Страница 69, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

2.190. 1) Гепард начал догонять бегущую газель, когда между ними было 0,1 км. С какой скоростью бежала газель, если скорость гепарда 1,4 км/мин и догнал он газель через 15 с?

2) Катер рыбоохраны начал догонять моторную лодку браконьеров, когда между ними было 0,7 км, и догнал её через 0,1 ч. С какой скоростью плыли браконьеры, если катер рыбоохраны развил скорость 49 км/ч?

2.190

1)

$1) 15 \mathrm{с} =\frac{ 15}{60}= \frac{1}{4} \mathrm{мин} = 0,25 \mathrm{мин};$

$2) 1,4 · 0,25 = 0,35$(км) – пробежал гепард;

$3) 0,35 – 0,1 = 0,25$(км) – пробежала газель;

$4) 0,25 : 0,25 = 1$(км/мин) – скорость газели.

Ответ: 1 км/мин

2)

$1) 49 · 0,1 = 4,9$(км) – проплыл катер рыбоохраны;

$2) 4,9 – 0,7 = 4,2$(км) – проплыли браконьеры;

$3) 4,2 : 0,1 = 42$(км/ч) – скорость браконьеров.

Ответ: 42 км/ч

1) Для решения этой задачи необходимо привести все величины к единым единицам измерения. Скорость гепарда дана в км/мин, а время погони — в секундах. Переведем время из секунд в минуты.

Поскольку в одной минуте 60 секунд, то:

$t = 15 \text{ с} = \frac{15}{60} \text{ мин} = \frac{1}{4} \text{ мин} = 0,25 \text{ мин}$

Это задача на движение вдогонку. Разница между скоростью догоняющего (гепарда) и скоростью убегающего (газели) называется скоростью сближения. Она показывает, на какое расстояние сокращается разрыв между ними за единицу времени. Обозначим скорость гепарда как $v_1$, а скорость газели как $v_2$.

Скорость сближения $v_{сбл}$ вычисляется по формуле:

$v_{сбл} = v_1 - v_2$

Мы можем найти скорость сближения, разделив начальное расстояние $S_0$ на время погони $t$:

$v_{сбл} = \frac{S_0}{t} = \frac{0,1 \text{ км}}{0,25 \text{ мин}} = 0,4 \text{ км/мин}$

Теперь, зная скорость сближения ($0,4$ км/мин) и скорость гепарда ($1,4$ км/мин), мы можем найти скорость газели:

$v_2 = v_1 - v_{сбл} = 1,4 \text{ км/мин} - 0,4 \text{ км/мин} = 1,0 \text{ км/мин}$

Ответ: скорость газели составляла 1,0 км/мин.

2) Это также задача на движение вдогонку. В данном случае все единицы измерения (километры, часы, км/ч) согласованы, поэтому предварительных преобразований не требуется.

Обозначим скорость катера рыбоохраны как $v_1$, а скорость лодки браконьеров как $v_2$. Начальное расстояние между ними — $S_0$, время погони — $t$.

Скорость сближения $v_{сбл}$ равна разности скоростей катера и лодки:

$v_{сбл} = v_1 - v_2$

Вычислим скорость сближения, разделив начальное расстояние на время, за которое катер догнал лодку:

$v_{сбл} = \frac{S_0}{t} = \frac{0,7 \text{ км}}{0,1 \text{ ч}} = 7 \text{ км/ч}$

Теперь найдем скорость лодки браконьеров, вычитая скорость сближения из скорости катера рыбоохраны:

$v_2 = v_1 - v_{сбл} = 49 \text{ км/ч} - 7 \text{ км/ч} = 42 \text{ км/ч}$

Ответ: браконьеры плыли со скоростью 42 км/ч.

2.191. Выполните действия и проверьте ваши вычисления с помощью калькулятора:

1) 111 - ((0,9744 : 0,24 + 1,02) · 2,5 - 2,75);

2) 200 - ((9,08 - 2,6828 : 0,38) · 8,5 + 0,84).

2.191

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }111 \stackrel{5}{–} ((0,9744 \stackrel{1}{:} 0,24 \stackrel{2}{+} 1,02) \stackrel{3}{·} 2,5 \stackrel{4}{–} 2,75) = 101,05$

1.	2.
3.	4.
5.

$\mathbf{2}\mathbf{)} 200 \stackrel{5}{–} ((9,08 \stackrel{2}{–} 2,6828 \stackrel{1}{:} 0,38)\stackrel{3}{ ·} 8,5 \stackrel{4}{+} 0,84) = 181,99$

1.	2.
3.	4.
5.

1) $111 - ((0,9744 : 0,24 + 1,02) \cdot 2,5 - 2,75)$

Для решения данного примера необходимо соблюдать порядок выполнения арифметических действий. Сначала выполняются действия в скобках (деление, затем сложение), потом умножение и вычитание за скобками, и в последнюю очередь основное вычитание.

1. Выполним деление в скобках:
$0,9744 : 0,24 = 4,06$

2. Выполним сложение в скобках:
$4,06 + 1,02 = 5,08$

3. Результат из скобок умножим на 2,5:
$5,08 \cdot 2,5 = 12,7$

4. Теперь выполним вычитание внутри всего выражения в скобках:
$12,7 - 2,75 = 9,95$

5. Выполним последнее действие — вычитание от 111:
$111 - 9,95 = 101,05$

Проверка с помощью калькулятора:
$111 - ((0.9744 / 0.24 + 1.02) * 2.5 - 2.75) = 111 - ((4.06 + 1.02) * 2.5 - 2.75) = 111 - (5.08 * 2.5 - 2.75) = 111 - (12.7 - 2.75) = 111 - 9.95 = 101.05$.

Ответ: $101,05$

2) $200 - ((9,08 - 2,6828 : 0,38) \cdot 8,5 + 0,84)$

Решаем пример по действиям, начиная с самых внутренних скобок.

1. Выполним деление во внутренних скобках:
$2,6828 : 0,38 = 7,06$

2. Выполним вычитание в этих же скобках:
$9,08 - 7,06 = 2,02$

3. Полученный результат умножим на 8,5:
$2,02 \cdot 8,5 = 17,17$

4. Выполним сложение внутри всего выражения в скобках:
$17,17 + 0,84 = 18,01$

5. Выполним финальное вычитание:
$200 - 18,01 = 181,99$

Проверка с помощью калькулятора:
$200 - ((9.08 - 2.6828 / 0.38) * 8.5 + 0.84) = 200 - ((9.08 - 7.06) * 8.5 + 0.84) = 200 - (2.02 * 8.5 + 0.84) = 200 - (17.17 + 0.84) = 200 - 18.01 = 181.99$.

Ответ: $181,99$

2.192. Сравните дроби:

а) 23 и 821; б) 415 и 25; в) 38 и 1740; г) 56 и 3136; д) 16 и 421; е) 1318 и 1115; ж) 17125 и 23165; з) 1977 и 43176.

2.192

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)} \frac{2}{3} \mathrm{и} \frac{8}{21} \\ \mathrm{НОК} ( 3;21) = 21 \\ \frac{2}{3}=\frac{2 · 7}{3 · 7}=\frac{14}{21} \end{gathered}$$

т.к. $\frac{14}{21}>\frac{8}{21},$ то $\frac{2}{3}>\frac{8}{21}$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} \frac{4}{15} \mathrm{и} \frac{2}{5} \\ \mathrm{НОК} (15; 5) = 15 \\ \frac{2}{5}=\frac{2 · 3}{5 · 3}=\frac{6}{15} \end{gathered}$$

т.к. $\frac{4}{15}<\frac{6}{15},$то $\frac{4}{15} < \frac{2}{5}$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{3}{8} \mathrm{и} \frac{17}{40} \\ \mathrm{НОК} (8; 40) = 40 \\ \frac{3}{8}=\frac{3 · 5}{8 · 5}=\frac{15}{40} \end{gathered}$$

т.к. $\frac{15}{40}<\frac{17}{40},$то $\frac{3}{8} < \frac{17}{40}$

$$\begin{gathered} \mathbf{г}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{5}{6} \mathrm{и} \frac{31}{36} \\ \mathrm{НОК} (6; 36) = 36 \\ \frac{5}{6}=\frac{5 · 6}{6 · 6}=\frac{30}{36} \end{gathered}$$

т.к. $\frac{30}{36}<\frac{31}{36},$то $\frac{5}{6} < \frac{31}{36}$

$\mathbf{д}\mathbf{)} \frac{1}{6} \mathrm{и} \frac{4}{21}$

$$\begin{gathered} \mathrm{НОК} (6; 21) = 3· 7 · 2 = 42 \\ \frac{1}{6}=\frac{1 · 7}{6 · 7}=\frac{7}{42} \\ \frac{4}{21}=\frac{4 · 2}{21 · 2}=\frac{8}{42} \end{gathered}$$

т.к. $\frac{7}{42}<\frac{8}{42},$ то $\frac{1}{6} < \frac{4}{21}$

$\mathbf{е}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{13}{18} \mathrm{и} \frac{11}{15}$

$$\begin{gathered} \mathrm{НОК}(18; 15) = 2 · 3 · 3 · 5 = 90 \\ \frac{13}{18}=\frac{13 · 5}{18 · 5}=\frac{65}{90} \\ \frac{11}{15}=\frac{11 · 6}{15 · 6}=\frac{66}{90} \\ \mathrm{т}.\mathrm{к}. \frac{65}{90}<\frac{66}{90}, \mathrm{то} \frac{13}{18}<\frac{11}{15} \end{gathered}$$

$\mathbf{ж}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{17}{125} \mathrm{и} \frac{23}{165}$

$$\begin{gathered} \mathrm{НОК} (125; 165) = 3 · 5 · 11 · 5 · 5 = 4125 \\ \frac{17}{125}=\frac{17 · 33}{125 · 33}=\frac{561}{4125} \\ \frac{23}{165}=\frac{23 · 25}{165 ·25}=\frac{575}{4125} \\ \mathrm{т}.\mathrm{к}. \frac{561}{4125}<\frac{575}{4125}, \mathrm{то}\frac{17}{125}<\frac{23}{165} \end{gathered}$$

$\mathbf{з}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{19}{77} \mathrm{и} \frac{43}{176}$

$$\begin{gathered} \mathrm{НОК}( 77; 176) = 2 · 2 · 2 · 2 · 11· 7 = 1232 \\ \frac{19}{77}=\frac{19 · 16}{77 · 16}=\frac{304}{1232} \\ \frac{43}{176}=\frac{43 · 7}{176 · 7}=\frac{301}{1232} \\ \mathrm{т}.\mathrm{к}. \frac{304}{1232} >\frac{301}{1232}, \mathrm{то} \frac{19}{77}>\frac{43}{176} \end{gathered}$$

а) Сравнить дроби $ \frac{2}{3} $ и $ \frac{8}{21} $.
Чтобы сравнить дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 3 и 21 — это 21.
Приведем дробь $ \frac{2}{3} $ к знаменателю 21. Для этого умножим числитель и знаменатель на 7:
$ \frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 7}{3 \cdot 7} = \frac{14}{21} $
Теперь сравним полученную дробь с $ \frac{8}{21} $. Поскольку знаменатели равны, сравниваем числители:
$ 14 > 8 $, следовательно, $ \frac{14}{21} > \frac{8}{21} $.
Это означает, что $ \frac{2}{3} > \frac{8}{21} $.
Ответ: $ \frac{2}{3} > \frac{8}{21} $.

б) Сравнить дроби $ \frac{4}{15} $ и $ \frac{2}{5} $.
Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 15 и 5 — это 15.
Приведем дробь $ \frac{2}{5} $ к знаменателю 15. Умножим числитель и знаменатель на 3:
$ \frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{6}{15} $
Теперь сравним дроби $ \frac{4}{15} $ и $ \frac{6}{15} $. Сравниваем числители:
$ 4 < 6 $, следовательно, $ \frac{4}{15} < \frac{6}{15} $.
Это означает, что $ \frac{4}{15} < \frac{2}{5} $.
Ответ: $ \frac{4}{15} < \frac{2}{5} $.

в) Сравнить дроби $ \frac{3}{8} $ и $ \frac{17}{40} $.
Наименьший общий знаменатель для 8 и 40 — это 40.
Приведем дробь $ \frac{3}{8} $ к знаменателю 40. Умножим числитель и знаменатель на 5:
$ \frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 5}{8 \cdot 5} = \frac{15}{40} $
Сравним дроби $ \frac{15}{40} $ и $ \frac{17}{40} $. Сравниваем числители:
$ 15 < 17 $, следовательно, $ \frac{15}{40} < \frac{17}{40} $.
Это означает, что $ \frac{3}{8} < \frac{17}{40} $.
Ответ: $ \frac{3}{8} < \frac{17}{40} $.

г) Сравнить дроби $ \frac{5}{6} $ и $ \frac{31}{36} $.
Наименьший общий знаменатель для 6 и 36 — это 36.
Приведем дробь $ \frac{5}{6} $ к знаменателю 36. Умножим числитель и знаменатель на 6:
$ \frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 6}{6 \cdot 6} = \frac{30}{36} $
Сравним дроби $ \frac{30}{36} $ и $ \frac{31}{36} $. Сравниваем числители:
$ 30 < 31 $, следовательно, $ \frac{30}{36} < \frac{31}{36} $.
Это означает, что $ \frac{5}{6} < \frac{31}{36} $.
Ответ: $ \frac{5}{6} < \frac{31}{36} $.

д) Сравнить дроби $ \frac{1}{6} $ и $ \frac{4}{21} $.
Найдем наименьший общий знаменатель для 6 и 21. Разложим их на простые множители: $ 6 = 2 \cdot 3 $, $ 21 = 3 \cdot 7 $.
Наименьшее общее кратное (НОК) будет $ 2 \cdot 3 \cdot 7 = 42 $.
Приведем дроби к знаменателю 42:
$ \frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 7}{6 \cdot 7} = \frac{7}{42} $
$ \frac{4}{21} = \frac{4 \cdot 2}{21 \cdot 2} = \frac{8}{42} $
Сравниваем числители: $ 7 < 8 $, следовательно, $ \frac{7}{42} < \frac{8}{42} $.
Это означает, что $ \frac{1}{6} < \frac{4}{21} $.
Ответ: $ \frac{1}{6} < \frac{4}{21} $.

е) Сравнить дроби $ \frac{13}{18} $ и $ \frac{11}{15} $.
Найдем наименьший общий знаменатель для 18 и 15. Разложим их на простые множители: $ 18 = 2 \cdot 3^2 $, $ 15 = 3 \cdot 5 $.
НОК(18, 15) = $ 2 \cdot 3^2 \cdot 5 = 90 $.
Приведем дроби к знаменателю 90:
$ \frac{13}{18} = \frac{13 \cdot 5}{18 \cdot 5} = \frac{65}{90} $
$ \frac{11}{15} = \frac{11 \cdot 6}{15 \cdot 6} = \frac{66}{90} $
Сравниваем числители: $ 65 < 66 $, следовательно, $ \frac{65}{90} < \frac{66}{90} $.
Это означает, что $ \frac{13}{18} < \frac{11}{15} $.
Ответ: $ \frac{13}{18} < \frac{11}{15} $.

ж) Сравнить дроби $ \frac{17}{125} $ и $ \frac{23}{165} $.
Найдем наименьший общий знаменатель для 125 и 165. Разложим их на простые множители: $ 125 = 5^3 $, $ 165 = 3 \cdot 5 \cdot 11 $.
НОК(125, 165) = $ 3 \cdot 5^3 \cdot 11 = 3 \cdot 125 \cdot 11 = 4125 $.
Приведем дроби к знаменателю 4125:
$ \frac{17}{125} = \frac{17 \cdot (4125/125)}{4125} = \frac{17 \cdot 33}{4125} = \frac{561}{4125} $
$ \frac{23}{165} = \frac{23 \cdot (4125/165)}{4125} = \frac{23 \cdot 25}{4125} = \frac{575}{4125} $
Сравниваем числители: $ 561 < 575 $, следовательно, $ \frac{561}{4125} < \frac{575}{4125} $.
Это означает, что $ \frac{17}{125} < \frac{23}{165} $.
Ответ: $ \frac{17}{125} < \frac{23}{165} $.

з) Сравнить дроби $ \frac{19}{77} $ и $ \frac{43}{176} $.
Найдем наименьший общий знаменатель для 77 и 176. Разложим их на простые множители: $ 77 = 7 \cdot 11 $, $ 176 = 16 \cdot 11 = 2^4 \cdot 11 $.
НОК(77, 176) = $ 2^4 \cdot 7 \cdot 11 = 16 \cdot 7 \cdot 11 = 1232 $.
Приведем дроби к знаменателю 1232:
$ \frac{19}{77} = \frac{19 \cdot (1232/77)}{1232} = \frac{19 \cdot 16}{1232} = \frac{304}{1232} $
$ \frac{43}{176} = \frac{43 \cdot (1232/176)}{1232} = \frac{43 \cdot 7}{1232} = \frac{301}{1232} $
Сравниваем числители: $ 304 > 301 $, следовательно, $ \frac{304}{1232} > \frac{301}{1232} $.
Это означает, что $ \frac{19}{77} > \frac{43}{176} $.
Ответ: $ \frac{19}{77} > \frac{43}{176} $.

2.193. Выполните действие:

а) 15 + 17; б) 13 + 27; в) 35 + 56; г) 89 – 25; д) 512 + 16; е) 35 – 415; ж) 1921 - 1115; з) 542 + 1063; и) 1121 + 226; к) 524 – 760.

В примерах г) и е) выполненное вычитание проверьте сложением, в примерах ж) и к) — вычитанием.

2.193

$\mathbf{а}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{1}{5}}^{\overline{)·7}}+{\frac{1}{7}}^{\overline{)·5}}=\frac{1 · 7}{5 · 7}+\frac{1 · 5}{7 · 5}=\frac{7}{35}+\frac{5}{35}=\frac{12}{35}$

$\mathbf{б}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{1}{3}}^{\overline{)·7}}+{\frac{2}{7}}^{\overline{)·3}}=\frac{7}{21}+\frac{6}{21}=\frac{13}{21}$

$\mathbf{в}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{3}{5}}^{\overline{)·6}}+{\frac{5}{6}}^{\overline{)·5}}=\frac{18}{30}+\frac{43}{30}=\frac{43}{30}=1\frac{13}{30}$

$\mathbf{г}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{8}{9}}^{\overline{)·5}}-{\frac{2}{5}}^{\overline{)·9}}=\frac{40}{45}-\frac{18}{45}=\frac{22}{45}$

проверка: $\frac{22}{45 }+{\frac{2}{5}}^{\overline{)·9}}=\frac{22}{45 }+\frac{18}{45}=\frac{40}{45}=\frac{8}{9}$

$\mathbf{д}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{5}{12}+{\frac{1}{6}}^{\overline{)·2}}=\frac{5}{12}+\frac{2}{12}=\frac{7}{12}$

$\mathbf{е}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{3}{5}}^{\overline{)·3}}-\frac{4}{15}=\frac{9}{15}-\frac{4}{15}=\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{5}}}}{{\displaystyle \underset{3}{\cancel{15}}}}=\frac{1}{3}$

проверка: ${\frac{1}{3}}^{\overline{)·5}}+\frac{4}{15}=\frac{5}{15}+\frac{4}{15}=\frac{9}{15}=\frac{3}{5}$

$\mathbf{ж}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{19}{21}}^{\overline{)·5}}-{\frac{11}{15}}^{\overline{)·7}}=\frac{90}{105}-\frac{77}{105}=\frac{{\displaystyle \stackrel{6}{\cancel{18}}}}{{\displaystyle \underset{35}{\cancel{105}}}}=\frac{6}{35}$

проверка: ${\frac{19}{21}}^{\overline{)·5}}-{\frac{6}{35}}^{\overline{)·3}}=\frac{95}{105}-\frac{18}{105}=\frac{{\displaystyle \stackrel{11}{\cancel{77}}}}{{\displaystyle \underset{15}{\cancel{105}}}}=\frac{11}{15}$

$\mathbf{з}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{5}{42}}^{\overline{)·3}}+{\frac{10}{63}}^{\overline{)·2}}=\frac{15}{126}+\frac{20}{126}=\frac{{\displaystyle \stackrel{5}{\cancel{35}}}}{{\displaystyle \underset{18}{\cancel{126}}}}=\frac{5}{18}$

$\mathbf{и}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{11}{21}}^{\overline{)·26}}+{\frac{2}{26}}^{\overline{)·21}}=\frac{286}{546}+\frac{42}{546}=\frac{{\displaystyle \stackrel{164}{\cancel{328}}}}{{\displaystyle \underset{273}{\cancel{546}}}}=\frac{164}{273}$

$\mathbf{к}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{5}{24}}^{\overline{)·5}}-{\frac{7}{60}}^{\overline{)·2}}=\frac{25}{120}-\frac{14}{120}=\frac{11}{120}$

проверка: ${\frac{5}{24}}^{\overline{)·5}}-\frac{11}{120}=\frac{25}{120}-\frac{11}{120}=\frac{{\displaystyle \stackrel{7}{\cancel{14}}}}{{\displaystyle \underset{60}{\cancel{120}}}}=\frac{7}{60}$

а) Чтобы сложить дроби $\frac{1}{5}$ и $\frac{1}{7}$, необходимо привести их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 5 и 7 — это их произведение, так как они являются взаимно простыми числами: $5 \times 7 = 35$. Дополнительный множитель для первой дроби равен $35 \div 5 = 7$, а для второй — $35 \div 7 = 5$. Умножим числители на их дополнительные множители и сложим полученные дроби: $\frac{1}{5} + \frac{1}{7} = \frac{1 \times 7}{5 \times 7} + \frac{1 \times 5}{7 \times 5} = \frac{7}{35} + \frac{5}{35} = \frac{7+5}{35} = \frac{12}{35}$.
Ответ: $\frac{12}{35}$

б) Для сложения дробей $\frac{1}{3}$ и $\frac{2}{7}$ найдем их наименьший общий знаменатель. Так как 3 и 7 — взаимно простые числа, их наименьший общий знаменатель равен $3 \times 7 = 21$. Дополнительный множитель для дроби $\frac{1}{3}$ равен $21 \div 3 = 7$, а для дроби $\frac{2}{7}$ — $21 \div 7 = 3$. Выполним сложение: $\frac{1}{3} + \frac{2}{7} = \frac{1 \times 7}{3 \times 7} + \frac{2 \times 3}{7 \times 3} = \frac{7}{21} + \frac{6}{21} = \frac{7+6}{21} = \frac{13}{21}$.
Ответ: $\frac{13}{21}$

в) Чтобы сложить дроби $\frac{3}{5}$ и $\frac{5}{6}$, найдем наименьший общий знаменатель для 5 и 6. Он равен $5 \times 6 = 30$. Дополнительный множитель для первой дроби — $30 \div 5 = 6$, для второй — $30 \div 6 = 5$. Выполним сложение: $\frac{3 \times 6}{5 \times 6} + \frac{5 \times 5}{6 \times 5} = \frac{18}{30} + \frac{25}{30} = \frac{18+25}{30} = \frac{43}{30}$. Так как полученная дробь является неправильной (числитель больше знаменателя), выделим целую часть: $43 \div 30 = 1$ (остаток $13$). Значит, $\frac{43}{30} = 1\frac{13}{30}$.
Ответ: $1\frac{13}{30}$

г) Для вычитания дроби $\frac{2}{5}$ из дроби $\frac{8}{9}$, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 9 и 5 равен $9 \times 5 = 45$. Дополнительный множитель для $\frac{8}{9}$ — 5, для $\frac{2}{5}$ — 9. $\frac{8}{9} - \frac{2}{5} = \frac{8 \times 5}{9 \times 5} - \frac{2 \times 9}{5 \times 9} = \frac{40}{45} - \frac{18}{45} = \frac{40-18}{45} = \frac{22}{45}$.
Проверка сложением: К полученной разности прибавим вычитаемое. Если результат равен уменьшаемому, вычитание выполнено верно. $\frac{22}{45} + \frac{2}{5} = \frac{22}{45} + \frac{2 \times 9}{5 \times 9} = \frac{22}{45} + \frac{18}{45} = \frac{22+18}{45} = \frac{40}{45}$. Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 5: $\frac{40 \div 5}{45 \div 5} = \frac{8}{9}$. Проверка верна.
Ответ: $\frac{22}{45}$

д) Чтобы сложить дроби $\frac{5}{12}$ и $\frac{1}{6}$, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 12 и 6 равен 12. Дополнительный множитель для второй дроби равен $12 \div 6 = 2$. $\frac{5}{12} + \frac{1}{6} = \frac{5}{12} + \frac{1 \times 2}{6 \times 2} = \frac{5}{12} + \frac{2}{12} = \frac{5+2}{12} = \frac{7}{12}$.
Ответ: $\frac{7}{12}$

е) Для вычитания дроби $\frac{4}{15}$ из дроби $\frac{3}{5}$, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 5 и 15 равен 15. Дополнительный множитель для первой дроби равен $15 \div 5 = 3$. $\frac{3}{5} - \frac{4}{15} = \frac{3 \times 3}{5 \times 3} - \frac{4}{15} = \frac{9}{15} - \frac{4}{15} = \frac{9-4}{15} = \frac{5}{15}$. Сократим полученную дробь на 5: $\frac{5 \div 5}{15 \div 5} = \frac{1}{3}$.
Проверка сложением: $\frac{1}{3} + \frac{4}{15} = \frac{1 \times 5}{3 \times 5} + \frac{4}{15} = \frac{5}{15} + \frac{4}{15} = \frac{5+4}{15} = \frac{9}{15}$. Сократим дробь на 3: $\frac{9 \div 3}{15 \div 3} = \frac{3}{5}$. Проверка верна.
Ответ: $\frac{1}{3}$

ж) Выполним вычитание $\frac{19}{21} - \frac{11}{15}$. Найдем наименьший общий знаменатель (НОЗ) для 21 и 15. Разложим знаменатели на простые множители: $21 = 3 \times 7$, $15 = 3 \times 5$. НОЗ$(21, 15) = 3 \times 5 \times 7 = 105$. Дополнительные множители: для $\frac{19}{21}$ — $105 \div 21 = 5$, для $\frac{11}{15}$ — $105 \div 15 = 7$. $\frac{19 \times 5}{105} - \frac{11 \times 7}{105} = \frac{95}{105} - \frac{77}{105} = \frac{95-77}{105} = \frac{18}{105}$. Сократим дробь на 3: $\frac{18 \div 3}{105 \div 3} = \frac{6}{35}$.
Проверка вычитанием: Из уменьшаемого вычтем полученную разность. Результат должен быть равен вычитаемому. $\frac{19}{21} - \frac{6}{35}$. НОЗ$(21, 35) = 105$. $\frac{19 \times 5}{105} - \frac{6 \times 3}{105} = \frac{95}{105} - \frac{18}{105} = \frac{77}{105}$. Сократим дробь на 7: $\frac{77 \div 7}{105 \div 7} = \frac{11}{15}$. Проверка верна.
Ответ: $\frac{6}{35}$

з) Складываем $\frac{5}{42} + \frac{10}{63}$. Найдем НОЗ для 42 и 63. $42 = 2 \times 3 \times 7$, $63 = 3^2 \times 7$. НОЗ$(42, 63) = 2 \times 3^2 \times 7 = 126$. Дополнительные множители: для $\frac{5}{42}$ — $126 \div 42 = 3$, для $\frac{10}{63}$ — $126 \div 63 = 2$. $\frac{5 \times 3}{126} + \frac{10 \times 2}{126} = \frac{15}{126} + \frac{20}{126} = \frac{15+20}{126} = \frac{35}{126}$. Сократим дробь на 7: $\frac{35 \div 7}{126 \div 7} = \frac{5}{18}$.
Ответ: $\frac{5}{18}$

и) Складываем $\frac{11}{21} + \frac{2}{26}$. Сначала сократим вторую дробь: $\frac{2 \div 2}{26 \div 2} = \frac{1}{13}$. Теперь необходимо сложить $\frac{11}{21} + \frac{1}{13}$. Знаменатели 21 и 13 взаимно простые, поэтому НОЗ равен их произведению: $21 \times 13 = 273$. Дополнительные множители: для $\frac{11}{21}$ — 13, для $\frac{1}{13}$ — 21. $\frac{11 \times 13}{273} + \frac{1 \times 21}{273} = \frac{143}{273} + \frac{21}{273} = \frac{143+21}{273} = \frac{164}{273}$.
Ответ: $\frac{164}{273}$

к) Выполним вычитание $\frac{5}{24} - \frac{7}{60}$. Найдем НОЗ для 24 и 60. $24 = 2^3 \times 3$, $60 = 2^2 \times 3 \times 5$. НОЗ$(24, 60) = 2^3 \times 3 \times 5 = 120$. Дополнительные множители: для $\frac{5}{24}$ — $120 \div 24 = 5$, для $\frac{7}{60}$ — $120 \div 60 = 2$. $\frac{5 \times 5}{120} - \frac{7 \times 2}{120} = \frac{25}{120} - \frac{14}{120} = \frac{25-14}{120} = \frac{11}{120}$.
Проверка вычитанием: $\frac{5}{24} - \frac{11}{120}$. Общий знаменатель 120. $\frac{5 \times 5}{24 \times 5} - \frac{11}{120} = \frac{25}{120} - \frac{11}{120} = \frac{25-11}{120} = \frac{14}{120}$. Сократим дробь на 2: $\frac{14 \div 2}{120 \div 2} = \frac{7}{60}$. Проверка верна.
Ответ: $\frac{11}{120}$

2.194. Никита и Ярослав стреляли в тире. У Никиты из 15 выстрелов было 8 попаданий, а результат Ярослава — 11 попаданий из 20 выстрелов. Чей результат лучше?

2.194

$\mathbf{1}\mathbf{)} 8 : 15 =\frac{ 8}{15}$– результат Никиты

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }11 : 20 = \frac{11}{20}$– результат Ярослава

сравним $\frac{8}{15}$ и $\frac{11}{20}$

НОК (15; 20) = 60

$$\begin{gathered} {\frac{8}{15}}^{\overline{)·4}}=\frac{32}{60} \\ {\frac{11}{20}}^{\overline{)·3}}=\frac{33}{60} \end{gathered}$$

$\mathrm{т}.\mathrm{к}. \frac{32}{60}<\frac{33}{60},$то лучше результат Ярослава

Ответ: результат Ярослава лучше.

Чтобы определить, чей результат лучше, нужно сравнить эффективность (или результативность) стрельбы каждого. Эффективность можно выразить в виде дроби, где числитель — это количество попаданий, а знаменатель — общее количество выстрелов.

Результат Никиты

Никита попал 8 раз из 15 выстрелов. Его результативность составляет $ \frac{8}{15} $.

Результат Ярослава

Ярослав попал 11 раз из 20 выстрелов. Его результативность составляет $ \frac{11}{20} $.

Сравнение результатов

Теперь необходимо сравнить две дроби: $ \frac{8}{15} $ и $ \frac{11}{20} $. Для этого приведем их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для чисел 15 и 20 равно 60. Это и будет наш общий знаменатель.

Приведем дробь Никиты к знаменателю 60:

$ \frac{8}{15} = \frac{8 \cdot 4}{15 \cdot 4} = \frac{32}{60} $

Приведем дробь Ярослава к знаменателю 60:

$ \frac{11}{20} = \frac{11 \cdot 3}{20 \cdot 3} = \frac{33}{60} $

Теперь сравним полученные дроби $ \frac{32}{60} $ (результат Никиты) и $ \frac{33}{60} $ (результат Ярослава).

Так как $ 33 > 32 $, то $ \frac{33}{60} > \frac{32}{60} $.

Следовательно, относительное количество попаданий у Ярослава больше.

Ответ: Результат Ярослава лучше.

2.195. Один генератор расходует бак солярки за 18 ч непрерывной работы, а другой — за 15 ч. Какой генератор расходует больше солярки: первый за 5 ч или второй за 4 ч?

2.195

$\mathbf{1}\mathbf{)} 5 : 18=\frac{5}{18}$– расход первого генератора;

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }4 : 15 = \frac{4}{15}$ – расход второго генератора;

сравним $\frac{5}{18}$ и $\frac{4}{15}$

НОК (18; 15) = 90

$$\begin{gathered} {\frac{5}{18}}^{\overline{)·5}}=\frac{25}{90} \\ {\frac{4}{15}}^{\overline{)·6}}=\frac{24}{90} \end{gathered}$$

$\mathrm{т}.\mathrm{к}. \frac{25}{90}>\frac{24}{90},$ то больше расходует первый генератор

Ответ: первый генератор

Для того чтобы сравнить расход солярки двух генераторов за разное время, сначала определим, какую часть бака каждый генератор расходует за один час.

Первый генератор расходует полный бак за 18 часов. Следовательно, его часовой расход составляет $\frac{1}{18}$ часть бака. За 5 часов работы он израсходует:$5 \times \frac{1}{18} = \frac{5}{18}$ бака.

Второй генератор расходует полный бак за 15 часов. Его часовой расход, соответственно, равен $\frac{1}{15}$ части бака. За 4 часа работы он израсходует:$4 \times \frac{1}{15} = \frac{4}{15}$ бака.

Теперь нам нужно сравнить две дроби: $\frac{5}{18}$ и $\frac{4}{15}$. Для этого приведем их к общему знаменателю. Найдем наименьшее общее кратное (НОК) для знаменателей 18 и 15.
$18 = 2 \times 3 \times 3$
$15 = 3 \times 5$
НОК(18, 15) = $2 \times 3 \times 3 \times 5 = 90$.

Приведем дроби к знаменателю 90:
$\frac{5}{18} = \frac{5 \times 5}{18 \times 5} = \frac{25}{90}$
$\frac{4}{15} = \frac{4 \times 6}{15 \times 6} = \frac{24}{90}$

Теперь сравним полученные дроби:$\frac{25}{90} > \frac{24}{90}$, что означает, что $\frac{5}{18} > \frac{4}{15}$.

Следовательно, первый генератор за 5 часов расходует больше солярки, чем второй за 4 часа.

Ответ: первый генератор за 5 ч расходует больше солярки, чем второй за 4 ч.

2.196. От двух пристаней одновременно навстречу друг другу отправились два катера. Один из них за час проходит 524 расстояния между пристанями, а другой — 320 этого расстояния. На какую часть расстояния они сближаются каждый час?

2.196

1 катер - $\frac{5}{24}$ расстояния за час

2 катер - $\frac{3}{20}$ расстояния за час

$1) {\frac{5}{24}}^{\overline{)·5}}+{\frac{3}{20}}^{\overline{)·6}} = \frac{5 · 5}{24 · 5}+\frac{3 · 6}{20 ·6} =$

$= \frac{25}{120}+\frac{18}{120}=\frac{43}{120}$расстояния – они сближаются каждый час.

Ответ: на $\frac{43}{120}$ расстояния.

Чтобы определить, на какую часть расстояния сближаются катера каждый час, необходимо найти их скорость сближения. Поскольку катера движутся навстречу друг другу, их скорость сближения равна сумме их скоростей.

Скорость первого катера составляет $\frac{5}{24}$ всего расстояния в час.

Скорость второго катера составляет $\frac{3}{20}$ всего расстояния в час.

Сложим их скорости (выраженные в частях расстояния), чтобы найти общую часть расстояния, на которую они сближаются за один час:

$\frac{5}{24} + \frac{3}{20}$

Для сложения дробей необходимо привести их к общему знаменателю. Найдем наименьшее общее кратное (НОК) для знаменателей 24 и 20.

Разложим числа на простые множители:
$24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$
$20 = 2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^2 \cdot 5$

НОК(24, 20) равно произведению всех простых множителей, взятых с наибольшим показателем степени:
$НОК(24, 20) = 2^3 \cdot 3 \cdot 5 = 8 \cdot 3 \cdot 5 = 120$.

Теперь приведем дроби к общему знаменателю 120.

Для дроби $\frac{5}{24}$ дополнительный множитель равен $120 \div 24 = 5$.
$\frac{5}{24} = \frac{5 \cdot 5}{24 \cdot 5} = \frac{25}{120}$

Для дроби $\frac{3}{20}$ дополнительный множитель равен $120 \div 20 = 6$.
$\frac{3}{20} = \frac{3 \cdot 6}{20 \cdot 6} = \frac{18}{120}$

Теперь выполним сложение:
$\frac{25}{120} + \frac{18}{120} = \frac{25 + 18}{120} = \frac{43}{120}$

Следовательно, каждый час катера сближаются на $\frac{43}{120}$ часть расстояния между пристанями.

Ответ: $\frac{43}{120}$

2.197. Лена полола первую грядку 13 ч, вторую на 15 ч меньше, а третью на 215 больше, чем первую и вторую вместе. Сколько времени ушло у Лены на прополку?

2.197

$\mathbf{1}\mathbf{)} {\frac{1}{3}}^{\overline{)·5}}-{\frac{1}{5}}^{\overline{)·3}}=\frac{5}{15}-\frac{3}{15}=\frac{2}{15}$(ч) – полола Лена вторую грядку;

$\mathbf{2}\mathbf{)} {\frac{1}{3}}^{\overline{)·5}}+\frac{2}{15}=\frac{5}{15}+\frac{2}{15}=\frac{7}{15}$(ч) – полола Лена первые две грядки;

$\mathbf{3}\mathbf{)} \frac{7}{15}+\frac{2}{15}=\frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{9}}}}{{\displaystyle \underset{5}{\cancel{15}}}}=\frac{3}{5}$(ч) – полола Лена третью грядку;

$\mathbf{4}\mathbf{)} \frac{7}{15}+{\frac{3}{5}}^{\overline{)·3}}=\frac{7}{15}+\frac{9}{15}=\frac{16}{15}=1\frac{1}{15}$ (ч) – ушло на прополку.

Ответ: $1\frac{1}{15}$ч.

Для решения задачи выполним действия по шагам:

1. Сначала найдем, сколько времени Лена потратила на прополку второй грядки. В условии сказано, что это на $\frac{1}{5}$ часа меньше, чем на первую грядку ($\frac{1}{3}$ часа). Выполним вычитание, приведя дроби к общему знаменателю 15:

$\frac{1}{3} - \frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{1 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{5}{15} - \frac{3}{15} = \frac{2}{15}$ часа.

Ответ: на прополку второй грядки ушло $\frac{2}{15}$ часа.

2. Теперь вычислим, сколько времени ушло на первую и вторую грядки вместе. Для этого сложим время, затраченное на каждую из них:

$\frac{1}{3} + \frac{2}{15} = \frac{5}{15} + \frac{2}{15} = \frac{7}{15}$ часа.

Ответ: на прополку первой и второй грядок вместе ушло $\frac{7}{15}$ часа.

3. Далее найдем время, потраченное на третью грядку. Оно на $\frac{2}{15}$ часа больше, чем время на первые две грядки вместе. Сложим эти значения:

$\frac{7}{15} + \frac{2}{15} = \frac{9}{15}$ часа.

Дробь $\frac{9}{15}$ можно сократить на 3: $\frac{9 \div 3}{15 \div 3} = \frac{3}{5}$ часа.

Ответ: на прополку третьей грядки ушло $\frac{3}{5}$ часа.

4. Наконец, найдем общее время, которое Лена потратила на всю прополку. Для этого сложим время, потраченное на первые две грядки, и время, потраченное на третью грядку:

$\frac{7}{15} + \frac{9}{15} = \frac{16}{15}$ часа.

Чтобы ответ был более понятным, представим неправильную дробь в виде смешанного числа:

$\frac{16}{15} = 1\frac{1}{15}$ часа.

Можно также перевести это в часы и минуты. 1 час и $\frac{1}{15}$ часа. В одном часе 60 минут, значит $\frac{1}{15}$ часа это $\frac{1}{15} \cdot 60 = 4$ минуты. То есть, $1$ час $4$ минуты.

Ответ: всего на прополку у Лены ушло $1\frac{1}{15}$ часа (или 1 час 4 минуты).

2.198. Хозяйка купила на рынке творог и сметану. Масса покупки составила 1,7 кг. Какова была бы масса покупки, если бы хозяйка купила творога на 15 кг больше, а сметаны — на 625 кг меньше?

2.198

$1,7 + \frac{1}{5}-\frac{6}{25}={\frac{17}{10}}^{\overline{)·5}}+ {\frac{1}{5}}^{\overline{)·10}}-{\frac{6}{25}}^{\overline{)·2}}=$

$=\frac{85}{50}+ \frac{1}{50}-\frac{12}{50}={\frac{83}{50}}^{\overline{)·2}}= \frac{166}{100}=1,66$(кг) – была бы масса покупки

Ответ: 1,66 кг.

Начальная общая масса покупки (творог и сметана) составляет $1,7$ кг. Чтобы найти, какой стала бы масса покупки при изменении количества творога и сметаны, нужно к исходной массе прибавить изменение массы творога и вычесть изменение массы сметаны.

Новая масса = (Начальная масса) + (увеличение массы творога) - (уменьшение массы сметаны).

Выразим это в виде математического выражения:

$1,7 + \frac{1}{5} - \frac{6}{25}$

Для удобства вычислений преобразуем обыкновенные дроби в десятичные:

$\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{2}{10} = 0,2$

$\frac{6}{25} = \frac{6 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{24}{100} = 0,24$

Теперь подставим полученные значения в исходное выражение и выполним вычисления:

$1,7 + 0,2 - 0,24 = 1,9 - 0,24 = 1,66$ кг.

Ответ: масса покупки составила бы $1,66$ кг.

2.199. Вычислите:

а) (25 – 14) + 920;

б) 730 + (35 – 16);

в) 78 - (19 + 23);

г) (514 + 910) – 57.

2.199

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} \left({\frac{2}{5}}^{\overline{)·4}}-{\frac{1}{4}}^{\overline{)·5}}\right)+\frac{9}{20}=\left(\frac{8}{20}-\frac{5}{20}\right)+\frac{9}{20}= \\ =\frac{3}{20}+\frac{9}{20}=\frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{12}}}}{{\displaystyle \underset{5}{\cancel{20}}}}=\frac{3}{5} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} \frac{7}{30}+\left({\frac{3}{5}}^{\overline{)·6}}-{\frac{1}{6}}^{\overline{)·5}}\right)=\frac{7}{30}+\left(\frac{18}{30}-\frac{5}{30}\right)= \\ =\frac{7}{30}+\frac{13}{30}=\frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\cancel{20}}}}{{\displaystyle \underset{3}{\cancel{30}}}}=\frac{2}{3} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)} {\frac{7}{8}}^{\overline{)·9}}-\left({\frac{1}{9}}^{\overline{)·8}}+{\frac{2}{3}}^{\overline{)·24}}\right)=\frac{63}{72}-\left(\frac{8}{72}+\frac{48}{72}\right)= \\ =\frac{63}{72}-\frac{56}{72}=\frac{7}{72} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)} \left({\frac{5}{14}}^{\overline{)·5}}+{\frac{9}{10}}^{\overline{)·7}}\right)-{\frac{5}{7}}^{\overline{)·10}}=\left(\frac{25}{70}+\frac{63}{70}\right)-\frac{50}{70}= \\ =\frac{88}{70}-\frac{50}{70}=\frac{{\displaystyle \stackrel{19}{\cancel{38}}}}{{\displaystyle \underset{35}{\cancel{70}}}}=\frac{19}{35} \end{gathered}$$

а) $\left(\frac{2}{5} - \frac{1}{4}\right) + \frac{9}{20}$
Сначала выполним действие в скобках. Для этого приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 5 и 4 — это 20.
1) $\frac{2}{5} - \frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4}{5 \cdot 4} - \frac{1 \cdot 5}{4 \cdot 5} = \frac{8}{20} - \frac{5}{20} = \frac{8 - 5}{20} = \frac{3}{20}$.
Теперь выполним сложение:
2) $\frac{3}{20} + \frac{9}{20} = \frac{3 + 9}{20} = \frac{12}{20}$.
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 4:
$\frac{12}{20} = \frac{12 \div 4}{20 \div 4} = \frac{3}{5}$.
Ответ: $\frac{3}{5}$.

б) $\frac{7}{30} + \left(\frac{3}{5} - \frac{1}{6}\right)$
Сначала выполним действие в скобках. Наименьший общий знаменатель для 5 и 6 — это 30.
1) $\frac{3}{5} - \frac{1}{6} = \frac{3 \cdot 6}{5 \cdot 6} - \frac{1 \cdot 5}{6 \cdot 5} = \frac{18}{30} - \frac{5}{30} = \frac{18 - 5}{30} = \frac{13}{30}$.
Теперь выполним сложение:
2) $\frac{7}{30} + \frac{13}{30} = \frac{7 + 13}{30} = \frac{20}{30}$.
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 10:
$\frac{20}{30} = \frac{20 \div 10}{30 \div 10} = \frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{2}{3}$.

в) $\frac{7}{8} - \left(\frac{1}{9} + \frac{2}{3}\right)$
Сначала выполним действие в скобках. Наименьший общий знаменатель для 9 и 3 — это 9.
1) $\frac{1}{9} + \frac{2}{3} = \frac{1}{9} + \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} = \frac{1}{9} + \frac{6}{9} = \frac{1 + 6}{9} = \frac{7}{9}$.
Теперь выполним вычитание. Наименьший общий знаменатель для 8 и 9 — это 72.
2) $\frac{7}{8} - \frac{7}{9} = \frac{7 \cdot 9}{8 \cdot 9} - \frac{7 \cdot 8}{9 \cdot 8} = \frac{63}{72} - \frac{56}{72} = \frac{63 - 56}{72} = \frac{7}{72}$.
Дробь $\frac{7}{72}$ является несократимой.
Ответ: $\frac{7}{72}$.

г) $\left(\frac{5}{14} + \frac{9}{10}\right) - \frac{5}{7}$
Сначала выполним действие в скобках. Наименьший общий знаменатель для 14 и 10 — это 70.
1) $\frac{5}{14} + \frac{9}{10} = \frac{5 \cdot 5}{14 \cdot 5} + \frac{9 \cdot 7}{10 \cdot 7} = \frac{25}{70} + \frac{63}{70} = \frac{25 + 63}{70} = \frac{88}{70}$.
Теперь выполним вычитание. Приведем дробь $\frac{5}{7}$ к знаменателю 70.
2) $\frac{88}{70} - \frac{5}{7} = \frac{88}{70} - \frac{5 \cdot 10}{7 \cdot 10} = \frac{88}{70} - \frac{50}{70} = \frac{88 - 50}{70} = \frac{38}{70}$.
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:
$\frac{38}{70} = \frac{38 \div 2}{70 \div 2} = \frac{19}{35}$.
Ответ: $\frac{19}{35}$.

4.375. Какой знак у произведения:
а) 5 · (–21) · (–17) · (–15) · (–22) · (–38) · 70 · 60;
б) –4 · (–5) · (–7) · (–2,2) · 15 · (–4,3) · (–3,1)?

4.375

$\mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }5 · (-21) · (-17) · (-15) · (-22) · (-38) · 70 · 60 < 0$

$\mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }-4 · (-5) · (-7) · (-2,2) · 15 · (-4,3) · (-3,1) > 0.$

Чтобы определить знак произведения, необходимо посчитать количество отрицательных множителей в выражении. Знак произведения чисел зависит от количества отрицательных множителей:

• Если количество отрицательных множителей четное (0, 2, 4, ...), то произведение будет положительным (знак «+»).
• Если количество отрицательных множителей нечетное (1, 3, 5, ...), то произведение будет отрицательным (знак «−»).

а) Рассмотрим произведение $5 \cdot (-21) \cdot (-17) \cdot (-15) \cdot (-22) \cdot (-38) \cdot 70 \cdot 60$.

Выпишем и посчитаем все отрицательные множители в этом выражении: $(-21)$, $(-17)$, $(-15)$, $(-22)$, $(-38)$.

Всего в произведении 5 отрицательных множителей. Число 5 является нечетным, следовательно, знак всего произведения будет отрицательным.

Ответ: знак минус (отрицательный).

б) Рассмотрим произведение $-4 \cdot (-5) \cdot (-7) \cdot (-2,2) \cdot 15 \cdot (-4,3) \cdot (-3,1)$.

Выпишем и посчитаем все отрицательные множители в этом выражении: $-4$, $(-5)$, $(-7)$, $(-2,2)$, $(-4,3)$, $(-3,1)$.

Всего в произведении 6 отрицательных множителей. Число 6 является четным, следовательно, знак всего произведения будет положительным.

Ответ: знак плюс (положительный).

4.376. Вспомните, когда произведение равно нулю, и решите уравнение:
а) 6 · (х – 7) = 0;
б) –11 · (5,4 + х) = 0;
в) 2,9 · (36 – х) = 0;
г) (2х – 8) · 4,7 = 0.

4.376

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)}\mathbf{ }6 · (\mathrm{х} – 7) = 0; \\ \mathrm{х} – 7 = 0; \\ \mathrm{х} = 0 +7; \\ \mathrm{х} = 7. \\ \mathrm{Ответ}: 7. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{б}\mathbf{)} -11 · (5,4 + \mathrm{х}) = 0; \\ 5,4 + \mathrm{х} = 0; \\ \mathrm{х} = 0 – 5,4; \\ \mathrm{х} = -5,4. \\ \mathrm{Ответ}: - 5,4 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{в}\mathbf{)} 2,9 · (36 – \mathrm{х}) = 0; \\ 36 – \mathrm{х} = 0; \\ \mathrm{х} = 36 – 0; \\ \mathrm{х} = 36. \\ \mathrm{Ответ}: 36. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{г}\mathbf{)}\mathbf{ }(2\mathrm{х} – 8) · 4,7 = 0; \\ 2\mathrm{х} – 8 = 0; \\ 2\mathrm{х} = 0 + 8; \\ 2\mathrm{х} = 8; \\ \mathrm{х} = 8 : 2; \\ \mathrm{х} = 4 . \\ \mathrm{Ответ}: 4. \end{gathered}$$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Используя это свойство, решим данные уравнения.

а) $6 \cdot (x - 7) = 0$

Данное уравнение представляет собой произведение двух множителей: $6$ и $(x - 7)$. Поскольку первый множитель $6$ не равен нулю, то для выполнения равенства необходимо, чтобы второй множитель был равен нулю.

$x - 7 = 0$

Решаем полученное линейное уравнение, перенеся $-7$ в правую часть с противоположным знаком:

$x = 7$

Ответ: 7

б) $-11 \cdot (5,4 + x) = 0$

В этом уравнении множители: $-11$ и $(5,4 + x)$. Так как $-11 \neq 0$, то нулю должен быть равен второй множитель.

$5,4 + x = 0$

Решаем уравнение относительно $x$, перенеся $5,4$ в правую часть с противоположным знаком:

$x = -5,4$

Ответ: -5,4

в) $2,9 \cdot (36 - x) = 0$

Множители в данном уравнении: $2,9$ и $(36 - x)$. Так как $2,9 \neq 0$, приравниваем второй множитель к нулю.

$36 - x = 0$

Решаем уравнение:

$x = 36$

Ответ: 36

г) $(2x - 8) \cdot 4,7 = 0$

Здесь множители: $(2x - 8)$ и $4,7$. Поскольку второй множитель $4,7$ не равен нулю, то первый множитель должен быть равен нулю.

$2x - 8 = 0$

Решаем полученное уравнение. Сначала перенесем $-8$ в правую часть с противоположным знаком:

$2x = 8$

Теперь разделим обе части уравнения на $2$:

$x = \frac{8}{2}$

$x = 4$

Ответ: 4

4.377. Найдите корень уравнения:
а) (z – 5) · (z – 7) = 0;
б) (z + 2) · (z + 9) = 0;
в) (2z + 6)(z – 4) = 0;
г) (–z – 2)(14 – 7z) = 0.

4.377

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)}\mathbf{ }(\mathrm{z} – 5) · (\mathrm{z} – 7) = 0; \\ \mathrm{z} – 5 = 0 \mathrm{или} \mathrm{z} – 7 = 0; \\ \mathrm{z} = 0 + 5 \mathrm{z} = 0 + 7; \\ \mathrm{z} = 5 \mathrm{z} = 7. \\ \mathrm{Ответ}: 5 \mathrm{или} 7. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{б}\mathbf{)} (\mathrm{z} + 2) · (\mathrm{z} + 9) = 0 ; \\ \mathrm{z} + 2 = 0 \mathrm{или} \mathrm{z} + 9 = 0; \\ \mathrm{z} = 0 – 2 \mathrm{z} = 0 – 9; \\ \mathrm{z} = -2 \mathrm{z} = -9. \\ \mathrm{Ответ}: -2 \mathrm{или} -9 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{в}\mathbf{)} (2\mathrm{z} + 6) · (\mathrm{z} – 4)= 0; \\ 2\mathrm{z} + 6 = 0 \mathrm{или} \mathrm{z} – 4 = 0; \\ 2\mathrm{z} = 0 – 6 \mathrm{z} = 0 + 4; \\ 2\mathrm{z} = -6 \mathrm{z} = 4; \\ \mathrm{z} = -6 : 2; \\ \mathrm{z} = -3; \\ \mathrm{Ответ}: -3 \mathrm{или} 4 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{г}\mathbf{)} (-\mathrm{z} – 2) · (14 – 7\mathrm{z}) = 0 \\ -\mathrm{z} – 2 = 0 \mathrm{или} 14 – 7\mathrm{z} = 0 \\ -\mathrm{z} = 0 + 2 7\mathrm{z} = 14 – 0 \\ -\mathrm{z} = 2 7\mathrm{z} = 14 \\ \mathrm{z} = -2 \mathrm{z} = 14 : 7 \\ \mathrm{z} = 2 \\ \mathrm{Ответ}: -2 \mathrm{или} 2 \end{gathered}$$

а) Исходное уравнение: $(z - 5) \cdot (z - 7) = 0$.
Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Поэтому мы можем приравнять каждую скобку к нулю, чтобы найти корни уравнения.
1) $z - 5 = 0$
Переносим 5 в правую часть:
$z_1 = 5$
2) $z - 7 = 0$
Переносим 7 в правую часть:
$z_2 = 7$
Таким образом, у уравнения два корня.
Ответ: 5; 7.

б) Исходное уравнение: $(z + 2) \cdot (z + 9) = 0$.
Это уравнение также решается приравниванием каждого множителя к нулю.
1) $z + 2 = 0$
Переносим 2 в правую часть, меняя знак:
$z_1 = -2$
2) $z + 9 = 0$
Переносим 9 в правую часть, меняя знак:
$z_2 = -9$
Корни уравнения – это найденные значения z.
Ответ: -9; -2.

в) Исходное уравнение: $(2z + 6)(z - 4) = 0$.
Приравняем каждый из множителей к нулю и решим полученные линейные уравнения.
1) $2z + 6 = 0$
$2z = -6$
$z_1 = \frac{-6}{2}$
$z_1 = -3$
2) $z - 4 = 0$
$z_2 = 4$
Найдены два корня уравнения.
Ответ: -3; 4.

г) Исходное уравнение: $(-z - 2)(14 - 7z) = 0$.
Приравниваем каждый множитель к нулю, чтобы найти все корни.
1) $-z - 2 = 0$
$-z = 2$
$z_1 = -2$
2) $14 - 7z = 0$
$-7z = -14$
$z_2 = \frac{-14}{-7}$
$z_2 = 2$
Таким образом, у уравнения два корня.
Ответ: -2; 2.

4.378. С помощью букв m, n и k запишите распределительное свойство умножения относительно сложения. Подставьте значения букв.

а) m = 0,4, n = –0,6, k = –0,5; б) m = – 411, n = – 511, k = – 129.

Проверьте получившиеся равенства.

4.378

$(\mathrm{m} + \mathrm{n}) · \mathrm{k} = \mathrm{m} · \mathrm{k} + \mathrm{n} · \mathrm{k}$

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathrm{m} = 0,4; \mathrm{n} = -0,6; \mathrm{k} = -0,5 \\ (0,4 + (-0,6)) · (-0,5) = 0,4 · (-0,5) + (-0,6) · (-0,5) \\ -0,2 · (-0,5) = -0,2 + 0,3 \\ 0,1= 0,1 – \mathrm{верно} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{б}\mathbf{)} \mathrm{m} = -\frac{4}{11}; \mathrm{n} = -\frac{5}{11}; \mathrm{k} = -1\frac{2}{9} \\ (-\frac{4}{11} + (-\frac{5}{11})) · (-1\frac{2}{9} ) = \\ = -\frac{4}{11} · (-1\frac{2}{9} ) + (-\frac{5}{11}) · (-1\frac{2}{9} ) \\ -\frac{\bcancel{9}}{\cancel{11}} · (-\frac{\cancel{11}}{\bcancel{9}}) = \frac{4}{\cancel{11}} · \frac{\cancel{11}}{9}+ \frac{5}{\cancel{11}} ·\frac{\cancel{11}}{9} \\ \frac{1}{1} · \frac{1}{1} = \frac{4}{1} · \frac{1}{9} + \frac{5}{1} · \frac{1}{9} \\ 1 = \frac{4}{9} + \frac{5}{9} \\ 1 = \frac{9}{9} \\ 1 =1 - \mathrm{верно} \end{gathered}$$

Распределительное свойство умножения относительно сложения с помощью букв $m$, $n$ и $k$ можно записать в виде формулы: $(m + n) \cdot k = m \cdot k + n \cdot k$.

Подставим значения букв и проверим получившиеся равенства.

а)

Подставим значения $m = 0,4$, $n = -0,6$, $k = -0,5$ в формулу:

$(0,4 + (-0,6)) \cdot (-0,5) = 0,4 \cdot (-0,5) + (-0,6) \cdot (-0,5)$

Проверим равенство, вычислив левую и правую части по отдельности.

Вычисляем левую часть:

$(0,4 + (-0,6)) \cdot (-0,5) = (0,4 - 0,6) \cdot (-0,5) = (-0,2) \cdot (-0,5) = 0,1$

Вычисляем правую часть:

$0,4 \cdot (-0,5) + (-0,6) \cdot (-0,5) = -0,2 + 0,3 = 0,1$

Так как $0,1 = 0,1$, равенство верно.

Ответ: $0,1 = 0,1$, равенство верно.

б)

Подставим значения $m = -\frac{4}{11}$, $n = -\frac{5}{11}$, $k = -1\frac{2}{9}$ в формулу.

Сначала преобразуем смешанное число $k$ в неправильную дробь:

$k = -1\frac{2}{9} = -\frac{1 \cdot 9 + 2}{9} = -\frac{11}{9}$

Теперь подставим значения в равенство:

$(-\frac{4}{11} + (-\frac{5}{11})) \cdot (-\frac{11}{9}) = (-\frac{4}{11}) \cdot (-\frac{11}{9}) + (-\frac{5}{11}) \cdot (-\frac{11}{9})$

Проверим равенство, вычислив левую и правую части по отдельности.

Вычисляем левую часть:

$(-\frac{4}{11} + (-\frac{5}{11})) \cdot (-\frac{11}{9}) = (-\frac{4+5}{11}) \cdot (-\frac{11}{9}) = (-\frac{9}{11}) \cdot (-\frac{11}{9}) = \frac{9 \cdot 11}{11 \cdot 9} = 1$

Вычисляем правую часть:

$(-\frac{4}{11}) \cdot (-\frac{11}{9}) + (-\frac{5}{11}) \cdot (-\frac{11}{9}) = \frac{4 \cdot 11}{11 \cdot 9} + \frac{5 \cdot 11}{11 \cdot 9} = \frac{4}{9} + \frac{5}{9} = \frac{4+5}{9} = \frac{9}{9} = 1$

Так как $1 = 1$, равенство верно.

Ответ: $1 = 1$, равенство верно.

4.379. Вычислите значение выражения наиболее удобным способом:
а) 0,2 · (–0,8) – (–0,9) · (–0,8);
б) 9 · (– 111) + 13 (– 111);
в) – 713 · 0,7 + 0,6 · (– 713);
г) (– 15 – 97) · (–70).

4.379

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} 0,2 · (-0,8)-(-0,9) · (-0,8)=-0,8 \times \\ \times (0,2-(-0,9) )=-0,8 · (0,2 + 0,9)= \\ =-0,8 · 1,1=-0,88 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} 9 · \left(-\frac{1}{11}\right) + 13 · \left(-\frac{1}{11}\right) = -\frac{1}{11} \times \\ \times \left(9 + 13\right) = -\frac{1}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{11}}}} · \stackrel{2}{\cancel{22}} = -\frac{1}{1} · 2 = \\ = -2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)} -\frac{7}{13} · 0,7 + 0,6 · \left(-\frac{7}{13}\right) = -\frac{7}{13} \times \\ \times \left(0,7 + 0,6\right) = -\frac{7}{{\displaystyle \underset{10}{\cancel{13}}}} · \stackrel{1}{\cancel{1,3}} = -\frac{7}{10} · 1 = \\ = -0,7 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)} \left(-\frac{1}{5} - \frac{9}{7}\right) · \left(-70\right) = -\frac{1}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{5}}}} · \left(-\stackrel{14}{\cancel{70}}\right)- \\ - \frac{9}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{7}}}} · \left(-\stackrel{10}{\bcancel{70}}\right) = -\frac{1}{1} · \left(-14\right)- \frac{9}{1} · \left(-10\right)= \\ = 14 - \left(-90\right) = 14 + 90 = 104 \end{gathered}$$

а) В выражении $0,2 \cdot (-0,8) - (-0,9) \cdot (-0,8)$ есть общий множитель $(-0,8)$. Наиболее удобный способ решения — вынести его за скобки, используя распределительное свойство умножения: $a \cdot c - b \cdot c = (a - b) \cdot c$.
$0,2 \cdot (-0,8) - (-0,9) \cdot (-0,8) = (0,2 - (-0,9)) \cdot (-0,8)$
Выполним действие в скобках:
$0,2 - (-0,9) = 0,2 + 0,9 = 1,1$
Теперь умножим результат на общий множитель:
$1,1 \cdot (-0,8) = -0,88$
Ответ: $-0,88$

б) В выражении $9 \cdot (-\frac{1}{11}) + 13 \cdot (-\frac{1}{11})$ общий множитель — это $(-\frac{1}{11})$. Вынесем его за скобки, применяя распределительное свойство: $a \cdot c + b \cdot c = (a + b) \cdot c$.
$9 \cdot (-\frac{1}{11}) + 13 \cdot (-\frac{1}{11}) = (9 + 13) \cdot (-\frac{1}{11})$
Сначала сложим числа в скобках:
$9 + 13 = 22$
Затем умножим полученную сумму на общий множитель:
$22 \cdot (-\frac{1}{11}) = -\frac{22}{11} = -2$
Ответ: $-2$

в) В выражении $-\frac{7}{13} \cdot 0,7 + 0,6 \cdot (-\frac{7}{13})$ общий множитель — это $(-\frac{7}{13})$. Для удобства переставим множители во втором слагаемом: $-\frac{7}{13} \cdot 0,7 + (-\frac{7}{13}) \cdot 0,6$. Теперь вынесем общий множитель за скобки.
$-\frac{7}{13} \cdot (0,7 + 0,6)$
Выполним сложение в скобках:
$0,7 + 0,6 = 1,3$
Теперь умножим:
$-\frac{7}{13} \cdot 1,3$
Представим десятичную дробь $1,3$ в виде обыкновенной дроби $\frac{13}{10}$ для удобства вычислений:
$-\frac{7}{13} \cdot \frac{13}{10} = -\frac{7 \cdot 13}{13 \cdot 10} = -\frac{7}{10} = -0,7$
Ответ: $-0,7$

г) Для вычисления значения выражения $(-\frac{1}{5} - \frac{9}{7}) \cdot (-70)$ удобно использовать распределительное свойство умножения: $(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$. Умножим каждый член в скобках на $(-70)$.
$(-\frac{1}{5} - \frac{9}{7}) \cdot (-70) = (-\frac{1}{5}) \cdot (-70) + (-\frac{9}{7}) \cdot (-70)$
Вычислим каждое произведение отдельно. Произведение двух отрицательных чисел положительно.
Первое слагаемое: $(-\frac{1}{5}) \cdot (-70) = \frac{70}{5} = 14$
Второе слагаемое: $(-\frac{9}{7}) \cdot (-70) = \frac{9 \cdot 70}{7} = 9 \cdot 10 = 90$
Теперь сложим полученные результаты:
$14 + 90 = 104$
Ответ: $104$

4.380. Выполните вычисления по схеме справа.

4.380

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} -\frac{\cancel{2}}{5} ·\frac{1}{\cancel{2}} = -\frac{1}{5} · \frac{1}{1} = -\frac{1}{5} \\ -\cancel{2} · \frac{1}{\cancel{2}} = -1 \\ \frac{{\displaystyle \stackrel{4}{\cancel{8}}}}{11} · \frac{1}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{2}}}} = \frac{4}{11} · \frac{1}{1} = \frac{4}{11} \\ -\frac{\cancel{2}}{7} · \frac{1}{\cancel{2}} = -\frac{1}{7} · \frac{1}{1} = -\frac{1}{7} \\ -8 · \frac{1}{2} = -\frac{8}{2} = -4 \\ 2\frac{2}{7} · \frac{1}{2} = \frac{{\displaystyle \stackrel{8}{\cancel{16}}}}{7} · \frac{1}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{2}}}} = \frac{8}{7} · \frac{1}{1} = \frac{8}{7} = 1\frac{1}{7} \\ -4 · \frac{1}{2} = -\frac{4}{2} = -2 \\ 1,2 · {\frac{1}{2}}^{\overline{)·5}} = 1,2 · 0,5 = 0,6 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }-1\frac{1}{3} : \frac{3}{4} = -\frac{4}{3} · \frac{4}{3} = -\frac{16}{9} = \\ = -1\frac{7}{9} \\ 8 : \frac{3}{4} = 8 · \frac{4}{3} = \frac{32}{3} = 10\frac{2}{3} \\ -2\frac{2}{5} : \frac{3}{4} = -\frac{{\displaystyle \stackrel{4}{\cancel{12}}}}{5} · \frac{4}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{3}}}} = -\frac{4}{5} · \frac{4}{1} = \\ = -\frac{16}{5} = -3\frac{1}{5} \\ -3 : \frac{3}{4} = -\frac{\cancel{3}}{1} · \frac{4}{\cancel{3}} = -\frac{1}{1} · \frac{4}{1} = -\frac{4}{1} = -4 \\ -\frac{1}{2} : \frac{3}{4} = -\frac{1}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{2}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\cancel{4}}}}{3} = -\frac{1}{1} · \frac{2}{3} = -\frac{2}{3} \\ \frac{5}{12} : \frac{3}{4} = \frac{5}{{\displaystyle \underset{3}{\cancel{12}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{4}}}}{3} = \frac{5}{3} · \frac{1}{3} = \frac{5}{9} \\ -6 : \frac{3}{4} = -\frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\cancel{6}}}}{1} · \frac{4}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{3}}}} = -\frac{2}{1} · \frac{4}{1} = \\ =-\frac{8}{1} = -8 \\ \frac{1}{4} : \frac{3}{4} = \frac{1}{\cancel{4}} · \frac{\cancel{4}}{3} = \frac{1}{1} · \frac{1}{3} = \frac{1}{3} \end{gathered}$$

В данной схеме необходимо выполнить умножение каждого числа из внешних кругов на число в центре, то есть на $ \frac{1}{2} $. Выполним вычисления по порядку, начиная с верхнего числа и двигаясь по часовой стрелке.

$ -2 \cdot \frac{1}{2} = -\frac{2}{2} = -1 $

$ \frac{8}{11} \cdot \frac{1}{2} = \frac{8}{22} = \frac{4}{11} $

$ -\frac{2}{7} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{2}{14} = -\frac{1}{7} $

$ -8 \cdot \frac{1}{2} = -\frac{8}{2} = -4 $

$ 2\frac{2}{7} \cdot \frac{1}{2} = \frac{16}{7} \cdot \frac{1}{2} = \frac{16}{14} = \frac{8}{7} = 1\frac{1}{7} $

$ -4 \cdot \frac{1}{2} = -\frac{4}{2} = -2 $

$ 1,2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{12}{10} \cdot \frac{1}{2} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5} $

$ -\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{2}{10} = -\frac{1}{5} $

Ответ: -1; $ \frac{4}{11} $; $ -\frac{1}{7} $; -4; $ 1\frac{1}{7} $; -2; $ \frac{3}{5} $; $ -\frac{1}{5} $.

В этой схеме необходимо выполнить деление каждого числа из внешних кругов на число в центре, то есть на $ \frac{3}{4} $. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь, то есть на $ \frac{4}{3} $. Выполним вычисления по порядку, начиная с верхнего числа и двигаясь по часовой стрелке.

$ 8 : \frac{3}{4} = 8 \cdot \frac{4}{3} = \frac{32}{3} = 10\frac{2}{3} $

$ -2\frac{2}{5} : \frac{3}{4} = -\frac{12}{5} : \frac{3}{4} = -\frac{12}{5} \cdot \frac{4}{3} = -\frac{4 \cdot 4}{5} = -\frac{16}{5} = -3\frac{1}{5} $

$ -3 : \frac{3}{4} = -3 \cdot \frac{4}{3} = -4 $

$ -\frac{1}{2} : \frac{3}{4} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3} $

$ \frac{5}{12} : \frac{3}{4} = \frac{5}{12} \cdot \frac{4}{3} = \frac{5 \cdot 1}{3 \cdot 3} = \frac{5}{9} $

$ -6 : \frac{3}{4} = -6 \cdot \frac{4}{3} = -2 \cdot 4 = -8 $

$ \frac{1}{4} : \frac{3}{4} = \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{3} = \frac{1}{3} $

$ -1\frac{1}{3} : \frac{3}{4} = -\frac{4}{3} : \frac{3}{4} = -\frac{4}{3} \cdot \frac{4}{3} = -\frac{16}{9} = -1\frac{7}{9} $

Ответ: $ 10\frac{2}{3} $; $ -3\frac{1}{5} $; -4; $ -\frac{2}{3} $; $ \frac{5}{9} $; -8; $ \frac{1}{3} $; $ -1\frac{7}{9} $.

4.381. Вычислите сумму всех целых чисел между числами:

а) –9 и 6; б) –19 и 15; в) –28 и 20; г) –6,5 и 13,5.

4.381

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }-8 + (-7) + (-6) + (-5) + (-4) + (-3) + \\ + (-2) + (-1) + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = \\ = -8 + (-7) + (-6) + (-5 + 5) + (-4 + 4) + \\ + (-3 + 3) + (-2 + 2) + (-1 + 1) + 0 = \\ = -21 + 0 + 0 + 0 + 0 = -21 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} -18 + (-17) + (-16) + (-15) + (-14) + \dots + \\ + (-1) + 0 + 1 + ... + 14 = -18 + (-17) + \\ + (-16) + (-15) + (-14 + 14) + \dots + (-1 + 1) + 0 = \\ = -66 + 0 + 0 + \dots + 0 = -66 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }-27 + (-26) + (-25) + (-24) + (-23) + \dots + \\ + (-1) + 0 + 1 + ... + 19 = -27 + (-26) + \\ + (-25) + (-24) + (-23) + (-22) + (-21) + \\ + (-20) + (-19 + 19) + (-18 + 18) + \dots + \\ + (-1 + 1) + 0 =- 27 + (-26) + (-25) + (-24) + \\ + (-23) + + (-22) + (-21) + (-20) + 0 + \\ + 0 + \dots + 0 = -188 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }-6 + (-5) + (-4) + \dots + (-1) + 0 + 1 + \\ + 2 + 3 + \dots + 12 + 13 = (-6 + 6) + (-5 + 5) + \\ + (-4 + 4) + \dots + (-1 + 1) + 7 + 8 + 9 + \\ + 10 + 11 + 12 + 13 = 0 + \dots + 0 + (7 + 13) + \\ + (8 + 12) + (9 + 11) + 10 = 20 + 20 + 20 + 10 = 70 \end{gathered}$$

Для решения задачи мы будем находить сумму целых чисел, находящихся в заданных промежутках. Удобно заметить, что сумма симметричных относительно нуля целых чисел (например, от $-k$ до $k$) равна нулю. Это упрощает вычисления. Также можно использовать формулу суммы $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$, где $a_1$ — первый член, $a_n$ — последний член, а $n$ — количество членов.

Требуется найти сумму всех целых чисел, которые находятся между $-9$ и $6$. Это последовательность целых чисел от $-8$ до $5$ включительно.
Ряд чисел: $-8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5$.
Сумма целых чисел от $-5$ до $5$ включительно равна $0$, так как для каждого положительного числа в этом диапазоне есть соответствующее ему отрицательное, и их сумма равна нулю.
Таким образом, для нахождения общей суммы достаточно сложить оставшиеся числа: $-8, -7, -6$.
$S = (-8) + (-7) + (-6) = -21$.
Проверим с помощью формулы суммы арифметической прогрессии. Первый член $a_1 = -8$, последний член $a_n = 5$, количество членов $n = 5 - (-8) + 1 = 14$.
$S_{14} = \frac{(-8 + 5) \cdot 14}{2} = \frac{-3 \cdot 14}{2} = -3 \cdot 7 = -21$.
Ответ: -21

Требуется найти сумму всех целых чисел, которые находятся между $-19$ и $15$. Это последовательность целых чисел от $-18$ до $14$ включительно.
Сумма целых чисел от $-14$ до $14$ равна $0$.
Остается найти сумму чисел от $-18$ до $-15$:
$S = (-18) + (-17) + (-16) + (-15) = -66$.
Проверим с помощью формулы суммы арифметической прогрессии. Первый член $a_1 = -18$, последний член $a_n = 14$, количество членов $n = 14 - (-18) + 1 = 33$.
$S_{33} = \frac{(-18 + 14) \cdot 33}{2} = \frac{-4 \cdot 33}{2} = -2 \cdot 33 = -66$.
Ответ: -66

Требуется найти сумму всех целых чисел, которые находятся между $-28$ и $20$. Это последовательность целых чисел от $-27$ до $19$ включительно.
Сумма целых чисел от $-19$ до $19$ равна $0$.
Следовательно, нужно найти сумму оставшихся чисел, которые образуют последовательность от $-27$ до $-20$.
Это арифметическая прогрессия, где $a_1 = -27$, $a_n = -20$, количество членов $n = -20 - (-27) + 1 = 8$.
Сумма: $S_8 = \frac{(-27 + (-20)) \cdot 8}{2} = \frac{-47 \cdot 8}{2} = -47 \cdot 4 = -188$.
Проверим для всей последовательности от $-27$ до $19$. Первый член $a_1 = -27$, последний член $a_n = 19$, количество членов $n = 19 - (-27) + 1 = 47$.
$S_{47} = \frac{(-27 + 19) \cdot 47}{2} = \frac{-8 \cdot 47}{2} = -4 \cdot 47 = -188$.
Ответ: -188

Требуется найти сумму всех целых чисел, которые находятся между $-6,5$ и $13,5$.
Первое целое число, которое больше $-6,5$, это $-6$. Последнее целое число, которое меньше $13,5$, это $13$.
Таким образом, мы ищем сумму целых чисел от $-6$ до $13$ включительно.
Сумма целых чисел от $-6$ до $6$ равна $0$.
Остается найти сумму чисел от $7$ до $13$:
$S = 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13$.
Это арифметическая прогрессия, где $a_1 = 7$, $a_n = 13$, количество членов $n = 13 - 7 + 1 = 7$.
Сумма: $S_7 = \frac{(7+13) \cdot 7}{2} = \frac{20 \cdot 7}{2} = 10 \cdot 7 = 70$.
Проверим для всей последовательности от $-6$ до $13$. Первый член $a_1 = -6$, последний член $a_n = 13$, количество членов $n = 13 - (-6) + 1 = 20$.
$S_{20} = \frac{(-6 + 13) \cdot 20}{2} = \frac{7 \cdot 20}{2} = 7 \cdot 10 = 70$.
Ответ: 70

4.382. Назовите корни уравнения:

а) |m| = 0; б) |z| = 4,8; в) |n| = –1513.

4.382

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)} |\mathrm{m}| = 0 \\ \mathrm{m} = 0 \\ \mathrm{Ответ}: 0. \end{gathered}$$