Страница 83, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

2.282. Найдите массу свинцового шарика, объём которого равен 313 см³, если масса 1 см³ свинца равна 111750 г.

2.282

V = $3\frac{1}{3}$ см³, m = $11\frac{17}{50}$ г

M = V•m

$\mathrm{М} = 3\frac{1}{3} · 11\frac{17}{50}=\frac{10}{3}· \frac{567}{50}=$

$\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{10}}} · {\displaystyle \stackrel{189}{\cancel{567}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{3}}} · {\displaystyle \underset{5}{\bcancel{50}}}}=\frac{1 · 189}{1 · 5}=\frac{189}{5}=37\frac{4}{5}$г – масса шарика.

Ответ: $37\frac{4}{5}$ г

Чтобы найти массу свинцового шарика, необходимо умножить его объём на массу 1 см³ свинца. Это можно выразить формулой $m = V \times \rho$, где $m$ – масса, $V$ – объём, а $\rho$ – плотность (масса единицы объёма).

По условию задачи:

Объём шарика $V = 3\frac{1}{3}$ см³.

Масса 1 см³ свинца $\rho = 11\frac{17}{50}$ г/см³.

Для выполнения умножения переведём смешанные числа в неправильные дроби:

$V = 3\frac{1}{3} = \frac{3 \times 3 + 1}{3} = \frac{10}{3}$

$\rho = 11\frac{17}{50} = \frac{11 \times 50 + 17}{50} = \frac{550 + 17}{50} = \frac{567}{50}$

Теперь вычислим массу шарика, умножив объём на плотность:

$m = \frac{10}{3} \times \frac{567}{50}$

Сократим дроби, чтобы упростить вычисление. Мы можем сократить 10 и 50 на 10. Также проверим, делится ли 567 на 3 (сумма цифр $5+6+7=18$, 18 делится на 3, значит и число делится на 3).

$567 \div 3 = 189$.

Выполним сокращение:

$m = \frac{\cancel{10}^1}{\cancel{3}_1} \times \frac{\cancel{567}^{189}}{\cancel{50}_5} = \frac{1 \times 189}{1 \times 5} = \frac{189}{5}$

Теперь преобразуем полученную неправильную дробь обратно в смешанное число:

$\frac{189}{5} = 189 \div 5 = 37$ (остаток 4). Таким образом, получаем $37\frac{4}{5}$.

Масса свинцового шарика равна $37\frac{4}{5}$ грамма.

Ответ: $37\frac{4}{5}$ г.

2.283. Из двух городов одновременно навстречу друг другу вышли два поезда и встретились через 335 ч. Найдите расстояние между городами, если скорость одного поезда равна 75 км/ч, а скорость другого составляет 910 от скорости первого поезда .

2.283

$\mathbf{1}\mathbf{)} 75 · \frac{9}{10}=\frac{{\displaystyle \stackrel{15}{\cancel{75} }}· 9}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{10}}}}=\frac{15 · 9}{2}=$

$=\frac{135}{2}=67\frac{1}{2}$(км⁄ч)-скорость второго поезда;

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }75 + 67 \frac{1}{2}= 142\frac{1}{2}$(км⁄ч)-скорость сближения;

$\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{ }142\frac{1}{2} · 3\frac{3}{5}=\frac{285}{2} · \frac{18}{5}=\frac{{\displaystyle \stackrel{57}{\cancel{185}}} · {\displaystyle \stackrel{9}{\bcancel{18}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{2}}} · {\displaystyle \underset{1}{\cancel{5}}}}=$

$=\frac{57 · 9}{1 · 1}=57 · 9 =513$(км) – расстояние.

Ответ: 513 км.

Для решения задачи выполним следующие действия:

1. Найдем скорость второго поезда.
Скорость первого поезда $v_1 = 75$ км/ч. Скорость второго поезда $v_2$ составляет $\frac{9}{10}$ от скорости первого. Чтобы найти дробь от числа, нужно умножить число на эту дробь.
$v_2 = v_1 \cdot \frac{9}{10} = 75 \cdot \frac{9}{10} = \frac{75 \cdot 9}{10} = \frac{675}{10} = 67,5$ км/ч.

2. Найдем скорость сближения поездов.
Поскольку поезда движутся навстречу друг другу, их общая скорость, или скорость сближения $v_{сбл}$, равна сумме их скоростей.
$v_{сбл} = v_1 + v_2 = 75 + 67,5 = 142,5$ км/ч.

3. Найдем расстояние между городами.
Расстояние $S$ равно произведению скорости сближения на время в пути до встречи $t$. Время до встречи дано в условии: $t = 3\frac{3}{5}$ ч.
Для удобства вычислений переведем смешанную дробь в десятичную:
$t = 3\frac{3}{5} = 3\frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 2} = 3\frac{6}{10} = 3,6$ ч.
Теперь можем вычислить расстояние между городами, умножив скорость сближения на время:
$S = v_{сбл} \cdot t = 142,5 \cdot 3,6 = 513$ км.

Ответ: 513 км.

2.284. С одной кочки одновременно спрыгнули лягушка и жаба и отправились в одном направлении. Длина прыжка жабы равна 715 см, что в 313 раза меньше прыжка лягушки. На каком расстоянии (в метрах) друг от друга окажутся жаба и лягушка, сделав по 20 прыжков?

2.284

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }7\frac{1}{5} · 3\frac{1}{3}=\frac{36}{5} · \frac{10}{3}=\frac{{\displaystyle \stackrel{12}{\bcancel{36}}} · {\displaystyle \stackrel{2}{\cancel{10}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{5}}} · {\displaystyle \underset{1}{\bcancel{3}}}}=$

$=\frac{12 · 2}{1 · 1}=24$(см)-длина прыжка лягушки;

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }7\frac{1}{5} · 20= \frac{36}{5} · 20=\frac{36 ·{\displaystyle \stackrel{4}{ \cancel{20}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{5}}}}=$

$=\frac{36 · 4}{1} = 36 · 4 = 144$(см)-расстояние жабы;

$\mathbf{3}\mathbf{)} 24 · 20 = 480$(см)-расстояние лягушки;

$\mathbf{4}\mathbf{)}\mathbf{ }480 - 144 = 336$(см)-будет между жабой и лягушкой;

$336 \mathrm{см}= \frac{336}{100} \mathrm{м}=3,36 \mathrm{м}$

Ответ:3,36 м.

Для решения задачи выполним последовательно несколько действий.

1. Вычислим длину прыжка лягушки.

Длина прыжка жабы равна $7\frac{1}{5}$ см. В условии сказано, что это в $3\frac{1}{3}$ раза меньше длины прыжка лягушки. Значит, чтобы найти длину прыжка лягушки, нужно длину прыжка жабы умножить на $3\frac{1}{3}$.

Для удобства вычислений преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$7\frac{1}{5} = \frac{7 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{36}{5}$

$3\frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{10}{3}$

Теперь найдем длину прыжка лягушки:

$\frac{36}{5} \cdot \frac{10}{3} = \frac{36 \cdot 10}{5 \cdot 3} = \frac{12 \cdot 2}{1 \cdot 1} = 24$ см.

2. Найдем разницу в длине прыжков.

Поскольку лягушка и жаба прыгают в одном направлении, расстояние между ними после каждого прыжка будет увеличиваться на разницу длин их прыжков. Найдем эту разницу:

$24 - 7\frac{1}{5} = 23\frac{5}{5} - 7\frac{1}{5} = (23-7) + (\frac{5}{5}-\frac{1}{5}) = 16\frac{4}{5}$ см.

3. Найдем расстояние между жабой и лягушкой после 20 прыжков.

Чтобы найти итоговое расстояние, нужно умножить разницу в длине одного прыжка на общее количество прыжков (20).

Переведем $16\frac{4}{5}$ в неправильную дробь: $16\frac{4}{5} = \frac{16 \cdot 5 + 4}{5} = \frac{84}{5}$ см.

Вычислим общее расстояние в сантиметрах:

$\frac{84}{5} \cdot 20 = \frac{84 \cdot 20}{5} = 84 \cdot 4 = 336$ см.

4. Переведем полученное расстояние в метры.

В задаче требуется дать ответ в метрах. Мы знаем, что в 1 метре содержится 100 сантиметров. Для перевода разделим полученное значение на 100.

$336 \text{ см} = 336 : 100 = 3,36$ м.

Ответ: на расстоянии 3,36 м друг от друга окажутся жаба и лягушка после 20 прыжков.

2.285. Двое друзей вышли навстречу друг другу и встретились в условленном месте. Какое расстояние было изначально между ними, если первый шёл 114 ч со скоростью 534 км/ч, а второй — 1215 ч со скоростью 612 км/ч?

2.285

Первоначальное расстояние - ? км

$\mathbf{1}\mathbf{)} 5\frac{3}{4} · 1\frac{1}{4}=\frac{23}{4} · \frac{5}{4}=\frac{23 · 5}{4 · 4}=$

$=\frac{115}{16}=7\frac{3}{16}$(км)-прошел 1-ый друг; 

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }6\frac{1}{2} · 1\frac{2}{15} = \frac{13}{2} · \frac{17}{15}=\frac{13 · 17}{2 · 15}=$

$=\frac{221}{30}=7\frac{11}{30}$(км)-прошел 2-ой друг;

$\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{ }7\frac{3}{16} + 7\frac{11}{30}=(7 + 7) + \left({\frac{3}{16}}^{\overline{)·15}} + {\frac{11}{30}}^{\overline{)·8}}\right)=$

$= 14 + \frac{45 }{240}+\frac{88}{240}=14\frac{133}{240}$(км)-первоначальное расстояние.

Ответ: $14\frac{133}{240}$ км.

Чтобы найти начальное расстояние между друзьями, необходимо вычислить, какое расстояние прошел каждый из них до встречи, а затем сложить эти расстояния. Расстояние вычисляется по формуле $S = v \cdot t$, где $S$ - расстояние, $v$ - скорость, а $t$ - время.

1. Сначала найдем расстояние $S_1$, которое прошел первый друг.
Его время в пути $t_1 = 1\frac{1}{4}$ ч, а скорость $v_1 = 5\frac{3}{4}$ км/ч.
Для удобства вычислений переведем смешанные числа в неправильные дроби:
$t_1 = 1\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{5}{4}$ ч
$v_1 = 5\frac{3}{4} = \frac{5 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{23}{4}$ км/ч
Теперь вычислим расстояние, пройденное первым другом:
$S_1 = v_1 \cdot t_1 = \frac{23}{4} \cdot \frac{5}{4} = \frac{23 \cdot 5}{4 \cdot 4} = \frac{115}{16}$ км.

2. Далее найдем расстояние $S_2$, которое прошел второй друг.
Его время в пути $t_2 = 1\frac{2}{15}$ ч, а скорость $v_2 = 6\frac{1}{2}$ км/ч.
Переведем смешанные числа в неправильные дроби:
$t_2 = 1\frac{2}{15} = \frac{1 \cdot 15 + 2}{15} = \frac{17}{15}$ ч
$v_2 = 6\frac{1}{2} = \frac{6 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{13}{2}$ км/ч
Вычислим расстояние, пройденное вторым другом:
$S_2 = v_2 \cdot t_2 = \frac{13}{2} \cdot \frac{17}{15} = \frac{13 \cdot 17}{2 \cdot 15} = \frac{221}{30}$ км.

3. Общее расстояние, которое было между друзьями изначально, равно сумме расстояний $S_1$ и $S_2$:
$S_{общ} = S_1 + S_2 = \frac{115}{16} + \frac{221}{30}$.
Для сложения дробей найдем их наименьший общий знаменатель. Для чисел 16 и 30 это 240. Приведем дроби к этому знаменателю:
$\frac{115}{16} = \frac{115 \cdot 15}{16 \cdot 15} = \frac{1725}{240}$
$\frac{221}{30} = \frac{221 \cdot 8}{30 \cdot 8} = \frac{1768}{240}$
Теперь сложим полученные дроби:
$S_{общ} = \frac{1725}{240} + \frac{1768}{240} = \frac{1725 + 1768}{240} = \frac{3493}{240}$ км.

4. В завершение переведем неправильную дробь в смешанное число, выделив целую часть:
$\frac{3493}{240} = 14\frac{133}{240}$ км.

Ответ: Изначально между друзьями было расстояние $14\frac{133}{240}$ км.

2.286. Урожайность гороха составила 1812 ц с га, а кукурузы — 5434 ц с га. На сколько центнеров больше собрали кукурузы, чем гороха, если площадь поля, засеянного горохом, 2712 га, а площадь поля, засеянного кукурузой, в 214 раза меньше?

2.286

На сколько больше собрали центнеров кукурузы, чем гороха - ?

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }18\frac{1}{2} · 27\frac{1}{2} = \frac{37}{2} · \frac{55}{2}=\frac{37 · 55}{2 · 2}=$

$=\frac{2035}{4}=508\frac{3}{4}$(ц)-собрали гороха;

$\mathbf{2}\mathbf{)} 27\frac{1}{2} : 2\frac{1}{4}=\frac{55}{2}:\frac{9}{4}=\frac{55}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{2}}}}·\frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\cancel{4}}}}{9}=$

$=\frac{55 · 2}{9}=\frac{110}{9}=12\frac{2}{9}$(га)-площадь поля,засеянного кукурузой 

$\mathbf{3}\mathbf{)} 54\frac{3}{4} · 12\frac{2}{9} =\frac{{\displaystyle \stackrel{73}{\cancel{219}}}}{{\displaystyle \underset{2}{\bcancel{4}}}}·\frac{{\displaystyle \stackrel{55}{\bcancel{110}}}}{{\displaystyle \underset{3}{\cancel{9}}}}=$

$=\frac{73 · 55}{2 · 3}=\frac{4015}{6}=669\frac{1}{6}$(ц)-собрали кукурузы

$\mathbf{4}\mathbf{)} 669\frac{1}{6}- 508\frac{3}{4}=668 - 508 + \left(1\frac{1}{6}-\frac{3}{4}\right)=$

$= 160 + \left({\frac{7}{6}}^{\overline{)·2}}-{\frac{3}{4}}^{\overline{)·3}}\right)=160 +\left(\frac{14 - 9}{12}\right)=160\frac{5 }{12}$(ц)-больше

Ответ:на $160\frac{5}{12}$ ц.

Для решения задачи необходимо последовательно выполнить несколько вычислений.

1. Вычислим, сколько всего центнеров гороха собрали.

Для этого нужно умножить урожайность гороха на площадь, засеянную горохом. Сначала переведем смешанные числа в неправильные дроби:

Урожайность гороха: $18\frac{1}{2} = \frac{18 \times 2 + 1}{2} = \frac{37}{2}$ ц/га.

Площадь под горохом: $27\frac{1}{2} = \frac{27 \times 2 + 1}{2} = \frac{55}{2}$ га.

Теперь найдем общий сбор гороха:

$\frac{37}{2} \times \frac{55}{2} = \frac{37 \times 55}{4} = \frac{2035}{4}$ ц.

2. Вычислим площадь поля, засеянного кукурузой.

По условию, эта площадь в $2\frac{1}{4}$ раза меньше площади под горохом. Переведем $2\frac{1}{4}$ в неправильную дробь и выполним деление:

$2\frac{1}{4} = \frac{2 \times 4 + 1}{4} = \frac{9}{4}$.

Площадь под кукурузой: $\frac{55}{2} : \frac{9}{4} = \frac{55}{2} \times \frac{4}{9} = \frac{55 \times 2}{9} = \frac{110}{9}$ га.

3. Вычислим, сколько всего центнеров кукурузы собрали.

Умножим урожайность кукурузы на площадь, засеянную кукурузой. Урожайность кукурузы: $54\frac{3}{4} = \frac{54 \times 4 + 3}{4} = \frac{219}{4}$ ц/га.

Общий сбор кукурузы:

$\frac{219}{4} \times \frac{110}{9} = \frac{219 \times 110}{4 \times 9} = \frac{73 \times 3 \times 110}{4 \times 3 \times 3} = \frac{73 \times 110}{4 \times 3} = \frac{73 \times 55}{2 \times 3} = \frac{4015}{6}$ ц.

4. Найдем, на сколько центнеров больше собрали кукурузы, чем гороха.

Для этого вычтем из общего сбора кукурузы общий сбор гороха:

$\frac{4015}{6} - \frac{2035}{4}$

Приведем дроби к общему знаменателю 12:

$\frac{4015 \times 2}{12} - \frac{2035 \times 3}{12} = \frac{8030}{12} - \frac{6105}{12} = \frac{1925}{12}$ ц.

Переведем результат в смешанное число:

$\frac{1925}{12} = 160\frac{5}{12}$ ц.

Ответ: на $160\frac{5}{12}$ центнера.

2.287. Вычислите:

а) 716 · 49 – 215;

б) 815 · (212)² – 59;

в) ((116)² – 718) · 247 – 125;

г) (1116 + 724 – 512) + (34)².

2.287

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)} \frac{7}{16} \stackrel{1}{·} \frac{4}{9}\stackrel{2}{-} \frac{2}{15}=\frac{11}{180} \\ 1) \frac{7}{16} · \frac{4}{9}=\frac{7 · {\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{4}}}}{{\displaystyle \underset{4}{\cancel{16}}} · 9}=\frac{7 · 1}{4 · 9}=\frac{7}{36}; \\ 2) {\frac{7}{36}}^{\overline{)·5}} - {\frac{2}{15}}^{\overline{)·12}}=\frac{35}{180}- \frac{24}{180}=\frac{11}{180}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{8}{15} \stackrel{2}{·} \stackrel{1}{{\left(2\frac{1}{2}\right)}^2}\stackrel{3}{-}\frac{5}{9}=2\frac{7}{9} \\ 1){ \left(2\frac{1}{2}\right)}^2=2\frac{1}{2} · 2\frac{1}{2} = \frac{5}{2}·\frac{5}{2}=\frac{25}{4}; \\ 2) \frac{8}{15} · \frac{25}{4}=\frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\cancel{8}}} ·{\displaystyle \stackrel{5}{ \bcancel{25}}}}{{\displaystyle \underset{3}{\bcancel{15}}} · {\displaystyle \underset{1}{\cancel{4}}}}=\frac{2 · 5}{3 · 1}=\frac{10}{3}; \\ 3) {\frac{10}{3}}^{\overline{)·3}} - \frac{5}{9}=\frac{30}{9}- \frac{5}{9}=\frac{25}{9}=2\frac{7}{9}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{в}\mathbf{)} \left({\left(1\frac{1}{6}\right)}^{\stackrel{1}{2}}\stackrel{2}{-}\frac{7}{18}\right) \stackrel{3}{·} 2\frac{4}{7}\stackrel{4}{-}1\frac{2}{5}=1\frac{1}{10} \\ 1) {\left(1\frac{1}{6}\right)}^2=1\frac{1}{6} · 1\frac{1}{6} =\frac{7}{6} · \frac{7}{6}=\frac{49}{36}; \\ 2) \frac{49}{36} - {\frac{7}{18}}^{\overline{)·2}}=\frac{49}{36} - \frac{14}{36}=\frac{35}{36}; \\ 3) \frac{35}{36} · 2\frac{4}{7}=\frac{35}{36} ·\frac{18}{7}=\frac{{\displaystyle \stackrel{5}{\bcancel{35} }}·{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{ 18}}}}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{36}}} · {\displaystyle \underset{1}{\bcancel{7}}}}=\frac{5 · 1}{2 · 1}=\frac{5}{2}; \\ 4)\frac{5}{2} - 1\frac{2}{5}={\frac{5}{2}}^{\overline{)·5}} - {\frac{7}{5}}^{\overline{)·2}}=\frac{25}{10} - \frac{14}{10}=\frac{11}{10}=1\frac{1}{10}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{г}\mathbf{)} \left(\frac{11}{16}\stackrel{2}{+}\frac{7}{24}-\frac{5}{12}\right)\stackrel{3}{+}{\left(\frac{3}{4}\right)}^{\stackrel{1}{2}}=1\frac{1}{8} \\ 1) {\left(\frac{3}{4}\right)}^2=\frac{3}{4} · \frac{3}{4} =\frac{9}{16}; \\ 2) {\frac{11}{16}}^{\overline{)·3}}+{\frac{7}{24}}^{\overline{)·2}}-{\frac{5}{12}}^{\overline{)·4}}=\frac{33}{48}+\frac{14}{48}-\frac{20}{48}=\frac{{\displaystyle \stackrel{9}{\cancel{27}}}}{{\displaystyle \underset{16}{\cancel{48}}}}=\frac{9}{16}; \\ 3) \frac{9}{16}+\frac{9}{16}=\frac{{\displaystyle \stackrel{9}{\cancel{18}}}}{{\displaystyle \underset{8}{\cancel{16}}}}=\frac{9}{8}=1\frac{1}{8}. \end{gathered}$$

а)

Выполним вычисления по порядку действий: сначала умножение, затем вычитание.

1. Умножение дробей. Перед умножением можно сократить числитель 4 и знаменатель 16 на 4:
$\frac{7}{16} \cdot \frac{4}{9} = \frac{7}{4 \cdot 4} \cdot \frac{4}{9} = \frac{7}{4} \cdot \frac{1}{9} = \frac{7 \cdot 1}{4 \cdot 9} = \frac{7}{36}$

2. Вычитание дробей. Чтобы вычесть $\frac{2}{15}$ из $\frac{7}{36}$, приведем их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное чисел 36 и 15 равно 180.
$\frac{7}{36} - \frac{2}{15} = \frac{7 \cdot 5}{180} - \frac{2 \cdot 12}{180} = \frac{35}{180} - \frac{24}{180} = \frac{35 - 24}{180} = \frac{11}{180}$

Ответ: $\frac{11}{180}$

б)

Сначала выполним возведение в степень, затем умножение и в конце вычитание.

1. Преобразуем смешанное число $2\frac{1}{2}$ в неправильную дробь и возведем в квадрат:
$2\frac{1}{2} = \frac{2 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{5}{2}$
$\left(\frac{5}{2}\right)^2 = \frac{5^2}{2^2} = \frac{25}{4}$

2. Выполним умножение. Сократим дроби: 8 и 4 на 4, 15 и 25 на 5.
$\frac{8}{15} \cdot \frac{25}{4} = \frac{8 \div 4}{15 \div 5} \cdot \frac{25 \div 5}{4 \div 4} = \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{1} = \frac{10}{3}$

3. Выполним вычитание. Приведем дроби к общему знаменателю 9.
$\frac{10}{3} - \frac{5}{9} = \frac{10 \cdot 3}{3 \cdot 3} - \frac{5}{9} = \frac{30}{9} - \frac{5}{9} = \frac{25}{9}$

4. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число.
$\frac{25}{9} = 2\frac{7}{9}$

Ответ: $2\frac{7}{9}$

в)

Выполним действия по порядку: сначала действия в скобках (возведение в степень, затем вычитание), далее умножение и в конце вычитание.

1. Возведение в степень в скобках. Преобразуем $1\frac{1}{6}$ в неправильную дробь:
$1\frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 6 + 1}{6} = \frac{7}{6}$
$\left(\frac{7}{6}\right)^2 = \frac{49}{36}$

2. Вычитание в скобках. Общий знаменатель для 36 и 18 это 36.
$\frac{49}{36} - \frac{7}{18} = \frac{49}{36} - \frac{7 \cdot 2}{18 \cdot 2} = \frac{49}{36} - \frac{14}{36} = \frac{35}{36}$

3. Умножение. Преобразуем $2\frac{4}{7}$ в неправильную дробь и выполним умножение, сократив дроби.
$2\frac{4}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 4}{7} = \frac{18}{7}$
$\frac{35}{36} \cdot \frac{18}{7} = \frac{35 \div 7}{36 \div 18} \cdot \frac{18 \div 18}{7 \div 7} = \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{1} = \frac{5}{2}$

4. Вычитание. Преобразуем $1\frac{2}{5}$ в неправильную дробь и приведем дроби к общему знаменателю 10.
$1\frac{2}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{7}{5}$
$\frac{5}{2} - \frac{7}{5} = \frac{5 \cdot 5}{2 \cdot 5} - \frac{7 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{25}{10} - \frac{14}{10} = \frac{11}{10}$

5. Преобразуем результат в смешанное число.
$\frac{11}{10} = 1\frac{1}{10}$

Ответ: $1\frac{1}{10}$

г)

Вычислим сначала значение в скобках, затем возведем в степень вторую дробь и сложим результаты.

1. Выполним действия в первых скобках. Общий знаменатель для 16, 24 и 12 равен 48.
$\frac{11}{16} + \frac{7}{24} - \frac{5}{12} = \frac{11 \cdot 3}{48} + \frac{7 \cdot 2}{48} - \frac{5 \cdot 4}{48} = \frac{33 + 14 - 20}{48} = \frac{27}{48}$
Сократим дробь на 3:
$\frac{27}{48} = \frac{9}{16}$

2. Возведем в степень вторую дробь:
$\left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{3^2}{4^2} = \frac{9}{16}$

3. Сложим полученные значения:
$\frac{9}{16} + \frac{9}{16} = \frac{9+9}{16} = \frac{18}{16}$
Сократим дробь на 2 и преобразуем в смешанное число:
$\frac{18}{16} = \frac{9}{8} = 1\frac{1}{8}$

Ответ: $1\frac{1}{8}$

2.288. Вычислите.

2.288

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} 0,9 · 0,9 = 0,81; \\ 0,81 – 0,6 = 0,21; \\ 0,21 : 7 = 0,03; \\ 0,03 + 0,03 = 0,06. \end{gathered}$$    $$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} 5,6 : 8 = 0,7; \\ 0,7 · 3 = 2,1; \\ 2,1 + 5,6 = 7,7; \\ 7,7 : 0,11 = 770 : 11 = 70. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }0,72 : 3,6 = 7,2 : 36 = 0,2; \\ 0,2 + 3,3 = 3,5; \\ 3,5 : 5 = 0,7; \\ 0,7 · 0,7 = 0,49 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{9}{14} · 7 = \frac{9 · {\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{7}}}}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{14}}}}=\frac{9 · 1}{2}=\frac{9}{2}=4,5 \\ 4,5 + 2,25 = 6,75; \\ 6,75 : 0,5 = 67,5 : 5 = 13,5 \end{gathered}$$

$\mathbf{д}\mathbf{)} \frac{9}{4}:3 = 2,25 : 3 = 0,75$

$$\begin{gathered} 0,75 + 1,75 = 2, 5; \\ 2,5 · 0,5 = 1,2. \end{gathered}$$

а) Решим пример по действиям:

1) $0,9 \cdot 0,9 = 0,81$

2) $0,81 - 0,6 = 0,21$

3) $0,21 : 7 = 0,03$

4) $0,03 + 0,03 = 0,06$

Ответ: 0,06

б) Решим пример по действиям:

1) $5,6 : 8 = 0,7$

2) $0,7 \cdot 3 = 2,1$

3) $2,1 + 5,6 = 7,7$

4) $7,7 : 0,11 = 770 : 11 = 70$

Ответ: 70

в) Решим пример по действиям:

1) $0,72 : 3,6 = 7,2 : 36 = 0,2$

2) $0,2 + 3,3 = 3,5$

3) $3,5 : 5 = 0,7$

4) $0,7 \cdot 0,7 = 0,49$

Ответ: 0,49

г) Решим пример по действиям:

1) $\frac{9}{14} \cdot 7 = \frac{9 \cdot 7}{14} = \frac{9}{2} = 4,5$

2) $4,5 + 2,25 = 6,75$

3) $6,75 : 0,5 = 13,5$

Ответ: 13,5

д) Решим пример по действиям:

1) $\frac{9}{4} : 3 = \frac{9}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{3}{4} = 0,75$

2) $0,75 + 1,75 = 2,5$

3) $2,5 \cdot 0,5 = 1,25$

Ответ: 1,25

2.289. Найдите числа, которых не хватает в цепочке и на схеме.

2.289

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} {\frac{1}{2 }}^{\overline{)·4}}+\frac{1}{8}=\frac{4}{8}+\frac{1}{8}=\frac{5}{8}; \\ \frac{5}{8} +{1\frac{3}{4}}^{\overline{)·2}}=\frac{5}{8} +1\frac{6}{8}=1\frac{11}{8}=1 + 1\frac{3}{8}=2\frac{3}{8}; \\ 2\frac{3}{8}-1\frac{5}{8}=1\frac{11}{8}-1\frac{5}{8}=\frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{6}}}}{{\displaystyle \underset{4}{\cancel{8}}}}=\frac{3}{4}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{б}\mathbf{)} {\frac{2}{7}}^{\overline{)·2}} +\frac{3}{14}=\frac{4}{14}+\frac{3}{14}=\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{7}}}}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{14}}}}=\frac{1}{2}; \\ {\frac{2}{7}}^{\overline{)·3}}-\frac{5}{21}=\frac{6}{21}-\frac{5}{21}=\frac{1}{21}; \\ {\frac{2}{7}}^{\overline{)·4}}-\frac{3}{28}=\frac{8}{28}-\frac{3}{28}=\frac{5}{28}. \end{gathered}$$

а)

Чтобы найти недостающие числа в цепочке, нужно последовательно выполнить указанные арифметические действия.
1. Вычислим число в первом пустом круге. Для этого к начальному числу $\frac{1}{2}$ прибавим $\frac{1}{8}$. Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю 8.
$\frac{1}{2} + \frac{1}{8} = \frac{1 \cdot 4}{2 \cdot 4} + \frac{1}{8} = \frac{4}{8} + \frac{1}{8} = \frac{4+1}{8} = \frac{5}{8}$.

2. Вычислим число во втором пустом круге. Для этого к результату предыдущего шага, $\frac{5}{8}$, прибавим $1\frac{3}{4}$. Сначала представим смешанное число в виде неправильной дроби: $1\frac{3}{4} = \frac{7}{4}$. Затем приведем дроби к общему знаменателю 8.
$\frac{5}{8} + 1\frac{3}{4} = \frac{5}{8} + \frac{7}{4} = \frac{5}{8} + \frac{7 \cdot 2}{4 \cdot 2} = \frac{5}{8} + \frac{14}{8} = \frac{19}{8} = 2\frac{3}{8}$.

3. Вычислим число в конечном прямоугольнике. Для этого из результата предыдущего шага, $2\frac{3}{8}$, вычтем $1\frac{5}{8}$. Представим смешанные числа в виде неправильных дробей.
$2\frac{3}{8} - 1\frac{5}{8} = \frac{19}{8} - \frac{13}{8} = \frac{19 - 13}{8} = \frac{6}{8}$.
Сократим полученную дробь: $\frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.

Ответ: недостающие числа в цепочке по порядку: $\frac{5}{8}$, $2\frac{3}{8}$, $\frac{3}{4}$.

б)

Чтобы найти недостающие числа на схеме, нужно выполнить действия, указанные на стрелках.
1. Найдем число в левом верхнем круге. Стрелка от этого круга к числу $\frac{2}{7}$ указывает на сложение ($+\frac{3}{14}$). Это означает, что если к искомому числу прибавить $\frac{3}{14}$, получится $\frac{2}{7}$. Чтобы найти искомое число, нужно выполнить обратное действие — вычитание. Приведем дроби к общему знаменателю 14.
$\frac{2}{7} - \frac{3}{14} = \frac{2 \cdot 2}{7 \cdot 2} - \frac{3}{14} = \frac{4}{14} - \frac{3}{14} = \frac{1}{14}$.

2. Найдем число в нижнем среднем круге. Стрелка идет от числа $\frac{2}{7}$ к этому кругу, указывая на вычитание ($-\frac{5}{21}$). Приведем дроби к общему знаменателю 21.
$\frac{2}{7} - \frac{5}{21} = \frac{2 \cdot 3}{7 \cdot 3} - \frac{5}{21} = \frac{6}{21} - \frac{5}{21} = \frac{1}{21}$.

3. Найдем число в правом верхнем круге. Стрелка идет от числа $\frac{2}{7}$ к этому кругу, указывая на вычитание ($-\frac{3}{28}$). Приведем дроби к общему знаменателю 28.
$\frac{2}{7} - \frac{3}{28} = \frac{2 \cdot 4}{7 \cdot 4} - \frac{3}{28} = \frac{8}{28} - \frac{3}{28} = \frac{5}{28}$.

Ответ: недостающие числа на схеме: $\frac{1}{14}$ (левый верхний круг), $\frac{1}{21}$ (нижний средний круг), $\frac{5}{28}$ (правый верхний круг).

5.39. Выполните вычисления по схеме справа.

5.39

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }1 · х = \frac{1}{2}; \\ х = \frac{1}{2} : 1; \\ х = \frac{1}{2}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} -6 · х = - \frac{1}{6}; \\ х = -\frac{1}{6} : (-6); \\ х = -\frac{1}{6} · \left(-\frac{1}{6}\right); \\ х = \frac{1}{36}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \frac{1}{3} · х = -1; \\ х = -1 : \frac{1}{3}; \\ х = -1 · 3; \\ х = -3. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 3 · х = 0; \\ х = 0 : 3; \\ х = 0. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} -\frac{1}{2} · х = 2; \\ х = 2 : \left(-\frac{1}{2}\right); \\ х = 2 · (-2); \\ х = -4. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }{-\frac{3}{4}}^{\overline{)·25}} + х =0,5; \\ х = 0,5 - \left(-0,75\right); \\ х = 0,5 + 0,75; \\ х = 1,25. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} -\frac{1}{2} + х= \frac{1}{4}; \\ х = \frac{1}{4} - \left(-\frac{1}{2}\right); \\ х =\frac{1}{4} + {\frac{1}{2}}^{\overline{)·2}}; \\ х = \frac{1}{4} + \frac{2}{4}; \\ х = \frac{3}{4}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \frac{1}{2} + х = 2; \\ х = 2 - \frac{1}{2}; \\ х = 1\frac{1}{2}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 0 + х = -1; \\ х = -1 – 0; \\ х = -1. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} -2\frac{1}{4} + х = -\frac{1}{2}; \\ х = -\frac{1}{2} -\left(-2\frac{1}{4}\right); \\ х = {-\frac{1}{2}}^{\overline{)·2}} + 2\frac{1}{4}; \\ х = 2\frac{1}{4} - \frac{2}{4}; \\ х = 1\frac{5}{4} - \frac{2}{4}; \\ х = 1\frac{3}{4}. \end{gathered}$$

a) В данной схеме необходимо выполнить умножение чисел, расположенных на противоположных концах линий, проходящих через центр. Выполним вычисления для каждой пары чисел:

• Для пары -6 и $\frac{1}{2}$: $ -6 \cdot \frac{1}{2} = -3 $
• Для пары $\frac{1}{3}$ и -1: $ \frac{1}{3} \cdot (-1) = -\frac{1}{3} $
• Для пары 3 и 0: $ 3 \cdot 0 = 0 $
• Для пары $-\frac{1}{2}$ и 2: $ -\frac{1}{2} \cdot 2 = -1 $
• Для пары 1 и $-\frac{1}{6}$: $ 1 \cdot (-\frac{1}{6}) = -\frac{1}{6} $

Ответ: -3; $-\frac{1}{3}$; 0; -1; $-\frac{1}{6}$.

б) В этой схеме необходимо выполнить сложение чисел, находящихся на концах одной линии, проходящей через центр. Выполним вычисления для каждой пары:

• Для пары $-\frac{1}{2}$ и 0,5: $ -\frac{1}{2} + 0,5 = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0 $
• Для пары $\frac{1}{2}$ и -1: $ \frac{1}{2} + (-1) = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2} $
• Для пары 0 и 2: $ 0 + 2 = 2 $
• Для пары $-2\frac{1}{4}$ и $-\frac{1}{2}$: $ -2\frac{1}{4} + (-\frac{1}{2}) = -2\frac{1}{4} - \frac{2}{4} = -2\frac{3}{4} $
• Для пары $-\frac{3}{4}$ и $\frac{1}{4}$: $ -\frac{3}{4} + \frac{1}{4} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2} $

Ответ: 0; $-\frac{1}{2}$; 2; $-2\frac{3}{4}$; $-\frac{1}{2}$.

Анализ положений точек m и n на числовых прямых на Рис. 5.1:

а) На числовой прямой точка m расположена слева от 0, что означает, что m — отрицательное число ($m < 0$). Точка n расположена справа от 0, что означает, что n — положительное число ($n > 0$). Любое отрицательное число всегда меньше любого положительного числа.
Ответ: $m < n$.

б) На числовой прямой точки m и n расположены слева от -2, следовательно, оба числа отрицательные. Точка m находится левее точки -4 ($m < -4$), а точка n находится между -4 и -2 ($-4 < n < -2$). На числовой прямой значения увеличиваются слева направо, поэтому, так как m левее n, то $m < n$.
Ответ: $m < n$.

в) На числовой прямой точка n расположена слева от 1 ($n < 1$), а точка m — справа от 3 ($m > 3$). Поскольку точка n находится левее точки m, то значение n меньше значения m.
Ответ: $n < m$.

г) На числовой прямой точка n расположена между -4 и 0, значит, n — отрицательное число. Точка m расположена между 0 и 4, значит, m — положительное число. Любое отрицательное число меньше любого положительного.
Ответ: $n < m$.

5.40. Каким числом: положительным, отрицательным или нулём – будет сумма чисел m и n при:

а) m > 0, n > 0;
б) m < 0, n < 0;
в) m = 0, n = 0;
г) m = 0, n < 0;
д) m < 0, n = 0;
е) m > 0, n < 0?

5.40

а) m > 0, n > 0, m + n > 0

б) m < 0, n < 0, m + n < 0

в) m = 0, n = 0, m + n = 0

г) m = 0, n < 0, m + n < 0

д) m < 0, n = 0, m + n < 0

е) m > 0, n < 0
Если |m| > |n|, то сумма будет > 0
Если |m| < |n|, то сумма будет < 0

а) Если $m > 0$ и $n > 0$, то оба числа являются положительными. Сумма двух положительных чисел всегда является положительным числом. Например, если $m=3$ и $n=5$, то их сумма $m+n = 3+5 = 8$, что больше нуля.
Ответ: положительным.

б) Если $m < 0$ и $n < 0$, то оба числа являются отрицательными. Сумма двух отрицательных чисел всегда является отрицательным числом. Например, если $m=-2$ и $n=-7$, то их сумма $m+n = (-2)+(-7) = -9$, что меньше нуля.
Ответ: отрицательным.

в) Если $m = 0$ и $n = 0$, то сумма двух нулей равна нулю: $m+n = 0+0 = 0$.
Ответ: нулём.

г) Если $m = 0$ и $n < 0$, то мы складываем ноль и отрицательное число. Сумма нуля и любого числа равна самому этому числу. Таким образом, $m+n = 0+n = n$. Поскольку по условию $n$ — отрицательное число, то и сумма будет отрицательной.
Ответ: отрицательным.

д) Если $m < 0$ и $n = 0$, то мы складываем отрицательное число и ноль. Как и в предыдущем пункте, сумма будет равна первому слагаемому: $m+n = m+0 = m$. Поскольку по условию $m$ — отрицательное число, то и сумма будет отрицательной.
Ответ: отрицательным.

е) Если $m > 0$ и $n < 0$, то мы складываем положительное и отрицательное числа. Знак суммы будет зависеть от того, модуль какого числа больше.
1. Если $|m| > |n|$, то сумма будет положительной. Например, $m=10$, $n=-4 \Rightarrow m+n = 10+(-4) = 6 > 0$.
2. Если $|m| < |n|$, то сумма будет отрицательной. Например, $m=3$, $n=-8 \Rightarrow m+n = 3+(-8) = -5 < 0$.
3. Если $|m| = |n|$, то сумма будет равна нулю. Например, $m=5$, $n=-5 \Rightarrow m+n = 5+(-5) = 0$.
Следовательно, в этом случае сумма может быть положительной, отрицательной или равной нулю.
Ответ: положительным, отрицательным или нулём.

5.41. Какой знак имеет произведение mn (рис. 5.1)?

5.41

а) mn < 0

б) mn > 0

в) mn > 0

г) mn < 0

а. На числовой оси точка m расположена слева от 0, а точка n — справа от 0. Это означает, что число m является отрицательным ($m < 0$), а число n — положительным ($n > 0$). Произведение отрицательного числа на положительное есть число отрицательное. Таким образом, $m \cdot n < 0$.
Ответ: знак минус (-).

б. На числовой оси точка m расположена левее точки -4, следовательно, $m < -4$. Значит, m — отрицательное число. Точка n расположена между точками -4 и -2, то есть $-4 < n < -2$. Значит, n — тоже отрицательное число. Произведение двух отрицательных чисел есть число положительное. Таким образом, $m \cdot n > 0$.
Ответ: знак плюс (+).

в. На числовой оси точка n расположена левее 1, а точка m — правее 3. Из этого следует, что $n < 1$ и $m > 3$. Так как $m > 3$, число m является положительным. Так как на оси отмечены только положительные числа 1 и 3, можно сделать вывод, что и число n также положительно ($0 < n < 1$). Произведение двух положительных чисел есть число положительное. Таким образом, $m \cdot n > 0$.
Ответ: знак плюс (+).

г. На числовой оси точки n и m расположены между -4 и 4, причем $n < m$. Точка 0 находится ровно посередине между -4 и 4. Из рисунка видно, что точка n расположена левее этой середины (то есть левее 0), значит, n — отрицательное число ($n < 0$). Точка m расположена правее середины (то есть правее 0), значит, m — положительное число ($m > 0$). Произведение отрицательного числа на положительное есть число отрицательное. Таким образом, $m \cdot n < 0$.
Ответ: знак минус (-).

5.42. Вычислите произведение целых чисел:
а) которые меньше –2, но больше –5; б) которые меньше 17, но больше –5;
в) модуль которых меньше 85;
г) модуль которых больше 4 и меньше 7,8.

5.42

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }–3 · (–4) = 12; \\ \mathit{б}\mathbf{)} –4 · (–3) · (–2) · (–1) · 0 · 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · \dots · 16 = 0; \\ \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }–84 · (–83) · \dots · (–1) · 0 · 1· \dots · 83 · 84 = 0; \\ \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }–5 · (–6) · (–7) · 5 · 6 · 7 = –44 100. \end{gathered}$$

а) которые меньше –2, но больше –5;
Целые числа, которые удовлетворяют условию $-5 < x < -2$, это $-4$ и $-3$.
Найдем их произведение:
$(-4) \cdot (-3) = 12$
Ответ: 12

б) которые меньше 17, но больше –5;
Целые числа, которые удовлетворяют условию $-5 < x < 17$, это числа от $-4$ до $16$:
$-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, ..., 15, 16$.
Поскольку в этом наборе чисел есть множитель $0$, произведение всех чисел будет равно нулю.
$(-4) \cdot (-3) \cdot ... \cdot 0 \cdot ... \cdot 16 = 0$
Ответ: 0

в) модуль которых меньше 85;
Условие "модуль числа меньше 85" можно записать в виде неравенства $|x| < 85$.
Это неравенство эквивалентно двойному неравенству $-85 < x < 85$.
Целые числа, которые удовлетворяют этому условию, это числа от $-84$ до $84$ включительно.
В этот набор чисел входит число $0$, поэтому произведение всех этих чисел будет равно нулю.
$(-84) \cdot (-83) \cdot ... \cdot 0 \cdot ... \cdot 83 \cdot 84 = 0$
Ответ: 0

г) модуль которых больше 4 и меньше 7,8.
Условие можно записать в виде двойного неравенства $4 < |x| < 7,8$.
Разобьем его на два случая для целых чисел:
1. Для положительных чисел: $4 < x < 7,8$. Этому условию удовлетворяют целые числа $5, 6, 7$.
2. Для отрицательных чисел: $4 < -x < 7,8$. Умножим неравенство на $-1$ и сменим знаки: $-7,8 < x < -4$. Этому условию удовлетворяют целые числа $-7, -6, -5$.
Итак, нам нужно найти произведение чисел: $5, 6, 7, -5, -6, -7$.
Вычислим произведение:
$(-7) \cdot (-6) \cdot (-5) \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7$
Сгруппируем множители:
$(-7 \cdot 7) \cdot (-6 \cdot 6) \cdot (-5 \cdot 5) = (-49) \cdot (-36) \cdot (-25)$
Произведение трех отрицательных чисел является отрицательным числом. Посчитаем произведение их модулей:
$49 \cdot 36 \cdot 25 = 49 \cdot (36 \cdot 25) = 49 \cdot 900 = 44100$
Следовательно, итоговый результат равен $-44100$.
Или можно посчитать так:
$(5 \cdot 6 \cdot 7) \cdot (-5 \cdot -6 \cdot -7) = 210 \cdot (-210) = -44100$
Ответ: -44100

5.43. Найдите целые решения неравенства:

а) |z| > 3;
б) |z – 2| > 6;
в) |z| < 5;
г) |z| < 7,3;
д) |z| > $4\frac{1}{5}$;

Выпишите из них наименьшее целое положительное и наибольшее целое отрицательное решения неравенства.

5.43

а) |z| > 3; z < -3 и z > 3
-4 – наибольшее целое отрицательное
4 – наименьшее целое положительное

б) |x – 2| > 6
x – 2 < -6 и x – 2 > 6
x < -6 + 2 и x > 6 + 2
x < -4 и x > 8
-5 – наибольшее целое отрицательное
9 – наименьшее целое положительное

в) |z| < 5; z < 5 и z > -5
-4 – наибольшее целое отрицательное
4 – наименьшее целое положительное

г) |z| < 7,3; z < 7,3 и z > -7,4
-6 – наибольшее целое отрицательное
6 – наименьшее целое положительное

д) |z| > 4$\frac{1}{5}$; z < - 4$\frac{1}{5}$ и z > 4$\frac{1}{5}$
-5 – наибольшее целое отрицательное
5 – наименьшее целое положительное

а)

Неравенство с модулем $|z| > 3$ раскрывается как совокупность двух неравенств: $z > 3$ или $z < -3$.

Целыми решениями, удовлетворяющими условию $z > 3$, являются числа $4, 5, 6, \dots$. Из них наименьшим целым положительным решением является 4.

Целыми решениями, удовлетворяющими условию $z < -3$, являются числа $\dots, -6, -5, -4$. Из них наибольшим целым отрицательным решением является -4.

Ответ: наименьшее целое положительное решение: 4; наибольшее целое отрицательное решение: -4.

б)

Неравенство $|z - 2| > 6$ равносильно совокупности двух неравенств: $z - 2 > 6$ или $z - 2 < -6$.

Решая первое неравенство, получаем $z > 8$. Целые решения этого неравенства: $9, 10, 11, \dots$. Наименьшее целое положительное решение равно 9.

Решая второе неравенство, получаем $z < -4$. Целые решения этого неравенства: $\dots, -7, -6, -5$. Наибольшее целое отрицательное решение равно -5.

Ответ: наименьшее целое положительное решение: 9; наибольшее целое отрицательное решение: -5.

в)

Неравенство с модулем $|z| < 5$ равносильно двойному неравенству $-5 < z < 5$.

Целые числа, которые удовлетворяют этому неравенству: -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.

Среди этих решений наименьшим целым положительным является 1.

Наибольшим целым отрицательным является -1.

Ответ: наименьшее целое положительное решение: 1; наибольшее целое отрицательное решение: -1.

г)

Неравенство $|z| < 7,3$ равносильно двойному неравенству $-7,3 < z < 7,3$.

Целые числа, которые находятся в этом интервале: -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Наименьшее целое положительное решение из этого списка — это 1.

Наибольшее целое отрицательное решение — это -1.

Ответ: наименьшее целое положительное решение: 1; наибольшее целое отрицательное решение: -1.

д)

Неравенство $|z| > 4\frac{1}{5}$ можно записать как $|z| > 4,2$. Оно равносильно совокупности двух неравенств: $z > 4,2$ или $z < -4,2$.

Целые решения неравенства $z > 4,2$: $5, 6, 7, \dots$. Наименьшее целое положительное решение — 5.

Целые решения неравенства $z < -4,2$: $\dots, -7, -6, -5$. Наибольшее целое отрицательное решение — -5.

Ответ: наименьшее целое положительное решение: 5; наибольшее целое отрицательное решение: -5.

5.44. Выполните действия:

5.44

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} -1 + \frac{9}{11} = -\left(\frac{1}{1} - \frac{9}{11}\right) = \\ =-\left(\frac{11}{11} - \frac{9}{11}\right)= -\frac{2}{11} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} \frac{5}{7} - 3 = -\left(3 - \frac{5}{7}\right) = -\left(2\frac{7}{7} - \frac{5}{7}\right) = \\ =-2\frac{2}{7} \end{gathered}$$

$\mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }-3 – 2,75 = -(3 + 2,75) = -5,75$

$\mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }1 - \frac{11}{17} = \frac{17}{17} - \frac{11}{17} = \frac{6}{17}$

$\mathit{д}\mathbf{)}\mathbf{ }-3 - \frac{2}{5} = -\left(3+ \frac{2}{5}\right) = -3\frac{2}{5}$

$\mathit{е}\mathbf{)}\mathbf{ }-6 - 4\frac{4}{9} = -\left(6 + 4\frac{4}{9}\right) = -10\frac{4}{9}$

$$\begin{gathered} \mathit{ж}\mathbf{)}\mathbf{ }(7,8 – 4) – (7,8 + 9) = 7,8 – 4 – \\ - 7,8 – 9 = (7,8 – 7,8) +(-4 – 9) = \\ =0 + - 13 = -13 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{з}\mathbf{)} \left(\frac{5}{7} - 2,4\right) - \left(-3,6 + \frac{5}{7}\right) = \frac{5}{7} - 2,4 + \\ + 3,6 - \frac{5}{7} = \left(\frac{5}{7} - \frac{5}{7}\right) - 2,4 + 3,6 = \\ = 0 + 3,6 - 2,4 = 1,2. \end{gathered}$$

а) Чтобы сложить $-1$ и $\frac{9}{11}$, представим $-1$ как дробь со знаменателем $11$.
$-1 = -\frac{11}{11}$.
Теперь выполним сложение:
$-1 + \frac{9}{11} = -\frac{11}{11} + \frac{9}{11} = \frac{-11+9}{11} = -\frac{2}{11}$.
Ответ: $-\frac{2}{11}$.

б) Чтобы вычесть $3$ из дроби $\frac{5}{7}$, представим $3$ как дробь со знаменателем $7$.
$3 = \frac{3 \cdot 7}{7} = \frac{21}{7}$.
Теперь выполним вычитание:
$\frac{5}{7} - 3 = \frac{5}{7} - \frac{21}{7} = \frac{5-21}{7} = -\frac{16}{7}$.
Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:
$-\frac{16}{7} = -2\frac{2}{7}$.
Ответ: $-2\frac{2}{7}$.

в) Здесь мы складываем два отрицательных числа. Результатом будет отрицательное число, модуль которого равен сумме модулей слагаемых.
$-3 - 2,75 = -(3 + 2,75) = -5,75$.
Ответ: $-5,75$.

г) Чтобы вычесть дробь $\frac{11}{17}$ из $1$, представим $1$ как дробь со знаменателем $17$.
$1 = \frac{17}{17}$.
Теперь выполним вычитание:
$1 - \frac{11}{17} = \frac{17}{17} - \frac{11}{17} = \frac{17-11}{17} = \frac{6}{17}$.
Ответ: $\frac{6}{17}$.

д) Здесь мы из отрицательного числа вычитаем положительное. Это то же самое, что сложение двух отрицательных чисел.
$-3 - \frac{2}{5} = -(3 + \frac{2}{5}) = -3\frac{2}{5}$.
Ответ: $-3\frac{2}{5}$.

е) Складываем два отрицательных числа. Для этого складываем их модули и перед результатом ставим знак "минус".
$-6 - 4\frac{4}{9} = -(6 + 4\frac{4}{9}) = -(10\frac{4}{9}) = -10\frac{4}{9}$.
Ответ: $-10\frac{4}{9}$.

ж) Сначала раскроем скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак "минус", знаки всех слагаемых внутри нее меняются на противоположные.
$(7,8 - 4) - (7,8 + 9) = 7,8 - 4 - 7,8 - 9$.
Сгруппируем слагаемые для удобства вычислений:
$(7,8 - 7,8) + (-4 - 9) = 0 - 13 = -13$.
Ответ: $-13$.

з) Раскроем скобки. Знак "минус" перед второй скобкой меняет знаки слагаемых внутри нее на противоположные.
$(\frac{5}{7} - 2,4) - (-3,6 + \frac{5}{7}) = \frac{5}{7} - 2,4 - (-3,6) - \frac{5}{7} = \frac{5}{7} - 2,4 + 3,6 - \frac{5}{7}$.
Сгруппируем слагаемые:
$(\frac{5}{7} - \frac{5}{7}) + (-2,4 + 3,6) = 0 + 1,2 = 1,2$.
Ответ: $1,2$.

5.45. Найдите значение выражения:
а) (n + s + у) – (n + у – 21,4) при s = –18,6;
б) –(а + n) + (z + a) – (z – 0,26) при n = –4,26.

5.45

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)} (\mathrm{n} + \mathrm{s} + \mathrm{y}) – (\mathrm{n} + \mathrm{y} – 21,4) = \mathrm{n} + \mathrm{s} + \mathrm{y} – \\ - \mathrm{n} – \mathrm{y} + 21,4 = \mathrm{s} + 21,4 \\ \mathrm{при} \mathrm{s} = -18,6: \\ \mathrm{s} + 21,4 = -18,6 + 21,4 = 21,4 – 18,6 = 2,8 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{б}\mathbf{)} –(\mathrm{a} + \mathrm{n}) + (\mathrm{z} + \mathrm{a}) – (\mathrm{z} – 0,26) = \\ = -\mathrm{a} – \mathrm{n} + \mathrm{z} + \mathrm{a} – \mathrm{z} + 0,26 = 0,26 – \mathrm{n} \\ \mathrm{при} \mathrm{n} = -4,26: \\ 0,26 – \mathrm{n} = 0,26 – (-4,26) = 0,26 + 4,26 = 4,52 \end{gathered}$$

а) Чтобы найти значение выражения, сначала упростим его. Для этого раскроем скобки. Если перед скобкой стоит знак «минус», все знаки внутри скобок меняются на противоположные.

$(n + s + y) - (n + y - 21,4) = n + s + y - n - y + 21,4$

Теперь приведем подобные слагаемые. Слагаемые с переменными $n$ и $y$ взаимно уничтожаются:

$(n - n) + (y - y) + s + 21,4 = 0 + 0 + s + 21,4 = s + 21,4$

Мы получили упрощенное выражение $s + 21,4$. Теперь подставим в него заданное значение $s = -18,6$:

$s + 21,4 = -18,6 + 21,4 = 2,8$

Ответ: $2,8$

б) Сначала также упростим выражение, раскрыв все скобки:

$-(a + n) + (z + a) - (z - 0,26) = -a - n + z + a - z + 0,26$

Приведем подобные слагаемые. Слагаемые с переменными $a$ и $z$ взаимно уничтожаются:

$(-a + a) + (z - z) - n + 0,26 = 0 + 0 - n + 0,26 = -n + 0,26$

В полученное выражение $-n + 0,26$ подставим значение $n = -4,26$:

$-n + 0,26 = -(-4,26) + 0,26 = 4,26 + 0,26 = 4,52$

Ответ: $4,52$

5.46. а) Изобразите на координатной прямой промежутки, которые задаются условиями 7 < х < 11, 7 < х < 11, 7 < х < 11, 7 < х < 11. Как ещё можно обозначить эти промежутки?

б) Какие целые числа принадлежат промежуткам [–5; 1], (–11,7; –9], [12,3; 14), (–0,5; 1)? Запишите наибольшее целое число, принадлежащее каждому из промежутков.

5.46

$\mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }7 \le х \le 11$

$7 < х < 11$

7 < х ≤ 11

$7 \le х < 11$

б) [-5; 1]: -5; -4; -3; -2; -1; 0; 1
1 – наибольшее целое число

(-11,7; -9]: -11; -10; -9
-9 – наибольшее целое число

[12,3; 14): 13
13 – наибольшее целое число

(-0,5; 1): 0
0 – наибольшее целое число

Рассмотрим каждый из заданных промежутков, его изображение на координатной прямой и альтернативное обозначение.

1. Условие $7 \le x \le 11$ означает, что $x$ может быть равен 7, 11 и любому числу между ними. На координатной прямой концы промежутка, точки 7 и 11, изображаются закрашенными (включенными) точками. Этот вид промежутка называется отрезком и обозначается с помощью квадратных скобок: $[7; 11]$.

2. Условие $7 < x < 11$ означает, что $x$ строго больше 7 и строго меньше 11. На координатной прямой концы промежутка, точки 7 и 11, изображаются выколотыми (пустыми) точками. Этот вид промежутка называется интервалом и обозначается с помощью круглых скобок: $(7; 11)$.

3. Условие $7 < x \le 11$ означает, что $x$ строго больше 7, но меньше или равен 11. На координатной прямой точка 7 изображается выколотой, а точка 11 — закрашенной. Этот вид промежутка называется полуинтервалом и обозначается так: $(7; 11]$.

4. Условие $7 \le x < 11$ означает, что $x$ больше или равен 7, но строго меньше 11. На координатной прямой точка 7 изображается закрашенной, а точка 11 — выколотой. Этот вид промежутка также является полуинтервалом и обозначается так: $[7; 11)$.

Ответ: Другие способы обозначения этих промежутков: $[7; 11]$, $(7; 11)$, $(7; 11]$, $[7; 11)$.

Найдем целые числа для каждого промежутка и определим наибольшее из них.

1. Промежуток $[-5; 1]$. Этому промежутку принадлежат все числа $x$, такие что $-5 \le x \le 1$.
Целые числа из этого промежутка: -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1.
Наибольшее целое число: 1.

2. Промежуток $(-11,7; -9]$. Этому промежутку принадлежат все числа $x$, такие что $-11,7 < x \le -9$.
Целые числа из этого промежутка: -11, -10, -9.
Наибольшее целое число: -9.

3. Промежуток $[12,3; 14)$. Этому промежутку принадлежат все числа $x$, такие что $12,3 \le x < 14$.
Целое число из этого промежутка: 13.
Наибольшее целое число: 13.

4. Промежуток $(-0,5; 1)$. Этому промежутку принадлежат все числа $x$, такие что $-0,5 < x < 1$.
Целое число из этого промежутка: 0.
Наибольшее целое число: 0.

Ответ:
- Для промежутка $[-5; 1]$ целые числа: -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1; наибольшее целое число — 1.
- Для промежутка $(-11,7; -9]$ целые числа: -11, -10, -9; наибольшее целое число — -9.
- Для промежутка $[12,3; 14)$ целое число: 13; наибольшее целое число — 13.
- Для промежутка $(-0,5; 1)$ целое число: 0; наибольшее целое число — 0.