Номер 2.67, страница 52, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

7. Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа. § 2. Действия со смешенными числами. ч. 1 - номер 2.67, страница 52.

2.67. Найдите все правильные дроби, знаменатель которых равен 16, а числитель и знаменатель — взаимно простые числа.

2.67

$\frac{3}{16}; \frac{5}{16}; \frac{7}{16}; \frac{9}{16}; \frac{11}{16};\frac{13}{16};\frac{15}{16}$

Согласно условию задачи, мы ищем правильные дроби, знаменатель которых равен 16. Обозначим такую дробь как $\frac{m}{16}$.

Условие, что дробь является правильной, означает, что ее числитель меньше знаменателя. Так как числитель должен быть натуральным числом, то $1 \le m < 16$. Таким образом, числитель $m$ может быть любым целым числом от 1 до 15.

Условие, что числитель и знаменатель — взаимно простые числа, означает, что их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. В нашем случае это записывается как $\text{НОД}(m, 16) = 1$.

Чтобы найти все такие числители $m$, сначала разложим знаменатель 16 на простые множители: $16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4$.

Число 16 имеет только один простой делитель — это 2. Чтобы число $m$ было взаимно простым с 16, оно не должно делиться на 2. Другими словами, числитель $m$ должен быть нечетным числом.

Теперь нам нужно выбрать все нечетные числа из диапазона от 1 до 15. Это числа: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15.

Подставив эти значения в качестве числителя, мы получим все искомые дроби.

Ответ: $\frac{1}{16}, \frac{3}{16}, \frac{5}{16}, \frac{7}{16}, \frac{9}{16}, \frac{11}{16}, \frac{13}{16}, \frac{15}{16}$.