Страница 53, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

2.72. Существует ли куб, у которого выражаются простыми числами ребро и:

а) сумма всех рёбер; б) площадь поверхности?

2.72

а) нет, т.к. если ребро куба х является простым числом, то его сумма ребер равна 12х – составное число, т.к. делится на 3, 4 и 12.

б) нет, т.к. если ребро куба х является простым числом, то его площадь поверхности равна 6х2 – составное число, т.к. делится на 2, 3 и 6.

Пусть длина ребра куба равна $a$. По условию задачи, $a$ — простое число. Простое число — это натуральное число, которое больше 1 и имеет ровно два различных натуральных делителя: 1 и само себя (например, 2, 3, 5, 7, 11 и т.д.).

а) сумма всех рёбер
У куба 12 рёбер, и все они имеют одинаковую длину $a$. Сумма длин всех рёбер $L$ вычисляется по формуле $L = 12a$.
Необходимо выяснить, могут ли и $a$, и $L$ одновременно быть простыми числами.
Если $a$ — простое число, то наименьшее возможное значение для $a$ это 2. В этом случае $L = 12 \cdot 2 = 24$. Число 24 не является простым, так как оно делится на 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
В общем случае, для любого простого числа $a$, число $L = 12a$ будет составным, так как оно по определению делится не только на 1 и на само себя, но также на 12 и на $a$. Поскольку $a \ge 2$, у числа $L$ всегда будет больше двух делителей. Следовательно, $L$ не может быть простым числом.
Ответ: нет, не существует.

б) площадь поверхности
Поверхность куба состоит из 6 одинаковых квадратных граней со стороной $a$. Площадь одной такой грани равна $a^2$. Площадь всей поверхности $S$ вычисляется по формуле $S = 6a^2$.
Необходимо выяснить, могут ли и $a$, и $S$ одновременно быть простыми числами.
Если $a$ — простое число, то $a \ge 2$. В этом случае $S = 6a^2 = 6 \cdot a \cdot a$. Например, при $a=2$, $S = 6 \cdot 2^2 = 24$. Число 24 не является простым.
В общем случае, для любого простого числа $a$, число $S = 6a^2$ будет составным. Оно имеет делителями как минимум 1, 2, 3, 6 и $a$. Так как у простого числа должно быть ровно два делителя (1 и оно само), а у числа $S$ их заведомо больше, оно не может быть простым.
Ответ: нет, не существует.

2.73. Разложите на простые множители числа:

а) 525, 2310 и 3750; б) 1029, 9375 и 19 683.

2.73

а)

$$\begin{gathered} 525 = 3 · 5 · 5 · 7 \\ 2310 = 2 · 3 · 5 · 7 · 11 \\ 3750 = 2 · 3 · 5 · 5 · 5 · 5 \end{gathered}$$

б)

$$\begin{gathered} 1029 = 3 · 7 · 7 · 7 \\ 9375 = 3 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 \\ 19683 = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 \end{gathered}$$

а)

Разложим на простые множители число 525.
Число 525 оканчивается на 5, следовательно, оно делится на 5:
$525 : 5 = 105$
Результат 105 также оканчивается на 5, делим его на 5:
$105 : 5 = 21$
Число 21 делится на 3:
$21 : 3 = 7$
7 — это простое число.
Таким образом, разложение числа 525 на простые множители: $525 = 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7$. Запишем множители в порядке возрастания и используем степень для повторяющихся множителей.
Ответ: $525 = 3 \cdot 5^2 \cdot 7$.

Разложим на простые множители число 2310.
Число 2310 оканчивается на 0, значит, оно делится на 10, то есть на 2 и 5:
$2310 : 10 = 231$
Для числа 231 проверим признак делимости на 3. Сумма его цифр $2 + 3 + 1 = 6$. Так как 6 делится на 3, то и 231 делится на 3:
$231 : 3 = 77$
Число 77 является произведением 7 и 11:
$77 : 7 = 11$
11 — это простое число.
Таким образом, разложение числа 2310 на простые множители: $2310 = 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 11$. Запишем множители в порядке возрастания.
Ответ: $2310 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11$.

Разложим на простые множители число 3750.
Число 3750 оканчивается на 0, поэтому оно делится на 10 ($2 \cdot 5$):
$3750 : 10 = 375$
Число 375 оканчивается на 5, значит, оно делится на 5:
$375 : 5 = 75$
Число 75 также оканчивается на 5, делим его на 5:
$75 : 5 = 15$
Число 15 также оканчивается на 5, делим его на 5:
$15 : 5 = 3$
3 — это простое число.
Таким образом, разложение числа 3750 на простые множители: $3750 = 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 3$. Запишем множители в порядке возрастания и используем степень.
Ответ: $3750 = 2 \cdot 3 \cdot 5^4$.

б)

Разложим на простые множители число 1029.
Проверим признак делимости на 3: сумма цифр $1 + 0 + 2 + 9 = 12$. Так как 12 делится на 3, то и 1029 делится на 3:
$1029 : 3 = 343$
Число 343 не делится на 2, 3, 5. Проверим делимость на 7:
$343 : 7 = 49$
Число 49 — это $7 \cdot 7$:
$49 : 7 = 7$
Таким образом, разложение числа 1029 на простые множители: $1029 = 3 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7$. Используем степень для повторяющихся множителей.
Ответ: $1029 = 3 \cdot 7^3$.

Разложим на простые множители число 9375.
Число 9375 оканчивается на 5, значит, оно делится на 5. Выполним последовательное деление на 5:
$9375 : 5 = 1875$
$1875 : 5 = 375$
$375 : 5 = 75$
$75 : 5 = 15$
$15 : 5 = 3$
3 — это простое число.
Таким образом, разложение числа 9375 на простые множители: $9375 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 3$. Запишем множители в порядке возрастания и используем степень.
Ответ: $9375 = 3 \cdot 5^5$.

Разложим на простые множители число 19683.
Проверим признак делимости на 3: сумма цифр $1 + 9 + 6 + 8 + 3 = 27$. Так как 27 делится на 3, то и 19683 делится на 3. Выполним последовательное деление на 3:
$19683 : 3 = 6561$
$6561 : 3 = 2187$
$2187 : 3 = 729$
$729 : 3 = 243$
$243 : 3 = 81$
$81 : 3 = 27$
$27 : 3 = 9$
$9 : 3 = 3$
$3 : 3 = 1$
Число 19683 является результатом возведения числа 3 в 9-ю степень.
Ответ: $19683 = 3^9$.

2.74. Разложение одного числа состоит из двух простых множителей, а другого — из трёх простых множителей. Могут ли эти числа быть равными?

2.74

Не могут, разложение числа на простые множители различается только порядком множителей, а не их количеством.

Для ответа на этот вопрос необходимо обратиться к основной теореме арифметики.

Основная теорема арифметики гласит, что любое натуральное число больше 1 может быть представлено в виде произведения простых множителей, и такое представление единственно с точностью до порядка этих множителей. Это означает, что для каждого числа существует свой уникальный набор простых множителей, и количество этих множителей (с учётом повторений) также является уникальным.

Пусть первое число — это $N_1$. Согласно условию, его разложение состоит из двух простых множителей, назовём их $p_1$ и $p_2$. Таким образом, $N_1 = p_1 \cdot p_2$. Например, $14 = 2 \cdot 7$ или $25 = 5 \cdot 5$.

Пусть второе число — это $N_2$. Его разложение состоит из трёх простых множителей, назовём их $q_1, q_2$ и $q_3$. Таким образом, $N_2 = q_1 \cdot q_2 \cdot q_3$. Например, $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$ или $8 = 2 \cdot 2 \cdot 2$.

Предположим, что эти числа могут быть равными, то есть $N_1 = N_2$. В этом случае мы получили бы, что одно и то же число имеет два разных разложения на простые множители: одно с двумя множителями, а другое — с тремя.

$p_1 \cdot p_2 = q_1 \cdot q_2 \cdot q_3$

Это невозможно, так как противоречит основной теореме арифметики о единственности разложения на простые множители. Количество множителей в разложении является уникальной характеристикой числа. Следовательно, число, имеющее в своём разложении два простых множителя, не может быть равно числу, имеющему в разложении три простых множителя.

Ответ: Нет, эти числа не могут быть равными.

2.75. Существуют ли четыре таких различных простых числа, что произведение двух из них равно произведению двух других?

2.75

Нет, т.к. число можно разложить на простые множители единственным способом и произведение двух любых простых чисел не может быть равно произведению двух других простых чисел, разложение произведений на простые множители будет различным.

a • b = c • d;

6 • 6 = 4 • 9 (составные числа)

2 • 3 • 2 • 3 = 2 • 2 • 3 • 3

Предположим, что такие четыре различных простых числа существуют. Обозначим их как $p_1, p_2, p_3$ и $p_4$.

По условию задачи, эти числа являются простыми и различными, то есть $p_i \neq p_j$ для любых $i \neq j$.

Также по условию, произведение двух из этих чисел равно произведению двух других. Не нарушая общности, предположим, что произведение $p_1$ и $p_2$ равно произведению $p_3$ и $p_4$. Запишем это в виде равенства:

$p_1 \cdot p_2 = p_3 \cdot p_4$

Это равенство представляет собой два варианта разложения одного и того же натурального числа на простые множители.

Согласно основной теореме арифметики, любое натуральное число, большее единицы, можно представить в виде произведения простых множителей, и такое представление единственно с точностью до порядка сомножителей.

В левой части равенства число разложено на простые множители $p_1$ и $p_2$. В правой части то же самое число разложено на простые множители $p_3$ и $p_4$.

Из-за единственности разложения на простые множители, набор множителей $\{p_1, p_2\}$ должен быть идентичен набору множителей $\{p_3, p_4\}$. Это означает, что либо $p_1 = p_3$ и $p_2 = p_4$, либо $p_1 = p_4$ и $p_2 = p_3$.

Однако любой из этих вариантов противоречит исходному условию, что все четыре числа $p_1, p_2, p_3, p_4$ являются различными. Если, например, $p_1 = p_3$, то это уже не четыре различных числа.

Таким образом, наше первоначальное предположение было неверным.

Ответ: нет, таких четырех различных простых чисел не существует.

2.76. а) Сколькими способами могут разместиться 9 зрителей домашнего спектакля на девяти стульях?

б) Сколькими способами могут разместиться зрители на этих стульях, если один из них пойдёт помогать артистам?

2.76

а) на стул № 1 зрителей можно посадить 9 способами

на стул № 2 - 8 способами

на стул № 3 - 7 способами

на стул № 4 - 6 способами

на стул № 5 - 5 способами

на стул № 6 - 4 способами

на стул № 7 - 3 способами

на стул № 8 - 2 способами

на стул № 9 - 1 способами

9 • 8 • 7 • 6 • 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 362 880 (способов) – посадить зрителей

Ответ: 362 880 способов

б) на стул № 1 зрителей можно посадить 8 способами

на стул № 2 - 7 способами

на стул № 3 - 6 способами

на стул № 4 - 5 способами

на стул № 5 - 4 способами

на стул № 6 - 3 способами

на стул № 7 - 2 способами

на стул № 8 - 1 способами

на стул № 9 зрителей не будет

8 • 7 • 6 • 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 40 320 (способов) – посадить зрителей

Ответ: 40 320 способов

а) Эта задача заключается в нахождении количества способов рассадить 9 зрителей на 9 стульев. Поскольку все зрители и все стулья различны, а порядок их расположения важен, мы имеем дело с перестановками. Число перестановок из $n$ элементов, обозначаемое как $P_n$, вычисляется по формуле n-факториал:

$P_n = n!$

В нашем случае $n=9$. Рассчитаем количество способов:

$P_9 = 9! = 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 362880$

Следовательно, существует 362 880 способов разместить 9 зрителей на 9 стульях.

Ответ: 362 880.

б) Согласно условию, один зритель уходит, и нам нужно разместить оставшихся $9 - 1 = 8$ зрителей. Количество стульев не изменилось и равно 9. Задача сводится к нахождению числа способов разместить 8 человек на 9 местах.

Это задача на нахождение числа размещений, так как важен порядок рассадки зрителей. Количество размещений $k$ элементов на $n$ местах, обозначаемое как $A_n^k$, вычисляется по формуле:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

В данном случае число зрителей $k=8$, а число стульев $n=9$. Подставим значения в формулу:

$A_9^8 = \frac{9!}{(9-8)!} = \frac{9!}{1!} = 9! = 362880$

Логически это можно объяснить так: для первого из восьми зрителей есть 9 вариантов выбора стула, для второго — 8, и так далее, до восьмого зрителя, у которого останется 2 варианта. Итоговое количество способов: $9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 362880$. Эта ситуация эквивалентна расстановке 8 зрителей и одного "пустого места" на 9 стульях, что также является перестановкой 9 различных объектов ($P_9 = 9!$).

Ответ: 362 880.

2.77. Выполните действия:

а) (2 · 5 · 5 · 11) : (5 · 11);

б) (2 · 2 · 3 · 5 · 13) : (2 · 5 · 13);

в) (2 · 5 · 7 · 19) : (5 · 7);

г) (3 · 5 · 7 · 7 · 17 · 23) : (3 · 7 · 17).

2.77

$\mathit{а}\mathbf{)} (2 · 5 · 5 · 11) : (5 · 11) =\frac{2 · 5 · \cancel{5} · \cancel{11}}{\cancel{5} · \cancel{11}} =2 · 5 = 10$

$\mathit{б}\mathbf{)} (2 · 2 · 3 · 5 · 13) : (2 · 5 · 13) = \frac{2 · \cancel{2} · 3 · \cancel{5} · \cancel{13}}{\cancel{2} · \cancel{5} · \cancel{13}}=2 · 3= 6$

$\mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }(2 · 5 · 7 · 19) : (5 · 7) =\frac{2 ·\cancel{ 5} ·\cancel{ 7} · 19}{\cancel{5} · \cancel{7}} = 2 · 19= 38$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)} (3 · 5 · 7 · 7 · 17 · 23) : (3 · 7 · 17) =\frac{\cancel{3} · 5 · \cancel{7} · 7 · \cancel{17} · 23}{\cancel{3 }· \cancel{7} · \cancel{17}} = 5 · 7 · 23 = \\ = 35 · 23 = 805 \end{gathered}$$

а)

Для выполнения действия деления, представим данное выражение в виде дроби. Это позволит нам сократить общие множители в делимом (числителе) и делителе (знаменателе).

$(2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 11) : (5 \cdot 11) = \frac{2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 11}{5 \cdot 11}$

В числителе и знаменателе есть общие множители $5$ и $11$. Сократим их:

$\frac{2 \cdot 5 \cdot \cancel{5} \cdot \cancel{11}}{\cancel{5} \cdot \cancel{11}} = 2 \cdot 5$

Вычислим оставшееся произведение:

$2 \cdot 5 = 10$

Ответ: 10

б)

Аналогично предыдущему пункту, запишем выражение в виде дроби для удобства сокращения.

$(2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 13) : (2 \cdot 5 \cdot 13) = \frac{2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 13}{2 \cdot 5 \cdot 13}$

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе. Общими множителями являются $2$, $5$ и $13$.

$\frac{\cancel{2} \cdot 2 \cdot 3 \cdot \cancel{5} \cdot \cancel{13}}{\cancel{2} \cdot \cancel{5} \cdot \cancel{13}} = 2 \cdot 3$

Теперь найдем конечное значение:

$2 \cdot 3 = 6$

Ответ: 6

в)

Чтобы найти частное, воспользуемся методом сокращения дроби. Сначала представим операцию деления в виде дроби.

$(2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 19) : (5 \cdot 7) = \frac{2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 19}{5 \cdot 7}$

Находим и сокращаем общие для числителя и знаменателя множители, то есть $5$ и $7$.

$\frac{2 \cdot \cancel{5} \cdot \cancel{7} \cdot 19}{\cancel{5} \cdot \cancel{7}} = 2 \cdot 19$

Выполним умножение:

$2 \cdot 19 = 38$

Ответ: 38

г)

Представим выражение в виде дроби. Это наиболее простой способ решения, так как он позволяет избежать громоздких вычислений произведений.

$(3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 17 \cdot 23) : (3 \cdot 7 \cdot 17) = \frac{3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 17 \cdot 23}{3 \cdot 7 \cdot 17}$

Сократим дробь на общие множители: $3$, $7$ и $17$.

$\frac{\cancel{3} \cdot 5 \cdot \cancel{7} \cdot 7 \cdot \cancel{17} \cdot 23}{\cancel{3} \cdot \cancel{7} \cdot \cancel{17}} = 5 \cdot 7 \cdot 23$

Теперь последовательно вычислим произведение оставшихся множителей:

$5 \cdot 7 = 35$

$35 \cdot 23 = 805$

Ответ: 805

2.78. Сравните числа:

а) 79 и 29; б) 1123 и 823; в) 135 и 85; г) 415 и 347

2.78

$\mathit{а}\mathbf{)} \frac{7}{9} > \frac{2}{9}$ $\mathit{б}\mathbf{)} \frac{11}{23}> \frac{8}{23}$ $\mathit{в}\mathbf{)} 1\frac{3}{5} = \frac{8}{5}$ $\mathit{г}\mathbf{)} 4\frac{1}{5}> 3\frac{4}{7}$

а) Сравним дроби $\frac{7}{9}$ и $\frac{2}{9}$.

Данные дроби имеют одинаковый знаменатель, равный 9. Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше.

Сравниваем числители: $7$ и $2$.

Поскольку $7 > 2$, то и дробь $\frac{7}{9}$ больше дроби $\frac{2}{9}$.

Ответ: $\frac{7}{9} > \frac{2}{9}$.

б) Сравним дроби $\frac{11}{23}$ и $\frac{8}{23}$.

Знаменатели этих дробей одинаковы и равны 23. Чтобы сравнить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сравнить их числители.

Сравниваем числители: $11$ и $8$.

Так как $11 > 8$, то дробь $\frac{11}{23}$ больше дроби $\frac{8}{23}$.

Ответ: $\frac{11}{23} > \frac{8}{23}$.

в) Сравним числа $1\frac{3}{5}$ и $\frac{8}{5}$.

Чтобы сравнить смешанное число и неправильную дробь, приведем их к одному виду. Преобразуем смешанное число $1\frac{3}{5}$ в неправильную дробь. Для этого умножим целую часть (1) на знаменатель (5) и прибавим к результату числитель (3), а знаменатель оставим прежним.

$1\frac{3}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{5 + 3}{5} = \frac{8}{5}$.

Теперь сравним полученную дробь $\frac{8}{5}$ с дробью $\frac{8}{5}$.

Так как дроби полностью совпадают, они равны.

Ответ: $1\frac{3}{5} = \frac{8}{5}$.

г) Сравним смешанные числа $4\frac{1}{5}$ и $3\frac{4}{7}$.

При сравнении двух смешанных чисел в первую очередь сравнивают их целые части. То число больше, у которого целая часть больше.

Целая часть числа $4\frac{1}{5}$ равна 4.

Целая часть числа $3\frac{4}{7}$ равна 3.

Сравниваем целые части: $4 > 3$.

Поскольку целая часть первого числа больше целой части второго, то и само число $4\frac{1}{5}$ больше числа $3\frac{4}{7}$, независимо от их дробных частей.

Ответ: $4\frac{1}{5} > 3\frac{4}{7}$.

2.79. Используя транспортир, постройте ∠KLM = 65º и ∠PRS = 170º.

2.79

$\angle$KLM = 65°

$\angle$PRS = 170°

Построение $\angle KLM = 65^\circ$

Для построения угла $\angle KLM$ с градусной мерой $65^\circ$ с помощью транспортира и линейки необходимо выполнить следующие шаги:

1. Начертите на листе бумаги луч с началом в точке L. Обозначьте на луче точку M. Полученный луч LM будет одной из сторон угла.

2. Приложите транспортир так, чтобы его центр совпал с вершиной угла (точкой L), а его прямое основание прошло вдоль луча LM, при этом отметка $0^\circ$ на шкале транспортира должна лежать на луче.

3. На шкале транспортира найдите деление, соответствующее $65^\circ$. Рядом с этим делением поставьте точку и назовите её K.

4. Уберите транспортир и с помощью линейки проведите луч из вершины L через точку K.

5. В результате будет построен угол $\angle KLM$, величина которого равна $65^\circ$.

Ответ: Угол $\angle KLM$ построен.

Построение $\angle PRS = 170^\circ$

Для построения угла $\angle PRS$ с градусной мерой $170^\circ$ необходимо выполнить аналогичные действия:

1. Начертите луч с началом в точке R. Обозначьте на нем точку S. Этот луч RS будет одной из сторон угла.

2. Совместите центр транспортира с вершиной угла — точкой R. Расположите транспортир так, чтобы луч RS проходил через отметку $0^\circ$ на его шкале.

3. Найдите на той же шкале транспортира деление $170^\circ$. Поставьте точку P напротив этой отметки.

4. Уберите транспортир и проведите луч из вершины R через точку P с помощью линейки.

5. Полученный угол $\angle PRS$ является искомым, и его величина составляет $170^\circ$.

Ответ: Угол $\angle PRS$ построен.

2.80. 1) Развёрнутый угол АОВ разделён на два угла: АОС и СОВ. Чему равны эти углы, если угол СОВ в 5 раз больше угла АОС? Постройте эти углы.

2) Развёрнутый угол COD разделён на два угла: COF и FOD. Чему равны эти углы, если угол FOD в 3 раза меньше угла COF? Постройте эти углы.

2.80

Пусть $\angle$АОС = х, тогда $\angle$СОВ = 5х. Зная, что $\angle$АОВ = 180⁰, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} х + 5х = 180⁰; \\ 6х = 180⁰; \\ х = 180⁰ : 6; \\ х = 30⁰ - \angle АОС; \end{gathered}$$

$1) 5 · 30⁰ = 150⁰ - \angle СОВ.$

Пусть $\angle$ FOD = х, тогда $\angle$ COF = 3х. Зная, что $\angle$ COD = 180⁰, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} х + 3х = 180⁰; \\ 4х = 180⁰; \\ х = 180⁰ : 4; \\ х = 45⁰ - \angle FОD; \end{gathered}$$

$1) 3 · 45⁰ = 135⁰ - \angle СОF.$

1)

По условию, развёрнутый угол $AOB$ равен $180^\circ$. Этот угол разделён на два смежных угла: $\angle AOC$ и $\angle COB$. Сумма смежных углов равна $180^\circ$, следовательно:
$\angle AOC + \angle COB = 180^\circ$

Также по условию, угол $COB$ в 5 раз больше угла $AOC$. Обозначим величину угла $AOC$ через $x$. Тогда величина угла $COB$ будет равна $5x$.
Составим и решим уравнение:
$x + 5x = 180^\circ$
$6x = 180^\circ$
$x = \frac{180^\circ}{6}$
$x = 30^\circ$

Таким образом, величина угла $AOC$ равна $30^\circ$.
Найдём величину угла $COB$:
$\angle COB = 5x = 5 \cdot 30^\circ = 150^\circ$.

Проверим: $\angle AOC + \angle COB = 30^\circ + 150^\circ = 180^\circ$.

Построение:
1. Чертим прямую линию и отмечаем на ней точку $O$.
2. На прямой по разные стороны от точки $O$ отмечаем точки $A$ и $B$. Получаем развёрнутый угол $AOB$.
3. С помощью транспортира от луча $OA$ откладываем угол, равный $30^\circ$, и проводим луч $OC$.
4. В результате получаем два угла: $\angle AOC = 30^\circ$ и $\angle COB = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$.

Ответ: $\angle AOC = 30^\circ$, $\angle COB = 150^\circ$.

2)

Аналогично, развёрнутый угол $COD$ равен $180^\circ$. Он разделён на два смежных угла: $\angle COF$ и $\angle FOD$. Их сумма равна $180^\circ$:
$\angle COF + \angle FOD = 180^\circ$

По условию, угол $FOD$ в 3 раза меньше угла $COF$. Это означает, что угол $COF$ в 3 раза больше угла $FOD$.
Обозначим величину угла $FOD$ через $y$. Тогда величина угла $COF$ будет равна $3y$.
Составим и решим уравнение:
$3y + y = 180^\circ$
$4y = 180^\circ$
$y = \frac{180^\circ}{4}$
$y = 45^\circ$

Таким образом, величина угла $FOD$ равна $45^\circ$.
Найдём величину угла $COF$:
$\angle COF = 3y = 3 \cdot 45^\circ = 135^\circ$.

Проверим: $\angle COF + \angle FOD = 135^\circ + 45^\circ = 180^\circ$.

Построение:
1. Чертим прямую линию и отмечаем на ней точку $O$.
2. На прямой по разные стороны от точки $O$ отмечаем точки $C$ и $D$. Получаем развёрнутый угол $COD$.
3. С помощью транспортира от луча $OD$ откладываем угол, равный $45^\circ$, и проводим луч $OF$.
4. В результате получаем два угла: $\angle FOD = 45^\circ$ и $\angle COF = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.

Ответ: $\angle FOD = 45^\circ$, $\angle COF = 135^\circ$.

2.81. 1) На молокозаводе было 960 л молока. Из 716 всего молока приготовили творог, 59 оставшегося молока переработали на сливки, а остальное молоко разлили в бутылки по 1,5 л и отправили в магазин. Сколько бутылок молока отправили в магазин?

2) В плодоводческом хозяйстве собрали 720 ц вишни. Из 512 всей вишни сварили варенье, 914 оставшейся вишни переработали на сок, а остальную вишню расфасовали в ящики по 7,5 кг и отправили на продажу. Сколько ящиков вишни отправили на продажу?

2.81

$\mathbf{1}\mathbf{)} \stackrel{60}{\cancel{960}} · \frac{7}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{16}}}} = 60 · 7 = 420$(л) – молока потратили на творог;

$\mathbf{2}\mathbf{)} 960 – 420 = 540$(л) – молока осталось;

$\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{ }\stackrel{60}{\cancel{540} }· \frac{5}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{9}}}} = 60 · 5 = 300$(л) – молока переработали на сливки;

$\mathbf{4}\mathbf{)} 540 – 300 = 240$(л) – молока разлили в бутылки;

$\mathbf{5}\mathbf{)} 240 : 1,5 = 2400 : 15 = 160$(б) – отправили в магазин.

Ответ: 160 бутылок молока

$\mathbf{1}\mathbf{)} \stackrel{60}{\cancel{720}} · \frac{5}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{12}}}} = 60 · 5 = 300$(ц) – вишни сварили варенье;

$\mathbf{2}\mathbf{)} 720 – 300 = 420$(ц) – вишни осталось;

$\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{ }\stackrel{30}{\cancel{420} }· \frac{9}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{14}}}} = 30 · 9 = 270$(ц) – вишни переработали на сок;

$\mathbf{4}\mathbf{)}\mathbf{ }420 – 270 = 150 (\mathrm{ц}) = 15000$(кг) – вишни расфасовали в ящик;

$\mathbf{5}\mathbf{)} 15 000 : 7,5 = 150 000 : 75 = 2 000$(я) – отправили на продажу.

Ответ: 2000 ящиков вишни.

1)

1. Сначала найдем, сколько литров молока использовали для приготовления творога. Для этого общее количество молока умножим на часть, указанную в условии:

$960 \cdot \frac{7}{16} = \frac{960 \cdot 7}{16} = 60 \cdot 7 = 420$ л молока ушло на творог.

2. Теперь вычислим, сколько молока осталось после этого:

$960 - 420 = 540$ л молока осталось.

3. Далее найдем, сколько из оставшегося молока переработали на сливки:

$540 \cdot \frac{5}{9} = \frac{540 \cdot 5}{9} = 60 \cdot 5 = 300$ л молока ушло на сливки.

4. Узнаем, сколько молока осталось в итоге для розлива в бутылки:

$540 - 300 = 240$ л молока.

5. Наконец, разделим оставшееся молоко на объем одной бутылки, чтобы найти их количество:

$240 : 1,5 = 240 : \frac{3}{2} = 240 \cdot \frac{2}{3} = \frac{240 \cdot 2}{3} = 80 \cdot 2 = 160$ бутылок.

Ответ: 160 бутылок.

2)

1. Сначала найдем, сколько центнеров вишни использовали для варенья. Для этого общее количество вишни умножим на указанную часть:

$720 \cdot \frac{5}{12} = \frac{720 \cdot 5}{12} = 60 \cdot 5 = 300$ ц вишни ушло на варенье.

2. Теперь вычислим, сколько вишни осталось:

$720 - 300 = 420$ ц вишни осталось.

3. Далее найдем, сколько из оставшейся вишни переработали на сок:

$420 \cdot \frac{9}{14} = \frac{420 \cdot 9}{14} = 30 \cdot 9 = 270$ ц вишни ушло на сок.

4. Узнаем, сколько вишни осталось для расфасовки в ящики:

$420 - 270 = 150$ ц вишни.

5. Переведем массу оставшейся вишни в килограммы. В одном центнере 100 килограммов:

$150 \text{ ц} = 150 \cdot 100 = 15000$ кг.

6. Наконец, разделим общую массу вишни на массу одного ящика, чтобы найти их количество:

$15000 : 7,5 = 15000 : \frac{15}{2} = 15000 \cdot \frac{2}{15} = \frac{15000 \cdot 2}{15} = 1000 \cdot 2 = 2000$ ящиков.

Ответ: 2000 ящиков.

2.82. Числа 0,7; 0,29; 0,2 представьте в виде обыкновенной дроби, а числа 78, 312, 61225 — в виде десятичной дроби.

2.82

$0,7 =\frac{ 7}{10}$

$0,29 = \frac{29}{100}$

$0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

$\frac{7}{8} = \frac{7 · 125}{8 · 125}= \frac{875}{1000}=0,875$

$3\frac{1}{2} = 3\frac{1 · 5}{2 · 5}=3\frac{5}{10} = 3,5$

$6\frac{12}{25}= 6\frac{12 · 4}{25 · 4}=6\frac{48}{100} = 6,48$

Числа 0,7; 0,29; 0,2 представьте в виде обыкновенной дроби

Чтобы представить десятичную дробь в виде обыкновенной, нужно записать ее так, как она читается. Число после запятой становится числителем, а в знаменатель ставится 1 с таким количеством нулей, сколько цифр после запятой. Затем, если возможно, дробь нужно сократить.

• Число $0,7$ читается как «семь десятых». В числителе будет 7, в знаменателе 10.
  $0,7 = \frac{7}{10}$. Дробь несократимая.

• Число $0,29$ читается как «двадцать девять сотых». В числителе будет 29, в знаменателе 100.
  $0,29 = \frac{29}{100}$. Дробь несократимая, так как 29 — простое число.

• Число $0,2$ читается как «две десятых». В числителе будет 2, в знаменателе 10.
  $0,2 = \frac{2}{10}$. Эту дробь можно сократить, разделив числитель и знаменатель на 2:
  $\frac{2}{10} = \frac{2 \div 2}{10 \div 2} = \frac{1}{5}$.

Ответ: $0,7 = \frac{7}{10}$; $0,29 = \frac{29}{100}$; $0,2 = \frac{1}{5}$.

а числа $\frac{7}{8}$, $3\frac{1}{2}$, $6\frac{12}{25}$ — в виде десятичной дроби

Чтобы представить обыкновенную или смешанную дробь в виде десятичной, нужно преобразовать ее так, чтобы знаменатель стал равен 10, 100, 1000 и т.д., или просто разделить числитель на знаменатель. Для смешанных чисел преобразуется только дробная часть, а целая остается без изменений.

• Для дроби $\frac{7}{8}$ можно разделить 7 на 8.
  $7 \div 8 = 0,875$.
  Другой способ — привести знаменатель 8 к 1000, умножив его на 125. Числитель также нужно умножить на 125:
  $\frac{7}{8} = \frac{7 \times 125}{8 \times 125} = \frac{875}{1000} = 0,875$.

• Для смешанного числа $3\frac{1}{2}$ целая часть равна 3. Преобразуем дробную часть $\frac{1}{2}$. Умножим числитель и знаменатель на 5, чтобы получить в знаменателе 10:
  $\frac{1}{2} = \frac{1 \times 5}{2 \times 5} = \frac{5}{10} = 0,5$.
  Следовательно, $3\frac{1}{2} = 3 + 0,5 = 3,5$.

• Для смешанного числа $6\frac{12}{25}$ целая часть равна 6. Преобразуем дробную часть $\frac{12}{25}$. Умножим числитель и знаменатель на 4, чтобы получить в знаменателе 100:
  $\frac{12}{25} = \frac{12 \times 4}{25 \times 4} = \frac{48}{100} = 0,48$.
  Следовательно, $6\frac{12}{25} = 6 + 0,48 = 6,48$.

Ответ: $\frac{7}{8} = 0,875$; $3\frac{1}{2} = 3,5$; $6\frac{12}{25} = 6,48$.

2.83. Запишите числа в виде десятичной дроби и найдите сумму:

а) 45 + 14; б) 22225 + 334.

2.83

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{4}{5}+ \frac{1}{4} = \frac{4 · 2}{5 · 2}+ \frac{1 · 25}{4 · 25} =\frac{8}{10} + \frac{25}{100}= \\ =0,8 + 0,25 = 1,05 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} 2\frac{22}{25} + 3\frac{3}{4}=2\frac{22 · 4}{25 · 4} + 3\frac{3 · 25}{4 · 25}= 2\frac{88}{100} + 3\frac{75}{100} = \\ =2,88 + 3,75 = 6,63 \end{gathered}$$

а) Чтобы найти сумму $\frac{4}{5} + \frac{1}{4}$, сначала преобразуем каждую обыкновенную дробь в десятичную.

1. Преобразуем дробь $\frac{4}{5}$. Для этого домножим числитель и знаменатель на 2, чтобы в знаменателе получилось 10:
$\frac{4}{5} = \frac{4 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{8}{10} = 0.8$

2. Преобразуем дробь $\frac{1}{4}$. Для этого домножим числитель и знаменатель на 25, чтобы в знаменателе получилось 100:
$\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{25}{100} = 0.25$

3. Теперь сложим полученные десятичные дроби:
$0.8 + 0.25 = 1.05$

Ответ: $1.05$

б) Чтобы найти сумму $2\frac{22}{25} + 3\frac{3}{4}$, сначала представим каждое смешанное число в виде десятичной дроби.

1. Преобразуем число $2\frac{22}{25}$. Целая часть остается без изменений. Дробную часть $\frac{22}{25}$ преобразуем в десятичную дробь, домножив числитель и знаменатель на 4:
$\frac{22}{25} = \frac{22 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{88}{100} = 0.88$
Таким образом, $2\frac{22}{25} = 2.88$.

2. Преобразуем число $3\frac{3}{4}$. Целая часть остается без изменений. Дробную часть $\frac{3}{4}$ преобразуем в десятичную дробь, домножив числитель и знаменатель на 25:
$\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{75}{100} = 0.75$
Таким образом, $3\frac{3}{4} = 3.75$.

3. Теперь сложим полученные десятичные дроби:
$2.88 + 3.75 = 6.63$

Ответ: $6.63$

2.84 Развивай мышление. Представьте в виде суммы с наименьшим числом простых слагаемых (слагаемые могут повторяться) числа:

а) нечётные, большие 5, но меньшие 20;

б) чётные, большие 2, но меньшие 20.

Сформулируйте предположения о представлении чисел в виде суммы простых слагаемых.

Образец:

7 = 2 + 2 + 3
4 = 2 + 2

2.84

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} 7 = 2 + 5 \\ 9 = 2 + 7 \\ 11 = 2 + 2 + 7 \\ 13 = 2 + 11 \\ 15 = 2 + 13 \\ 17 = 2 + 2 + 13 \\ 19 = 2 + 17 \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }4 = 2 + 2 \\ 6 = 3 + 3 \\ 8 = 3 + 5 \\ 10 = 3 + 7 \\ 12 = 5 + 7 \\ 14 = 3 + 11 \\ 16 = 3 + 13 \\ 18 = 5 + 13 \end{gathered}$$

Нечетное число, представленное в виде суммы простых чисел, состоит из чисел, одно из которых нечетное простое число, а остальные – четные простые числа, т.е. число 2.

Четное число, представленное в виде суммы простых чисел, состоит из нечетных простых чисел, кроме числа 4, которое состоит из двух четных простых чисел 2.

Для решения задачи необходимо представить заданные числа в виде суммы простых чисел, причём количество слагаемых в этой сумме должно быть минимально возможным. Простые числа — это натуральные числа больше 1, которые делятся без остатка только на 1 и на самих себя (например: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...). Число 2 — единственное чётное простое число.

а) нечётные, большие 5, но меньшие 20;

Рассмотрим нечётные числа в диапазоне от 5 до 20: 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19.

• Число 7: Это простое число. Наименьшее количество слагаемых — одно. $7 = 7$.

• Число 9: Это составное число. Проверим, можно ли его представить в виде суммы двух простых. Сумма двух нечётных простых чисел всегда чётная, поэтому одно из слагаемых должно быть 2. $9 - 2 = 7$. Число 7 — простое, значит, $9 = 2 + 7$. Это сумма из двух слагаемых, что является минимумом для составного числа.

• Число 11: Это простое число. Наименьшее количество слагаемых — одно. $11 = 11$.

• Число 13: Это простое число. Наименьшее количество слагаемых — одно. $13 = 13$.

• Число 15: Это составное число. Проверим сумму двух простых: $15 - 2 = 13$. Число 13 — простое, значит, $15 = 2 + 13$. Два слагаемых — это минимум.

• Число 17: Это простое число. Наименьшее количество слагаемых — одно. $17 = 17$.

• Число 19: Это простое число. Наименьшее количество слагаемых — одно. $19 = 19$.

Ответ: $7=7$; $9=2+7$; $11=11$; $13=13$; $15=2+13$; $17=17$; $19=19$.

б) чётные, большие 2, но меньшие 20.

Рассмотрим чётные числа в диапазоне от 2 до 20: 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18. Все эти числа являются составными. Минимальное число слагаемых для них не может быть одним, значит, проверим, можно ли их представить в виде суммы двух простых чисел.

• $4 = 2 + 2$

• $6 = 3 + 3$

• $8 = 3 + 5$

• $10 = 3 + 7$ (или $5 + 5$)

• $12 = 5 + 7$

• $14 = 3 + 11$ (или $7 + 7$)

• $16 = 3 + 13$ (или $5 + 11$)

• $18 = 5 + 13$ (или $7 + 11$)

Все указанные чётные числа можно представить в виде суммы двух простых слагаемых, что является наименьшим возможным количеством.

Ответ: $4=2+2$; $6=3+3$; $8=3+5$; $10=5+5$; $12=5+7$; $14=7+7$; $16=5+11$; $18=7+11$.

Сформулируйте предположения о представлении чисел в виде суммы простых слагаемых.

Анализируя полученные результаты, можно выдвинуть два предположения, которые в математике известны как гипотезы Гольдбаха. Эти гипотезы до сих пор не доказаны (первая) или были доказаны совсем недавно (вторая), и являются одними из самых известных открытых проблем в теории чисел.

1. Сильная (или бинарная) гипотеза Гольдбаха: Любое чётное число, большее двух, можно представить в виде суммы двух простых чисел. Это предположение подтверждается нашими результатами для всех чётных чисел из пункта б).

2. Слабая (или тернарная) гипотеза Гольдбаха: Любое нечётное число, большее пяти, можно представить в виде суммы трёх простых чисел. Это предположение было полностью доказано в 2013 году. Пример из условия ($7 = 2 + 2 + 3$) иллюстрирует эту гипотезу. Хотя для некоторых нечётных чисел (например, 7) наименьшее число слагаемых — одно, их всё равно можно представить и как сумму трёх простых.

4.271. Вычислите значение выражения –54а при а = 0; а = 1; а = –1; а = 4; а = 10; а = –40.

4.271

$$\begin{gathered} \mathrm{При} \mathrm{а} = 0; –54\mathrm{а} = –54 · 0 = 0. \\ \mathrm{При} \mathrm{а} = 1; –54\mathrm{а} = –54 · 1 = \\ =– (54 · 1) = –54. \\ \mathrm{При} \mathrm{а} = –1; –54\mathrm{а} = –54 · (–1) = \\ = 54 · 1 = 54. \\ \mathrm{При} \mathrm{а} = 4; –54\mathrm{а} = –54 · 4 = \\ = – (54 · 4) = –216. \\ \mathrm{При} \mathrm{а} = 10; –54\mathrm{а} = –54 · 10 = \\ = – (54 · 10) = –540. \\ \mathrm{При} \mathrm{а} = –40; –54\mathrm{а} = –54 · (–40) = \\ = 54 · 40 = 2160. \end{gathered}$$

при a = 0;
Чтобы вычислить значение выражения $-54a$, подставим в него значение $a = 0$:
$-54 \cdot 0 = 0$
Ответ: 0

при a = 1;
Подставим в выражение $-54a$ значение $a = 1$:
$-54 \cdot 1 = -54$
Ответ: -54

при a = -1;
Подставим в выражение $-54a$ значение $a = -1$:
$-54 \cdot (-1) = 54$
Ответ: 54

при a = 4;
Подставим в выражение $-54a$ значение $a = 4$:
$-54 \cdot 4 = -216$
Ответ: -216

при a = 10;
Подставим в выражение $-54a$ значение $a = 10$:
$-54 \cdot 10 = -540$
Ответ: -540

при a = -40.
Подставим в выражение $-54a$ значение $a = -40$:
$-54 \cdot (-40) = 2160$
Ответ: 2160

4.272. Подберите корень уравнения:

а) –7 · z = 63; б) –5 · у = –50; в) 9 · n = –81; г) –9 · с = 99.

4.272

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} z = –9; \\ –7 · (–9) = 7 · 9 = 63 \\ \mathit{б}\mathbf{)} у = 10; \\ –5 · 10 = – (5 · 10) = –50 \\ \mathit{в}\mathbf{)} n = –9; \\ 9 · (–9) = – (9 · 9) = –81 \\ \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }с = –11; \\ –9 · (–11) = 9 · 11 = 99 \end{gathered}$$

а) Дано уравнение $-7 \cdot z = 63$. Чтобы найти корень этого уравнения, то есть значение переменной $z$, необходимо произведение ($63$) разделить на известный множитель ($-7$).
Выполним деление: $z = \frac{63}{-7}$.
При делении положительного числа на отрицательное результат будет отрицательным. Таким образом, получаем:
$z = -9$.
Для проверки подставим найденное значение в исходное уравнение: $-7 \cdot (-9) = 63$. Равенство $63 = 63$ является верным.
Ответ: $-9$.

б) Дано уравнение $-5 \cdot y = -50$. Чтобы найти корень этого уравнения, то есть значение переменной $y$, необходимо произведение ($-50$) разделить на известный множитель ($-5$).
Выполним деление: $y = \frac{-50}{-5}$.
При делении отрицательного числа на отрицательное результат будет положительным. Таким образом, получаем:
$y = 10$.
Для проверки подставим найденное значение в исходное уравнение: $-5 \cdot 10 = -50$. Равенство $-50 = -50$ является верным.
Ответ: $10$.

в) Дано уравнение $9 \cdot n = -81$. Чтобы найти корень этого уравнения, то есть значение переменной $n$, необходимо произведение ($-81$) разделить на известный множитель ($9$).
Выполним деление: $n = \frac{-81}{9}$.
При делении отрицательного числа на положительное результат будет отрицательным. Таким образом, получаем:
$n = -9$.
Для проверки подставим найденное значение в исходное уравнение: $9 \cdot (-9) = -81$. Равенство $-81 = -81$ является верным.
Ответ: $-9$.

г) Дано уравнение $-9 \cdot c = 99$. Чтобы найти корень этого уравнения, то есть значение переменной $c$, необходимо произведение ($99$) разделить на известный множитель ($-9$).
Выполним деление: $c = \frac{99}{-9}$.
При делении положительного числа на отрицательное результат будет отрицательным. Таким образом, получаем:
$c = -11$.
Для проверки подставим найденное значение в исходное уравнение: $-9 \cdot (-11) = 99$. Равенство $99 = 99$ является верным.
Ответ: $-11$.

4.273. Вычислите степень числа:

а) (–1)³; б) (–1)²; в) (–4)³; г) (–10)²; д) (–2)³; е) (–5)².

Каким числом, положительным или отрицательным, является квадрат отрицательного числа; куб отрицательного числа? Объясните почему.

4.273

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} {(–1)}^3 = –1 · (–1) · (–1) = –1 \\ \mathbf{ }\mathit{б}\mathbf{)} {(–1)}^2 = –1 · (–1) = 1 \\ \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }{(–4)}^{3 }= –4 · (–4) · (–4) = –64 \\ \mathit{г}\mathbf{)} {(–10)}^2 = –10 · (–10) = 100 \\ \mathit{д}\mathbf{)}\mathbf{ }{(–2)}^3 = –2 · (–2) · (–2) = –8 \\ \mathit{е}\mathbf{)}\mathbf{ }{(–5)}^{2 }= –5 · (–5) = 25 \end{gathered}$$

Квадрат отрицательного числа является положительным числом, так как четное количество отрицательных множителей. Куб отрицательного числа является отрицательным числом, так как нечетное количество отрицательных множителей.

а) Возведение в третью степень означает умножение числа само на себя три раза.

$(-1)^3 = (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) = 1 \cdot (-1) = -1$

Ответ: -1

б) Возведение во вторую степень (в квадрат) означает умножение числа само на себя.

$(-1)^2 = (-1) \cdot (-1) = 1$

Ответ: 1

в) Возводим число -4 в третью степень.

$(-4)^3 = (-4) \cdot (-4) \cdot (-4) = 16 \cdot (-4) = -64$

Ответ: -64

г) Возводим число -10 в квадрат.

$(-10)^2 = (-10) \cdot (-10) = 100$

Ответ: 100

д) Возводим число -2 в третью степень.

$(-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 4 \cdot (-2) = -8$

Ответ: -8

е) Возводим число -5 в квадрат.

$(-5)^2 = (-5) \cdot (-5) = 25$

Ответ: 25

Каким числом, положительным или отрицательным, является квадрат отрицательного числа?

Квадрат отрицательного числа всегда является положительным числом. Это происходит потому, что при возведении в квадрат (во вторую степень) отрицательное число умножается само на себя. Произведение двух отрицательных чисел всегда положительно (правило "минус на минус дает плюс"). Если взять любое отрицательное число $-a$ (где $a > 0$), то его квадрат будет равен $(-a)^2 = (-a) \cdot (-a) = a^2$, а $a^2$ всегда положительно.

Ответ: положительным.

Каким числом, положительным или отрицательным, является куб отрицательного числа?

Куб отрицательного числа всегда является отрицательным числом. При возведении в куб (в третью степень) число умножается само на себя три раза. Произведение первых двух множителей (то есть квадрат числа) будет положительным, как мы выяснили выше. Когда этот положительный результат умножается на третий отрицательный множитель, итоговое произведение становится отрицательным (правило "плюс на минус дает минус"). Если взять любое отрицательное число $-a$ (где $a > 0$), то его куб будет равен $(-a)^3 = (-a) \cdot (-a) \cdot (-a) = (a^2) \cdot (-a) = -a^3$, а $-a^3$ всегда отрицательно.

Ответ: отрицательным.

4.274. Выполните умножение:

а) 0,6 · (–7); б) –0,4 · 5; в) 11 · (–0,3); г) –3,4 · 0,5; д) –7,48 · 0; е) 0 · (–2,3).

4.274

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} 0,6 · (–7) = – (0,6 · 7) = –4,2 \\ \mathit{б}\mathbf{)} –0,4 · 5 = – (0,4 · 5) = –2 \\ \mathit{в}\mathbf{)} 11 · (–0,3) = – (11 · 0,3) = –3,3 \\ \mathit{г}\mathbf{)} –3,4 · 0,5 = – (3,4 · 0,5) = –1,7 \\ \mathit{д}\mathbf{)} –7,48 · 0 = 0 \\ \mathit{е}\mathbf{)} 0 · (–2,3) = 0 \end{gathered}$$

а) Чтобы умножить два числа с разными знаками, нужно перемножить их модули и перед полученным произведением поставить знак «–». Модуль числа 0,6 равен 0,6, а модуль числа -7 равен 7.

$0,6 \cdot (-7) = -(0,6 \cdot 7) = -4,2$.

Ответ: -4,2

б) При умножении числа с отрицательным знаком на число с положительным знаком, результат будет отрицательным. Умножим модули этих чисел: 0,4 и 5.

$-0,4 \cdot 5 = -(0,4 \cdot 5) = -2$.

Ответ: -2

в) Произведение положительного числа на отрицательное есть число отрицательное. Найдем произведение их модулей, то есть 11 и 0,3.

$11 \cdot (-0,3) = -(11 \cdot 0,3) = -3,3$.

Ответ: -3,3

г) Умножаем число с отрицательным знаком на число с положительным. Результат будет отрицательным. Умножение на 0,5 эквивалентно делению на 2.

$-3,4 \cdot 0,5 = -(3,4 \cdot 0,5) = -(3,4 / 2) = -1,7$.

Ответ: -1,7

д) Согласно свойству умножения, при умножении любого числа на ноль, результат всегда равен нулю.

$-7,48 \cdot 0 = 0$.

Ответ: 0

е) При умножении нуля на любое число, включая отрицательное, произведение всегда равно нулю.

$0 \cdot (-2,3) = 0$.

Ответ: 0

4.275. Найдите значение произведения:

а) –0,5 · (–0,7); б) –0,2 · (–3,2); в) –1,1 · (–1,1); г) –0,3 · (–0,3); д) –3,4 · (–0,5); е) –0,1 · (–0,01).

4.275

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }–0,5 · (–0,7) = 0,5 · 0,7 = 0,35 \\ \mathit{б}\mathbf{)} –0,2 · (–3,2) = 0,2 · 3,2 = 0,64 \\ \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }–1,1 · (–1,1) = 1,1 · 1,1 = 1,21 \\ \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }–0,3 · (–0,3) = 0,3 · 0,3 = 0,09 \\ \mathit{д}\mathbf{)} –3,4 · (–0,5) = 3,4 · 0,5 = 1,7 \\ \mathit{е}\mathbf{)}\mathbf{ }–0,1 · (–0,01) = 0,1 · 0,01 = 0,001 \end{gathered}$$

а) Чтобы найти произведение двух отрицательных чисел, нужно перемножить их модули. Произведение будет положительным числом.

$-0,5 \cdot (-0,7) = 0,5 \cdot 0,7$

Для умножения десятичных дробей, перемножим их как целые числа, не обращая внимания на запятые:

$5 \cdot 7 = 35$

Теперь в полученном произведении отделим запятой столько цифр справа, сколько их стоит после запятой в обоих множителях вместе. В числе 0,5 одна цифра после запятой, в числе 0,7 тоже одна. Всего $1+1=2$ цифры.

$0,5 \cdot 0,7 = 0,35$

Ответ: $0,35$

б) Аналогично, произведение двух отрицательных чисел положительно.

$-0,2 \cdot (-3,2) = 0,2 \cdot 3,2$

Перемножим числа без учета запятых:

$2 \cdot 32 = 64$

В обоих множителях по одной цифре после запятой, всего $1+1=2$ цифры. Отделяем две цифры справа:

$0,2 \cdot 3,2 = 0,64$

Ответ: $0,64$

в) Произведение двух отрицательных чисел положительно.

$-1,1 \cdot (-1,1) = 1,1 \cdot 1,1$

Перемножим числа без учета запятых:

$11 \cdot 11 = 121$

В обоих множителях по одной цифре после запятой, всего $1+1=2$ цифры. Отделяем две цифры справа:

$1,1 \cdot 1,1 = 1,21$

Ответ: $1,21$

г) Произведение двух отрицательных чисел положительно.

$-0,3 \cdot (-0,3) = 0,3 \cdot 0,3$

Перемножим числа без учета запятых:

$3 \cdot 3 = 9$

В обоих множителях по одной цифре после запятой, всего $1+1=2$ цифры. Поскольку в результате (9) только одна цифра, нужно дописать слева ноль:

$0,3 \cdot 0,3 = 0,09$

Ответ: $0,09$

д) Произведение двух отрицательных чисел положительно.

$-3,4 \cdot (-0,5) = 3,4 \cdot 0,5$

Перемножим числа без учета запятых:

$34 \cdot 5 = 170$

В обоих множителях по одной цифре после запятой, всего $1+1=2$ цифры. Отделяем две цифры справа:

$3,4 \cdot 0,5 = 1,70 = 1,7$

Ответ: $1,7$

е) Произведение двух отрицательных чисел положительно.

$-0,1 \cdot (-0,01) = 0,1 \cdot 0,01$

Перемножим числа без учета запятых:

$1 \cdot 1 = 1$

В первом множителе (0,1) одна цифра после запятой, во втором (0,01) - две. Всего $1+2=3$ цифры. Поскольку в результате (1) только одна цифра, нужно дописать слева два нуля:

$0,1 \cdot 0,01 = 0,001$

Ответ: $0,001$

4.276. Вычислите:

а) 1,3 · (–12); б) –30,5 · (–34); в) –6,6 · 204; г) –7,3 · (–40,2); д) –13,6 · (–13,5); е) 4,04 · (–3,05).

4.276

$\mathit{а}\mathbf{)} 1,3 · (-12) = -15,6$

$\mathit{б}\mathbf{)} -30,5 · (-34) = 1037$

$\mathit{в}\mathbf{)} -6,6 · 204 = 1346,4$

$\mathit{г}\mathbf{)} -7,3 · (-40,2) = 293,46$

$\mathit{д}\mathbf{)}\mathbf{ }-13,6 · (-13,5) = 183,6$

$\mathit{е}\mathbf{)}\mathbf{ }4,04 · (-3,05) = -12,322$

а) $1,3 \cdot (-12)$

Для вычисления произведения чисел с разными знаками, нужно перемножить их модули и перед результатом поставить знак «минус».

Сначала умножим модули чисел: $1,3 \cdot 12$.

$1,3 \cdot 12 = 15,6$.

Так как знаки у множителей разные, результат будет отрицательным.

$1,3 \cdot (-12) = -15,6$.

Ответ: $-15,6$.

б) $-30,5 \cdot (-34)$

Для вычисления произведения двух отрицательных чисел, нужно перемножить их модули. Результат будет положительным.

Умножим модули чисел: $30,5 \cdot 34$.

$30,5 \cdot 34 = 1037$.

Так как оба множителя отрицательные, результат будет положительным.

$-30,5 \cdot (-34) = 1037$.

Ответ: $1037$.

в) $-6,6 \cdot 204$

Произведение чисел с разными знаками является отрицательным числом. Перемножим модули чисел: $6,6 \cdot 204$.

Умножим $66$ на $204$, получим $13464$. В числе $6,6$ один знак после запятой, поэтому в произведении нужно отделить один знак справа: $1346,4$.

$6,6 \cdot 204 = 1346,4$.

Добавим знак «минус», так как множители имеют разные знаки.

$-6,6 \cdot 204 = -1346,4$.

Ответ: $-1346,4$.

г) $-7,3 \cdot (-40,2)$

Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом. Перемножим модули чисел: $7,3 \cdot 40,2$.

Умножим $73$ на $402$, получим $29346$. В первом множителе ($7,3$) один знак после запятой, и во втором ($40,2$) также один. Следовательно, в результате нужно отделить $1+1=2$ знака после запятой: $293,46$.

$7,3 \cdot 40,2 = 293,46$.

Результат будет положительным.

$-7,3 \cdot (-40,2) = 293,46$.

Ответ: $293,46$.

д) $-13,6 \cdot (-13,5)$

Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом. Перемножим модули чисел: $13,6 \cdot 13,5$.

Умножим $136$ на $135$, получим $18360$. В каждом множителе по одному знаку после запятой, значит в результате нужно отделить $1+1=2$ знака: $183,60$ или $183,6$.

$13,6 \cdot 13,5 = 183,6$.

Результат будет положительным.

$-13,6 \cdot (-13,5) = 183,6$.

Ответ: $183,6$.

е) $4,04 \cdot (-3,05)$

Произведение чисел с разными знаками является отрицательным числом. Перемножим модули чисел: $4,04 \cdot 3,05$.

Умножим $404$ на $305$, получим $123220$. В первом множителе ($4,04$) два знака после запятой, и во втором ($3,05$) также два. Следовательно, в результате нужно отделить $2+2=4$ знака: $12,3220$ или $12,322$.

$4,04 \cdot 3,05 = 12,322$.

Добавим знак «минус», так как множители имеют разные знаки.

$4,04 \cdot (-3,05) = -12,322$.

Ответ: $-12,322$.

4.277. Выполните умножение:

а) 1 · (–12,7); б) (–1) · 1,5; в) –49 · (–1); г) –1 · 1,5.

4.277

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} 1 · (–12,7) = – (1 · 12,7) = –12,7 \\ \mathit{б}\mathbf{)} (–1) · 1,5 = – (1 · 1,5) = –1,5 \\ \mathit{в}\mathbf{)} –49 · (–1) = 49 · 1 = 49 \\ \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }–1 · 1,5 = – (1 · 1,5) = –1,5 \end{gathered}$$

а) При умножении любого числа на единицу ($1$) получается то же самое число. Это одно из основных свойств умножения.

$1 \cdot (-12,7) = -12,7$

Ответ: $-12,7$

б) При умножении любого числа на минус единицу ($-1$) знак этого числа меняется на противоположный, а модуль остается тем же. В данном случае мы умножаем положительное число $1,5$ на $-1$.

$(-1) \cdot 1,5 = -1,5$

Ответ: $-1,5$

в) В этом примере мы умножаем отрицательное число $-49$ на отрицательное число $-1$. Произведение двух чисел с одинаковыми знаками (в данном случае, оба отрицательные) является положительным числом. Модули чисел перемножаются: $|-49| \cdot |-1| = 49 \cdot 1 = 49$.

$-49 \cdot (-1) = 49$

Ответ: $49$

г) Этот пример аналогичен примеру б). Мы умножаем отрицательное число $-1$ на положительное число $1,5$. Произведение чисел с разными знаками является отрицательным числом. Модули чисел перемножаются, и перед результатом ставится знак минус.

$-1 \cdot 1,5 = -1,5$

Ответ: $-1,5$

4.278. Вычислите значение выражения:
а) 2 · (–4) + (–2) · (–6) – (–9) · 5;
б) (–20 + 17 – 8 + 9) · (–14);
в) (–6,9 + 6,2) · (4,12 – 5,92);
г) (4,7 – 5,8) · (–3,5 – 3,4);
д) –3,6 · 0,1 + (–4,6) · (–3,1) – (–6,5) · (–0,3);
е) (3,4 · (–1,6) – 1,2 · (–0,6)) · (–2,5);
ж) –4,2 · (–2,5) – (–1,6) · 0,5 – 4,5;
з) –4,243 · (–7,4 + 1,8 – 2,6 + 7,2) – 3,786.

4.278

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} 2 · (-4) + (–2) · (–6) - (–9) · 5= \\ -(2 · 4) + 2 · 6 -(-(9 · 5))= \\ =-8 + 12-(-45)=4 + 45= 49 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }(–20 + 17 - 8 + 9) · (–14)= \\ = (–20 - 8 + 9 + 17) · (–14)= \\ =(–28 + 26) · (–14)=-2 · (-14)= \\ = 2 · 14 = 28 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)} (-6,9 + 6,2) · (4,12 – 5,92) = \\ -(6,9 – 6,2) · (-(5,92 – 4,12)) = \\ = -0,7 · (-1,8) = 0,7 · 1,8 = 1,26 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)} (4,7 – 5,8) · (-3,5 – 3,4) = \\ = -(5,8 – 4,7) · (-(3,5 + 3,4)) = \\ = -1,1 · (-6,9) = 1,1 · 6,9 = 7,59 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{д}\mathbf{)} -3,6 · 0,1 + (-4,6) · (-3,1) – (-6,5) · (-0,3) = \\ = - (3,6 · 0,1) + (4,6 \stackrel{1}{·} 3,1) - (6,5 \stackrel{2}{·} 0,3) = \\ = - 0,36 + 14,26 – 1,95 = - 0,36 + 14,26 + (-1,95) = \\ = - (0,36 \stackrel{3}{+} 1,95) + 14,26 = - 2,31 + 14,26 = \\ =14,26 \stackrel{4}{–} 2,31 = 11,95 \end{gathered}$$

1.	2.
3.	4.

$$\begin{gathered} \mathit{е}\mathbf{)} (3,4 \stackrel{1}{·} (-1,6) – 1,2 \stackrel{2}{·} (-0,6)) · (-2,5) = \\ = (-5,44 – (-0,72)) · (-2.5) = \\ = (- 5,44 + 0,72 ) · (-2,5) = \\ =(- (5,44 \stackrel{3}{-} 0,72) ) · (-2,5) = \\ = (- 4,72) \stackrel{4}{·} (-2,5) = 11,8 \end{gathered}$$

1.	2.
3.	4.

$$\begin{gathered} \mathit{ж}\mathbf{)}\mathbf{ }-4,2 \stackrel{1}{·} (-2,5) – (-1,6) \stackrel{2}{·} 0,5 – 4,5 = \\ = 4,2 · 2,5 – ( -(1,6 · 0,5)) – 4,5 = \\ = 10,5 – (- 0,8) – 4,5 = 10,5 + 0,8 – \\ - 4,5 = 11,3 – 4,5 = 6,8 \end{gathered}$$

1.

2.

$$\begin{gathered} \mathit{з}\mathbf{)}\mathbf{ }-4,243 · (-7,4 + 1,8 – 2,6 + 7,2) – 3,786 = \\ = -4,243 · (-7,4 + (-2,6)) + (1,8 + 7,2) – \\ - 3,786 = -4,243 · (-(7,4 + 2,6) + (1,8 + 7,2))- \\ – 3,786 = -4,243 · (-10 + 9) – 3,786 = \\ = -4,243 · (-1) – 3,786 = 4,243 – 3,786 = 0,457 \end{gathered}$$

а) $2 \cdot (-4) + (-2) \cdot (-6) - (-9) \cdot 5$

Выполним действия в соответствии с порядком операций: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

1) $2 \cdot (-4) = -8$

2) $(-2) \cdot (-6) = 12$

3) $(-9) \cdot 5 = -45$

4) Подставим полученные значения обратно в выражение:

$-8 + 12 - (-45) = 4 + 45 = 49$

Ответ: 49

б) $(-20 + 17 - 8 + 9) \cdot (-14)$

Сначала выполним действия в скобках:

1) $-20 + 17 - 8 + 9 = -3 - 8 + 9 = -11 + 9 = -2$

2) Теперь умножим результат на $-14$:

$(-2) \cdot (-14) = 28$

Ответ: 28

в) $(-6,9 + 6,2) \cdot (4,12 - 5,92)$

Вычислим значения в каждой из скобок:

1) $-6,9 + 6,2 = -0,7$

2) $4,12 - 5,92 = -1,8$

3) Перемножим полученные результаты:

$(-0,7) \cdot (-1,8) = 1,26$

Ответ: 1,26

г) $(4,7 - 5,8) \cdot (-3,5 - 3,4)$

Вычислим значения в каждой из скобок:

1) $4,7 - 5,8 = -1,1$

2) $-3,5 - 3,4 = -6,9$

3) Перемножим полученные результаты:

$(-1,1) \cdot (-6,9) = 7,59$

Ответ: 7,59

д) $-3,6 \cdot 0,1 + (-4,6) \cdot (-3,1) - (-6,5) \cdot (-0,3)$

Выполним сначала все операции умножения:

1) $-3,6 \cdot 0,1 = -0,36$

2) $(-4,6) \cdot (-3,1) = 14,26$

3) $(-6,5) \cdot (-0,3) = 1,95$

4) Подставим результаты в выражение и выполним сложение и вычитание:

$-0,36 + 14,26 - 1,95 = 13,9 - 1,95 = 11,95$

Ответ: 11,95

е) $(3,4 \cdot (-1,6) - 1,2 \cdot (-0,6)) \cdot (-2,5)$

Сначала выполним действия в скобках:

1) $3,4 \cdot (-1,6) = -5,44$

2) $1,2 \cdot (-0,6) = -0,72$

3) $-5,44 - (-0,72) = -5,44 + 0,72 = -4,72$

4) Теперь умножим результат на $-2,5$:

$(-4,72) \cdot (-2,5) = 11,8$

Ответ: 11,8

ж) $-4,2 \cdot (-2,5) - (-1,6) \cdot 0,5 - 4,5$

Выполним сначала операции умножения:

1) $-4,2 \cdot (-2,5) = 10,5$

2) $(-1,6) \cdot 0,5 = -0,8$

3) Подставим результаты в выражение и выполним вычитание:

$10,5 - (-0,8) - 4,5 = 10,5 + 0,8 - 4,5 = 11,3 - 4,5 = 6,8$

Ответ: 6,8

з) $-4,243 \cdot (-7,4 + 1,8 - 2,6 + 7,2) - 3,786$

Сначала выполним действия в скобках. Для удобства сгруппируем слагаемые:

1) $(-7,4 - 2,6) + (1,8 + 7,2) = -10 + 9 = -1$

2) Подставим результат в выражение:

$-4,243 \cdot (-1) - 3,786 = 4,243 - 3,786$

3) Выполним вычитание:

$4,243 - 3,786 = 0,457$

Ответ: 0,457

4.279. Вычислите степень числа:

а) (–0,1)²; б) (–0,1)³; в) (–1,2)²; г) (–0,6)³; д) (–2,5)²; е) (–0,2)³.

4.279

$\mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }{(-0,1)}^2 = -0,1 · (-0,1) = 0,01$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} {(-0,1)}^3 = -0,1 · (-0,1) · (-0,1) = \\ = -0,001 \end{gathered}$$

$\mathit{в}\mathbf{)} {(-1,2)}^2 = -1,2 · (-1,2) = 1,44$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }{(-0,6)}^{3 }= -0,6 · (-0,6) · (-0,6) = \\ = 0,36 · (-0,6) = -0,216 \end{gathered}$$

$\mathit{д}\mathbf{)} {(-2,5)}^2 = -2,5 · (-2,5) = 6,25$

$\mathit{е}\mathbf{)} {(-0,2)}^3 = -0,2 · (-0,2) · (-0,2) = -0,008$

а) Чтобы вычислить $(-0,1)^2$, нужно умножить число -0,1 само на себя. При возведении отрицательного числа в четную степень (в данном случае 2), результат будет положительным.

$(-0,1)^2 = (-0,1) \cdot (-0,1) = 0,01$.

Ответ: $0,01$.

б) Чтобы вычислить $(-0,1)^3$, нужно умножить число -0,1 само на себя три раза. При возведении отрицательного числа в нечетную степень (в данном случае 3), результат будет отрицательным.

$(-0,1)^3 = (-0,1) \cdot (-0,1) \cdot (-0,1) = 0,01 \cdot (-0,1) = -0,001$.

Ответ: $-0,001$.

в) Чтобы вычислить $(-1,2)^2$, нужно умножить число -1,2 само на себя. При возведении отрицательного числа в четную степень (2), результат будет положительным.

$(-1,2)^2 = (-1,2) \cdot (-1,2) = 1,44$.

Ответ: $1,44$.

г) Чтобы вычислить $(-0,6)^3$, нужно умножить число -0,6 само на себя три раза. При возведении отрицательного числа в нечетную степень (3), результат будет отрицательным.

$(-0,6)^3 = (-0,6) \cdot (-0,6) \cdot (-0,6) = 0,36 \cdot (-0,6) = -0,216$.

Ответ: $-0,216$.

д) Чтобы вычислить $(-2,5)^2$, нужно умножить число -2,5 само на себя. При возведении отрицательного числа в четную степень (2), результат будет положительным.

$(-2,5)^2 = (-2,5) \cdot (-2,5) = 6,25$.

Ответ: $6,25$.

е) Чтобы вычислить $(-0,2)^3$, нужно умножить число -0,2 само на себя три раза. При возведении отрицательного числа в нечетную степень (3), результат будет отрицательным.

$(-0,2)^3 = (-0,2) \cdot (-0,2) \cdot (-0,2) = 0,04 \cdot (-0,2) = -0,008$.

Ответ: $-0,008$.

4.280. Выполните умножение:

а) – 45 · 58; б) 212 · (– 38); в) – 49 · (– 1526); г) – 715 · (– 914); д) – 512 · 18; е) – 10 · (– 710).

4.280

$\mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }-\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{4}}}}{\cancel{5}} · \frac{\cancel{5}}{{\displaystyle \underset{2}{\bcancel{8}}}} = -\frac{1 · 1}{1 · 2} = -\frac{1}{2}$

$\mathit{б}\mathbf{)} \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{2}}}}{{\displaystyle \underset{4}{\bcancel{12}}}} · \left(-\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{3}}}}{{\displaystyle \underset{4}{\cancel{8}}}}\right) = -\frac{1 · 1}{4 · 4} = -\frac{1}{16}$

$\mathit{в}\mathbf{)} -\frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\bcancel{4}}}}{{\displaystyle \underset{3}{\cancel{9}}}} · \left(-\frac{{\displaystyle \stackrel{5}{\cancel{15}}}}{{\displaystyle \underset{13}{\bcancel{26}}}}\right) = \frac{2 · 5}{3 · 13} = \frac{10}{39}$

$\mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }-\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{7}}}}{{\displaystyle \underset{5}{\bcancel{15}}}} · \left(-\frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\bcancel{9}}}}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{14}}}}\right) = \frac{1 · 3}{5 · 2} = \frac{3}{10}$

$\mathit{д}\mathbf{)}\mathbf{ }-\frac{5}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{12}}}} · \stackrel{3}{\cancel{18} }= -\frac{5 · 3}{2} =-\frac{15}{2} = -7\frac{1}{2}$

$\mathit{е}\mathbf{)} -\cancel{10} · \left(-\frac{7}{\cancel{10}}\right) = \frac{1 · 7}{1} = 7$

а) Чтобы умножить две дроби, необходимо перемножить их числители и знаменатели. Произведение отрицательного числа на положительное является отрицательным.

$-\frac{4}{5} \cdot \frac{5}{8} = - \frac{4 \cdot 5}{5 \cdot 8}$

Перед вычислением произведения, сократим дробь на общие множители. Число 5 есть и в числителе, и в знаменателе, поэтому они сокращаются. Числа 4 и 8 имеют общий делитель 4.

$- \frac{\cancel{4}^1 \cdot \cancel{5}^1}{\cancel{5}_1 \cdot \cancel{8}_2} = - \frac{1 \cdot 1}{1 \cdot 2} = - \frac{1}{2}$

Ответ: $-\frac{1}{2}$

б) Произведение положительной дроби на отрицательную является отрицательным числом. Перед умножением можно упростить дробь $\frac{2}{12}$.

$\frac{2}{12} \cdot (-\frac{3}{8}) = \frac{1}{6} \cdot (-\frac{3}{8}) = - \frac{1 \cdot 3}{6 \cdot 8}$

Сократим полученное выражение. Числа 3 и 6 имеют общий делитель 3.

$- \frac{1 \cdot \cancel{3}^1}{\cancel{6}_2 \cdot 8} = - \frac{1}{2 \cdot 8} = - \frac{1}{16}$

Ответ: $-\frac{1}{16}$

в) Произведение двух отрицательных чисел является положительным. Умножаем модули дробей.

$-\frac{4}{9} \cdot (-\frac{15}{26}) = \frac{4}{9} \cdot \frac{15}{26} = \frac{4 \cdot 15}{9 \cdot 26}$

Сократим дробь. 4 и 26 делятся на 2; 15 и 9 делятся на 3.

$\frac{\cancel{4}^2 \cdot \cancel{15}^5}{\cancel{9}_3 \cdot \cancel{26}_{13}} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 13} = \frac{10}{39}$

Ответ: $\frac{10}{39}$

г) Произведение двух отрицательных дробей — число положительное. Умножаем модули.

$-\frac{7}{15} \cdot (-\frac{9}{14}) = \frac{7}{15} \cdot \frac{9}{14} = \frac{7 \cdot 9}{15 \cdot 14}$

Сокращаем дробь на общие множители. 7 и 14 делятся на 7; 9 и 15 делятся на 3.

$\frac{\cancel{7}^1 \cdot \cancel{9}^3}{\cancel{15}_5 \cdot \cancel{14}_2} = \frac{1 \cdot 3}{5 \cdot 2} = \frac{3}{10}$

Ответ: $\frac{3}{10}$

д) Чтобы умножить дробь на целое число, представим целое число в виде дроби со знаменателем 1. Произведение отрицательного и положительного числа отрицательно.

$-\frac{5}{12} \cdot 18 = -\frac{5}{12} \cdot \frac{18}{1} = -\frac{5 \cdot 18}{12}$

Сократим 18 и 12 на их наибольший общий делитель, равный 6.

$-\frac{5 \cdot \cancel{18}^3}{\cancel{12}_2} = -\frac{5 \cdot 3}{2} = -\frac{15}{2}$

Дробь можно представить в виде смешанного числа: $-\frac{15}{2} = -7\frac{1}{2}$.

Ответ: $-\frac{15}{2}$

е) Произведение двух отрицательных чисел положительно. Представим целое число -10 как дробь $-\frac{10}{1}$.

$-10 \cdot (-\frac{7}{10}) = \frac{10}{1} \cdot \frac{7}{10} = \frac{10 \cdot 7}{1 \cdot 10}$

Сократим 10 в числителе и знаменателе.

$\frac{\cancel{10}^1 \cdot 7}{1 \cdot \cancel{10}_1} = \frac{7}{1} = 7$

Ответ: $7$

4.281. Найдите значение произведения:

а) -213 · (– 97); б) 614 · (– 135); в) –317 · 4811; г) – 225 · 3,4; д) 2,2 · (–137); е) –179 · (–6,75).

4.281

$\mathit{а}\mathbf{)} -2\frac{1}{3} · \left(-\frac{9}{7}\right)=\frac{\cancel{7}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{3}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\bcancel{9}}}}{\cancel{7}} = \frac{1 · 3}{1 · 1} =3$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }6\frac{1}{4} · \left(-1\frac{3}{5}\right) = -\frac{{\displaystyle \stackrel{5}{\cancel{25}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{4}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\bcancel{8}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{5}}}} = \\ = -\frac{5 · 2}{1 · 1} = -10 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }-3\frac{1}{7} · 4\frac{8}{11} = -\frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\cancel{22}}}}{7} · \frac{52}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{11}}}} = \\ = -\frac{2 · 52}{7 · 1} = -\frac{104}{7} = -14\frac{6}{7} \end{gathered}$$

$\mathit{г}\mathbf{)} -2\frac{2}{5} · 3,4 =-2,4 · 3,4=-8,16$

$$\begin{gathered} \mathit{д}\mathbf{)} 2,2 · \left(-1\frac{3}{7}\right) = -\frac{11}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{5}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\cancel{10}}}}{7} = \\ =-\frac{11 · 2}{1 · 7} = -\frac{22}{7} = -3\frac{1}{7} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{е}\mathbf{)} -1\frac{7}{9} · \left(-6,75\right) = \frac{{\displaystyle \stackrel{4}{\bcancel{16}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{9}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{27}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{4}}}}= \\ = \frac{4 · 3}{1 · 1} = 12 \end{gathered}$$

а) Чтобы найти значение произведения $-2\frac{1}{3} \cdot (-\frac{9}{7})$, сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь.
$ -2\frac{1}{3} = -\frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = -\frac{7}{3} $
Теперь выполним умножение. Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом.
$ (-\frac{7}{3}) \cdot (-\frac{9}{7}) = \frac{7}{3} \cdot \frac{9}{7} $
Сократим дроби, разделив числитель и знаменатель на общие множители 7 и 3.
$ \frac{\sout{7}^1}{\sout{3}_1} \cdot \frac{\sout{9}^3}{\sout{7}_1} = \frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 1} = 3 $
Ответ: $3$.

б) Чтобы найти значение произведения $6\frac{1}{4} \cdot (-1\frac{3}{5})$, преобразуем смешанные числа в неправильные дроби.
$ 6\frac{1}{4} = \frac{6 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{25}{4} $
$ -1\frac{3}{5} = -\frac{1 \cdot 5 + 3}{5} = -\frac{8}{5} $
Теперь выполним умножение. Произведение положительного и отрицательного числа отрицательно.
$ \frac{25}{4} \cdot (-\frac{8}{5}) = -(\frac{25}{4} \cdot \frac{8}{5}) $
Сократим дроби: 25 и 5 на 5, 8 и 4 на 4.
$ -(\frac{\sout{25}^5}{\sout{4}_1} \cdot \frac{\sout{8}^2}{\sout{5}_1}) = -(5 \cdot 2) = -10 $
Ответ: $-10$.

в) Чтобы найти значение произведения $-3\frac{1}{7} \cdot 4\frac{8}{11}$, преобразуем смешанные числа в неправильные дроби.
$ -3\frac{1}{7} = -\frac{3 \cdot 7 + 1}{7} = -\frac{22}{7} $
$ 4\frac{8}{11} = \frac{4 \cdot 11 + 8}{11} = \frac{44+8}{11} = \frac{52}{11} $
Теперь выполним умножение. Произведение отрицательного и положительного числа отрицательно.
$ -\frac{22}{7} \cdot \frac{52}{11} = -(\frac{22}{7} \cdot \frac{52}{11}) $
Сократим дроби: 22 и 11 на 11.
$ -(\frac{\sout{22}^2}{7} \cdot \frac{52}{\sout{11}_1}) = -\frac{2 \cdot 52}{7} = -\frac{104}{7} $
Преобразуем неправильную дробь обратно в смешанное число:
$ -\frac{104}{7} = -14\frac{6}{7} $
Ответ: $-14\frac{6}{7}$.

г) Чтобы найти значение произведения $-2\frac{2}{5} \cdot 3,4$, преобразуем оба числа в дроби.
$ -2\frac{2}{5} = -\frac{2 \cdot 5 + 2}{5} = -\frac{12}{5} $
$ 3,4 = \frac{34}{10} = \frac{17}{5} $
Теперь выполним умножение. Произведение отрицательного и положительного числа отрицательно.
$ -\frac{12}{5} \cdot \frac{17}{5} = -\frac{12 \cdot 17}{5 \cdot 5} = -\frac{204}{25} $
Преобразуем результат в десятичную дробь.
$ -\frac{204}{25} = -\frac{204 \cdot 4}{25 \cdot 4} = -\frac{816}{100} = -8,16 $
Ответ: $-8,16$.

д) Чтобы найти значение произведения $2,2 \cdot (-1\frac{3}{7})$, преобразуем оба числа в дроби.
$ 2,2 = \frac{22}{10} = \frac{11}{5} $
$ -1\frac{3}{7} = -\frac{1 \cdot 7 + 3}{7} = -\frac{10}{7} $
Теперь выполним умножение. Произведение положительного и отрицательного числа отрицательно.
$ \frac{11}{5} \cdot (-\frac{10}{7}) = -(\frac{11}{5} \cdot \frac{10}{7}) $
Сократим дроби: 10 и 5 на 5.
$ -(\frac{11}{\sout{5}_1} \cdot \frac{\sout{10}^2}{7}) = -\frac{11 \cdot 2}{7} = -\frac{22}{7} $
Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:
$ -\frac{22}{7} = -3\frac{1}{7} $
Ответ: $-3\frac{1}{7}$.

е) Чтобы найти значение произведения $-1\frac{7}{9} \cdot (-6,75)$, преобразуем оба числа в дроби.
$ -1\frac{7}{9} = -\frac{1 \cdot 9 + 7}{9} = -\frac{16}{9} $
$ -6,75 = -6\frac{75}{100} = -6\frac{3}{4} = -\frac{6 \cdot 4 + 3}{4} = -\frac{27}{4} $
Теперь выполним умножение. Произведение двух отрицательных чисел положительно.
$ (-\frac{16}{9}) \cdot (-\frac{27}{4}) = \frac{16}{9} \cdot \frac{27}{4} $
Сократим дроби: 16 и 4 на 4, 27 и 9 на 9.
$ \frac{\sout{16}^4}{\sout{9}_1} \cdot \frac{\sout{27}^3}{\sout{4}_1} = \frac{4 \cdot 3}{1 \cdot 1} = 12 $
Ответ: $12$.

4.282. Какой знак, < или >, надо поставить вместо знака вопроса, чтобы получилось верное неравенство:

а) –74 · 5 ? 0; б) –6,3 · (–63) ? 0; в) 1,4 · (–6) ? 1,4; г) 2,8 · (–9) ? –9; д) –7 · 59 ? 0; е) – 13 · 19 ? – 13?

4.282

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}-74 · 5<0 \\ \mathit{б}\mathbf{)}-6,3 · (-63)>0 \\ \mathit{в}\mathbf{)} 1,4 ·(-6)<1,4 \\ \mathit{г}\mathbf{)} 2,8 · (-9)<-9 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{д}\mathbf{)} -7 · \frac{5}{9} < 0 \\ \mathit{е}\mathbf{)} -\frac{1}{3} · \frac{1}{9} > - \frac{1}{3} \end{gathered}$$

а) $-74 \cdot 5 \ ? \ 0$

Для определения знака необходимо оценить результат произведения в левой части. Произведение отрицательного числа ($-74$) и положительного числа ($5$) всегда является отрицательным числом. Любое отрицательное число меньше нуля.

Выполним вычисление для проверки: $-74 \cdot 5 = -370$.

Так как $-370 < 0$, то вместо знака вопроса нужно поставить знак «<».

Ответ: $-74 \cdot 5 < 0$.

б) $-6,3 \cdot (-63) \ ? \ 0$

Произведение двух отрицательных чисел ($-6,3$ и $-63$) всегда является положительным числом. Любое положительное число больше нуля.

Следовательно, вместо знака вопроса нужно поставить знак «>».

Ответ: $-6,3 \cdot (-63) > 0$.

в) $1,4 \cdot (-6) \ ? \ 1,4$

Вычислим произведение в левой части неравенства: $1,4 \cdot (-6) = -8,4$.

Теперь сравним полученный результат $-8,4$ с числом $1,4$. Любое отрицательное число меньше любого положительного числа.

Таким образом, $-8,4 < 1,4$.

Ответ: $1,4 \cdot (-6) < 1,4$.

г) $2,8 \cdot (-9) \ ? \ -9$

В левой части мы умножаем число $-9$ на положительное число $2,8$, которое больше единицы. При умножении отрицательного числа на число, большее 1, его модуль увеличивается, а само число становится еще меньше (более отрицательным).

Выполним вычисление для проверки: $2,8 \cdot (-9) = -25,2$.

Сравнивая $-25,2$ и $-9$, получаем $-25,2 < -9$.

Ответ: $2,8 \cdot (-9) < -9$.

д) $-7 \cdot \frac{5}{9} \ ? \ 0$

Произведение отрицательного числа ($-7$) и положительной дроби ($\frac{5}{9}$) является отрицательным числом. Любое отрицательное число меньше нуля.

Вычислим для проверки: $-7 \cdot \frac{5}{9} = -\frac{35}{9}$.

Так как $-\frac{35}{9} < 0$, ставим знак «<».

Ответ: $-7 \cdot \frac{5}{9} < 0$.

е) $-\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{9} \ ? \ -\frac{1}{3}$

В левой части мы умножаем число $-\frac{1}{3}$ на положительную дробь $\frac{1}{9}$, которая меньше единицы ($0 < \frac{1}{9} < 1$). При умножении отрицательного числа на положительное число, меньшее 1, его модуль уменьшается, а само число становится ближе к нулю, то есть увеличивается.

Вычислим для проверки: $-\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{9} = -\frac{1}{27}$.

Сравним $-\frac{1}{27}$ и $-\frac{1}{3}$. Так как $\frac{1}{27} < \frac{1}{3}$, то для отрицательных чисел будет верно обратное: $-\frac{1}{27} > -\frac{1}{3}$.