Страница 63, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

2.140. Используя транспортир, разделите окружность: а) на 6 равных частей; б) на 3 равные части. Соедините последовательно получившиеся точки отрезками. Измерьте стороны и углы построенного многоугольника. Сделайте предположение.

2.140

Стороны шестиугольника: 2,2 см; 2,2 см; 2,2 см; 2,2 см; 2,2 см; 2,2 см.

Углы шестиугольника: 120°; 120°; 120°; 120°; 120°; 120°;

Стороны треугольника: 3,5 см; 3,5 см; 3,5 см.

Углы треугольника: 60°; 60°; 60°.

правильного многоугольника все стороны равны и все углы равны.

а) Чтобы разделить окружность на 6 равных частей, необходимо полный угол окружности, равный $360^\circ$, разделить на 6. Величина центрального угла для каждой части будет равна $360^\circ : 6 = 60^\circ$. Сначала начертим окружность с помощью циркуля и проведем один радиус. Затем, используя транспортир, отложим от этого радиуса последовательно шесть центральных углов по $60^\circ$ и отметим на окружности шесть точек. Соединив эти точки последовательно отрезками, мы получим шестиугольник. Если измерить стороны полученного шестиугольника линейкой, окажется, что они все равны. Если измерить его внутренние углы транспортиром, окажется, что они также все равны и составляют $120^\circ$. Согласно определению, многоугольник, у которого все стороны и все углы равны, является правильным.

Ответ: Построенный многоугольник является правильным шестиугольником, у которого все стороны равны, а все углы равны $120^\circ$.

б) Чтобы разделить окружность на 3 равные части, необходимо полный угол окружности ($360^\circ$) разделить на 3. Величина центрального угла для каждой части будет равна $360^\circ : 3 = 120^\circ$. Аналогично предыдущему пункту, начертим окружность, проведем радиус и с помощью транспортира последовательно отложим от центра три угла по $120^\circ$, отметив на окружности три точки. Соединив эти точки отрезками, мы получим треугольник. Измерив стороны и углы этого треугольника, мы установим, что все его стороны равны, а все углы равны $60^\circ$. Такой треугольник является правильным (или равносторонним).

Ответ: Построенный многоугольник является правильным треугольником, у которого все стороны равны и все углы равны $60^\circ$.

Предположение: Если разделить окружность на $n$ равных частей и последовательно соединить полученные точки отрезками, то в результате построения получится правильный $n$-угольник.

2.141. Является ли правильным многоугольником прямоугольник; квадрат?

2.141

Правильный многоугольник – это многоугольник, у которого все стороны и углы равны. Отсюда следует, что прямоугольник не является правильным многоугольником, так как стороны у него все не равны, а квадрат является.

Прямоугольник

Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого равны все стороны и все углы. Проверим, удовлетворяет ли прямоугольник этому определению.

С одной стороны, у любого прямоугольника все углы равны между собой и составляют $90^\circ$. Таким образом, условие равенства углов выполняется.

С другой стороны, у прямоугольника в общем виде равны только противолежащие стороны. Если его длина и ширина не совпадают, то его стороны не равны между собой. Таким образом, условие равенства всех сторон не выполняется.

Поскольку для прямоугольника (если он не является квадратом) выполняется только одно из двух обязательных условий, он не является правильным многоугольником.

Ответ: нет, прямоугольник в общем случае не является правильным многоугольником.

Квадрат

Проверим, соответствует ли квадрат определению правильного многоугольника.

У квадрата по определению все стороны равны между собой. Также, являясь частным случаем прямоугольника, квадрат имеет четыре равных угла, каждый из которых составляет $90^\circ$.

Так как у квадрата равны и все стороны, и все углы, он полностью удовлетворяет определению правильного многоугольника. Квадрат является правильным четырехугольником.

Ответ: да, квадрат является правильным многоугольником.

2.142. Найдите значение выражения и проверьте ваши вычисления с помощью калькулятора:

1) (20,826 + 46,97 : 7,7 - 1,725 · 5,6) : 1,78;

2) (9,25 · 8,4 + 44,89 : 67 - 55,816) : 5,37.

2.142

$\mathbf{1}\mathbf{)} (20,826 \stackrel{3}{+} 46,97 \stackrel{1}{:} 7,7 \stackrel{4}{–} 1,725 \stackrel{2}{·} 5,6) \stackrel{5}{:} 1,78 = 9,7$

1.	2.
3.	4.
5.

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }(9,25 \stackrel{1}{·} 8,4 \stackrel{3}{+} 44,89 \stackrel{2}{:} 67 \stackrel{4}{–} 55,816) \stackrel{5}{:} 5,37 = 4,2$

1.	2.
3.	4.
5.

1) Решим выражение $(20,826 + 46,97 : 7,7 - 1,725 \cdot 5,6) : 1,78$ по действиям, соблюдая правильный порядок их выполнения (сначала действия в скобках, внутри скобок — умножение и деление, затем сложение и вычитание).
1. Первое действие в скобках — деление:
$46,97 : 7,7 = 6,1$
2. Второе действие в скобках — умножение:
$1,725 \cdot 5,6 = 9,66$
3. Третье действие в скобках — сложение:
$20,826 + 6,1 = 26,926$
4. Четвертое действие в скобках — вычитание:
$26,926 - 9,66 = 17,266$
5. Последнее действие — деление результата из скобок на $1,78$:
$17,266 : 1,78 = 9,7$
Проверка на калькуляторе подтверждает результат: $(20.826 + 46.97 / 7.7 - 1.725 * 5.6) / 1.78 = 9.7$.
Ответ: $9,7$

2) Решим выражение $(9,25 \cdot 8,4 + 44,89 : 67 - 55,816) : 5,37$ по действиям.
1. Первое действие в скобках — умножение:
$9,25 \cdot 8,4 = 77,7$
2. Второе действие в скобках — деление:
$44,89 : 67 = 0,67$
3. Третье действие в скобках — сложение:
$77,7 + 0,67 = 78,37$
4. Четвертое действие в скобках — вычитание:
$78,37 - 55,816 = 22,554$
5. Последнее действие — деление результата из скобок на $5,37$:
$22,554 : 5,37 = 4,2$
Проверка на калькуляторе подтверждает результат: $(9.25 * 8.4 + 44.89 / 67 - 55.816) / 5.37 = 4.2$.
Ответ: $4,2$

2.143 Приведите дробь:

а) 37 к знаменателю 84;

б) 1517 к знаменателю 136;

в) 1223 к знаменателю 92;

г) 1011 к знаменателю 143.

2.143

$\mathbf{а}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{3}{7}}^{\overline{)·12}}=\frac{3 · 12}{7 · 12}=\frac{36}{84}$

$\mathbf{б}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{15}{17}}^{\overline{)·8}}=\frac{15 · 8}{17 · 8}=\frac{120}{136}$

$\mathbf{в}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{12}{23}}^{\overline{)·4}}=\frac{12 · 4}{23 · 4}=\frac{48}{93}$

$\mathbf{г}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{10}{11}}^{\overline{)·13}}=\frac{10 · 13}{11 · 13}=\frac{130}{143}$

а) Чтобы привести дробь к новому знаменателю, нужно найти дополнительный множитель. Для этого разделим новый знаменатель (84) на исходный (7):
$ 84 \div 7 = 12 $
Теперь умножим числитель и знаменатель исходной дроби $ \frac{3}{7} $ на этот дополнительный множитель (12):
$ \frac{3 \cdot 12}{7 \cdot 12} = \frac{36}{84} $
Ответ: $ \frac{36}{84} $.

б) Найдем дополнительный множитель, разделив новый знаменатель (136) на исходный (17):
$ 136 \div 17 = 8 $
Умножим числитель и знаменатель дроби $ \frac{15}{17} $ на дополнительный множитель (8):
$ \frac{15 \cdot 8}{17 \cdot 8} = \frac{120}{136} $
Ответ: $ \frac{120}{136} $.

в) Определим дополнительный множитель для дроби $ \frac{12}{23} $, чтобы привести ее к знаменателю 92. Разделим 92 на 23:
$ 92 \div 23 = 4 $
Умножим числитель и знаменатель на 4:
$ \frac{12 \cdot 4}{23 \cdot 4} = \frac{48}{92} $
Ответ: $ \frac{48}{92} $.

г) Найдем дополнительный множитель для дроби $ \frac{10}{11} $ для приведения к знаменателю 143. Разделим 143 на 11:
$ 143 \div 11 = 13 $
Умножим числитель и знаменатель на 13:
$ \frac{10 \cdot 13}{11 \cdot 13} = \frac{130}{143} $
Ответ: $ \frac{130}{143} $.

2.144 Запишите в виде десятичной дроби:

а) 35; б) 725; в) 34; г) 2750; д) 1320; е) 58.

2.144

$\mathbf{а}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{3}{5}}^{\overline{)·2}}=\frac{3 · 2}{5 · 2}=\frac{6}{10}=0,6$

$\mathbf{б}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{7}{25}}^{\overline{)·4}}=\frac{7 · 4}{25 · 4}=\frac{28}{100}=0,28$

$\mathbf{в}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{3}{4}}^{\overline{)·25}}=\frac{3 · 25}{4 · 25}=\frac{75}{100}=0,75$

$\mathbf{г}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{27}{50}}^{\overline{)·2}}=\frac{27 · 2}{50 · 2}=\frac{54}{100}=0,54$

$\mathbf{д}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{13}{20}}^{\overline{)·5}}=\frac{13 · 5}{20 · 5}=\frac{65}{100}=0,65$

$\mathbf{е}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{5}{8}}^{\overline{)·125}}=\frac{5 · 125}{8 · 125}=\frac{625}{1000}=0,625$

Чтобы преобразовать обыкновенную дробь в десятичную, необходимо представить ее в виде дроби со знаменателем 10, 100, 1000 и так далее. Для этого числитель и знаменатель исходной дроби умножают на один и тот же дополнительный множитель. После приведения дроби к новому знаменателю ее записывают в десятичном виде.

а) Чтобы преобразовать дробь $\frac{3}{5}$ в десятичную, приведем ее к знаменателю 10. Для этого умножим числитель и знаменатель на 2:

$\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{6}{10} = 0,6$

Ответ: 0,6

б) Чтобы преобразовать дробь $\frac{7}{25}$ в десятичную, приведем ее к знаменателю 100. Для этого умножим числитель и знаменатель на 4:

$\frac{7}{25} = \frac{7 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{28}{100} = 0,28$

Ответ: 0,28

в) Чтобы преобразовать дробь $\frac{3}{4}$ в десятичную, приведем ее к знаменателю 100. Для этого умножим числитель и знаменатель на 25:

$\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{75}{100} = 0,75$

Ответ: 0,75

г) Чтобы преобразовать дробь $\frac{27}{50}$ в десятичную, приведем ее к знаменателю 100. Для этого умножим числитель и знаменатель на 2:

$\frac{27}{50} = \frac{27 \cdot 2}{50 \cdot 2} = \frac{54}{100} = 0,54$

Ответ: 0,54

д) Чтобы преобразовать дробь $\frac{13}{20}$ в десятичную, приведем ее к знаменателю 100. Для этого умножим числитель и знаменатель на 5:

$\frac{13}{20} = \frac{13 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{65}{100} = 0,65$

Ответ: 0,65

е) Чтобы преобразовать дробь $\frac{5}{8}$ в десятичную, приведем ее к знаменателю 1000. Для этого умножим числитель и знаменатель на 125, так как $8 \cdot 125 = 1000$:

$\frac{5}{8} = \frac{5 \cdot 125}{8 \cdot 125} = \frac{625}{1000} = 0,625$

Ответ: 0,625

2.145 Приведите к наименьшему общему знаменателю дроби:

а) 965, 2150 и 11650;

б) 3263, 7147 и 4155;

в) 1115, 712 и 3760;

г) 71108, 2372 и 4790;

2.145

а) $\frac{9}{65}; \frac{21}{50} \mathrm{и} \frac{11}{650}$

$$\begin{gathered} \text{НОК (65; 20; 650) = 2 · 5 · 5 · 13 = 650} \\ \frac{9}{65} = \frac{9 · 10}{65 · 10} = \frac{90}{650} \\ \frac{21}{50} = \frac{21 · 13}{50 · 13} = \frac{273}{650} \\ \frac{11}{650} =\frac{11}{650} \\ \mathrm{Ответ}: \frac{90}{650}; \frac{273}{650} \mathrm{и} \frac{11}{650} \end{gathered}$$

б) $\frac{32}{63}; \frac{7}{147} \mathrm{и} \frac{41}{55}$

$$\begin{gathered} \mathrm{НОК} (63; 147; 55) = 3 · 7 · 7 · 3 · 5 · 11 = 24255 \\ \frac{32}{63} = \frac{32 · 7 · 5 · 11}{24255} = \frac{12320}{24255} \\ \frac{7}{147} = \frac{7 · 3 · 5 · 11}{24255} = \frac{1155}{24255} \\ \frac{41}{55} = \frac{41 · 3 · 7 · 7 · 3}{24255} = \frac{18081}{24255} \\ \mathrm{Ответ}: \frac{12320}{24255}; \frac{1155}{24255} \mathrm{и} \frac{18081}{24255}. \end{gathered}$$

в) $\frac{11}{15} ; \frac{7}{12} \mathrm{и} \frac{37}{60}$

$$\begin{gathered} \mathrm{НОК} (15; 12; 60) = 2 · 2 · 3 · 5 = 60 \\ \frac{11}{15} = \frac{11 · 2 · 2}{60} = \frac{44}{60} \\ \frac{7}{12} = \frac{7 · 5 }{60} = \frac{35}{60} \\ \frac{37}{60} = \frac{37}{60} \\ \mathrm{Ответ}: \frac{44}{60}; \frac{35}{60} \mathrm{и} \frac{37}{60}. \end{gathered}$$

г) $\frac{71}{108}; \frac{23}{72} \mathrm{и} \frac{47}{90}$

$$\begin{gathered} \mathrm{НОК} (108; 72; 90) = 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 2 · 5 = 1080 \\ \frac{71}{108} = \frac{71 · 10}{1080} = \frac{710}{1080} \\ \frac{23}{82} = \frac{23 · 3 · 5}{1089} = \frac{345}{1080} \\ \frac{47}{90} = \frac{47 · 2 · 3 · 3}{1080} = \frac{564}{1080} \\ \mathrm{Ответ}: \frac{710}{1080}; \frac{345}{1080} \mathrm{и} \frac{564}{1080}. \end{gathered}$$

а)

Чтобы привести дроби $\frac{9}{65}$, $\frac{21}{50}$ и $\frac{11}{650}$ к наименьшему общему знаменателю (НОЗ), необходимо найти наименьшее общее кратное (НОК) их знаменателей: 65, 50 и 650.

1. Разложим знаменатели на простые множители:

$65 = 5 \cdot 13$

$50 = 2 \cdot 25 = 2 \cdot 5^2$

$650 = 10 \cdot 65 = (2 \cdot 5) \cdot (5 \cdot 13) = 2 \cdot 5^2 \cdot 13$

2. Найдем НОК знаменателей. Для этого возьмем каждый простой множитель в наибольшей степени, в которой он встречается в разложениях:

НОК(65, 50, 650) = $2^1 \cdot 5^2 \cdot 13^1 = 2 \cdot 25 \cdot 13 = 650$.

Итак, наименьший общий знаменатель равен 650.

3. Приведем дроби к знаменателю 650. Для этого числитель и знаменатель каждой дроби умножим на дополнительный множитель.

Для дроби $\frac{9}{65}$ дополнительный множитель равен $650 \div 65 = 10$.

$\frac{9}{65} = \frac{9 \cdot 10}{65 \cdot 10} = \frac{90}{650}$

Для дроби $\frac{21}{50}$ дополнительный множитель равен $650 \div 50 = 13$.

$\frac{21}{50} = \frac{21 \cdot 13}{50 \cdot 13} = \frac{273}{650}$

Дробь $\frac{11}{650}$ уже имеет знаменатель 650, поэтому ее оставляем без изменений.

Ответ: $\frac{90}{650}, \frac{273}{650}, \frac{11}{650}$.

б)

Приведем дроби $\frac{32}{63}$, $\frac{7}{147}$ и $\frac{41}{55}$ к НОЗ. Найдем НОК знаменателей 63, 147 и 55.

1. Разложим знаменатели на простые множители:

$63 = 9 \cdot 7 = 3^2 \cdot 7$

$147 = 3 \cdot 49 = 3 \cdot 7^2$

$55 = 5 \cdot 11$

2. Найдем НОК знаменателей:

НОК(63, 147, 55) = $3^2 \cdot 7^2 \cdot 5^1 \cdot 11^1 = 9 \cdot 49 \cdot 5 \cdot 11 = 441 \cdot 55 = 24255$.

НОЗ равен 24255.

3. Приведем дроби к знаменателю 24255:

Для дроби $\frac{32}{63}$ дополнительный множитель: $24255 \div 63 = 385$.

$\frac{32}{63} = \frac{32 \cdot 385}{63 \cdot 385} = \frac{12320}{24255}$

Для дроби $\frac{7}{147}$ дополнительный множитель: $24255 \div 147 = 165$.

$\frac{7}{147} = \frac{7 \cdot 165}{147 \cdot 165} = \frac{1155}{24255}$

Для дроби $\frac{41}{55}$ дополнительный множитель: $24255 \div 55 = 441$.

$\frac{41}{55} = \frac{41 \cdot 441}{55 \cdot 441} = \frac{18081}{24255}$

Ответ: $\frac{12320}{24255}, \frac{1155}{24255}, \frac{18081}{24255}$.

в)

Приведем дроби $\frac{11}{15}$, $\frac{7}{12}$ и $\frac{37}{60}$ к НОЗ. Найдем НОК знаменателей 15, 12 и 60.

1. Разложим знаменатели на простые множители:

$15 = 3 \cdot 5$

$12 = 4 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$

$60 = 10 \cdot 6 = (2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 3) = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$

Можно заметить, что 60 делится и на 15 ($60 = 15 \cdot 4$), и на 12 ($60 = 12 \cdot 5$), поэтому 60 является наименьшим общим кратным.

НОК(15, 12, 60) = 60.

НОЗ равен 60.

2. Приведем дроби к знаменателю 60:

Для дроби $\frac{11}{15}$ дополнительный множитель: $60 \div 15 = 4$.

$\frac{11}{15} = \frac{11 \cdot 4}{15 \cdot 4} = \frac{44}{60}$

Для дроби $\frac{7}{12}$ дополнительный множитель: $60 \div 12 = 5$.

$\frac{7}{12} = \frac{7 \cdot 5}{12 \cdot 5} = \frac{35}{60}$

Дробь $\frac{37}{60}$ уже имеет знаменатель 60.

Ответ: $\frac{44}{60}, \frac{35}{60}, \frac{37}{60}$.

г)

Приведем дроби $\frac{71}{108}$, $\frac{23}{72}$ и $\frac{47}{90}$ к НОЗ. Найдем НОК знаменателей 108, 72 и 90.

1. Разложим знаменатели на простые множители:

$108 = 2 \cdot 54 = 2 \cdot 2 \cdot 27 = 2^2 \cdot 3^3$

$72 = 8 \cdot 9 = 2^3 \cdot 3^2$

$90 = 9 \cdot 10 = 3^2 \cdot (2 \cdot 5) = 2 \cdot 3^2 \cdot 5$

2. Найдем НОК знаменателей:

НОК(108, 72, 90) = $2^3 \cdot 3^3 \cdot 5^1 = 8 \cdot 27 \cdot 5 = 216 \cdot 5 = 1080$.

НОЗ равен 1080.

3. Приведем дроби к знаменателю 1080:

Для дроби $\frac{71}{108}$ дополнительный множитель: $1080 \div 108 = 10$.

$\frac{71}{108} = \frac{71 \cdot 10}{108 \cdot 10} = \frac{710}{1080}$

Для дроби $\frac{23}{72}$ дополнительный множитель: $1080 \div 72 = 15$.

$\frac{23}{72} = \frac{23 \cdot 15}{72 \cdot 15} = \frac{345}{1080}$

Для дроби $\frac{47}{90}$ дополнительный множитель: $1080 \div 90 = 12$.

$\frac{47}{90} = \frac{47 \cdot 12}{90 \cdot 12} = \frac{564}{1080}$

Ответ: $\frac{710}{1080}, \frac{345}{1080}, \frac{564}{1080}$.

2.146. От двух пристаней на озере одновременно по одному маршруту навстречу друг другу вышли катер и теплоход. Найдите их скорости, если расстояние между пристанями 58 км, скорость теплохода на 2 км/ч больше скорости катера, и встретились они через 2 ч.

2.146

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }58 : 2 = 29$(км/ч) – скорость сближения катера и теплохода;

$\mathbf{2}\mathbf{)} (29 – 2) : 2 = 13,5$(км/ч) – скорость катера;

$\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{ }13,5 + 2 = 15,5$(км/ч) – скорость теплохода.

Ответ: 13,5 км/ч и 15,5 км/ч.

Для решения задачи введем переменную.

Пусть $x$ км/ч — скорость катера.

По условию, скорость теплохода на 2 км/ч больше скорости катера, следовательно, скорость теплохода составляет $(x + 2)$ км/ч.

Когда два объекта движутся навстречу друг другу, они сближаются с общей скоростью, которая равна сумме их скоростей. Эта скорость называется скоростью сближения.

Скорость сближения катера и теплохода равна: $v_{сбл} = x + (x + 2) = (2x + 2)$ км/ч.

Общее расстояние, пройденное объектами до встречи, можно найти по формуле $S = v \cdot t$, где $S$ — расстояние, $v$ — скорость, $t$ — время. В нашем случае $S$ — это расстояние между пристанями, $v$ — это скорость сближения, а $t$ — время до встречи.

Подставим известные значения в формулу: расстояние $S = 58$ км, время $t = 2$ ч.

Составим и решим уравнение: $(2x + 2) \cdot 2 = 58$

Разделим обе части уравнения на 2: $2x + 2 = \frac{58}{2}$ $2x + 2 = 29$

Перенесем 2 в правую часть уравнения, изменив знак: $2x = 29 - 2$ $2x = 27$

Найдем $x$: $x = \frac{27}{2}$ $x = 13.5$

Таким образом, скорость катера составляет 13.5 км/ч.

Теперь найдем скорость теплохода: $x + 2 = 13.5 + 2 = 15.5$ км/ч.

Ответ: скорость катера — 13.5 км/ч, скорость теплохода — 15.5 км/ч.

2.147. Найдите значение выражения:

а) 0,55 · (623 - 518,2) + 1,24 · 68 - 1,96;

б) ((88,74 - 18,54) · 0,009 - 0,6218) · 400.

2.147

$\mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }0,55 \stackrel{2}{·} (623 \stackrel{1}{–} 518,2) \stackrel{4}{+} 1,24\stackrel{3}{ ·} 68 \stackrel{5}{–} 1,96 = 140$

1.	2.
3.	4.
5.

$\mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }((88,74 \stackrel{1}{–} 18,54) \stackrel{2}{·} 0,009 \stackrel{3}{–} 0,6218) \stackrel{4}{·} 400 = 4$

1.	2.
3.	4. $0,01 · 400 = 4$

а) $0,55 \cdot (623 - 518,2) + 1,24 \cdot 68 - 1,96$

Для нахождения значения выражения необходимо соблюдать порядок действий: сначала выполняются операции в скобках, затем умножение и деление (слева направо), и в последнюю очередь сложение и вычитание (слева направо).

1. Первым действием выполним вычитание в скобках:

$623 - 518,2 = 104,8$

2. Теперь выполним умножения:

$0,55 \cdot 104,8 = 57,64$

$1,24 \cdot 68 = 84,32$

3. Подставим полученные значения в исходное выражение:

$57,64 + 84,32 - 1,96$

4. Выполним сложение:

$57,64 + 84,32 = 141,96$

5. Выполним вычитание:

$141,96 - 1,96 = 140$

Ответ: 140

б) $((88,74 - 18,54) \cdot 0,009 - 0,6218) \cdot 400$

Решим данное выражение по действиям, начиная с операции во внутренних скобках.

1. Первым действием выполним вычитание во внутренних скобках:

$88,74 - 18,54 = 70,2$

2. Теперь выражение выглядит так: $(70,2 \cdot 0,009 - 0,6218) \cdot 400$. Выполним действия в оставшихся скобках, начиная с умножения:

$70,2 \cdot 0,009 = 0,6318$

3. Далее выполним вычитание в скобках:

$0,6318 - 0,6218 = 0,01$

4. Последнее действие — умножение:

$0,01 \cdot 400 = 4$

Ответ: 4

1. Восстановите алгоритм приведения дробей к наименьшему общему знаменателю, записав в нужном порядке номера действий:

1) найти для каждой дроби дополнительный множитель, разделив наименьший общий знаменатель на знаменатель каждой дроби;

2) умножить числитель и знаменатель дроби на её дополнительный множитель;

3) найти наименьшее общее кратное всех знаменателей дробей, т. е. наименьший общий знаменатель.

Проверочная работа

1.

3 – 1 – 2

Чтобы восстановить правильный алгоритм приведения дробей к наименьшему общему знаменателю, необходимо расположить предложенные действия в логической последовательности.

Сначала нужно определить цель — тот самый знаменатель, к которому будут приводиться все дроби. Наименьший общий знаменатель — это наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей всех исходных дробей. Поэтому, первым шагом всегда будет нахождение наименьшего общего кратного. Это действие описано в пункте 3).

Когда наименьший общий знаменатель (НОЗ) известен, для каждой дроби нужно найти её дополнительный множитель. Это число, на которое нужно умножить и числитель, и знаменатель, чтобы получить в знаменателе НОЗ. Для этого НОЗ делят на знаменатель каждой дроби. Это действие описано в пункте 1).

Последний шаг — это непосредственное преобразование дробей. Нужно умножить числитель и знаменатель каждой дроби на её дополнительный множитель, чтобы получить дроби с одинаковым знаменателем. Это действие описано в пункте 2).

Таким образом, верная последовательность действий: 3 → 1 → 2.

Рассмотрим применение алгоритма на примере приведения дробей $\frac{1}{6}$ и $\frac{3}{8}$ к наименьшему общему знаменателю:

1. Действие по пункту 3: Находим наименьший общий знаменатель. Он равен НОК(6, 8).
   $6 = 2 \cdot 3$
   $8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$
   НОК(6, 8) = $2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24$.
2. Действие по пункту 1: Находим дополнительные множители.
   Для дроби $\frac{1}{6}$ дополнительный множитель: $24 \div 6 = 4$.
   Для дроби $\frac{3}{8}$ дополнительный множитель: $24 \div 8 = 3$.
3. Действие по пункту 2: Умножаем числитель и знаменатель каждой дроби на её дополнительный множитель.
   $\frac{1 \cdot 4}{6 \cdot 4} = \frac{4}{24}$
   $\frac{3 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{9}{24}$

Ответ: 3, 1, 2.

Вопросы:

Какое число называют рациональным?

Является ли рациональным числом натуральное число; целое число; десятичная дробь?

Является ли рациональным числом сумма, разность, произведение рациональных чисел?

Каким способом обыкновенную дробь можно представить в виде десятичной?

Какую несократимую обыкновенную дробь нельзя записать в виде конечной десятичной дроби?

Какой дробью её можно выразить? Как записывают периодическую дробь?

35. Рациональные числа

Вопросы к параграфу

• число, которое можно записать в виде $\frac{p}{q}$, где р – целое число, а q – натуральное число, называют рациональным числом

• любое натуральное, целое число, а также десятичная дробь являются рациональными числами

• сумма, разность, произведение и частное (делитель не равен 0) рациональных чисел также является рациональным числом

• чтобы обыкновенную дробь представить в виде десятичной, нужно привести ее к знаменателю 10, 100, 1000, …, либо разделить числитель на знаменатель

• несократимую обыкновенную дробь нельзя записать в виде конечной десятичной дроби, если в разложении ее знаменателя на простые множители содержатся простые числа, отличные от 2 и 5. Ее можно выразить в виде бесконечной десятичной дроби

• периодическую дробь записывают так: вначале пишут целую часть, затем неповторяющиеся цифры дробной части, а повторяющиеся цифры заключают в скобки, например: 0,3(6)

Какое число называют рациональным?

Рациональным числом называют любое число, которое можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где числитель $m$ является целым числом ($m \in \mathbb{Z}$), а знаменатель $n$ — натуральным числом ($n \in \mathbb{N}$). Множество всех рациональных чисел обозначается символом $\mathbb{Q}$.

Ответ: число, представимое в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое, а $n$ — натуральное число.

Является ли рациональным числом натуральное число; целое число; десятичная дробь?

Да, все перечисленные виды чисел являются рациональными:

• Любое натуральное число $n$ можно представить в виде дроби $\frac{n}{1}$. Например, $5 = \frac{5}{1}$.
• Любое целое число $z$ (положительное, отрицательное или ноль) можно представить в виде дроби $\frac{z}{1}$. Например, $-3 = \frac{-3}{1}$, $0 = \frac{0}{1}$.
• Любая конечная десятичная дробь является рациональным числом, так как её можно представить в виде обыкновенной дроби со знаменателем, равным степени 10. Например, $0.75 = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$.
• Любая бесконечная периодическая десятичная дробь также является рациональным числом, так как её можно преобразовать в обыкновенную дробь. Например, $0.(3) = 0.333... = \frac{1}{3}$.

Ответ: да, натуральное число, целое число и любая конечная или периодическая десятичная дробь являются рациональными числами.

Является ли рациональным числом сумма, разность, произведение рациональных чисел?

Да, множество рациональных чисел замкнуто относительно операций сложения, вычитания и умножения. Это означает, что результат этих операций над рациональными числами всегда будет рациональным числом.

Пусть есть два рациональных числа $a = \frac{p}{q}$ и $b = \frac{r}{s}$, где $p, r$ — целые числа, а $q, s$ — натуральные числа.

• Сумма: $a + b = \frac{p}{q} + \frac{r}{s} = \frac{ps + qr}{qs}$. Так как $ps+qr$ — целое число, а $qs$ — натуральное число, сумма является рациональным числом.
• Разность: $a - b = \frac{p}{q} - \frac{r}{s} = \frac{ps - qr}{qs}$. Так как $ps-qr$ — целое число, а $qs$ — натуральное число, разность является рациональным числом.
• Произведение: $a \cdot b = \frac{p}{q} \cdot \frac{r}{s} = \frac{pr}{qs}$. Так как $pr$ — целое число, а $qs$ — натуральное число, произведение является рациональным числом.

Ответ: да, сумма, разность и произведение любых двух рациональных чисел всегда являются рациональным числом.

Каким способом обыкновенную дробь можно представить в виде десятичной?

Чтобы представить обыкновенную дробь в виде десятичной, нужно разделить её числитель на знаменатель. Эту операцию можно выполнить "в столбик". В результате деления получится либо конечная десятичная дробь, либо бесконечная периодическая десятичная дробь.

Например, для дроби $\frac{3}{8}$: делим 3 на 8 и получаем $0.375$.

Для дроби $\frac{2}{3}$: делим 2 на 3 и получаем $0.666...$, то есть бесконечную периодическую дробь.

Ответ: нужно разделить числитель дроби на её знаменатель.

Какую несократимую обыкновенную дробь нельзя записать в виде конечной десятичной дроби?

Несократимую обыкновенную дробь $\frac{m}{n}$ нельзя записать в виде конечной десятичной дроби в том случае, если разложение её знаменателя $n$ на простые множители содержит хотя бы один простой множитель, отличный от 2 и 5.

Например, дробь $\frac{7}{12}$ несократима. Её знаменатель $12 = 2^2 \cdot 3$. Так как в разложении знаменателя есть множитель 3, эту дробь нельзя представить в виде конечной десятичной дроби ($7 \div 12 = 0.58333...$).

Ответ: несократимую дробь, знаменатель которой при разложении на простые множители содержит простые числа, отличные от 2 и 5.

Какой дробью её можно выразить?

Если несократимую обыкновенную дробь нельзя представить в виде конечной десятичной дроби, то её можно выразить в виде бесконечной периодической десятичной дроби. Период этой дроби — это повторяющаяся последовательность цифр после запятой.

Например, $\frac{5}{6} = 0.8333...$ или $\frac{1}{7} = 0.142857142857...$

Ответ: её можно выразить в виде бесконечной периодической десятичной дроби.

Как записывают периодическую дробь?

Для записи периодической дроби используется специальное обозначение: повторяющаяся группа цифр (период) записывается один раз и заключается в круглые скобки.

• Если период начинается сразу после запятой, дробь называется чистой периодической. Например, $\frac{1}{3} = 0.333...$ записывают как $0.(3)$.
• Если между запятой и периодом есть одна или несколько цифр, не входящих в период, дробь называется смешанной периодической. Например, $\frac{5}{12} = 0.41666...$ записывают как $0.41(6)$.

Ответ: повторяющуюся группу цифр (период) заключают в круглые скобки.

4.339. Назовите число, обратное данному, и число, ему противоположное:

а) 34; б) – 59; в) 15; г) –9; д) 3112; е) –438; ж) –3,4; з) 12,5.

4.339

$\mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{3}{4} ; \frac{4}{3}; -\frac{3}{4}$

$\mathit{б}\mathbf{)} -\frac{5}{9}; -\frac{9}{5}; \frac{5}{9}$

$\mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }15; \frac{1}{15};-15$

$\mathit{г}\mathbf{)} -9; -\frac{1}{9}; 9$

$\mathit{д}\mathbf{)} 3\frac{1}{12}; \frac{12}{37}; -3\frac{1}{12}$

$\mathit{е}\mathbf{)} -4\frac{3}{8}; -\frac{8}{35}; 4\frac{3}{8}$

$\mathit{ж}\mathbf{)}\mathbf{ }-3,4;-\frac{5}{17}; 3,4$

$\mathit{з}\mathbf{)} 12,5; \frac{2}{25}; -12,5$

Для решения этой задачи необходимо вспомнить определения противоположного и обратного чисел.

Противоположное число для числа $a$ — это число $-a$, такое что их сумма равна нулю: $a + (-a) = 0$. Чтобы найти противоположное число, нужно просто поменять знак у исходного числа.

Обратное число для числа $a$ (где $a \ne 0$) — это число $\frac{1}{a}$, такое что их произведение равно единице: $a \cdot \frac{1}{a} = 1$. Чтобы найти обратное число для дроби, нужно поменять местами числитель и знаменатель. Для целого или десятичного числа его сначала нужно представить в виде обыкновенной дроби.

а) Дано число $\frac{3}{4}$.

Противоположное число: $-\frac{3}{4}$.

Обратное число: $\frac{4}{3}$. Можно также представить эту дробь в виде смешанного числа: $\frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$.

Ответ: обратное число $\frac{4}{3}$ (или $1\frac{1}{3}$), противоположное число $-\frac{3}{4}$.

б) Дано число $-\frac{5}{9}$.

Противоположное число: $-(-\frac{5}{9}) = \frac{5}{9}$.

Обратное число: $-\frac{9}{5}$. Представим в виде смешанного числа: $-\frac{9}{5} = -1\frac{4}{5}$.

Ответ: обратное число $-\frac{9}{5}$ (или $-1\frac{4}{5}$), противоположное число $\frac{5}{9}$.

в) Дано число $15$.

Противоположное число: $-15$.

Обратное число: представим $15$ как дробь $\frac{15}{1}$. Тогда обратное число будет $\frac{1}{15}$.

Ответ: обратное число $\frac{1}{15}$, противоположное число $-15$.

г) Дано число $-9$.

Противоположное число: $-(-9) = 9$.

Обратное число: представим $-9$ как дробь $-\frac{9}{1}$. Тогда обратное число будет $-\frac{1}{9}$.

Ответ: обратное число $-\frac{1}{9}$, противоположное число $9$.

д) Дано число $3\frac{1}{12}$.

Противоположное число: $-3\frac{1}{12}$.

Для нахождения обратного числа сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $3\frac{1}{12} = \frac{3 \cdot 12 + 1}{12} = \frac{37}{12}$.

Обратное число для $\frac{37}{12}$ это $\frac{12}{37}$.

Ответ: обратное число $\frac{12}{37}$, противоположное число $-3\frac{1}{12}$.

е) Дано число $-4\frac{3}{8}$.

Противоположное число: $-(-4\frac{3}{8}) = 4\frac{3}{8}$.

Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $-4\frac{3}{8} = -\frac{4 \cdot 8 + 3}{8} = -\frac{35}{8}$.

Обратное число для $-\frac{35}{8}$ это $-\frac{8}{35}$.

Ответ: обратное число $-\frac{8}{35}$, противоположное число $4\frac{3}{8}$.

ж) Дано число $-3,4$.

Противоположное число: $-(-3,4) = 3,4$.

Для нахождения обратного числа представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $-3,4 = -3\frac{4}{10} = -3\frac{2}{5}$.

Теперь преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $-3\frac{2}{5} = -\frac{3 \cdot 5 + 2}{5} = -\frac{17}{5}$.

Обратное число для $-\frac{17}{5}$ это $-\frac{5}{17}$.

Ответ: обратное число $-\frac{5}{17}$, противоположное число $3,4$.

з) Дано число $12,5$.

Противоположное число: $-12,5$.

Представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $12,5 = 12\frac{5}{10} = 12\frac{1}{2}$.

Преобразуем в неправильную дробь: $12\frac{1}{2} = \frac{12 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{25}{2}$.

Обратное число для $\frac{25}{2}$ это $\frac{2}{25}$. Его можно представить в виде десятичной дроби: $\frac{2}{25} = \frac{8}{100} = 0,08$.

Ответ: обратное число $\frac{2}{25}$ (или $0,08$), противоположное число $-12,5$.