Страница 44, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

Вопросы:

Какие натуральные числа называют простыми; составными?

Какое простое число наименьшее?

Какое натуральное число не является ни простым, ни составным?

Назовите простые числа, меньшие 20.

Что называют разложением числа на простые множители?

Все ли составные числа можно разложить на простые множители?

6. Разложение числа на простые множители

Вопросы к параграфу

• натуральное число называют простым, если оно имеет только два делителя: единицу и само это число; натуральное число, которое имеет более двух делителей, называют составным

• 2 – наименьшее простое число

• число 1 не является ни простым, ни составным

• 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19

• Представление числа в виде произведения его простых делителей называют разложением числа на простые множители.

• Любое составное число можно разложить на простые множители.

Какие натуральные числа называют простыми; составными?
Простыми называют натуральные числа, которые больше 1 и имеют только два делителя: единицу и само себя. Например, числа 2, 3, 5, 7, 11 являются простыми, так как делятся без остатка только на 1 и на самих себя.
Составными называют натуральные числа, которые больше 1 и имеют более двух делителей. Иными словами, это натуральные числа (кроме 1), не являющиеся простыми. Например, число 6 является составным, так как у него есть делители 1, 2, 3, 6. Число 9 также составное, его делители — 1, 3, 9.
Ответ: Простые числа — это натуральные числа больше 1, имеющие ровно два делителя (1 и само себя). Составные числа — это натуральные числа больше 1, имеющие более двух делителей.

Какое простое число наименьшее?
Чтобы найти наименьшее простое число, рассмотрим натуральные числа по порядку. Число 1 не является ни простым, ни составным. Следующее натуральное число — 2. Его делителями являются только 1 и 2. Следовательно, число 2 удовлетворяет определению простого числа и является наименьшим из них.
Ответ: 2.

Какое натуральное число не является ни простым, ни составным?
По определению, простые и составные числа — это натуральные числа, которые больше единицы. Единственное натуральное число, которое не подпадает под эти категории, — это 1. У числа 1 только один делитель — оно само, в то время как для простого числа требуется два делителя, а для составного — более двух.
Ответ: 1.

Назовите простые числа, меньшие 20.
Простые числа — это числа, которые делятся только на 1 и на самих себя. Перечислим натуральные числа до 20 и выберем из них простые: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19. Числа 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18 являются составными, а 1 не относится ни к простым, ни к составным.
Ответ: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.

Что называют разложением числа на простые множители?
Разложением натурального числа на простые множители называется его представление в виде произведения простых чисел. Каждый множитель в этом произведении является простым числом. Например, разложением числа 30 на простые множители будет произведение $30 = 2 \times 3 \times 5$. Для числа 72 разложение выглядит так: $72 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 2^3 \times 3^2$.
Ответ: Представление числа в виде произведения его простых делителей.

Все ли составные числа можно разложить на простые множители?
Да, абсолютно все составные числа можно разложить на простые множители. Это утверждение является следствием основной теоремы арифметики, которая гласит, что любое натуральное число больше 1 либо является простым, либо может быть представлено в виде произведения простых чисел, причём такое представление единственно с точностью до порядка следования множителей. Поскольку составные числа по определению не являются простыми и больше 1, они всегда могут быть разложены на простые множители.
Ответ: Да, все.

4.211. Выполните сложение:

а) –26 + (–17); б) –4,8 + (–5,7); в) –334 + (–417); г) – 59 + (– 13); д) –0,75 + (– 14); е) –1 + (– 111); ж) –0,4 + (– 130); з) 913 + 2 + (– 913); и) – 26 + (– 201719).

4.211

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }-26 + (-17) = -(26 + 17) = -43 \\ \mathit{б}\mathbf{)} -4,8 + (-5,7) = -(4,8 + 5,7) = -10,5 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)} -3\frac{4}{7} + \left(-4\frac{1}{7}\right) = -\left(3\frac{4}{7} + 4\frac{1}{7}\right)= \\ = -7\frac{5}{7} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }-\frac{5}{9} + \left(-\frac{1}{3}\right)= - \left(\frac{5}{9} + {\frac{1}{3}}^{\overline{)·3}}\right) = \\ =- \left(\frac{5}{9} + \frac{3}{9}\right) = - \frac{8}{9} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{д}\mathbf{)} -0,75 + (-\frac{1}{4}) = -0,75 + (-0,25) = \\ = -(0,75 + 0,25) = -1 \\ \mathit{е}\mathbf{)} -1 + (-\frac{1}{11}) = -(1 +\frac{1}{11}) = -1\frac{1}{11} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{ж}\mathbf{)}\mathbf{ }-0,4 + \left(-\frac{1}{30}\right) = -\frac{4}{10} + \left(-\frac{1}{30}\right)= \\ = - \left({\frac{4}{10}}^{\overline{)·3}} + \frac{1}{30}\right) = -\left(\frac{12}{30} + \frac{1}{30}\right) = -\frac{13}{30} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{з}\mathbf{)} \frac{9}{13} + 2 + \left(-\frac{9}{13}\right) = \left(\frac{9}{13} + \left(-\frac{9}{13}\right)\right) + 2= \\ = 0 + 2 = 2 \end{gathered}$$

$\mathit{и}\mathbf{)} -26 + \left(-20\frac{17}{19}\right) = -\left(26 +20\frac{17}{19} \right) = -46\frac{17}{19}$

а) $-26 + (-17)$

Чтобы сложить два отрицательных числа, нужно сложить их модули (абсолютные величины) и перед полученным результатом поставить знак минус. Это правило сложения чисел с одинаковыми знаками.

$-26 + (-17) = -(26 + 17) = -43$

Ответ: $-43$

б) $-4,8 + (-5,7)$

Сложение двух отрицательных десятичных дробей выполняется по тому же правилу: складываем их модули и ставим знак минус.

$-4,8 + (-5,7) = -(4,8 + 5,7) = -10,5$

Ответ: $-10,5$

в) $-3\frac{4}{7} + (-4\frac{1}{7})$

При сложении двух отрицательных смешанных чисел мы складываем их модули. Для этого отдельно складываем целые части и отдельно дробные части, а затем ставим знак минус перед результатом.

$-3\frac{4}{7} + (-4\frac{1}{7}) = -(3\frac{4}{7} + 4\frac{1}{7}) = -((3+4) + (\frac{4}{7} + \frac{1}{7})) = -(7 + \frac{5}{7}) = -7\frac{5}{7}$

Ответ: $-7\frac{5}{7}$

г) $-\frac{5}{9} + (-\frac{1}{3})$

Для сложения двух отрицательных обыкновенных дробей, сначала приводим их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 9 и 3 это 9. Домножим вторую дробь на 3.

$-\frac{1}{3} = -\frac{1 \cdot 3}{3 \cdot 3} = -\frac{3}{9}$

Теперь складываем дроби с одинаковыми знаменателями:

$-\frac{5}{9} + (-\frac{3}{9}) = -(\frac{5}{9} + \frac{3}{9}) = -\frac{5+3}{9} = -\frac{8}{9}$

Ответ: $-\frac{8}{9}$

д) $-0,75 + (-\frac{1}{4})$

Здесь можно либо преобразовать обыкновенную дробь в десятичную, либо десятичную в обыкновенную. Преобразуем дробь $-\frac{1}{4}$ в десятичную:

$-\frac{1}{4} = -0,25$

Теперь сложим десятичные дроби:

$-0,75 + (-0,25) = -(0,75 + 0,25) = -1$

Ответ: $-1$

е) $-1 + (-\frac{1}{11})$

Складываем отрицательное целое число и отрицательную дробь. Результатом будет отрицательное смешанное число.

$-1 + (-\frac{1}{11}) = -(1 + \frac{1}{11}) = -1\frac{1}{11}$

Также можно представить $-1$ как дробь со знаменателем 11:

$-1 = -\frac{11}{11}$

$-\frac{11}{11} + (-\frac{1}{11}) = -\frac{11+1}{11} = -\frac{12}{11} = -1\frac{1}{11}$

Ответ: $-1\frac{1}{11}$

ж) $-0,4 + (-\frac{1}{30})$

Для сложения преобразуем десятичную дробь $-0,4$ в обыкновенную.

$-0,4 = -\frac{4}{10} = -\frac{2}{5}$

Теперь приведем дроби $-\frac{2}{5}$ и $-\frac{1}{30}$ к общему знаменателю 30.

$-\frac{2}{5} = -\frac{2 \cdot 6}{5 \cdot 6} = -\frac{12}{30}$

Выполним сложение:

$-\frac{12}{30} + (-\frac{1}{30}) = -(\frac{12}{30} + \frac{1}{30}) = -\frac{12+1}{30} = -\frac{13}{30}$

Ответ: $-\frac{13}{30}$

з) $\frac{9}{13} + 2 + (-\frac{9}{13})$

В данном выражении присутствуют два противоположных числа: $\frac{9}{13}$ и $-\frac{9}{13}$. Сумма противоположных чисел равна нулю. Используем переместительное свойство сложения, чтобы упростить вычисление.

$(\frac{9}{13} + (-\frac{9}{13})) + 2 = 0 + 2 = 2$

Ответ: $2$

и) $-26 + (-20\frac{17}{19})$

Складываем отрицательное целое число и отрицательное смешанное число. Складываем их модули и ставим знак минус.

$-26 + (-20\frac{17}{19}) = -(26 + 20\frac{17}{19})$

Складываем целые части: $26 + 20 = 46$. Дробная часть $\frac{17}{19}$ остается без изменений.

$-(46 + \frac{17}{19}) = -46\frac{17}{19}$

Ответ: $-46\frac{17}{19}$

4.212. Выполните действие сложения:

а) –2,4 + (–2,1 + (–2,3));

б) (– 459 + (– 3518)) + (– 412).

4.212

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }-2,4 + (-2,1 + (-2,3)) = -2,4 + (-(2,1 + 2,3)) = \\ = -2,4 + (-4,4) = -(2,4 + 4,4) = -6,8 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} \left(-4\frac{5}{9} + \left(-3\frac{5}{18}\right)\right) + \left(-4\frac{1}{2}\right) = \\ = \left(-\left({4\frac{5}{9}}^{\overline{)·2}} +3\frac{5}{18} \right)\right) + \left(-{4\frac{1}{2}}^{\overline{)·9}}\right) = \\ = \left(-\left(4\frac{10}{18} +3\frac{5}{18} \right)\right) + \left(-4\frac{9}{18}\right)= \\ = -7\frac{15}{18} + \left(-4\frac{9}{18}\right)=-\left(7\frac{15}{18} + 4\frac{9}{18}\right) = \\ = -11\frac{24}{18} = -12\frac{6}{18} = -12\frac{1}{3} \end{gathered}$$

а) $-2,4 + (-2,1 + (-2,3))$

Для решения данного примера необходимо следовать порядку выполнения действий, который определяется скобками.

1. Первым действием выполним сложение чисел в скобках: $-2,1 + (-2,3)$. Так как оба числа отрицательные, мы складываем их модули (абсолютные значения) и ставим перед результатом знак минус.

$2,1 + 2,3 = 4,4$

Соответственно, $-2,1 + (-2,3) = -4,4$.

2. Теперь подставим результат первого действия в исходное выражение:

$-2,4 + (-4,4)$

3. Выполним второе действие. Мы снова складываем два отрицательных числа. Складываем их модули и ставим знак минус.

$2,4 + 4,4 = 6,8$

Таким образом, $-2,4 + (-4,4) = -6,8$.

Ответ: $-6,8$

б) $(-4\frac{5}{9} + (-3\frac{5}{18})) + (-4\frac{1}{2})$

Решение этого примера также выполняется по действиям в соответствии со скобками.

1. Выполним сложение в первых скобках: $-4\frac{5}{9} + (-3\frac{5}{18})$. Это сложение двух отрицательных смешанных чисел. Можно сложить их целые и дробные части по отдельности, а затем сложить результаты.

Складываем целые части: $-4 + (-3) = -7$.

Складываем дробные части: $\frac{5}{9} + \frac{5}{18}$. Для этого необходимо привести дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 9 и 18 равен 18.

$\frac{5}{9} = \frac{5 \cdot 2}{9 \cdot 2} = \frac{10}{18}$

Теперь сложим дроби: $\frac{10}{18} + \frac{5}{18} = \frac{10+5}{18} = \frac{15}{18}$.

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 3: $\frac{15 \div 3}{18 \div 3} = \frac{5}{6}$.

Результат первого действия: $-7$ (сумма целых частей) и $-\frac{5}{6}$ (сумма дробных частей), что вместе дает $-7\frac{5}{6}$.

2. Теперь выполним второе действие: к полученному результату прибавим третье число.

$-7\frac{5}{6} + (-4\frac{1}{2})$

Снова складываем два отрицательных смешанных числа.

Складываем целые части: $-7 + (-4) = -11$.

Складываем дробные части: $\frac{5}{6} + \frac{1}{2}$. Общий знаменатель — 6.

$\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{3}{6}$

Теперь сложим дроби: $\frac{5}{6} + \frac{3}{6} = \frac{8}{6}$.

Дробь $\frac{8}{6}$ является неправильной. Выделим из нее целую часть: $\frac{8}{6} = 1\frac{2}{6}$. Сократим дробную часть: $1\frac{2 \div 2}{6 \div 2} = 1\frac{1}{3}$.

3. Сложим полученные результаты: сумму целых частей и сумму дробных частей.

$-11 + (-1\frac{1}{3}) = -(11 + 1\frac{1}{3}) = -12\frac{1}{3}$.

Ответ: $-12\frac{1}{3}$

4.213. Запишите множество целых чисел, расположенных между числами:

а) 6 и 21; б) –18 и –9; в) –14 и 2.

4.213

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }\left\{7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20\right\} \\ \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }\left\{-17,-16,-15,-14,-13,-12,-11,-10\right\} \\ \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }\left\{-13,-12,-11,-10,-9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1, 0, 1\right\} \end{gathered}$$

а) Чтобы найти множество целых чисел, расположенных между 6 и 21, необходимо определить все целые числа $x$, которые удовлетворяют двойному неравенству $6 < x < 21$. Это означает, что мы ищем все целые числа, которые строго больше 6 и строго меньше 21.
Граничные числа 6 и 21 в искомое множество не входят.
Перечислим все целые числа, удовлетворяющие этому условию, в порядке возрастания: 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20.
Запишем эти числа в виде множества.
Ответ: $\{7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20\}$.

б) Множество целых чисел, расположенных между -18 и -9, — это все целые числа $x$, для которых выполняется неравенство $-18 < x < -9$.
На числовой оси это числа, которые находятся правее -18 и левее -9.
Граничные числа -18 и -9 в искомое множество не входят.
Перечислим эти числа в порядке возрастания: -17, -16, -15, -14, -13, -12, -11, -10.
Запишем итоговое множество.
Ответ: $\{-17, -16, -15, -14, -13, -12, -11, -10\}$.

в) Множество целых чисел, расположенных между -14 и 2, — это все целые числа $x$, удовлетворяющие неравенству $-14 < x < 2$.
Эти числа должны быть строго больше -14 и строго меньше 2. В данное множество входят отрицательные числа, ноль и положительные числа.
Граничные числа -14 и 2 в искомое множество не входят.
Перечислим их по порядку: -13, -12, -11, -10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1.
Запишем множество.
Ответ: $\{-13, -12, -11, -10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1\}$.

4.214. Число –20 представьте в виде суммы двух отрицательных чисел так, чтобы:
а) оба числа были целыми числами;
б) одно из чисел было правильной обыкновенной дробью;
в) оба числа были смешанными числами;
г) оба числа были десятичными дробями.

4.214

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} -20 = -8 + (-12) \\ \mathit{б}\mathbf{)} -20 = -\frac{5}{8} + \left(-19\frac{3}{8}\right) \\ \mathit{в}\mathbf{)} -20 = -4\frac{2}{7} + \left(-15\frac{3}{7} \right) \\ \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }-20 = -12,2 + (-7,8) \end{gathered}$$

Чтобы представить число -20 в виде суммы двух отрицательных чисел $x$ и $y$, необходимо найти такие числа, чтобы выполнялось равенство $x + y = -20$, где $x < 0$ и $y < 0$. Для этого можно выбрать одно произвольное отрицательное число $x$, удовлетворяющее условию, и затем найти второе число $y$ по формуле $y = -20 - x$.

Выберем в качестве первого слагаемого произвольное отрицательное целое число, например, $-5$. Тогда второе слагаемое будет равно: $y = -20 - (-5) = -20 + 5 = -15$. Оба числа, $-5$ и $-15$, являются отрицательными и целыми. Проверим их сумму: $(-5) + (-15) = -20$. Условие выполнено.

Ответ: $-20 = (-5) + (-15)$

Выберем в качестве одного из слагаемых отрицательную правильную обыкновенную дробь. Правильная дробь — это дробь, у которой модуль числителя меньше модуля знаменателя. Возьмем, к примеру, число $-\frac{2}{5}$. Найдем второе слагаемое: $y = -20 - (-\frac{2}{5}) = -20 + \frac{2}{5} = -19\frac{5}{5} + \frac{2}{5} = -19\frac{3}{5}$. Одно число является отрицательной правильной дробью ($-\frac{2}{5}$), а второе — отрицательным смешанным числом ($-19\frac{3}{5}$). Оба числа отрицательные. Проверим их сумму: $(-\frac{2}{5}) + (-19\frac{3}{5}) = -(\frac{2}{5} + 19\frac{3}{5}) = -(19 + \frac{2+3}{5}) = -(19+1) = -20$. Условие выполнено.

Ответ: $-20 = (-\frac{2}{5}) + (-19\frac{3}{5})$

Выберем в качестве первого слагаемого произвольное отрицательное смешанное число, например, $-10\frac{1}{2}$. Найдем второе слагаемое: $y = -20 - (-10\frac{1}{2}) = -20 + 10\frac{1}{2} = -9\frac{1}{2}$. Оба числа, $-10\frac{1}{2}$ и $-9\frac{1}{2}$, являются отрицательными смешанными числами. Проверим их сумму: $(-10\frac{1}{2}) + (-9\frac{1}{2}) = -(10\frac{1}{2} + 9\frac{1}{2}) = -((10+9) + (\frac{1}{2}+\frac{1}{2})) = -(19+1) = -20$. Условие выполнено.

Ответ: $-20 = (-10\frac{1}{2}) + (-9\frac{1}{2})$

Выберем в качестве первого слагаемого произвольную отрицательную десятичную дробь, например, $-8.7$. Найдем второе слагаемое: $y = -20 - (-8.7) = -20 + 8.7 = -11.3$. Оба числа, $-8.7$ и $-11.3$, являются отрицательными десятичными дробями. Проверим их сумму: $(-8.7) + (-11.3) = -20$. Условие выполнено.

Ответ: $-20 = (-8.7) + (-11.3)$

4.215. Найдите расстояние между точками М и N координатной прямой:

а) М(0) и N(a); б) М(–a) и N(a) в) М(–a) и N(0); г) М(а)и N(–3a).

4.215

а) М(0), N(a)
MN = |a - 0| = |a|

б) М(-a), N(a)
MN = |a – (-а)| = |a + а| = |2a|

в) М(-a), N(0)
MN = |0 - a| = |- a| = | a|

г) М(a), N(-3a)
MN = |-3a - а| = |-4a|

Для нахождения расстояния между двумя точками на координатной прямой, например, с координатами $x_1$ и $x_2$, используется формула: $d = |x_2 - x_1|$. Расстояние всегда является неотрицательной величиной, поэтому вычисляется модуль разности координат.

а) Для точек $M(0)$ и $N(a)$:
Расстояние $MN = |a - 0| = |a|$.
Ответ: $|a|$.

б) Для точек $M(-a)$ и $N(a)$:
Расстояние $MN = |a - (-a)| = |a + a| = |2a|$.
Ответ: $|2a|$.

в) Для точек $M(-a)$ и $N(0)$:
Расстояние $MN = |0 - (-a)| = |0 + a| = |a|$.
Ответ: $|a|$.

г) Для точек $M(a)$ и $N(-3a)$:
Расстояние $MN = |-3a - a| = |-4a|$.
Используя свойство модуля $|k \cdot x| = |k| \cdot |x|$, получаем: $|-4a| = |-4| \cdot |a| = 4|a|$.
Ответ: $4|a|$.

4.216. Москва расположена на параллели 56° с. ш., а Севастополь – на параллели 44° с. ш. (рис. 4.44). На сколько параллель Севастополя длиннее параллели Москвы, если их радиусы соответственно равны 4800 км и 3720 км?

4.216

r_M = 3720 км, r_c = 4800 км, π≈3,14, С = 2πr

C_M = 2 • 3,14 • 3720 = 23361,6 км – длина параллели Москвы;

C_С = 2 • 3,14 • 4800 = 30144 км – длина параллели Севастополя;

30144 – 23361,6 = 6782,4 км – длиннее параллель Севастополя

Ответ: на 6782,4 км

Для решения этой задачи необходимо вычислить длину каждой параллели, которая является длиной окружности, а затем найти разницу между этими длинами. В условии указаны широты (56° с. ш. для Москвы и 44° с. ш. для Севастополя), но так как радиусы параллелей уже даны, использовать широты для вычислений не требуется.

Длина окружности (L) вычисляется по формуле $L = 2\pi r$, где $r$ – это радиус окружности.

Сначала найдем длину параллели, на которой расположен Севастополь. Радиус этой параллели, согласно условию, составляет $r_{Сев} = 4800$ км. Длина параллели Севастополя равна:

$L_{Сев} = 2 \pi r_{Сев} = 2 \pi \cdot 4800 = 9600\pi$ км.

Теперь найдем длину параллели, на которой расположена Москва. Радиус этой параллели равен $r_{Мос} = 3720$ км. Длина параллели Москвы равна:

$L_{Мос} = 2 \pi r_{Мос} = 2 \pi \cdot 3720 = 7440\pi$ км.

Чтобы определить, на сколько параллель Севастополя длиннее параллели Москвы, вычтем из длины севастопольской параллели длину московской:

$\Delta L = L_{Сев} - L_{Мос} = 9600\pi - 7440\pi = (9600 - 7440)\pi = 2160\pi$ км.

Таким образом, разница в длине составляет $2160\pi$ км. Если подставить примерное значение $\pi \approx 3,14$, то получим:

$2160 \cdot 3,14 = 6782,4$ км.

Ответ: Параллель Севастополя длиннее параллели Москвы на $2160\pi$ км (что составляет примерно 6782,4 км).

4.217. Составьте уравнение для решения задачи: «Кабель длиной 40,4 м разделили на два куска. Найдите длину каждого куска, если известно, что один из кусков:
а) на 0,9 м длиннее другого;
б) на 0,3 м короче другого;
в) в 4 раза длиннее другого;
г) в 2,5 раза короче другого;
д) составляет $\frac{3}{4}$ другого;
е) составляет 0,9 другого;
ж) составляет 70 % другого;
з) составляет 230 % другого».

4.217

Длина кабеля – 40,4 м.

а) х м – длина первого куска,
(х + 0,9) м – длина второго куска
х + х + 0,9 = 40,4;
2х + 0,9 = 40,4;
2х = 40,4 – 0,9;
2х = 39,5;
х = 39,5 : 2;
х = 19,75 м – длина первого куска;
19,75 + 0,9 = 20,65 м – длина второго куска

б) х м – длина первого куска,,
(х – 0,3) м – длина второго куска
х + х – 0,3 = 40,4;
2х – 0,3 = 40,4;
2х = 40,4 + 0,3;
2х = 40,7;
х = 40,7 : 2;
х = 20,35 м – длина первого куска;
20,35 – 0,3 = 20,05 м – длина второго куска.

в) х м – длина первого куска,,
4х м – длина второго куска
х + 4х = 40,4;
5х = 40,4;
х = 40,4 : 5;
х = 8,08 м – длина первого куска;
8,08 • 4 = 32,32 м – длина второго куска

г) х м – длина меньшего куска,

2,5х м – длина большего куска
х + 2,5х = 40,4;
3,5 х = 40,4;
х = 40,4 : 3,5;
х = $\frac{404}{35} = 11\frac{19}{35}$ м – длина первого куска;
$\frac{{\displaystyle \stackrel{202}{\bcancel{404}}}}{{\displaystyle \underset{7}{\cancel{35}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{5}{\cancel{25}}}}{{\displaystyle \underset{5}{\bcancel{10}}}} = \frac{202}{7} · \frac{\cancel{5}}{\cancel{5}} = \frac{202}{7} = 28\frac{6}{7}$м – длина второго куска.

д) х м – длина первого куска,,
$\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{4}}$х м – длина второго куска

$$\begin{gathered} х + \frac{3}{4} х = 40,4; \\ 1\frac{3}{4} = 40,4; \\ х = \frac{40,4}{1,75}; \\ х = \frac{{\displaystyle \stackrel{808}{\cancel{4040}}}}{{\displaystyle \underset{35}{\cancel{175}}}}; \end{gathered}$$
$х = \frac{808}{35} = 23\frac{3}{25}$м – длина первого куска;
$\frac{{\displaystyle \stackrel{202}{\cancel{808}}}}{35} · \frac{3}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{4}}}} = \frac{202}{35} · \frac{3}{1} = \frac{606}{35} = 17\frac{11}{35}$ м – длина второго куска.

е) х м – длина первого куска,,
0,9х м – длина второго куска

$$\begin{gathered} х + 0,9х = 40,4; \\ 1,9 х = 40,4; \\ х = \frac{40,4}{1,9}; \\ х = \frac{404}{19}; \end{gathered}$$

$= 21\frac{5}{19}$ м – длина первого куска;

$\frac{404}{19} · 0,9 = \frac{{\displaystyle \stackrel{202}{\cancel{404}}}}{19} · \frac{9}{{\displaystyle \underset{5}{\cancel{10}}}} = \frac{202}{19} · \frac{9}{5} =$

$= \frac{1818}{95} = 19\frac{13}{95}$ м – длина второго куска.

ж) х м – длина одного куска,

0,7х м – длина второго куска

$$\begin{gathered} х + 0,7х = 40,4; \\ 1,7 х = 40,4; \\ х = \frac{40,4}{1,7}; \\ х = \frac{404}{17}; \end{gathered}$$

$х = 23\frac{13}{17}$м – длина первого куска;

$\frac{{\displaystyle \stackrel{202}{\cancel{404}}}}{17} · \frac{7}{{\displaystyle \underset{5}{\cancel{10}}}} = \frac{202}{17} · \frac{7}{5} = \frac{1414}{85} = 16\frac{54}{85}$м – длина второго куска.

з) х м – длина одного куска,
2,3х м – длина второго куска

$$\begin{gathered} х + 2,3х = 40,4 \\ 3,3х = 40,4; \\ х = \frac{40,4}{3,3}; \\ х = \frac{404}{33}; \end{gathered}$$

$х = 12\frac{8}{33}$ м – длина первого куска;

$\frac{{\displaystyle \stackrel{202}{\cancel{404}}}}{33} · \frac{23}{{\displaystyle \underset{5}{\cancel{10}}}} = \frac{202}{33} · \frac{23}{5} = \frac{4646}{165} = 28\frac{36}{85}$ м – длина второго куска.

Общая длина кабеля составляет 40,4 м. Пусть длины двух кусков кабеля равны $x$ и $y$. Тогда для всех подзадач справедливо основное уравнение: $x + y = 40.4$.

а) на 0,9 м длиннее другого;

Пусть длина меньшего куска кабеля равна $x$ м. Тогда длина большего куска равна $(x + 0.9)$ м. Сумма их длин равна общей длине кабеля.

Составим и решим уравнение:

$x + (x + 0.9) = 40.4$

$2x + 0.9 = 40.4$

$2x = 40.4 - 0.9$

$2x = 39.5$

$x = 39.5 / 2$

$x = 19.75$

Длина меньшего куска равна 19,75 м. Длина большего куска: $19.75 + 0.9 = 20.65$ м.

Ответ: длины кусков кабеля равны 19,75 м и 20,65 м.

б) на 0,3 м короче другого;

Пусть длина меньшего куска кабеля равна $x$ м. Тогда длина большего куска равна $(x + 0.3)$ м. Сумма их длин равна общей длине кабеля.

Составим и решим уравнение:

$x + (x + 0.3) = 40.4$

$2x + 0.3 = 40.4$

$2x = 40.4 - 0.3$

$2x = 40.1$

$x = 40.1 / 2$

$x = 20.05$

Длина меньшего куска равна 20,05 м. Длина большего куска: $20.05 + 0.3 = 20.35$ м.

Ответ: длины кусков кабеля равны 20,05 м и 20,35 м.

в) в 4 раза длиннее другого;

Пусть длина меньшего куска кабеля равна $x$ м. Тогда длина большего куска равна $4x$ м. Сумма их длин равна общей длине кабеля.

Составим и решим уравнение:

$x + 4x = 40.4$

$5x = 40.4$

$x = 40.4 / 5$

$x = 8.08$

Длина меньшего куска равна 8,08 м. Длина большего куска: $4 \cdot 8.08 = 32.32$ м.

Ответ: длины кусков кабеля равны 8,08 м и 32,32 м.

г) в 2,5 раза короче другого;

Пусть длина меньшего куска кабеля равна $x$ м. Тогда длина большего куска равна $2.5x$ м. Сумма их длин равна общей длине кабеля.

Составим и решим уравнение:

$x + 2.5x = 40.4$

$3.5x = 40.4$

$x = \frac{40.4}{3.5} = \frac{404}{35} = 11\frac{19}{35}$

Длина меньшего куска равна $11\frac{19}{35}$ м. Длина большего куска: $2.5 \cdot \frac{404}{35} = \frac{5}{2} \cdot \frac{404}{35} = \frac{1010}{35} = \frac{202}{7} = 28\frac{6}{7}$ м.

Ответ: длины кусков кабеля равны $11\frac{19}{35}$ м и $28\frac{6}{7}$ м.

д) составляет $\frac{3}{4}$ другого;

Пусть длина большего куска кабеля равна $x$ м. Тогда длина меньшего куска составляет $\frac{3}{4}x$ м. Сумма их длин равна общей длине кабеля.

Составим и решим уравнение:

$x + \frac{3}{4}x = 40.4$

$\frac{7}{4}x = 40.4$

$x = \frac{40.4 \cdot 4}{7} = \frac{161.6}{7} = \frac{1616}{70} = \frac{808}{35} = 23\frac{3}{35}$

Длина большего куска равна $23\frac{3}{35}$ м. Длина меньшего куска: $\frac{3}{4} \cdot \frac{808}{35} = \frac{3 \cdot 202}{35} = \frac{606}{35} = 17\frac{11}{35}$ м.

Ответ: длины кусков кабеля равны $17\frac{11}{35}$ м и $23\frac{3}{35}$ м.

е) составляет 0,9 другого;

Пусть длина одного куска кабеля равна $x$ м. Тогда длина другого куска составляет $0.9x$ м. Сумма их длин равна общей длине кабеля.

Составим и решим уравнение:

$x + 0.9x = 40.4$

$1.9x = 40.4$

$x = \frac{40.4}{1.9} = \frac{404}{19} = 21\frac{5}{19}$

Длина одного куска равна $21\frac{5}{19}$ м. Длина другого куска: $0.9 \cdot \frac{404}{19} = \frac{9}{10} \cdot \frac{404}{19} = \frac{1818}{95} = 19\frac{13}{95}$ м.

Ответ: длины кусков кабеля равны $19\frac{13}{95}$ м и $21\frac{5}{19}$ м.

ж) составляет 70 % другого;

Переведем проценты в десятичную дробь: $70\% = 0.7$. Пусть длина одного куска кабеля равна $x$ м. Тогда длина другого куска составляет $0.7x$ м. Сумма их длин равна общей длине кабеля.

Составим и решим уравнение:

$x + 0.7x = 40.4$

$1.7x = 40.4$

$x = \frac{40.4}{1.7} = \frac{404}{17} = 23\frac{13}{17}$

Длина одного куска равна $23\frac{13}{17}$ м. Длина другого куска: $0.7 \cdot \frac{404}{17} = \frac{7}{10} \cdot \frac{404}{17} = \frac{1414}{85} = 16\frac{54}{85}$ м.

Ответ: длины кусков кабеля равны $16\frac{54}{85}$ м и $23\frac{13}{17}$ м.

з) составляет 230 % другого.

Переведем проценты в десятичную дробь: $230\% = 2.3$. Пусть длина одного куска кабеля равна $x$ м. Тогда длина другого куска составляет $2.3x$ м. Сумма их длин равна общей длине кабеля.

Составим и решим уравнение:

$x + 2.3x = 40.4$

$3.3x = 40.4$

$x = \frac{40.4}{3.3} = \frac{404}{33} = 12\frac{8}{33}$

Длина одного куска равна $12\frac{8}{33}$ м. Длина другого куска: $2.3 \cdot \frac{404}{33} = \frac{23}{10} \cdot \frac{404}{33} = \frac{4646}{165} = 28\frac{26}{165}$ м.

Ответ: длины кусков кабеля равны $12\frac{8}{33}$ м и $28\frac{26}{165}$ м.

4.218. а) Путешествие на теплоходе длилось 6 дней. В первый и второй дни путешественники проплыли соответственно 140 км и 120 км, в четвёртый день они проплыли в 3 раза меньше, чем во второй, а в третий и пятый дни они отдыхали. Сколько километров они проплыли в шестой день, если за 6 дней они проплывали в среднем по 70 км в день?

б) Сыровар и две его дочери разместили изготовленные сыры на 5 стеллажах. На каждый стеллаж поставили по 6 ящиков, вмещающих по 20 головок сыра. Сыровар изготовил 300 головок сыра, а младшая дочь – в 5 раз меньше. Сколько головок сыра изготовила старшая дочь?

4.218

а)

Путешествие – 6 дней по 70 км в день.

1) 120 : 3 = 40 (км) – проплыли в четвертый день;

2) 70 • 6 = 420 (км) – всего проплыли;

3) 420 – (140 + 120 + 40) = 120 (км) – проплыли в шестой день

Ответ: 120 км.

б)

5 стеллажей: 6 ящиков по 20 головок сыра.

1) 20 • 6 = 120 (г) – сыра поставили на каждый стеллаж;

2) 120 • 5 = 600 (г) – сыра всего изготовили;

3) 300 : 5 = 60 (г) – сыра изготовила младшая дочь;

4) 600 – (300 + 60) = 600 – 260 = 240 (г) – сыра изготовила старшая дочь.

Ответ: 240 головок сыра.

а)

1. Для начала определим общее расстояние, которое проплыли путешественники за все 6 дней. Поскольку в среднем они проплывали по 70 км в день, общее расстояние составит:

$70 \text{ км/день} \times 6 \text{ дней} = 420 \text{ км}$

2. Далее вычислим расстояние, пройденное в четвертый день. По условию, оно было в 3 раза меньше, чем во второй день (120 км):

$120 \text{ км} \div 3 = 40 \text{ км}$

3. Теперь найдем суммарное расстояние, которое путешественники проплыли за первые пять дней, учитывая, что в третий и пятый дни они отдыхали (проплыли 0 км):

$140 \text{ км (день 1)} + 120 \text{ км (день 2)} + 0 \text{ км (день 3)} + 40 \text{ км (день 4)} + 0 \text{ км (день 5)} = 300 \text{ км}$

4. Наконец, чтобы найти, сколько километров они проплыли в шестой день, вычтем из общего расстояния за 6 дней расстояние, пройденное за первые 5 дней:

$420 \text{ км} - 300 \text{ км} = 120 \text{ км}$

Ответ: в шестой день они проплыли 120 км.

б)

1. Сначала найдем общее количество головок сыра, которое было изготовлено. Для этого перемножим количество стеллажей, количество ящиков на каждом стеллаже и количество головок сыра в каждом ящике:

$5 \text{ стеллажей} \times 6 \text{ ящиков/стеллаж} \times 20 \text{ головок/ящик} = 600 \text{ головок сыра}$

2. Теперь вычислим, сколько головок сыра изготовила младшая дочь. По условию, она изготовила в 5 раз меньше, чем сыровар, который изготовил 300 головок:

$300 \text{ головок} \div 5 = 60 \text{ головок}$

3. Общее количество сыра (600 головок) складывается из сыра, изготовленного сыроваром, младшей дочерью и старшей дочерью. Чтобы найти, сколько сыра изготовила старшая дочь, вычтем из общего количества сыр, сделанный отцом и младшей сестрой:

$600 \text{ головок} - (300 \text{ головок} + 60 \text{ головок}) = 600 - 360 = 240 \text{ головок}$

Ответ: старшая дочь изготовила 240 головок сыра.

4.219. Найдите значение выражения:

1) ((187,86 : 615 – 19,4) · 6,5 + 9,35) · 2212;

2) ((298,08 : 715 – 32,9) · 6,4 + 26,1) · 3235.

4.219

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }((187,86\stackrel{1}{ :} 6\frac{1}{5} \stackrel{2}{–} 19,4)\stackrel{3}{ ·} 6,5 \stackrel{4}{+} 9,35)\stackrel{5}{ ·} 22\frac{1}{2} = 1804,5$

$$\begin{gathered} 187,86 : 6\frac{1}{5} = 187,86 : 6,2 = \\ =1878,6 : 62 = 30,3 \end{gathered}$$	2. 30,3 – 19,4 = 10,9
3.	4.
$$\begin{gathered} 5. 80,2 · 22\frac{1}{2} = 80\frac{2}{10} · 22\frac{1}{2} = \\ = 80 \frac{1}{5} · \frac{45}{2} = \frac{401}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{5}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{9}{\cancel{45}}}}{2} = \\ = \frac{401 · 9}{1 · 2} = \frac{3609}{2} = {1804\frac{1}{2} }^{\overline{)·5}}= 1804,5 \end{gathered}$$

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }((298,08 \stackrel{1}{:} 7\frac{1}{5} \stackrel{2}{–} 32,9) \stackrel{3}{·} 6,4 \stackrel{4}{+} 26,1) \stackrel{5}{·} 32\frac{3}{5} = 2624,3$

$$\begin{gathered} 1. 298,08 :{ 7\frac{1}{5}}^{\overline{)·2}} = 298,08 : 7,2 = \\ = 2980,8 : 72 = 41,4 \end{gathered}$$	2. 41,4 – 32,9 = 8,5
3.	4.
$$\begin{gathered} 5. 80,5 · 32\frac{3}{5} = 80\frac{1}{2} · \frac{163}{5} = \\ = \frac{161}{2} · \frac{163}{5} = \frac{161 · 163}{10} = \frac{26243}{10} = 2624,3. \end{gathered}$$

1) $((187,86 : 6\frac{1}{5} - 19,4) \cdot 6,5 + 9,35) \cdot 22\frac{1}{2}$

Решим выражение по действиям, соблюдая порядок их выполнения. Для удобства вычислений будем преобразовывать смешанные числа в десятичные дроби.

1. Сначала выполним деление в самых внутренних скобках. Преобразуем делитель $6\frac{1}{5}$ в десятичную дробь:

$6\frac{1}{5} = 6 + \frac{1}{5} = 6 + 0,2 = 6,2$

Теперь выполним деление:

$187,86 : 6,2 = 30,3$

2. Далее выполним вычитание в тех же скобках:

$30,3 - 19,4 = 10,9$

3. Теперь результат умножим на $6,5$:

$10,9 \cdot 6,5 = 70,85$

4. К полученному произведению прибавим $9,35$:

$70,85 + 9,35 = 80,2$

5. Наконец, умножим результат на $22\frac{1}{2}$. Преобразуем $22\frac{1}{2}$ в десятичную дробь:

$22\frac{1}{2} = 22,5$

$80,2 \cdot 22,5 = 1804,5$

Ответ: 1804,5.

2) $((298,08 : 7\frac{1}{5} - 32,9) \cdot 6,4 + 26,1) \cdot 32\frac{3}{5}$

Решим выражение по действиям, преобразуя смешанные числа в десятичные дроби.

1. Выполним деление во внутренних скобках. Преобразуем делитель $7\frac{1}{5}$:

$7\frac{1}{5} = 7 + \frac{1}{5} = 7 + 0,2 = 7,2$

Выполняем деление:

$298,08 : 7,2 = 41,4$

2. Выполним вычитание в тех же скобках:

$41,4 - 32,9 = 8,5$

3. Умножим полученную разность на $6,4$:

$8,5 \cdot 6,4 = 54,4$

4. К результату прибавим $26,1$:

$54,4 + 26,1 = 80,5$

5. Итоговый результат умножим на $32\frac{3}{5}$. Преобразуем $32\frac{3}{5}$ в десятичную дробь:

$32\frac{3}{5} = 32 + \frac{3}{5} = 32 + 0,6 = 32,6$

$80,5 \cdot 32,6 = 2624,3$

Ответ: 2624,3.