Номер 2.75, страница 53, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

Часть 1. Параграф 2. Действия со смешенными числами. 7. Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа - номер 2.75, страница 53.

Условие.

2.75. Существуют ли четыре таких различных простых числа, что произведение двух из них равно произведению двух других?

Решение 1.

2.75

Нет, т.к. число можно разложить на простые множители единственным способом и произведение двух любых простых чисел не может быть равно произведению двух других простых чисел, разложение произведений на простые множители будет различным.

a • b = c • d;

6 • 6 = 4 • 9 (составные числа)

2 • 3 • 2 • 3 = 2 • 2 • 3 • 3

Решение 2.

Предположим, что такие четыре различных простых числа существуют. Обозначим их как $p_1, p_2, p_3$ и $p_4$.

По условию задачи, эти числа являются простыми и различными, то есть $p_i \neq p_j$ для любых $i \neq j$.

Также по условию, произведение двух из этих чисел равно произведению двух других. Не нарушая общности, предположим, что произведение $p_1$ и $p_2$ равно произведению $p_3$ и $p_4$. Запишем это в виде равенства:

$p_1 \cdot p_2 = p_3 \cdot p_4$

Это равенство представляет собой два варианта разложения одного и того же натурального числа на простые множители.

Согласно основной теореме арифметики, любое натуральное число, большее единицы, можно представить в виде произведения простых множителей, и такое представление единственно с точностью до порядка сомножителей.

В левой части равенства число разложено на простые множители $p_1$ и $p_2$. В правой части то же самое число разложено на простые множители $p_3$ и $p_4$.

Из-за единственности разложения на простые множители, набор множителей $\{p_1, p_2\}$ должен быть идентичен набору множителей $\{p_3, p_4\}$. Это означает, что либо $p_1 = p_3$ и $p_2 = p_4$, либо $p_1 = p_4$ и $p_2 = p_3$.

Однако любой из этих вариантов противоречит исходному условию, что все четыре числа $p_1, p_2, p_3, p_4$ являются различными. Если, например, $p_1 = p_3$, то это уже не четыре различных числа.

Таким образом, наше первоначальное предположение было неверным.

Ответ: нет, таких четырех различных простых чисел не существует.

Решение 3.

Решение 4.