Страница 48, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

2.41. Какие из чисел 7284, 2708, 3912, 9096 делятся на 12?

2.41

7284, так как 84 : 4 = 21 и 7 + 2 + 8 + 4 = 21 : 3 = 7

3912, так как 12 : 4 = 3 и 3 + 9 + 1 + 2 = 15 : 3 = 5

9096, так как 96 : 4 = 24 и 9 + 9 + 6 = 24 : 3 = 8

Для того чтобы число делилось на 12, оно должно одновременно делиться на 3 и на 4, поскольку $12 = 3 \times 4$, а числа 3 и 4 являются взаимно простыми. Вспомним признаки делимости:

• Признак делимости на 3: число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.
• Признак делимости на 4: число делится на 4, если число, образованное двумя его последними цифрами, делится на 4.

Проверим каждое из данных чисел на соответствие этим двум признакам.

Проверка числа 7284

1. Проверим делимость на 3. Найдем сумму цифр числа: $7 + 2 + 8 + 4 = 21$. Поскольку 21 делится на 3 ($21 \div 3 = 7$), число 7284 делится на 3.

2. Проверим делимость на 4. Число, образованное последними двумя цифрами, — это 84. Поскольку 84 делится на 4 ($84 \div 4 = 21$), число 7284 делится на 4.

Так как число 7284 делится и на 3, и на 4, оно делится на 12.

Ответ: число 7284 делится на 12.

Проверка числа 2708

1. Проверим делимость на 3. Найдем сумму цифр числа: $2 + 7 + 0 + 8 = 17$. Поскольку 17 не делится на 3, число 2708 не делится на 3.

Так как число 2708 не делится на 3, оно не делится и на 12. Проверять делимость на 4 не обязательно.

Ответ: число 2708 не делится на 12.

Проверка числа 3912

1. Проверим делимость на 3. Найдем сумму цифр числа: $3 + 9 + 1 + 2 = 15$. Поскольку 15 делится на 3 ($15 \div 3 = 5$), число 3912 делится на 3.

2. Проверим делимость на 4. Число, образованное последними двумя цифрами, — это 12. Поскольку 12 делится на 4 ($12 \div 4 = 3$), число 3912 делится на 4.

Так как число 3912 делится и на 3, и на 4, оно делится на 12.

Ответ: число 3912 делится на 12.

Проверка числа 9096

1. Проверим делимость на 3. Найдем сумму цифр числа: $9 + 0 + 9 + 6 = 24$. Поскольку 24 делится на 3 ($24 \div 3 = 8$), число 9096 делится на 3.

2. Проверим делимость на 4. Число, образованное последними двумя цифрами, — это 96. Поскольку 96 делится на 4 ($96 \div 4 = 24$), число 9096 делится на 4.

Так как число 9096 делится и на 3, и на 4, оно делится на 12.

Ответ: число 9096 делится на 12.

2.42. Какие цифры можно поставить вместо знака вопроса, чтобы число делилось на 12:

а) 765?; б) 3?68; в) 45?8; г) ?260?

2.42

Число делится на 12, если оно делится на 3 и на 4, т.к. 12 = 3 • 4.

а) 7656

б) 3168, 3468, 3768

в) 4548

г) 1260, 4260, 7260

Для того чтобы число делилось на 12, оно должно одновременно делиться на 3 и на 4, так как $12 = 3 \times 4$ и числа 3 и 4 взаимно просты.

Вспомним признаки делимости:

• Признак делимости на 3: сумма цифр числа должна делиться на 3.
• Признак делимости на 4: число, образованное двумя последними цифрами, должно делиться на 4.

а) 765?
Пусть неизвестная цифра – это $x$. Число имеет вид $765x$.
1. Проверяем делимость на 4. Число $5x$ должно делиться на 4. Перебираем возможные значения $x$: 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59. На 4 делятся только 52 и 56. Значит, $x$ может быть равен 2 или 6.
2. Проверяем делимость на 3. Сумма цифр $7+6+5+x = 18+x$ должна делиться на 3. Так как 18 делится на 3, то и $x$ должен делиться на 3.
3. Совмещаем условия. Из кандидатов {2, 6} на 3 делится только 6.
Ответ: 6.

б) 3?68
Пусть неизвестная цифра – это $x$. Число имеет вид $3x68$.
1. Проверяем делимость на 4. Число, образованное последними двумя цифрами, – 68. Так как $68 \div 4 = 17$, число 68 делится на 4. Это условие выполняется при любой цифре $x$.
2. Проверяем делимость на 3. Сумма цифр $3+x+6+8 = 17+x$ должна делиться на 3. Перебираем возможные значения $x$:

• $x=1 \implies 17+1=18$ (делится на 3)
• $x=4 \implies 17+4=21$ (делится на 3)
• $x=7 \implies 17+7=24$ (делится на 3)

Другие цифры от 0 до 9 не подходят.
Ответ: 1, 4, 7.

в) 45?8
Пусть неизвестная цифра – это $x$. Число имеет вид $45x8$.
1. Проверяем делимость на 4. Число $x8$ должно делиться на 4. Это возможно, если $x$ равен 0, 2, 4, 6, 8 (числа 08, 28, 48, 68, 88).
2. Проверяем делимость на 3. Сумма цифр $4+5+x+8 = 17+x$ должна делиться на 3. Как мы выяснили в пункте б), это возможно при $x$, равном 1, 4, 7.
3. Совмещаем условия. Из множества {0, 2, 4, 6, 8} и множества {1, 4, 7} общим является только число 4.
Ответ: 4.

г) ?260
Пусть неизвестная цифра – это $x$. Число имеет вид $x260$. Так как это первая цифра числа, $x \ne 0$.
1. Проверяем делимость на 4. Число, образованное последними двумя цифрами, – 60. Так как $60 \div 4 = 15$, число 60 делится на 4. Это условие выполняется при любой цифре $x$.
2. Проверяем делимость на 3. Сумма цифр $x+2+6+0 = 8+x$ должна делиться на 3. Перебираем возможные значения $x$ от 1 до 9:

• $x=1 \implies 8+1=9$ (делится на 3)
• $x=4 \implies 8+4=12$ (делится на 3)
• $x=7 \implies 8+7=15$ (делится на 3)

Другие цифры от 1 до 9 не подходят.
Ответ: 1, 4, 7.

2.43. 1) За два перегона поезд проехал 156,5 км. При этом первый перегон был короче второго на 17,8 км. Найдите протяжённость каждого перегона.

2) Междугородный автобус сделал в пути одну остановку. При этом расстояние от начала маршрута до остановки оказалось на 23,7 км больше, чем остальной путь. Найдите расстояние до остановки и после неё, если протяжённость всего пути составила 142,4 км.

2.43

Пусть х км – 1ый перегон, тогда (х + 17,8) км – 2ой перегон. Зная, что за два перегона поезд проехал 156,5 км, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} х + х + 17,8 = 156,5; \\ 2х + 17,8 = 156,5; \\ 2х = 156,5 – 17,8; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 2х = 138,7; \\ х = 138,7 : 2; \end{gathered}$$

х = 69,35 (км) – 1ый перегон

1. 69,35 + 17,8 = 87,15 (км) – 2ой перегон.

Ответ: 69,35 км; 87,15 км.

Пусть х км – расстояние после остановки, тогда (х + 23,7) км – расстояние до остановки. Зная, что протяженность всего пути 142,4 км, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} х + х + 23,7 = 142,4; \\ 2х + 23,7 = 142,4; \\ 2х = 142,4 – 23,7; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 2х = 118,7; \\ х = 118,7 : 2; \end{gathered}$$

х = 59,35 (км) – расстояние после остановки;

1. 59,35 + 23,7 = 83,05 (км) – расстояние до остановки.

Ответ: 59,35 км, 83,05 км.

1)

Пусть протяжённость второго перегона равна $x$ км. Поскольку первый перегон был короче второго на 17,8 км, его протяжённость составляет $(x - 17,8)$ км. Суммарная протяжённость двух перегонов равна 156,5 км. Составим уравнение:

$(x - 17,8) + x = 156,5$

Решим это уравнение:

$2x - 17,8 = 156,5$

$2x = 156,5 + 17,8$

$2x = 174,3$

$x = 174,3 \div 2$

$x = 87,15$

Протяжённость второго перегона составляет 87,15 км. Теперь найдём протяжённость первого перегона:

$87,15 - 17,8 = 69,35$ км.

Проверка: $69,35 + 87,15 = 156,5$ км.

Ответ: протяжённость первого перегона — 69,35 км, а второго — 87,15 км.

2)

Пусть расстояние после остановки (остальной путь) равно $y$ км. Расстояние от начала маршрута до остановки на 23,7 км больше, следовательно, оно равно $(y + 23,7)$ км. Общая протяжённость всего пути составляет 142,4 км. Составим уравнение:

$y + (y + 23,7) = 142,4$

Решим это уравнение:

$2y + 23,7 = 142,4$

$2y = 142,4 - 23,7$

$2y = 118,7$

$y = 118,7 \div 2$

$y = 59,35$

Расстояние после остановки составляет 59,35 км. Теперь найдём расстояние до остановки:

$59,35 + 23,7 = 83,05$ км.

Проверка: $83,05 + 59,35 = 142,4$ км.

Ответ: расстояние до остановки — 83,05 км, расстояние после неё — 59,35 км.

2.44. Выполните действия:

1) 0,3 · (13 - 11,5 : 4,6);

2) (13,3 : 3,8 - 3,05) · 0,4;

3) (2,4 · 1,3 + 3) : 0,6;

4) (2,8 · 3,1 - 4) : 0,4.

2.44

$\mathbf{1}\mathbf{)} 0,3 \stackrel{3}{·} (13\stackrel{2}{ –} 11,5\stackrel{1}{ :} 4,6) = 3,15$

1.

2.

3.

$\mathbf{2}\mathbf{)} (13,3\stackrel{1}{ :} 3,8 \stackrel{2}{–} 3,05) \stackrel{3}{·} 0,4 = 0,18$

1.

2.

3.

$\mathbf{3}\mathbf{)} (2,4 \stackrel{1}{·} 1,3 \stackrel{2}{+} 3)\stackrel{3}{ :} 0,6 = 10,2$

1.

2. 3,12 + 3 = 6,12

3.

$\mathbf{4}\mathbf{)} (2,8 \stackrel{1}{·} 3,1 \stackrel{2}{–} 4) \stackrel{3}{:} 0,4 = 11,7$

1.

2. 8,68 – 4 = 4,68

3.

1) $0,3 \cdot (13 - 11,5 : 4,6)$

Решим пример по действиям, соблюдая порядок: сначала действия в скобках (деление, затем вычитание), потом умножение.

1. Выполним деление в скобках: $11,5 : 4,6$. Чтобы разделить на десятичную дробь, перенесем запятую в делимом и делителе на один знак вправо: $115 : 46 = 2,5$.

2. Выполним вычитание в скобках: $13 - 2,5 = 10,5$.

3. Выполним умножение: $0,3 \cdot 10,5 = 3,15$.

Таким образом, $0,3 \cdot (13 - 11,5 : 4,6) = 0,3 \cdot (13 - 2,5) = 0,3 \cdot 10,5 = 3,15$.

Ответ: $3,15$.

2) $(13,3 : 3,8 - 3,05) \cdot 0,4$

Решим пример по действиям: сначала действия в скобках (деление, затем вычитание), потом умножение.

1. Выполним деление в скобках: $13,3 : 3,8$. Перенесем запятую в делимом и делителе на один знак вправо: $133 : 38 = 3,5$.

2. Выполним вычитание в скобках: $3,5 - 3,05 = 3,50 - 3,05 = 0,45$.

3. Выполним умножение: $0,45 \cdot 0,4 = 0,180 = 0,18$.

Таким образом, $(13,3 : 3,8 - 3,05) \cdot 0,4 = (3,5 - 3,05) \cdot 0,4 = 0,45 \cdot 0,4 = 0,18$.

Ответ: $0,18$.

3) $(2,4 \cdot 1,3 + 3) : 0,6$

Решим пример по действиям: сначала действия в скобках (умножение, затем сложение), потом деление.

1. Выполним умножение в скобках: $2,4 \cdot 1,3 = 3,12$.

2. Выполним сложение в скобках: $3,12 + 3 = 6,12$.

3. Выполним деление: $6,12 : 0,6$. Перенесем запятую в делимом и делителе на один знак вправо: $61,2 : 6 = 10,2$.

Таким образом, $(2,4 \cdot 1,3 + 3) : 0,6 = (3,12 + 3) : 0,6 = 6,12 : 0,6 = 10,2$.

Ответ: $10,2$.

4) $(2,8 \cdot 3,1 - 4) : 0,4$

Решим пример по действиям: сначала действия в скобках (умножение, затем вычитание), потом деление.

1. Выполним умножение в скобках: $2,8 \cdot 3,1 = 8,68$.

2. Выполним вычитание в скобках: $8,68 - 4 = 4,68$.

3. Выполним деление: $4,68 : 0,4$. Перенесем запятую в делимом и делителе на один знак вправо: $46,8 : 4 = 11,7$.

Таким образом, $(2,8 \cdot 3,1 - 4) : 0,4 = (8,68 - 4) : 0,4 = 4,68 : 0,4 = 11,7$.

Ответ: $11,7$.

2.45. Развивай воображение. Найдите кратчайший путь на поверхности куба (рис. 2.2) из точки К в точку L:

а) который проходит через точку М;

б) который пересекает все горизонтальные рёбра куба, кроме ребра KL.

2.45

а)

б)

Для решения задачи введем обозначение: пусть длина ребра куба равна $a$.

Кратчайший путь из точки K в точку L, проходящий через точку M, состоит из двух отрезков: кратчайшего пути от K до M и кратчайшего пути от M до L. Найдем длины этих путей по отдельности.

Для нахождения кратчайшего пути по поверхности куба используется метод развертки. Грани куба, через которые проходит путь, разворачиваются в одну плоскость, и кратчайшим путем становится прямая, соединяющая начальную и конечную точки на этой развертке.

1. Кратчайший путь из K в M.

Точки K и M являются противоположными вершинами на левой грани куба. Развернем эту грань. Путь KM на поверхности куба – это диагональ квадрата (левой грани). Если ребро куба равно $a$, то длина этой диагонали по теореме Пифагора равна:

$d_{KM} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$

2. Кратчайший путь из M в L.

Точки M и L являются пространственно-диагональными вершинами куба (M – левая задняя верхняя, L – правая передняя нижняя). Чтобы найти кратчайший путь по поверхности, развернем две смежные грани, например, верхнюю и переднюю.

Представим переднюю грань в виде квадрата со стороной $a$. На ней находится точка L. Примыкая к верхней стороне этого квадрата, расположим верхнюю грань. Точка M окажется на этой развертке. В результате мы получим прямоугольник размером $a \times 2a$. Точки M и L на этой развертке будут находиться в противоположных углах этого прямоугольника. Кратчайший путь между ними – это диагональ этого прямоугольника.

Длина этой диагонали по теореме Пифагора:

$d_{ML} = \sqrt{a^2 + (2a)^2} = \sqrt{a^2 + 4a^2} = \sqrt{5a^2} = a\sqrt{5}$

3. Общая длина пути.

Суммарная длина кратчайшего пути из K в L через M равна сумме длин найденных отрезков:

$D = d_{KM} + d_{ML} = a\sqrt{2} + a\sqrt{5} = a(\sqrt{2} + \sqrt{5})$

Ответ: Длина пути равна $a(\sqrt{2} + \sqrt{5})$, где $a$ – длина ребра куба.

Горизонтальными являются ребра верхней и нижней граней куба. Всего их 8. Путь должен пересечь 7 из них (все, кроме ребра KL, на котором лежат начальная и конечная точки).

Кратчайший путь на поверхности многогранника всегда является прямой линией на одной из его разверток. Задача состоит в том, чтобы найти такую развертку, на которой прямая, соединяющая K и L, будет пересекать все необходимые ребра.

Чтобы путь пересек горизонтальные ребра на всех четырех боковых гранях (левой, правой, задней) и на верхней грани, он должен "обернуться" вокруг куба. Этого можно достичь, сделав развертку нескольких граней куба в один большой прямоугольник.

Рассмотрим развертку, состоящую из четырех боковых граней, выстроенных в ряд (например, Передняя - Правая - Задняя - Левая), и примыкающих к ним сверху и снизу разверток верхней и нижней граней. Такая сложная развертка показывает, что путь должен совершить как минимум один оборот по вертикали и один по горизонтали.

Для того чтобы прямая на развертке пересекла все требуемые ребра, необходимо составить развертку из нескольких "копий" граней куба. Оказывается, что кратчайший путь соответствует диагонали прямоугольника, составленного из 12 квадратов-граней, уложенных в сетку 3x4.

Представим развертку, где по горизонтали отложены 4 грани, а по вертикали – 3. Начальная точка K находится в одном углу этого прямоугольника размером $4a \times 3a$, а конечная точка L (вернее, ее образ на этой сложной развертке) – в противоположном углу. Однако, поскольку L смещена относительно K на одно ребро, то и на развертке конечная точка будет смещена. Наиболее оптимальным является путь, который на развертке соответствует гипотенузе прямоугольного треугольника с катетами $3a$ и $4a$.

Длина такого пути вычисляется по теореме Пифагора:

$D = \sqrt{(3a)^2 + (4a)^2} = \sqrt{9a^2 + 16a^2} = \sqrt{25a^2} = 5a$

Такой путь совершает один полный оборот вокруг оси, проходящей через центры боковых граней, и три четверти оборота вокруг оси, проходящей через центры верхней и нижней граней, что обеспечивает пересечение всех необходимых ребер.

Ответ: Длина пути равна $5a$, где $a$ – длина ребра куба.

2.46. Числа 1085, 20 403, 702 366, 999 123 — составные. Докажите это утверждение.

2.46

Эти числа имеют более двух делителей:

1085: 1, 5, 1085;

20403: 1, 3, 20403;

702366: 1,2, 702366;

999123: 1, 3, 999123.

Для доказательства того, что число является составным, достаточно найти хотя бы один его делитель, отличный от 1 и самого числа. Чтобы найти такой делитель, воспользуемся известными признаками делимости.

1085
Число является составным, если оно имеет более двух делителей. Проверим число 1085 на делимость.
Согласно признаку делимости на 5, если число оканчивается на цифру 0 или 5, то оно делится на 5 без остатка. Число 1085 оканчивается на 5, следовательно, оно делится на 5.
$1085 \div 5 = 217$
Таким образом, 1085 можно представить в виде произведения $5 \times 217$. Так как у числа 1085 есть делители (5 и 217), отличные от 1 и самого себя, оно является составным.
Ответ: число 1085 является составным, так как делится на 5.

20403
Проверим число 20403 на делимость.
Согласно признаку делимости на 3, если сумма цифр числа делится на 3, то и само число делится на 3. Найдем сумму цифр числа 20403:
$2 + 0 + 4 + 0 + 3 = 9$
Сумма цифр равна 9, а 9 делится на 3 ($9 \div 3 = 3$). Следовательно, число 20403 делится на 3.
$20403 \div 3 = 6801$
Так как у числа 20403 есть делитель 3, отличный от 1 и 20403, оно является составным.
Ответ: число 20403 является составным, так как делится на 3.

702366
Проверим число 702366 на делимость.
Согласно признаку делимости на 2, если число оканчивается на четную цифру (0, 2, 4, 6, 8), то оно делится на 2. Число 702366 оканчивается на 6, следовательно, оно является четным и делится на 2.
$702366 \div 2 = 351183$
Так как у числа 702366 есть делитель 2, отличный от 1 и 702366, оно является составным.
Ответ: число 702366 является составным, так как делится на 2.

999123
Проверим число 999123 на делимость.
Воспользуемся признаком делимости на 3. Найдем сумму цифр числа 999123:
$9 + 9 + 9 + 1 + 2 + 3 = 33$
Сумма цифр равна 33, а 33 делится на 3 ($33 \div 3 = 11$). Следовательно, число 999123 делится на 3.
$999123 \div 3 = 333041$
Так как у числа 999123 есть делитель 3, отличный от 1 и 999123, оно является составным.
Ответ: число 999123 является составным, так как делится на 3.

2.47. Используя таблицу простых чисел, запишите, какие из чисел 152, 169, 187, 191, 489, 499, 570, 627, 775, 937 и 999 — простые.

2.47

191, 499, 937

Для того чтобы определить, какие из предложенных чисел являются простыми, необходимо проверить каждое из них. Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два делителя: 1 и само себя. Числа, имеющие более двух делителей, называются составными. Проверку будем производить с помощью признаков делимости и делением на простые числа (что является методом работы с таблицей простых чисел).

152

Число 152 оканчивается на цифру 2, значит, оно является чётным и делится на 2 без остатка. $152 : 2 = 76$. Поскольку у числа 152 есть делитель, отличный от 1 и самого себя, оно является составным.

Ответ: составное.

169

Данное число можно представить в виде произведения $13 \times 13$, то есть $169 = 13^2$. Так как у числа 169 есть делитель 13, оно является составным.

Ответ: составное.

187

Проверим число на делимость по признаку делимости на 11. Сумма цифр на нечётных местах ($1+7=8$) равна цифре на чётном месте (8). Разность между ними равна $8 - 8 = 0$. Нуль делится на 11, значит и само число 187 делится на 11. $187 : 11 = 17$. Число является составным.

Ответ: составное.

191

Проверим, является ли число 191 простым, путем деления на простые числа, не превосходящие его квадратный корень ($\sqrt{191} \approx 13.8$). Проверяем делимость на простые числа 2, 3, 5, 7, 11, 13. По признакам делимости число 191 не делится на 2, 3, 5. Проверим деление на остальные простые: $191 \div 7 = 27$ (остаток 2); $191 \div 11 = 17$ (остаток 4); $191 \div 13 = 14$ (остаток 9). Так как у числа нет делителей в этом диапазоне, оно является простым.

Ответ: простое.

489

Найдем сумму цифр числа: $4+8+9=21$. Сумма цифр делится на 3, следовательно, и само число 489 делится на 3. $489 : 3 = 163$. Число является составным.

Ответ: составное.

499

Проверим число 499 на простоту. $\sqrt{499} \approx 22.3$. Проверяем делимость на простые числа до 22: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19. По признакам делимости число 499 не делится на 2, 3, 5. Проверим деление на остальные простые: $499 \div 7 = 71$ (остаток 2); $499 \div 11 = 45$ (остаток 4); $499 \div 13 = 38$ (остаток 5); $499 \div 17 = 29$ (остаток 6); $499 \div 19 = 26$ (остаток 5). Делителей не найдено, следовательно, число 499 является простым.

Ответ: простое.

570

Число 570 оканчивается на 0, следовательно, оно делится на 10 (а значит и на 2 и 5). Число является составным.

Ответ: составное.

627

Сумма цифр числа: $6+2+7=15$. Так как 15 делится на 3, то и число 627 делится на 3. $627 : 3 = 209$. Число является составным.

Ответ: составное.

775

Число 775 оканчивается на 5, следовательно, оно делится на 5. Число является составным.

Ответ: составное.

937

Проверим число 937 на простоту. $\sqrt{937} \approx 30.6$. Проверяем делимость на простые числа до 30: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. По признакам делимости число не делится на 2, 3, 5. Проверим деление на остальные простые: $937 \div 7 = 133$ (остаток 6); $937 \div 11 = 85$ (остаток 2); $937 \div 13 = 72$ (остаток 1); $937 \div 17 = 55$ (остаток 2); $937 \div 19 = 49$ (остаток 6); $937 \div 23 = 40$ (остаток 17); $937 \div 29 = 32$ (остаток 9). Делителей не найдено, следовательно, число 937 является простым.

Ответ: простое.

999

Сумма цифр числа $9+9+9=27$. Сумма цифр делится на 9, следовательно, и само число 999 делится на 9. $999 : 9 = 111$. Число является составным.

Ответ: составное.

Таким образом, отвечая на вопрос, какие из чисел 152, 169, 187, 191, 489, 499, 570, 627, 775, 937 и 999 являются простыми, мы установили, что это числа 191, 499 и 937.

2.48. Найдите все делители числа 120. Подчеркните те, которые являются составными числами.

2.48

делители числа 120: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120

Найдите все делители числа 120.

Чтобы найти все натуральные делители числа 120, сначала разложим его на простые множители. Простой множитель — это простое число, на которое исходное число делится без остатка.

Процесс разложения выглядит следующим образом:
$120 : 2 = 60$
$60 : 2 = 30$
$30 : 2 = 15$
Число 15 на 2 не делится. Следующий по порядку простой множитель — это 3.
$15 : 3 = 5$
Число 5 само является простым.
$5 : 5 = 1$

Таким образом, каноническое разложение числа 120 на простые множители: $120 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 2^3 \cdot 3^1 \cdot 5^1$.

Теперь, используя эти множители, мы можем найти все делители. Делать это удобно, выписывая их парами, произведение которых равно 120:
$1 \cdot 120 = 120$
$2 \cdot 60 = 120$
$3 \cdot 40 = 120$
$4 \cdot 30 = 120$ (где $4 = 2^2$)
$5 \cdot 24 = 120$
$6 \cdot 20 = 120$ (где $6 = 2 \cdot 3$)
$8 \cdot 15 = 120$ (где $8 = 2^3$)
$10 \cdot 12 = 120$ (где $10 = 2 \cdot 5$)

Выпишем все найденные делители в порядке возрастания:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120.

Подчеркните те, которые являются составными числами.

Составное число — это натуральное число больше 1, которое не является простым, то есть имеет делители, отличные от 1 и самого себя. Простое число — это натуральное число больше 1, которое делится только на 1 и на само себя. Число 1 не является ни простым, ни составным.

В нашем списке делителей (1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120):

• простыми числами являются 2, 3, 5;
• число 1 не является ни простым, ни составным;
• все остальные числа: 4, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120 — являются составными, так как у них есть и другие делители (например, $4=2\cdot2$, $6=2\cdot3$, $15=3\cdot5$ и т.д.).

Итоговый список всех делителей числа 120 с подчеркнутыми составными числами:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120.

Ответ: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120.

2.49. Всеми возможными способами разложите на два множителя числа 27, 46, 90.

2.49

$27 = 1 · 27 = 3 · 9$

$46 = 1 · 46 = 2 · 23$

$$\begin{gathered} 90 = 1 · 90 = 2 · 45 = 3 · 30 = \\ = 5 · 18 = 6 · 15 = 9 · 10 \end{gathered}$$

27
Чтобы разложить число на два множителя, нужно найти все пары его натуральных делителей. Произведение чисел в каждой паре должно быть равно исходному числу. Мы будем последовательно проверять числа, начиная с 1, и находить парные им множители. Поиск можно остановить, когда мы дойдем до числа, квадрат которого больше исходного числа, так как все большие множители уже будут найдены в паре с меньшими.
Для числа 27:
$27 \div 1 = 27$, следовательно, первая пара множителей — (1, 27). Разложение: $27 = 1 \cdot 27$.
$27 \div 3 = 9$, следовательно, вторая пара множителей — (3, 9). Разложение: $27 = 3 \cdot 9$.
Квадратный корень из 27 примерно равен 5.2 ($ \sqrt{27} \approx 5.2 $), мы проверили все целые числа до 5. Других пар множителей нет.
Ответ: $27 = 1 \cdot 27$; $27 = 3 \cdot 9$.

46
Применим тот же метод для числа 46. Найдем все пары его натуральных делителей.
$46 \div 1 = 46$, пара — (1, 46). Разложение: $46 = 1 \cdot 46$.
$46 \div 2 = 23$, пара — (2, 23). Разложение: $46 = 2 \cdot 23$.
Число 23 является простым, а следующий делитель после 2 должен быть больше, чем $\sqrt{46} \approx 6.8$. Таким образом, все возможные разложения найдены.
Ответ: $46 = 1 \cdot 46$; $46 = 2 \cdot 23$.

90
Теперь разложим на два множителя число 90.
$90 \div 1 = 90 \implies 90 = 1 \cdot 90$.
$90 \div 2 = 45 \implies 90 = 2 \cdot 45$.
$90 \div 3 = 30 \implies 90 = 3 \cdot 30$.
$90 \div 5 = 18 \implies 90 = 5 \cdot 18$.
$90 \div 6 = 15 \implies 90 = 6 \cdot 15$.
$90 \div 9 = 10 \implies 90 = 9 \cdot 10$.
Квадратный корень из 90 примерно равен 9.5 ($ \sqrt{90} \approx 9.5 $). Мы проверили все делители до 9, и следующий делитель (10) уже был найден в паре с 9. Поиск завершен.
Ответ: $90 = 1 \cdot 90$; $90 = 2 \cdot 45$; $90 = 3 \cdot 30$; $90 = 5 \cdot 18$; $90 = 6 \cdot 15$; $90 = 9 \cdot 10$.

2.50. Объём прямоугольного параллелепипеда равен 1001 см³. Найдите измерения параллелепипеда, если они выражаются натуральными числами и ни одно из них не равно 1 см.

2.50

$1001 = 7 · 11 · 13$

Ответ: измерения параллелепипеда равны 7 см, 11 см и 13 см

Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда — его длина, ширина и высота — равны $a$, $b$ и $c$. Согласно условиям задачи, $a$, $b$ и $c$ являются натуральными числами, причём каждое из них больше 1.

Объём $V$ прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле произведения его трёх измерений: $V = a \cdot b \cdot c$

По условию, объём параллелепипеда равен $1001 \text{ см}^3$. Таким образом, нам необходимо решить в натуральных числах уравнение: $a \cdot b \cdot c = 1001$, где $a > 1$, $b > 1$ и $c > 1$.

Для нахождения этих трёх чисел нужно разложить число 1001 на множители. Поскольку искомые измерения должны быть больше 1, нам нужно найти три множителя, отличных от единицы. Самый прямой путь для этого — разложение числа на простые множители.

Последовательно проверим делимость числа 1001 на простые числа, начиная с наименьших.

• Число 1001 не делится на 2, так как оно нечетное.
• Сумма цифр числа $1+0+0+1=2$ не делится на 3, значит и 1001 не делится на 3.
• Число 1001 не оканчивается на 0 или 5, поэтому не делится на 5.
• Проверим делимость на 7: $1001 \div 7 = 143$.

Итак, мы получили, что $1001 = 7 \cdot 143$. Теперь нужно разложить на множители число 143. Проверим его делимость на следующие простые числа, например, на 11: $143 \div 11 = 13$.

Числа 7, 11 и 13 являются простыми. Таким образом, мы получили единственное разложение числа 1001 на три простых множителя: $1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13$

Полученные множители 7, 11 и 13 являются натуральными числами, и каждое из них больше 1. Следовательно, они и являются искомыми измерениями параллелепипеда.

Ответ: измерения параллелепипеда равны 7 см, 11 см и 13 см.

2.51. В инкубатор заложили 1200 яиц. Из 2324 — всех яиц вылупились цыплята. При этом оказалось, что петушки составляют 25 всех вылупившихся цыплят. Сколько петушков и сколько курочек вылупилось из яиц?

2.51

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }1200 ·\frac{ 23}{24}= \frac{{\displaystyle \stackrel{50}{\cancel{1200}}} · 23}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{24}}}}=\frac{50 · 23}{1} =$

$=1150$(шт.) – вылупилось цыплят;

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }\stackrel{230}{\cancel{1150} }· \frac{2}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{5}}}}=\frac{230 · 2}{1}= 460$(ц.) – петушки;

$\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{ }1150 – 460 = 690$(ц) – курочки .

Ответ: 460 петушков и 690 курочек.

Для решения этой задачи необходимо выполнить три последовательных шага.

1. Сначала определим общее количество цыплят, которые вылупились. По условию, это $\frac{23}{24}$ от общего числа заложенных яиц, которое равно 1200. Чтобы найти дробь от числа, нужно умножить это число на дробь.

$1200 \cdot \frac{23}{24} = \frac{1200 \cdot 23}{24} = 50 \cdot 23 = 1150$ (цыплят).

Таким образом, всего вылупилось 1150 цыплят.

2. Теперь найдем, сколько среди них было петушков. Известно, что петушки составляют $\frac{2}{5}$ от всех вылупившихся цыплят.

$1150 \cdot \frac{2}{5} = \frac{1150 \cdot 2}{5} = 230 \cdot 2 = 460$ (петушков).

3. Оставшиеся цыплята — курочки. Чтобы найти их количество, нужно из общего числа вылупившихся цыплят вычесть количество петушков.

$1150 - 460 = 690$ (курочек).

Ответ: из яиц вылупилось 460 петушков и 690 курочек.

2.52. Разложите на простые множители числа:

а) 63, 85, 102, 132, 100 000;

б) 1600, 8000, 2248, 5148.

2.52

а)

$$\begin{gathered} 63 = 3 · 3 · 7 \\ 85 = 5 · 17 \\ 102 = 2 · 3 · 17 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 132 = 2 · 2 · 3 · 11 \\ 100 000 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 \end{gathered}$$

б)

$$\begin{gathered} 1600 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 5 · 5 \\ 8000 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 5 · 5 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 2248 = 2 · 2 · 2 · 281 \\ 5148 = 2 · 2 · 3 · 3 · 11 · 13 \end{gathered}$$

Разложим на простые множители число 63. Число 63 делится на 3, так как сумма его цифр (6 + 3 = 9) делится на 3.
$63 : 3 = 21$
Число 21 также делится на 3.
$21 : 3 = 7$
Число 7 является простым. Таким образом, разложение числа 63 на простые множители:
$63 = 3 \cdot 3 \cdot 7 = 3^2 \cdot 7$
Ответ: $63 = 3^2 \cdot 7$

Разложим на простые множители число 85. Число заканчивается на 5, следовательно, оно делится на 5.
$85 : 5 = 17$
Число 17 является простым. Таким образом, разложение числа 85 на простые множители:
$85 = 5 \cdot 17$
Ответ: $85 = 5 \cdot 17$

Разложим на простые множители число 102. Число является четным, поэтому делится на 2.
$102 : 2 = 51$
Сумма цифр числа 51 (5 + 1 = 6) делится на 3, значит, и само число делится на 3.
$51 : 3 = 17$
Число 17 является простым. Таким образом, разложение числа 102 на простые множители:
$102 = 2 \cdot 3 \cdot 17$
Ответ: $102 = 2 \cdot 3 \cdot 17$

Разложим на простые множители число 132. Число является четным, поэтому делится на 2.
$132 : 2 = 66$
Число 66 также является четным.
$66 : 2 = 33$
Число 33 делится на 3.
$33 : 3 = 11$
Число 11 является простым. Таким образом, разложение числа 132 на простые множители:
$132 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 11 = 2^2 \cdot 3 \cdot 11$
Ответ: $132 = 2^2 \cdot 3 \cdot 11$

Разложим на простые множители число 100 000. Это число можно представить как $10^5$.
Поскольку $10 = 2 \cdot 5$, то:
$100\:000 = 10^5 = (2 \cdot 5)^5 = 2^5 \cdot 5^5$
Ответ: $100\:000 = 2^5 \cdot 5^5$

Разложим на простые множители число 1600. Это число можно представить как $16 \cdot 100$.
Разложим 16 на простые множители: $16 = 2 \cdot 8 = 2 \cdot 2 \cdot 4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4$.
Разложим 100 на простые множители: $100 = 10 \cdot 10 = (2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 5) = 2^2 \cdot 5^2$.
Теперь перемножим результаты:
$1600 = 2^4 \cdot (2^2 \cdot 5^2) = 2^{4+2} \cdot 5^2 = 2^6 \cdot 5^2$
Ответ: $1600 = 2^6 \cdot 5^2$

Разложим на простые множители число 8000. Это число можно представить как $8 \cdot 1000$.
Разложим 8 на простые множители: $8 = 2 \cdot 4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$.
Разложим 1000 на простые множители: $1000 = 10^3 = (2 \cdot 5)^3 = 2^3 \cdot 5^3$.
Теперь перемножим результаты:
$8000 = 2^3 \cdot (2^3 \cdot 5^3) = 2^{3+3} \cdot 5^3 = 2^6 \cdot 5^3$
Ответ: $8000 = 2^6 \cdot 5^3$

Разложим на простые множители число 2248. Число является четным, поэтому делится на 2.
$2248 : 2 = 1124$
$1124 : 2 = 562$
$562 : 2 = 281$
Проверим, является ли число 281 простым. Оно не делится на 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 (простые числа, квадрат которых не превышает 281). Следовательно, 281 — простое число. Таким образом, разложение числа 2248:
$2248 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 281 = 2^3 \cdot 281$
Ответ: $2248 = 2^3 \cdot 281$

Разложим на простые множители число 5148. Число является четным, поэтому делится на 2.
$5148 : 2 = 2574$
$2574 : 2 = 1287$
Сумма цифр числа 1287 (1 + 2 + 8 + 7 = 18) делится на 3, значит, и само число делится на 3.
$1287 : 3 = 429$
Сумма цифр числа 429 (4 + 2 + 9 = 15) делится на 3.
$429 : 3 = 143$
Число 143 делится на 11.
$143 : 11 = 13$
Число 13 является простым. Таким образом, разложение числа 5148:
$5148 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 11 \cdot 13 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 11 \cdot 13$
Ответ: $5148 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 11 \cdot 13$

2.53. Найдите значение выражения:

а) 49 + 79 – 19;

б) 67 – (57 – 17);

в) 5 639 + 4 778;

г) 71315 – 31130;

д) 78 · 435 · 109;

е) (12 : 34 – 49) · 53;

2.53

$\mathit{а}\mathbf{)} \frac{4}{9}+\frac{7}{9}-\frac{1}{9} = \frac{4+7-1}{9}= \frac{10}{9} = 1\frac{1}{9}$

$\mathit{б}\mathbf{)} \frac{6}{7}-\left(\frac{5}{7}- \frac{1}{7}\right)= \frac{6}{7}- \left(\frac{5-1}{7}\right)= \frac{6}{7}-\frac{4}{7} = \frac{ 6 - 4}{7}= \frac{2}{7}$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)}{ 5\frac{6}{39}}^{\overline{)·2}}+ 4\frac{7}{78} = 5\frac{12}{78} + 4\frac{7}{78}= \\ = (5 + 4) + (\frac{12}{78}+\frac{7}{78}) = 9 + \frac{19}{78} = 9\frac{19}{78} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)}{\mathbf{ }7\frac{13}{15}}^{\overline{)·2}} – 3\frac{11}{30}= \mathbf{ }7\frac{26}{30} – 3\frac{11}{30}= \\ =(7 – 3) + \left(\frac{26}{30} –\frac{11}{30}\right)= 4 + \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{15}}}}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{30}}}} = 4 +\frac{ 1}{2}= 4\frac{ 1}{2} \end{gathered}$$

$\mathit{д}\mathbf{)} \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{7}}}}{{\displaystyle \underset{2}{\bcancel{8}}}}· \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{4}}}}{{\displaystyle \underset{5}{\cancel{35}}}}· \frac{10}{9} = \frac{1}{2}· \frac{1}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{5}}}}· \frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\cancel{10}}}}{9} = \frac{1}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{2}}}} · \frac{1}{1}· \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{2}}}}{9}=\frac{1}{9}$

$$\begin{gathered} \mathit{е}\mathbf{)} \left(\frac{1}{2} : \frac{3}{4}-\frac{4}{9}\right) · \frac{5}{3} = \left(\frac{1}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{2}}}}· \frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\cancel{4}}}}{3}-\frac{4}{9}\right) · \frac{5}{3}= \\ =\left( {\frac{{\displaystyle 2}}{3}}^{\overline{)·3}}-\frac{4}{9}\right) · \frac{5}{3}=\left( \frac{{\displaystyle 6}}{9}-\frac{4}{9}\right) · \frac{5}{3}= \\ = \frac{2}{9} · \frac{5}{3}=\frac{10}{27} \end{gathered}$$

а) Чтобы найти значение выражения $\frac{4}{9} + \frac{7}{9} - \frac{1}{9}$, нужно выполнить сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. Для этого мы складываем и вычитаем их числители, а знаменатель оставляем прежним.
$\frac{4}{9} + \frac{7}{9} - \frac{1}{9} = \frac{4 + 7 - 1}{9} = \frac{11 - 1}{9} = \frac{10}{9}$.
Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:
$\frac{10}{9} = 1\frac{1}{9}$.
Ответ: $1\frac{1}{9}$.

б) В выражении $\frac{6}{7} - \left(\frac{5}{7} - \frac{1}{7}\right)$ сначала выполняем действие в скобках.
$\frac{5}{7} - \frac{1}{7} = \frac{5 - 1}{7} = \frac{4}{7}$.
Теперь вычитаем полученный результат из первой дроби:
$\frac{6}{7} - \frac{4}{7} = \frac{6 - 4}{7} = \frac{2}{7}$.
Ответ: $\frac{2}{7}$.

в) Для сложения смешанных чисел $5\frac{6}{39} + 4\frac{7}{78}$ сложим отдельно целые и дробные части.
Сначала упростим дробь $\frac{6}{39}$, разделив числитель и знаменатель на 3: $\frac{6:3}{39:3} = \frac{2}{13}$.
Выражение принимает вид: $5\frac{2}{13} + 4\frac{7}{78}$.
Складываем целые части: $5 + 4 = 9$.
Складываем дробные части: $\frac{2}{13} + \frac{7}{78}$. Приведем дроби к общему знаменателю 78 (так как $78 = 13 \cdot 6$):
$\frac{2}{13} = \frac{2 \cdot 6}{13 \cdot 6} = \frac{12}{78}$.
$\frac{12}{78} + \frac{7}{78} = \frac{12 + 7}{78} = \frac{19}{78}$.
Складываем результат: $9 + \frac{19}{78} = 9\frac{19}{78}$.
Ответ: $9\frac{19}{78}$.

г) Для вычитания смешанных чисел $7\frac{13}{15} - 3\frac{11}{30}$ вычтем отдельно целые и дробные части.
Вычитаем целые части: $7 - 3 = 4$.
Вычитаем дробные части: $\frac{13}{15} - \frac{11}{30}$. Приведем дроби к общему знаменателю 30 (так как $30 = 15 \cdot 2$):
$\frac{13}{15} = \frac{13 \cdot 2}{15 \cdot 2} = \frac{26}{30}$.
$\frac{26}{30} - \frac{11}{30} = \frac{26 - 11}{30} = \frac{15}{30}$.
Сократим полученную дробь: $\frac{15}{30} = \frac{15:15}{30:15} = \frac{1}{2}$.
Объединяем целую и дробную части: $4 + \frac{1}{2} = 4\frac{1}{2}$.
Ответ: $4\frac{1}{2}$.

д) Чтобы найти произведение дробей $\frac{7}{8} \cdot \frac{4}{35} \cdot \frac{10}{9}$, перемножим их числители и знаменатели, предварительно выполнив сокращение для упрощения вычислений.
$\frac{7 \cdot 4 \cdot 10}{8 \cdot 35 \cdot 9}$.
Сокращаем 7 и 35 (на 7), 4 и 8 (на 4):
$\frac{\cancel{7}^1 \cdot \cancel{4}^1 \cdot 10}{\cancel{8}^2 \cdot \cancel{35}^5 \cdot 9} = \frac{1 \cdot 1 \cdot 10}{2 \cdot 5 \cdot 9} = \frac{10}{10 \cdot 9}$.
Сокращаем 10 и 10:
$\frac{\cancel{10}^1}{\cancel{10}^1 \cdot 9} = \frac{1}{9}$.
Ответ: $\frac{1}{9}$.

е) В выражении $\left(\frac{1}{2} : \frac{3}{4} - \frac{4}{9}\right) \cdot \frac{5}{3}$ действия выполняются в следующем порядке: сначала деление в скобках, затем вычитание в скобках, и в конце умножение.
1. Деление в скобках: $\frac{1}{2} : \frac{3}{4}$. Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь.
$\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} = \frac{1 \cdot 4}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
2. Вычитание в скобках: $\frac{2}{3} - \frac{4}{9}$. Приводим к общему знаменателю 9.
$\frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} - \frac{4}{9} = \frac{6}{9} - \frac{4}{9} = \frac{6 - 4}{9} = \frac{2}{9}$.
3. Умножение: $\frac{2}{9} \cdot \frac{5}{3}$.
$\frac{2 \cdot 5}{9 \cdot 3} = \frac{10}{27}$.
Ответ: $\frac{10}{27}$.

2.54. Цветочная клумба имеет форму прямоугольника, длина которого в 1,8 раза больше ширины. Найдите площадь цветочной клумбы, если её периметр равен 11,2 м.

2.54

Пусть х м – ширина клумбы, тогда 1,8х м – длина клумбы. Зная, что периметр равен 11,2 м, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} 2 · (х + 1,8х) = 11,2; \\ х + 1,8х = 11,2 : 2; \\ 2,8х = 5,6; \\ х = 5,6 : 2,8; \\ х = 56 : 28; \end{gathered}$$

х = 2 (м) – ширина клумбы

$\mathbf{1}\mathbf{)} 2 · 1,8 = 3,6$(м) – длина клумбы

$\mathbf{2}\mathbf{)} S = 2 · 3,6 = 7,2$(м²) – площадь клумбы.

Ответ: 7,2 м².

Для решения задачи обозначим ширину прямоугольной клумбы через $w$ метров.

Согласно условию, длина клумбы, которую мы обозначим как $l$, в 1,8 раза больше её ширины. Это можно выразить следующей формулой:
$l = 1.8 \cdot w$

Периметр прямоугольника ($P$) вычисляется по формуле $P = 2 \cdot (l + w)$. В условии сказано, что периметр клумбы равен 11,2 м. Подставим в эту формулу известные данные и зависимость длины от ширины:
$11.2 = 2 \cdot (1.8w + w)$

Теперь решим полученное уравнение, чтобы найти значение ширины $w$.
1. Сначала упростим выражение в скобках:
$1.8w + w = 2.8w$
2. Подставим упрощенное выражение обратно в уравнение:
$11.2 = 2 \cdot 2.8w$
$11.2 = 5.6w$
3. Найдем $w$:
$w = \frac{11.2}{5.6} = 2$ м

Итак, ширина клумбы равна 2 метрам. Теперь мы можем вычислить её длину:
$l = 1.8 \cdot w = 1.8 \cdot 2 = 3.6$ м

Площадь прямоугольника ($S$) находится по формуле $S = l \cdot w$. Подставим найденные значения длины и ширины, чтобы вычислить площадь клумбы:
$S = 3.6 \text{ м} \cdot 2 \text{ м} = 7.2$ м²

Ответ: 7,2 м².

4.239. Составьте алгебраическую сумму со следующими слагаемыми:
а) −a; b; −13.7;
б) −12.6; m; n; −k;
в) x; 420; −3; −z; 17.8;
г) −5.3; a; −c; −n; m; 1;
д) y; −7.8; −10; −k;
е) 108; 1; m; −n; −0.6.

4.239

а) –а + b + (-13,7)

б) -12,6 + m + n + (-k)

в) x + 420 + (-3) + (-z) + 17,8

г) -5,3 + a + (-c) + (-n) + m + 1

д) y + (-7,8) + (-10) + (-k)

е) 108 + 1 + m + (-n) + (-0,6)

Чтобы составить алгебраическую сумму, необходимо записать все данные слагаемые друг за другом, соединяя их знаком «+». Если слагаемое является отрицательным числом или выражением, то при записи суммы его обычно заключают в скобки. Затем, раскрывая скобки, сложение с отрицательным числом заменяется вычитанием. В конце, если это возможно, приводятся подобные слагаемые.

Даны слагаемые: $-a; b; -13,7; 7$.

Составляем их алгебраическую сумму:

$(-a) + b + (-13,7) + 7$

Раскрываем скобки и получаем:

$-a + b - 13,7 + 7$

Упростим выражение, выполнив сложение числовых слагаемых:

$-13,7 + 7 = -6,7$

Итоговая алгебраическая сумма:

Ответ: $-a + b - 6,7$

Даны слагаемые: $-12,6; m; n; -k$.

Составляем их алгебраическую сумму:

$(-12,6) + m + n + (-k)$

Раскрываем скобки:

$-12,6 + m + n - k$

В данном выражении нет подобных слагаемых для упрощения.

Ответ: $-12,6 + m + n - k$

Даны слагаемые: $x; 420; -3; -z; 17,8$.

Составляем их алгебраическую сумму:

$x + 420 + (-3) + (-z) + 17,8$

Раскрываем скобки:

$x + 420 - 3 - z + 17,8$

Упростим выражение, сложив числовые слагаемые:

$420 - 3 + 17,8 = 417 + 17,8 = 434,8$

Запишем итоговую сумму, упорядочив слагаемые:

Ответ: $x - z + 434,8$

Даны слагаемые: $-5,3; a; -c; -n; m; 1$.

Составляем их алгебраическую сумму:

$(-5,3) + a + (-c) + (-n) + m + 1$

Раскрываем скобки:

$-5,3 + a - c - n + m + 1$

Упростим выражение, сложив числовые слагаемые:

$-5,3 + 1 = -4,3$

Запишем итоговую сумму, упорядочив переменные в алфавитном порядке:

Ответ: $a - c + m - n - 4,3$

Даны слагаемые: $y; -7,8; -10; -k$.

Составляем их алгебраическую сумму:

$y + (-7,8) + (-10) + (-k)$

Раскрываем скобки:

$y - 7,8 - 10 - k$

Упростим выражение, сложив числовые слагаемые:

$-7,8 - 10 = -17,8$

Запишем итоговую сумму, упорядочив слагаемые:

Ответ: $y - k - 17,8$

Даны слагаемые: $108; 1; m; -n; -0,6$.

Составляем их алгебраическую сумму:

$108 + 1 + m + (-n) + (-0,6)$

Раскрываем скобки:

$108 + 1 + m - n - 0,6$

Упростим выражение, сложив числовые слагаемые:

$108 + 1 - 0,6 = 109 - 0,6 = 108,4$

Запишем итоговую сумму, упорядочив слагаемые:

Ответ: $m - n + 108,4$

4.240. Вычислите алгебраическую сумму:

а) (31 − 42) − 60; б) −60 + (46 + 80); в) −4 − (−6 − 10); г) −5 − (−24 + 25); д) 5 − 9 + 4 − 10 + 7; е) −17 + 19 − 29 − 13 + 5.

4.240

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }(31 – 42) – 60 = (31 + (-42)) – 60 = \\ = -(42 – 31) – 60 = -11 – 60 = \\ = -11 + (-60) = -(11 + 60) = -71 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }-60 + (46 + 80) = -60 + 126 = \\ =+(126 – 60) = 66 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)} -4 – (-6 – 10) = -4 – (-6 + (-10)) = \\ = -4 – (-(6+10)) = -4 - (-16) = \\ = -4 + 16 = +(16 – 4) = 12 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }-5 – (-24 + 25) = -5 – (+(25 – 24)) = \\ = -5 – 1 = -5 + (-1) = -(5 + 1) = -6 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{д}\mathbf{)}\mathbf{ }5 – 9 + 4 – 10 + 7 = 5 + (-9) + 4 + \\ +(-10) + 7 = (5 + 4 + 7) + (-9 + (-10)) = \\ = 16 + (-19) = -(19 – 16) = -3 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{е}\mathbf{)}\mathbf{ }-17 + 19 – 29 – 13 + 5 = -17 + 19 + \\ + (-29) + (-13) + 5 = (19 + 5) + \\ +(-17 + (-29) + (-13)) = \\ = 24 + (-59) = -(59 – 24) = -35 \end{gathered}$$

а) Сначала выполняем действие в скобках, а затем вычитание.
$(31 - 42) - 60 = -11 - 60 = -71$.
Ответ: -71.

б) Сначала выполняем действие в скобках, а затем сложение.
$-60 + (46 + 80) = -60 + 126 = 66$.
Ответ: 66.

в) Сначала вычисляем значение в скобках. Затем, так как минус на минус дает плюс, заменяем вычитание отрицательного числа сложением.
$-4 - (-6 - 10) = -4 - (-16) = -4 + 16 = 12$.
Ответ: 12.

г) Сначала выполняем действие в скобках, а затем вычитание.
$-5 - (-24 + 25) = -5 - (1) = -5 - 1 = -6$.
Ответ: -6.

д) Для удобства вычислений сгруппируем положительные и отрицательные слагаемые.
$5 - 9 + 4 - 10 + 7 = (5 + 4 + 7) - (9 + 10) = 16 - 19 = -3$.
Ответ: -3.

е) Сгруппируем положительные и отрицательные слагаемые для удобства вычислений.
$-17 + 19 - 29 - 13 + 5 = (19 + 5) - (17 + 29 + 13) = 24 - 59 = -35$.
Ответ: -35.

4.241. Найдите значение выражения:
а) 3,2 − (−1,7 + 4,1);
б) (−4,3 + 70) − 0,9;
в) (26,5 − 77) + 43,5;
г) (−3,2 + 4,6) + 8,8;
д) 29,4 − 18,6 + 5,1 − 7,4;
е) −33,1 + 17,6 + 2,4 − 6,9.

4.241

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }3,2 – (-1,7 + 4,1) = 3,2 – (+(4,1 – 1,7)) = \\ = 3,2 – 2,4 = 0,8 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} (-4,3 + 70) – 0,9 = +(70 – 4,3) – 0,9 = \\ = 65,7 – 0,9 = 64,8 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)} (26,5 – 77) + 43,5 = (26,5 + (-77)) + 43,5 = \\ = -(77 – 26,5) + 43,5 = -50,5 + 43,5 = \\ = -(50,5 – 43,5) = -7 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }(-3,2 + 4,6) + 8,8 = +(4,6 – 3,2) + \\ + 8,8 = 1,4 + 8,8 = 10,2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{д}\mathbf{)} 29,4 – 18,6 + 5,1 – 7,4 = 29,4 + (-18,6) + \\ + 5,1 + (-7,4) =(29,4 + 5,1) + (-18,6 + (-7,4)) = \\ = 34,5 + (-26) = +(34,5 – 26) = 8,5 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{е}\mathbf{)}\mathbf{ }-33,1 + 17,6 + 2,4 – 6,9 = -33,1 + \\ +17,6 + 2,4 + (-6,9)= (-33,1 + (-6,9)) + \\ + (17,6 + 2,4) = -40 + 20 = -(40 – 20) = \\ =-20 \end{gathered}$$

а) $3,2 - (-1,7 + 4,1)$

Первым шагом выполним действие в скобках. Складываем числа с разными знаками:
$-1,7 + 4,1 = 4,1 - 1,7 = 2,4$

Теперь подставим результат обратно в выражение и выполним вычитание:
$3,2 - 2,4 = 0,8$

Ответ: $0,8$

б) $(-4,3 + 70) - 0,9$

Сначала выполним действие в скобках. Складываем числа с разными знаками:
$-4,3 + 70 = 70 - 4,3 = 65,7$

Теперь из полученного результата вычтем $0,9$:
$65,7 - 0,9 = 64,8$

Ответ: $64,8$

в) $(26,5 - 77) + 43,5$

Сначала выполним действие в скобках. Так как вычитаемое больше уменьшаемого, результат будет отрицательным:
$26,5 - 77 = -(77 - 26,5) = -50,5$

Теперь к полученному результату прибавим $43,5$:
$-50,5 + 43,5 = -(50,5 - 43,5) = -7$

Ответ: $-7$

г) $(-3,2 + 4,6) + 8,8$

Сначала выполним действие в скобках. Складываем числа с разными знаками:
$-3,2 + 4,6 = 4,6 - 3,2 = 1,4$

Теперь к полученному результату прибавим $8,8$:
$1,4 + 8,8 = 10,2$

Ответ: $10,2$

д) $29,4 - 18,6 + 5,1 - 7,4$

Будем выполнять действия по порядку, слева направо:
1. $29,4 - 18,6 = 10,8$
2. $10,8 + 5,1 = 15,9$
3. $15,9 - 7,4 = 8,5$
Также можно сгруппировать положительные и отрицательные числа: $(29,4 + 5,1) - (18,6 + 7,4) = 34,5 - 26 = 8,5$

Ответ: $8,5$

е) $-33,1 + 17,6 + 2,4 - 6,9$

Для удобства вычислений сгруппируем положительные и отрицательные числа:
$(-33,1 - 6,9) + (17,6 + 2,4)$

Складываем отрицательные числа:
$-33,1 - 6,9 = -(33,1 + 6,9) = -40$

Складываем положительные числа:
$17,6 + 2,4 = 20$

Теперь находим сумму полученных результатов:
$-40 + 20 = -20$

Ответ: $-20$

4.242. Найдите значение выражения:

а) (– 234 – 314) + 3,5; б) (– 649 + 5518) – 212; в) – 435 – (– 256 – 113); г) –4,75 – (–512 + 414); д) – 213 + 214 + 13; е) 710 – 3 – 25 + 310.

4.242

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} \left(-2\frac{3}{4} - 3\frac{1}{4}\right) + 3,5 = \left(-2\frac{3}{4} + \left(-3\frac{1}{4}\right)\right)+ \\ + 3,5 = - 5\frac{4}{4} + 3,5 = -6 + 3,5 = \\ = -\left(6 - 3,5\right) = - 2,5 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }\left({-6\frac{4}{9}}^{\overline{)·2}} + 5\frac{5}{18}\right) - 2\frac{1}{2} = \left(-6\frac{8}{18} + 5\frac{5}{18}\right) - \\ -2\frac{1}{2} = -\left(6\frac{8}{18} - 5\frac{5}{18}\right)-2\frac{1}{2} =-1\frac{3}{18 }- 2\frac{1}{2}= \\ = -1\frac{1}{6} - 2\frac{1}{2} = -1\frac{1}{6} + \left(-2\frac{1}{2}\right) = \\ = -\left(1\frac{1}{6} + {2\frac{1}{2}}^{\overline{)·3}}\right) = -\left(1\frac{1}{6} + 2\frac{3}{6}\right) = -3\frac{4}{6} = -3\frac{2}{3} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)} -4\frac{3}{5} - \left(-2\frac{5}{6} - 1\frac{1}{3}\right) =-4\frac{3}{5} - \\ -\left(-2\frac{5}{6} +\left(-1\frac{1}{3}\right)\right) = -4\frac{3}{4} - \left(-\left(2\frac{5}{6} +{1\frac{1}{3}}^{\overline{)·2}}\right)\right)= \\ = -4\frac{3}{5} -\left(-\left(2\frac{5}{6} +1\frac{2}{6}\right)\right) = -4\frac{3}{5} -\left(-\left(3\frac{7}{6}\right)\right)= \\ = -4\frac{3}{5} + 3\frac{7}{6} = {-4\frac{3}{5}}^{\overline{)·6}} +{ 4\frac{1}{6}}^{\overline{)·5}} = -4\frac{18}{30} + 4\frac{5}{30}= \\ =-\left(4\frac{18}{30} - 4\frac{5}{30}\right) = -\frac{13}{30} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }-4,75 – ({-5\frac{1}{2}}^{\overline{)·5}} +{ 4\frac{1}{4}}^{\overline{)·25}}) = -4,75 – \\ - (-5,5 + 4,25) = -4,75 – (-(5,5 – 4,25)) = \\ = -4,75 – (-1,25) = -4,75 + 1,25 = \\ = -(4,75 – 1,25) = -3,5 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{д}\mathbf{)} -2\frac{1}{3} + 2\frac{1}{4} + \frac{1}{3} = \left(-2\frac{1}{3}+ \frac{1}{3}\right) + 2\frac{1}{4}= \\ = -\left(2\frac{1}{3}- \frac{1}{3}\right)+ 2\frac{1}{4}=-2 + 2\frac{1}{4} = 2\frac{1}{4} - 2 = \\ = \frac{1}{4} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{е}\mathbf{)} \frac{7}{10} - 3 - \frac{2}{5} + \frac{3}{10} = \frac{7}{10} + (-3) + \\ + \left(-\frac{2}{5}\right) + \frac{3}{10} = \left(\frac{7}{10} + \frac{3}{10}\right) + \left(-3 + \left(-\frac{2}{5}\right)\right)= \\ = \frac{10}{10} + \left(-\left(3 + \frac{2}{5}\right)\right) = 1 + \left(-3\frac{2}{5}\right) = \\ =-\left(3\frac{2}{5} -1\right) = -2\frac{2}{5}. \end{gathered}$$

а) $(-2\frac{3}{4} - 3\frac{1}{4}) + 3,5$

1. Сначала выполним действие в скобках. Оба числа отрицательные, поэтому мы складываем их модули и ставим знак минус:

$2\frac{3}{4} + 3\frac{1}{4} = (2+3) + (\frac{3}{4} + \frac{1}{4}) = 5 + \frac{4}{4} = 5 + 1 = 6$

Таким образом, выражение в скобках равно $-6$.

2. Теперь прибавим 3,5 к результату:

$-6 + 3,5 = -2,5$

Ответ: $-2,5$

б) $(-6\frac{4}{9} + 5\frac{5}{18}) - 2\frac{1}{2}$

1. Выполним действие в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю 18:

$-6\frac{4}{9} = -6\frac{4 \cdot 2}{9 \cdot 2} = -6\frac{8}{18}$

Теперь выражение в скобках выглядит так: $-6\frac{8}{18} + 5\frac{5}{18}$.

Так как модуль отрицательного числа больше, результат будет отрицательным. Вычтем из большего модуля меньший:

$6\frac{8}{18} - 5\frac{5}{18} = (6-5) + (\frac{8}{18} - \frac{5}{18}) = 1\frac{3}{18} = 1\frac{1}{6}$

Результат в скобках равен $-1\frac{1}{6}$.

2. Теперь вычтем $2\frac{1}{2}$:

$-1\frac{1}{6} - 2\frac{1}{2}$

Это сложение двух отрицательных чисел. Приведем дроби к общему знаменателю 6:

$2\frac{1}{2} = 2\frac{3}{6}$

$1\frac{1}{6} + 2\frac{3}{6} = (1+2) + (\frac{1}{6} + \frac{3}{6}) = 3\frac{4}{6} = 3\frac{2}{3}$

Так как оба числа были отрицательными, итоговый результат будет отрицательным.

Ответ: $-3\frac{2}{3}$

в) $-4\frac{3}{5} - (-2\frac{5}{6} - 1\frac{1}{3})$

1. Выполним действие в скобках. Сложим два отрицательных числа, приведя дроби к общему знаменателю 6:

$-2\frac{5}{6} - 1\frac{1}{3} = -2\frac{5}{6} - 1\frac{2}{6} = -(2\frac{5}{6} + 1\frac{2}{6}) = -((2+1) + (\frac{5}{6} + \frac{2}{6})) = -(3 + \frac{7}{6}) = -(3+1\frac{1}{6}) = -4\frac{1}{6}$

2. Теперь выполним вычитание. Вычитание отрицательного числа равносильно сложению положительного:

$-4\frac{3}{5} - (-4\frac{1}{6}) = -4\frac{3}{5} + 4\frac{1}{6}$

Приведем дроби к общему знаменателю 30:

$-4\frac{3 \cdot 6}{5 \cdot 6} + 4\frac{1 \cdot 5}{6 \cdot 5} = -4\frac{18}{30} + 4\frac{5}{30}$

Модуль отрицательного числа больше, поэтому результат будет отрицательным. Вычтем из большего модуля меньший:

$4\frac{18}{30} - 4\frac{5}{30} = \frac{13}{30}$

Ответ: $-\frac{13}{30}$

г) $-4,75 - (-5\frac{1}{2} + 4\frac{1}{4})$

1. Выполним действие в скобках. Удобно работать с десятичными дробями, так как $4\frac{1}{4} = 4,25$ и $5\frac{1}{2} = 5,5$.

$-5,5 + 4,25 = -1,25$

2. Теперь выполним вычитание:

$-4,75 - (-1,25) = -4,75 + 1,25 = -3,5$

Ответ: $-3,5$

д) $-2\frac{1}{3} + 2\frac{1}{4} + \frac{1}{3}$

1. Сгруппируем слагаемые для удобства вычисления:

$(-2\frac{1}{3} + \frac{1}{3}) + 2\frac{1}{4}$

2. Вычислим значение в скобках:

$-2\frac{1}{3} + \frac{1}{3} = -2$

3. Прибавим оставшееся слагаемое:

$-2 + 2\frac{1}{4} = \frac{1}{4}$

Ответ: $\frac{1}{4}$

е) $\frac{7}{10} - 3 - \frac{2}{5} + \frac{3}{10}$

1. Сгруппируем слагаемые с одинаковыми знаменателями:

$(\frac{7}{10} + \frac{3}{10}) - 3 - \frac{2}{5}$

2. Вычислим сумму в скобках:

$\frac{7}{10} + \frac{3}{10} = \frac{10}{10} = 1$

3. Подставим результат обратно в выражение:

$1 - 3 - \frac{2}{5}$

4. Выполним вычисления по порядку:

$1 - 3 = -2$

$-2 - \frac{2}{5} = -2\frac{2}{5}$

Ответ: $-2\frac{2}{5}$

4.243. Скольким единичным отрезкам равен отрезок MN, если:
а) М(3) и N(7);
б) М(−7) и N(−9);
в) М(−1) и N(8);
г) М(9) и N(−6);
д) М(4,3) и N(−5,5);
е) М(−9,7) и N(−4,4)?

4.243

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathrm{М}(3), \mathrm{N}(7) \\ \mathrm{MN} = |7 – 3 |= |4| = 4 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{б}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathrm{М}(-7), \mathrm{N}(-9) \\ \mathrm{MN} =|-9 –(-7) |= |-9+7| = \\ =|-(9-7)|=|-2|= 2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{в}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathrm{М}(-1), \mathrm{N}(8) \\ \mathrm{MN} =|8 –(-1) |= |8+1| = |9|= 9 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{г}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathrm{М}(9), \mathrm{N}(-6) \\ \mathrm{MN} =|9 –(-6) |= |9+6| = |15|= 15 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{д}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathrm{М}(4,3), \mathrm{N}(-5,5) \\ \mathrm{MN} =|4,3–(-5,5) |= |4,3+5,5| = \\ = |9,8|= 9,8 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{е}\mathbf{)} \mathrm{М}(-9,7), \mathrm{N}(-4,4) \\ \mathrm{MN} =|-9,7 –(-4,4) |= |-9,7+4,4| = \\ =|-(9,7-4,4)|=|5,3|= 5,3 \end{gathered}$$

Для того чтобы найти, скольким единичным отрезкам равен отрезок MN, необходимо найти расстояние между точками M и N на координатной прямой. Расстояние между двумя точками с координатами $x_M$ и $x_N$ вычисляется по формуле, которая представляет собой модуль разности координат этих точек:

$MN = |x_N - x_M|$

а) Даны точки $M(3)$ и $N(7)$.

Найдем длину отрезка MN, используя формулу:

$MN = |7 - 3| = |4| = 4$.

Ответ: 4.

б) Даны точки $M(-7)$ и $N(-9)$.

Найдем длину отрезка MN:

$MN = |-9 - (-7)| = |-9 + 7| = |-2| = 2$.

Ответ: 2.

в) Даны точки $M(-1)$ и $N(8)$.

Найдем длину отрезка MN. В этом случае одна координата отрицательная, а другая положительная:

$MN = |8 - (-1)| = |8 + 1| = |9| = 9$.

Ответ: 9.

г) Даны точки $M(9)$ и $N(-6)$.

Найдем длину отрезка MN:

$MN = |-6 - 9| = |-15| = 15$.

Ответ: 15.

д) Даны точки $M(4,3)$ и $N(-5,5)$.

Координаты точек являются десятичными дробями. Принцип вычисления остается тем же:

$MN = |-5,5 - 4,3| = |-9,8| = 9,8$.

Ответ: 9,8.

е) Даны точки $M(-9,7)$ и $N(-4,4)$.

Найдем длину отрезка MN:

$MN = |-4,4 - (-9,7)| = |-4,4 + 9,7| = |5,3| = 5,3$.

Ответ: 5,3.

4.244. Выполните действие сложения:

а) 5,3 + (–7,8); б) –7,1 + 4,5; в) – 34 + 78; г) 2313 + (– 713); д) – 249 + 79; е) 15 + (–278).

4.244

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} 5,3 + (-7,8) = -(7,8 – 5,3) = -2,5 \\ \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }-7,1 + 4,5 = -(7,1 – 4,5) = -2,6 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)} {-\frac{3}{4}}^{\overline{)·2}} + \frac{7}{8} = -\frac{6}{8} + \frac{7}{8}= \\ = +\left(\frac{7}{8} - \frac{6}{8}\right) = \frac{1}{8} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)} 2\frac{3}{13} + \left(-\frac{7}{13}\right) = +\left(2\frac{3}{13} - \frac{7}{13}\right) = \\ = 1\frac{16}{13} - \frac{7}{13} = 1\frac{9}{13} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{д}\mathbf{)} -2\frac{4}{9} + \frac{7}{9} = -\left(2\frac{4}{9} - \frac{7}{9}\right) = \\ = -\left(1\frac{13}{9} - \frac{7}{9}\right) = -1\frac{6}{9} = -1\frac{2}{3} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{е}\mathbf{)} 15 + (-2\frac{7}{8}) = +(15 – 2\frac{7}{8}) = \\ =14\frac{8}{8} – 2\frac{7}{8}= 12\frac{1}{8} \end{gathered}$$

а) Чтобы сложить два числа с разными знаками, нужно из большего по модулю числа вычесть меньшее и поставить перед результатом знак числа с большим модулем.
$|5,3| = 5,3$; $|-7,8| = 7,8$. Так как $7,8 > 5,3$, результат будет отрицательным.
$5,3 + (-7,8) = -(7,8 - 5,3) = -2,5$.
Ответ: $-2,5$.

б) Складываем два числа с разными знаками. Модуль отрицательного числа больше модуля положительного: $|-7,1| > |4,5|$. Значит, результат будет отрицательным.
$-7,1 + 4,5 = -(7,1 - 4,5) = -2,6$.
Ответ: $-2,6$.

в) Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, сначала приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 4 и 8 — это 8. Домножим числитель и знаменатель первой дроби на 2:
$-\frac{3}{4} + \frac{7}{8} = -\frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{7}{8} = -\frac{6}{8} + \frac{7}{8}$.
Теперь сложим числители:
$\frac{-6 + 7}{8} = \frac{1}{8}$.
Ответ: $\frac{1}{8}$.

г) Для выполнения сложения преобразуем смешанное число $2\frac{3}{13}$ в неправильную дробь:
$2\frac{3}{13} = \frac{2 \cdot 13 + 3}{13} = \frac{29}{13}$.
Теперь выполним сложение дробей с одинаковыми знаменателями:
$\frac{29}{13} + (-\frac{7}{13}) = \frac{29 - 7}{13} = \frac{22}{13}$.
Преобразуем неправильную дробь обратно в смешанное число:
$\frac{22}{13} = 1\frac{9}{13}$.
Ответ: $1\frac{9}{13}$.

д) Сначала преобразуем отрицательное смешанное число $-2\frac{4}{9}$ в неправильную дробь:
$-2\frac{4}{9} = -(\frac{2 \cdot 9 + 4}{9}) = -\frac{22}{9}$.
Выполним сложение дробей:
$-\frac{22}{9} + \frac{7}{9} = \frac{-22 + 7}{9} = -\frac{15}{9}$.
Сократим полученную дробь на 3:
$-\frac{15}{9} = -\frac{5}{3}$.
Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:
$-\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3}$.
Ответ: $-1\frac{2}{3}$.

е) Сложение с отрицательным числом можно заменить вычитанием:
$15 + (-2\frac{7}{8}) = 15 - 2\frac{7}{8}$.
Вычтем из целого числа смешанное. Для этого "займем" единицу у 15 и представим ее в виде дроби со знаменателем 8:
$15 - 2\frac{7}{8} = 14\frac{8}{8} - 2\frac{7}{8}$.
Вычтем отдельно целые и дробные части:
$(14 - 2) + (\frac{8}{8} - \frac{7}{8}) = 12 + \frac{1}{8} = 12\frac{1}{8}$.
Ответ: $12\frac{1}{8}$.

4.245. Вычислите сумму:

а) 4,85 + (–3,21) + 5,46; б) –8,32 + (–5,22) + (–0,45).

4.245

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }4,85 + (-3,21) + 5,46 = (4,85 + 5,46) + \\ + (-3,21) = 10,31 + (-3,21) = \\ = +(10,31 – 3,21) = 7,1 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} -8,32 + (-5,22) + (-0,45) = \\ =-(8,32 + 5,22 + 0,45) = -13,99 \end{gathered}$$

а) $4,85 + (-3,21) + 5,46$

Для вычисления суммы воспользуемся переместительным свойством сложения, чтобы сгруппировать числа с одинаковыми знаками. Сначала сложим положительные числа, а затем к результату прибавим отрицательное число.

1. Сгруппируем положительные числа:

$(4,85 + 5,46) + (-3,21)$

2. Выполним сложение в скобках:

$4,85 + 5,46 = 10,31$

3. Теперь к полученной сумме прибавим отрицательное число. Сложение с отрицательным числом равносильно вычитанию его модуля:

$10,31 + (-3,21) = 10,31 - 3,21 = 7,1$

Ответ: $7,1$

б) $-8,32 + (-5,22) + (-0,45)$

В этом выражении все слагаемые — отрицательные числа. Чтобы найти сумму нескольких отрицательных чисел, нужно сложить их модули (абсолютные величины) и перед полученным результатом поставить знак «минус».

1. Запишем выражение как сумму модулей с общим знаком минус:

$-(8,32 + 5,22 + 0,45)$

2. Выполним сложение модулей в скобках последовательно:

$8,32 + 5,22 = 13,54$

$13,54 + 0,45 = 13,99$

3. Поставим знак «минус» перед результатом:

$-(13,99) = -13,99$

Ответ: $-13,99$

4.246. Назовите число, противоположное числу: –9,3; 49; –1758; 14,63; 1; 0; 0,001.

4.246

-9,3 и 9,3

$\frac{4}{9}$ и $-\frac{4}{9}$

$-17\frac{5}{8}$ и $17\frac{5}{8}$

14,63 и -14,63

1 и -1

0 и 0

0,001 и -0,001

Противоположные числа — это два числа, которые отличаются друг от друга только знаками, а их абсолютные величины (модули) равны. Сумма противоположных чисел всегда равна нулю. Для любого числа $a$ противоположным ему является число $-a$. Чтобы найти число, противоположное данному, нужно изменить его знак.

-9,3
Данное число является отрицательным. Чтобы найти противоположное ему число, мы меняем его знак с «минус» на «плюс».
Противоположное число для $-9,3$ — это $9,3$.
Проверим, что их сумма равна нулю: $-9,3 + 9,3 = 0$.
Ответ: $9,3$

$\frac{4}{9}$
Данное число является положительным. Чтобы найти противоположное ему число, мы ставим перед ним знак «минус».
Противоположное число для $\frac{4}{9}$ — это $-\frac{4}{9}$.
Проверим, что их сумма равна нулю: $\frac{4}{9} + (-\frac{4}{9}) = \frac{4}{9} - \frac{4}{9} = 0$.
Ответ: $-\frac{4}{9}$

$-17\frac{5}{8}$
Данное число является отрицательным. Меняем его знак с «минус» на «плюс».
Противоположное число для $-17\frac{5}{8}$ — это $17\frac{5}{8}$.
Проверим, что их сумма равна нулю: $-17\frac{5}{8} + 17\frac{5}{8} = 0$.
Ответ: $17\frac{5}{8}$

14,63
Данное число является положительным. Ставим перед ним знак «минус».
Противоположное число для $14,63$ — это $-14,63$.
Проверим, что их сумма равна нулю: $14,63 + (-14,63) = 14,63 - 14,63 = 0$.
Ответ: $-14,63$

1
Данное число является положительным. Противоположное ему число будет отрицательным.
Противоположное число для $1$ — это $-1$.
Проверим, что их сумма равна нулю: $1 + (-1) = 1 - 1 = 0$.
Ответ: $-1$

0
Число $0$ является особенным. Оно не является ни положительным, ни отрицательным. Число, противоположное нулю, — это сам нуль.
Противоположное число для $0$ — это $0$.
Проверим: $0 + 0 = 0$.
Ответ: $0$

0,001
Данное число является положительным. Чтобы найти противоположное, ставим перед ним знак «минус».
Противоположное число для $0,001$ — это $-0,001$.
Проверим, что их сумма равна нулю: $0,001 + (-0,001) = 0,001 - 0,001 = 0$.
Ответ: $-0,001$

4.247. Найдите корень уравнения:

а) –х = 4,5; б) –х = – 45; в) –у = –3,8 + 5; г) –у = –857 + 727; д) –z = 22 + (−23,4); е) –z = –72 + (–973).

4.247

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)}\mathbf{ }–\mathrm{х} = 4,5; \\ \mathrm{х} = -4,5; \\ \mathrm{Ответ}: -4,5. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{б}\mathbf{)}\mathbf{ }–\mathrm{х} = -\frac{4}{5}; \\ \mathrm{х} = \frac{4}{5}. \\ \mathrm{Ответ}: \frac{4}{5}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{в}\mathbf{)}\mathbf{ }–\mathrm{у} = -3,8 + 5; \\ -\mathrm{у} = +(5 – 3,8); \\ -\mathrm{у} = 1,2; \\ \mathrm{у} = -1,2. \\ \mathrm{Ответ}: -1,2. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }-у = -8\frac{5}{7} + 7\frac{2}{7}; \\ - у = - \left(8\frac{5}{7} - 7\frac{2}{7}\right); \\ - у = - 1\frac{3}{7}; \\ у = 1\frac{3}{7}. \\ \mathrm{Ответ}: 1\frac{3}{7}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{д}\mathbf{)}\mathbf{ }–\mathrm{z} = 22 + (-23,4); \\ -\mathrm{z} = -(23,4 – 22); \\ -\mathrm{z} = -1,4; \\ \mathrm{z} = 1,4. \\ \mathrm{Ответ}: 1,4. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{е}\mathbf{)} –\mathrm{z} = -72 + \left(-9\frac{7}{3}\right); \\ –\mathrm{z} = -\left(72 + 9\frac{7}{3}\right); \\ -\mathrm{z} = -81\frac{7}{3}; \\ \mathrm{z} = 83\frac{1}{3}. \\ \mathrm{Ответ}: 83\frac{1}{3}. \end{gathered}$$

а) Дано уравнение: $-x = 4,5$.

Чтобы найти корень уравнения, необходимо найти значение $x$. Для этого умножим обе части уравнения на $-1$.

$(-1) \cdot (-x) = 4,5 \cdot (-1)$

$x = -4,5$

Ответ: $-4,5$.

б) Дано уравнение: $-x = -\frac{4}{5}$.

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на $-1$.

$(-1) \cdot (-x) = (-\frac{4}{5}) \cdot (-1)$

$x = \frac{4}{5}$

Ответ: $\frac{4}{5}$.

в) Дано уравнение: $-y = -3,8 + 5$.

Сначала вычислим значение выражения в правой части уравнения.

$-3,8 + 5 = 5 - 3,8 = 1,2$

Теперь уравнение имеет вид: $-y = 1,2$.

Чтобы найти $y$, умножим обе части на $-1$.

$y = -1,2$

Ответ: $-1,2$.

г) Дано уравнение: $-y = -8\frac{5}{7} + 7\frac{2}{7}$.

Вычислим значение в правой части. Мы складываем числа с разными знаками. Модуль отрицательного числа $|-8\frac{5}{7}| = 8\frac{5}{7}$ больше модуля положительного числа $|7\frac{2}{7}| = 7\frac{2}{7}$, поэтому результат будет отрицательным. Найдем разность их модулей.

$8\frac{5}{7} - 7\frac{2}{7} = (8-7) + (\frac{5}{7} - \frac{2}{7}) = 1 + \frac{3}{7} = 1\frac{3}{7}$

Таким образом, правая часть равна $-1\frac{3}{7}$.

Уравнение принимает вид: $-y = -1\frac{3}{7}$.

Умножим обе части на $-1$, чтобы найти $y$.

$y = 1\frac{3}{7}$

Ответ: $1\frac{3}{7}$.

д) Дано уравнение: $-z = 22 + (-23,4)$.

Вычислим значение в правой части уравнения.

$22 + (-23,4) = 22 - 23,4 = -1,4$

Получаем уравнение: $-z = -1,4$.

Умножим обе части на $-1$.

$z = 1,4$

Ответ: $1,4$.

е) Дано уравнение: $-z = -72 + (-9\frac{7}{3})$.

Сначала упростим смешанное число $(-9\frac{7}{3})$. Его дробная часть $\frac{7}{3}$ является неправильной дробью. Выделим из нее целую часть.

$\frac{7}{3} = \frac{6+1}{3} = \frac{6}{3} + \frac{1}{3} = 2 + \frac{1}{3} = 2\frac{1}{3}$

Тогда всё слагаемое равно: $9\frac{7}{3} = 9 + \frac{7}{3} = 9 + 2\frac{1}{3} = 11\frac{1}{3}$.

Теперь вычислим правую часть исходного уравнения:

$-72 + (-11\frac{1}{3}) = -72 - 11\frac{1}{3} = -(72+11\frac{1}{3}) = -83\frac{1}{3}$

Получаем уравнение: $-z = -83\frac{1}{3}$.

Умножим обе части на $-1$, чтобы найти $z$.

$z = 83\frac{1}{3}$

Ответ: $83\frac{1}{3}$.

4.248. Найдите, между какими соседними целыми числами расположено число:

–43; 437; – 523; 4222; –8,3; – 165.

4.248

–44 и –42

4 и 5

0 и 1

–9 и –8

–4 и –3

-43

Число -43 является целым. Вопрос состоит в том, чтобы найти два соседних целых числа, между которыми оно расположено. По определению, число $x$ расположено между числами $a$ и $b$, если выполняется строгое неравенство $a < x < b$. Для целого числа, такого как -43, невозможно найти два соседних целых числа $n$ и $n+1$, для которых выполнялось бы неравенство $n < -43 < n+1$. Таким образом, число -43 не расположено между какими-либо двумя соседними целыми числами.

Ответ: число -43 является целым и не расположено между двумя соседними целыми числами.

$4\frac{3}{7}$

Число $4\frac{3}{7}$ является смешанным числом. Его можно представить в виде суммы целой части 4 и правильной дроби $\frac{3}{7}$. Поскольку дробная часть $\frac{3}{7}$ положительна и меньше единицы ($0 < \frac{3}{7} < 1$), то само число $4\frac{3}{7}$ будет больше 4, но меньше 5. Это можно записать в виде двойного неравенства: $4 < 4\frac{3}{7} < 5$.

Ответ: между 4 и 5.

$-\frac{5}{23}$

Рассмотрим число $-\frac{5}{23}$. Это отрицательная правильная дробь. Сначала оценим положительную дробь $\frac{5}{23}$. Так как числитель 5 меньше знаменателя 23, то $0 < \frac{5}{23} < 1$. Умножив все части этого неравенства на -1, необходимо изменить знаки неравенства на противоположные: $0 > -\frac{5}{23} > -1$. Записав неравенство в порядке возрастания, получим: $-1 < -\frac{5}{23} < 0$.

Ответ: между -1 и 0.

$\frac{4}{222}$

Число $\frac{4}{222}$ — это положительная правильная дробь, так как её числитель 4 положителен и меньше знаменателя 222. Любая положительная правильная дробь больше 0, но меньше 1. Таким образом, для этого числа справедливо неравенство: $0 < \frac{4}{222} < 1$.

Ответ: между 0 и 1.

-8,3

Рассмотрим отрицательное десятичное число -8.3. Это число меньше, чем -8, но больше, чем -9. Таким образом, оно расположено на числовой оси между этими двумя целыми числами. Это можно записать в виде двойного неравенства: $-9 < -8.3 < -8$.

Ответ: между -9 и -8.

$-\frac{16}{5}$

Чтобы определить положение отрицательной неправильной дроби $-\frac{16}{5}$, преобразуем её в десятичную дробь. Для этого разделим числитель на знаменатель: $16 \div 5 = 3.2$. Значит, $-\frac{16}{5} = -3.2$. Число -3.2 меньше, чем -3, но больше, чем -4. Следовательно, оно расположено между этими двумя соседними целыми числами, что можно записать в виде неравенства: $-4 < -3.2 < -3$.

Ответ: между -4 и -3.

4.249. Запишите множество целых чисел, у которых модули:

а) меньше 5; б) больше 5 и меньше 12.

4.249

а) {-4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4}

б) {-11; -10; -9; -8; -7; -6; 6; 7; 8; 9; 10; 11}

а) Нам нужно найти все целые числа $x$, модуль которых меньше 5. Это условие записывается в виде неравенства: $|x| < 5$.

Модуль числа — это его расстояние от нуля на числовой прямой. Неравенство $|x| < 5$ означает, что искомые числа находятся на расстоянии менее 5 единиц от нуля. Это равносильно двойному неравенству: $-5 < x < 5$.

Целые числа, удовлетворяющие этому неравенству, — это все целые числа между -5 и 5, не включая концы интервала. Перечислим их по порядку:

-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.

Ответ: $\{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}$.

б) Нам нужно найти все целые числа $x$, модуль которых больше 5 и меньше 12. Это условие можно записать в виде двойного неравенства: $5 < |x| < 12$.

Это означает, что модуль искомого числа может быть равен 6, 7, 8, 9, 10 или 11. Так как модуль — это абсолютная величина, для каждого положительного значения существует соответствующее отрицательное. Рассмотрим два случая:

1. Если $x$ — положительное число, то $|x| = x$, и неравенство принимает вид $5 < x < 12$. Целые числа, удовлетворяющие этому условию: 6, 7, 8, 9, 10, 11.

2. Если $x$ — отрицательное число, то $|x| = -x$, и неравенство принимает вид $5 < -x < 12$. Умножив все части на -1, мы должны поменять знаки неравенства на противоположные: $-5 > x > -12$, что то же самое, что и $-12 < x < -5$. Целые числа, удовлетворяющие этому условию: -11, -10, -9, -8, -7, -6.

Объединяя оба набора чисел, получаем искомое множество.

Ответ: $\{-11, -10, -9, -8, -7, -6, 6, 7, 8, 9, 10, 11\}$.

4.250. Найдите значение выражения:

а) −(−9) + 5; б) −((−20) + (−10)).

4.250

а) –(-9) + 5 = 9 + 5 = 14

б) –((-20) + (-10)) = -(-(20 + 10)) = -(-30) = 30

а) Найдем значение выражения $ -(-9) + 5 $.
Первым делом необходимо раскрыть скобки. Знак минус перед скобкой, в которой находится отрицательное число, меняет знак этого числа на противоположный (положительный). Таким образом, $ -(-9) $ превращается в $9$.
$ -(-9) = 9 $
После этого исходное выражение принимает следующий вид:
$ 9 + 5 $
Теперь выполним простое сложение:
$ 9 + 5 = 14 $
Ответ: 14

б) Найдем значение выражения $ -((-20) + (-10)) $.
Согласно порядку действий, сначала выполняем операцию во внутренних скобках, то есть сложение чисел $ -20 $ и $ -10 $.
Сумма двух отрицательных чисел является отрицательным числом, модуль которого равен сумме модулей слагаемых.
$ (-20) + (-10) = -(20 + 10) = -30 $
Теперь подставим результат обратно в исходное выражение:
$ -(-30) $
Как и в пункте а), минус перед скобкой с отрицательным числом меняет его знак на положительный.
$ -(-30) = 30 $
Ответ: 30

4.251. У конуса и цилиндра равные основания и объёмы. Найдите высоту цилиндра, если высота конуса 36 см (рис. 4.45).

4.251

V_ц = S_ц • h_ц

V_к = $\frac{1}{3}$S_к • hк

S_ц • h_ц = $\frac{1}{3}$S_к • h_к

h_ц = $\frac{1}{3}$ h_к

$\frac{1}{3}$ • 36 = 12 (см) – высота цилиндра.

Ответ: 12 см.

Пусть $V_{к}$ и $h_{к}$ — объём и высота конуса, а $V_{ц}$ и $h_{ц}$ — объём и высота цилиндра. По условию задачи, у конуса и цилиндра равные основания. Это значит, что площади их оснований, которые мы обозначим как $S_{осн}$, равны. Также по условию равны их объёмы ($V_{к} = V_{ц}$) и известна высота конуса ($h_{к} = 36$ см). Наша цель — найти высоту цилиндра $h_{ц}$.

Объём конуса вычисляется по формуле:
$V_{к} = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h_{к}$

Объём цилиндра вычисляется по формуле:
$V_{ц} = S_{осн} \cdot h_{ц}$

Поскольку объёмы фигур равны ($V_{к} = V_{ц}$), мы можем приравнять правые части этих формул:
$\frac{1}{3} S_{осн} \cdot h_{к} = S_{осн} \cdot h_{ц}$

Так как площадь основания $S_{осн}$ является общим множителем и не равна нулю, мы можем разделить обе части равенства на $S_{осн}$:
$\frac{1}{3} h_{к} = h_{ц}$

Теперь мы можем найти высоту цилиндра $h_{ц}$, подставив в полученное соотношение известное значение высоты конуса $h_{к} = 36$ см:
$h_{ц} = \frac{1}{3} \cdot 36$
$h_{ц} = 12$ см

Ответ: 12 см.