Страница 57, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

2.103. Вычислите.

2.103

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }0,7 · 10 = 7 \\ 7 : 2 = 3,5 \\ 3,5 – 0,3 = 3,2 \\ 3,2 : 0,4 = 32 : 4 = 8 \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} 5 : 10 = 0,5 \\ 0,5 · 0,2 = 0,1 \\ 0,1 + 2 = 2,1 \\ 2,1 : 0,7 = 21 : 7 = 3 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)} 4 – 0,8 = 3,2 \\ 3,2 : 0,8 = 32 : 8 = 4 \\ 4 : 10 = 0,4 \\ 0,4 · 0,5 = 0,2 \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)} 0,9 + 0,06 = 0,96 \\ 0,96 : 0,3 = 9,6 : 3 = 3,2 \\ 3,2 – 0,2 = 3 \\ 3 · 0,1 = 0,3 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{д}\mathbf{)} 1 – 0,7 = 0,3 \\ 0,3 · 5 = 1,5 \\ 1,5 : 15 = 0,1 \\ 0,1 · 100 = 10 \end{gathered}$$

а)

Выполним вычисления по шагам:

1) Умножаем $0,7$ на $10$: $0,7 \cdot 10 = 7$.

2) Полученный результат делим на $2$: $7 : 2 = 3,5$.

3) Из результата вычитаем $0,3$: $3,5 - 0,3 = 3,2$.

4) Итоговый результат делим на $0,4$: $3,2 : 0,4 = 32 : 4 = 8$.

Ответ: 8

б)

Выполним вычисления по шагам:

1) Делим $5$ на $10$: $5 : 10 = 0,5$.

2) Полученный результат делим на $0,2$: $0,5 : 0,2 = 5 : 2 = 2,5$.

3) К результату прибавляем $2$: $2,5 + 2 = 4,5$.

4) Итоговый результат делим на $0,7$: $4,5 : 0,7 = 45 : 7 = \frac{45}{7} = 6\frac{3}{7}$.

Ответ: $6\frac{3}{7}$

в)

Выполним вычисления по шагам:

1) Из $4$ вычитаем $0,8$: $4 - 0,8 = 3,2$.

2) Полученный результат делим на $0,8$: $3,2 : 0,8 = 32 : 8 = 4$.

3) Результат делим на $10$: $4 : 10 = 0,4$.

4) Итоговый результат умножаем на $0,5$: $0,4 \cdot 0,5 = 0,2$.

Ответ: 0,2

г)

Выполним вычисления по шагам:

1) К $0,9$ прибавляем $0,06$: $0,9 + 0,06 = 0,96$.

2) Полученный результат делим на $0,3$: $0,96 : 0,3 = 9,6 : 3 = 3,2$.

3) Из результата вычитаем $0,2$: $3,2 - 0,2 = 3$.

4) Итоговый результат умножаем на $0,1$: $3 \cdot 0,1 = 0,3$.

Ответ: 0,3

д)

Выполним вычисления по шагам:

1) Из $1$ вычитаем $0,7$: $1 - 0,7 = 0,3$.

2) Полученный результат умножаем на $5$: $0,3 \cdot 5 = 1,5$.

3) Результат делим на $15$: $1,5 : 15 = 0,1$.

4) Итоговый результат умножаем на $100$: $0,1 \cdot 100 = 10$.

Ответ: 10

2.104. Дроби n20 и с30, где n и с — натуральные числа, можно представить в виде десятичных. Могут ли числитель и знаменатель каждой из этих дробей быть взаимно простыми?

2.104

$\frac{\mathrm{n}}{20}$– числитель и знаменатель могут быть взаимно простыми,

например, при n = 3

$\frac{\mathrm{с}}{30}$– числитель и знаменатель не могут быть взаимно простыми, т.к.

чтобы дробь можно было представить в виде десятичной, то числитель должен быть кратным 3, но знаменатель 30 – число, кратное 3, поэтому числитель и знаменатель имеют общее кратное 3, которое не равно 1.

Чтобы обыкновенную дробь можно было представить в виде конечной десятичной дроби, необходимо и достаточно, чтобы знаменатель этой дроби после её сокращения не содержал никаких других простых множителей, кроме 2 и 5.

Рассмотрим дробь $\frac{n}{20}$.
Разложим её знаменатель на простые множители: $20 = 2 \cdot 10 = 2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^2 \cdot 5$.
Знаменатель 20 содержит только простые множители 2 и 5. Это значит, что любая дробь со знаменателем 20 может быть представлена в виде конечной десятичной. Теперь проверим, могут ли числитель и знаменатель быть взаимно простыми. Два числа являются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Для того чтобы $НОД(n, 20) = 1$, число $n$ не должно иметь общих простых делителей с числом 20, то есть $n$ не должно делиться ни на 2, ни на 5. Такие натуральные числа $n$ существуют, например, $n=1$, $n=3$, $n=7$ и т.д.
Например, для дроби $\frac{3}{20}$ ($=0,15$) её числитель 3 и знаменатель 20 являются взаимно простыми числами.
Таким образом, для дроби $\frac{n}{20}$ числитель и знаменатель могут быть взаимно простыми.

Рассмотрим дробь $\frac{c}{30}$.
Разложим её знаменатель на простые множители: $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$.
Знаменатель 30 содержит простой множитель 3. Для того чтобы дробь $\frac{c}{30}$ можно было представить в виде конечной десятичной, необходимо, чтобы после сокращения дроби множитель 3 в знаменателе исчез. Это возможно только в том случае, если числитель $c$ делится на 3.
Если числитель $c$ делится на 3, то и $c$, и знаменатель 30 имеют общий делитель, равный 3. Следовательно, их наибольший общий делитель $НОД(c, 30)$ не равен 1, а значит, они не являются взаимно простыми числами.
Таким образом, для дроби $\frac{c}{30}$ числитель и знаменатель не могут быть взаимно простыми при условии, что её можно представить в виде десятичной.

В задаче спрашивается, могут ли числитель и знаменатель каждой из этих дробей быть взаимно простыми. Поскольку для дроби $\frac{c}{30}$ это условие невыполнимо, то ответ на вопрос — нет.
Ответ: нет.

2.105. Найдите наибольший общий делитель числителя и знаменателя дроби и сократите дробь:

а) 48; б) 1525; в) 3399; г) 5185.

2.105

$\mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{4}{8}=\frac{4 : 4}{8 : 4}=\frac{1}{2}$

$4 = 2 · 2$

$8 = 2 · 2 · 2$

НОД (4; 8) = 4

$\mathit{б}\mathbf{)} \frac{15}{25}=\frac{15:5}{25:5}=\frac{3}{5}$

$15 = 3 · 5$

$25 = 5 · 5$

НОД (15; 25) = 5

$\mathit{в}\mathbf{)} \frac{33}{99}=\frac{33:33}{99:33}=\frac{1}{3}$

$33 = 3 · 11$

$99 = 3 · 3 · 11$

НОД (33; 99) = 33

$\mathit{г}\mathbf{)} \frac{51}{85}=\frac{51:17}{85:17}=\frac{3}{5}$

$51 = 3 · 17$

$85 = 5 · 17$

НОД (4; 8) = 17

а) $\frac{4}{8}$

Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя, разложим числа 4 и 8 на простые множители:

$4 = 2 \cdot 2$

$8 = 2 \cdot 2 \cdot 2$

Общие множители в разложении обоих чисел — это $2$ и $2$. Чтобы найти НОД, нужно перемножить эти общие множители:

НОД(4, 8) = $2 \cdot 2 = 4$.

Наибольший общий делитель равен 4.

Теперь сократим дробь, разделив ее числитель и знаменатель на их НОД:

$\frac{4}{8} = \frac{4 \div 4}{8 \div 4} = \frac{1}{2}$

Ответ: НОД = 4; сокращенная дробь $\frac{1}{2}$.

б) $\frac{15}{25}$

Найдем НОД чисел 15 и 25. Разложим их на простые множители:

$15 = 3 \cdot 5$

$25 = 5 \cdot 5$

Единственный общий множитель в разложении — это $5$.

НОД(15, 25) = 5.

Наибольший общий делитель равен 5.

Сократим дробь:

$\frac{15}{25} = \frac{15 \div 5}{25 \div 5} = \frac{3}{5}$

Ответ: НОД = 5; сокращенная дробь $\frac{3}{5}$.

в) $\frac{33}{99}$

Найдем НОД чисел 33 и 99. Разложим их на простые множители:

$33 = 3 \cdot 11$

$99 = 9 \cdot 11 = 3 \cdot 3 \cdot 11$

Общие множители в разложении: $3$ и $11$.

НОД(33, 99) = $3 \cdot 11 = 33$.

Наибольший общий делитель равен 33.

Сократим дробь:

$\frac{33}{99} = \frac{33 \div 33}{99 \div 33} = \frac{1}{3}$

Ответ: НОД = 33; сокращенная дробь $\frac{1}{3}$.

г) $\frac{51}{85}$

Найдем НОД чисел 51 и 85. Разложим их на простые множители:

$51 = 3 \cdot 17$ (сумма цифр $5+1=6$ делится на 3)

$85 = 5 \cdot 17$ (число оканчивается на 5)

Единственный общий множитель в разложении — это $17$.

НОД(51, 85) = 17.

Наибольший общий делитель равен 17.

Сократим дробь:

$\frac{51}{85} = \frac{51 \div 17}{85 \div 17} = \frac{3}{5}$

Ответ: НОД = 17; сокращенная дробь $\frac{3}{5}$.

2.106. 1) Какие числа могут быть взаимно простыми: а) два чётных числа; б) чётное и нечётное числа; в) два простых числа; г) простое и составное числа; д) два последовательных натуральных числа?

2) Какие числа всегда взаимно простые: а) два чётных числа; б) чётное и нечётное числа; в) два простых числа; г) простое и составное числа; д) два последовательных натуральных числа?

2.106

1)

а) два четных числа не могут быть взаимно простыми, т.к. они их общим делителем будет число 2, а не только число 1.

б) четное и нечетное число могут быть взаимно простыми, например, числа 8 и 9 имеют только один общий делитель – число 1.

в) два простых числа всегда являются взаимно простыми, т.к. каждое из них имеет только 2 делителя – число 1 и само число, поэтому их общим делителем является число 1.

г) простое и составное число могут быть взаимно простыми, например, числа 5 и 6 – взаимно простые, т.к. имеют только один общий делитель – число 1.

д) два последовательных натуральных числа могут быть взаимно простыми, например, числа 6 и 7 – взаимно простые, их общий делитель равен 1.

2)

а) два четных числа не могут быть взаимно простыми

б) четное и нечетное число не всегда взаимно просты, например, 20 и 25 – не взаимно простые числа, т.к. они оба делятся на 5.

в) два простых числа всегда являются взаимно простыми, т.к. каждое из них имеет только 2 делителя – число 1 и само число, поэтому их общим делителем является число 1.

г) простое и составное число не всегда являются взаимно простыми, например, числа 5 и 15 – не являются взаимно простыми числами, т.к. они оба делятся на 5.

д) два последовательных натуральных числа всегда являются взаимно простыми

Два натуральных числа называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Проанализируем каждый случай.

1) Какие числа МОГУТ быть взаимно простыми:

а) два чётных числа
Любое чётное число по определению делится на 2. Следовательно, любые два чётных числа имеют общий делитель, как минимум, 2. Их наибольший общий делитель всегда будет больше или равен 2 ($НОД \ge 2$). Таким образом, два чётных числа никогда не могут быть взаимно простыми.
Ответ: Нет, не могут.

б) чётное и нечётное числа
Да, могут. Нужно найти хотя бы один пример. Возьмём чётное число 4 и нечётное число 9. Разложим их на простые множители: $4 = 2^2$ и $9 = 3^2$. У них нет общих простых множителей. Их наибольший общий делитель $НОД(4, 9) = 1$. Следовательно, чётное и нечётное числа могут быть взаимно простыми.
Ответ: Да, могут.

в) два простых числа
Да, могут. Если взять два различных простых числа, например, 5 и 11. У простого числа есть только два делителя: 1 и само число. Таким образом, у двух различных простых чисел единственным общим делителем будет 1. $НОД(5, 11) = 1$.
Ответ: Да, могут.

г) простое и составное числа
Да, могут. Это возможно, если составное число не делится на данное простое число. Например, возьмём простое число 7 и составное число 10. Разложение на множители: $10 = 2 \times 5$. Число 7 не является делителем числа 10. $НОД(7, 10) = 1$.
Ответ: Да, могут.

д) два последовательных натуральных числа
Да, могут. Более того, они всегда взаимно просты. Например, $НОД(8, 9) = 1$. Если предположить, что два последовательных числа $n$ и $n+1$ имеют общий делитель $d > 1$, то на $d$ должно делиться и их разность: $(n+1) - n = 1$. Но единственным натуральным делителем числа 1 является само число 1. Значит, $d=1$. Это доказывает, что любые два последовательных натуральных числа взаимно просты. Раз они всегда взаимно просты, значит, они и "могут быть" взаимно простыми.
Ответ: Да, могут.

2) Какие числа ВСЕГДА взаимно простые:

а) два чётных числа
Как было показано в пункте 1(а), любые два чётных числа имеют общий делитель 2, поэтому их НОД всегда больше 1. Они никогда не бывают взаимно простыми.
Ответ: Нет, не всегда.

б) чётное и нечётное числа
Нет, не всегда. Достаточно привести один контрпример. Возьмём чётное число 6 и нечётное число 9. $НОД(6, 9) = 3$, так как оба числа делятся на 3. Поскольку НОД не равен 1, эти числа не являются взаимно простыми.
Ответ: Нет, не всегда.

в) два простых числа
Нет, не всегда. Если простые числа различны (например, 3 и 5), они взаимно просты. Однако, если взять два одинаковых простых числа (например, 7 и 7), то их наибольший общий делитель равен самому этому числу: $НОД(7, 7) = 7$. Так как НОД не равен 1, они не взаимно просты. Вопрос не уточняет, что числа должны быть различными.
Ответ: Нет, не всегда.

г) простое и составное числа
Нет, не всегда. Если составное число делится на данное простое число, они не будут взаимно простыми. Например, простое число 3 и составное число 6. Поскольку $6 = 2 \times 3$, оба числа делятся на 3, и $НОД(3, 6) = 3$.
Ответ: Нет, не всегда.

д) два последовательных натуральных числа
Да, всегда. Как было доказано в пункте 1(д), наибольший общий делитель двух последовательных натуральных чисел $n$ и $n+1$ всегда равен 1. Пусть $d$ — их общий делитель. Тогда $d$ делит $n$ и $d$ делит $n+1$. Следовательно, $d$ делит их разность $(n+1) - n = 1$. Единственный положительный делитель 1 — это 1. Значит, $НОД(n, n+1) = 1$ для любых последовательных натуральных чисел.
Ответ: Да, всегда.

2.107. Найдите наибольший общий делитель чисел:

а) 13 и 26; б) 8 и 12; в) 60 и 75; г) 64 и 128; д) 3375 и 5625.

2.107

а) НОД (13; 26) = 13, т.к. 26 делится на 13 без остатка

б)

$$\begin{gathered} 8 = 2 · 2 · 2 \\ 12 = 2 · 2 · 3 \\ \mathrm{НОД} (8; 12) = 2 · 2 = 4 \end{gathered}$$

в)

$$\begin{gathered} 60 = 2 · 2 · 3 · 5 \\ 75 = 3 · 5 · 5 \\ \mathrm{НОД} (60; 75) = 3 · 5 = 15 \end{gathered}$$

г) НОД (64; 128) = 64, т.к. 128 делится на 64 без остатка

д)

$$\begin{gathered} 3375 = 3 · 3 · 3 · 5 · 5 · 5 \\ 5625 = 3 · 3 · 5 · 5 · 5 · 5 \\ \mathrm{НОД} (3375; 5625) =3 · 3 · 5 · 5 · 5 = 1125 \end{gathered}$$

а) 13 и 26
Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) чисел 13 и 26, нужно найти самое большое натуральное число, на которое делятся оба этих числа. Заметим, что число 26 делится на 13 без остатка: $26 \div 13 = 2$. Поскольку 13 является делителем и для 13, и для 26, и при этом является наибольшим возможным делителем для самого числа 13, то НОД(13, 26) равен 13.
Ответ: 13

б) 8 и 12
Для нахождения НОД чисел 8 и 12 разложим их на простые множители. Разложение числа 8: $8 = 2 \times 2 \times 2 = 2^3$. Разложение числа 12: $12 = 2 \times 2 \times 3 = 2^2 \times 3$. Чтобы найти НОД, нужно перемножить общие простые множители, взяв каждый из них с наименьшим показателем степени, который встречается в разложениях. Общий множитель — это 2. Наименьший показатель степени для 2 в разложениях — это 2 (из разложения числа 12). Следовательно, НОД(8, 12) = $2^2 = 4$.
Ответ: 4

в) 60 и 75
Разложим числа 60 и 75 на простые множители. Разложение числа 60: $60 = 2 \times 30 = 2 \times 2 \times 15 = 2^2 \times 3 \times 5$. Разложение числа 75: $75 = 3 \times 25 = 3 \times 5 \times 5 = 3 \times 5^2$. Общие простые множители в обоих разложениях — это 3 и 5. Берем каждый общий множитель с наименьшим показателем степени: $3^1$ и $5^1$. НОД(60, 75) = $3 \times 5 = 15$.
Ответ: 15

г) 64 и 128
В этом случае можно заметить, что число 128 является кратным числу 64, так как $128 = 2 \times 64$. Если одно число делится на другое нацело, то их наибольший общий делитель равен меньшему из этих двух чисел. Таким образом, НОД(64, 128) = 64.
Ответ: 64

д) 3375 и 5625
Для нахождения НОД больших чисел удобно использовать разложение на простые множители или алгоритм Евклида. Воспользуемся разложением на множители. Разложение числа 3375: $3375 = 5 \times 675 = 5 \times 5 \times 135 = 5 \times 5 \times 5 \times 27 = 5^3 \times 3^3$. Разложение числа 5625: $5625 = 5 \times 1125 = 5 \times 5 \times 225 = 5 \times 5 \times 5 \times 45 = 5^4 \times 9 = 5^4 \times 3^2$. Запишем разложения: $3375 = 3^3 \times 5^3$ $5625 = 3^2 \times 5^4$ Общие простые множители — это 3 и 5. Выберем для каждого наименьшую степень: для 3 это $3^2$, для 5 это $5^3$. НОД(3375, 5625) = $3^2 \times 5^3 = 9 \times 125 = 1125$.
Ответ: 1125

2.108. Для изготовления круглых подставок под цветы диаметром 15 см нужно сделать заготовки квадратной формы. Имеются пластмассовые листы размером 80 х 140 см, 105 х 145 см и 120 х 150 см. Какие из этих листов нужно взять, чтобы было меньше отходов?

2.108

Лист 80 × 140 см

$80 : 15 = 5 (\mathrm{ост} 5)$

$140 : 15 = 9 (\mathrm{ост} 5)$

Имеем 2 лишних полосы по 5 см как по ширине, так и по длине.

Лист 105 × 145 см

$105 : 15 = 7$

$145 : 15 = 9 (\mathrm{ост} 10)$

Имеем 1 лишнюю полосу по длине.

Лист 120 × 150 см

$120 : 15 = 8$

$150 : 15 = 10$

Остатков нет, значит именно этот лист нужно взять, чтобы было меньше отходов.

Для изготовления круглых подставок диаметром $15$ см необходимо вырезать их из квадратных заготовок. Минимальный размер такой квадратной заготовки равен диаметру круга, то есть $15 \times 15$ см. Площадь одной заготовки составляет $S_{заг} = 15 \times 15 = 225 \text{ см}^2$.

Чтобы определить, какой из листов пластика использовать выгоднее (с наименьшим количеством отходов), нужно рассчитать, сколько целых заготовок можно вырезать из каждого листа и какой процент площади листа при этом уйдет в отходы.

Общая площадь листа: $S_1 = 80 \times 140 = 11200 \text{ см}^2$.

Рассчитаем максимальное количество заготовок. По стороне 80 см поместится $\lfloor 80 / 15 \rfloor = 5$ заготовок. По стороне 140 см поместится $\lfloor 140 / 15 \rfloor = 9$ заготовок.

Всего можно изготовить: $N_1 = 5 \times 9 = 45$ заготовок.

Полезная площадь (использованная под заготовки): $S_{пол_1} = 45 \times 225 = 10125 \text{ см}^2$.

Площадь отходов: $S_{отх_1} = S_1 - S_{пол_1} = 11200 - 10125 = 1075 \text{ см}^2$.

Процент отходов: $\frac{1075}{11200} \times 100\% \approx 9,6\%$.

Общая площадь листа: $S_2 = 105 \times 145 = 15225 \text{ см}^2$.

Рассчитаем максимальное количество заготовок. По стороне 105 см поместится $\lfloor 105 / 15 \rfloor = 7$ заготовок. По стороне 145 см поместится $\lfloor 145 / 15 \rfloor = 9$ заготовок.

Всего можно изготовить: $N_2 = 7 \times 9 = 63$ заготовки.

Полезная площадь: $S_{пол_2} = 63 \times 225 = 14175 \text{ см}^2$.

Площадь отходов: $S_{отх_2} = S_2 - S_{пол_2} = 15225 - 14175 = 1050 \text{ см}^2$.

Процент отходов: $\frac{1050}{15225} \times 100\% \approx 6,9\%$.

Общая площадь листа: $S_3 = 120 \times 150 = 18000 \text{ см}^2$.

Рассчитаем максимальное количество заготовок. По стороне 120 см поместится $\lfloor 120 / 15 \rfloor = 8$ заготовок. По стороне 150 см поместится $\lfloor 150 / 15 \rfloor = 10$ заготовок.

Всего можно изготовить: $N_3 = 8 \times 10 = 80$ заготовок.

Полезная площадь: $S_{пол_3} = 80 \times 225 = 18000 \text{ см}^2$.

Площадь отходов: $S_{отх_3} = S_3 - S_{пол_3} = 18000 - 18000 = 0 \text{ см}^2$.

Процент отходов: $\frac{0}{18000} \times 100\% = 0\%$.

Сравнивая процент отходов для каждого варианта:

• Лист 80 × 140 см: отходы $\approx 9,6\%$
• Лист 105 × 145 см: отходы $\approx 6,9\%$
• Лист 120 × 150 см: отходы $0\%$

Наименьшее количество отходов (а именно, полное их отсутствие при раскрое на квадраты) достигается при использовании листа размером 120 × 150 см, так как его длина и ширина кратны 15 см.

Ответ: Чтобы было меньше отходов, нужно взять лист размером 120 × 150 см.

2.109. Докажите, что если число y кратно 14, то оно делится на 7.

2.109

14 = 2 • 7, поэтому, если у кратно 14, то оно кратно и 7, т.е. делится на 7

Чтобы доказать данное утверждение, воспользуемся определением кратности и делимости чисел.
Условие "число $y$ кратно 14" означает, что число $y$ можно представить в виде произведения числа 14 и некоторого целого числа $k$. Запишем это в виде формулы:
$y = 14 \cdot k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (k — целое число).

Нам требуется доказать, что число $y$ делится на 7. Это значит, что нам нужно показать, что $y$ можно представить в виде произведения числа 7 и некоторого целого числа $m$.
$y = 7 \cdot m$, где $m$ — целое число.

Рассмотрим исходное равенство $y = 14 \cdot k$. Число 14 можно разложить на множители: $14 = 7 \cdot 2$.
Подставим это разложение в нашу формулу:
$y = (7 \cdot 2) \cdot k$

Согласно сочетательному свойству умножения (ассоциативности), мы можем изменить порядок вычислений, сгруппировав множители по-другому:
$y = 7 \cdot (2 \cdot k)$

Обозначим выражение в скобках за $m$. То есть, $m = 2 \cdot k$.
Поскольку $k$ по условию является целым числом, то его произведение на 2, то есть $2k$, также будет целым числом. Следовательно, $m$ — целое число.

Таким образом, мы получили равенство:
$y = 7 \cdot m$
Это равенство по определению означает, что число $y$ делится на 7. Утверждение доказано.
Ответ: Что и требовалось доказать.

2.110. Найдите наибольший общий делитель всех двузначных чисел, записанных одинаковыми цифрами.

2.110

Наименьшее двузначное число, записанное одинаковыми цифрами – число 11, остальные двузначные числа, которые записаны одинаковыми цифрами, кратны 11, поэтому

$\mathrm{НОД} (11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99) = 11$

Для решения данной задачи необходимо найти наибольший общий делитель (НОД) всех двузначных чисел, у которых цифры одинаковы.

Сначала выпишем все такие числа. Двузначные числа, записанные одинаковыми цифрами, — это числа, у которых цифра в разряде десятков совпадает с цифрой в разряде единиц. Такими числами являются:
11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99.

Теперь нам нужно найти НОД($11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99$).

Способ 1: Аналитический

Любое двузначное число, записанное одинаковыми цифрами $a$ (где $a$ — цифра от 1 до 9), можно представить в виде формулы:
$\overline{aa} = 10 \cdot a + 1 \cdot a = 11 \cdot a$

Используя эту формулу, представим наш ряд чисел:
$11 = 11 \cdot 1$
$22 = 11 \cdot 2$
$33 = 11 \cdot 3$
...
$99 = 11 \cdot 9$

Как видно из этого представления, каждое число в данном ряду является произведением числа 11 и некоторого целого числа от 1 до 9. Это означает, что все эти числа делятся на 11 без остатка. Следовательно, 11 является их общим делителем.

Чтобы найти наибольший общий делитель, воспользуемся свойством НОД:
НОД($k \cdot n_1, k \cdot n_2, \dots, k \cdot n_m$) = $k \cdot$ НОД($n_1, n_2, \dots, n_m$).
В нашем случае $k = 11$, а числа $n_i$ — это $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$.
НОД($11, 22, \dots, 99$) = $11 \cdot$ НОД($1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$).

Наибольший общий делитель для набора последовательных натуральных чисел, начиная с 1, всегда равен 1.
НОД($1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$) = $1$.

Таким образом, искомый НОД равен:
$11 \cdot 1 = 11$.

Способ 2: Разложение на множители

Наибольший общий делитель не может быть больше, чем наименьшее из чисел в наборе (если числа не равны). В нашем случае наименьшее число — это 11. Значит, НОД не может быть больше 11.

Проверим, является ли 11 общим делителем для всех чисел в ряду:
$11 : 11 = 1$
$22 : 11 = 2$
$33 : 11 = 3$
...
$99 : 11 = 9$

Все числа делятся на 11 без остатка. Так как 11 является общим делителем и одновременно наибольшим возможным значением для НОД, то 11 и есть наибольший общий делитель.

Ответ: 11

2.111. Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, 9, если цифры не повторяются?

2.111

1 цифру можно записать 5 способами, т.к. цифры не должны повторяться, то вторую цифру можно записать оставшимися 4 способами, а третью цифру – оставшимися 3 способами

$5 · 4 · 3 = 60$– трехзначных чисел можно записать

Ответ: 60 чисел

Для решения этой задачи нужно определить количество способов составить трёхзначное число из пяти данных цифр (1, 3, 5, 7, 9) без их повторения. Это задача на размещения без повторений. Мы можем решить её, используя правило умножения.

Трёхзначное число состоит из трёх позиций: сотни, десятки и единицы.

1. На позицию сотен можно поставить любую из пяти предложенных цифр. Таким образом, у нас есть 5 вариантов выбора.

2. После того как мы выбрали цифру для сотен, на позицию десятков остаётся на одну цифру меньше, так как по условию цифры не должны повторяться. Следовательно, у нас остаётся $5 - 1 = 4$ варианта.

3. Для позиции единиц остаётся ещё на одну цифру меньше, так как две цифры уже использованы. Таким образом, у нас остаётся $4 - 1 = 3$ варианта.

Чтобы найти общее количество возможных трёхзначных чисел, необходимо перемножить количество вариантов для каждой позиции:

Количество чисел = (варианты для сотен) × (варианты для десятков) × (варианты для единиц) = $5 \times 4 \times 3 = 60$.

Также можно использовать формулу для числа размещений без повторений из $n$ элементов по $k$: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.
В нашем случае, общее число доступных цифр $n = 5$, а мы составляем из них трёхзначные числа, то есть $k = 3$.

$A_5^3 = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = 5 \times 4 \times 3 = 60$.

Ответ: 60.

2.112. Запишите в виде обыкновенной или десятичной дробей частное:

а) 2 : 5; б) 4 : 13; в) 17 : 20; г) 19 : 43.

2.112

$\mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }2 : 5 = \frac{2 · 2}{5 · 2}= \frac{4}{10} = 0,4$

$\mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }4 : 13 =\frac{ 4}{13}$

$\mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }17 : 20 = \frac{17 · 5}{20 · 5} = \frac{85}{100} = 0,85$

$\mathit{г}\mathbf{)} 19 : 43 = \frac{19}{43}$

Частное $2 : 5$ можно записать в виде обыкновенной дроби, где делимое (2) является числителем, а делитель (5) — знаменателем: $2 : 5 = \frac{2}{5}$. Эту дробь можно легко преобразовать в десятичную, так как ее знаменатель является делителем числа 10. Умножим числитель и знаменатель на 2, чтобы получить в знаменателе 10:

$\frac{2}{5} = \frac{2 \times 2}{5 \times 2} = \frac{4}{10} = 0.4$

Ответ: $\frac{2}{5}$ или $0.4$.

Частное $4 : 13$ записывается в виде обыкновенной дроби: $4 : 13 = \frac{4}{13}$. Знаменатель 13 является простым числом (отличным от 2 и 5), поэтому при переводе в десятичную дробь получится бесконечная периодическая дробь. В таких случаях предпочтительнее оставлять запись в виде обыкновенной дроби. Дробь является несократимой, так как 4 не делится на 13.

Ответ: $\frac{4}{13}$.

Частное $17 : 20$ представляется в виде обыкновенной дроби: $17 : 20 = \frac{17}{20}$. Эту дробь можно преобразовать в конечную десятичную дробь, так как ее знаменатель 20 состоит только из простых множителей 2 и 5 ($20 = 2^2 \times 5$). Приведем знаменатель к 100, умножив числитель и знаменатель на 5:

$\frac{17}{20} = \frac{17 \times 5}{20 \times 5} = \frac{85}{100} = 0.85$

Ответ: $\frac{17}{20}$ или $0.85$.

Частное $19 : 43$ записывается в виде обыкновенной дроби: $19 : 43 = \frac{19}{43}$. Числа 19 и 43 являются простыми, поэтому дробь несократимая. Так как знаменатель 43 является простым числом (отличным от 2 и 5), при переводе этой дроби в десятичную получится бесконечная периодическая дробь. Поэтому результат следует оставить в виде обыкновенной дроби.

Ответ: $\frac{19}{43}$.

2.113. Запишите в виде частного дробь:

а) 37; б) 118; в) 2910; г) 0,7; д) 0,24.

2.113

$\mathit{а}\mathbf{)} \frac{3}{7} = 3 : 7$

$\mathit{б}\mathbf{)}\frac{ 11}{8} = 11 : 8$

$\mathit{в}\mathbf{)} \frac{29}{10} = 29 : 10$

$\mathit{г}\mathbf{)} 0,7 = \frac{7}{10} = 7 : 10$

$\mathit{д}\mathbf{)} 0,24 = \frac{24 : 4 }{100 : 4}=\frac{6}{25}= 6 : 25$

а) Любую обыкновенную дробь вида $\frac{a}{b}$ можно представить в виде частного, то есть результата деления числителя $a$ на знаменатель $b$. Черта дроби по своей сути является знаком деления. Для дроби $\frac{3}{7}$ числитель равен 3, а знаменатель равен 7. Следовательно, эту дробь можно записать как частное от деления 3 на 7.

Ответ: $3 : 7$

б) Аналогично, для дроби $\frac{11}{8}$ числителем является число 11, а знаменателем — число 8. Чтобы представить эту дробь в виде частного, нужно записать операцию деления числителя на знаменатель.

Ответ: $11 : 8$

в) В дроби $\frac{29}{10}$ числитель равен 29, а знаменатель равен 10. Представим данную дробь в виде частного, то есть в виде выражения, показывающего деление числителя на знаменатель.

Ответ: $29 : 10$

г) Десятичную дробь 0,7 необходимо сначала перевести в обыкновенную дробь. Число 0,7 читается как "семь десятых", что соответствует обыкновенной дроби $\frac{7}{10}$. Теперь, по аналогии с предыдущими пунктами, запишем эту дробь как частное от деления числителя (7) на знаменатель (10).

Ответ: $7 : 10$

д) Десятичную дробь 0,24 переведем в обыкновенную дробь. Число 0,24 читается как "двадцать четыре сотых", что можно записать в виде дроби $\frac{24}{100}$. Чтобы представить эту дробь в виде частного, нужно разделить ее числитель (24) на знаменатель (100).

Ответ: $24 : 100$

2.114. Запишите в виде смешанного числа частное:

а) 19 : 5; б) 20 : 7; в) 21 : 5; г) 392 : 16.

2.114

$\mathit{а}\mathbf{)} 19 : 5 = \frac{19}{5} = 3\frac{4}{5}$

$\mathit{б}\mathbf{)} 20 : 7 = \frac{20}{7}= 2\frac{6}{7}$

$\mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }21 : 5 = \frac{21}{5}= 4\frac{1}{5}$

$\mathit{г}\mathbf{)} 392 : 16 = \frac{392}{16}= 24\frac{8}{16}= 24\frac{1}{2}$

а) Чтобы представить частное $19 : 5$ в виде смешанного числа, необходимо выполнить деление с остатком. Разделим $19$ на $5$.
Наибольшее число, меньшее $19$ и кратное $5$, это $15$.
$15 : 5 = 3$. Это будет целая часть смешанного числа.
Теперь найдем остаток от деления: $19 - 15 = 4$. Это будет числитель дробной части.
Знаменателем дробной части является делитель, то есть $5$.
Таким образом, получаем смешанное число $3\frac{4}{5}$.
Ответ: $3\frac{4}{5}$

б) Чтобы представить частное $20 : 7$ в виде смешанного числа, выполним деление с остатком. Разделим $20$ на $7$.
Наибольшее число, меньшее $20$ и кратное $7$, это $14$.
$14 : 7 = 2$. Это целая часть.
Найдем остаток: $20 - 14 = 6$. Это числитель.
Знаменатель равен $7$.
В результате получаем смешанное число $2\frac{6}{7}$.
Ответ: $2\frac{6}{7}$

в) Чтобы представить частное $21 : 5$ в виде смешанного числа, выполним деление с остатком. Разделим $21$ на $5$.
Наибольшее число, меньшее $21$ и кратное $5$, это $20$.
$20 : 5 = 4$. Это целая часть.
Найдем остаток: $21 - 20 = 1$. Это числитель.
Знаменатель равен $5$.
Получаем смешанное число $4\frac{1}{5}$.
Ответ: $4\frac{1}{5}$

г) Чтобы представить частное $392 : 16$ в виде смешанного числа, выполним деление с остатком (в столбик).
Делим $39$ на $16$, получаем $2$ и остаток $39 - 16 \cdot 2 = 39 - 32 = 7$.
Сносим $2$, получаем $72$. Делим $72$ на $16$, получаем $4$ и остаток $72 - 16 \cdot 4 = 72 - 64 = 8$.
Таким образом, целая часть частного равна $24$, а остаток от деления равен $8$.
Получаем смешанное число $24\frac{8}{16}$.
Дробную часть $\frac{8}{16}$ можно сократить, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный $8$.
$\frac{8:8}{16:8} = \frac{1}{2}$.
Итоговое смешанное число: $24\frac{1}{2}$.
Ответ: $24\frac{1}{2}$

2.115. Найдите среднее арифметическое четырёх чисел:

а) 2,6; 3,8; 4,3 и 3,7;
б) 4,7; 5,6; 3,9 и 8,2;
в) 13,46, 17,24; 21,39 и 7,91;
г) 14,33; 19,42; 3,47 и 10,48.

2.115

$\mathit{а}\mathbf{)} (2,6 \stackrel{1}{+} 3,8 \stackrel{3}{+} 4,3 \stackrel{2}{+} 3,7)\stackrel{4}{ : }4 = 14,4 : 4 = 3,6$

1.	2.
3.	4.

$\mathit{б}\mathbf{)} (4,7 \stackrel{1}{+} 5,6 \stackrel{3}{+} 3,9 \stackrel{2}{+} 8,2)\stackrel{4}{ :} 4 = 22,4 : 4 = 5,6$

1.	2.
3.	4.

$\mathit{в}\mathbf{)} (13,46 \stackrel{1}{+} 17,24 \stackrel{3}{+} 21,39 \stackrel{2}{+} 7,91) : 4 = 60 : 4 = 15$

1.	2.
3.

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }(14,33 + 19,42 + 3,47 + 10,48) : 4 = \\ =( 14,33 \stackrel{1}{+}3,47 \stackrel{3}{+} 19,42\stackrel{2}{ +} 10,48) \stackrel{4}{:} 4 = \\ = 47,7 : 4 = 11,925 \end{gathered}$$

1.	2.
3.	4.

Чтобы найти среднее арифметическое нескольких чисел, нужно найти их сумму и разделить её на количество этих чисел. В данной задаче для каждого пункта нужно найти сумму четырёх чисел и разделить её на 4.

а) Найдём среднее арифметическое чисел 2,6; 3,8; 4,3 и 3,7.

1. Сложим данные числа:

$2,6 + 3,8 + 4,3 + 3,7 = 14,4$

2. Разделим полученную сумму на количество чисел, то есть на 4:

$14,4 : 4 = 3,6$

Ответ: 3,6

б) Найдём среднее арифметическое чисел 4,7; 5,6; 3,9 и 8,2.

1. Сложим данные числа:

$4,7 + 5,6 + 3,9 + 8,2 = 22,4$

2. Разделим полученную сумму на 4:

$22,4 : 4 = 5,6$

Ответ: 5,6

в) Найдём среднее арифметическое чисел 13,46; 17,24; 21,39 и 7,91.

1. Сложим данные числа:

$13,46 + 17,24 + 21,39 + 7,91 = 60,00$

2. Разделим полученную сумму на 4:

$60 : 4 = 15$

Ответ: 15

г) Найдём среднее арифметическое чисел 14,33; 19,42; 3,47 и 10,48.

1. Сложим данные числа:

$14,33 + 19,42 + 3,47 + 10,48 = 47,70$

2. Разделим полученную сумму на 4:

$47,70 : 4 = 11,925$

Ответ: 11,925

2.116. Среднее арифметическое двух чисел равно 48. Найдите числа, если одно число в в 3 раза меньше другого.

2.116

Пусть х – 1ое число, тогда 3х – 2ое число. Зная, что среднее арифметическое этих чисел 48, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} (х + 3х) : 2 = 48; \\ 4х = 48 · 2; \\ 4х = 96; \\ х = 96 : 4; \end{gathered}$$

х = 24 – 1ое число

$\mathbf{1}\mathbf{)} 3 · 24 = 72$– 2ое число.

Ответ: 24; 72.

Для решения задачи введем переменную. Пусть меньшее из двух искомых чисел равно $x$.

По условию, одно число в 3 раза меньше другого. Это означает, что большее число в 3 раза больше меньшего. Следовательно, большее число равно $3x$.

Среднее арифметическое двух чисел вычисляется как их сумма, деленная на 2. Из условия известно, что среднее арифметическое равно 48. Мы можем составить уравнение:

$\frac{x + 3x}{2} = 48$

Теперь решим это уравнение. Сначала упростим выражение в числителе дроби:

$\frac{4x}{2} = 48$

Сократим дробь в левой части уравнения:

$2x = 48$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 2:

$x = \frac{48}{2}$

$x = 24$

Мы нашли меньшее число, оно равно 24.

Теперь найдем большее число, которое равно $3x$:

$3 \cdot 24 = 72$

Таким образом, искомые числа — это 24 и 72.

Проверим результат. Во-первых, $72 / 24 = 3$, значит, одно число действительно в 3 раза меньше другого. Во-вторых, найдем их среднее арифметическое: $\frac{24 + 72}{2} = \frac{96}{2} = 48$. Результат совпадает с условием задачи.

Ответ: 24 и 72.

2.117. 1) На овощной базе было 23 т овощей. В первый день продали в 4,6 раза меньше овощей, чем во второй день. К утру третьего дня на базе осталось 3,4 т овощей. Сколько тонн овощей продали во второй день?

2) Туристы запланировали пройти за день 33 км. До обеда они прошли в 2,2 раза большее расстояние, чем после обеда. К вечеру им осталось пройти 2,6 км. Сколько километров прошли туристы до обеда?

2.117

Пусть х т – продали во 2 день, тогда 4,6 х т. – продали в 1 день. Зная, что всего было продано 23 т и в 3 день осталось 3, 4 т, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} х + 4,6 х + 3,4 = 23; \\ 5,6 х + 3,4 = 23; \\ 5,6 х = 23 – 3,4 ; \\ 5,6 х = 19,6; \end{gathered}$$

$х = 196 : 56;$

$х = 3,5$(т) – продали в 1 день;

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }3,5 · 4,6 = 16,1$(т) – продано во 2 день.

Ответ: 16,1 т

Пусть х км – прошли после обеда, тогда 2,2х км – прошли до обеда. Зная, что всего прошли 33 км, и к вечеру осталось 2,6 км, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} х + 2,2х + 2,6 = 33; \\ 3,2 х = 33 – 2,6; \\ 3,2х = 30,4; \end{gathered}$$

$х = 304 : 32;$

$х = 9,5$(км) – прошли после обеда;

$\mathbf{1}\mathbf{)} 9,5 · 2,2 = 20,9$(км) – прошли до обеда;

Ответ: 20,9 км

1)

Для решения задачи определим переменные и составим уравнение. Пусть $x$ — это количество тонн овощей, проданных во второй день. Согласно условию, в первый день продали в 4,6 раза меньше, следовательно, количество овощей, проданных в первый день, составляет $\frac{x}{4.6}$ тонн.

Сначала найдем общее количество овощей, проданных за два дня. Для этого из начального количества вычтем то, что осталось:
$23 - 3.4 = 19.6$ (тонн) — было продано за два дня.

Теперь можно составить уравнение. Сумма овощей, проданных в первый и второй день, равна общему количеству проданных овощей:
$\frac{x}{4.6} + x = 19.6$

Решим это уравнение относительно $x$. Вынесем $x$ за скобки:
$x \cdot (\frac{1}{4.6} + 1) = 19.6$
$x \cdot (\frac{1}{4.6} + \frac{4.6}{4.6}) = 19.6$
$x \cdot \frac{1 + 4.6}{4.6} = 19.6$
$x \cdot \frac{5.6}{4.6} = 19.6$

Выразим $x$:
$x = 19.6 \cdot \frac{4.6}{5.6}$
$x = \frac{19.6 \cdot 4.6}{5.6}$
$x = 16.1$

Таким образом, во второй день было продано 16,1 тонны овощей.

Ответ: во второй день продали 16,1 т овощей.

2)

Обозначим за $x$ расстояние в километрах, которое туристы прошли после обеда. По условию, до обеда они прошли в 2,2 раза большее расстояние, что составляет $2.2 \cdot x$ км.

Сначала вычислим общее расстояние, которое туристы прошли за весь день. Для этого из запланированного расстояния вычтем то, что им осталось пройти:
$33 - 2.6 = 30.4$ (км) — прошли туристы за день.

Общее пройденное расстояние равно сумме расстояний, пройденных до и после обеда. Составим уравнение:
$2.2x + x = 30.4$

Теперь решим полученное уравнение:
$3.2x = 30.4$
$x = \frac{30.4}{3.2}$
$x = 9.5$

Мы нашли расстояние, которое туристы прошли после обеда — 9,5 км. В задаче спрашивается, сколько они прошли до обеда. Для этого умножим найденное значение на 2,2:
$2.2 \cdot x = 2.2 \cdot 9.5 = 20.9$ (км).

Ответ: до обеда туристы прошли 20,9 км.

Вопросы:

Какой знак имеет частное двух положительных чисел; двух отрицательных чисел; чисел с разными знаками?

Расскажите алгоритм деления чисел.

Чему равно частное от деления нуля на число, отличное от нуля?

34. Действие деления

Вопросы к параграфу

• частное двух положительных чисел имеет знак «+»; частное двух отрицательных чисел имеет знак «+»; частное двух чисел с разными знаками имеет знак «-»

• чтобы найти частное двух чисел, отличных от нуля, надо:
  1) разделить модуль делимого на модуль делителя
  2) поставить у полученного числа знак «+», если делимое и делитель одного знака, и знак «-», если делимое и делитель разных знаков

• частное от деления нуля на число, отличное от нуля, равно нулю

Какой знак имеет частное двух положительных чисел; двух отрицательных чисел; чисел с разными знаками?
Знак частного двух чисел определяется по следующему правилу, которое аналогично правилу для умножения чисел:
1. Частное двух положительных чисел всегда является положительным числом. Схематически это можно записать так: $(+) : (+) = (+)$.
2. Частное двух отрицательных чисел также является положительным числом. Правило: $(-) : (-) = (+)$.
3. Частное двух чисел с разными знаками (когда одно число положительное, а другое отрицательное) всегда является отрицательным числом. Правила: $(+) : (-) = (-)$ и $(-) : (+) = (-)$.
Ответ: частное двух положительных или двух отрицательных чисел имеет знак "плюс" (положительное); частное чисел с разными знаками имеет знак "минус" (отрицательное).

Расскажите алгоритм деления чисел.
Алгоритм деления одного рационального числа на другое (при условии, что делитель не равен нулю) можно описать в два шага:
1. Найти модуль частного. Для этого необходимо разделить модуль делимого (числа, которое делят) на модуль делителя (числа, на которое делят). Если мы делим число $a$ на число $b$ (где $b \neq 0$), то модуль результата будет $|a| : |b|$.
2. Определить знак частного. Знак результата определяется по знакам исходных чисел:

• Если знаки делимого и делителя одинаковы (оба положительные или оба отрицательные), то частное будет положительным (иметь знак "+").
• Если знаки делимого и делителя разные (одно положительное, другое отрицательное), то частное будет отрицательным (иметь знак "−").

Например, разделим $-42$ на $-7$:
1. Находим модули: $|-42|=42$ и $|-7|=7$. Делим модули: $42 : 7 = 6$.
2. Знаки у делимого ($-42$) и делителя ($-7$) одинаковые (оба отрицательные), значит, результат будет положительным.
Таким образом, $(-42) : (-7) = 6$.
Ответ: чтобы разделить два числа, нужно разделить модуль делимого на модуль делителя, а перед полученным числом поставить знак "+", если знаки делимого и делителя одинаковы, и знак "−", если их знаки различны.

Чему равно частное от деления нуля на число, отличное от нуля?
Операция деления является обратной для операции умножения. Это означает, что если частное от деления числа $a$ на число $b$ равно $c$, то есть $a : b = c$, то должно выполняться равенство $c \cdot b = a$.
Рассмотрим деление нуля на некоторое число $b$, которое не равно нулю ($b \neq 0$). Пусть результат этого деления равен $c$:
$0 : b = c$
Тогда, согласно определению деления, должно выполняться равенство:
$c \cdot b = 0$
Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. По условию, делитель $b$ не равен нулю ($b \neq 0$). Следовательно, чтобы произведение было равно нулю, множитель $c$ обязательно должен быть равен нулю ($c=0$).
Таким образом, частное от деления нуля на любое число, отличное от нуля, всегда равно нулю.
Ответ: частное от деления нуля на число, отличное от нуля, равно нулю.

4.305. Верно ли выполнено деление:

а) −24 : 2 = −12; б) 100 : (−2,5) = −4; в) 3,8 : (−1) = 3,8; г) −8,4 : (−4) = 2,1?

4.305

а) -24 : 2 = -12 – верно

б) 100 : (-2,5) = -4 – неверно, 100 : (-2,5) = 1000 : (-25) = -40

в) 3,8 : (-1) = 3,8 – неверно, 3,8 : (-1) = -3,8

г) -8,4 : (-4) = 2,1 – верно

а) Проверим равенство $-24 : 2 = -12$.
При делении отрицательного числа на положительное, результат будет отрицательным. Найдем частное их модулей: $|-24| : |2| = 24 : 2 = 12$.
Так как результат должен быть отрицательным, получаем: $-24 : 2 = -12$.
Выражение в задании верное.
Ответ: верно.

б) Проверим равенство $100 : (-2,5) = -4$.
При делении положительного числа на отрицательное, результат будет отрицательным. Найдем частное их модулей: $|100| : |-2,5| = 100 : 2,5$.
Чтобы разделить на десятичную дробь, можно умножить делимое и делитель на 10, чтобы делитель стал целым числом: $1000 : 25 = 40$.
Так как результат должен быть отрицательным, получаем: $100 : (-2,5) = -40$.
Выражение в задании $100 : (-2,5) = -4$ неверное, так как $-40 \neq -4$.
Ответ: неверно.

в) Проверим равенство $3,8 : (-1) = 3,8$.
При делении положительного числа на отрицательное, результат будет отрицательным. Деление любого числа $a$ на $-1$ дает в результате $-a$.
Следовательно, $3,8 : (-1) = -3,8$.
Выражение в задании неверное, так как $-3,8 \neq 3,8$.
Ответ: неверно.

г) Проверим равенство $-8,4 : (-4) = 2,1$.
При делении отрицательного числа на отрицательное, результат будет положительным. Найдем частное их модулей: $|-8,4| : |-4| = 8,4 : 4$.
Выполним деление: $8,4 : 4 = 2,1$.
Так как результат должен быть положительным, получаем: $-8,4 : (-4) = 2,1$.
Выражение в задании верное.
Ответ: верно.

4.306. Выполните деление:

а) −34 : 17; б) 36 : (−12); в) 630 : (−7); г) −25 : (−5); д) −48 : (−16); е) −76 : (−19).

4.306

а) -34 : 17 = -(34 : 17) = -2

б) 36 : (-12) = -(36 : 12) = -3

в) 630 : (-7) = -(630 : 7) = -90

г) -25 : (-5) = 25 : 5 = 5

д) -48 : (-16) = 48 : 16 = 3

е) -76 : (-19) = 76 : 19 = 4

а) Чтобы разделить отрицательное число на положительное, нужно разделить их модули и перед результатом поставить знак «минус».
Вычисляем: $ |-34| : |17| = 34 : 17 = 2 $.
Поскольку числа имеют разные знаки, результат будет отрицательным.
$ -34 : 17 = -2 $
Ответ: -2

б) Чтобы разделить положительное число на отрицательное, нужно разделить их модули и перед результатом поставить знак «минус».
Вычисляем: $ |36| : |-12| = 36 : 12 = 3 $.
Поскольку числа имеют разные знаки, результат будет отрицательным.
$ 36 : (-12) = -3 $
Ответ: -3

в) Чтобы разделить положительное число на отрицательное, нужно разделить их модули и перед результатом поставить знак «минус».
Вычисляем: $ |630| : |-7| = 630 : 7 = 90 $.
Поскольку числа имеют разные знаки, результат будет отрицательным.
$ 630 : (-7) = -90 $
Ответ: -90

г) Чтобы разделить два отрицательных числа, нужно разделить их модули. Результат деления будет положительным.
Вычисляем: $ |-25| : |-5| = 25 : 5 = 5 $.
Поскольку оба числа отрицательные, результат будет положительным.
$ -25 : (-5) = 5 $
Ответ: 5

д) Чтобы разделить два отрицательных числа, нужно разделить их модули. Результат деления будет положительным.
Вычисляем: $ |-48| : |-16| = 48 : 16 = 3 $.
Поскольку оба числа отрицательные, результат будет положительным.
$ -48 : (-16) = 3 $
Ответ: 3

е) Чтобы разделить два отрицательных числа, нужно разделить их модули. Результат деления будет положительным.
Вычисляем: $ |-76| : |-19| = 76 : 19 = 4 $.
Поскольку оба числа отрицательные, результат будет положительным.
$ -76 : (-19) = 4 $
Ответ: 4

4.307. Вычислите:

а) −6,6 : 6; б) −10,4 : (−5,2); в) 950 : (−1,9); г) −840 : (−8,4); д) −7,8 : (−16); е) 91,7 : (−91,7); ж) −5,66 : (−28,3); з) 11,55 : (−1,5).

4.307

$\mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }-6,6 : 6 = -(6,6 : 6) = -1,1$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }-10,4 : (-5,2) = 10,4 : 5,2 = \\ = 104 : 52 = 2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }950 : (-1,9) = -(950 : 1,9) = \\ = -(9500 : 19) = -500 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)} -840 : (-8,4) = 840 : 8,4 = \\ = 8400 : 84 = 100 \end{gathered}$$

$\mathit{д}\mathbf{)}\mathbf{ }-7,8 : (-16) = 7,8 : 16 = 0,4875$

$$\begin{gathered} \mathit{е}\mathbf{)} 91,7 : (-91,7) = -(91,7 : 91,7) = \\ = -1 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{ж}\mathbf{)}\mathbf{ }-5,66 : (-28,3) = 5,66 : 28,3 = \\ = 56,6 : 283 = 0,2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{з}\mathbf{)}\mathbf{ }11,55 : (-1,5) = -(11,55 : 1,5) = \\ = -(115,5 : 15) = -7,7 \end{gathered}$$

а) При делении отрицательного числа на положительное получается отрицательное число. Чтобы найти частное, нужно разделить модуль делимого на модуль делителя и поставить перед результатом знак «−».

$-6,6 : 6 = -(6,6 : 6) = -1,1$

Ответ: $-1,1$

б) При делении отрицательного числа на отрицательное получается положительное число. Чтобы разделить десятичные дроби, можно перенести запятую в делимом и делителе на одинаковое количество знаков вправо, чтобы делитель стал целым числом.

$-10,4 : (-5,2) = 10,4 : 5,2 = (10,4 \cdot 10) : (5,2 \cdot 10) = 104 : 52 = 2$

Ответ: $2$

в) При делении положительного числа на отрицательное получается отрицательное число. Перенесем запятую в делимом и делителе на один знак вправо.

$950 : (-1,9) = -(950 : 1,9) = -((950 \cdot 10) : (1,9 \cdot 10)) = -(9500 : 19)$

Так как $95 : 19 = 5$, то $9500 : 19 = 500$.

$950 : (-1,9) = -500$

Ответ: $-500$

г) При делении отрицательного числа на отрицательное получается положительное число. Перенесем запятую в делимом и делителе на один знак вправо.

$-840 : (-8,4) = 840 : 8,4 = (840 \cdot 10) : (8,4 \cdot 10) = 8400 : 84 = 100$

Ответ: $100$

д) При делении отрицательного числа на отрицательное получается положительное число.

$-7,8 : (-16) = 7,8 : 16$

Выполним деление столбиком:

$7,8 : 16 = 0,4875$

Ответ: $0,4875$

е) При делении числа на противоположное ему число (равное по модулю, но с другим знаком) результат всегда равен $-1$.

$91,7 : (-91,7) = -(91,7 : 91,7) = -1$

Ответ: $-1$

ж) При делении отрицательного числа на отрицательное получается положительное число. Перенесем запятую в делимом и делителе на один знак вправо.

$-5,66 : (-28,3) = 5,66 : 28,3 = (5,66 \cdot 10) : (28,3 \cdot 10) = 56,6 : 283$

Поскольку $283 \cdot 2 = 566$, то $283 \cdot 0,2 = 56,6$. Следовательно:

$56,6 : 283 = 0,2$

Ответ: $0,2$

з) При делении положительного числа на отрицательное получается отрицательное число. Перенесем запятую в делимом и делителе на один знак вправо.

$11,55 : (-1,5) = -(11,55 : 1,5) = -((11,55 \cdot 10) : (1,5 \cdot 10)) = -(115,5 : 15)$

Выполнив деление столбиком $115,5$ на $15$, получаем $7,7$.

$11,55 : (-1,5) = -7,7$

Ответ: $-7,7$