Страница 81, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

Вопросы:

Сформулируйте правило умножения дроби на натуральное число.

Сформулируйте алгоритм умножения двух дробей.

Как выполнить умножение смешанных чисел?

Назовите свойства умножения дробей.

Чему равно произведение смешанного числа и нуля; смешанного числа и единицы?

12. Действие умножения смешанных чисел

Вопросы к параграфу

• чтобы умножить дробь на число, нужно числитель дроби умножить на это число, а знаменатель оставить прежним, при возможности сократить полученную дробь

• чтобы умножить две обыкновенные дроби, нужно перемножить их числители и перемножить их знаменатели, первое полученное число записать в числитель дроби, второе полученное число записать в знаменатель дроби, при возможности сократить полученную дробь

• чтобы найти произведение смешанных чисел, надо представить их в виде неправильных дробей, а затем применить алгоритм умножения дробей

• переместительное свойство: а • b = b • а
  сочетательное свойство: а • (b • с) = (а • b) • c

• а • 0 = 0 • а = 0
  а • 1 = 1 • а = а

Сформулируйте правило умножения дроби на натуральное число.

Чтобы умножить обыкновенную дробь на натуральное число, нужно числитель этой дроби умножить на данное число, а знаменатель оставить без изменений. Если в результате умножения получается неправильная дробь (числитель больше знаменателя или равен ему), то из нее следует выделить целую часть.

В виде формулы это правило записывается так: $ \frac{a}{b} \cdot n = \frac{a \cdot n}{b} $, где $ \frac{a}{b} $ — дробь, а $ n $ — натуральное число.

Например: $ \frac{3}{8} \cdot 5 = \frac{3 \cdot 5}{8} = \frac{15}{8} = 1\frac{7}{8} $.

Ответ: Чтобы умножить дробь на натуральное число, надо ее числитель умножить на это число, а знаменатель оставить без изменения.

Сформулируйте алгоритм умножения двух дробей.

Алгоритм умножения двух дробей состоит в следующем: нужно перемножить числители этих дробей, чтобы получить новый числитель, и перемножить их знаменатели, чтобы получить новый знаменатель. Перед умножением рекомендуется, если возможно, сократить дробь, разделив числитель одной дроби и знаменатель другой на их общий делитель.

Формула умножения двух дробей: $ \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} $.

Например: $ \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{7} = \frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 7} = \frac{6}{35} $.

Ответ: Чтобы умножить одну дробь на другую, нужно перемножить их числители — это будет числитель произведения, и перемножить их знаменатели — это будет знаменатель произведения.

Как выполнить умножение смешанных чисел?

Для выполнения умножения смешанных чисел необходимо следовать алгоритму:

1. Представить каждое смешанное число в виде неправильной дроби. Для этого целую часть умножают на знаменатель дробной части и прибавляют к полученному произведению числитель дробной части. Результат записывают в числитель, а знаменатель оставляют прежним. Формула: $ A\frac{b}{c} = \frac{A \cdot c + b}{c} $.
2. Выполнить умножение полученных неправильных дробей по правилу умножения дробей.
3. Если в результате получилась неправильная дробь, ее следует преобразовать обратно в смешанное число, разделив числитель на знаменатель с остатком.

Например: $ 2\frac{1}{3} \cdot 1\frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} \cdot \frac{1 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{7}{3} \cdot \frac{5}{4} = \frac{7 \cdot 5}{3 \cdot 4} = \frac{35}{12} = 2\frac{11}{12} $.

Ответ: Чтобы умножить смешанные числа, их нужно сначала представить в виде неправильных дробей, затем перемножить эти дроби, и, при необходимости, преобразовать результат обратно в смешанное число.

Назовите свойства умножения дробей.

Умножение дробей обладает теми же свойствами, что и умножение натуральных чисел. Для любых дробей $ \frac{a}{b} $, $ \frac{c}{d} $ и $ \frac{e}{f} $ справедливы следующие свойства:

• Переместительное свойство: от перестановки множителей произведение не меняется.
  $ \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{c}{d} \cdot \frac{a}{b} $
• Сочетательное свойство: чтобы произведение двух дробей умножить на третью дробь, можно первую дробь умножить на произведение второй и третьей дробей.
  $ \left(\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}\right) \cdot \frac{e}{f} = \frac{a}{b} \cdot \left(\frac{c}{d} \cdot \frac{e}{f}\right) $
• Распределительное свойство относительно сложения: чтобы умножить дробь на сумму двух дробей, можно умножить эту дробь на каждое слагаемое и полученные произведения сложить.
  $ \frac{a}{b} \cdot \left(\frac{c}{d} + \frac{e}{f}\right) = \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} + \frac{a}{b} \cdot \frac{e}{f} $

Ответ: Основные свойства умножения дробей: переместительное, сочетательное и распределительное.

Чему равно произведение смешанного числа и нуля; смешанного числа и единицы?

Как и для любых других чисел, для смешанных чисел действуют особые правила умножения на нуль и единицу.

• При умножении любого смешанного числа на нуль произведение равно нулю. Если $ A\frac{b}{c} $ — смешанное число, то $ A\frac{b}{c} \cdot 0 = 0 $.
• При умножении любого смешанного числа на единицу произведение равно этому же смешанному числу. Если $ A\frac{b}{c} $ — смешанное число, то $ A\frac{b}{c} \cdot 1 = A\frac{b}{c} $.

Ответ: Произведение смешанного числа и нуля равно нулю. Произведение смешанного числа и единицы равно самому этому смешанному числу.

2.259. Найдите произведение:

а) 56 · 3; б) 1621 · 14; в) 12 · 50; г) 13 · 813; д) 1 · 45; е) 1115 · 0.

2.259

$\mathbf{а}\mathbf{)} \frac{5}{6}· 3=\frac{5 · {\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{3}}}}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{6}}}}=\frac{5 · 1}{2}=\frac{5}{2}=2\frac{1}{2};$

$\mathbf{б}\mathbf{)} \frac{16}{21}· 14=\frac{16 · {\displaystyle \stackrel{2}{\cancel{14}}}}{{\displaystyle \underset{3}{\cancel{21}}}}=\frac{16 · 2}{3}=\frac{32}{3}=10\frac{2}{3};$

$\mathbf{в}\mathbf{)} \frac{1}{2}· 50=\frac{1 · {\displaystyle \stackrel{25}{\cancel{50}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{2}}}}=\frac{1 · 25}{1}=\frac{25}{1}=25;$

$\mathbf{г}\mathbf{)} 13· \frac{8}{13}=\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{13}}} · {\displaystyle 8}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{13}}}}=\frac{1 · 8}{1}=\frac{8}{1}=8;$

$\mathbf{д}\mathbf{)}\mathbf{ }1 · \frac{4}{5}=\frac{4}{5}$

$\mathbf{е}\mathbf{)} \frac{11}{15} · 0=0$

а) Чтобы найти произведение дроби и натурального числа, нужно числитель дроби умножить на это число, а знаменатель оставить без изменений. Затем, если возможно, сократить полученную дробь.

$\frac{5}{6} \cdot 3 = \frac{5 \cdot 3}{6} = \frac{15}{6}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 3:

$\frac{15 \div 3}{6 \div 3} = \frac{5}{2}$

Так как получилась неправильная дробь (числитель больше знаменателя), выделим целую часть:

$\frac{5}{2} = 2\frac{1}{2}$

Ответ: $2\frac{1}{2}$

б) Умножим числитель дроби на натуральное число.

$\frac{16}{21} \cdot 14 = \frac{16 \cdot 14}{21}$

Для удобства вычислений сначала сократим дробь. Заметим, что 14 и 21 делятся на 7.

$\frac{16 \cdot 14}{21} = \frac{16 \cdot (14 \div 7)}{21 \div 7} = \frac{16 \cdot 2}{3} = \frac{32}{3}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$32 \div 3 = 10$ (остаток 2)

$\frac{32}{3} = 10\frac{2}{3}$

Ответ: $10\frac{2}{3}$

в) Умножим числитель дроби на натуральное число. Это эквивалентно нахождению половины от числа 50.

$\frac{1}{2} \cdot 50 = \frac{1 \cdot 50}{2} = \frac{50}{2}$

Выполним деление:

$\frac{50}{2} = 25$

Ответ: $25$

г) Чтобы умножить натуральное число на дробь, нужно это число умножить на числитель, а знаменатель оставить без изменения.

$13 \cdot \frac{8}{13} = \frac{13 \cdot 8}{13}$

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе:

$\frac{\cancel{13} \cdot 8}{\cancel{13}} = 8$

Ответ: $8$

д) Согласно свойству умножения, при умножении любого числа на единицу, результатом будет само это число.

$1 \cdot \frac{4}{5} = \frac{4}{5}$

Ответ: $\frac{4}{5}$

е) Согласно свойству умножения, при умножении любого числа на ноль, результатом всегда будет ноль.

$\frac{11}{15} \cdot 0 = 0$

Ответ: $0$

2.260. Найдите периметр квадрата со стороной 516 дм.

2.260

а = $\frac{5}{16}$ дм, P=4 • a

$\mathrm{Р} = \frac{5}{16} · 4 = \frac{5 · {\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{4}}}}{{\displaystyle \underset{4}{\cancel{16}}}}=\frac{5}{4}=1\frac{1}{4}$(дм).

Ответ: $1\frac{1}{4}$ дм.

Периметр квадрата — это сумма длин всех его четырех сторон. Поскольку у квадрата все стороны равны, его периметр (P) можно найти, умножив длину одной стороны (a) на 4.

Формула для расчета периметра квадрата:

$P = 4 \cdot a$

В данной задаче длина стороны квадрата равна $a = \frac{5}{16}$ дм.

Подставим это значение в формулу:

$P = 4 \cdot \frac{5}{16}$

Чтобы умножить целое число на дробь, нужно это число умножить на числитель дроби, а знаменатель оставить прежним:

$P = \frac{4 \cdot 5}{16} = \frac{20}{16}$

Полученную дробь можно сократить. Разделим числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 4:

$P = \frac{20 \div 4}{16 \div 4} = \frac{5}{4}$

Можно также представить результат в виде смешанного числа, выделив целую часть:

$\frac{5}{4} = 1\frac{1}{4}$

Таким образом, периметр квадрата равен $1\frac{1}{4}$ дм.

Ответ: $1\frac{1}{4}$ дм.

2.261. Мастер изготавливает 1 деталь за 215 ч. За сколько часов он изготовит 3, 5, 15 таких же деталей?

2.261

$\mathbf{1}\mathbf{)} \frac{2}{15} · 3 = \frac{2 · {\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{3}}}}{{\displaystyle \underset{5}{\cancel{15}}}} = \frac{2 · 1}{5}=\frac{2}{5}$(ч)-3 детали;

$\mathbf{2}\mathbf{)} \frac{2}{15} · 5 = \frac{2 · {\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{5}}}}{{\displaystyle \underset{3}{\cancel{15}}}} = \frac{2 · 1}{3}=\frac{2}{3}$(ч)-5 деталей;

$\mathbf{3}\mathbf{)} \frac{2}{15} · 15 = \frac{2 · 1{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{5}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{15}}}} = \frac{2 · 1}{1}=2$ (ч)-15 деталей.

Ответ: $\frac{2}{5}$ ч; $\frac{2}{3}$ ч; 2ч.

Чтобы найти общее время, необходимое для изготовления нескольких деталей, нужно умножить время, затрачиваемое на изготовление одной детали, на количество деталей.

Время на изготовление 1 детали = $ \frac{2}{15} $ часа.

Для 3 деталей:
Найдем время, необходимое для изготовления 3 деталей, умножив время на одну деталь на 3: $ T_3 = \frac{2}{15} \cdot 3 = \frac{2 \cdot 3}{15} = \frac{6}{15} $
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 3: $ \frac{6 \div 3}{15 \div 3} = \frac{2}{5} $ часа.
Ответ: $ \frac{2}{5} $ часа.

Для 5 деталей:
Найдем время, необходимое для изготовления 5 деталей, умножив время на одну деталь на 5: $ T_5 = \frac{2}{15} \cdot 5 = \frac{2 \cdot 5}{15} = \frac{10}{15} $
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 5: $ \frac{10 \div 5}{15 \div 5} = \frac{2}{3} $ часа.
Ответ: $ \frac{2}{3} $ часа.

Для 15 деталей:
Найдем время, необходимое для изготовления 15 деталей, умножив время на одну деталь на 15: $ T_{15} = \frac{2}{15} \cdot 15 = \frac{2 \cdot 15}{15} $
Сократим 15 в числителе и знаменателе: $ T_{15} = 2 $ часа.
Ответ: 2 часа.

2.262. В треугольнике PQR сторона PQ равна 425 см, QR больше PQ в 3 раза, a PR меньше QR на 325 см. Найдите периметр треугольника.

2.262

$\mathbf{1}\mathbf{)} \frac{4}{25} · 3 = \frac{4 · 3}{25} = \frac{12}{25}$(см)-сторона QR; 

$\mathbf{2}\mathbf{)} \frac{12}{25} - \frac{3}{25} = \frac{9}{25}$(см)-сторона PR;

$\mathbf{3}\mathbf{)} Р = \frac{4}{25} + \frac{12}{25} + \frac{9}{25}=\frac{25}{25}=1$(см) .

Ответ: 1 см.

Для того чтобы найти периметр треугольника $PQR$, необходимо последовательно вычислить длины его сторон $QR$ и $PR$, а затем сложить длины всех трех сторон.

1. Найдем длину стороны QR.
По условию, длина стороны $PQ$ составляет $\frac{4}{25}$ см. Сторона $QR$ в 3 раза больше стороны $PQ$. Чтобы найти ее длину, умножим длину $PQ$ на 3:
$QR = PQ \times 3 = \frac{4}{25} \times 3 = \frac{12}{25}$ см.

2. Найдем длину стороны PR.
Известно, что сторона $PR$ меньше стороны $QR$ на $\frac{3}{25}$ см. Чтобы найти ее длину, вычтем из длины $QR$ значение $\frac{3}{25}$:
$PR = QR - \frac{3}{25} = \frac{12}{25} - \frac{3}{25} = \frac{12 - 3}{25} = \frac{9}{25}$ см.

3. Найдем периметр треугольника.
Периметр треугольника ($P$) равен сумме длин всех его сторон. Сложим длины сторон $PQ$, $QR$ и $PR$:
$P = PQ + QR + PR$
Подставим известные и вычисленные значения:
$P = \frac{4}{25} + \frac{12}{25} + \frac{9}{25}$
Так как знаменатели у всех дробей одинаковые, сложим их числители:
$P = \frac{4 + 12 + 9}{25} = \frac{25}{25} = 1$ см.

Ответ: $1$ см.

2.263. Вычислите:

а) 32 ч · 2; б) 912 ч · 4; в) 715 ч · 15; г) 1115 ч · 7.

2.263

$\mathbf{а}\mathbf{)} \frac{3}{4} \mathrm{ч} ·2 = \frac{3 · {\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{2}}}}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{4}}}}=\frac{3}{2} \mathrm{ч}=1\frac{1}{2} \mathrm{ч}$

$\mathbf{б}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{9}{12} \mathrm{ч} ·4 = \frac{9 · {\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{4}}}}{{\displaystyle \underset{3}{\cancel{12}}}}=\frac{9}{3} \mathrm{ч}=3 \mathrm{ч}$

$\mathbf{в}\mathbf{)} \frac{7}{15} \mathrm{ч} · 15 = \frac{7 · {\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{15}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{15}}}}=7 \mathrm{ч}$

$\mathit{г}\mathbf{)} \frac{11}{15} \mathrm{ч} · 7 = \frac{11 · 7}{{\displaystyle 15}}=\frac{77}{15} \mathrm{ч}=5\frac{2}{15} \mathrm{ч}$

а) Для того чтобы умножить обыкновенную дробь на натуральное число, необходимо умножить числитель дроби на это число, а знаменатель оставить без изменений.

$ \frac{3}{4} \cdot 2 = \frac{3 \cdot 2}{4} = \frac{6}{4} $

Полученная дробь является сократимой. Сократим её, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 2.

$ \frac{6}{4} = \frac{6 \div 2}{4 \div 2} = \frac{3}{2} $

Так как полученная дробь неправильная (числитель больше знаменателя), выделим из неё целую часть.

$ \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} $

Ответ: $1\frac{1}{2}$

б) Выполним умножение дроби на натуральное число.

$ \frac{9}{12} \cdot 4 = \frac{9 \cdot 4}{12} = \frac{36}{12} $

Разделим числитель на знаменатель, чтобы получить окончательный результат.

$ 36 \div 12 = 3 $

Альтернативным способом решения является сокращение дроби в процессе умножения. Заметим, что 12 делится на 4.

$ \frac{9}{12} \cdot 4 = \frac{9 \cdot \cancel{4}}{\cancel{12}_3} = \frac{9}{3} = 3 $

Ответ: $3$

в) Выполним умножение дроби на натуральное число.

$ \frac{7}{15} \cdot 15 = \frac{7 \cdot 15}{15} $

В данном случае число, на которое мы умножаем, равно знаменателю дроби. Мы можем сократить 15 в числителе и знаменателе.

$ \frac{7 \cdot \cancel{15}}{\cancel{15}} = 7 $

Ответ: $7$

г) Умножим числитель дроби на натуральное число, а знаменатель оставим прежним.

$ \frac{11}{15} \cdot 7 = \frac{11 \cdot 7}{15} = \frac{77}{15} $

Проверим, можно ли сократить полученную дробь. Числитель 77 имеет делители 1, 7, 11, 77. Знаменатель 15 имеет делители 1, 3, 5, 15. Общих делителей, кроме 1, нет, значит, дробь несократимая. Выделим целую часть из неправильной дроби.

$ 77 \div 15 = 5 $ с остатком $2$ ($15 \cdot 5 + 2 = 77$).

Таким образом, получаем смешанное число:

$ \frac{77}{15} = 5\frac{2}{15} $

Ответ: $5\frac{2}{15}$

2.264. Найдите произведение:

а) 23 · 511; б) 29 · 511; в) 712 · 56; г) 57 · 56; д) 12 · 59; е) 1112 · 79.

2.264

$\mathbf{а}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{2}{3} · \frac{5}{11} = \frac{2 · 5}{3 · 11}=\frac{10}{33}$

$\mathbf{б}\mathbf{)} \frac{2}{9} · \frac{5}{11} = \frac{2 · 5}{9 · 11}=\frac{10}{99}$

$\mathbf{в}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{7}{12} · \frac{5}{6} = \frac{7 · 5}{12 · 6}=\frac{35}{72}$

$\mathbf{г}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{5}{7} · \frac{5}{6} = \frac{5 · 5}{7 · 6}=\frac{25}{42}$

$\mathbf{д}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{1}{2} · \frac{5}{9} = \frac{1 · 5}{2 · 9}=\frac{5}{18}$

$\mathbf{е}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{11}{12} · \frac{7}{9} = \frac{11 · 7}{12 · 9}=\frac{77}{108}$

а) Чтобы найти произведение двух дробей, нужно перемножить их числители и знаменатели соответственно. Числитель первой дроби 2, второй - 5. Произведение числителей: $2 \cdot 5 = 10$. Знаменатель первой дроби 3, второй - 11. Произведение знаменателей: $3 \cdot 11 = 33$. В результате получаем дробь, которая не сокращается.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{11} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 11} = \frac{10}{33}$

Ответ: $\frac{10}{33}$

б) Умножаем числители: $2 \cdot 5 = 10$. Умножаем знаменатели: $9 \cdot 11 = 99$. Полученная дробь $\frac{10}{99}$ является несократимой.

$\frac{2}{9} \cdot \frac{5}{11} = \frac{2 \cdot 5}{9 \cdot 11} = \frac{10}{99}$

Ответ: $\frac{10}{99}$

в) Перемножим числители дробей: $7 \cdot 5 = 35$. Перемножим знаменатели дробей: $12 \cdot 6 = 72$. Получаем дробь $\frac{35}{72}$. Проверяем, можно ли сократить дробь. Общих делителей, кроме 1, у чисел 35 и 72 нет, значит дробь несократимая.

$\frac{7}{12} \cdot \frac{5}{6} = \frac{7 \cdot 5}{12 \cdot 6} = \frac{35}{72}$

Ответ: $\frac{35}{72}$

г) Найдем произведение числителей: $5 \cdot 5 = 25$. Найдем произведение знаменателей: $7 \cdot 6 = 42$. Результат умножения - дробь $\frac{25}{42}$, которая является несократимой.

$\frac{5}{7} \cdot \frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 5}{7 \cdot 6} = \frac{25}{42}$

Ответ: $\frac{25}{42}$

д) Умножаем числитель на числитель: $1 \cdot 5 = 5$. Умножаем знаменатель на знаменатель: $2 \cdot 9 = 18$. Получаем дробь $\frac{5}{18}$. Дробь несократимая.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5}{9} = \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 9} = \frac{5}{18}$

Ответ: $\frac{5}{18}$

е) Вычислим произведение числителей: $11 \cdot 7 = 77$. Вычислим произведение знаменателей: $12 \cdot 9 = 108$. Итоговая дробь $\frac{77}{108}$ не имеет общих делителей для числителя и знаменателя (кроме 1), поэтому она несократимая.

$\frac{11}{12} \cdot \frac{7}{9} = \frac{11 \cdot 7}{12 \cdot 9} = \frac{77}{108}$

Ответ: $\frac{77}{108}$

2.265. Выполните умножение:

а) 37 · 23; б) 710 · 415; в) 1516 · 1011; г) 3845 · 1819; д) 1225 · 516; е) 926 · 1318.

2.265

$\mathbf{а}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{3}{7} · \frac{2}{3} = \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{3}}} · 2}{7 · {\displaystyle \underset{1}{\cancel{3}}}}=\frac{1 · 2}{7 · 1} =\frac{2}{7}$

$\mathbf{б}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{7}{10} · \frac{4}{15} = \frac{{\displaystyle 7 · \stackrel{2}{\cancel{4}} }}{{\displaystyle \underset{5}{\cancel{10}}} · {\displaystyle 15}}=\frac{7 · 2}{5 · 15} =\frac{14}{75}$

$\mathbf{в}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{15}{16} · \frac{10}{11} =\frac{15 · {\displaystyle \stackrel{5}{\cancel{10}}}}{{\displaystyle \underset{8}{\cancel{16}}} · 11}=\frac{15 · 5}{8 · 11} =\frac{75}{88}$

$\mathbf{г}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{38}{45} · \frac{18}{19} = \frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\cancel{38}} · \stackrel{2}{\bcancel{18}}}}{{\displaystyle \underset{5}{\bcancel{45}}} · {\displaystyle \underset{1}{\cancel{19}}}}=\frac{2 · 2}{5 · 1} =\frac{4}{5}$

$\mathbf{д}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{12}{25} · \frac{5}{16} = \frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{12}} · \stackrel{1}{\bcancel{5}}}}{{\displaystyle \underset{5}{\bcancel{25}} · \underset{4}{\cancel{16}}}}=\frac{3 · 1}{5 · 4} =\frac{3}{20}$

$\mathbf{е}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{9}{26} · \frac{13}{18} = \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{9}} · \stackrel{1}{\bcancel{13}}}}{{\displaystyle \underset{2}{\bcancel{26}} · \underset{2}{\cancel{18}}}}=\frac{1 · 1}{2 · 2} =\frac{1}{4}$

а) Чтобы выполнить умножение дробей $\frac{3}{7} \cdot \frac{2}{3}$, необходимо перемножить их числители и знаменатели: $\frac{3 \cdot 2}{7 \cdot 3}$. Перед вычислением произведения, удобнее сократить общие множители в числителе и знаменателе. В данном случае можно сократить на 3: $\frac{\cancel{3}^1 \cdot 2}{7 \cdot \cancel{3}_1} = \frac{1 \cdot 2}{7 \cdot 1} = \frac{2}{7}$.
Ответ: $\frac{2}{7}$

б) Для умножения дробей $\frac{7}{10} \cdot \frac{4}{15}$ перемножим их числители и знаменатели: $\frac{7 \cdot 4}{10 \cdot 15}$. Перед вычислением, сократим дробь. Числитель 4 и знаменатель 10 имеют общий делитель 2. Сокращаем: $\frac{7 \cdot \cancel{4}^2}{\cancel{10}_5 \cdot 15} = \frac{7 \cdot 2}{5 \cdot 15} = \frac{14}{75}$.
Ответ: $\frac{14}{75}$

в) Выполним умножение дробей $\frac{15}{16} \cdot \frac{10}{11}$, перемножив числители и знаменатели: $\frac{15 \cdot 10}{16 \cdot 11}$. Сократим числитель 10 и знаменатель 16 на их общий делитель 2: $\frac{15 \cdot \cancel{10}^5}{\cancel{16}_8 \cdot 11} = \frac{15 \cdot 5}{8 \cdot 11} = \frac{75}{88}$.
Ответ: $\frac{75}{88}$

г) Для умножения $\frac{38}{45} \cdot \frac{18}{19}$ запишем произведение числителей и знаменателей: $\frac{38 \cdot 18}{45 \cdot 19}$. Произведем сокращение: 38 и 19 сокращаются на 19 ($38 \div 19 = 2$), а 18 и 45 сокращаются на 9 ($18 \div 9 = 2$, $45 \div 9 = 5$). Получаем: $\frac{\cancel{38}^2 \cdot \cancel{18}^2}{\cancel{45}_5 \cdot \cancel{19}_1} = \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 1} = \frac{4}{5}$.
Ответ: $\frac{4}{5}$

д) Выполним умножение дробей $\frac{12}{25} \cdot \frac{5}{16}$. Запишем произведение: $\frac{12 \cdot 5}{25 \cdot 16}$. Сократим дробь: 12 и 16 на 4 ($12 \div 4 = 3$, $16 \div 4 = 4$), а 25 и 5 на 5 ($25 \div 5 = 5$, $5 \div 5 = 1$). В результате: $\frac{\cancel{12}^3 \cdot \cancel{5}^1}{\cancel{25}_5 \cdot \cancel{16}_4} = \frac{3 \cdot 1}{5 \cdot 4} = \frac{3}{20}$.
Ответ: $\frac{3}{20}$

е) Умножим дроби $\frac{9}{26} \cdot \frac{13}{18}$, записав произведение числителей и знаменателей: $\frac{9 \cdot 13}{26 \cdot 18}$. Выполним сокращение: 9 и 18 на 9 ($9 \div 9 = 1$, $18 \div 9 = 2$), а 26 и 13 на 13 ($26 \div 13 = 2$, $13 \div 13 = 1$). Получаем: $\frac{\cancel{9}^1 \cdot \cancel{13}^1}{\cancel{26}_2 \cdot \cancel{18}_2} = \frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$

2.266.Выполните действие:

а) (14)²; б) (35)³; в) (911)²; г) (56)³.

2.266

$\mathbf{а}\mathbf{)}\mathbf{ }{\left(\frac{1}{4}\right)}^2=\frac{1}{4} · \frac{1}{4} =\frac{1 · 1}{4 · 4}=\frac{1}{16}$

$\mathbf{б}\mathbf{)}\mathbf{ }{\left(\frac{3}{5}\right)}^3=\frac{3}{5} · \frac{3}{5} ·\frac{3}{5} =\frac{3 · 3 · 3}{5 · 5 · 5}=\frac{27}{125}$

$\mathbf{в}\mathbf{)}\mathbf{ }{\left(\frac{9}{11}\right)}^2=\frac{9}{11} · \frac{9}{11} =\frac{9 · 9}{11 · 11}=\frac{81}{121}$

$\mathbf{г}\mathbf{)}\mathbf{ }{\left(\frac{5}{6}\right)}^3=\frac{5}{6} · \frac{5}{6} ·\frac{5}{6} =\frac{5 · 5 · 5}{6 · 6 · 6}=\frac{125}{216}$

а) Чтобы возвести дробь во вторую степень (в квадрат), необходимо возвести в квадрат отдельно ее числитель и знаменатель.
$(\frac{1}{4})^2 = \frac{1^2}{4^2} = \frac{1 \times 1}{4 \times 4} = \frac{1}{16}$.
Ответ: $\frac{1}{16}$

б) Чтобы возвести дробь в третью степень (в куб), необходимо возвести в куб отдельно ее числитель и знаменатель.
$(\frac{3}{5})^3 = \frac{3^3}{5^3} = \frac{3 \times 3 \times 3}{5 \times 5 \times 5} = \frac{27}{125}$.
Ответ: $\frac{27}{125}$

в) Для возведения дроби в квадрат возводим в квадрат числитель и знаменатель.
$(\frac{9}{11})^2 = \frac{9^2}{11^2} = \frac{9 \times 9}{11 \times 11} = \frac{81}{121}$.
Ответ: $\frac{81}{121}$

г) Для возведения дроби в куб возводим в куб числитель и знаменатель.
$(\frac{5}{6})^3 = \frac{5^3}{6^3} = \frac{5 \times 5 \times 5}{6 \times 6 \times 6} = \frac{125}{216}$.
Ответ: $\frac{125}{216}$

2.267. Ребро куба равно 58 дм. Найдите объём куба.

2.267

а = $\frac{5}{8}$ дм,V=a³

$\hspace{0.17em}\mathrm{V} ={\left(\frac{5}{8}\right)}^3=\frac{5}{8} · \frac{5}{8} · \frac{5}{8} = \frac{5 · 5 · 5}{8 · 8 · 8}=\frac{125}{512}$(дм³)

Ответ: $\frac{125}{512}$ дм³

Для того чтобы найти объём куба, необходимо воспользоваться формулой для вычисления объёма. Объём куба ($V$) равен длине его ребра ($a$), возведенной в третью степень.

Формула для вычисления объёма куба:

$V = a^3$

По условию задачи, длина ребра куба составляет $a = \frac{5}{8}$ дм.

Подставим это значение в формулу и произведем вычисления:

$V = \left(\frac{5}{8}\right)^3$

Чтобы возвести дробь в степень, нужно возвести в эту степень отдельно числитель и знаменатель дроби:

$V = \frac{5^3}{8^3} = \frac{5 \cdot 5 \cdot 5}{8 \cdot 8 \cdot 8} = \frac{125}{512}$

Следовательно, объём куба равен $\frac{125}{512}$ кубических дециметров.

Ответ: $\frac{125}{512}$ дм³.

5.30. Решите задачу, составив пропорцию:
а) Чему равна масса 50 л бензина, если масса 15 л бензина равна 10,8 кг?
б) Сколько сушёных грибов получится из 0,09 т свежих, если из 18 кг свежих белых грибов получается 2 кг сушёных?

5.30

а)

$\frac{15}{50} = \frac{10,8}{х};$

$х= \frac{{\displaystyle \stackrel{10}{\cancel{50} }}· 10,8}{{\displaystyle \underset{3}{\cancel{15}}}} = \frac{10 · {\displaystyle \stackrel{3,6}{\cancel{10,8}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{3}}}} = \frac{10 · 3,6}{1} = 36$(кг) – весят 50 л бензина

Ответ: 36 кг.

б)

$\frac{18}{90} = \frac{2}{х};$

$х = \frac{90 · {\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{2}}}}{{\displaystyle \underset{9}{\cancel{18}}}} = \frac{{\displaystyle \stackrel{10}{\cancel{90}}} · 1}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{9}}}} = \frac{10 · 1}{1} = 10$ (кг) сушеных грибов получится

Ответ: 10 кг.

а) Обозначим искомую массу 50 л бензина через $x$ кг. Поскольку масса вещества прямо пропорциональна его объему, мы можем составить пропорцию.

Составим соответствие между объемом и массой бензина:

$15 \text{ л} \quad — \quad 10,8 \text{ кг}$

$50 \text{ л} \quad — \quad x \text{ кг}$

Из этого соответствия получаем пропорцию:

$\frac{15}{50} = \frac{10,8}{x}$

Для нахождения неизвестного члена пропорции $x$ воспользуемся ее основным свойством (произведение крайних членов равно произведению средних):

$15 \cdot x = 50 \cdot 10,8$

$15x = 540$

$x = \frac{540}{15}$

$x = 36$

Следовательно, масса 50 л бензина равна 36 кг.

Ответ: 36 кг

б) Сначала приведем все массы к единой единице измерения — килограммам. В одной тонне 1000 килограммов, поэтому:

$0,09 \text{ т} = 0,09 \cdot 1000 \text{ кг} = 90 \text{ кг}$

Обозначим искомую массу сушёных грибов через $y$ кг. Масса получаемых сушёных грибов прямо пропорциональна массе свежих грибов. Составим пропорцию.

Составим соответствие между массой свежих и сушёных грибов:

$18 \text{ кг свежих} \quad — \quad 2 \text{ кг сушёных}$

$90 \text{ кг свежих} \quad — \quad y \text{ кг сушёных}$

Из этого соответствия получаем пропорцию:

$\frac{18}{90} = \frac{2}{y}$

Решим уравнение, используя основное свойство пропорции:

$18 \cdot y = 90 \cdot 2$

$18y = 180$

$y = \frac{180}{18}$

$y = 10$

Таким образом, из 0,09 т (90 кг) свежих грибов получится 10 кг сушёных.

Ответ: 10 кг

5.31. Бригада устанавливала в новом доме за смену 24 пластиковых окна, затрачивая на установку одного окна 13 ч. На сколько процентов повысится производительность труда этой бригады, если на установку окна будет затрачено 415 ч?

5.31

$\frac{24}{х} = \frac{{\displaystyle \frac{4}{15}}}{{\displaystyle \frac{1}{3}}};$

$х = \frac{{\displaystyle \stackrel{8}{\cancel{24}}} · {\displaystyle \frac{1}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{3}}}}}}{{\displaystyle \frac{4}{15}}} =\frac{8}{{\displaystyle \frac{4}{15}}} = 8 : \frac{4}{15} = \stackrel{2}{\cancel{8} }· \frac{15}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{4}}}} =$

$= 2 · \frac{15}{1} = 30$(окон) – изготовят за смену

$\frac{30}{24} · 100\% = \frac{5}{4} · 100\% = {1\frac{1}{4}}^{\overline{)·25}} · 100\% =$

$= 1,25 · 100\% = 125\%$ - стала производительность 

$125\% – 100\% = 25\%$ - повысится производительность труда

Ответ: на 25%

Для решения этой задачи необходимо сравнить производительность труда бригады до и после изменения времени на установку одного окна. Производительность труда — это количество работы (в данном случае, количество установленных окон), выполняемое за единицу времени (например, за 1 час).

Изначально на установку одного окна уходило $t_1 = \frac{1}{3}$ часа. Это означает, что начальная производительность труда ($П_1$) составляла:

$П_1 = \frac{1 \text{ окно}}{t_1} = \frac{1}{1/3 \text{ часа}} = 3$ окна в час.

В новых условиях время на установку одного окна сократилось до $t_2 = \frac{4}{15}$ часа. Новая производительность труда ($П_2$) составит:

$П_2 = \frac{1 \text{ окно}}{t_2} = \frac{1}{4/15 \text{ часа}} = \frac{15}{4}$ окна в час.

Чтобы найти, на сколько процентов новая производительность ($П_2$) больше начальной ($П_1$), нужно вычислить их отношение и выразить его в процентах. Удобнее всего найти, во сколько раз выросла производительность, а затем перевести это в проценты. Отношение новой производительности к старой равно:

$\frac{П_2}{П_1} = \frac{15/4}{3} = \frac{15}{4 \cdot 3} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4} = 1,25$

Это означает, что новая производительность составляет $1,25$ от старой, или $125\%$. Чтобы найти, на сколько процентов производительность повысилась, нужно вычесть из новой производительности в процентах начальную, которая принимается за $100\%$:

$125\% - 100\% = 25\%$

Также можно было рассчитать абсолютное изменение производительности и затем найти его процентное отношение к начальной производительности:

Абсолютное изменение: $\Delta П = П_2 - П_1 = \frac{15}{4} - 3 = \frac{15}{4} - \frac{12}{4} = \frac{3}{4}$ окна в час.

Процентное повышение: $\frac{\Delta П}{П_1} \times 100\% = \frac{3/4}{3} \times 100\% = \frac{1}{4} \times 100\% = 25\%$.

Ответ: производительность труда этой бригады повысится на 25%.

5.32. Решите уравнение:

а) 9,6 : 3 = 3,6 : (14 х); б) 6 : (4х) = 2,6 : 823.

5.32

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)}\mathbf{ }9,6 : 3 = 3,6 : \left(\frac{1}{4}\mathrm{х}\right); \\ 3,2 = 3,6 : \left(\frac{1}{4}\mathrm{х}\right); \\ \frac{1}{4}\mathrm{х} = 3,6 : 3,2; \\ \frac{1}{4}\mathrm{х} = \frac{36}{32}; \\ \mathrm{х} = \frac{36}{32} : \frac{1}{4}; \\ \mathrm{х} = \frac{36}{{\displaystyle \underset{8}{\cancel{32}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{4}}}}{1}; \\ \mathrm{х} = \frac{36}{8} · 1; \\ \mathrm{х} = \frac{9}{2} · 1; \\ \mathrm{х} =4,5. \\ \mathrm{Ответ}: 4,5. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{б}\mathbf{)} 6 : \left(4\mathrm{х}\right) = 2,6 : 8\frac{2}{3}; \\ 6 : (4\mathrm{х}) = \frac{26}{10} : \frac{26}{3}; \\ 6 : (4\mathrm{х}) = \frac{\cancel{26}}{10} · \frac{3}{\cancel{26}}; \\ 6 : (4\mathrm{х}) = \frac{1}{10} · \frac{3}{1}; \\ 6 : (4\mathrm{х}) = \frac{3}{10}; \\ 4\mathrm{х} = 6 : \frac{3}{10}; \\ 4\mathrm{х} =\stackrel{2}{ \cancel{6}} · \frac{10}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{3}}}}; \\ 4\mathrm{х} = 2 · \frac{10}{1}; \\ 4\mathrm{х} = 20; \\ \mathrm{х} = 40 ; 4; \\ \mathrm{х} = 5. \\ \mathrm{Ответ}: 5. \end{gathered}$$

а) $9,6 : 3 = 3,6 : (\frac{1}{4}x)$

Данное уравнение представляет собой пропорцию. Согласно основному свойству пропорции, произведение крайних членов равно произведению средних членов.

Запишем это свойство для нашего уравнения:

$9,6 \cdot (\frac{1}{4}x) = 3 \cdot 3,6$

Выполним вычисления в обеих частях уравнения. Сначала в правой части:

$3 \cdot 3,6 = 10,8$

Теперь упростим левую часть:

$9,6 \cdot \frac{1}{4}x = \frac{9,6}{4}x = 2,4x$

В результате получаем простое линейное уравнение:

$2,4x = 10,8$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на $2,4$:

$x = \frac{10,8}{2,4}$

Для удобства вычислений, умножим числитель и знаменатель на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей:

$x = \frac{108}{24}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 12:

$x = \frac{108:12}{24:12} = \frac{9}{2}$

Переведем неправильную дробь в десятичную:

$x = 4,5$

Ответ: $4,5$.

б) $6 : (4x) = 2,6 : 8\frac{2}{3}$

Это уравнение также является пропорцией. Применим основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних.

$6 \cdot 8\frac{2}{3} = 4x \cdot 2,6$

Для удобства вычислений преобразуем смешанное число и десятичную дробь в неправильные дроби.

$8\frac{2}{3} = \frac{8 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{26}{3}$

$2,6 = \frac{26}{10} = \frac{13}{5}$

Подставим преобразованные значения обратно в уравнение:

$6 \cdot \frac{26}{3} = 4x \cdot \frac{13}{5}$

Вычислим левую часть уравнения:

$6 \cdot \frac{26}{3} = \frac{6 \cdot 26}{3} = 2 \cdot 26 = 52$

Теперь уравнение выглядит так:

$52 = 4x \cdot \frac{13}{5}$

Упростим правую часть:

$52 = \frac{4x \cdot 13}{5} = \frac{52x}{5}$

Чтобы найти $x$, сначала разделим обе части уравнения на 52:

$1 = \frac{x}{5}$

Теперь умножим обе части на 5:

$x = 5$

Ответ: $5$.

1. Раскройте скобки и вычислите:
а) –(18 – 6);
б) –6 + (–2 + 7);
в) –(–9,1 – 1,1);
г)* –(31118 – 5,7) + (41718 + 2,3).

Проверочная работа

1.

$\mathit{а}\mathbf{)} – (18 – 6) = –18 + 6 = –12$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} – 6 + (– 2 + 7) = – 6 – 2 + 7 = \\ = –8 +7 = – 1 \end{gathered}$$

$\mathit{в}\mathbf{)} –(9,1 – 1,1) = – 9,1 + 1,1 = – 8$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)} - \left(3\frac{11}{18} - 5,7\right) + \left(4\frac{17}{18} + 2,3\right)= \\ = -3\frac{11}{18} + 5,7 + 4\frac{17}{18} + 2,3 = (5,7 + 2,3)+ \\ + \left(4\frac{17}{18} - 3\frac{11}{18}\right) = 8 + 1\frac{6}{18}=8 + 1\frac{1}{3} = 9\frac{1}{3} \end{gathered}$$

а) Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак минус, нужно заменить этот знак на плюс, а знаки всех слагаемых в скобках поменять на противоположные.
$-(18 - 6) = -18 + 6 = -12$
Ответ: $-12$

б) Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак плюс, нужно убрать этот знак и скобки, сохранив знаки слагаемых, стоящих в скобках.
$-6 + (-2 + 7) = -6 - 2 + 7 = -8 + 7 = -1$
Ответ: $-1$

в) Раскрываем скобки, меняя знаки слагаемых внутри на противоположные, так как перед скобками стоит знак минус.
$-(-9,1 - 1,1) = 9,1 + 1,1 = 10,2$
Ответ: $10,2$

г)* Сначала раскроем скобки в выражении $-(3\frac{11}{18} - 5,7) + (4\frac{17}{18} + 2,3)$.
Перед первыми скобками стоит знак минус, поэтому знаки слагаемых внутри меняются. Перед вторыми скобками стоит знак плюс, поэтому знаки слагаемых сохраняются.
$-3\frac{11}{18} + 5,7 + 4\frac{17}{18} + 2,3$
Теперь сгруппируем слагаемые: смешанные числа с смешанными числами, десятичные дроби с десятичными.
$(4\frac{17}{18} - 3\frac{11}{18}) + (5,7 + 2,3)$
Вычислим значение в каждой группе.
$4\frac{17}{18} - 3\frac{11}{18} = (4 - 3) + (\frac{17}{18} - \frac{11}{18}) = 1 + \frac{6}{18} = 1\frac{6}{18} = 1\frac{1}{3}$
$5,7 + 2,3 = 8$
Сложим полученные результаты.
$1\frac{1}{3} + 8 = 9\frac{1}{3}$
Ответ: $9\frac{1}{3}$

2. Определите, какие знаки должны стоять в рамках, и вычислите:

2.

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} 9 + (12 – 8) = 9 + 12 – 8 \\ \mathit{б}\mathbf{)} – 2,5 – (– 0,3 + 7) = – 2,5 + 0,3 – 7 \end{gathered}$$

а) В выражении $9 + (12 - 8)$ нужно раскрыть скобки. Правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак "+", гласит: скобки и знак "+" перед ними опускаются, а знаки слагаемых внутри скобок сохраняются. Таким образом, выражение $9 + (12 - 8)$ становится равносильно выражению $9 + 12 - 8$.

Следовательно, в первой рамке должен стоять знак "+", а во второй — знак "-".

Произведем вычисления для проверки:

1. Вычислим левую часть: $9 + (12 - 8) = 9 + 4 = 13$.

2. Вычислим правую часть с найденными знаками: $9 + 12 - 8 = 21 - 8 = 13$.

Результаты совпадают.

Ответ: $9 + (12 - 8) = 9 + 12 - 8 = 13$.

б) В выражении $-2,5 - (-0,3 + 7)$ нужно раскрыть скобки. Правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак "-", гласит: скобки и знак "-" перед ними опускаются, а знаки всех слагаемых внутри скобок меняются на противоположные. В скобках у нас $-0,3$ и $+7$. Их знаки меняются на "+" и "-" соответственно. Таким образом, выражение $-2,5 - (-0,3 + 7)$ становится равносильно выражению $-2,5 + 0,3 - 7$.

Следовательно, в первой рамке должен стоять знак "+", а во второй — знак "-".

Произведем вычисления для проверки:

1. Вычислим левую часть: $-2,5 - (-0,3 + 7) = -2,5 - 6,7 = -9,2$.

2. Вычислим правую часть с найденными знаками: $-2,5 + 0,3 - 7 = -2,2 - 7 = -9,2$.

Результаты совпадают.

Ответ: $-2,5 - (-0,3 + 7) = -2,5 + 0,3 - 7 = -9,2$.

3. Составьте сумму выражений и упростите:
а) x + 12 и 16 – x;
б) a – b и b – a + c.

3.

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} (х + 12) + (16 – х) = х + 12 + \\ + 16 – х = 28 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} (a – b) + (b – a + c) = a – b + \\ + b – a + c = c \end{gathered}$$

а) Чтобы найти сумму выражений $x + 12$ и $16 - x$, запишем их сложение:

$(x + 12) + (16 - x)$

Теперь упростим полученное выражение. Сначала раскроем скобки. Так как перед скобками стоит знак плюс (или знака нет), знаки внутри скобок не меняются:

$x + 12 + 16 - x$

Сгруппируем подобные слагаемые: члены с переменной $x$ и числовые члены (константы):

$(x - x) + (12 + 16)$

Выполним вычисления в каждой группе:

$x - x = 0$

$12 + 16 = 28$

В результате получаем:

$0 + 28 = 28$

Ответ: $28$

б) Чтобы найти сумму выражений $a - b$ и $b - a + c$, запишем их сложение:

$(a - b) + (b - a + c)$

Раскроем скобки:

$a - b + b - a + c$

Сгруппируем подобные слагаемые по переменным:

$(a - a) + (-b + b) + c$

Выполним вычисления в каждой группе:

$a - a = 0$

$-b + b = 0$

В результате получаем:

$0 + 0 + c = c$

Ответ: $c$

4. Решите уравнение:

–8 + (u – 42) = –7.

4.

$$\begin{gathered} – 8 + (\mathrm{u} – 42) = – 7; \\ – 8 + \mathrm{u} – 42 = – 7; \\ \mathrm{u} – 50 = – 7; \\ \mathrm{u} = – 7 + 50; \\ \mathrm{u} = 43. \\ \mathrm{Ответ}: 43. \end{gathered}$$

Для решения данного уравнения необходимо найти значение переменной $u$.

Исходное уравнение: $-8 + (u - 42) = -7$.

Сначала раскроем скобки. Так как перед скобками стоит знак «+», знаки внутри скобок не меняются:

$-8 + u - 42 = -7$

Теперь сгруппируем и сложим числовые слагаемые в левой части уравнения:

$u + (-8 - 42) = -7$

$u - 50 = -7$

Чтобы найти $u$, перенесем $-50$ из левой части уравнения в правую. При переносе через знак равенства знак числа меняется на противоположный (с минуса на плюс):

$u = -7 + 50$

Вычислим сумму в правой части:

$u = 43$

Для уверенности выполним проверку, подставив найденное значение $u=43$ в исходное уравнение:

$-8 + (43 - 42) = -7$

$-8 + 1 = -7$

$-7 = -7$

Равенство верно, следовательно, корень уравнения найден правильно.

Ответ: $43$