Страница 56, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

Вопросы:

Что такое наименьшее общее кратное натуральных чисел?

Какое число является наименьшим общим кратным чисел 3, 9, 27?

Расскажите алгоритм нахождения наименьшего общего кратного нескольких чисел.

Вопросы к параграфу

• наименьшим общим кратным (НОК) нескольких натуральных чисел называют наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из этих чисел без остатка

• наименьшим общим кратным чисел 3, 9 и 27 является число 27, т.к. оно делится на все числа без остатка

• чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких натуральных чисел, надо:
  1) разложить числа на простые множители
  2) выписать множители из разложения большего из чисел
  3) добавить к ним недостающие множители из разложений остальных чисел
  4) найти произведение этих множителей

Что такое наименьшее общее кратное натуральных чисел?

Наименьшее общее кратное (сокращенно НОК) нескольких натуральных чисел — это самое маленькое натуральное число, которое делится на каждое из этих чисел без остатка. То есть это наименьшее число, которое находится в ряду кратных для каждого из заданных чисел.

Например, для чисел 6 и 8:
Кратные числа 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, ...
Кратные числа 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, ...
Общими кратными являются числа 24, 48 и так далее. Наименьшее из них — 24. Значит, НОК(6, 8) = 24.

Ответ: Наименьшее общее кратное натуральных чисел — это наименьшее натуральное число, которое является кратным каждому из данных чисел.

Какое число является наименьшим общим кратным чисел 3, 9, 27?

Для нахождения наименьшего общего кратного чисел 3, 9 и 27 воспользуемся определением. Нам нужно найти наименьшее число, которое делится и на 3, и на 9, и на 27.

В этом случае можно заметить, что число 27 делится на 9 ($27 \div 9 = 3$) и делится на 3 ($27 \div 3 = 9$). Так как 27 делится на все три заданных числа (включая само себя) и является наибольшим из них, оно и будет наименьшим общим кратным. Любое число, меньшее 27, очевидно, не может делиться на 27.

Таким образом, НОК(3, 9, 27) = 27.

Ответ: 27.

Расскажите алгоритм нахождения наименьшего общего кратного нескольких чисел.

Наиболее универсальный алгоритм нахождения наименьшего общего кратного (НОК) нескольких чисел основан на разложении этих чисел на простые множители. Алгоритм состоит из следующих шагов:

1. Разложить каждое из данных чисел на простые множители.
2. Выписать все простые множители, которые встречаются хотя бы в одном из разложений.
3. Для каждого из этих простых множителей выбрать наибольший показатель степени, с которым он встречается в разложениях.
4. Перемножить эти множители в выбранных степенях. Полученное произведение является НОК данных чисел.

Пример: Найдем НОК для чисел 12, 15 и 20.
Шаг 1: Разложим числа на простые множители.
$12 = 2 \cdot 6 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3^1$
$15 = 3 \cdot 5 = 3^1 \cdot 5^1$
$20 = 2 \cdot 10 = 2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^2 \cdot 5^1$
Шаг 2: Простые множители, которые встречаются в разложениях: 2, 3, 5.
Шаг 3: Выберем наибольшие степени для каждого множителя.
- Для множителя 2 наибольшая степень — 2 (встречается в разложении чисел 12 и 20). Берем $2^2$.
- Для множителя 3 наибольшая степень — 1 (встречается в разложении чисел 12 и 15). Берем $3^1$.
- Для множителя 5 наибольшая степень — 1 (встречается в разложении чисел 15 и 20). Берем $5^1$.
Шаг 4: Перемножим полученные степени.
$НОК(12, 15, 20) = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1 = 4 \cdot 3 \cdot 5 = 60$.

Ответ: Чтобы найти НОК нескольких чисел, нужно разложить их на простые множители, а затем найти произведение всех встречающихся простых множителей, взяв каждый из них с наибольшим показателем степени, который присутствует в разложениях.

2.95. Назовите разложение на простые множители наименьшего общего кратного чисел а и b, если:

а) a = 2 · 7, b = 7 · 9;
б) а = 2 · 3 · 3 · 3 · 7, b = 2 · 3 · 3 · 11.

2.95

а) а = 2 • 7

b = 7 • 9

НОК(a; b) = 2 • 7 • 9

б) а = 2 • 3 • 3 • 3 • 7

b = 2 • 3 • 3 • 11

НОК (a; b) = 2 • 3 • 3 • 3 • 7 • 11

а)

Даны числа $a = 2 \cdot 7$ и $b = 7 \cdot 9$.

Чтобы найти разложение на простые множители наименьшего общего кратного (НОК), сначала необходимо разложить каждое число на простые множители.

Разложение числа $a$ уже представлено простыми множителями: $a = 2 \cdot 7$.

В разложении числа $b$ множитель 9 является составным числом. Разложим его на простые множители: $9 = 3 \cdot 3$. Таким образом, разложение числа $b$ на простые множители будет: $b = 3 \cdot 3 \cdot 7$.

Теперь найдем НОК. Для этого выписываем все простые множители из разложения одного числа (например, $a$) и добавляем к ним недостающие множители из разложения другого числа ($b$).
Разложение $a$: $2 \cdot 7$.
Разложение $b$: $3 \cdot 3 \cdot 7$.
В разложении $b$ есть множители $3 \cdot 3$, которых нет в разложении $a$. Множитель 7 уже есть.

Следовательно, разложение НОК($a, b$) на простые множители будет произведением множителей числа $a$ и недостающих множителей числа $b$: $2 \cdot 7 \cdot 3 \cdot 3$. Запишем множители в порядке возрастания: $2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7$.

Ответ: $2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7$.

б)

Даны числа $a = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7$ и $b = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 11$.

Оба числа уже разложены на простые множители. Для нахождения НОК нужно для каждого простого множителя, который встречается в обоих разложениях, взять его в наибольшей степени, а затем перемножить.

Представим разложения в степенной форме для удобства:
$a = 2^1 \cdot 3^3 \cdot 7^1$
$b = 2^1 \cdot 3^2 \cdot 11^1$

Теперь выберем наибольшую степень для каждого простого множителя, встречающегося в разложениях:
Для множителя 2: наибольшая степень – 1.
Для множителя 3: наибольшая степень – 3 (так как в разложении $a$ три тройки, а в $b$ – две).
Для множителя 7: наибольшая степень – 1 (встречается только в разложении $a$).
Для множителя 11: наибольшая степень – 1 (встречается только в разложении $b$).

Составляем разложение НОК, перемножая эти множители в их наибольших степенях: $НОК(a, b) = 2^1 \cdot 3^3 \cdot 7^1 \cdot 11^1$.

Таким образом, искомое разложение: $2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 11$.

Ответ: $2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 11$.

2.96. Найдите НОК (m, n), если:

а) m = 2 · 3 · 3 · 5 · 11 и n = 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 11;
б) m = 2 · 3 · 5 · 5 и n = 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7;
в) m = 2 · 2 · 5 · 5 · 13 и n = 2 · 2 · 2 · 3 · 5 · 13;
г) m = 2 · 2 · 5 · 5 · 17 и n = 2 · 2 · 3 · 5 · 5 · 17.

2.96

а) m = 2 •3 • 3 • 5 • 11

n = 2 • 2 • 3 • 3 • 3 • 11

НОК (m; n) = 2 • 2 • 3 • 3 • 3 • 11 • 5 = 5940

б) m = 2 • 3 • 5 • 5

n = 2 • 3 • 3 • 5 • 5 • 7

НОК (m; n) = 2 • 3 • 3 • 5 • 5 • 7 = 3150

в) m = 2 • 2 • 5 • 5 • 13

n = 2 • 2 • 2 • 3 • 5 • 13

НОК (m; n) = 2 • 2 • 2 • 3 • 5 • 13 • 5 = 7800

г) m = 2 • 2 • 5 • 5 • 17

n = 2 • 2 • 3 • 3 • 5 • 5 •17

НОК (m; n) = 2 • 2 • 3 • 3 • 5 • 17• 5 = 5100

Для нахождения Наименьшего Общего Кратногo (НОК) двух чисел, представленных в виде разложения на простые множители, необходимо взять каждый простой множитель в наибольшей степени, в которой он встречается в данных разложениях, и затем перемножить эти множители.

а) Даны числа $m = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 11$ и $n = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 11$.
Запишем их разложения в степенной форме: $m = 2^1 \cdot 3^2 \cdot 5^1 \cdot 11^1$ и $n = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 11^1$.
Для нахождения НОК выберем множители в максимальных степенях: для множителя 2 это $2^2$, для 3 это $3^3$, для 5 это $5^1$ и для 11 это $11^1$.
Таким образом, $НОК(m, n) = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 5^1 \cdot 11^1 = 4 \cdot 27 \cdot 5 \cdot 11 = 5940$.
Ответ: 5940.

б) Даны числа $m = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5$ и $n = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7$.
Запишем их разложения в степенной форме: $m = 2^1 \cdot 3^1 \cdot 5^2$ и $n = 2^1 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 7^1$.
Для нахождения НОК выберем множители в максимальных степенях: $2^1$, $3^2$, $5^2$ и $7^1$.
Таким образом, $НОК(m, n) = 2^1 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 7^1 = 2 \cdot 9 \cdot 25 \cdot 7 = 3150$.
Ответ: 3150.

в) Даны числа $m = 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 13$ и $n = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 13$.
Запишем их разложения в степенной форме: $m = 2^2 \cdot 5^2 \cdot 13^1$ и $n = 2^3 \cdot 3^1 \cdot 5^1 \cdot 13^1$.
Для нахождения НОК выберем множители в максимальных степенях: $2^3$, $3^1$, $5^2$ и $13^1$.
Таким образом, $НОК(m, n) = 2^3 \cdot 3^1 \cdot 5^2 \cdot 13^1 = 8 \cdot 3 \cdot 25 \cdot 13 = 7800$.
Ответ: 7800.

г) Даны числа $m = 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 17$ и $n = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 17$.
Запишем их разложения в степенной форме: $m = 2^2 \cdot 5^2 \cdot 17^1$ и $n = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^2 \cdot 17^1$.
Для нахождения НОК выберем множители в максимальных степенях: $2^2$, $3^1$, $5^2$ и $17^1$.
Таким образом, $НОК(m, n) = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^2 \cdot 17^1 = 4 \cdot 3 \cdot 25 \cdot 17 = 5100$.
Ответ: 5100.

2.97. Найдите наименьшее общее кратное чисел:

а) 12 и 8;
б) 14 и 42;
в) 108 и 132;
г) 90 и 315;
д) 10, 15 и 30;
е) 6, 8 и 12;
ж) 6, 9 и 18;
з) 77, 91 и 143.

2.97

а)

$$\begin{gathered} 12= 2 · 2 · 3 \\ 8 = 2 · 2 · 2 \\ \mathrm{НОК} (12; 8) = 2 · 2 · 3 · 2 =24 \end{gathered}$$

б)

$$\begin{gathered} 14 = 2 · 7 \\ 42 = 2 · 3 · 7 \\ \mathrm{НОК} (14; 42) = 2 · 7 · 3 = 42 \end{gathered}$$

в)

$$\begin{gathered} 108 = 2 · 2 · 3 · 3 · 3 \\ 132 = 2 · 2 · 3 · 11 \\ \mathrm{НОК} (108; 132) = 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 11 =1188 \end{gathered}$$

г)

$$\begin{gathered} 90 = 2 · 3 · 3 · 5 \\ 325 = 3 · 3 · 5 · 7 \\ \mathrm{НОК} (90; 315) = 2 · 3 · 3 · 5 · 7 = 630 \end{gathered}$$

д)

$$\begin{gathered} 10 = 2 · 5 \\ 15 = 3 · 5 \\ 30 = 2 · 3 · 5 \\ \mathrm{НОК} (10; 15; 30) = 2 · 5 · 3 = 30 \end{gathered}$$

е)

$$\begin{gathered} 6 = 2 · 3 \\ 8 = 2 · 2 · 2 \\ 12 = 2 · 2 · 3 \\ \mathrm{НОК} (6; 8; 12) = 2 · 3 · 2 · 2 = 24 \end{gathered}$$

ж)

$$\begin{gathered} 6 = 2 · 3 \\ 9 = 3 · 3 \\ 18 = 2 · 3 · 3 \\ \mathrm{НОК} (6; 8; 12) = 2 · 3 · 3 = 18 \end{gathered}$$

з)

$$\begin{gathered} 77 = 7 · 11 \\ 91 = 7 · 13 \\ 143 = 11 · 13 \\ \mathrm{НОК} (77; 91; 143) = 7 · 11 · 13 = 1001 \end{gathered}$$

а) 12 и 8;

Чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК) чисел 12 и 8, разложим их на простые множители.
Разложение числа 12: $12 = 2 \cdot 6 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$.
Разложение числа 8: $8 = 2 \cdot 4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$.
Для нахождения НОК, выберем все простые множители, входящие в разложения, с наибольшим показателем степени.
Для множителя 2 наибольший показатель степени равен 3 (из разложения числа 8).
Для множителя 3 наибольший показатель степени равен 1 (из разложения числа 12).
Перемножим эти множители: $НОК(12, 8) = 2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24$.
Ответ: 24.

б) 14 и 42;

Заметим, что число 42 делится на 14 без остатка ($42 : 14 = 3$). Если одно число делится на другое, то наименьшее общее кратное этих чисел равно большему из них.
Следовательно, $НОК(14, 42) = 42$.
Проверим через разложение на множители:
$14 = 2 \cdot 7$.
$42 = 2 \cdot 21 = 2 \cdot 3 \cdot 7$.
Берем все простые множители с наибольшими показателями: $2^1$, $3^1$, $7^1$.
$НОК(14, 42) = 2 \cdot 3 \cdot 7 = 42$.
Ответ: 42.

в) 108 и 132;

Найдем НОК для чисел 108 и 132, разложив их на простые множители.
$108 = 2 \cdot 54 = 2^2 \cdot 27 = 2^2 \cdot 3^3$.
$132 = 2 \cdot 66 = 2^2 \cdot 33 = 2^2 \cdot 3 \cdot 11$.
Чтобы найти НОК, возьмем все простые множители, которые встречаются в разложениях, с их наибольшими степенями.
Для множителя 2 наибольшая степень – 2.
Для множителя 3 наибольшая степень – 3.
Для множителя 11 наибольшая степень – 1.
$НОК(108, 132) = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 11 = 4 \cdot 27 \cdot 11 = 108 \cdot 11 = 1188$.
Ответ: 1188.

г) 90 и 315;

Разложим числа 90 и 315 на простые множители.
$90 = 10 \cdot 9 = 2 \cdot 5 \cdot 3^2$.
$315 = 5 \cdot 63 = 5 \cdot 9 \cdot 7 = 3^2 \cdot 5 \cdot 7$.
Чтобы найти НОК, берем все простые множители из обоих разложений с наибольшими показателями степени.
Простые множители: 2, 3, 5, 7.
$НОК(90, 315) = 2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7 = 2 \cdot 9 \cdot 5 \cdot 7 = 630$.
Ответ: 630.

д) 10, 15 и 30;

В этом наборе чисел можно заметить, что 30 является кратным для 10 ($30 = 10 \cdot 3$) и для 15 ($30 = 15 \cdot 2$).
Поскольку 30 делится на все числа в наборе, оно и является их наименьшим общим кратным.
Проверим разложением на множители:
$10 = 2 \cdot 5$.
$15 = 3 \cdot 5$.
$30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$.
$НОК(10, 15, 30) = 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$.
Ответ: 30.

е) 6, 8 и 12;

Разложим числа 6, 8 и 12 на простые множители.
$6 = 2 \cdot 3$.
$8 = 2^3$.
$12 = 2^2 \cdot 3$.
Для нахождения НОК берем все простые множители с их наибольшими показателями степени.
Для множителя 2 наибольший показатель — 3 (из разложения числа 8).
Для множителя 3 наибольший показатель — 1 (из разложения чисел 6 и 12).
$НОК(6, 8, 12) = 2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24$.
Ответ: 24.

ж) 6, 9 и 18;

В данном наборе чисел 18 является кратным для 6 ($18 = 6 \cdot 3$) и для 9 ($18 = 9 \cdot 2$).
Так как 18 делится на все числа в наборе, оно является их наименьшим общим кратным.
Проверим через разложение на простые множители:
$6 = 2 \cdot 3$.
$9 = 3^2$.
$18 = 2 \cdot 9 = 2 \cdot 3^2$.
Берем множители с наибольшими степенями: $2^1$ и $3^2$.
$НОК(6, 9, 18) = 2 \cdot 3^2 = 2 \cdot 9 = 18$.
Ответ: 18.

з) 77, 91 и 143;

Разложим каждое из чисел на простые множители.
$77 = 7 \cdot 11$.
$91 = 7 \cdot 13$.
$143 = 11 \cdot 13$.
Чтобы найти НОК, необходимо взять все уникальные простые множители из всех разложений. В данном случае это 7, 11 и 13.
Так как каждый множитель входит в разложения в первой степени, мы просто перемножаем их.
$НОК(77, 91, 143) = 7 \cdot 11 \cdot 13 = 1001$.
Ответ: 1001.

2.98. Найдите наименьшее общее кратное знаменателей дробей:

а) 715 и 512; б) 1320 и 1725.

2.98

а) $\frac{7}{15} \mathrm{и} \frac{5}{12}$

$$\begin{gathered} 12 = 2 · 2 · 3 \\ 15 = 3 · 5 \\ \mathrm{НОК} (15; 12) = 3 · 5 · 2 · 2 = 60 \end{gathered}$$

б) $\frac{13}{20} \mathrm{и} \frac{17}{25}$

$$\begin{gathered} 20 = 2 · 2 · 5 \\ 25 = 5 · 5 \\ \mathrm{НОК} (20; 25) =2 · 2 · 5 · 5 = 100 \end{gathered}$$

а) Чтобы найти наименьшее общее кратное знаменателей дробей $\frac{7}{15}$ и $\frac{5}{12}$, нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) чисел 15 и 12.

Для этого разложим каждое число на простые множители:

• $15 = 3 \cdot 5$
• $12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$

Теперь, чтобы найти НОК, возьмем каждый простой множитель в наибольшей степени, в которой он встречается в разложениях, и перемножим их. В разложениях встречаются множители 2, 3 и 5. Наибольшая степень для 2 это $2^2$, для 3 это $3^1$, для 5 это $5^1$.

НОК(15, 12) = $2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 4 \cdot 3 \cdot 5 = 60$.

Ответ: 60

б) Чтобы найти наименьшее общее кратное знаменателей дробей $\frac{13}{20}$ и $\frac{17}{25}$, нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) чисел 20 и 25.

Разложим знаменатели на простые множители:

• $20 = 2 \cdot 10 = 2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^2 \cdot 5$
• $25 = 5 \cdot 5 = 5^2$

Выберем каждый простой множитель в наибольшей степени, в которой он встречается в разложениях: $2^2$ и $5^2$.

НОК(20, 25) = $2^2 \cdot 5^2 = 4 \cdot 25 = 100$.

Ответ: 100

2.99. Рассмотрите пары чисел: 9 и 13; 15 и 19; 24 и 35; 27 и 32.

а) Являются ли числа, представленные в каждой паре взаимно простыми?

б) Найдите наименьшее общее кратное чисел в каждой паре. Сделайте предположение.

2.99

а) 9 = 3 • 3

13 = 13

НОД (9; 13) = 1 – являются взаимно простыми

15 = 3 • 5

19 = 19

НОД (15; 19) = 1 – являются взаимно простыми

24 = 2 • 2 • 2 • 3

35 = 5 • 7

НОД (24; 35) = 1 – являются взаимно простыми

27 = 3 • 3 • 3

32 = 2 • 2 • 2 • 2 • 2

НОД (27; 32) = 1 – являются взаимно простыми

б) НОК (9; 13) = 3 • 3 • 13 = 117 = 9 • 13

НОК (15; 19) = 3 • 5 • 19 = 285 = 15 • 19

НОК (24; 35) = 2 • 2 • 2 • 3 • 5 • 7 = 840 = 24 • 35

НОК (27; 32) = 3 • 3 • 3 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 = 864 = 27 • 32

Наименьшее общее кратное взаимно простых чисел равно произведению этих чисел.

а)Два числа называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Чтобы определить, являются ли числа в каждой паре взаимно простыми, найдем их НОД, разложив числа на простые множители.

Пара 9 и 13:
Разложение на множители: $9 = 3^2$; 13 — простое число.
Общих простых множителей у чисел нет. Следовательно, $НОД(9; 13) = 1$. Числа являются взаимно простыми.

Пара 15 и 19:
Разложение на множители: $15 = 3 \cdot 5$; 19 — простое число.
Общих простых множителей у чисел нет. Следовательно, $НОД(15; 19) = 1$. Числа являются взаимно простыми.

Пара 24 и 35:
Разложение на множители: $24 = 2^3 \cdot 3$; $35 = 5 \cdot 7$.
Общих простых множителей у чисел нет. Следовательно, $НОД(24; 35) = 1$. Числа являются взаимно простыми.

Пара 27 и 32:
Разложение на множители: $27 = 3^3$; $32 = 2^5$.
Общих простых множителей у чисел нет. Следовательно, $НОД(27; 32) = 1$. Числа являются взаимно простыми.

Ответ: Да, числа в каждой из представленных пар являются взаимно простыми.

б)Наименьшее общее кратное (НОК) двух чисел $a$ и $b$ связано с их наибольшим общим делителем (НОД) формулой: $НОК(a, b) \cdot НОД(a, b) = a \cdot b$.
Поскольку для всех заданных пар чисел $НОД(a, b) = 1$, то для них формула для нахождения НОК упрощается: $НОК(a, b) = a \cdot b$.
Найдем НОК для каждой пары:

Для пары 9 и 13:
$НОК(9; 13) = 9 \cdot 13 = 117$.

Для пары 15 и 19:
$НОК(15; 19) = 15 \cdot 19 = 285$.

Для пары 24 и 35:
$НОК(24; 35) = 24 \cdot 35 = 840$.

Для пары 27 и 32:
$НОК(27; 32) = 27 \cdot 32 = 864$.

Предположение: Если два числа взаимно простые, то их наименьшее общее кратное равно их произведению.

Ответ: $НОК(9; 13) = 117$; $НОК(15; 19) = 285$; $НОК(24; 35) = 840$; $НОК(27; 32) = 864$. Предположение: наименьшее общее кратное взаимно простых чисел равно их произведению.

2.100. Рассмотрите пары чисел: 26 и 78; 32 и 96; 24 и 72; 25 и 100.

а) Какая особенность объединяет эти пары чисел?

б) Чему равно наименьшее общее кратное чисел каждой пары?

2.100

а) Одно из чисел является кратным другого.

б)

$$\begin{gathered} 26 = 2 · 13 \\ 78 = 2 · 3 · 13 \\ \mathrm{НОК} (26; 78) = 2 · 3 · 13 = 78 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 32 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 \\ 96 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 3 \\ \mathrm{НОК} (32; 96) = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 3 = 96 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 24 = 2 · 2 · 2 · 3 \\ 72 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 \\ \mathrm{НОК} (24; 72) = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 = 72 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 25 = 5 · 5 \\ 100 = 2 · 2 · 5 · 5 \\ \mathrm{НОК} (25; 100) = 2 · 2 · 5 · 5= 100 \end{gathered}$$

Наименьшее общее кратное каждой пары этих чисел равно наибольшему из этих чисел.

а) Чтобы выявить особенность, которая объединяет данные пары чисел, проверим, как соотносятся числа в каждой паре. Для этого разделим большее число на меньшее в каждой паре:

$78 \div 26 = 3$
$96 \div 32 = 3$
$72 \div 24 = 3$
$100 \div 25 = 4$

Как видно из вычислений, в каждой паре большее число делится на меньшее без остатка. Это означает, что для каждой пары одно число является кратным другому.

Ответ: Особенность этих пар в том, что в каждой из них одно число является делителем другого (или, что то же самое, большее число кратно меньшему).

б) Для нахождения наименьшего общего кратного (НОК) воспользуемся свойством, которое напрямую следует из особенности, установленной в пункте а): если одно из двух натуральных чисел делится на другое, то их наименьшее общее кратное равно большему из этих чисел. Если число $b$ кратно числу $a$, то любое кратное числа $b$ также будет кратно и числу $a$. Наименьшим положительным кратным для самого числа $b$ является само число $b$, следовательно, оно и будет наименьшим общим кратным для чисел $a$ и $b$.

Применим это правило для каждой пары:

Для пары 26 и 78: так как 78 кратно 26, то $\text{НОК}(26, 78) = 78$.
Для пары 32 и 96: так как 96 кратно 32, то $\text{НОК}(32, 96) = 96$.
Для пары 24 и 72: так как 72 кратно 24, то $\text{НОК}(24, 72) = 72$.
Для пары 25 и 100: так как 100 кратно 25, то $\text{НОК}(25, 100) = 100$.

Ответ: Наименьшее общее кратное для пар чисел равно 78, 96, 72 и 100 соответственно.

2.101. а) Владелец машины меняет каждые 15 тыс. км моторное масло, а каждые 60 тыс. км — приводной ремень. Через сколько тысяч километров совпадут замены масла и приводного ремня?

б) Спутники Ио, Европа, Ганимед и Каллисто планеты Юпитер обращаются вокруг неё за 42, 85, 172 и 400 ч соответственно. За какое наименьшее время они все вместе повторяют своё положение на орбите?

2.101

а)

$$\begin{gathered} 15 = 3 · 5 \\ 60 = 2 · 2 · 3 · 5 \\ \mathrm{НОК} (15; 60) = 2 · 2 · 3 · 5= 60 \end{gathered}$$

Ответ: через 60 тыс. км

б)

$$\begin{gathered} 42 = 2 · 3 · 7 \\ 85 = 5 · 17 \\ 172 = 2 · 2 · 43 \\ 400 = 2 · 2 · 2 · 2 · 5 · 5 \\ \mathrm{НОК} (42; 85; 172; 400) =2 · 2 · 2 · 2 \times \\ \times 5 · 5 · 3 · 7 · 17 · 43 = 6 140 400 \end{gathered}$$

Ответ: через 6 140 400 (ч) вместе повторяют свое положение на орбите.

а) Чтобы найти, через какое количество километров совпадут замены масла и приводного ремня, необходимо найти наименьшее общее кратное (НОК) чисел 15 и 60. Это число будет наименьшим пробегом, который делится без остатка и на 15, и на 60, и будет моментом, когда оба события произойдут одновременно.

Замены масла происходят на пробегах, кратных 15 тыс. км: 15, 30, 45, 60, 75, ...
Замены ремня происходят на пробегах, кратных 60 тыс. км: 60, 120, 180, ...

Первое совпадение произойдет на пробеге, который является наименьшим общим кратным для 15 и 60. Разложим числа на простые множители:
$15 = 3 \cdot 5$
$60 = 2 \cdot 30 = 2 \cdot 2 \cdot 15 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$
Для нахождения НОК берем каждый простой множитель в наибольшей степени, в которой он встречается в разложениях:
$НОК(15, 60) = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1 = 4 \cdot 3 \cdot 5 = 60$.

Таким образом, замены масла и приводного ремня совпадут через 60 тысяч километров.
Ответ: через 60 тысяч километров.

б) Чтобы найти наименьшее время, через которое все спутники вместе повторят свое положение на орбите, нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) их периодов обращения. Периоды обращения равны 42, 85, 172 и 400 часов. Это время будет наименьшим числом, которое делится без остатка на каждый из периодов.

Найдем НОК чисел 42, 85, 172 и 400. Для этого разложим каждое число на простые множители:
$42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$
$85 = 5 \cdot 17$
$172 = 2 \cdot 86 = 2^2 \cdot 43$
$400 = 4 \cdot 100 = 2^2 \cdot 10^2 = 2^2 \cdot (2 \cdot 5)^2 = 2^4 \cdot 5^2$

Теперь найдем НОК, взяв все уникальные простые множители в их наивысших степенях из всех разложений:
$НОК(42, 85, 172, 400) = 2^4 \cdot 3^1 \cdot 5^2 \cdot 7^1 \cdot 17^1 \cdot 43^1$

Вычислим полученное значение:
$НОК = 16 \cdot 3 \cdot 25 \cdot 7 \cdot 17 \cdot 43$
$НОК = (16 \cdot 25) \cdot (3 \cdot 7) \cdot (17 \cdot 43)$
$НОК = 400 \cdot 21 \cdot 731$
$НОК = 8400 \cdot 731$
$НОК = 6 140 400$

Следовательно, все спутники окажутся в исходном положении одновременно через 6 140 400 часов.
Ответ: 6 140 400 часов.

2.102. В магазин раз в два дня привозят хлебобулочные изделия, раз в три дня — кисломолочную продукцию и каждые десять дней — кондитерские изделия. Первого декабря в магазин привезли эти три вида товаров. Когда в следующий раз эти товары привезут в один день?

2.101

НОК (2; 3; 10) = 2 •3 • 5 = 30

1) 1 + 30 = 31 – привезут в один день

Ответ: 31 декабря.

Чтобы определить, когда все три вида товаров снова привезут в один день, необходимо найти наименьшее число дней, которое будет делиться без остатка на каждый из интервалов доставки. Это число является наименьшим общим кратным (НОК) для интервалов доставки.

Интервалы доставки товаров составляют:
– Хлебобулочные изделия: каждые 2 дня.
– Кисломолочная продукция: каждые 3 дня.
– Кондитерские изделия: каждые 10 дней.

Найдем наименьшее общее кратное (НОК) чисел 2, 3 и 10. Для этого разложим их на простые множители:
$2 = 2$
$3 = 3$
$10 = 2 \cdot 5$

Чтобы найти НОК, нужно взять каждый простой множитель в наибольшей степени, в которой он встречается в разложениях, и перемножить их.
НОК(2, 3, 10) = $2^1 \cdot 3^1 \cdot 5^1 = 30$.

Это означает, что одновременная доставка всех трех видов товаров будет происходить каждые 30 дней.

По условию, первая совместная доставка произошла 1 декабря. Следовательно, следующая произойдет через 30 дней после этой даты.

Отсчитаем 30 дней от 1 декабря. Поскольку в декабре 31 день, то 30 дней после 1 декабря — это 31 декабря (1 + 30 = 31).

Ответ: 31 декабря.

4.303. Найдите среднее арифметическое чисел, если первое число 120, второе составляет 20 % первого, а третье составляет 50 % разности первого и второго чисел.

4.303

1) 120 • 0,2 = 24 – второе число;

2) 120 – 24 = 96 – разность первого и второго чисел;

3) 96 • 0,5 = 48 – третье число;

4) (120 + 24 + 48) : 3 = 192 : 3 = 64 – среднее арифметическое.

Ответ: 64.

Для решения этой задачи нам нужно последовательно найти все три числа, а затем вычислить их среднее арифметическое.

1. Нахождение второго числа.
По условию, первое число равно 120. Второе число составляет 20% от первого. Чтобы найти 20% от числа, нужно умножить это число на 0,2 (так как $20\% = \frac{20}{100} = 0,2$).
Второе число: $120 \cdot 0,2 = 24$.

2. Нахождение третьего числа.
Третье число составляет 50% от разности первого и второго чисел. Сначала найдём эту разность:
Разность: $120 - 24 = 96$.
Теперь найдём 50% от полученной разности. 50% — это половина числа, то есть нужно умножить на 0,5 или разделить на 2.
Третье число: $96 \cdot 0,5 = 48$.

3. Вычисление среднего арифметического.
У нас есть три числа: 120, 24 и 48. Среднее арифметическое — это сумма всех чисел, делённая на их количество.
Сумма чисел: $120 + 24 + 48 = 192$.
Количество чисел: 3.
Среднее арифметическое: $\frac{120 + 24 + 48}{3} = \frac{192}{3} = 64$.

Ответ: 64.

4.304. Одно из чисел составляет четверть другого. Найдите каждое число, если среднее арифметическое этих чисел равно 52,45.

4.304

Пусть х – 2 число, тогда 0,25х – 1 число. Зная, что среднее арифметическое равно 52,45, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} (х + 0,25х) : 2 = 52,45; \\ 1,25 х = 52,45 · 2; \\ 1,25 х = 104,9; \\ х = 104,9 : 1,25; \\ х = 10490 : 125; \end{gathered}$$

х = 83,92 – 2 число

1) 83,92 • 0,25 = 20,98 – 2 число

Ответ: 83,92; 20,98

Для решения этой задачи обозначим одно число через $x$.

По условию, другое число составляет четверть первого, то есть оно равно $\frac{1}{4}x$ или $0,25x$.

Среднее арифметическое двух чисел — это их сумма, разделенная на 2. Согласно условию, среднее арифметическое наших чисел равно 52,45. Составим уравнение на основе этих данных:

$\frac{x + 0,25x}{2} = 52,45$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти значение $x$.

1. Сначала сложим члены с $x$ в числителе дроби:

$\frac{1,25x}{2} = 52,45$

2. Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателя:

$1,25x = 52,45 \cdot 2$

$1,25x = 104,9$

3. Разделим обе части уравнения на 1,25, чтобы найти $x$:

$x = \frac{104,9}{1,25}$

Чтобы упростить деление, можно умножить числитель и знаменатель на 100:

$x = \frac{10490}{125} = 83,92$

Итак, одно из чисел равно 83,92.

Теперь найдем второе число, которое составляет четверть от первого:

$0,25 \cdot x = 0,25 \cdot 83,92 = 20,98$

Таким образом, второе число равно 20,98.

Проверим результат. Найдем среднее арифметическое чисел 83,92 и 20,98:

$\frac{83,92 + 20,98}{2} = \frac{104,9}{2} = 52,45$

Результат совпадает с условием задачи.

Ответ: искомые числа — 83,92 и 20,98.

1. Найдите d, если выполняются четыре равенства:

–3 · (–13) = а; а · (–0,1) = b; b · (–2) = с; – 12 · с = d.

Проверочная работа

1.

$a=-3 · (-13) = 3 · 13 = 39$

$$\begin{gathered} b=а · (-0,1)=39 · (-0,1)=-(39 · 0,1)= \\ =-3,9 \end{gathered}$$

$c=b · (-2)=-3,9 · (-2)= 3,9 · 2= 7,8$

$d=- \frac{1}{3} · с=- \frac{1}{3} · 7,8=-(7,8:3)=-2,6$

Для того чтобы найти значение переменной d, необходимо последовательно решить четыре равенства, подставляя результат каждого предыдущего шага в следующий.

$-3 \cdot (-13) = a$
Первым шагом вычислим значение a. Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом.
$a = 3 \cdot 13 = 39$.

$a \cdot (-0,1) = b$
Теперь, зная a, найдем b. Подставим найденное значение $a = 39$ в равенство:
$b = 39 \cdot (-0,1) = -3,9$.

$b \cdot (-2) = c$
Далее вычислим c, используя найденное значение b. Подставим $b = -3,9$:
$c = -3,9 \cdot (-2)$.
Произведение двух отрицательных чисел снова дает положительное число.
$c = 3,9 \cdot 2 = 7,8$.

$-\frac{1}{3} \cdot c = d$
Наконец, вычислим искомое значение d. Подставим $c = 7,8$ в последнее равенство:
$d = -\frac{1}{3} \cdot 7,8 = -\frac{7,8}{3} = -2,6$.
Для проверки можно выполнить вычисление с обыкновенными дробями. Представим $c = 7,8$ в виде дроби: $7,8 = \frac{78}{10} = \frac{39}{5}$.
$d = -\frac{1}{3} \cdot \frac{39}{5} = -\frac{1 \cdot 39}{3 \cdot 5} = -\frac{39}{15} = -\frac{13}{5} = -2,6$.
Оба способа вычисления дают одинаковый результат.

Ответ: $d = -2,6$.

2. Сравните с нулём значение выражения:

а) (–0,1)²; б) –0,1²; в) (–3)³; г) –(–3)³.

2.

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }(-0,1{)}^2>0 \\ \mathit{б}\mathbf{)}-0,1^2< 0 \\ \mathit{в}\mathbf{)} (-3{)}^3<0 \\ \mathit{г}\mathbf{)}-(-3{)}^3>0 \end{gathered}$$

В выражении $(-0,1)^2$ отрицательное число $-0,1$ возводится в четную степень (квадрат). При возведении любого отрицательного числа в четную степень результат будет положительным. Вычислим значение: $(-0,1)^2 = (-0,1) \times (-0,1) = 0,01$. Так как $0,01 > 0$, то значение выражения больше нуля.

Ответ: $(-0,1)^2 > 0$.

В выражении $-0,1^2$ скобки отсутствуют. Согласно порядку выполнения математических операций, сначала выполняется возведение в степень, и только потом применяется унарный минус (отрицание). Вычислим значение: $-0,1^2 = -(0,1 \times 0,1) = -0,01$. Так как $-0,01 < 0$, то значение выражения меньше нуля.

Ответ: $-0,1^2 < 0$.

В выражении $(-3)^3$ отрицательное число $-3$ возводится в нечетную степень (куб). При возведении отрицательного числа в нечетную степень результат будет отрицательным. Вычислим значение: $(-3)^3 = (-3) \times (-3) \times (-3) = -27$. Так как $-27 < 0$, то значение выражения меньше нуля.

Ответ: $(-3)^3 < 0$.

В выражении $-(-3)^3$ сначала необходимо вычислить значение степени $(-3)^3$, а затем применить к результату внешний знак минус. Значение степени: $(-3)^3 = -27$. Применяем внешний минус: $-(-27) = 27$. Так как $27 > 0$, то значение выражения больше нуля.

Ответ: $-(-3)^3 > 0$.

3. Какое число нужно умножить на –4, чтобы получить:

а) –12; б) 56; в) –1; г) 0?

3.

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }3 · (-4)=-12 \\ \mathit{б}\mathbf{)}-14 · (-4)=56 \\ \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{1}{4}· (-4)=1 \\ \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }0 · (-4)=0 \end{gathered}$$

Чтобы найти число, которое нужно умножить на -4, чтобы получить заданный результат, необходимо этот результат разделить на -4. Обозначим искомое число буквой $x$. Тогда общее уравнение для всех подпунктов будет $x \cdot (-4) = \text{результат}$, откуда $x = \frac{\text{результат}}{-4}$.

а) Нам нужно найти число $x$, такое что $x \cdot (-4) = -12$.
Чтобы найти неизвестный множитель $x$, разделим произведение (-12) на известный множитель (-4).
$x = \frac{-12}{-4}$
При делении двух отрицательных чисел получается положительное число.
$x = 3$
Ответ: 3.

б) В данном случае уравнение выглядит так: $x \cdot (-4) = 56$.
Чтобы найти $x$, разделим произведение (56) на известный множитель (-4).
$x = \frac{56}{-4}$
При делении положительного числа на отрицательное получается отрицательное число.
$x = -14$
Ответ: -14.

в) Здесь нам нужно решить уравнение $x \cdot (-4) = -1$.
Для нахождения $x$ разделим произведение (-1) на известный множитель (-4).
$x = \frac{-1}{-4}$
Частное двух отрицательных чисел является положительным числом. Результат можно представить в виде обыкновенной или десятичной дроби.
$x = \frac{1}{4} = 0,25$
Ответ: 0,25.

г) Составим уравнение для этого случая: $x \cdot (-4) = 0$.
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поскольку -4 не равно нулю, то $x$ должен быть равен нулю.
Проверим это делением:
$x = \frac{0}{-4}$
$x = 0$
Ответ: 0.

4. Вычислите значение выражения:

а) 3 · (–6) · 2 · (–4) + 3 · (–5);
б) –112 · (– 23) – 256 · (–1 12).

4.

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} 3 · (-6)-2 · (-4) + 3 · (-5)= \\ =-(3 · 6)-(-(2 · 4)+(-(5 · 3) )= \\ =-18 + 8 + (-15)=-(18 + 15) + 8= \\ =-33 + 8=-(33 - 8)=-25 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }-1\frac{1}{2} · \left(-\frac{2}{3}\right) - 2\frac{5}{6} · \left(-1\frac{1}{2}\right) = \frac{\bcancel{3}}{\cancel{2}} · \frac{\cancel{2}}{\bcancel{3}} + \left(\frac{17}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{6}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{3}}}}{2}\right)= \\ = \frac{1}{1} · \frac{1}{1} + \frac{17}{2} · \frac{1}{2} = 1 + 4\frac{1}{4} = 5\frac{1}{4} \end{gathered}$$

а) $3 \cdot (-6) - 2 \cdot (-4) + 3 \cdot (-5)$

Для вычисления значения данного выражения необходимо выполнить действия в правильном порядке: сначала умножение, а затем сложение и вычитание слева направо.
1. Выполним первое умножение: $3 \cdot (-6) = -18$.
2. Выполним второе умножение: $-2 \cdot (-4) = 8$. Обратите внимание, что произведение двух отрицательных чисел является положительным.
3. Выполним третье умножение: $3 \cdot (-5) = -15$.
4. Теперь подставим полученные результаты в исходное выражение:
$-18 + 8 + (-15) = -18 + 8 - 15$
5. Выполним сложение и вычитание по порядку:
$-18 + 8 = -10$
$-10 - 15 = -25$
Ответ: -25.

б) $-1\frac{1}{2} \cdot (-\frac{2}{3}) - 2\frac{5}{6} \cdot (-1\frac{1}{2})$

Для вычисления значения этого выражения сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби.
$ -1\frac{1}{2} = -\frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = -\frac{3}{2} $
$ 2\frac{5}{6} = \frac{2 \cdot 6 + 5}{6} = \frac{17}{6} $
Теперь выражение выглядит так:
$ (-\frac{3}{2}) \cdot (-\frac{2}{3}) - (\frac{17}{6}) \cdot (-\frac{3}{2}) $
Выполним действия по порядку.
1. Выполним первое умножение. Произведение двух отрицательных чисел положительно:
$ (-\frac{3}{2}) \cdot (-\frac{2}{3}) = \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1 $
2. Выполним второе умножение:
$ (\frac{17}{6}) \cdot (-\frac{3}{2}) = -\frac{17 \cdot 3}{6 \cdot 2} = -\frac{51}{12} $
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:
$ -\frac{51 \div 3}{12 \div 3} = -\frac{17}{4} $
3. Теперь выполним вычитание:
$ 1 - (-\frac{17}{4}) = 1 + \frac{17}{4} $
Представим 1 в виде дроби со знаменателем 4: $1 = \frac{4}{4}$.
$ \frac{4}{4} + \frac{17}{4} = \frac{4 + 17}{4} = \frac{21}{4} $
4. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:
$ \frac{21}{4} = 5\frac{1}{4} $
Ответ: $5\frac{1}{4}$.