1) и D(a) визуально в два раза больше единичного отрезка OK. Если это расстояние равно 2, то $a-1=2$, откуда $a=3$. Проверим это предположение. Если $a=3$, то $b = a+6 = 3+6=9$. Это удовлетворяет всем неравенствам ($1<3<5$ и $7<9$). Осталось определить c. Точка c следует за точкой b=9. Визуально расстояние от точки 7 до точки b(9) такое же, как от точки b(9) до точки c. Это расстояние равно $9-7=2$. Следовательно, $c = b+2 = 9+2=11$. Итак, мы определили значения чисел: $a=3$, $b=9$, $c=11$.

Теперь определим, являются ли они простыми или составными. Число $a=3$ имеет только два делителя (1 и 3), следовательно, оно простое. Число $b=9$ имеет делители 1, 3, 9, следовательно, оно составное. Число $c=11$ имеет только два делителя (1 и 11), следовательно, оно простое.

Ответ: натуральное число a=3 является простым, b=9 — составным, c=11 — простым.

Запишите координаты точек K, N, D, M.

Используя найденные выше значения и информацию с рисунка, вычисляем координаты заданных точек: Координата точки K вычисляется как $7 - 6 = 1$. Координата точки N равна $a+2$. Так как $a=3$, координата N равна $3+2=5$. Координата точки D равна a, то есть 3. Координата точки M вычисляется как $b-5$. Так как $b=9$, координата M равна $9-5=4$.

Ответ: K(1), N(5), D(3), M(4).

Вопросы:

Сформулируйте алгоритм умножения двух отрицательных чисел.

Как найти произведение двух чисел?

Какие знаки должны быть у двух сомножителей, чтобы произведение было положительным числом; отрицательным числом?

33. Действие умножения

Вопросы к параграфу

• чтобы найти произведение двух отрицательных чисел, нужно перемножить их модули

• чтобы найти произведение двух чисел, отличных от нуля, надо:
  1) перемножить модули множителей
  2) поставить у полученного числа знак «+», если множители одного знака, и знак «-», если множители разных знаков

• чтобы произведение двух чисел было положительным числом, нужно, чтобы сомножители имели одинаковые знаки; чтобы произведение двух чисел было отрицательным числом, нужно, чтобы сомножители имели разные знаки

Сформулируйте алгоритм умножения двух отрицательных чисел.

Чтобы умножить два отрицательных числа, необходимо выполнить следующие шаги:
1. Взять модули (абсолютные значения) каждого из двух отрицательных сомножителей. Модуль отрицательного числа — это то же число, но без знака минус. Например, модуль числа $-a$ есть $a$ (записывается как $|-a| = a$).
2. Перемножить полученные модули.
3. Результат этого умножения и будет произведением двух исходных отрицательных чисел. Произведение двух отрицательных чисел всегда является положительным числом.

Пример: найдем произведение $-8$ и $-5$.
• Модуль числа $-8$ равен $|-8|=8$.
• Модуль числа $-5$ равен $|-5|=5$.
• Перемножаем модули: $8 \times 5 = 40$.
Значит, $(-8) \times (-5) = 40$.
Ответ: алгоритм умножения двух отрицательных чисел заключается в умножении их модулей; результат произведения всегда является положительным числом.

Как найти произведение двух чисел?

Чтобы найти произведение двух любых чисел, нужно перемножить их модули, а знак произведения определить по специальным правилам, которые зависят от знаков сомножителей:
• Произведение двух чисел с одинаковыми знаками (оба положительные или оба отрицательные) всегда положительно.
Пример 1 (оба положительные): $7 \times 3 = 21$.
Пример 2 (оба отрицательные): $(-7) \times (-3) = 21$.

• Произведение двух чисел с разными знаками (одно положительное, другое отрицательное) всегда отрицательно.
Пример 1: $(-7) \times 3 = -21$.
Пример 2: $7 \times (-3) = -21$.

• Если хотя бы один из сомножителей равен нулю, то и все произведение равно нулю.
Пример: $(-7) \times 0 = 0$.
Ответ: чтобы найти произведение двух чисел, нужно перемножить их модули, а знак результата определить по правилу: произведение чисел с одинаковыми знаками положительно, а с разными — отрицательно. Если один из множителей равен нулю, то и произведение равно нулю.

Какие знаки должны быть у двух сомножителей, чтобы произведение было положительным числом; отрицательным числом?

Знак произведения двух чисел напрямую зависит от знаков сомножителей:
• Чтобы произведение было положительным числом, сомножители должны иметь одинаковые знаки. Это означает, что либо оба числа должны быть положительными, либо оба числа должны быть отрицательными.
Схематично: $(+) \times (+) = (+)$ и $(-) \times (-) = (+)$.

• Чтобы произведение было отрицательным числом, сомножители должны иметь разные знаки. Это означает, что одно число должно быть положительным, а другое — отрицательным.
Схематично: $(+) \times (-) = (-)$ и $(-) \times (+) = (-)$.
Ответ: для получения положительного произведения знаки сомножителей должны быть одинаковыми; для получения отрицательного произведения — разными.

4.266. В водохранилище уровень воды изменяется каждые сутки на с м. Как изменится уровень воды в водохранилище за четверо суток, если с = 0,3; с = –0,2?

4.266

если с = 0,3 м, то 4 • 0,3 = 1,2

уровень воды поднимется на 1,2 м

если с = -0,2 м, то 4 • (-0,2) = - 0,8

уровень воды опустится на 0,8 м.

Чтобы определить общее изменение уровня воды за определенный период, необходимо умножить ежедневное изменение уровня воды $c$ на количество суток. В данном случае период составляет четверо суток, то есть 4 дня.

Общее изменение уровня воды $(\Delta H)$ за 4 суток вычисляется по формуле: $ \Delta H = c \cdot 4 $.

Рассмотрим оба случая, представленные в задаче.

если $c = 0,3$
В этом случае уровень воды ежедневно повышается на 0,3 м, так как значение $c$ положительное. Найдем общее изменение за 4 суток:
$ \Delta H = 0,3 \cdot 4 = 1,2 $ м.
Результат положительный, следовательно, уровень воды увеличится.
Ответ: уровень воды повысится на 1,2 м.

если $c = -0,2$
В этом случае уровень воды ежедневно понижается на 0,2 м, так как значение $c$ отрицательное. Найдем общее изменение за 4 суток:
$ \Delta H = -0,2 \cdot 4 = -0,8 $ м.
Результат отрицательный, следовательно, уровень воды уменьшится.
Ответ: уровень воды понизится на 0,8 м.

4.267. На шкале термометра 1 °C равен 4 мм. На сколько изменится высота столбика термометра, если температура воздуха изменится:

а) на 13 °C ; б) на –17 °C ?

4.267

$\mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }4 · 13 = 52$мм – повысится высота столбика

$\mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }4 · (-17) = -68$мм – понизится высота столбика

а) По условию задачи, изменение температуры на $1^\circ\text{С}$ соответствует изменению высоты столбика на 4 мм. Изменение температуры на $13^\circ\text{С}$ является положительным, что означает повышение температуры и, как следствие, увеличение высоты столбика. Чтобы найти величину этого изменения, нужно умножить изменение температуры на 4 мм:
$13 \times 4 = 52$ мм.
Ответ: высота столбика термометра увеличится на 52 мм.

б) Изменение температуры на $-17^\circ\text{С}$ является отрицательным, что означает понижение температуры и, следовательно, уменьшение высоты столбика. Чтобы найти, на сколько миллиметров уменьшится высота, необходимо умножить модуль изменения температуры на 4 мм:
$|-17| \times 4 = 17 \times 4 = 68$ мм.
Ответ: высота столбика термометра уменьшится на 68 мм.

4.268. Петя идёт по дороге со скоростью v м/мин. Отметим его местоположение на координатной прямой точкой О, у которой координата равна 0 (рис. 4.46). Будем считать скорость положительной, если Петя движется в положительном направлении, и отрицательной – если в отрицательном. Значение t = –10 будем считать «10 минут назад». Найдите положение Пети на рисунке через t мин, если:

a) v = 50, t = 8; б) v = –50, t = 8; в) v = 50, t = –8; г) v = –50, t = –8.

4.268

а) v = 50, t = 8
50 • 8 = 400 (м) – положение Пети

б) v = -50, t = 8
-50 • 8 = -400 (м) – положение Пети

в) v = 50, t = -8
50 • (-8) = -400 (м) – положение Пети

г) v = -50, t = -8
-50 • (-8) = 400 (м) – положение Пети

Для нахождения положения Пети на координатной прямой используется формула $s = v \cdot t$, где $s$ — это искомое положение (координата), $v$ — скорость, а $t$ — время. Начальное положение Пети в момент времени $t=0$ соответствует координате 0 (точка O).

а) Даны скорость $v = 50$ м/мин и время $t = 8$ мин. Так как скорость положительна, движение происходит в положительном направлении оси (вправо). Вычисляем положение Пети через 8 минут:

$s = 50 \cdot 8 = 400$.

Петя окажется в точке с координатой 400.

Ответ: 400.

б) Даны скорость $v = -50$ м/мин и время $t = 8$ мин. Так как скорость отрицательна, движение происходит в отрицательном направлении оси (влево). Вычисляем положение Пети через 8 минут:

$s = -50 \cdot 8 = -400$.

Петя окажется в точке с координатой -400.

Ответ: -400.

в) Даны скорость $v = 50$ м/мин и время $t = -8$ мин. Отрицательное значение времени означает, что мы ищем положение Пети в прошлом (8 минут назад). Поскольку скорость положительна (движение вправо), то 8 минут назад он находился левее точки 0. Вычисляем его прошлое положение:

$s = 50 \cdot (-8) = -400$.

8 минут назад Петя находился в точке с координатой -400.

Ответ: -400.

г) Даны скорость $v = -50$ м/мин и время $t = -8$ мин. Мы ищем положение Пети 8 минут назад ($t = -8$), при условии, что он движется влево ($v = -50$). Следовательно, в прошлом он находился правее точки 0. Вычисляем его прошлое положение:

$s = (-50) \cdot (-8) = 400$.

8 минут назад Петя находился в точке с координатой 400.

Ответ: 400.

4.269. Найдите произведение:

а) –4 · 8; б) 7 · (–9); в) –20 · 15; г) –238 · 0; д) –1 · 423; е) 0 · (–1).

4.269

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} –4 · 8 = – (4 · 8) = –32 \\ \mathit{б}\mathbf{)} 7 · (–9) = – (7 · 9) = –63 \\ \mathit{в}\mathbf{)} –20 · 15 = – (20 · 15) = –300 \\ \mathit{г}\mathbf{)} –238 · 0 = 0 \\ \mathit{д}\mathbf{)} –1 · 423 = – (1 · 423) = –423 \\ \mathit{е}\mathbf{)} 0 · (–1) = 0 \end{gathered}$$

а) Чтобы найти произведение двух чисел с разными знаками (одно отрицательное, другое положительное), нужно перемножить их модули (абсолютные величины) и перед результатом поставить знак «минус».
В данном случае, мы умножаем $-4$ на $8$.
$|-4| = 4$
$|8| = 8$
$-4 \cdot 8 = -(4 \cdot 8) = -32$.
Ответ: $-32$

б) Здесь мы умножаем положительное число $7$ на отрицательное число $-9$. Правило такое же, как и в предыдущем пункте: произведение будет отрицательным.
$7 \cdot (-9) = -(7 \cdot 9) = -63$.
Ответ: $-63$

в) Умножаем отрицательное число $-20$ на положительное число $15$. Результат будет отрицательным.
$-20 \cdot 15 = -(20 \cdot 15)$.
Вычислим произведение $20 \cdot 15$:
$20 \cdot 15 = 20 \cdot (10 + 5) = 20 \cdot 10 + 20 \cdot 5 = 200 + 100 = 300$.
Следовательно, $-20 \cdot 15 = -300$.
Ответ: $-300$

г) Согласно свойству умножения, произведение любого числа на ноль равно нулю.
$-238 \cdot 0 = 0$.
Ответ: $0$

д) При умножении любого числа $a$ на $-1$ результатом будет противоположное ему число, то есть $-a$.
$-1 \cdot 423 = -423$.
Ответ: $-423$

е) Произведение нуля на любое число, включая отрицательные, всегда равно нулю.
$0 \cdot (-1) = 0$.
Ответ: $0$

4.270. Выполните умножение:

а) –6 · (–5); б) –11 · (–17); в) –35 · (–4); г) –1 · (–1); д) –7 · (–7); е) –50 · (–50).

4.270

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }–6 · (–5) = 6 · 5 = 30 \\ \mathit{б}\mathbf{)} –11 · (–17) = 11 · 17 = 187 \\ \mathit{в}\mathbf{)} –35 · (–4) = 35 · 4 = 140 \\ \mathit{г}\mathbf{)} –1 · (–1) = 1 · 1 = 1 \\ \mathit{д}\mathbf{)} –7 · (–7) = 7 · 7 = 49 \\ \mathit{е}\mathbf{)} –50 · (–50) = 50 · 50 = 2500 \end{gathered}$$

а) Чтобы умножить два отрицательных числа, $-6$ и $-5$, нужно перемножить их модули. Произведение двух отрицательных чисел всегда является положительным числом.

$-6 \cdot (-5) = |-6| \cdot |-5| = 6 \cdot 5 = 30$.

Ответ: $30$

б) Произведение двух отрицательных чисел, $-11$ и $-17$, является положительным числом, равным произведению их модулей.

$-11 \cdot (-17) = |-11| \cdot |-17| = 11 \cdot 17$.

Выполним умножение столбиком или в строчку:

$11 \cdot 17 = 11 \cdot (10 + 7) = 11 \cdot 10 + 11 \cdot 7 = 110 + 77 = 187$.

Ответ: $187$

в) При умножении двух отрицательных чисел, $-35$ и $-4$, результат будет положительным. Находим произведение их модулей.

$-35 \cdot (-4) = |-35| \cdot |-4| = 35 \cdot 4$.

Вычислим произведение:

$35 \cdot 4 = 140$.

Ответ: $140$

г) Умножаем два отрицательных числа, $-1$ и $-1$. Результат будет положительным произведением их модулей.

$-1 \cdot (-1) = |-1| \cdot |-1| = 1 \cdot 1 = 1$.

Ответ: $1$

д) Требуется найти произведение $-7$ на $-7$. Это эквивалентно возведению $-7$ в квадрат. Произведение двух отрицательных чисел положительно.

$-7 \cdot (-7) = (-7)^2 = |-7| \cdot |-7| = 7 \cdot 7 = 49$.

Ответ: $49$

е) Необходимо найти произведение $-50$ на $-50$. Результат будет положительным числом, равным произведению их модулей.

$-50 \cdot (-50) = (-50)^2 = |-50| \cdot |-50| = 50 \cdot 50 = 2500$.

Ответ: $2500$