Номер 2.72, страница 53, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

7. Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа. § 2. Действия со смешенными числами. ч. 1 - номер 2.72, страница 53.

2.72. Существует ли куб, у которого выражаются простыми числами ребро и:

а) сумма всех рёбер; б) площадь поверхности?

2.72

а) нет, т.к. если ребро куба х является простым числом, то его сумма ребер равна 12х – составное число, т.к. делится на 3, 4 и 12.

б) нет, т.к. если ребро куба х является простым числом, то его площадь поверхности равна 6х2 – составное число, т.к. делится на 2, 3 и 6.

Пусть длина ребра куба равна $a$. По условию задачи, $a$ — простое число. Простое число — это натуральное число, которое больше 1 и имеет ровно два различных натуральных делителя: 1 и само себя (например, 2, 3, 5, 7, 11 и т.д.).

а) сумма всех рёбер
У куба 12 рёбер, и все они имеют одинаковую длину $a$. Сумма длин всех рёбер $L$ вычисляется по формуле $L = 12a$.
Необходимо выяснить, могут ли и $a$, и $L$ одновременно быть простыми числами.
Если $a$ — простое число, то наименьшее возможное значение для $a$ это 2. В этом случае $L = 12 \cdot 2 = 24$. Число 24 не является простым, так как оно делится на 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
В общем случае, для любого простого числа $a$, число $L = 12a$ будет составным, так как оно по определению делится не только на 1 и на само себя, но также на 12 и на $a$. Поскольку $a \ge 2$, у числа $L$ всегда будет больше двух делителей. Следовательно, $L$ не может быть простым числом.
Ответ: нет, не существует.

б) площадь поверхности
Поверхность куба состоит из 6 одинаковых квадратных граней со стороной $a$. Площадь одной такой грани равна $a^2$. Площадь всей поверхности $S$ вычисляется по формуле $S = 6a^2$.
Необходимо выяснить, могут ли и $a$, и $S$ одновременно быть простыми числами.
Если $a$ — простое число, то $a \ge 2$. В этом случае $S = 6a^2 = 6 \cdot a \cdot a$. Например, при $a=2$, $S = 6 \cdot 2^2 = 24$. Число 24 не является простым.
В общем случае, для любого простого числа $a$, число $S = 6a^2$ будет составным. Оно имеет делителями как минимум 1, 2, 3, 6 и $a$. Так как у простого числа должно быть ровно два делителя (1 и оно само), а у числа $S$ их заведомо больше, оно не может быть простым.
Ответ: нет, не существует.