Страница 51, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

Вопросы:

Что такое наибольший общий делитель натуральных чисел?

Какие числа называют взаимно простыми? Приведите примеры.

Чему равен наибольший общий делитель взаимно простых чисел? Расскажите алгоритм нахождения наибольшего общего делителя нескольких натуральных чисел.

Чему равен НОД двух чисел, одно из которых кратно другому?

Вопросы к параграфу

• Наибольшим общим делителем (НОД) нескольких чисел называют наибольшее натуральное число, на которое делятся это числа без остатка

• Натуральные числа называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен 1
  числа 3 и 7, 5 и 12

• Наибольший общий делитель взаимно простых чисел равен 1

• Чтобы найти наибольший общий делитель нескольких натуральных чисел, надо:
  1) разложить числа на простые множители
  2) подчеркнуть общие множители в каждом разложении
  3) найти произведение общих множителей

• НОД двух чисел, одно из которых кратно другому, равно большему числу

Что такое наибольший общий делитель натуральных чисел?
Наибольшим общим делителем (НОД) нескольких натуральных чисел называется наибольшее натуральное число, на которое каждое из данных чисел делится без остатка.
Например, найдем НОД для чисел 18 и 24.
Делители числа 18: {1, 2, 3, 6, 9, 18}.
Делители числа 24: {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}.
Общие делители для этих чисел: {1, 2, 3, 6}.
Наибольший из общих делителей равен 6. Таким образом, НОД(18, 24) = 6.
Ответ: Наибольший общий делитель (НОД) — это самое большое натуральное число, которое является делителем для каждого из данных чисел.

Какие числа называют взаимно простыми? Приведите примеры.
Натуральные числа называют взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен 1. Это означает, что у них нет других общих делителей, кроме единицы.
Примеры:
• Числа 8 и 9. Делители 8: {1, 2, 4, 8}. Делители 9: {1, 3, 9}. Единственный общий делитель - 1. Значит, НОД(8, 9) = 1.
• Числа 15 и 28. Делители 15: {1, 3, 5, 15}. Делители 28: {1, 2, 4, 7, 14, 28}. Единственный общий делитель - 1. Значит, НОД(15, 28) = 1.
• Любые два различных простых числа, например, 7 и 11, всегда взаимно просты.
Ответ: Взаимно простые числа — это числа, у которых наибольший общий делитель равен 1. Примеры: 8 и 9, 15 и 28.

Чему равен наибольший общий делитель взаимно простых чисел?
Исходя из определения взаимно простых чисел, их наибольший общий делитель всегда равен единице.
Ответ: 1.

Расскажите алгоритм нахождения наибольшего общего делителя нескольких натуральных чисел.
Алгоритм нахождения НОД нескольких чисел с помощью разложения на простые множители:
1. Разложить каждое из данных чисел на простые множители.
2. Выписать простые множители, которые являются общими для всех разложений.
3. Найти произведение этих общих множителей. При этом каждый множитель нужно взять с наименьшим показателем степени, с которым он входит в разложения.
Пример: Найдем НОД чисел 48, 84 и 120.
1. Разложим на множители:
$48 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^4 \cdot 3^1$
$84 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7 = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 7^1$
$120 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 2^3 \cdot 3^1 \cdot 5^1$
2. Общие простые множители для всех трёх чисел: 2 и 3.
3. Наименьшая степень для множителя 2 это $2^2$. Наименьшая степень для множителя 3 это $3^1$.
НОД(48, 84, 120) = $2^2 \cdot 3^1 = 4 \cdot 3 = 12$.
Ответ: Чтобы найти НОД, нужно разложить числа на простые множители и перемножить их общие множители, взятые в наименьших степенях.

Чему равен НОД двух чисел, одно из которых кратно другому?
Если одно из двух натуральных чисел делится нацело на другое, то их наибольший общий делитель равен меньшему из этих чисел (то есть тому числу, которое является делителем).
Пусть есть числа $a$ и $b$, и $a$ кратно $b$ (то есть $a \vdots b$). Это означает, что $b$ является делителем числа $a$. Поскольку $b$ также является и своим собственным наибольшим делителем, то $b$ и будет наибольшим общим делителем для $a$ и $b$.
Пример: Найдем НОД(36, 12).
Число 36 делится на 12 без остатка ($36 : 12 = 3$), значит, 12 является делителем числа 36. Следовательно, НОД(36, 12) = 12.
Ответ: НОД двух таких чисел равен меньшему из них.

2.57. Найдите все общие делители чисел:

а) 20 и 70; б) 36, 48 и 144; в) 22 и 105.

2.57

а) 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20

70: 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70

б) 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48

144: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 18, 24, 36, 48, 72, 144

в) 22: 1, 2, 11, 22

105: 1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105

а) 20 и 70

Чтобы найти все общие делители двух чисел, нужно найти их наибольший общий делитель (НОД), а затем найти все делители этого НОД. Все делители НОД и будут являться всеми общими делителями исходных чисел.

1. Сначала разложим числа 20 и 70 на простые множители:

$20 = 2 \cdot 10 = 2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^2 \cdot 5$

$70 = 7 \cdot 10 = 2 \cdot 5 \cdot 7$

2. Теперь найдем НОД(20, 70). Для этого возьмем общие для обоих разложений простые множители в наименьшей степени, в которой они встречаются.

Общие множители: 2 и 5.

Наименьшая степень для 2 это $2^1$.

Наименьшая степень для 5 это $5^1$.

НОД(20, 70) = $2 \cdot 5 = 10$

3. Наконец, найдем все делители числа 10. Это и будут все общие делители чисел 20 и 70.

Делители числа 10: 1, 2, 5, 10.

Ответ: 1, 2, 5, 10.

б) 36, 48 и 144

Применим тот же алгоритм для трех чисел.

1. Разложим числа 36, 48 и 144 на простые множители:

$36 = 6 \cdot 6 = 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3^2$

$48 = 6 \cdot 8 = 2 \cdot 3 \cdot 2^3 = 2^4 \cdot 3$

$144 = 12 \cdot 12 = (4 \cdot 3) \cdot (4 \cdot 3) = (2^2 \cdot 3) \cdot (2^2 \cdot 3) = 2^4 \cdot 3^2$

2. Найдем НОД(36, 48, 144), выбрав общие простые множители в наименьшей степени из всех трех разложений.

Общий множитель 2 встречается в степенях 2, 4, 4. Наименьшая степень – 2.

Общий множитель 3 встречается в степенях 2, 1, 2. Наименьшая степень – 1.

НОД(36, 48, 144) = $2^2 \cdot 3^1 = 4 \cdot 3 = 12$

3. Найдем все делители числа 12.

Делители числа 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Ответ: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

в) 22 и 105

Снова следуем тому же плану.

1. Разложим числа 22 и 105 на простые множители:

$22 = 2 \cdot 11$

$105 = 5 \cdot 21 = 3 \cdot 5 \cdot 7$

2. Сравнив разложения на множители, мы видим, что у чисел 22 и 105 нет общих простых множителей. Такие числа называются взаимно простыми.

Наибольший общий делитель для взаимно простых чисел всегда равен 1.

НОД(22, 105) = 1

3. Единственным делителем числа 1 является само число 1. Следовательно, у чисел 22 и 105 только один общий делитель.

Ответ: 1.

2.58. Разложите каждое число на простые множители, подчеркните общие множители и запишите наибольшее число, на которое делятся числа каждой пары; а) 36 и 48; б) 84 и 96; в) 45 и 60; г) 72 и 90.

2.58

$$\begin{gathered} 36 = \underline{2} · \underline{2} ·\underline{ 3 }· 3 \\ 48 = \underline{2 }· \underline{2} · 2 · 2 · \underline{3} \\ \mathrm{НОД}(36; 48) = 2 · 2 · 3 = 12 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 84 = \underline{2} · \underline{2} · \underline{3} · 7 \\ 96 = \underline{2} · \underline{2} · 2 · 2 · 2 · \underline{3} \\ \mathrm{НОД}(84; 96) = 2 · 2 · 3 = 12 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 45 = \underline{3} · 3 · \underline{5} \\ 30 = 2 · \underline{3 }·\underline{ 5} \\ \mathrm{НОД}(45; 30) = 3 · 5 = 15 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 72 =\underline{ 2} · 2 · 2 · \underline{3} · \underline{3} \\ 90 = \underline{2} · \underline{3} ·\underline{ 3} · 5 \\ \mathrm{НОД}(72; 90) = 2 · 3 · 3 = 18 \end{gathered}$$

а) 36 и 48

Чтобы найти наибольшее число, на которое делятся 36 и 48, нужно найти их наибольший общий делитель (НОД). Для этого разложим оба числа на простые множители и подчеркнем общие:

$36 = \underline{2} \cdot \underline{2} \cdot \underline{3} \cdot 3$

$48 = \underline{2} \cdot \underline{2} \cdot 2 \cdot 2 \cdot \underline{3}$

Общие множители: 2, 2, 3. Произведение этих множителей и будет являться наибольшим общим делителем:

НОД(36, 48) = $2 \cdot 2 \cdot 3 = 12$.

Ответ: 12.

б) 84 и 96

Разложим числа 84 и 96 на простые множители и подчеркнем общие множители:

$84 = \underline{2} \cdot \underline{2} \cdot \underline{3} \cdot 7$

$96 = \underline{2} \cdot \underline{2} \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \underline{3}$

Общие множители: 2, 2, 3. Найдем их произведение, чтобы получить наибольший общий делитель:

НОД(84, 96) = $2 \cdot 2 \cdot 3 = 12$.

Ответ: 12.

в) 45 и 60

Разложим числа 45 и 60 на простые множители и выделим общие:

$45 = 3 \cdot \underline{3} \cdot \underline{5}$

$60 = 2 \cdot 2 \cdot \underline{3} \cdot \underline{5}$

Общие множители: 3, 5. Наибольшее число, на которое делятся 45 и 60, равно их произведению:

НОД(45, 60) = $3 \cdot 5 = 15$.

Ответ: 15.

г) 72 и 90

Разложим числа 72 и 90 на простые множители и подчеркнем общие:

$72 = \underline{2} \cdot 2 \cdot 2 \cdot \underline{3} \cdot \underline{3}$

$90 = \underline{2} \cdot \underline{3} \cdot \underline{3} \cdot 5$

Общие множители: 2, 3, 3. Найдем наибольший общий делитель, перемножив эти множители:

НОД(72, 90) = $2 \cdot 3 \cdot 3 = 18$.

Ответ: 18.

2.59. Назовите разложение на простые множители наибольшего общего делителя чисел m и n, если:

а) m = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 и n = 2 · 3 · 3 · 3 · 5;

б) m = 2 · 5 · 5 · 7 · 7 · 7 и n = 3 · 3 · 5 · 7 · 7.

2.59

а) m = 2 • 2 • 2 • 3 • 3

n = 2 • 3 • 3 • 3 • 5

НОД (m, n) = 2 • 3 • 3 = 18

б) m = 2 • 5 • 5 • 7 • 7

n = 3 • 3 • 5 • 7 • 7

НОД (m, n) = 5 • 7 • 7 = 5 • 49 = 245

а) Даны разложения чисел $m$ и $n$ на простые множители:
$m = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3$
$n = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5$

Чтобы найти разложение на простые множители наибольшего общего делителя (НОД), нужно найти общие простые множители в разложениях обоих чисел и для каждого такого множителя взять наименьшее число его вхождений.

Общими простыми множителями для $m$ и $n$ являются $2$ и $3$.

- Множитель $2$ входит в разложение числа $m$ три раза, а в разложение числа $n$ — один раз. Для НОД берем наименьшее количество вхождений, то есть один раз.
- Множитель $3$ входит в разложение числа $m$ два раза, а в разложение числа $n$ — три раза. Для НОД берем наименьшее количество вхождений, то есть два раза.
- Множитель $5$ не является общим, так как он есть только в разложении $n$.

Таким образом, разложение НОД($m, n$) на простые множители состоит из одного множителя $2$ и двух множителей $3$.

Ответ: $2 \cdot 3 \cdot 3$.

б) Даны разложения чисел $m$ и $n$ на простые множители:
$m = 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7$
$n = 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 7$

Аналогично предыдущему пункту, находим общие простые множители и их наименьшее количество вхождений.

Общими простыми множителями для $m$ и $n$ являются $5$ и $7$.

- Множитель $5$ входит в разложение числа $m$ два раза, а в разложение числа $n$ — один раз. Для НОД берем наименьшее количество вхождений, то есть один раз.
- Множитель $7$ входит в разложение числа $m$ три раза, а в разложение числа $n$ — два раза. Для НОД берем наименьшее количество вхождений, то есть два раза.
- Множители $2$ и $3$ не являются общими.

Следовательно, разложение НОД($m, n$) на простые множители состоит из одного множителя $5$ и двух множителей $7$.

Ответ: $5 \cdot 7 \cdot 7$.

2.60. Найдите наибольший общий делитель чисел:

а) 42 и 63; б) 30 и 40; в) 45 и 30; г) 66 и 88.

2.60

а)

$$\begin{gathered} 42 = 2 · \underline{3} · \underline{7} \\ 63 = 3 · \underline{3} · \underline{7} \\ \mathrm{НОД}(42; 63) = 3 · 7 = 21 \end{gathered}$$

б)

$$\begin{gathered} 30 = \underline{2} · 3 · \underline{5} \\ 40 =\underline{ 2} · 2 · 2 · \underline{5} \\ \mathrm{НОД}(30; 40) = 2 · 5 = 10 \end{gathered}$$

в)

$$\begin{gathered} 45 = \underline{3} · 3 ·\underline{ 5} \\ 30 = 2 · \underline{3} · \underline{5} \\ \text{НОД(45; 30) = 3 · 5 = 15} \end{gathered}$$

г)

$$\begin{gathered} 66 = \underline{2} · 3 ·\underline{ 11} \\ 88 = 2 · 2 · \underline{2} · \underline{11} \\ \mathrm{НОД}(66; 88) = 2 · 11 = 22 \end{gathered}$$

а) Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) чисел 42 и 63, необходимо разложить каждое из них на простые множители. Простые множители – это числа, которые делятся только на 1 и на самих себя.

Разложим на простые множители число 42:
$42 = 2 \cdot 21 = 2 \cdot 3 \cdot 7$

Разложим на простые множители число 63:
$63 = 3 \cdot 21 = 3 \cdot 3 \cdot 7 = 3^2 \cdot 7$

Теперь выберем общие множители из обоих разложений. В данном случае это 3 и 7.

Чтобы найти НОД, перемножим эти общие множители:
НОД (42; 63) = $3 \cdot 7 = 21$

Ответ: 21.

б) Найдем наибольший общий делитель для чисел 30 и 40. Для этого разложим их на простые множители.

Разложение числа 30:
$30 = 2 \cdot 15 = 2 \cdot 3 \cdot 5$

Разложение числа 40:
$40 = 2 \cdot 20 = 2 \cdot 2 \cdot 10 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^3 \cdot 5$

Общими для обоих разложений являются множители 2 и 5.

Произведение общих множителей и будет являться НОД:
НОД (30; 40) = $2 \cdot 5 = 10$

Ответ: 10.

в) Определим наибольший общий делитель для чисел 45 и 30. Сначала разложим их на простые множители.

Разложение для 45:
$45 = 3 \cdot 15 = 3 \cdot 3 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5$

Разложение для 30:
$30 = 2 \cdot 15 = 2 \cdot 3 \cdot 5$

Общие простые множители в этих разложениях: 3 и 5.

Вычислим НОД, перемножив найденные общие множители:
НОД (45; 30) = $3 \cdot 5 = 15$

Ответ: 15.

г) Найдем НОД для чисел 66 и 88, используя метод разложения на простые множители.

Разложим число 66:
$66 = 2 \cdot 33 = 2 \cdot 3 \cdot 11$

Разложим число 88:
$88 = 2 \cdot 44 = 2 \cdot 2 \cdot 22 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 11 = 2^3 \cdot 11$

Общие простые множители в обоих разложениях — это 2 и 11.

Чтобы найти НОД, перемножим эти общие множители:
НОД (66; 88) = $2 \cdot 11 = 22$

Ответ: 22.

2.61. Найдите наибольший общий делитель чисел:

а) 21 и 84; б) 27 и 81; в) 32 и 96; г) 75 и 300.

2.61

а) НОД (21, 84) = 21, т.к. 84 кратно 21

б) НОД (27, 81) = 27, т.к. 81 кратно 27

в) НОД (32, 96) = 32, т.к. 96 кратно 32

г) НОД (75, 300) = 75, т.к. 300 кратно 75

а) 21 и 84;

Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) чисел, разложим их на простые множители. Наибольший общий делитель — это произведение общих простых множителей, взятых с наименьшим показателем степени.

Разложение числа 21 на простые множители:
$21 = 3 \cdot 7$

Разложение числа 84 на простые множители:
$84 = 2 \cdot 42 = 2 \cdot 2 \cdot 21 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7$

Общими множителями в разложениях являются 3 и 7. Наименьший показатель степени для множителя 3 равен 1, для множителя 7 также равен 1.
НОД(21, 84) = $3^1 \cdot 7^1 = 21$.

Также можно заметить, что число 84 делится на 21 без остатка ($84 = 4 \cdot 21$). Если одно число делится на другое, то их наибольший общий делитель равен меньшему из этих чисел.
Ответ: 21

б) 27 и 81;

Разложим числа 27 и 81 на простые множители.

Разложение числа 27:
$27 = 3 \cdot 9 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^3$

Разложение числа 81:
$81 = 9 \cdot 9 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^4$

Общим простым множителем является число 3. Наименьший показатель степени, с которым 3 входит в оба разложения, равен 3.
Следовательно, НОД(27, 81) = $3^3 = 27$.

Так как 81 является кратным 27 ($81 = 3 \cdot 27$), то их наибольший общий делитель равен 27.
Ответ: 27

в) 32 и 96;

Разложим числа 32 и 96 на простые множители.

Разложение числа 32:
$32 = 2 \cdot 16 = 2 \cdot 2 \cdot 8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 4 = 2^5$

Разложение числа 96:
$96 = 2 \cdot 48 = 2 \cdot 2 \cdot 24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 12 = 2^5 \cdot 3$

Общим простым множителем является число 2. Наименьший показатель степени для множителя 2 равен 5.
Следовательно, НОД(32, 96) = $2^5 = 32$.

Так как 96 делится на 32 ($96 = 3 \cdot 32$), то их наибольший общий делитель равен 32.
Ответ: 32

г) 75 и 300.

Разложим числа 75 и 300 на простые множители.

Разложение числа 75:
$75 = 3 \cdot 25 = 3 \cdot 5^2$

Разложение числа 300:
$300 = 3 \cdot 100 = 3 \cdot 10^2 = 3 \cdot (2 \cdot 5)^2 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5^2$

Общими простыми множителями являются 3 и 5. Наименьший показатель степени для 3 равен 1, а для 5 равен 2.
Следовательно, НОД(75, 300) = $3^1 \cdot 5^2 = 3 \cdot 25 = 75$.

Так как 300 делится на 75 ($300 = 4 \cdot 75$), то их наибольший общий делитель равен 75.
Ответ: 75