Номер 2.65, страница 52, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

Часть 1. Параграф 2. Действия со смешенными числами. 7. Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа - номер 2.65, страница 52.

Условие.

2.65. Укажите взаимно простые числа:

а) 45 и 50;

б) 99 и 40;

в) 15, 30, 47;

г) 249 и 310.

Решение 1.

2.65

а) 45 и 50

НОД (45; 50) = 5 - не являются взаимно простыми.

б) 99 и 40

$$\begin{gathered} 99 = 3 · 3 ·11 \\ 40 = 2 · 2 · 2 · 5 \end{gathered}$$

НОД (99; 40) = 1 - являются взаимно простыми.

в) 15, 30 и 47

$$\begin{gathered} 15 = 3 · 5 \\ 30 = 2 · 3 · 5 \\ 47 = 47 \end{gathered}$$

НОД (15; 30; 47) = 1 - являются взаимно простыми.

г) 249 и 310

$$\begin{gathered} 249 = 3 · 83 \\ 310 = 2 · 5 · 31 \end{gathered}$$

НОД (249; 310) = 1 - являются взаимно простыми.

Решение 2.

Два или более натуральных числа называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Чтобы определить, какие из предложенных наборов чисел являются взаимно простыми, найдём их НОД.

а) 45 и 50

Найдем наибольший общий делитель (НОД) для чисел 45 и 50. Для этого разложим их на простые множители:
$45 = 3 \cdot 3 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5$
$50 = 2 \cdot 5 \cdot 5 = 2 \cdot 5^2$
Общий простой множитель для обоих чисел - это 5. Таким образом, $НОД(45, 50) = 5$.
Поскольку НОД не равен 1, эти числа не являются взаимно простыми.

Ответ: не являются взаимно простыми.

б) 99 и 40

Найдем НОД для чисел 99 и 40. Разложим их на простые множители:
$99 = 3 \cdot 3 \cdot 11 = 3^2 \cdot 11$
$40 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^3 \cdot 5$
У этих чисел нет общих простых множителей. Следовательно, их НОД равен 1.
$НОД(99, 40) = 1$.
Так как НОД равен 1, числа 99 и 40 являются взаимно простыми.

Ответ: являются взаимно простыми.

в) 15, 30, 47

Найдем НОД для чисел 15, 30 и 47. Разложим их на простые множители:
$15 = 3 \cdot 5$
$30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$
$47$ — это простое число, так как оно делится только на 1 и на само себя.
Чтобы найти $НОД(15, 30, 47)$, мы ищем общие простые множители для всех трех чисел. Таких множителей нет.
Следовательно, $НОД(15, 30, 47) = 1$.
Поскольку НОД равен 1, числа 15, 30 и 47 являются взаимно простыми.

Ответ: являются взаимно простыми.

г) 249 и 310

Найдем НОД для чисел 249 и 310. Разложим их на простые множители:
Для числа 249: сумма цифр $2+4+9=15$, что делится на 3. $249 = 3 \cdot 83$. 83 — простое число.
Для числа 310: $310 = 10 \cdot 31 = 2 \cdot 5 \cdot 31$. 31 — простое число.
Простые множители числа 249: {3, 83}.
Простые множители числа 310: {2, 5, 31}.
У этих чисел нет общих простых множителей, поэтому их НОД равен 1.
$НОД(249, 310) = 1$.
Так как НОД равен 1, числа 249 и 310 являются взаимно простыми.

Ответ: являются взаимно простыми.

Решение 3.

Решение 4.