Страница 74, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

2.209. Вычислите:

а) 16 – (1 – 1718);

б) 3 – (1114 – 1321);

в) 71425 – (3815 + 1910);

г) 6316 – 2524 – 31112).

2.209

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)} \frac{1}{6}-\left(1-\frac{17}{18}\right)=\frac{1}{6}-\left(\frac{18}{18}-\frac{17}{18}\right)= \\ ={\frac{1}{6}}^{\overline{)·3}}-\frac{1}{18}=\frac{3}{18}-\frac{1}{18}=\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{2}}}}{{\displaystyle \underset{9}{\cancel{18}}}}=\frac{1}{9}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} 3-\left({\frac{11}{14}}^{\overline{)·3}}- {\frac{13}{21}}^{\overline{)·2}}\right)=3-\left(\frac{33}{42}- \frac{26}{42}\right)= \\ =3-\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{7}}}}{{\displaystyle \underset{6}{\cancel{42}}}}=3-\frac{1}{6}=2+1-\frac{1}{6}= \\ =2 + \frac{6}{6}-\frac{1}{6}=2+\frac{5}{6}=2\frac{5}{6}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)} 7\frac{14}{25}-\left(3{\frac{8}{15}}^{\overline{)·2}}+ 1{\frac{9}{10}}^{\overline{)·3}}\right)=7\frac{14}{25}-\left(3\frac{16}{30}+ 1\frac{27}{30}\right)= \\ =7\frac{14}{25}-4\frac{43}{30}={7\frac{14}{25}}^{\overline{)·6}}-{5\frac{13}{30}}^{\overline{)·5}}= \\ =7\frac{84}{150}-5\frac{65}{150}=\left(7-5\right)+\left(\frac{84}{150}-\frac{65}{150}\right)= \\ =2+\left(\frac{84}{150}-\frac{65}{150}\right)=2\frac{19}{150}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)}{ 6\frac{3}{16}}^{\overline{)·3}}-{2\frac{5}{24}}^{\overline{)·2}}-{3\frac{11}{12}}^{\overline{)·4}}= 6\frac{9}{48}-2\frac{10}{48}-3\frac{44}{48}= \\ =\left(6-2-3\right)+\left(\frac{9}{48}-\frac{10}{48}-\frac{44}{48}\right)= \\ =1+\left(\frac{9}{48}-\frac{10}{48}-\frac{44}{48}\right)=\frac{48}{48}+\frac{9}{48}-\frac{10}{48}-\frac{44}{48}= \\ =\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{3}}}}{{\displaystyle \underset{16}{\cancel{48}}}}=\frac{1}{16}. \end{gathered}$$

а) $\frac{1}{6} - (1 - \frac{17}{18})$
Сначала выполним вычитание в скобках. Для этого представим 1 как дробь со знаменателем 18:
$1 - \frac{17}{18} = \frac{18}{18} - \frac{17}{18} = \frac{18 - 17}{18} = \frac{1}{18}$
Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:
$\frac{1}{6} - \frac{1}{18}$
Чтобы вычесть дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 6 и 18 — это 18. Домножим числитель и знаменатель первой дроби на 3:
$\frac{1 \cdot 3}{6 \cdot 3} - \frac{1}{18} = \frac{3}{18} - \frac{1}{18} = \frac{3 - 1}{18} = \frac{2}{18}$
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:
$\frac{2}{18} = \frac{1}{9}$
Ответ: $\frac{1}{9}$

б) $3 - (\frac{11}{14} - \frac{13}{21})$
Сначала выполним действие в скобках. Найдем наименьший общий знаменатель (НОЗ) для 14 и 21. НОЗ(14, 21) = 42.
Приведем дроби к общему знаменателю 42:
$\frac{11}{14} - \frac{13}{21} = \frac{11 \cdot 3}{14 \cdot 3} - \frac{13 \cdot 2}{21 \cdot 2} = \frac{33}{42} - \frac{26}{42} = \frac{33 - 26}{42} = \frac{7}{42}$
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 7:
$\frac{7}{42} = \frac{1}{6}$
Теперь выполним вычитание:
$3 - \frac{1}{6}$
Представим 3 как $2 + 1 = 2 + \frac{6}{6} = 2\frac{6}{6}$:
$2\frac{6}{6} - \frac{1}{6} = 2\frac{6-1}{6} = 2\frac{5}{6}$
Ответ: $2\frac{5}{6}$

в) $7\frac{14}{25} - (3\frac{8}{15} + 1\frac{9}{10})$
Сначала выполним сложение в скобках. Сложим целые и дробные части отдельно.
Сложение целых частей: $3 + 1 = 4$.
Сложение дробных частей: $\frac{8}{15} + \frac{9}{10}$. НОЗ(15, 10) = 30.
$\frac{8 \cdot 2}{15 \cdot 2} + \frac{9 \cdot 3}{10 \cdot 3} = \frac{16}{30} + \frac{27}{30} = \frac{16 + 27}{30} = \frac{43}{30}$
Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $\frac{43}{30} = 1\frac{13}{30}$.
Сложим результат с суммой целых частей: $4 + 1\frac{13}{30} = 5\frac{13}{30}$.
Теперь выполним вычитание: $7\frac{14}{25} - 5\frac{13}{30}$.
Вычтем целые части: $7 - 5 = 2$.
Вычтем дробные части: $\frac{14}{25} - \frac{13}{30}$. НОЗ(25, 30) = 150.
$\frac{14 \cdot 6}{25 \cdot 6} - \frac{13 \cdot 5}{30 \cdot 5} = \frac{84}{150} - \frac{65}{150} = \frac{84 - 65}{150} = \frac{19}{150}$.
Объединим целую и дробную части: $2 + \frac{19}{150} = 2\frac{19}{150}$.
Ответ: $2\frac{19}{150}$

г) $6\frac{3}{16} - 2\frac{5}{24} - 3\frac{11}{12}$
Данное выражение можно представить как $6\frac{3}{16} - (2\frac{5}{24} + 3\frac{11}{12})$. Сначала найдем сумму в скобках.
Сложим целые части: $2 + 3 = 5$.
Сложим дробные части: $\frac{5}{24} + \frac{11}{12}$. НОЗ(24, 12) = 24.
$\frac{5}{24} + \frac{11 \cdot 2}{12 \cdot 2} = \frac{5}{24} + \frac{22}{24} = \frac{27}{24}$.
Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $\frac{27}{24} = 1\frac{3}{24} = 1\frac{1}{8}$.
Сложим результат с суммой целых частей: $5 + 1\frac{1}{8} = 6\frac{1}{8}$.
Теперь выполним вычитание: $6\frac{3}{16} - 6\frac{1}{8}$.
Целые части при вычитании дают ноль ($6 - 6 = 0$). Остается вычесть дробные части:
$\frac{3}{16} - \frac{1}{8}$. НОЗ(16, 8) = 16.
$\frac{3}{16} - \frac{1 \cdot 2}{8 \cdot 2} = \frac{3}{16} - \frac{2}{16} = \frac{3-2}{16} = \frac{1}{16}$.
Ответ: $\frac{1}{16}$

2.210. Вычислите значение выражения:

а) (1213 – 1114) + (14 – 9815);

б) (15 – 1258) – (1312 – 1129);

в) (1423 – 559) – (378 + 456) + (1034 – 449);

г) (1457 – 14) + (30 – 2957) + (317 – 2328).

2.210

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)} \left(12\frac{1}{3}\stackrel{1}{-}11\frac{1}{4}\right)\stackrel{3}{+}\left(14\stackrel{2}{-}9\frac{8}{15}\right)=5\frac{11}{20} \\ 1) {12\frac{1}{3}}^{\overline{)·4}}-{11\frac{1}{4}}^{\overline{)·3}}=12\frac{4}{12}-11\frac{3}{12}= \\ =(12-11)+\left(\frac{4}{12}-\frac{3}{12}\right)=1\frac{1}{12}; \\ 2) 14- 9\frac{8}{15}=(13+1)- 9\frac{8}{15}=13+\frac{15}{15}- 9\frac{8}{15}= \\ =(13-9)+\left(\frac{15}{15}- \frac{8}{15}\right)=4\frac{7}{15}; \\ 3) {1\frac{1}{12}}^{\overline{)·5}}+{4\frac{7}{15}}^{\overline{)·4}}=1\frac{5}{60}+4\frac{28}{60}=5\frac{{\displaystyle \stackrel{11}{\cancel{33}}}}{{\displaystyle \underset{20}{\cancel{60}}}}=5\frac{11}{20}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{б}\mathbf{)} \left(15 \stackrel{1}{-} 12\frac{5}{8}\right)\stackrel{3}{-}\left(13\frac{1}{2}\stackrel{2}{-}11\frac{2}{9}\right)=\frac{7}{72} \\ 1) 15 - 12\frac{5}{8}=(15-12)-\frac{5}{8}=3-\frac{5}{8}= \\ = 2+ 1-\frac{5}{8}=2+\frac{8}{8}-\frac{5}{8}=2\frac{3}{8}; \\ 2) {13\frac{1}{2}}^{\overline{)·9}}-{11\frac{2}{9}}^{\overline{)·2}}= 13\frac{9}{18}-11\frac{4}{18}= \\ (13-11)+\left(\frac{9}{18}-\frac{4}{18}\right)=2\frac{5}{18}; \\ 3) {2\frac{3}{8}}^{\overline{)·9}}-{2\frac{5}{18}}^{\overline{)·4}}=2\frac{27}{72}-2\frac{20}{72}= \\ =(2-2) + \left(\frac{27}{72}-\frac{20}{72}\right)=\frac{7}{72}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{в}\mathbf{)} \left(14\frac{2}{3}\stackrel{1}{-}5\frac{5}{9}\right)\stackrel{4}{-}\left(3\frac{7}{8}\stackrel{2}{+}4\frac{5}{6}\right)\stackrel{5}{+}\left(10\frac{3}{4}\stackrel{3}{-}4\frac{4}{9}\right)=6\frac{17}{24} \\ 1) {14\frac{2}{3}}^{\overline{)·3}}-5\frac{5}{19}=14\frac{6}{9}-5\frac{5}{9}= \\ =(14-5)+\left(\frac{6}{9}-\frac{5}{9}\right)=9\frac{1}{9}; \\ 2) {3\frac{7}{8}}^{\overline{)·3}}+{4\frac{5}{6}}^{\overline{)·4}}=3\frac{21}{24}+4\frac{20}{24}= \\ =(3+4)+\left(\frac{21}{24}+\frac{20}{24}\right)=7+\frac{41}{24}= \\ =7+1\frac{17}{24}=8\frac{17}{24}; \\ 3){ 10\frac{3}{4}}^{\overline{)·9}}-{4\frac{4}{9}}^{\overline{)·4}}= 10\frac{27}{36}-4\frac{16}{36}= \\ =(10-4)+\left(\frac{27}{36}-\frac{16}{36}\right)=6+\frac{11}{36}=6\frac{11}{36}; \\ 4) {9\frac{1}{9}}^{\overline{)·8}}-{8\frac{17}{24}}^{\overline{)·3}}=9\frac{8}{72}-8\frac{51}{72}=8+1+\frac{8}{72}-8\frac{51}{72}= \\ =8+\frac{72}{72}+\frac{8}{72}-8\frac{51}{72}=8\frac{80}{72}-8\frac{51}{72}= \\ =(8-8)+\left(\frac{80}{72}-\frac{51}{72}\right)=\frac{29}{72}; \\ 5) \frac{29}{72}+{6\frac{11}{36}}^{\overline{)·2}}=\frac{29}{72}+6\frac{22}{72}=6\frac{{\displaystyle \stackrel{17}{\cancel{51}}}}{{\displaystyle \underset{24}{\cancel{72}}}}=6\frac{17}{24}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{г}\mathbf{)} \left(14\frac{5}{7}\stackrel{1}{-}14\right)\stackrel{4}{+}\left(30\stackrel{2}{-}29\frac{5}{7}\right)\stackrel{5}{+}\left(3\frac{1}{7}\stackrel{3}{-}\frac{23}{28}\right)=3\frac{9}{28} \\ 1) 14\frac{5}{7}-14=\frac{5}{7}; \\ 2) 30-29\frac{5}{7}=29+1-29\frac{5}{7}=29+\frac{7}{7}-29\frac{5}{7}= \\ =\frac{2}{7}; \\ 3) {3\frac{1}{7}}^{\overline{)·4}}-\frac{23}{28}=3\frac{4}{28}-\frac{23}{28}=2+ 1+\frac{4}{28}-\frac{23}{28}= \\ =2+ \frac{28}{28}+\frac{4}{28}-\frac{23}{28}=2+\frac{32}{28}-\frac{23}{28}=2\frac{9}{28}; \\ 4) \frac{5}{7}+\frac{2}{7}=\frac{7}{7}=1; \\ 5) 1+2\frac{9}{28}=3\frac{9}{28}. \end{gathered}$$

а) $(12\frac{1}{3} - 11\frac{1}{4}) + (14 - 9\frac{8}{15})$

Решим по действиям. Сначала вычислим значение в каждой скобке.
1) Вычислим разность в первой скобке. Для этого вычтем целые и дробные части отдельно. Приведем дроби к общему знаменателю 12: $12\frac{1}{3} - 11\frac{1}{4} = (12-11) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) = 1 + (\frac{1 \cdot 4}{12} - \frac{1 \cdot 3}{12}) = 1 + (\frac{4 - 3}{12}) = 1\frac{1}{12}$.
2) Вычислим разность во второй скобке. "Займем" единицу у 14: $14 - 9\frac{8}{15} = 13\frac{15}{15} - 9\frac{8}{15} = (13-9) + (\frac{15-8}{15}) = 4\frac{7}{15}$.
3) Теперь сложим полученные результаты. Сложим целые и дробные части отдельно. Общий знаменатель для 12 и 15 равен 60: $1\frac{1}{12} + 4\frac{7}{15} = (1+4) + (\frac{1}{12} + \frac{7}{15}) = 5 + (\frac{1 \cdot 5}{60} + \frac{7 \cdot 4}{60}) = 5 + (\frac{5+28}{60}) = 5 + \frac{33}{60} = 5\frac{33}{60}$.
Сократим дробную часть на 3: $\frac{33}{60} = \frac{11}{20}$.
Итоговый результат: $5\frac{11}{20}$.
Ответ: $5\frac{11}{20}$.

б) $(15 - 12\frac{5}{8}) - (13\frac{1}{2} - 11\frac{2}{9})$

Решим по действиям. Сначала вычислим значение в каждой скобке.
1) Вычислим разность в первой скобке. "Займем" единицу у 15: $15 - 12\frac{5}{8} = 14\frac{8}{8} - 12\frac{5}{8} = (14-12) + (\frac{8-5}{8}) = 2\frac{3}{8}$.
2) Вычислим разность во второй скобке. Общий знаменатель для 2 и 9 равен 18: $13\frac{1}{2} - 11\frac{2}{9} = (13-11) + (\frac{1}{2} - \frac{2}{9}) = 2 + (\frac{1 \cdot 9}{18} - \frac{2 \cdot 2}{18}) = 2 + (\frac{9-4}{18}) = 2\frac{5}{18}$.
3) Теперь вычтем полученные результаты. Общий знаменатель для 8 и 18 равен 72: $2\frac{3}{8} - 2\frac{5}{18} = (2-2) + (\frac{3}{8} - \frac{5}{18}) = \frac{3 \cdot 9}{72} - \frac{5 \cdot 4}{72} = \frac{27-20}{72} = \frac{7}{72}$.
Ответ: $\frac{7}{72}$.

в) $(14\frac{2}{3} - 5\frac{5}{9}) - (3\frac{7}{8} + 4\frac{5}{6}) + (10\frac{3}{4} - 4\frac{4}{9})$

Вычислим значение каждого выражения в скобках.
1) $14\frac{2}{3} - 5\frac{5}{9} = 14\frac{6}{9} - 5\frac{5}{9} = (14-5) + (\frac{6-5}{9}) = 9\frac{1}{9}$.
2) $3\frac{7}{8} + 4\frac{5}{6} = (3+4) + (\frac{7}{8} + \frac{5}{6}) = 7 + (\frac{21}{24} + \frac{20}{24}) = 7 + \frac{41}{24} = 7 + 1\frac{17}{24} = 8\frac{17}{24}$.
3) $10\frac{3}{4} - 4\frac{4}{9} = (10-4) + (\frac{3}{4} - \frac{4}{9}) = 6 + (\frac{27}{36} - \frac{16}{36}) = 6 + \frac{11}{36} = 6\frac{11}{36}$.
Теперь подставим полученные значения в исходное выражение: $9\frac{1}{9} - 8\frac{17}{24} + 6\frac{11}{36}$.
Сгруппируем целые и дробные части: $(9 - 8 + 6) + (\frac{1}{9} - \frac{17}{24} + \frac{11}{36})$.
Целая часть: $9 - 8 + 6 = 7$.
Дробная часть: $\frac{1}{9} - \frac{17}{24} + \frac{11}{36}$. Общий знаменатель для 9, 24 и 36 равен 72.
$\frac{1 \cdot 8}{72} - \frac{17 \cdot 3}{72} + \frac{11 \cdot 2}{72} = \frac{8 - 51 + 22}{72} = \frac{30 - 51}{72} = -\frac{21}{72}$.
Сложим целую и дробную части: $7 - \frac{21}{72} = 6\frac{72}{72} - \frac{21}{72} = 6\frac{51}{72}$.
Сократим дробь на 3: $\frac{51}{72} = \frac{17}{24}$.
Итоговый результат: $6\frac{17}{24}$.
Ответ: $6\frac{17}{24}$.

г) $(14\frac{5}{7} - 14) + (30 - 29\frac{5}{7}) + (3\frac{1}{7} - \frac{23}{28})$

Вычислим значение каждого выражения в скобках.
1) $14\frac{5}{7} - 14 = \frac{5}{7}$.
2) $30 - 29\frac{5}{7} = 29\frac{7}{7} - 29\frac{5}{7} = \frac{2}{7}$.
3) $3\frac{1}{7} - \frac{23}{28}$. Переведем смешанное число в неправильную дробь: $3\frac{1}{7} = \frac{22}{7}$.
$\frac{22}{7} - \frac{23}{28} = \frac{22 \cdot 4}{28} - \frac{23}{28} = \frac{88-23}{28} = \frac{65}{28}$.
Теперь сложим полученные результаты: $\frac{5}{7} + \frac{2}{7} + \frac{65}{28} = \frac{7}{7} + \frac{65}{28} = 1 + \frac{65}{28}$.
Переведем неправильную дробь в смешанное число: $\frac{65}{28} = 2\frac{9}{28}$.
$1 + 2\frac{9}{28} = 3\frac{9}{28}$.
Ответ: $3\frac{9}{28}$.

2.211. Вычислите:

а) 234 + 3,4; б) 4725 – 3,3; в) 7,2 – 656; г) 5712 – 1,6.

2.211

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)} 2\frac{3}{4}+3,4=2\frac{3}{4}+3\frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\cancel{4}}}}{{\displaystyle \underset{5}{\cancel{10}}}}={2\frac{3}{4}}^{\overline{)·5}}+{3\frac{2}{5}}^{\overline{)·4}}= \\ =2\frac{15}{20}+3\frac{8}{20}=5\frac{23}{20}=5+1\frac{3}{20}=6\frac{3}{20}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} 4\frac{7}{25}-3,3=4{\frac{7}{25}}^{\overline{)·2}}-{3\frac{3}{10}}^{\overline{)·5}}= \\ =4\frac{14}{50}-3\frac{15}{50}=(4-3)+\left(\frac{14}{50}-\frac{15}{50}\right)= \\ =\frac{50}{50}+\frac{14}{50}-\frac{15}{50}=\frac{64}{50}-\frac{15}{50}=\frac{49}{50}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{в}\mathbf{)} 7,2-6\frac{5}{6}=7\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{2}}}}{{\displaystyle \underset{5}{\cancel{10}}}}-6\frac{5}{6}={7\frac{1}{5}}^{\overline{)·6}}-{6\frac{5}{6}}^{\overline{)·5}}= \\ =7\frac{6}{30}-6\frac{25}{30}=6+1+\frac{6}{30}-6\frac{25}{30}= \\ =6+\frac{30}{30}+\frac{6}{30}-6\frac{25}{30}=6+\frac{36}{30}-6\frac{25}{30}= \\ =(6-6)+\left(\frac{36}{30}-\frac{25}{20}\right)=\frac{11}{30}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{г}\mathbf{)} 5\frac{7}{12}-1,6=5\frac{7}{12}-1\frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{6}}}}{{\displaystyle \underset{5}{\cancel{10}}}}={5\frac{7}{12}}^{\overline{)·5}}-{1\frac{3}{5}}^{\overline{)·12}}= \\ =5\frac{35}{60}-1\frac{36}{60}=4+1+\frac{35}{60}-1\frac{36}{60}= \\ =4+\frac{60}{60}+\frac{35}{60}-1\frac{36}{60}=3+\frac{60}{60}+\frac{35}{60}-\frac{36}{60}=3\frac{59}{60}. \end{gathered}$$

а) Для вычисления суммы $2\frac{3}{4} + 3,4$ преобразуем оба числа в десятичные дроби. Смешанное число $2\frac{3}{4}$ равно $2 + \frac{3}{4}$. Дробь $\frac{3}{4}$ можно представить в виде десятичной дроби, разделив числитель на знаменатель: $3 \div 4 = 0,75$. Таким образом, $2\frac{3}{4} = 2 + 0,75 = 2,75$. Теперь сложим десятичные дроби:$2,75 + 3,4 = 6,15$.
Ответ: $6,15$.

б) Для вычисления разности $4\frac{7}{25} - 3,3$ преобразуем смешанное число в десятичную дробь. Смешанное число $4\frac{7}{25}$ равно $4 + \frac{7}{25}$. Чтобы представить дробь $\frac{7}{25}$ в виде десятичной, приведем ее к знаменателю 100, умножив числитель и знаменатель на 4: $\frac{7 \times 4}{25 \times 4} = \frac{28}{100} = 0,28$. Таким образом, $4\frac{7}{25} = 4 + 0,28 = 4,28$. Теперь вычтем десятичные дроби:$4,28 - 3,3 = 0,98$.
Ответ: $0,98$.

в) Для вычисления разности $7,2 - 6\frac{5}{6}$ преобразуем оба числа в обыкновенные дроби, так как $\frac{5}{6}$ является бесконечной периодической десятичной дробью. Десятичную дробь $7,2$ представим в виде смешанного числа: $7,2 = 7\frac{2}{10} = 7\frac{1}{5}$. Теперь вычтем смешанные числа: $7\frac{1}{5} - 6\frac{5}{6}$. Преобразуем их в неправильные дроби:$7\frac{1}{5} = \frac{7 \times 5 + 1}{5} = \frac{36}{5}$.$6\frac{5}{6} = \frac{6 \times 6 + 5}{6} = \frac{41}{6}$.Приведем дроби к общему знаменателю, который равен 30:$\frac{36}{5} = \frac{36 \times 6}{5 \times 6} = \frac{216}{30}$.$\frac{41}{6} = \frac{41 \times 5}{6 \times 5} = \frac{205}{30}$.Выполним вычитание:$\frac{216}{30} - \frac{205}{30} = \frac{216 - 205}{30} = \frac{11}{30}$.
Ответ: $\frac{11}{30}$.

г) Для вычисления разности $5\frac{7}{12} - 1,6$ преобразуем оба числа в обыкновенные дроби, так как $\frac{7}{12}$ является бесконечной периодической десятичной дробью. Десятичную дробь $1,6$ представим в виде смешанного числа: $1,6 = 1\frac{6}{10} = 1\frac{3}{5}$. Теперь вычтем смешанные числа: $5\frac{7}{12} - 1\frac{3}{5}$. Преобразуем их в неправильные дроби для удобства вычисления:$5\frac{7}{12} = \frac{5 \times 12 + 7}{12} = \frac{67}{12}$.$1\frac{3}{5} = \frac{1 \times 5 + 3}{5} = \frac{8}{5}$.Приведем дроби к общему знаменателю, который равен 60:$\frac{67}{12} = \frac{67 \times 5}{12 \times 5} = \frac{335}{60}$.$\frac{8}{5} = \frac{8 \times 12}{5 \times 12} = \frac{96}{60}$.Выполним вычитание:$\frac{335}{60} - \frac{96}{60} = \frac{335 - 96}{60} = \frac{239}{60}$.Преобразуем неправильную дробь обратно в смешанное число:$\frac{239}{60} = 3\frac{59}{60}$.
Ответ: $3\frac{59}{60}$.

2.212. Найдите корень уравнения:

а) х + 3813 = 6;

б) 1449 + у = 23;

в) а – 758 = 712;

г) 1216 – b = 4815;

д) 52536 – t = 1112 + 238;

е) 47 – 13 + z = 1314 – 58.

2.212

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)} х + 3\frac{8}{13}=6; \\ х = 6 -3\frac{8}{13}; \\ х = 5\frac{13}{13}-3\frac{8}{13}; \\ х = 2\frac{5}{13}. \\ \mathrm{Ответ}: 2\frac{5}{13}. \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} \mathbf{б}\mathbf{)} 14\frac{4}{9}+у = 23; \\ у = 23 -14\frac{4}{9}; \\ у = 22\frac{9}{9} -14\frac{4}{9}; \\ у = 8\frac{5}{9}. \\ \mathrm{Ответ}: 8\frac{5}{9}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{в}\mathbf{)} а - 7\frac{5}{8}=\frac{7}{12}; \\ а = {\frac{7}{12}}^{\overline{)·2}}+{7\frac{5}{8}}^{\overline{)·3}}; \\ а = \frac{14}{24}+7\frac{15}{24}; \\ а = 7\frac{29}{24}; \\ а = 7 + 1\frac{5}{24}; \\ а = 8\frac{5}{24}. \\ \mathrm{Ответ}: 8\frac{5}{24}. \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} \mathbf{г}\mathbf{)}\mathbf{ }12\frac{1}{6}-\mathrm{b}=4\frac{8}{15}; \\ \mathrm{b} ={ 12\frac{1}{6}}^{\overline{)·10}}-{4\frac{8}{15}}^{\overline{)·4}}; \\ \mathrm{b} = 12\frac{10}{60}-4\frac{32}{60}; \\ \mathrm{b} = 11\frac{70}{60}-4\frac{32}{60}; \\ \mathrm{b} = 7\frac{{\displaystyle \stackrel{19}{\cancel{38}}}}{{\displaystyle \underset{30}{\cancel{60}}}}; \\ \mathrm{b} = 7\frac{19}{30}. \\ \mathrm{Ответ}: 7\frac{19}{30}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{д}\mathbf{)}\mathbf{ }5\frac{25}{36}-t = {1\frac{1}{12}}^{\overline{)·2}}+{2\frac{3}{8}}^{\overline{)·3}}; \\ 5\frac{25}{36}-t = 1\frac{2}{24}+2\frac{9}{24}; \\ 5\frac{25}{36}-t = 3\frac{11}{24}; \\ t = {5\frac{25}{36}}^{\overline{)·2}}-{3\frac{11}{24}}^{\overline{)·3}}; \\ t = 5\frac{50}{72}-3\frac{33}{72}; \\ t = 2\frac{17}{72}. \\ \mathrm{Ответ}: 2\frac{17}{72}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{е}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{4}{7}}^{\overline{)·3}}-{\frac{1}{3}}^{\overline{)·7}}+\mathrm{z} ={\frac{13}{14}}^{\overline{)·4}}-{\frac{5}{8}}^{\overline{)·7}}; \\ \frac{12}{21}-\frac{7}{21}+\mathrm{z} =\frac{52}{56}-\frac{35}{56}; \\ \frac{5}{21}+\mathrm{z} = \frac{17}{56}; \\ \mathrm{z} = {\frac{17}{56}}^{\overline{)·3}}-{\frac{5}{21}}^{\overline{)·8}}; \\ \mathrm{z}=\frac{51}{168}-\frac{40}{168}; \\ \mathrm{z} = \frac{11}{168}. \\ \mathrm{Ответ}: \frac{11}{168}. \end{gathered}$$

а) $x + 3\frac{8}{13} = 6$

В этом уравнении $x$ является неизвестным слагаемым. Чтобы его найти, нужно из суммы (6) вычесть известное слагаемое ($3\frac{8}{13}$).

$x = 6 - 3\frac{8}{13}$

Для вычитания смешанного числа из целого, представим целое число в виде смешанного. Займем единицу у 6 и представим ее в виде дроби со знаменателем 13:

$6 = 5 + 1 = 5 + \frac{13}{13} = 5\frac{13}{13}$

Теперь выполним вычитание:

$x = 5\frac{13}{13} - 3\frac{8}{13} = (5-3) + (\frac{13-8}{13}) = 2 + \frac{5}{13} = 2\frac{5}{13}$

Ответ: $2\frac{5}{13}$

б) $14\frac{4}{9} + y = 23$

Здесь $y$ — неизвестное слагаемое. Чтобы его найти, нужно из суммы (23) вычесть известное слагаемое ($14\frac{4}{9}$).

$y = 23 - 14\frac{4}{9}$

Представим 23 в виде смешанного числа, заняв единицу:

$23 = 22 + 1 = 22 + \frac{9}{9} = 22\frac{9}{9}$

Выполним вычитание:

$y = 22\frac{9}{9} - 14\frac{4}{9} = (22-14) + (\frac{9-4}{9}) = 8 + \frac{5}{9} = 8\frac{5}{9}$

Ответ: $8\frac{5}{9}$

в) $a - 7\frac{5}{8} = \frac{7}{12}$

В данном уравнении $a$ является неизвестным уменьшаемым. Чтобы его найти, нужно к разности ($\frac{7}{12}$) прибавить вычитаемое ($7\frac{5}{8}$).

$a = \frac{7}{12} + 7\frac{5}{8}$

Сложим дробные части, приведя их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 12 и 8 — это 24.

$\frac{7}{12} + \frac{5}{8} = \frac{7 \cdot 2}{12 \cdot 2} + \frac{5 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{14}{24} + \frac{15}{24} = \frac{29}{24}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $\frac{29}{24} = 1\frac{5}{24}$.

Теперь сложим с целой частью:

$a = 7 + 1\frac{5}{24} = 8\frac{5}{24}$

Ответ: $8\frac{5}{24}$

г) $12\frac{1}{6} - b = 4\frac{8}{15}$

Здесь $b$ — неизвестное вычитаемое. Чтобы его найти, нужно из уменьшаемого ($12\frac{1}{6}$) вычесть разность ($4\frac{8}{15}$).

$b = 12\frac{1}{6} - 4\frac{8}{15}$

Приведем дробные части к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 6 и 15 — это 30.

$b = 12\frac{1 \cdot 5}{6 \cdot 5} - 4\frac{8 \cdot 2}{15 \cdot 2} = 12\frac{5}{30} - 4\frac{16}{30}$

Так как дробная часть уменьшаемого ($\frac{5}{30}$) меньше дробной части вычитаемого ($\frac{16}{30}$), займем единицу у целой части:

$12\frac{5}{30} = 11 + 1 + \frac{5}{30} = 11 + \frac{30}{30} + \frac{5}{30} = 11\frac{35}{30}$

Теперь выполним вычитание:

$b = 11\frac{35}{30} - 4\frac{16}{30} = (11-4) + (\frac{35-16}{30}) = 7 + \frac{19}{30} = 7\frac{19}{30}$

Ответ: $7\frac{19}{30}$

д) $5\frac{25}{36} - t = 1\frac{1}{12} + 2\frac{3}{8}$

Сначала упростим правую часть уравнения, сложив смешанные числа.

$1\frac{1}{12} + 2\frac{3}{8} = (1+2) + (\frac{1}{12} + \frac{3}{8})$

Приведем дроби к общему знаменателю 24:

$\frac{1}{12} + \frac{3}{8} = \frac{2}{24} + \frac{9}{24} = \frac{11}{24}$

Правая часть равна $3 + \frac{11}{24} = 3\frac{11}{24}$.

Уравнение принимает вид: $5\frac{25}{36} - t = 3\frac{11}{24}$.

Чтобы найти неизвестное вычитаемое $t$, нужно из уменьшаемого ($5\frac{25}{36}$) вычесть разность ($3\frac{11}{24}$).

$t = 5\frac{25}{36} - 3\frac{11}{24}$

Приведем дробные части к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 36 и 24 — это 72.

$t = 5\frac{25 \cdot 2}{36 \cdot 2} - 3\frac{11 \cdot 3}{24 \cdot 3} = 5\frac{50}{72} - 3\frac{33}{72}$

$t = (5-3) + (\frac{50-33}{72}) = 2 + \frac{17}{72} = 2\frac{17}{72}$

Ответ: $2\frac{17}{72}$

е) $\frac{4}{7} - \frac{1}{3} + z = \frac{13}{14} - \frac{5}{8}$

Упростим обе части уравнения по отдельности.

Левая часть: $\frac{4}{7} - \frac{1}{3}$. Общий знаменатель 21.

$\frac{4 \cdot 3}{7 \cdot 3} - \frac{1 \cdot 7}{3 \cdot 7} = \frac{12}{21} - \frac{7}{21} = \frac{5}{21}$

Правая часть: $\frac{13}{14} - \frac{5}{8}$. Общий знаменатель 56.

$\frac{13 \cdot 4}{14 \cdot 4} - \frac{5 \cdot 7}{8 \cdot 7} = \frac{52}{56} - \frac{35}{56} = \frac{17}{56}$

Уравнение принимает вид: $\frac{5}{21} + z = \frac{17}{56}$.

Чтобы найти неизвестное слагаемое $z$, вычтем из суммы ($\frac{17}{56}$) известное слагаемое ($\frac{5}{21}$).

$z = \frac{17}{56} - \frac{5}{21}$

Найдем общий знаменатель для 56 и 21. $56 = 7 \cdot 8$, $21 = 7 \cdot 3$. НОК(56, 21) = $7 \cdot 8 \cdot 3 = 168$.

$z = \frac{17 \cdot 3}{56 \cdot 3} - \frac{5 \cdot 8}{21 \cdot 8} = \frac{51}{168} - \frac{40}{168} = \frac{11}{168}$

Ответ: $\frac{11}{168}$

2.213. По формуле В = х – 534 найдите значение:

а) В при х = 6; х = 612; х = 738;

б) х при В = 512; В = 31316; В = 0.

2.213

$B=x-5 \frac{3}{4}$

а) При х =6,

$B=6-5 \frac{3}{4}=5+1-5 \frac{3}{4}=5+\frac{4}{4}-5 \frac{3}{4}=\frac{1}{4}.$

При х =$6\frac{1}{2}$,

$B={6\frac{1}{2}}^{\overline{)·2}}-5 \frac{3}{4}=6\frac{2}{4}-5 \frac{3}{4}=5\frac{6}{4}-5 \frac{3}{4}=\frac{3}{4}.$

При х =$7\frac{3}{8}$,

$B=7\frac{3}{8}-{5 \frac{3}{4}}^{\overline{)·2}}=7\frac{3}{8}-5 \frac{6}{8}=6\frac{11}{8}-5 \frac{6}{8}=1\frac{5}{8}.$

б) $х = В +5\frac{3}{4};$

При $В = 5\frac{1}{2},$

$$\begin{gathered} х = {5\frac{1}{2}}^{\overline{)·2}}+5\frac{3}{4}=5\frac{2}{4}+5\frac{3}{4}=10\frac{5}{4}= \\ =10+1\frac{1}{4}=11\frac{1}{4}. \end{gathered}$$

При $В = 3\frac{13}{16};$

$$\begin{gathered} х = 3\frac{13}{16}+{5\frac{3}{4}}^{\overline{)·4}}= 3\frac{13}{16}+5\frac{12}{16}=8\frac{25}{16}= \\ =8+1\frac{9}{16}=9\frac{9}{16}. \end{gathered}$$

При В = 0, $х = 0 + 5\frac{3}{4}=5\frac{3}{4}.$

а)

Найдем значение $B$ для каждого значения $x$, подставляя его в формулу $B = x - 5\frac{3}{4}$.

• При $x = 6$:

  $B = 6 - 5\frac{3}{4}$

  Представим $6$ в виде смешанного числа со знаменателем $4$: $6 = 5 + 1 = 5\frac{4}{4}$.

  $B = 5\frac{4}{4} - 5\frac{3}{4} = \frac{1}{4}$

• При $x = 6\frac{1}{2}$:

  $B = 6\frac{1}{2} - 5\frac{3}{4}$

  Приведем дроби к общему знаменателю $4$: $6\frac{1}{2} = 6\frac{2}{4}$.

  $B = 6\frac{2}{4} - 5\frac{3}{4}$

  Так как дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, "займем" единицу у целой части: $6\frac{2}{4} = 5\frac{6}{4}$.

  $B = 5\frac{6}{4} - 5\frac{3}{4} = \frac{3}{4}$

• При $x = 7\frac{3}{8}$:

  $B = 7\frac{3}{8} - 5\frac{3}{4}$

  Приведем дроби к общему знаменателю $8$: $5\frac{3}{4} = 5\frac{6}{8}$.

  $B = 7\frac{3}{8} - 5\frac{6}{8}$

  "Займем" единицу у целой части: $7\frac{3}{8} = 6\frac{11}{8}$.

  $B = 6\frac{11}{8} - 5\frac{6}{8} = 1\frac{5}{8}$

Ответ: при $x = 6$, $B = \frac{1}{4}$; при $x = 6\frac{1}{2}$, $B = \frac{3}{4}$; при $x = 7\frac{3}{8}$, $B = 1\frac{5}{8}$.

б)

Чтобы найти $x$, выразим его из исходной формулы $B = x - 5\frac{3}{4}$.

$x = B + 5\frac{3}{4}$

Теперь найдем значение $x$ для каждого значения $B$.

• При $B = 5\frac{1}{2}$:

  $x = 5\frac{1}{2} + 5\frac{3}{4}$

  Приведем дроби к общему знаменателю $4$: $5\frac{1}{2} = 5\frac{2}{4}$.

  $x = 5\frac{2}{4} + 5\frac{3}{4} = 10\frac{5}{4}$

  Выделим целую часть из неправильной дроби: $\frac{5}{4} = 1\frac{1}{4}$.

  $x = 10 + 1\frac{1}{4} = 11\frac{1}{4}$

• При $B = 3\frac{13}{16}$:

  $x = 3\frac{13}{16} + 5\frac{3}{4}$

  Приведем дроби к общему знаменателю $16$: $5\frac{3}{4} = 5\frac{12}{16}$.

  $x = 3\frac{13}{16} + 5\frac{12}{16} = 8\frac{25}{16}$

  Выделим целую часть: $\frac{25}{16} = 1\frac{9}{16}$.

  $x = 8 + 1\frac{9}{16} = 9\frac{9}{16}$

• При $B = 0$:

  $x = 0 + 5\frac{3}{4} = 5\frac{3}{4}$

Ответ: при $B = 5\frac{1}{2}$, $x = 11\frac{1}{4}$; при $B = 3\frac{13}{16}$, $x = 9\frac{9}{16}$; при $B = 0$, $x = 5\frac{3}{4}$.

2.214. Баржа наполняется зерном через первую трубу за 6 ч, а через вторую — за 8 ч. Какую часть баржи останется наполнить после совместной работы обеих труб в течение часа?

2.214

1 труба - за 6 ч

2 труба - за 8 ч.

Остаток - ? частей после совместной работы.

$\mathbf{1}\mathbf{)} 1 : 6 =\frac{1}{6}$(часть) – наполнит за 1 час первая труба;

$\mathbf{2}\mathbf{)} 1 : 8 =\frac{1}{8}$(часть) – наполнит за 1 час вторая труба;

$\mathbf{3}\mathbf{)} {\frac{1}{6}}^{\overline{)·4}}+{\frac{1}{8}}^{\overline{)3}}=\frac{4}{24}+\frac{3}{24}=\frac{7}{24}$(часть) – наполнят за 1 час обе трубы вместе;

$\mathbf{4}\mathbf{)}\mathbf{ }1 - \frac{7}{24}=\frac{24}{24}-\frac{7}{24}=\frac{17}{24}$(часть) – останется наполнить.

Ответ: $\frac{17}{24}$ баржи.

Для решения этой задачи необходимо выполнить следующие действия:

1. Определить производительность каждой трубы.

Производительность — это часть работы, выполняемая за единицу времени. Всю работу (наполнение баржи) примем за 1.

• Первая труба наполняет баржу за 6 часов, значит, её производительность составляет $ \frac{1}{6} $ баржи в час.

• Вторая труба наполняет баржу за 8 часов, значит, её производительность составляет $ \frac{1}{8} $ баржи в час.

2. Найти совместную производительность двух труб.

При одновременной работе производительности складываются. Найдем, какую часть баржи наполнят обе трубы за один час совместной работы:

$ \frac{1}{6} + \frac{1}{8} $

Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для чисел 6 и 8 — это 24.

$ \frac{1 \cdot 4}{6 \cdot 4} + \frac{1 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{4}{24} + \frac{3}{24} = \frac{7}{24} $

Таким образом, за 1 час совместной работы обе трубы наполнят $ \frac{7}{24} $ часть баржи.

3. Вычислить, какая часть баржи останется незаполненной.

Чтобы найти оставшуюся для заполнения часть, нужно из целой баржи (1) вычесть уже заполненную часть:

$ 1 - \frac{7}{24} = \frac{24}{24} - \frac{7}{24} = \frac{17}{24} $

Ответ: после совместной работы обеих труб в течение часа останется наполнить $ \frac{17}{24} $ часть баржи.

2.215. Первый комбайн может убрать поле за 16 ч, а второй — за 24 ч. Первый комбайн работал 7 ч, а второй — 11 ч. Какая часть поля осталась неубранной?

2.215

Какая часть осталась - ?.

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }7 : 16 = \frac{7}{16}$(часть)– уберет за 7 часов первый комбайн;

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }11 : 24 = \frac{11}{24}$(часть) – уберет за 11 часов второй комбайн;

$\mathbf{3}\mathbf{)} {\frac{7}{16}}^{\overline{)·3}}+{\frac{11}{24}}^{\overline{)·2}}=\frac{21}{48}+\frac{22}{48}=\frac{43}{48}$(часть) – уберут за 1 час оба комбайна вместе;

$\mathbf{4}\mathbf{)} 1- \frac{43}{48}=\frac{48}{48}-\frac{43}{48}=\frac{5}{48}$(часть) – останется убрать.

Ответ: $\frac{5}{48}$ поля.

Чтобы решить эту задачу, нужно сначала определить, какую часть поля каждый комбайн убирает за один час (его производительность). Затем вычислить, какую часть поля убрал каждый комбайн за свое время работы. Сложив эти части, мы найдем общую убранную долю поля. Наконец, вычтя эту долю из единицы (целое поле), мы получим оставшуюся неубранную часть.

Примем всё поле за 1.

Производительность первого комбайна, который убирает всё поле за 16 часов, равна $ \frac{1}{16} $ поля в час. Он работал 7 часов, следовательно, убрал: $ \frac{1}{16} \times 7 = \frac{7}{16} $ часть поля.

Производительность второго комбайна, который убирает всё поле за 24 часа, равна $ \frac{1}{24} $ поля в час. Он работал 11 часов, следовательно, убрал: $ \frac{1}{24} \times 11 = \frac{11}{24} $ часть поля.

Чтобы найти общую убранную часть поля, сложим доли, убранные каждым комбайном. Для этого приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для чисел 16 и 24 равно 48.

$ \frac{7}{16} + \frac{11}{24} = \frac{7 \cdot 3}{16 \cdot 3} + \frac{11 \cdot 2}{24 \cdot 2} = \frac{21}{48} + \frac{22}{48} = \frac{21 + 22}{48} = \frac{43}{48} $

Вместе комбайны убрали $ \frac{43}{48} $ всего поля.

Чтобы найти, какая часть поля осталась неубранной, вычтем убранную часть из целого (1):

$ 1 - \frac{43}{48} = \frac{48}{48} - \frac{43}{48} = \frac{5}{48} $

Ответ: неубранной осталась $ \frac{5}{48} $ часть поля.

2.216. Котлован под фундамент нового здания первый экскаватор может выкопать за 8 дней, второй — за 12 дней, а третий — за 15 дней. Какую часть котлована останется выкопать после того, как первый экскаватор отработает 3 дня, второй — 5 дней, а третий — 2 дня?

2.216

Какая часть осталась - ?.

$\mathbf{1}\mathbf{)} 3 : 8 =\frac{3}{8}$(часть) – выкопает за 3 дня первый экскаватор;

$\mathbf{2}\mathbf{)} 5 : 12 =\frac{5}{12}$(часть) – выкопает за 5 дней второй экскаватор;

$\mathbf{3}\mathbf{)} 2 : 15 =\frac{2}{15}$(часть) – выкопает за 2 дня третий экскаватор;

$\mathbf{4}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{3}{8}}^{\overline{)·15}}+{\frac{5}{12}}^{\overline{)·10}}+{\frac{2}{15}}^{\overline{)·8}}=\frac{45}{120}+$

$+\frac{50}{120}+\frac{16}{120}=\frac{11}{120}$(часть) - выкопают они вместе;

$\mathbf{5}\mathbf{)}\mathbf{ }1 - \frac{111}{120}=\frac{120}{120}-\frac{111}{120}=\frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{9}}}}{{\displaystyle \underset{40}{\cancel{120}}}}=\frac{3}{40}$(часть) – останется выкопать.

Ответ: $\frac{3}{40}$котлована

Для решения этой задачи необходимо последовательно выполнить несколько шагов. Примем весь объем работы по выкапыванию котлована за 1 (единицу).

1. Определение производительности каждого экскаватора

Производительность — это часть работы, которую экскаватор выполняет за один день.

• Производительность первого экскаватора, который может выполнить всю работу за 8 дней, составляет $ \frac{1}{8} $ котлована в день.

• Производительность второго экскаватора, выполняющего работу за 12 дней, составляет $ \frac{1}{12} $ котлована в день.

• Производительность третьего экскаватора, выполняющего работу за 15 дней, составляет $ \frac{1}{15} $ котлована в день.

2. Расчет выполненной части работы

Теперь вычислим, какую часть котлована выкопал каждый экскаватор за отведенное ему время.

• Первый экскаватор работал 3 дня и выкопал: $ 3 \times \frac{1}{8} = \frac{3}{8} $ часть котлована.

• Второй экскаватор работал 5 дней и выкопал: $ 5 \times \frac{1}{12} = \frac{5}{12} $ часть котлована.

• Третий экскаватор работал 2 дня и выкопал: $ 2 \times \frac{1}{15} = \frac{2}{15} $ часть котлована.

3. Нахождение общей выполненной части котлована

Чтобы найти общую часть выкопанного котлована, сложим части, выполненные каждым экскаватором. Для сложения дробей $ \frac{3}{8} $, $ \frac{5}{12} $ и $ \frac{2}{15} $ их нужно привести к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное (НОК) для чисел 8, 12 и 15 равно 120.

$ \frac{3}{8} + \frac{5}{12} + \frac{2}{15} = \frac{3 \cdot 15}{120} + \frac{5 \cdot 10}{120} + \frac{2 \cdot 8}{120} = \frac{45}{120} + \frac{50}{120} + \frac{16}{120} $

Сложим числители полученных дробей:

$ \frac{45 + 50 + 16}{120} = \frac{111}{120} $

Эту дробь можно сократить на 3:

$ \frac{111 \div 3}{120 \div 3} = \frac{37}{40} $

Таким образом, все три экскаватора вместе выкопали $ \frac{37}{40} $ часть котлована.

4. Определение оставшейся части работы

Чтобы найти, какую часть котлована осталось выкопать, нужно из всего объема работы (1) вычесть уже выполненную часть.

$ 1 - \frac{37}{40} = \frac{40}{40} - \frac{37}{40} = \frac{3}{40} $

Ответ: останется выкопать $ \frac{3}{40} $ часть котлована.

2.217. От рулона полиэтиленовой плёнки длиной 40 м отрезали кусок длиной 445 м. Сколько метров плёнки осталось в рулоне?

2.217

Длина : 40м

Отрезали: $4\frac{4}{5}$м.

Осталось: ? м

$1) 40 - 4\frac{4}{5}=39 +1 -4\frac{4}{5}=39+\frac{5}{5}-4\frac{4}{5}=$

$= (39 - 4) +\left(\frac{5}{5}-\frac{4}{5}\right)=35\frac{1}{5}$(м) – пленки осталось в рулоне.

Ответ: $35\frac{1}{5}$ м.

Чтобы найти, сколько метров плёнки осталось в рулоне, необходимо из первоначальной длины рулона вычесть длину отрезанного куска.

Первоначальная длина плёнки: $40$ м.

Длина отрезанного куска: $4\frac{4}{5}$ м.

Для решения задачи нужно выполнить вычитание: $40 - 4\frac{4}{5}$.

Чтобы вычесть смешанное число из целого, представим целое число 40 в виде смешанного числа со знаменателем 5. Для этого мы "займем" единицу у 40. Получится 39 целых, а единицу представим в виде дроби $\frac{5}{5}$.

$40 = 39 + 1 = 39\frac{5}{5}$

Теперь произведем вычитание. Отдельно вычитаем целые части и отдельно дробные части:

$39\frac{5}{5} - 4\frac{4}{5} = (39 - 4) + (\frac{5}{5} - \frac{4}{5}) = 35 + \frac{1}{5} = 35\frac{1}{5}$

Таким образом, в рулоне осталось $35\frac{1}{5}$ м плёнки.

Ответ: $35\frac{1}{5}$ м.

2.218. Артем делал домашнее задание по математике 715 ч, задание по русскому языку 35 ч. Сколько времени потратил Артём на подготовку задания по географии, если на подготовку всех трёх предметов он потратил 1.5 ч?

2.218

$\mathbf{1}\mathbf{)} \frac{7}{15}+{\frac{3}{5}}^{\overline{)·3}}=\frac{7}{15}+\frac{9}{15}=\frac{16}{15}=1\frac{1}{15}$(ч) – потратил на задание по математике и русскому языку;

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }1,5 -1\frac{1}{15}=1\underset{2}{\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{5}}}}{\cancel{10}}}-1\frac{1}{15}={1\frac{1}{2}}^{\overline{)·15}}-{1\frac{1}{15}}^{\overline{)·2}}=$

$=1\frac{15}{30}-1\frac{2}{30}=\frac{13}{30}$(ч) – затратил на задание по географии.

Ответ: $\frac{13}{30}$ ч

Для того чтобы узнать, сколько времени Артём потратил на подготовку задания по географии, нужно из общего времени, затраченного на все три предмета, вычесть время, которое ушло на математику и русский язык.

1. Найдём общее время, потраченное на математику и русский язык.

Для этого сложим время, затраченное на каждый из этих предметов: $ \frac{7}{15} $ часа на математику и $ \frac{3}{5} $ часа на русский язык. Чтобы сложить дроби, приведём их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 15 и 5 это 15.

$ \frac{3}{5} = \frac{3 \times 3}{5 \times 3} = \frac{9}{15} $

Теперь выполним сложение:

$ \frac{7}{15} + \frac{9}{15} = \frac{7+9}{15} = \frac{16}{15} $ ч.

2. Найдём время, которое было потрачено на географию.

Общее время на подготовку всех трёх заданий составляет 1,5 часа. Вычтем из этого времени сумму времени, потраченную на математику и русский язык. Для удобства вычислений представим 1,5 часа в виде неправильной дроби:

$ 1,5 = 1 \frac{5}{10} = 1 \frac{1}{2} = \frac{3}{2} $ ч.

Теперь выполним вычитание: $ \frac{3}{2} - \frac{16}{15} $. Приведём дроби к общему знаменателю 30:

$ \frac{3}{2} = \frac{3 \times 15}{2 \times 15} = \frac{45}{30} $

$ \frac{16}{15} = \frac{16 \times 2}{15 \times 2} = \frac{32}{30} $

Выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

$ \frac{45}{30} - \frac{32}{30} = \frac{45 - 32}{30} = \frac{13}{30} $ ч.

Ответ: на подготовку задания по географии Артём потратил $ \frac{13}{30} $ ч.

2.219. Когда из корзины взяли часть яблок, то в ней осталось 3 кг яблок. Сколько килограммов яблок осталось бы в корзине, если бы из неё взяли на 14 кг яблок больше; на 35 кг яблок меньше?

2.219

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }3 - \frac{1}{4}=2 + 1-\frac{1}{4}=2\frac{4}{4}-\frac{1}{4}=2\frac{3}{4}$(кг) – осталось бы в корзине;

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }3+ \frac{3}{5}=3\frac{3}{5}$(кг) – осталось бы в корзине.

Ответ: $2\frac{3}{4}$кг и $3\frac{3}{5}$ кг.

на 1/4 кг яблок больше?

По условию, в корзине осталось 3 кг яблок. Если бы из нее взяли на $\frac{1}{4}$ кг яблок больше, то в корзине осталось бы на $\frac{1}{4}$ кг яблок меньше. Чтобы найти, сколько яблок осталось бы в этом случае, нужно из 3 кг вычесть $\frac{1}{4}$ кг.
Для удобства вычисления представим целое число 3 в виде смешанного числа: $3 = 2 + 1 = 2 + \frac{4}{4} = 2\frac{4}{4}$.
$3 - \frac{1}{4} = 2\frac{4}{4} - \frac{1}{4} = 2\frac{4-1}{4} = 2\frac{3}{4}$ кг.
Ответ: $2\frac{3}{4}$ кг.

на 3/5 кг яблок меньше?

Если бы из корзины взяли на $\frac{3}{5}$ кг яблок меньше, то в ней, наоборот, осталось бы на $\frac{3}{5}$ кг яблок больше. Чтобы найти, сколько яблок осталось бы в этом случае, нужно к 3 кг прибавить $\frac{3}{5}$ кг.
Выполним сложение:
$3 + \frac{3}{5} = 3\frac{3}{5}$ кг.
Ответ: $3\frac{3}{5}$ кг.

1. На теневой стороне Луны (не на полюсах) температура опускается до –173 °C , а на стороне, обращённой к Солнцу, она может достигать +127 °C в зависимости от степени освещённости. Температура лунных пород на глубине 1 м постоянна и равна –35 °C . Чему равен перепад температур: а) между теневой и солнечной сторонами; б) на поверхности и на глубине 1 м?

Применяем математику

1.

а) 127°С – (–173°С) = 127°С + 173°С = 300°С – перепад температур

б) –35°С – (–173°С) = – 35°С + 173°С = 173°С – 35°С = 138°С – на теневой стороне Луны

127°С – (–35°С) = 127°С + 35°С = 162°С – на солнечной стороне Луны.

Ответ: а) 300°С; б)138°С; 162°С.

а) Чтобы найти перепад температур между теневой и солнечной сторонами Луны, нужно вычислить разность между максимальной температурой (на солнечной стороне) и минимальной температурой (на теневой стороне).

Максимальная температура: $T_{max} = +127 \text{ °C}$.

Минимальная температура: $T_{min} = -173 \text{ °C}$.

Перепад температур $\Delta T$ вычисляется по формуле:

$\Delta T = T_{max} - T_{min}$

Подставим числовые значения:

$\Delta T = 127 \text{ °C} - (-173 \text{ °C}) = 127 + 173 = 300 \text{ °C}$.

Ответ: перепад температур между теневой и солнечной сторонами равен $300 \text{ °C}$.

б) Чтобы найти перепад температур между поверхностью и глубиной 1 м, необходимо рассмотреть два случая, так как температура на поверхности сильно колеблется, в то время как на глубине она постоянна.

Температура на глубине 1 м: $T_{глубина} = -35 \text{ °C}$.

1. Перепад температур между освещенной Солнцем поверхностью и глубиной 1 м:

Температура на солнечной стороне: $T_{солнце} = +127 \text{ °C}$.

$\Delta T_1 = |T_{солнце} - T_{глубина}| = |127 \text{ °C} - (-35 \text{ °C})| = |127 + 35| = 162 \text{ °C}$.

2. Перепад температур между теневой стороной поверхности и глубиной 1 м:

Температура на теневой стороне: $T_{тень} = -173 \text{ °C}$.

$\Delta T_2 = |T_{тень} - T_{глубина}| = |-173 \text{ °C} - (-35 \text{ °C})| = |-173 + 35| = |-138| = 138 \text{ °C}$.

Ответ: перепад температур между поверхностью и глубиной 1 м составляет $162 \text{ °C}$ для солнечной стороны и $138 \text{ °C}$ для теневой стороны.

2. На солнечной стороне планеты Меркурий (самая близкая к Солнцу планета) температура достигает +350 °C , а на теневой стороне температура равна –170 °C . На сколько температура на солнечной стороне больше температуры на теневой стороне? Ответ округлите до сотых.

2.

На солнечной - +350°С

На теневой - –170°С

350°С – (–170°С) = 350°С + 170°С = 520°С ≈ 520,00 °С – больше температура

Ответ: на 520,00 °С

Чтобы определить, на сколько температура на солнечной стороне Меркурия больше, чем на теневой, нужно найти разность между максимальной и минимальной температурами. Температура на солнечной стороне составляет $T_{1} = +350 \space °C$, а на теневой стороне $T_{2} = -170 \space °C$.

Разность температур $(\Delta T)$ вычисляется как вычитание меньшей температуры из большей:

$\Delta T = T_{1} - T_{2}$

Подставим числовые значения:

$\Delta T = (+350 \space °C) - (-170 \space °C)$

Вычитание отрицательного числа равносильно сложению положительного числа:

$\Delta T = 350 \space °C + 170 \space °C = 520 \space °C$

Таким образом, разница температур составляет $520 \space °C$.

По условию задачи, ответ необходимо округлить до сотых. Целое число $520$ можно записать в виде десятичной дроби, добавив два знака после запятой:

$520 = 520,00$

Ответ: $520,00$.

3. Королевский пингвин способен выдержать температуру до –60 °C . Самым морозоустойчивым животным в мире является полярная утка, которая может выдержать температуру на 50 °C ниже. Белые медведи выдерживают температуру на 20 °C ниже, чем пингвины, что на 45 °C ниже температуры, которую выдерживают моржи. Какие температуры выдерживают белые медведи, моржи и полярные утки?

3.

1) -60°С + (– 50°С) = -110°С – выдерживает полярная утка;

2) -60°С + (-20°С) = -80°С – выдерживает белый медведь;

3) -80°С + 45°С = -(80°С – 45°С) = -35°С – выдерживает морж.

Ответ: -80°С, -35°С, -110°С.

Для решения задачи последовательно найдем температуру, которую выдерживает каждое животное, используя данные из условия.

Белые медведи

В условии сказано, что королевский пингвин выдерживает температуру до $-60^{\circ}C$. Белые медведи выдерживают температуру на $20^{\circ}C$ ниже, чем пингвины. Чтобы найти эту температуру, нужно из температуры, которую выдерживает пингвин, вычесть $20^{\circ}C$.

$ -60^{\circ}C - 20^{\circ}C = -80^{\circ}C $

Ответ: Белые медведи выдерживают температуру до $-80^{\circ}C$.

Моржи

Мы выяснили, что белые медведи выдерживают температуру $-80^{\circ}C$. В условии говорится, что эта температура на $45^{\circ}C$ ниже, чем температура, которую выдерживают моржи. Это означает, что моржи выдерживают температуру на $45^{\circ}C$ выше, чем белые медведи. Для нахождения этой температуры к температуре белых медведей прибавим $45^{\circ}C$.

$ -80^{\circ}C + 45^{\circ}C = -35^{\circ}C $

Ответ: Моржи выдерживают температуру до $-35^{\circ}C$.

Полярные утки

В условии сказано, что полярная утка может выдержать температуру на $50^{\circ}C$ ниже, чем пингвин (который выдерживает $-60^{\circ}C$). Чтобы найти эту температуру, нужно из температуры пингвина вычесть $50^{\circ}C$.

$ -60^{\circ}C - 50^{\circ}C = -110^{\circ}C $

Ответ: Полярные утки выдерживают температуру до $-110^{\circ}C$.

4. Альпинисты планируют подъём в горы на высоту 5860 м. Через каждый километр подъёма термометр показывает примерно на 6 °C меньше. Нужно ли им приобрести зимнее снаряжение для этой экспедиции? Рассчитайте температуру воздуха на этой высоте, если у подножия горы 14 °C.

4.

5860 м = 5 км 860 м = 5,86 км

1) 5,86 • 6°С = 35,16°С – меньше показывает на высоте 5000 м

2) 14°С – 35,16°С = – (35,16 – 14)= – 21,16°С – показывает на высоте 5000 м

Ответ: нужно приобрести зимнее снаряжение.

Для решения задачи необходимо выполнить два шага: сначала рассчитать температуру на планируемой высоте, а затем на основе этого расчета сделать вывод о необходимости зимнего снаряжения.

Рассчитайте температуру воздуха на этой высоте, если у подножия горы 14 °C.

1. Переведем высоту подъема из метров в километры, так как изменение температуры дано на каждый километр. В одном километре 1000 метров.

$5860 \text{ м} = \frac{5860}{1000} \text{ км} = 5.86 \text{ км}$

2. Рассчитаем общее понижение температуры. Известно, что с каждым километром подъема температура падает на 6 °C.

Общее падение температуры $= 5.86 \text{ км} \times 6 \frac{\text{°C}}{\text{км}} = 35.16 \text{ °C}$

3. Найдем итоговую температуру на высоте 5860 м. Для этого вычтем общее падение температуры из температуры у подножия горы.

$T_{высота} = T_{подножие} - \text{Общее падение температуры}$

$T_{высота} = 14 \text{ °C} - 35.16 \text{ °C} = -21.16 \text{ °C}$

Ответ: Температура воздуха на высоте 5860 м составит -21.16 °C.

Нужно ли им приобрести зимнее снаряжение для этой экспедиции?

Рассчитанная температура на вершине, куда планируют подняться альпинисты, составляет примерно -21 °C. Такая температура является очень низкой и соответствует суровым зимним условиям. Нахождение на такой высоте при отрицательной температуре, которая может ощущаться еще ниже из-за ветра (ветро-холодовой индекс), без соответствующей экипировки смертельно опасно. Поэтому теплое зимнее снаряжение является обязательным.

Ответ: Да, альпинистам абсолютно необходимо приобрести зимнее снаряжение для этой экспедиции.

5. Ярослав живёт на семнадцатом этаже многоэтажного дома с подземным трёхэтажным гаражом (в лифте они указаны числами –1, –2, –3). Может ли Ярослав, выйдя из своей квартиры, спуститься на лифте на девятнадцать этажей? Какую кнопку он должен нажать?

5.

17 – 19 = 17 + (-19) = -(19 – 17) = -2

Ответ: может, нажать кнопку «-2»

Может ли Ярослав, выйдя из своей квартиры, спуститься на лифте на девятнадцать этажей?

Ярослав находится на 17-м этаже. Чтобы определить, на какой этаж он попадёт, спустившись на 19 этажей, нужно из его текущего этажа вычесть 19.

Произведём вычисление: $17 - 19 = -2$.

Результат вычисления равен -2. В условии задачи указано, что в доме есть подземный гараж с этажами, обозначенными в лифте как -1, -2 и -3. Так как этаж «-2» существует, Ярослав может спуститься на 19 этажей.

Ответ: Да, может.

Какую кнопку он должен нажать?

Поскольку при спуске на 19 этажей с 17-го он окажется на -2-м этаже, ему необходимо нажать кнопку, которая соответствует этому этажу.

Ответ: Он должен нажать кнопку «-2».

6. В таблице указаны доходы и расходы фирмы за первый и второй кварталы.

а) Заполните последнюю колонку таблицы.

б) Поставьте в соответствие каждому из указанных периодов времени характеристики доходов и расходов.

в) Составьте свою таблицу доходов и расходов за месяц.

6.

а)

б) А1, А4; Б3; В4; Г2

в)

а)

Чтобы заполнить последнюю колонку таблицы, необходимо для каждого месяца найти разницу между доходом и расходом. Расчет производится по формуле: Разница = Доход – Расход.

Выполним вычисления для каждого месяца:
Январь: $120 - 115 = 5$ млн р.
Февраль: $130 - 135 = -5$ млн р. (убыток)
Март: $145 - 125 = 20$ млн р.
Апрель: $125 - 125 = 0$ млн р.
Май: $135 - 95 = 40$ млн р.
Июнь: $155 - 105 = 50$ млн р.

Заполненная таблица:

Ответ: Разницы по месяцам: 5, -5, 20, 0, 40, 50 (в млн р.).

б)

Проанализируем каждую характеристику и сопоставим ее с данными по месяцам (Февраль, Март, Май, Июнь).

Характеристика 1: Расход в этом месяце больше, чем расход в предыдущем.
- Февраль: Расход 135 млн р., расход в январе 115 млн р. ($135 > 115$). Подходит.
- Июнь: Расход 105 млн р., расход в мае 95 млн р. ($105 > 95$). Подходит.

Характеристика 2: Наибольшая разница между доходом и расходом.
- Из пункта а) мы знаем, что разницы составляют: 5, -5, 20, 0, 40, 50. Наибольшее значение, 50 млн р., было в июне. Следовательно, эта характеристика однозначно соответствует июню.

Характеристика 3: Наибольший доход в период с февраля по май.
- Доходы за этот период: Февраль - 130, Март - 145, Апрель - 125, Май - 135. Наибольший доход, 145 млн р., был в марте. Следовательно, эта характеристика однозначно соответствует марту.

Характеристика 4: Доход в этом месяце меньше, чем в последующем.
- Февраль: Доход 130 млн р., доход в марте 145 млн р. ($130 < 145$). Подходит.
- Май: Доход 135 млн р., доход в июне 155 млн р. ($135 < 155$). Подходит.

Теперь установим однозначное соответствие:
1. Март (Б) однозначно соответствует характеристике 3.
2. Июнь (Г) однозначно соответствует характеристике 2.
3. Остались месяцы Февраль (А) и Май (В) и характеристики 1 и 4. Проверим Май (В) на соответствие характеристике 1: "Расход в этом месяце больше, чем расход в предыдущем". Расход в мае (95) меньше расхода в апреле (125), поэтому характеристика 1 не подходит для мая. Значит, Май (В) соответствует характеристике 4.
4. Методом исключения, Февраль (А) соответствует характеристике 1.

Ответ:
А – 1
Б – 3
В – 4
Г – 2

в)

Ниже представлена сводная таблица доходов, расходов и разницы между ними за период с января по июнь.

Ответ: Заполненная таблица представлена выше.