Страница 71, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

1. Вычислите:

а) 314 + 128;

б) 415 – 325;

в) 546 + 469.

Проверочная работа № 2

1.

$\mathit{а}\mathbf{)} {\frac{3}{14}}^{\overline{)·2}}+\frac{1}{28}=\frac{6}{28}+\frac{1}{28}=\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{7}}}}{{\displaystyle \underset{4}{\cancel{28}}}}=\frac{1}{4}$

$\mathit{б}\mathbf{)} {\frac{4}{15}}^{\overline{)·5}}-{\frac{3}{25}}^{\overline{)·3}}=\frac{20}{75}-\frac{9}{75}=\frac{11}{75}$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)} {\frac{5}{46}}^{\overline{)·3}}+{\frac{4}{69}}^{\overline{)·2}}=\frac{5 · 3}{46 · 3}+\frac{4 · 2}{69 · 2}= \\ =\frac{15}{138}+\frac{8}{138}=\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{23}}}}{{\displaystyle \underset{6}{\cancel{138}}}}=\frac{1}{6} \end{gathered}$$

а) Чтобы сложить дроби $\frac{3}{14}$ и $\frac{1}{28}$, их нужно привести к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 14 и 28 равен 28. Умножим числитель и знаменатель первой дроби на дополнительный множитель $2$, чтобы ее знаменатель стал равен 28.

$\frac{3 \cdot 2}{14 \cdot 2} + \frac{1}{28} = \frac{6}{28} + \frac{1}{28} = \frac{6+1}{28} = \frac{7}{28}$

Теперь сократим полученную дробь. Разделим числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 7: $\frac{7 \div 7}{28 \div 7} = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$

б) Чтобы вычесть дробь $\frac{3}{25}$ из дроби $\frac{4}{15}$, найдем их наименьший общий знаменатель. Для этого разложим знаменатели на простые множители: $15 = 3 \cdot 5$ и $25 = 5^2$. Наименьшее общее кратное (НОК) будет $3 \cdot 5^2 = 75$. Дополнительный множитель для первой дроби равен $75 \div 15 = 5$, а для второй — $75 \div 25 = 3$.

$\frac{4}{15} - \frac{3}{25} = \frac{4 \cdot 5}{75} - \frac{3 \cdot 3}{75} = \frac{20}{75} - \frac{9}{75} = \frac{20 - 9}{75} = \frac{11}{75}$

Полученная дробь $\frac{11}{75}$ является несократимой, так как числитель 11 — простое число, а 75 на 11 не делится.

Ответ: $\frac{11}{75}$

в) Чтобы сложить дроби $\frac{5}{46}$ и $\frac{4}{69}$, найдем их наименьший общий знаменатель. Разложим знаменатели на простые множители: $46 = 2 \cdot 23$ и $69 = 3 \cdot 23$. НОК(46, 69) = $2 \cdot 3 \cdot 23 = 138$. Дополнительный множитель для первой дроби равен $138 \div 46 = 3$, а для второй — $138 \div 69 = 2$.

$\frac{5}{46} + \frac{4}{69} = \frac{5 \cdot 3}{138} + \frac{4 \cdot 2}{138} = \frac{15}{138} + \frac{8}{138} = \frac{15 + 8}{138} = \frac{23}{138}$

Сократим результат, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 23: $\frac{23 \div 23}{138 \div 23} = \frac{1}{6}$.

Ответ: $\frac{1}{6}$

2. Сравните дроби:

а) 59 и 0,56;

б) 0,2 и 311;

в) 27 и 0,25.

2.

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)} \frac{5}{9}\mathrm{и} 0,56 \\ 0,56 = \frac{{\displaystyle \stackrel{14}{\cancel{56}}}}{{\displaystyle \underset{25}{\cancel{100}}}}=\frac{14}{25} \\ \mathrm{НОК} (9; 25) = 225 \\ \frac{5}{9}=\frac{5 · 25}{9 · 25}=\frac{125}{225} \\ \frac{14}{25}=\frac{14 · 9}{25 · 9}=\frac{126}{225} \\ \mathrm{т}.\mathrm{к}. \frac{125}{225}<\frac{126}{225}, \mathrm{то} \frac{5}{9}<\frac{14}{25} \end{gathered}$$

Ответ: $\frac{5}{9}<0,56$

$$\begin{gathered} \mathbf{б}\mathbf{)} 0,2 \mathrm{и} \frac{3}{11} \\ 0,2 = \frac{{\displaystyle \stackrel{ 1}{\cancel{2}}}}{{\displaystyle \underset{5}{\cancel{10}}}}=\frac{1}{5} \\ \mathrm{НОК} (5; 11) = 55 \\ \frac{1}{5}=\frac{1 · 11}{5 · 11}=\frac{11}{55} \\ \frac{3}{11}=\frac{3 · 5}{11 · 5}=\frac{15}{55} \\ \mathrm{т}.\mathrm{к}. \frac{11}{55}<\frac{15}{55}, \mathrm{то} \frac{1}{5}<\frac{3}{11} \end{gathered}$$

Ответ: $0,2<\frac{3}{11}$

$$\begin{gathered} \mathbf{в}\mathbf{)} 0,25 \mathrm{и} \frac{2}{7} \\ 0,25 = \frac{{\displaystyle \stackrel{ 1}{\cancel{25}}}}{{\displaystyle \underset{4}{\cancel{100}}}}=\frac{1}{4} \\ \mathrm{НОК} (7; 4) = 28 \\ \frac{2}{7}=\frac{2 · 4}{7 · 4}=\frac{8}{28} \\ \frac{1}{4}=\frac{1 · 7}{4 · 7}=\frac{7}{28} \\ \mathrm{т}.\mathrm{к}. \frac{8}{28}>\frac{7}{28}, \mathrm{то} \frac{2}{7}>\frac{1}{4} \end{gathered}$$

Ответ: $\frac{2}{7}>0,25$

а) Для того чтобы сравнить обыкновенную дробь $\frac{5}{9}$ и десятичную дробь $0,56$, приведем их к одному виду. Удобнее всего преобразовать обыкновенную дробь в десятичную. Для этого нужно разделить числитель на знаменатель.

$5 \div 9 = 0,555... = 0,(5)$

Теперь сравним полученную бесконечную периодическую дробь $0,(5)$ с дробью $0,56$.

$0,555...$ и $0,560...$

Сравниваем цифры в разрядах слева направо. Цифры в разряде десятых одинаковы (это 5). Сравниваем цифры в разряде сотых: у первой дроби это 5, у второй — 6. Так как $5 < 6$, то и вся первая дробь меньше второй.

Следовательно, $0,(5) < 0,56$, а значит $\frac{5}{9} < 0,56$.

Ответ: $\frac{5}{9} < 0,56$.

б) Сравним $0,2$ и $\frac{3}{11}$. Преобразуем обыкновенную дробь $\frac{3}{11}$ в десятичную, разделив 3 на 11.

$3 \div 11 = 0,2727... = 0,(27)$

Теперь сравним десятичные дроби $0,2$ (что то же самое, что $0,20$) и $0,(27)$.

$0,200...$ и $0,272...$

Цифра в разряде десятых у обеих дробей одинакова (это 2). Сравним цифры в разряде сотых: у первой дроби это 0, у второй — 7. Так как $0 < 7$, то первая дробь меньше второй.

Таким образом, $0,2 < 0,(27)$, а значит $0,2 < \frac{3}{11}$.

Ответ: $0,2 < \frac{3}{11}$.

в) Сравним $\frac{2}{7}$ и $0,25$. Для этого преобразуем обыкновенную дробь $\frac{2}{7}$ в десятичную.

$2 \div 7 = 0,2857...$

Теперь сравним полученную бесконечную непериодическую дробь $0,2857...$ с дробью $0,25$.

$0,2857...$ и $0,2500...$

Цифра в разряде десятых у обеих дробей одинакова и равна 2. Сравним цифры в разряде сотых: у первой дроби это 8, у второй — 5. Так как $8 > 5$, то первая дробь больше второй.

Следовательно, $0,2857... > 0,25$, а значит $\frac{2}{7} > 0,25$.

Ответ: $\frac{2}{7} > 0,25$.

3. Решите уравнение:

а) х + 720 = 45;

б) х - 23 = 24;

в) 1112 - х = 118.

3.

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathrm{х} + \frac{7}{20}=\frac{4}{5}; \\ \mathrm{х} = {\frac{4}{5}}^{\overline{)·4}}-\frac{7}{20}; \\ \mathrm{х} = \frac{16}{20}-\frac{7}{20}; \\ \mathrm{х} = \frac{9}{20}. \\ \mathrm{Ответ}: \frac{9}{20}. \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} х - \frac{2}{3}=\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{2}}}}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{4}}}}; \\ х - \frac{2}{3}=\frac{1}{2}; \\ х = {\frac{1}{2}}^{\overline{)·3}} +{\frac{2}{3}}^{\overline{)·2}}; \\ х = \frac{3}{6} +\frac{4}{6}; \\ х = \frac{7}{6}; \\ х = 1\frac{1}{6}. \\ \mathrm{Ответ}: 1\frac{1}{6}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{11}{12}-х=\frac{1}{18}; \\ х = {\frac{11}{12}}^{\overline{)·3}}-{\frac{1}{18}}^{\overline{)·2}}; \\ х = \frac{33}{36}-\frac{2}{36}; \\ х = \frac{31}{36}. \\ \mathrm{Ответ}: \frac{31}{36}. \end{gathered}$$

а) $x + \frac{7}{20} = \frac{4}{5}$

Чтобы найти $x$, который является неизвестным слагаемым, нужно из суммы вычесть известное слагаемое. Для этого перенесем $\frac{7}{20}$ в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:

$x = \frac{4}{5} - \frac{7}{20}$

Для выполнения вычитания необходимо привести дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 5 и 20 равен 20. Домножим числитель и знаменатель дроби $\frac{4}{5}$ на 4:

$x = \frac{4 \cdot 4}{5 \cdot 4} - \frac{7}{20} = \frac{16}{20} - \frac{7}{20}$

Теперь, когда знаменатели одинаковы, вычтем числители:

$x = \frac{16 - 7}{20} = \frac{9}{20}$

Ответ: $x = \frac{9}{20}$

б) $x - \frac{2}{3} = \frac{2}{4}$

Вначале упростим дробь в правой части уравнения: $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$. Уравнение принимает вид:

$x - \frac{2}{3} = \frac{1}{2}$

Здесь $x$ — неизвестное уменьшаемое. Чтобы его найти, нужно к разности прибавить вычитаемое. Перенесем $\frac{2}{3}$ в правую часть со знаком плюс:

$x = \frac{1}{2} + \frac{2}{3}$

Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 2 и 3 — это 6. Дополнительный множитель для первой дроби — 3, для второй — 2:

$x = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{3}{6} + \frac{4}{6}$

Сложим числители:

$x = \frac{3 + 4}{6} = \frac{7}{6}$

Результат является неправильной дробью, которую можно представить в виде смешанного числа $1\frac{1}{6}$.

Ответ: $x = \frac{7}{6}$

в) $\frac{11}{12} - x = \frac{1}{18}$

В данном уравнении $x$ является неизвестным вычитаемым. Чтобы найти вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность:

$x = \frac{11}{12} - \frac{1}{18}$

Найдем общий знаменатель для дробей. Наименьшее общее кратное (НОК) для 12 и 18 равно 36. ($12 = 2^2 \cdot 3$, $18 = 2 \cdot 3^2$, НОК = $2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$)

Приведем дроби к знаменателю 36. Дополнительный множитель для первой дроби: $36 \div 12 = 3$. Для второй: $36 \div 18 = 2$.

$x = \frac{11 \cdot 3}{12 \cdot 3} - \frac{1 \cdot 2}{18 \cdot 2} = \frac{33}{36} - \frac{2}{36}$

Выполним вычитание:

$x = \frac{33 - 2}{36} = \frac{31}{36}$

Дробь является несократимой, так как 31 — простое число.

Ответ: $x = \frac{31}{36}$

4. Вычислите:

а) (45 – 27) – 370;

б) 79 + 115 – 518 + 130.

4.

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)}\mathbf{ }\left({\frac{4}{5}}^{\overline{)\mathbf{·}14}}-{\frac{2}{7}}^{\overline{)·10}}\right)-\frac{3}{70}=\left(\frac{56}{70}-\frac{20}{70}\right)-\frac{3}{70}= \\ =\frac{36}{70}-\frac{3}{70}=\frac{33}{70} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{б}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{7}{9}}^{\overline{)·10}}+{\frac{1}{15}}^{\overline{)·6}}-{\frac{5}{18}}^{\overline{)·5}}+{\frac{1}{30}}^{\overline{)·3}}= \\ =\frac{70}{90}+\frac{6}{90}-\frac{25}{90}+\frac{3}{90}=\frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{54}}}}{{\displaystyle \underset{5}{\cancel{90}}}}=\frac{3}{5} \end{gathered}$$

а)

Решим пример по действиям, соблюдая порядок операций. Сначала выполним вычитание в скобках.
1) Найдем разность дробей $\frac{4}{5}$ и $\frac{2}{7}$. Для этого приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель (НОЗ) для чисел 5 и 7, так как они взаимно простые, равен их произведению: $5 \cdot 7 = 35$.
Домножим числитель и знаменатель первой дроби на 7, а второй — на 5:
$\frac{4}{5} - \frac{2}{7} = \frac{4 \cdot 7}{5 \cdot 7} - \frac{2 \cdot 5}{7 \cdot 5} = \frac{28}{35} - \frac{10}{35}$
Теперь выполним вычитание числителей:
$\frac{28 - 10}{35} = \frac{18}{35}$
2) Теперь выполним второе действие — вычитание из результата, полученного в первом действии:
$\frac{18}{35} - \frac{3}{70}$
Приведем эти дроби к общему знаменателю. НОЗ для 35 и 70 равен 70, так как 70 делится на 35 без остатка ($70 \div 35 = 2$).
Домножим первую дробь на 2:
$\frac{18 \cdot 2}{35 \cdot 2} - \frac{3}{70} = \frac{36}{70} - \frac{3}{70}$
Выполним вычитание:
$\frac{36 - 3}{70} = \frac{33}{70}$
Дробь $\frac{33}{70}$ является несократимой, так как у числителя (33 = 3 · 11) и знаменателя (70 = 2 · 5 · 7) нет общих делителей, кроме 1.

Ответ: $\frac{33}{70}$

б)

Чтобы упростить вычисления, сгруппируем слагаемые с "удобными" знаменателями.
$\frac{7}{9} + \frac{1}{15} - \frac{5}{18} + \frac{1}{30} = (\frac{7}{9} - \frac{5}{18}) + (\frac{1}{15} + \frac{1}{30})$
Решим по действиям.
1) Вычислим значение в первой скобке: $\frac{7}{9} - \frac{5}{18}$.
Общий знаменатель для 9 и 18 равен 18. Приведем первую дробь к знаменателю 18:
$\frac{7 \cdot 2}{9 \cdot 2} - \frac{5}{18} = \frac{14}{18} - \frac{5}{18} = \frac{14 - 5}{18} = \frac{9}{18}$
Сократим полученную дробь на 9: $\frac{9}{18} = \frac{1}{2}$.
2) Вычислим значение во второй скобке: $\frac{1}{15} + \frac{1}{30}$.
Общий знаменатель для 15 и 30 равен 30. Приведем первую дробь к знаменателю 30:
$\frac{1 \cdot 2}{15 \cdot 2} + \frac{1}{30} = \frac{2}{30} + \frac{1}{30} = \frac{2 + 1}{30} = \frac{3}{30}$
Сократим полученную дробь на 3: $\frac{3}{30} = \frac{1}{10}$.
3) Теперь сложим результаты, полученные в первых двух действиях:
$\frac{1}{2} + \frac{1}{10}$
Общий знаменатель для 2 и 10 равен 10. Приведем первую дробь к знаменателю 10:
$\frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} + \frac{1}{10} = \frac{5}{10} + \frac{1}{10} = \frac{5 + 1}{10} = \frac{6}{10}$
Сократим итоговую дробь на 2: $\frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.

Ответ: $\frac{3}{5}$

5. Ширина прямоугольника равна 326 м, а его длина на 552 м больше.

а) Найдите длину прямоугольника.

б) Найдите периметр прямоугольника.

в) * На сколько увеличится периметр прямоугольника, если его ширину увеличить на 265 м, а длину увеличить на 378 м?

5.

$\mathit{а}\mathbf{)} {\frac{3}{26}}^{\overline{)·2}}+\frac{5}{52}=\frac{6}{52}+\frac{5}{52}=\frac{11}{52}$(м) – длина прямоугольника;

$\mathbf{б}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathrm{Р}=2 · \left({\frac{3}{26}}^{\overline{)·2}}+\frac{11}{52}\right)=2 · \left(\frac{6}{52}+\frac{11}{52}\right)=$

$= \stackrel{1}{\cancel{2}} · \frac{17}{{\displaystyle \underset{26}{\cancel{52}}}}=\frac{17}{26}$(м) – периметр прямоугольника;

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{\left)} \\ 1\right)\frac{2}{65}+\frac{3}{78}=\frac{2}{5 · 13}+\frac{3}{6 · 13}= \\ =\frac{2 · 6}{5 · 6 · 13}+\frac{3 · 5}{6 · 5 · 13}=\frac{12}{390}+\frac{15}{390}= \end{gathered}$$

$=\frac{{\displaystyle \stackrel{9}{\cancel{27}}}}{{\displaystyle \underset{130}{\cancel{390}}}}=\frac{9}{130}$ (м) – станет больше сумма двух сторон

$2) \stackrel{1}{\cancel{2}} · \frac{9}{{\displaystyle \underset{65}{\cancel{130}}}}=\frac{9}{65}$(м) – станет больше периметр прямоугольника

Ответ: увеличится на $\frac{9}{65}$ м.

а) Найдите длину прямоугольника.

По условию задачи ширина прямоугольника равна $ \frac{3}{26} $ м, а его длина на $ \frac{5}{52} $ м больше. Чтобы найти длину, необходимо сложить ширину и величину, на которую длина больше ширины.

Длина = $ \frac{3}{26} + \frac{5}{52} $.

Для сложения дробей приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 26 и 52 — это 52. Дополнительный множитель для первой дроби равен $ 52 \div 26 = 2 $.

$ \frac{3}{26} = \frac{3 \cdot 2}{26 \cdot 2} = \frac{6}{52} $

Теперь выполним сложение:

$ \frac{6}{52} + \frac{5}{52} = \frac{6+5}{52} = \frac{11}{52} $ м.

Ответ: длина прямоугольника равна $ \frac{11}{52} $ м.

б) Найдите периметр прямоугольника.

Периметр прямоугольника ($P$) вычисляется по формуле $ P = 2 \cdot (a+b) $, где $a$ — длина, а $b$ — ширина.

Из условия и пункта а) нам известны:

ширина $ b = \frac{3}{26} $ м;

длина $ a = \frac{11}{52} $ м.

Подставим значения в формулу:

$ P = 2 \cdot (\frac{11}{52} + \frac{3}{26}) $

Выполним сложение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю 52:

$ P = 2 \cdot (\frac{11}{52} + \frac{6}{52}) = 2 \cdot (\frac{11+6}{52}) = 2 \cdot \frac{17}{52} $

$ P = \frac{2 \cdot 17}{52} = \frac{34}{52} $

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

$ P = \frac{34 \div 2}{52 \div 2} = \frac{17}{26} $ м.

Ответ: периметр прямоугольника равен $ \frac{17}{26} $ м.

в)* На сколько увеличится периметр прямоугольника, если его ширину увеличить на $ \frac{2}{65} $ м, а длину увеличить на $ \frac{3}{78} $ м?

Увеличение периметра ($ \Delta P $) равно удвоенной сумме увеличений длины ($ \Delta a $) и ширины ($ \Delta b $). Это можно показать так:

Новый периметр $ P_{нов} = 2 \cdot ((a + \Delta a) + (b + \Delta b)) = 2 \cdot (a+b) + 2 \cdot (\Delta a + \Delta b) = P_{стар} + \Delta P $.

Следовательно, увеличение периметра $ \Delta P = 2 \cdot (\Delta a + \Delta b) $.

По условию, увеличение ширины $ \Delta b = \frac{2}{65} $ м, а увеличение длины $ \Delta a = \frac{3}{78} $ м.

$ \Delta P = 2 \cdot (\frac{3}{78} + \frac{2}{65}) $

Сначала упростим дробь $ \frac{3}{78} $, сократив её на 3:

$ \frac{3 \div 3}{78 \div 3} = \frac{1}{26} $

Теперь найдем сумму в скобках: $ \frac{1}{26} + \frac{2}{65} $.

Найдем наименьший общий знаменатель для 26 и 65. Разложим их на простые множители: $ 26 = 2 \cdot 13 $; $ 65 = 5 \cdot 13 $. Наименьшее общее кратное НОК(26, 65) = $ 2 \cdot 5 \cdot 13 = 130 $.

Приведем дроби к знаменателю 130:

$ \frac{1}{26} = \frac{1 \cdot 5}{26 \cdot 5} = \frac{5}{130} $

$ \frac{2}{65} = \frac{2 \cdot 2}{65 \cdot 2} = \frac{4}{130} $

Вычислим увеличение периметра:

$ \Delta P = 2 \cdot (\frac{5}{130} + \frac{4}{130}) = 2 \cdot \frac{9}{130} = \frac{18}{130} $

Сократим результат на 2:

$ \Delta P = \frac{18 \div 2}{130 \div 2} = \frac{9}{65} $ м.

Ответ: периметр прямоугольника увеличится на $ \frac{9}{65} $ м.

4.392. Вычислите наиболее удобным способом:
а) –36 + (–20) + (–14) + 12 + 28;
б) 43 + 15 + 92 – 43 – 15 – 92;
в) –9,6 – 7,8 + 5,3 – 4,8 + 2,5;
г) –5,4 + 7,9 + 3,2 + 5,4 – 3,2;
д) 7411 – 519 – 81011 + 2 13 – 429 + 3611;
е) 5222 – 8311 – 7413 + 8 311 + 7413 – 5122.

4.392

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} -36 + (-20) + (-14) + 12 + 28 = \\ = (-36 + (-14) + (-20)) + (12 + 28) = \\ = -70 + 40 = -(70 – 40) = -30 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }43 + 15 + 92 – 43 – 15 – 92 = \\ = (43 – 43) + (15 – 15) + (92 – 92) = \\ = 0 + 0 + 0 = 0 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }-9,6 – 7,8 + 5,3 – 4,8 + 2,5 = \\ =(-9,6 – 4,8 – 7,8) + (5,3 + 2,5) = \\ = (-9,6 + (– 4,8) + (– 7,8)) + 7,8 = \\ =- 22,2 + 7,8 = - 14,4. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)} -5,4 + 7,9 + 3,2 + 5,4 – 3,2 = \\ = (-5,4 + 5,4) + (3,2 – 3,2) + 7,9 = \\ = 0 + 0 + 7,9 = 7,9 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{д}\mathbf{)} 7\frac{4}{11} - 5\frac{1}{9} - 8\frac{10}{11} + 2\frac{1}{3} - 4\frac{2}{9} + 3\frac{6}{11}= \\ = \left(7\frac{4}{11} + 3\frac{6}{11} - 8\frac{10}{11} \right) - 5\frac{1}{9} + {2\frac{1}{3}}^{\overline{)·3}}- 4\frac{2}{9}= \\ = 2 - \left(5\frac{1}{9} + 4\frac{2}{9} - 2\frac{3}{9}\right) = 2 - 7 = \\ = -(7 -2 ) =-5 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{е}\mathbf{)}\mathbf{ }5\frac{2}{22} - 8\frac{3}{11} -7\frac{4}{13} + 8\frac{3}{11} + 7\frac{4}{13} - 5\frac{1}{22}= \\ = \left(\mathbf{ }5\frac{2}{22} - 5\frac{1}{22}\right) + \left(- 8\frac{3}{11} + 8\frac{3}{11}\right) + \\ + \left(7\frac{4}{13} - 7\frac{4}{13}\right) = \frac{1}{22} + 0 + 0 = \frac{1}{22} \end{gathered}$$

а) Для вычисления наиболее удобным способом сгруппируем отрицательные и положительные слагаемые:
$-36 + (-20) + (-14) + 12 + 28 = (-36 - 20 - 14) + (12 + 28)$.
Сумма отрицательных чисел: $-36 - 20 - 14 = -70$.
Сумма положительных чисел: $12 + 28 = 40$.
Теперь найдем итоговую сумму: $-70 + 40 = -30$.
Ответ: -30

б) В данном выражении есть пары противоположных по знаку чисел. Сгруппируем их:
$43 + 15 + 92 - 43 - 15 - 92 = (43 - 43) + (15 - 15) + (92 - 92)$.
Сумма в каждой паре равна нулю:
$0 + 0 + 0 = 0$.
Ответ: 0

в) Перегруппируем слагаемые, чтобы упростить вычисления. Заметим, что сумма $5,3$ и $2,5$ дает $7,8$, что является противоположным числом к $-7,8$:
$-9,6 - 7,8 + 5,3 - 4,8 + 2,5 = (-7,8 + 5,3 + 2,5) - 9,6 - 4,8$.
Вычислим сумму в скобках: $-7,8 + (5,3 + 2,5) = -7,8 + 7,8 = 0$.
Теперь выражение примет вид:
$0 - 9,6 - 4,8 = -14,4$.
Ответ: -14,4

г) В данном выражении есть пары противоположных по знаку чисел. Сгруппируем их:
$-5,4 + 7,9 + 3,2 + 5,4 - 3,2 = (-5,4 + 5,4) + (3,2 - 3,2) + 7,9$.
Сумма в каждой паре равна нулю:
$0 + 0 + 7,9 = 7,9$.
Ответ: 7,9

д) Сгруппируем слагаемые с одинаковыми знаменателями в дробных частях:
$7\frac{4}{11} - 5\frac{1}{9} - 8\frac{10}{11} + 2\frac{1}{3} - 4\frac{2}{9} + 3\frac{6}{11} = (7\frac{4}{11} - 8\frac{10}{11} + 3\frac{6}{11}) + (-5\frac{1}{9} - 4\frac{2}{9}) + 2\frac{1}{3}$.
Вычислим значение первой группы: $(7 - 8 + 3) + (\frac{4}{11} - \frac{10}{11} + \frac{6}{11}) = 2 + \frac{4-10+6}{11} = 2 + \frac{0}{11} = 2$.
Вычислим значение второй группы: $-(5\frac{1}{9} + 4\frac{2}{9}) = -((5+4) + (\frac{1}{9} + \frac{2}{9})) = -(9 + \frac{3}{9}) = -9\frac{1}{3}$.
Теперь сложим все полученные результаты: $2 - 9\frac{1}{3} + 2\frac{1}{3}$.
$2 - 9\frac{1}{3} + 2\frac{1}{3} = 2 - (9 + \frac{1}{3}) + (2 + \frac{1}{3}) = 2 - 9 - \frac{1}{3} + 2 + \frac{1}{3} = (2 - 9 + 2) + (-\frac{1}{3} + \frac{1}{3}) = -5 + 0 = -5$.
Ответ: -5

е) Сгруппируем слагаемые, которые являются противоположными числами, а также слагаемые с одинаковыми знаменателями:
$5\frac{2}{22} - 8\frac{3}{11} - 7\frac{4}{13} + 8\frac{3}{11} + 7\frac{4}{13} - 5\frac{1}{22} = (-8\frac{3}{11} + 8\frac{3}{11}) + (-7\frac{4}{13} + 7\frac{4}{13}) + (5\frac{2}{22} - 5\frac{1}{22})$.
Суммы в первых двух скобках равны нулю: $0 + 0 + (5\frac{2}{22} - 5\frac{1}{22})$.
Вычислим разность в оставшейся скобке: $5\frac{2}{22} - 5\frac{1}{22} = (5-5) + (\frac{2}{22} - \frac{1}{22}) = 0 + \frac{1}{22} = \frac{1}{22}$.
Ответ: $\frac{1}{22}$

4.393. Упростите выражение:

а) –45 + а + 31; б) а + 51 – 28; в) 4,9 – 8,9 + с; г) –0,33 + z – 0,55; д) 78 – 0,875 + х; е) р + 58 – 34.

4.393

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }- 45 + а + 31 = (-45 + 31) + а = \\ = -(45 – 31) + а = -14 + а \end{gathered}$$

$\mathit{б}\mathbf{)} а + 51 – 28 = а + (51 – 28) = а + 23$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }4,9 – 8,9 + с = (4,9 + (– 8,9)) + с = \\ = -(8,9 – 4,9) + с = -4 + с = с - 4 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }-0,33 + z – 0,55 = (-0,33 – 0,55) + z = \\ = -(0,33 + 0,55) + z = -0,88 + z = z – 0,88 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{д}\mathbf{)} \frac{7}{8} – 0,875 + х = \frac{875}{1000} – 0,875 + х = \\ = 0,875 – 0,875 + х = 0 + х = х \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{е}\mathbf{)} р + \frac{5}{8}-\frac{3}{4} = р + \left(\frac{5}{8}-{\frac{3}{4}}^{\overline{)·2}}\right)= \\ р + \left(\frac{5}{8}-\frac{6}{8}\right) = р +\left(-\left(\frac{6}{8} - \frac{5}{8}\right)\right) = р - \frac{1}{8} \end{gathered}$$

а) Чтобы упростить выражение $-45 + a + 31$, нужно сгруппировать и сложить числовые слагаемые. Используем переместительное свойство сложения.

$-45 + a + 31 = a - 45 + 31$

Теперь выполним действие с числами: $-45 + 31 = -14$.

Таким образом, итоговое выражение: $a - 14$.

Ответ: $a - 14$.

б) Чтобы упростить выражение $a + 51 - 28$, нужно выполнить вычитание числовых слагаемых.

$a + 51 - 28 = a + (51 - 28)$

Выполним вычитание: $51 - 28 = 23$.

Таким образом, итоговое выражение: $a + 23$.

Ответ: $a + 23$.

в) Чтобы упростить выражение $4,9 - 8,9 + c$, нужно выполнить вычитание числовых слагаемых.

$4,9 - 8,9 + c = (4,9 - 8,9) + c$

Выполним вычитание: $4,9 - 8,9 = -4$.

Таким образом, итоговое выражение: $-4 + c$ или $c - 4$.

Ответ: $c - 4$.

г) Чтобы упростить выражение $-0,33 + z - 0,55$, сгруппируем числовые слагаемые.

$-0,33 + z - 0,55 = z - 0,33 - 0,55$

Выполним вычитание: $-0,33 - 0,55 = -(0,33 + 0,55) = -0,88$.

Таким образом, итоговое выражение: $z - 0,88$.

Ответ: $z - 0,88$.

д) Чтобы упростить выражение $\frac{7}{8} - 0,875 + x$, необходимо привести числа к одному виду. Удобнее всего перевести обыкновенную дробь в десятичную.

Переведем дробь $\frac{7}{8}$ в десятичную путем деления числителя на знаменатель:

$\frac{7}{8} = 7 \div 8 = 0,875$.

Теперь подставим полученное значение в исходное выражение:

$0,875 - 0,875 + x$

Выполним вычитание: $0,875 - 0,875 = 0$.

Выражение упрощается до $0 + x = x$.

Ответ: $x$.

е) Чтобы упростить выражение $p + \frac{5}{8} - \frac{3}{4}$, нужно выполнить вычитание дробей. Для этого приведем их к общему знаменателю.

Наименьший общий знаменатель для дробей $\frac{5}{8}$ и $\frac{3}{4}$ равен 8.

Приведем дробь $\frac{3}{4}$ к знаменателю 8, умножив ее числитель и знаменатель на дополнительный множитель 2:

$\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} = \frac{6}{8}$.

Теперь подставим полученную дробь в исходное выражение:

$p + \frac{5}{8} - \frac{6}{8}$

Выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

$p + \frac{5 - 6}{8} = p + \frac{-1}{8} = p - \frac{1}{8}$.

Таким образом, итоговое выражение: $p - \frac{1}{8}$.

Ответ: $p - \frac{1}{8}$.

4.394. Выполните действия:
а) –5 · (–1,4) · (–9);
б) –12,5 · 4,8 · (–2) · (–4);
в) – 49 · 49 · 214 · (– 34);
г) –0,3 · (– 37) · 3,5 · 10.

4.394

$\mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }-5 · (-1,4) · (-9)=-7 · 9=-63$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }-12,5 · 4,8 · (-2) · (-4)= \\ =-12,5 · 4,8 · 8=-100 · 4,8=-480 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)} - \frac{4}{9} · \frac{4}{9} · 2\frac{1}{4} · \left(-\frac{3}{4}\right) = \frac{\cancel{4}}{{\displaystyle \underset{3}{\sout{9}}}} · \frac{\cancel{4}}{\bcancel{9}} · \frac{\bcancel{9}}{\cancel{4}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\sout{3}}}}{\cancel{4}} = \\ = \frac{1}{3} · \frac{1}{1} · \frac{1}{1} · \frac{1}{1} = \frac{1}{3} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }-0,3 · \left(-\frac{3}{7}\right) · 3,5 · 10 = \frac{3}{\cancel{10}} · \frac{3}{\sout{7}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{\sout{7}}{\bcancel{35}}}}{{\displaystyle \underset{2}{\bcancel{10}}}} · \frac{\cancel{10}}{1}= \\ =\frac{3}{1} · \frac{3}{1} · \frac{1}{2} · \frac{1}{1} = \frac{9}{2} = 4,5 \end{gathered}$$

а) $-5 \cdot (-1,4) \cdot (-9)$

При умножении нечетного количества (в данном случае, трех) отрицательных чисел результат будет отрицательным. Поэтому, сначала найдем произведение модулей этих чисел, а затем поставим перед результатом знак «минус».

$-5 \cdot (-1,4) \cdot (-9) = -(5 \cdot 1,4 \cdot 9)$

Выполним умножение по шагам:

1. $5 \cdot 1,4 = 7$

2. $7 \cdot 9 = 63$

Таким образом, результат равен $-63$.

Ответ: $-63$

б) $-12,5 \cdot 4,8 \cdot (-2) \cdot (-4)$

В этом выражении три отрицательных множителя, поэтому результат будет отрицательным. Для удобства вычислений сгруппируем множители.

$-12,5 \cdot 4,8 \cdot (-2) \cdot (-4) = -(12,5 \cdot 4,8 \cdot 2 \cdot 4)$

Сгруппируем множители так, чтобы получить круглое число:

$-( (12,5 \cdot 2 \cdot 4) \cdot 4,8 )$

Выполним действия в скобках:

1. $12,5 \cdot 2 = 25$

2. $25 \cdot 4 = 100$

Теперь умножим полученный результат на оставшийся множитель:

3. $100 \cdot 4,8 = 480$

Учитывая знак, получаем $-480$.

Ответ: $-480$

в) $-\frac{4}{9} \cdot \frac{4}{9} \cdot 2\frac{1}{4} \cdot (-\frac{3}{4})$

В выражении два отрицательных множителя, поэтому результат будет положительным. Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь.

$2\frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{9}{4}$

Теперь перепишем выражение, убрав знаки минуса:

$\frac{4}{9} \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{9}{4} \cdot \frac{3}{4}$

Сгруппируем множители для удобства сокращения:

$(\frac{4}{9} \cdot \frac{9}{4}) \cdot (\frac{4}{9} \cdot \frac{3}{4})$

Вычислим произведение в первой скобке:

1. $\frac{4}{9} \cdot \frac{9}{4} = 1$

Вычислим произведение во второй скобке, сократив дроби:

2. $\frac{4}{9} \cdot \frac{3}{4} = \frac{4 \cdot 3}{9 \cdot 4} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

Результат равен произведению полученных значений: $1 \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$

г) $-0,3 \cdot (-\frac{3}{7}) \cdot 3,5 \cdot 10$

В этом выражении два отрицательных множителя, значит, результат будет положительным. Для удобства вычислений преобразуем десятичные дроби в обыкновенные.

$0,3 = \frac{3}{10}$

$3,5 = \frac{35}{10} = \frac{7}{2}$

Перепишем выражение, убрав знаки минуса и подставив обыкновенные дроби:

$\frac{3}{10} \cdot \frac{3}{7} \cdot \frac{7}{2} \cdot 10$

Сгруппируем множители для удобства сокращения:

$(\frac{3}{10} \cdot 10) \cdot (\frac{3}{7} \cdot \frac{7}{2})$

Вычислим произведение в первой скобке:

1. $\frac{3}{10} \cdot 10 = 3$

Вычислим произведение во второй скобке:

2. $\frac{3}{7} \cdot \frac{7}{2} = \frac{3 \cdot 7}{7 \cdot 2} = \frac{3}{2}$

Теперь умножим полученные результаты:

$3 \cdot \frac{3}{2} = \frac{9}{2} = 4,5$

Ответ: $4,5$

4.395. Найдите значение выражения:

а) 0,9 · (–0,4) – 0,7 · (–0,4);
б) – 413 · 0,6 – 0,6 · (– 913);
в) – 811 · 56 + 56 · 311;
г) 123 · 2,8 – 229 · (–6,2);
д) (47 – 35) · 35;
е) (–113 – 119) · 18.

4.395

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }0,9 · (-0,4)-0,7 · (-0,4)= \\ = -0,4 · (0,9-0,7)=-0,4 · 0,2=-0,08 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} -\frac{4}{13} · 0,6 - 0,6 · \left(-\frac{9}{13}\right) = 0,6 \times \\ \times \left(-\frac{4}{13} - \left(-\frac{9}{13}\right)\right) = \frac{6}{10} · \left(-\frac{4}{13} + \frac{9}{13}\right)= \\ = \frac{3}{5} · \left(\frac{9}{13} - \frac{4}{13}\right) = \frac{3}{\cancel{5}} · \frac{\cancel{5}}{13} = \frac{3}{1} · \frac{1}{13} = \\ = \frac{3}{13} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }-\frac{8}{11} · \frac{5}{6} + \frac{5}{6} · \frac{3}{11} = \frac{5}{6} \times \\ \times \left(-\frac{8}{11} + \frac{3}{11}\right) = \frac{5}{6} · \left(-\frac{5}{11}\right) =-\frac{25}{66} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }1\frac{2}{3} · 2,8 - 2\frac{2}{9} · \left(-6,2\right) = \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{5}}}}{3} · \frac{{\displaystyle \stackrel{14}{\bcancel{28}}}}{{\displaystyle \underset{{\bcancel{2}}_1}{\cancel{10}}}}- \\ - \frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\bcancel{20}}}}{9} · \left(-\frac{62}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{10}}}}\right)=\frac{1}{3} · \frac{14}{1} - \frac{2}{9} · \left(-\frac{62}{1}\right)= \\ = {\frac{14}{3}}^{\overline{)·3}} + \frac{124}{9} = \frac{42}{9} + \frac{124}{9} = \frac{166}{9} = 18\frac{4}{9} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{д}\mathbf{)} \left({\frac{4}{7}}^{\overline{)·5}} - {\frac{3}{5}}^{\overline{)·7}}\right) · 35 = \left(\frac{20}{35} - \frac{21}{35}\right) · 35 = \\ = -\frac{1}{\cancel{35}} · \cancel{35} = -\frac{1}{1} · 1 = -1 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{е}\mathbf{)} \left(-1{\frac{1}{3}}^{\overline{)·3}} - 1\frac{1}{9}\right) · 18 = \left(-1\frac{3}{9} - 1\frac{1}{9}\right) · 18 = \\ = \left(-1\frac{3}{9}+\left(- 1\frac{1}{9}\right)\right) · 18 = \left(-\left(1\frac{3}{9} + 1\frac{1}{9}\right)\right) · 18 = \\ = -2\frac{4}{9} · 18 = -\frac{22}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{9}}}} · \stackrel{2}{\cancel{18} }= - \frac{22}{1} · 2 = -44 \end{gathered}$$

а) В выражении $0,9 \cdot (-0,4) - 0,7 \cdot (-0,4)$ есть общий множитель $(-0,4)$. Воспользуемся распределительным свойством умножения $a \cdot c - b \cdot c = (a - b) \cdot c$ и вынесем общий множитель за скобки. $0,9 \cdot (-0,4) - 0,7 \cdot (-0,4) = (0,9 - 0,7) \cdot (-0,4)$. Сначала выполняем вычитание в скобках: $0,9 - 0,7 = 0,2$. Затем умножаем: $0,2 \cdot (-0,4) = -0,08$.
Ответ: -0,08

б) В выражении $-\frac{4}{13} \cdot 0,6 - 0,6 \cdot (-\frac{9}{13})$ общим множителем является $0,6$. Вынесем его за скобки. Чтобы избежать путаницы со знаками, перепишем выражение так: $0,6 \cdot (-\frac{4}{13}) - 0,6 \cdot (-\frac{9}{13})$. $0,6 \cdot (-\frac{4}{13} - (-\frac{9}{13}))$. Упростим выражение в скобках: $-\frac{4}{13} - (-\frac{9}{13}) = -\frac{4}{13} + \frac{9}{13} = \frac{-4+9}{13} = \frac{5}{13}$. Теперь выражение имеет вид: $0,6 \cdot \frac{5}{13}$. Представим десятичную дробь $0,6$ в виде обыкновенной: $0,6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$. Выполним умножение: $\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{13} = \frac{3 \cdot 5}{5 \cdot 13} = \frac{3}{13}$.
Ответ: $\frac{3}{13}$

в) В выражении $-\frac{8}{11} \cdot \frac{5}{6} + \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{11}$ общий множитель $\frac{5}{6}$. Вынесем его за скобки: $\frac{5}{6} \cdot (-\frac{8}{11} + \frac{3}{11})$. Сложим дроби в скобках: $-\frac{8}{11} + \frac{3}{11} = \frac{-8+3}{11} = -\frac{5}{11}$. Теперь выполним умножение: $\frac{5}{6} \cdot (-\frac{5}{11}) = -\frac{5 \cdot 5}{6 \cdot 11} = -\frac{25}{66}$.
Ответ: $-\frac{25}{66}$

г) Для решения выражения $1\frac{2}{3} \cdot 2,8 - 2\frac{2}{9} \cdot (-6,2)$ преобразуем все смешанные числа и десятичные дроби в неправильные дроби. $1\frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{5}{3}$. $2,8 = \frac{28}{10} = \frac{14}{5}$. $2\frac{2}{9} = \frac{2 \cdot 9 + 2}{9} = \frac{20}{9}$. $-6,2 = -\frac{62}{10} = -\frac{31}{5}$. Подставим полученные дроби в выражение: $\frac{5}{3} \cdot \frac{14}{5} - \frac{20}{9} \cdot (-\frac{31}{5})$. Произведение двух отрицательных чисел дает положительное число, поэтому выражение можно переписать так: $\frac{5}{3} \cdot \frac{14}{5} + \frac{20}{9} \cdot \frac{31}{5}$. Выполним первое умножение, сократив на 5: $\frac{\cancel{5} \cdot 14}{3 \cdot \cancel{5}} = \frac{14}{3}$. Выполним второе умножение, сократив 20 и 5 на 5: $\frac{20 \cdot 31}{9 \cdot 5} = \frac{\cancel{20}^4 \cdot 31}{9 \cdot \cancel{5}_1} = \frac{4 \cdot 31}{9} = \frac{124}{9}$. Теперь сложим полученные дроби: $\frac{14}{3} + \frac{124}{9}$. Приведем дробь $\frac{14}{3}$ к знаменателю 9: $\frac{14 \cdot 3}{3 \cdot 3} = \frac{42}{9}$. $\frac{42}{9} + \frac{124}{9} = \frac{42 + 124}{9} = \frac{166}{9}$.
Ответ: $\frac{166}{9}$

д) Для нахождения значения выражения $(\frac{4}{7} - \frac{3}{5}) \cdot 35$ можно сначала выполнить вычитание в скобках, а затем умножение. Приведем дроби в скобках к общему знаменателю $7 \cdot 5 = 35$: $\frac{4}{7} - \frac{3}{5} = \frac{4 \cdot 5}{35} - \frac{3 \cdot 7}{35} = \frac{20}{35} - \frac{21}{35} = -\frac{1}{35}$. Теперь умножим результат на 35: $(-\frac{1}{35}) \cdot 35 = -1$.
Ответ: -1

е) Для решения выражения $(-1\frac{1}{3} - 1\frac{1}{9}) \cdot 18$ сначала выполним действие в скобках. Представим числа в скобках как сумму отрицательных чисел: $(-1\frac{1}{3} + (-1\frac{1}{9}))$. Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби: $-1\frac{1}{3} = -\frac{4}{3}$. $-1\frac{1}{9} = -\frac{10}{9}$. Выполним сложение в скобках: $-\frac{4}{3} - \frac{10}{9}$. Приведем дроби к общему знаменателю 9: $-\frac{4 \cdot 3}{3 \cdot 3} - \frac{10}{9} = -\frac{12}{9} - \frac{10}{9}$. Сложим числители: $\frac{-12 - 10}{9} = -\frac{22}{9}$. Теперь умножим результат на 18: $-\frac{22}{9} \cdot 18 = -\frac{22 \cdot 18}{9} = -22 \cdot 2 = -44$.
Ответ: -44

4.396. Строители газопровода планировали проложить 25 км труб, а проложили 30,5 км труб. На сколько процентов строители газопровода выполнили план и на сколько процентов они его перевыполнили?

4.396

$\frac{25}{30,5} = \frac{100}{х}$

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }х = \frac{30,5 ·{\displaystyle \stackrel{4}{ \cancel{100}\%}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{25}}}} = \frac{30,5 · 4\%}{1} = 122\%$ - выполнили план;

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }122\% – 100\% = 22\%$ - перевыполнили план.

Ответ: выполнили план на 122%; перевыполнили на 22%

Для решения задачи необходимо выполнить два шага: сначала найти, на сколько процентов выполнен план, а затем — на сколько процентов он перевыполнен.

На сколько процентов строители газопровода выполнили план

Планируемое количество работы (проложить 25 км труб) мы принимаем за 100%. Чтобы узнать, какой процент от плана составляет фактически выполненная работа (30,5 км), составим пропорцию:

25 км — 100%

30,5 км — $x$%

Из пропорции находим $x$:

$x = \frac{30,5 \times 100}{25} = \frac{3050}{25} = 122\%$

Таким образом, строители выполнили план на 122%.

Ответ: строители газопровода выполнили план на 122%.

на сколько процентов они его перевыполнили

Поскольку сам план составляет 100%, а выполнен он был на 122%, то для нахождения процента перевыполнения нужно из общего процента выполнения вычесть 100%.

$Процент \ перевыполнения = 122\% - 100\% = 22\%$

Другой способ — найти разницу в километрах и выразить ее в процентах от плана.

1. На сколько километров перевыполнен план:

$30,5 \ км - 25 \ км = 5,5 \ км$

2. Какой процент от плана (25 км) составляют эти 5,5 км:

$(\frac{5,5}{25}) \times 100\% = 0,22 \times 100\% = 22\%$

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: строители газопровода перевыполнили план на 22%.

4.397. Автобус отправился от автовокзала, расположенного в центре города, в посёлок. Длина его маршрута составила 120 км. Из них 6 км он двигался по городу, 24 км – по грунтовой дороге, а остальное расстояние – по шоссе. Расход бензина на каждые 100 км составляет: по городу – 42 л, по грунтовой дороге – 56 от расхода по городу, а по шоссе – на 20 % меньше, чем по грунтовой дороге. Сколько литров бензина израсходовал автобус на путь туда и обратно?

4.397

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }120 – (6 + 24) = 120 – 30 = 90$ (км) – автобус проехал по шоссе;

$\mathbf{2}\mathbf{)} \stackrel{7}{\cancel{42}} · \frac{5}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{6}}}} = 7 · \frac{5}{1} = 35$ (л) – по грунтовой дороге;

$\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{ } 100 \% - 20\% = 80\% = 0,8$- по шоссе;

$\mathbf{4}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }35 · 0,8 = 28$ (л) – по шоссе;

$$\begin{gathered} \mathbf{5}\mathbf{)} 6 · \frac{42}{100} + 24 · \frac{35}{100} + 90 · \frac{28}{100}= \\ = 6 · 0,42 + 24 · 0,35 + 90 · 0,28 = \end{gathered}$$

$= 2,52 + 8,4 + 25,2 = 36,12$ (л) – в одну сторону;

$\mathbf{6}\mathbf{)} 36,12 · 2 = 72,24$(л) – израсходовал всего.

Ответ: 72,24 л

Для решения задачи необходимо выполнить несколько последовательных вычислений.

1. Найдем расстояние, которое автобус проехал по шоссе.
Общая длина маршрута составляет 120 км. Известно, что 6 км автобус ехал по городу и 24 км — по грунтовой дороге. Оставшаяся часть пути приходится на шоссе. Вычтем из общей длины маршрута известные участки:
$120 - 6 - 24 = 90$ км.

2. Вычислим расход бензина на 100 км для каждого типа дороги.
Расход по городу известен и составляет $42$ л на 100 км.
Расход по грунтовой дороге составляет $\frac{5}{6}$ от расхода по городу. Найдем это значение:
$42 \cdot \frac{5}{6} = 35$ л на 100 км.
Расход по шоссе на 20% меньше, чем по грунтовой дороге. Это означает, что он составляет $100\% - 20\% = 80\%$ от расхода по грунтовой дороге:
$35 \cdot (1 - \frac{20}{100}) = 35 \cdot 0,8 = 28$ л на 100 км.

3. Рассчитаем количество бензина, израсходованного на путь в одну сторону.
Для этого найдем расход на каждом участке и сложим полученные результаты.
- Расход по городу (6 км): $\frac{6}{100} \cdot 42 = 2,52$ л.
- Расход по грунтовой дороге (24 км): $\frac{24}{100} \cdot 35 = 8,4$ л.
- Расход по шоссе (90 км): $\frac{90}{100} \cdot 28 = 25,2$ л.
Суммарный расход в одну сторону равен:
$2,52 + 8,4 + 25,2 = 36,12$ л.

4. Найдем общий расход бензина на путь туда и обратно.
Поскольку автобус проехал по тому же маршруту в обратном направлении, расход бензина на обратный путь будет таким же. Следовательно, общий расход нужно удвоить:
$36,12 \cdot 2 = 72,24$ л.
Ответ: 72,24 л.

4.398. Когда Ярослав вышел с самокатом из дома, он увидел впереди друга Андрея, который тоже шёл в школу. Через 3 мин Ярослав догнал друга. С какой скоростью шёл Андрей, если скорость передвижения Ярослава была 8 км/ч и первоначальное расстояние между мальчиками равнялось 100 м?

4.398

Пусть х км/ч – скорость Андрея. Зная, что скорость Ярослава 8 км/ч, первоначальное расстояние 100 м, Ярослав догнал Андрея через 3 минуты, составим и решим уравнение:

$100 \mathrm{м} = 0,1 \mathrm{км}; 3 \mathrm{мин} = \frac{3}{60} \mathrm{ч} = \frac{1}{20} \mathrm{ч}$

$$\begin{gathered} 8 – х = 0,1 : {\frac{1}{20}}^{\overline{)·5}}; \\ 8 – х = 0,1 : 0,05; \\ 8 – х = 10 : 5; \\ 8 – х = 2; \\ х = 8 – 2 \end{gathered}$$

х = 6 км/ч – скорость Андрея.

Ответ: 6 км/ч.

Для решения этой задачи воспользуемся понятием скорости сближения. Когда один объект догоняет другой, скорость их сближения равна разности их скоростей.

Обозначим известные и неизвестные величины:
- Скорость Ярослава $v_Я = 8$ км/ч.
- Скорость Андрея $v_А$ - искомая величина.
- Время, за которое Ярослав догнал Андрея, $t = 3$ мин.
- Первоначальное расстояние между мальчиками $S = 100$ м.

Прежде всего, приведем все величины к единой системе измерений. Удобнее всего перевести все в километры и часы, так как скорость Ярослава дана в км/ч.

1. Переведем первоначальное расстояние из метров в километры:
$S = 100 \text{ м} = 100 \cdot 0.001 \text{ км} = 0.1 \text{ км}$.

2. Переведем время из минут в часы:
$t = 3 \text{ мин} = \frac{3}{60} \text{ ч} = \frac{1}{20} \text{ ч}$.

3. Скорость сближения мальчиков $v_{сбл}$ равна разности их скоростей, так как Ярослав догоняет Андрея:
$v_{сбл} = v_Я - v_А = 8 - v_А$.

4. Расстояние, на которое Ярослав сократил отставание, равно произведению скорости сближения на время:
$S = v_{сбл} \cdot t$.

5. Подставим известные значения в формулу и найдем скорость Андрея:
$0.1 \text{ км} = (8 - v_А) \frac{км}{ч} \cdot \frac{1}{20} \text{ ч}$.
Чтобы найти выражение в скобках, умножим обе части уравнения на 20:
$0.1 \cdot 20 = 8 - v_А$
$2 = 8 - v_А$
Теперь выразим $v_А$:
$v_А = 8 - 2$
$v_А = 6$ (км/ч).

Ответ: скорость, с которой шёл Андрей, равна 6 км/ч.

4.399. Вычислите:
а) –15,5 · (–5,4 + 248,4 : 6,9);
б) –17,5 · (–9,4 + 151,2 : 5,4);
в) –11,136 : 3,2 – 0,3 · 1,2;
г) –1,4 · 0,9 – 16,523 : 4,1.

4.399

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} -15,5 · (-5,4 + 248,4 : 6,9) = \\ =-15,5 · (-5,4 +\stackrel{1}{ 2484 : 69}) = \\ = -15,5 · (-5,4 + 36) = -15,5 · (36 \stackrel{2}{–} 5,4) = \\ =-15,5 \stackrel{3}{· } 30,6 = -474,3 \end{gathered}$$

1.
2.	3.

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} -17,5 · (-9,4 + 151,2: 5,4) = -17,5 \times \\ \times (-9,4 + \stackrel{1}{1512 : 54}) = -17,5 · (-9,4 + 28) = \\ = -17,5 · (28 \stackrel{2}{–} 9,4) = -17,5\stackrel{3}{ ·} 18,6 = -325,5 \end{gathered}$$

1.
2.	3.

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }-11,136 : 3,2 – 0,3 · 1,2 = -111,36 \stackrel{1}{:} 32 – \\ - 0,36 = - 3,48 – 0,36 = -(3,48 \stackrel{2}{+} 0,36) = \\ = -3,84 \end{gathered}$$

1.

2.

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }-1,4 \stackrel{1}{·} 0,9 – 16,523 \stackrel{ }{: }4,1 = -1,26 – \\ - 165,23\stackrel{2}{ : }41 = - 1,26 – 4,03 = - 1,26 +(– 4,03) = \\ = - (1,26 \stackrel{3}{+} 4,03) = -5,29 \end{gathered}$$

2.
1.	3.

а) $-15,5 \cdot (-5,4 + 248,4 : 6,9)$

Решим выражение по действиям, соблюдая правильный порядок их выполнения (сначала действия в скобках, затем умножение/деление, потом сложение/вычитание).

1. Первым действием выполним деление в скобках: $248,4 : 6,9$. Чтобы разделить на десятичную дробь, перенесем запятую в делимом и делителе на один знак вправо, чтобы делитель стал целым числом: $2484 : 69 = 36$.

2. Вторым действием выполним сложение в скобках: $-5,4 + 36 = 36 - 5,4 = 30,6$.

3. Третьим действием выполним умножение. Произведение отрицательного числа $(-15,5)$ и положительного числа $(30,6)$ будет отрицательным: $-15,5 \cdot 30,6 = -474,3$.

Ответ: -474,3.

б) $-17,5 \cdot (-9,4 + 151,2 : 5,4)$

Решим выражение по действиям.

1. Сначала выполним деление в скобках: $151,2 : 5,4$. Перенесем запятую в обоих числах на один знак вправо: $1512 : 54 = 28$.

2. Далее выполним сложение в скобках: $-9,4 + 28 = 28 - 9,4 = 18,6$.

3. Последнее действие - умножение. Результат будет отрицательным: $-17,5 \cdot 18,6 = -325,5$.

Ответ: -325,5.

в) $-11,136 : 3,2 - 0,3 \cdot 1,2$

В этом выражении нет скобок, поэтому сначала выполняем умножение и деление слева направо, а затем вычитание.

1. Первое действие - деление: $-11,136 : 3,2$. Результат будет отрицательным. Чтобы выполнить деление, перенесем запятую: $111,36 : 32 = 3,48$. Таким образом, $-11,136 : 3,2 = -3,48$.

2. Второе действие - умножение: $0,3 \cdot 1,2 = 0,36$.

3. Третье действие - вычитание: $-3,48 - 0,36$. Это эквивалентно сложению двух отрицательных чисел: $-(3,48 + 0,36) = -3,84$.

Ответ: -3,84.

г) $-1,4 \cdot 0,9 - 16,523 : 4,1$

Выполняем действия в порядке: умножение, деление, вычитание.

1. Первое действие - умножение: $-1,4 \cdot 0,9$. Произведение отрицательного и положительного чисел отрицательно: $1,4 \cdot 0,9 = 1,26$. Следовательно, результат равен $-1,26$.

2. Второе действие - деление: $16,523 : 4,1$. Перенесем запятую: $165,23 : 41 = 4,03$.

3. Третье действие - вычитание: $-1,26 - 4,03$. Складываем модули чисел и ставим знак минус: $-(1,26 + 4,03) = -5,29$.

Ответ: -5,29.