Страница 89, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

2.326. Расстояние между портами Владивостока и Санкт-Петербурга через Панамский канал равно около 14 тыс. морских миль. Расстояние между этими портами через Суэцкий канал составляет 0,864 расстояния через Панамский канал, а по Северному морскому пути 66 % расстояния между портами через Суэцкий канал. Сколько километров между портами Владивостока и Санкт-Петербурга по Северному морскому пути, если 1 морская миля равна 1852 м?

2.326

1 миля = 1852 м.

1) 14 000 • 0,864 = 12096 (м) – расстояние через Суэцкий канал;

2) 12096 • 0,66 = 7983,36 (м) – расстояние по Северному морскому пути;

3) 7983,36 • 1852 = 14785182,72 (м) = 14785182,72 : 1000 =

=14785,18272 ≈ 14785 (км) – расстояние по Северному морскому пути.

1. Найдем расстояние через Суэцкий канал в морских милях
Расстояние через Панамский канал составляет 14 000 морских миль. Расстояние через Суэцкий канал составляет 0,864 от этого значения.
$14000 \text{ миль} \times 0,864 = 12096$ морских миль.

2. Найдем расстояние по Северному морскому пути в морских милях
Расстояние по Северному морскому пути составляет 66% от расстояния через Суэцкий канал. Чтобы найти процент от числа, нужно умножить число на дробь, соответствующую проценту ($66\% = 0,66$).
$12096 \text{ миль} \times 0,66 = 7983,36$ морских миль.

3. Переведем расстояние в километры
Известно, что 1 морская миля равна 1852 метрам. Сначала переведем расстояние по Северному морскому пути в метры.
$7983,36 \text{ миль} \times 1852 \text{ м/миля} = 14785182,72$ м.
Теперь переведем метры в километры, разделив на 1000 (так как 1 км = 1000 м).
$14785182,72 \text{ м} \div 1000 = 14785,18272$ км.

Ответ: Расстояние между портами Владивостока и Санкт-Петербурга по Северному морскому пути равно $14785,18272$ км.

2.327. Длина школьного спортивного зала равна 30 м, ширина составляет 35 длины, а высота — 0,3 ширины. Найдите объём и площадь спортивного зала.

2.327

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }30 · \frac{3}{5} = \frac{{\displaystyle \stackrel{6}{\cancel{30}}} · 3}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{5}}}}=\frac{6 · 3}{1}=18$(м) – ширина зала;

$\mathbf{2}\mathbf{)} 18 · 0,3 = 5,4$(м) – высота зала;

$\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathrm{S} = 30 · 18 = 540 ({\mathrm{м}}^2);$

$\mathbf{4}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathrm{V} = 30 ·18 · 5,4 = 2916 ({\mathrm{м}}^3).$

Ответ: 540 м² и 2916 м³

Для решения задачи необходимо последовательно вычислить все размеры спортивного зала: ширину и высоту, а затем найти его объём и площадь.

1. Найдём ширину зала.
Длина зала дана и равна $30$ м. Ширина составляет $\frac{3}{5}$ от длины.
Ширина = $30 \times \frac{3}{5} = \frac{30 \times 3}{5} = \frac{90}{5} = 18$ м.

2. Найдём высоту зала.
Высота составляет $0,3$ от ширины, которую мы только что вычислили.
Высота = $18 \times 0,3 = 5,4$ м.

Теперь, имея все три измерения (длина = $30$ м, ширина = $18$ м, высота = $5,4$ м), мы можем рассчитать объём и площадь зала.

Объём спортивного зала
Объём зала, который имеет форму прямоугольного параллелепипеда, вычисляется по формуле $V = \text{длина} \times \text{ширина} \times \text{высота}$.
Подставим наши значения:
$V = 30 \text{ м} \times 18 \text{ м} \times 5,4 \text{ м} = 540 \text{ м}^2 \times 5,4 \text{ м} = 2916 \text{ м}^3$.
Ответ: объём спортивного зала равен $2916 \text{ м}^3$.

Площадь спортивного зала
Под площадью спортивного зала обычно подразумевается площадь его пола. Она вычисляется как произведение длины на ширину: $S = \text{длина} \times \text{ширина}$.
Подставим наши значения:
$S = 30 \text{ м} \times 18 \text{ м} = 540 \text{ м}^2$.
Ответ: площадь спортивного зала равна $540 \text{ м}^2$.

2.328. В бензобаке было 42,5 л бензина. По дороге в деревню было израсходовано 0,3 бензина. Сколько литров бензина осталось?

2.328

1) 42,5 • 0,3 = 12,75 (л) – бензина израсходовали;

2) 42,5 – 12,75 = 29,75 (л) – бензина осталось.

Ответ: 29,75 л.

Для решения этой задачи необходимо сначала вычислить, сколько литров бензина было израсходовано, а затем найти, сколько литров осталось в баке.

1. Найдем объем израсходованного бензина.

Согласно условию, было израсходовано 0,3 от общего количества бензина, которое составляло 42,5 литра. Чтобы найти абсолютное значение расхода в литрах, нужно умножить общее количество на долю расхода:

$42,5 \text{ л} \times 0,3 = 12,75 \text{ л}$

Таким образом, по дороге в деревню было израсходовано 12,75 литров бензина.

2. Найдем объем оставшегося бензина.

Чтобы определить, сколько бензина осталось в баке, необходимо вычесть израсходованное количество из первоначального объема:

$42,5 \text{ л} - 12,75 \text{ л} = 29,75 \text{ л}$

Альтернативный способ решения:

Можно сразу найти, какая доля бензина осталась в баке. Если весь бензин — это 1 (целое), а израсходовано 0,3, то оставшаяся доля составляет:

$1 - 0,3 = 0,7$

Теперь умножим эту долю на первоначальный объем бензина, чтобы найти, сколько литров осталось:

$42,5 \text{ л} \times 0,7 = 29,75 \text{ л}$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 29,75 л.

2.329. Ежегодно предприятие индексирует оклад сотрудников на 3 %. Какой будет оклад через год; два года работы сотрудника с окладом 48 000 р.?

2.329

1) 48000•0,03 =1440 (р.) – 3% от оклада;

2) 48000 + 1440 = 49440 (р.) – оклад через 1 год;

3) 49440 ∙ 0,03 = 1483,2 (р.) – 3% от оклада;

4) 49440 + 1483,2 = 50923,2 (р.) – оклад через два года.

Ответ: 49440 р., 50923,2 р.

через год

Для расчета оклада через год необходимо увеличить исходный оклад на 3%. Это можно сделать двумя способами.
Исходный оклад $S_0 = 48000$ р.
Годовая индексация $p = 3\%$.

1. Находим сумму повышения и прибавляем ее к исходному окладу.
Сумма повышения: $48000 \cdot \frac{3}{100} = 1440$ р.
Оклад через год: $S_1 = 48000 + 1440 = 49440$ р.

2. Используем формулу сложных процентов. Увеличение на 3% эквивалентно умножению на коэффициент $1.03$.
$S_1 = S_0 \cdot (1 + \frac{p}{100}) = 48000 \cdot (1 + \frac{3}{100}) = 48000 \cdot 1.03 = 49440$ р.
Ответ: 49 440 р.

через два года работы

Для расчета оклада через два года индексация применяется к окладу, полученному после первого года.
Оклад после первого года $S_1 = 49440$ р.

1. Находим сумму повышения за второй год и прибавляем ее к окладу после первого года.
Сумма повышения: $49440 \cdot \frac{3}{100} = 1483.2$ р.
Оклад через два года: $S_2 = 49440 + 1483.2 = 50923.2$ р.

2. Используем общую формулу сложных процентов для двух периодов.
$S_2 = S_0 \cdot (1 + \frac{p}{100})^2 = 48000 \cdot (1.03)^2 = 48000 \cdot 1.0609 = 50923.2$ р.
Ответ: 50 923,2 р.

2.330. В интернет-магазине ноутбук стоит 36 000 р., а в магазине электроники его цена составляет 120 % от цены в интернет-магазине. Сколько стоит ноутбук в магазине электроники?

2.330

1) 36 000 • 1,2 = 43200 (р) – стоит ноутбук в магазине электроники.

Ответ: 43 200 р.

По условию, цена ноутбука в интернет-магазине составляет 36 000 рублей. Эту цену примем за 100%. Цена в магазине электроники составляет 120% от цены в интернет-магазине.

Чтобы найти стоимость ноутбука в магазине электроники, нужно вычислить 120% от 36 000 рублей. Для этого можно перевести проценты в десятичную дробь и умножить на исходную цену.

1. Переводим 120% в десятичную дробь, разделив на 100:
$120\% = \frac{120}{100} = 1.2$

2. Умножаем цену в интернет-магазине на полученный коэффициент:
$36000 \cdot 1.2 = 43200$ рублей.

Таким образом, цена ноутбука в магазине электроники составляет 43 200 рублей.

Ответ: 43200 рублей.

2.331. В городе Камень-на-Оби глубина реки к началу паводка в апреле была 320 см. За апрель уровень реки поднялся на 48 %, а в мае опустился на 16 % от уровня подъёма в апреле. Найдите глубину реки в начале июня.

2.331

1) 320 : 100 = 3,2 (см) – 1% подъема за апрель;

2) 100% + 48% = 148% - подъем воды за апрель;

3) 3,2 • 148 = 473,6 (см) – уровень воды в конце апреля;

4) 473,6 – 320 = 153,6 (см) – уровень воды за апрель;

5) 153,6 • 0,16 = 24,576 (см) – опустился уровень воды за май;

6) 473,6 - 24,576 = 449,024 (см) – глубина реки в июне.

Ответ: 449,024 см.

Для решения задачи необходимо выполнить вычисления в несколько этапов.

1. Найдем величину подъема уровня реки в апреле.
Начальная глубина реки составляла 320 см. Уровень воды поднялся на 48% от этой величины. Рассчитаем, сколько это составляет в сантиметрах:
$320 \text{ см} \times \frac{48}{100} = 320 \times 0.48 = 153.6$ см.

2. Определим глубину реки к концу апреля.
К начальной глубине прибавим величину подъема, чтобы найти новую глубину:
$320 \text{ см} + 153.6 \text{ см} = 473.6$ см.
Это глубина реки на конец апреля.

3. Найдем величину спада уровня реки в мае.
Согласно условию, в мае уровень опустился на 16% от уровня подъема в апреле. Уровень подъема мы рассчитали в первом шаге, он равен 153.6 см. Теперь найдем 16% от этой величины:
$153.6 \text{ см} \times \frac{16}{100} = 153.6 \times 0.16 = 24.576$ см.

4. Рассчитаем итоговую глубину реки в начале июня.
Для этого из глубины на конец апреля вычтем величину спада в мае:
$473.6 \text{ см} - 24.576 \text{ см} = 449.024$ см.

Ответ: 449.024 см.

2.332. Вкладчик положил в банк 540 тыс. р. под 5 % годовых, с условием зачисления суммы, полученной по процентам, на этот же счёт. Какая сумма будет у него через: а) 1 год; б) 2 года?

2.332

1) 540000 ∙ 0,05 = 27000 (р.)-составляют 5%;

2) 540000 + 27000 = 567000 (р.)-через год;

3) 567000 ∙ 0,05=28350 (р.)-составляют 5%;

4) 567000 + 28350 = 595350 (р.)-через 2 года.

Ответ: 1) 567000 р.; 2) 595350 р.

а) 1 год

В задаче описан вклад со сложными процентами. Это означает, что начисленные за период проценты прибавляются к основной сумме вклада (происходит капитализация), и в следующем периоде проценты начисляются уже на новую, увеличенную сумму.

Для расчета итоговой суммы A используется формула сложных процентов:
$A = P \cdot (1 + r)^t$,
где P — первоначальная сумма вклада, r — годовая процентная ставка в виде десятичной дроби, а t — количество лет.

Исходные данные для расчета:
Первоначальный вклад P = 540 тыс. р. = 540 000 р.
Годовая процентная ставка r = 5% = 0.05.
Срок t = 1 год.

Вычислим сумму на счете через 1 год (A₁):
$A_1 = 540 000 \cdot (1 + 0.05)^1 = 540 000 \cdot 1.05 = 567 000$ р.

Через год на счете будет 567 000 рублей.

Ответ: 567 тыс. р.

б) 2 года

Для нахождения суммы через 2 года, мы используем ту же формулу, подставив в нее t = 2 года.

Вычисляем сумму на счете через 2 года (A₂):
$A_2 = 540 000 \cdot (1 + 0.05)^2 = 540 000 \cdot (1.05)^2 = 540 000 \cdot 1.1025 = 595 350$ р.

Также можно было рассчитать результат последовательно. Сумма после первого года составила 567 000 р. Теперь эта сумма является базой для начисления процентов за второй год:
$A_2 = 567 000 \cdot (1 + 0.05) = 567 000 \cdot 1.05 = 595 350$ р.

Через два года на счете будет 595 350 рублей.

Ответ: 595,35 тыс. р.

2.333. Андрей решил 115 задач от 30 запланированных задач для решения на неделю. Сколько задач он решил?

2.333

$30 · 1\frac{1}{5}=30 · \frac{6}{5}=\frac{{\displaystyle \stackrel{6}{\cancel{30}}} · 6}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{5}}}}=$

$=\frac{6 · 6}{1}=36$ (задач)-решил.

Ответ: 36 задач.

Для того чтобы найти, сколько задач решил Андрей, необходимо общее количество запланированных задач умножить на ту часть, которую он выполнил. В данном случае, нужно найти $1\frac{1}{5}$ от 30.

1. Первым шагом преобразуем смешанное число $1\frac{1}{5}$ в неправильную дробь. Для этого мы умножаем целую часть (1) на знаменатель (5) и к результату прибавляем числитель (1). Знаменатель (5) оставляем без изменений.

$1\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{5 + 1}{5} = \frac{6}{5}$

2. Теперь, чтобы найти количество решенных задач, умножим общее количество запланированных задач (30) на полученную неправильную дробь $\frac{6}{5}$.

$30 \cdot \frac{6}{5}$

3. Выполним вычисление. Удобнее сначала разделить 30 на знаменатель 5, а затем результат умножить на числитель 6.

$\frac{30 \cdot 6}{5} = \frac{30}{5} \cdot 6 = 6 \cdot 6 = 36$

Таким образом, Андрей решил 36 задач.

Ответ: 36 задач.

2.334. На осеннюю ярмарку фермер привёз 715 т картофеля. В первую неделю он продал 0,4 всего картофеля, а во вторую неделю — 45 того, что было продано в первую. Сколько тонн картофеля фермеру осталось продать?

2.334

$\mathbf{1}\mathbf{)} 7\frac{1}{5} · 0,4 = \frac{36}{5} · \frac{4}{10}=\frac{36 · {\displaystyle \stackrel{2}{\cancel{4}}}}{5 · {\displaystyle \underset{5}{\cancel{10}}}}=$

$=\frac{36 · 2}{5 · 5}=\frac{72}{15}=2\frac{22}{25}$ (т) – картофеля продал в первую неделю;

$\mathbf{2}\mathbf{)} 2\frac{22}{25} · \frac{4}{5}=\frac{72}{25} ·\frac{4}{5}=\frac{288}{125}=2\frac{38}{125}$(т) – продал во вторую неделю;

$\mathbf{3}\mathbf{)} {2\frac{22}{25}}^{\overline{)·5}}+2\frac{38}{125}=2\frac{110}{125}+2\frac{38}{125}=$

$=4\frac{148}{125}=4 + 1\frac{23}{125}=5\frac{23}{125}$(т) – продал за две недели;

$\mathbf{4}\mathbf{)} {7\frac{1}{5}}^{\overline{)·25}} - 5\frac{23}{125}=7\frac{25}{125}-5\frac{23}{125}=$

$={2\frac{2}{125}}^{\overline{)·8}}=2\frac{16}{1000}=2,016$ (т) – осталось продать.

Ответ: 2,016 т картофеля.

Для того чтобы найти, сколько тонн картофеля осталось продать фермеру, необходимо последовательно выполнить несколько вычислений.

1. Найдем количество картофеля, проданного в первую неделю.
Изначальное количество картофеля составляет $7\frac{1}{5}$ тонны. Для удобства расчетов переведем смешанную дробь в десятичную:
$7\frac{1}{5} = 7 + \frac{1}{5} = 7 + 0,2 = 7,2$ тонны.
В первую неделю было продано 0,4 от всего количества. Вычислим эту величину:
$7,2 \text{ т} \times 0,4 = 2,88$ тонны.

2. Найдем количество картофеля, проданного во вторую неделю.
Во вторую неделю было продано $\frac{4}{5}$ от количества, проданного в первую неделю.
$2,88 \text{ т} \times \frac{4}{5} = 2,88 \text{ т} \times 0,8 = 2,304$ тонны.

3. Найдем, сколько тонн картофеля осталось продать.
Сначала вычислим общее количество картофеля, проданного за две недели:
$2,88 \text{ т} + 2,304 \text{ т} = 5,184$ тонны.
Теперь вычтем общее проданное количество из начального, чтобы найти остаток:
$7,2 \text{ т} - 5,184 \text{ т} = 2,016$ тонны.

Ответ: фермеру осталось продать 2,016 тонны картофеля.

2.335. До обеда бригада собрала 0,65 нормы хлопка, а после обеда — 713 нормы хлопка, собранного до обеда. Собрала ли бригада за день положенную норму хлопка?

2.335

$\mathbf{1}\mathbf{)} 0,65 · \frac{7}{13}=\frac{{\displaystyle \stackrel{5}{\cancel{65}}} · 7}{100 ·{\displaystyle \underset{1}{\cancel{13}}}}=\frac{5 · 7}{100}=0,35$ (часть)-после обеда;

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }0,65+0,35=1$(часть)-за день.

Ответ: собрала.

Чтобы определить, выполнила ли бригада дневную норму, необходимо сложить части нормы, собранные до и после обеда, и сравнить результат с 1 (полная норма).

1. Сначала определим, какую часть от всей нормы составляет хлопок, собранный после обеда. По условию, это $\frac{7}{13}$ от количества, собранного до обеда (0,65 нормы).

Для удобства вычислений представим десятичную дробь 0,65 в виде обыкновенной дроби:

$0,65 = \frac{65}{100} = \frac{13}{20}$

Теперь найдем, какую часть от всей нормы собрали после обеда, умножив долю, собранную до обеда, на $\frac{7}{13}$:

$\frac{13}{20} \times \frac{7}{13} = \frac{13 \times 7}{20 \times 13} = \frac{7}{20}$

Таким образом, после обеда бригада собрала $\frac{7}{20}$ от всей нормы.

2. Теперь сложим части нормы, собранные до обеда и после обеда, чтобы найти общую выполненную работу за день.

Часть до обеда: $0,65 = \frac{13}{20}$

Часть после обеда: $\frac{7}{20}$

Общая часть: $\frac{13}{20} + \frac{7}{20} = \frac{13+7}{20} = \frac{20}{20} = 1$

3. Результат равен 1, что соответствует полной (100%) норме. Следовательно, бригада выполнила положенную норму.

Ответ: Да, бригада собрала за день положенную норму хлопка.

2.336. За три дня, с 26 по 28 июля 2010 г., в Новосибирске выпало 87 % месячной нормы осадков. При этом пик — 23 выпавших осадков — пришёлся на 27 июля, а наименьшее количество осадков — 0,4 оставшейся части — выпало в третий день. Сколько процентов месячной нормы осадков выпадало ежедневно в период с 26 по 28 июля?

2.336

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }87\% · \frac{2}{3} = \frac{{\displaystyle \stackrel{29}{\cancel{87}}} · 2}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{3}}}} = \frac{29 · 2}{1}= 58\%$- месячной нормы осадков выпало во 2 день;

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }87\% – 58\% = 29\%$месячной нормы – остаток;

$\mathbf{3}\mathbf{)} 29 · 0,4 = 11,6\%$месячной нормы – выпало в 3 день;

$\mathbf{4}\mathbf{)} 87\% – 58\% – 11,6\% = 17,4\%$месячной нормы – выпало во 2 день;

Ответ: 17,4%, 58% и 11,6%.

Обозначим месячную норму осадков за 100%. За три дня, с 26 по 28 июля, выпало 87% месячной нормы. Рассчитаем, сколько процентов от месячной нормы выпадало в каждый из этих дней.

27 июля

На этот день пришёлся пик осадков, который составил $ \frac{2}{3} $ от всего количества, выпавшего за три дня. Найдём, сколько это в процентах от месячной нормы:

$ 87\% \times \frac{2}{3} = \frac{87 \times 2}{3}\% = 29 \times 2\% = 58\% $

Ответ: 27 июля выпало 58% месячной нормы осадков.

Теперь найдём, какая часть осадков осталась на два других дня (26 и 28 июля):

$ 87\% - 58\% = 29\% $

Эти 29% от месячной нормы выпали в первый и третий день.

28 июля

В третий день (28 июля) выпало 0,4 (или 40%) от оставшейся части. Рассчитаем эту величину:

$ 29\% \times 0,4 = 11,6\% $

Ответ: 28 июля выпало 11,6% месячной нормы осадков.

26 июля

Оставшееся количество осадков пришлось на первый день (26 июля). Чтобы его найти, вычтем из общей оставшейся части (29%) ту долю, что выпала в третий день:

$ 29\% - 11,6\% = 17,4\% $

Ответ: 26 июля выпало 17,4% месячной нормы осадков.

2.337. Если на калькуляторе есть клавиша % , то, например, найти 24,4 % от числа 7,25 можно по алгоритму 7,25 х 24,4 % . Вычислите: а) 0,4 % от 19,35; б) 89 % от 15,7. Если такой клавиши нет, то переведите проценты в десятичные дроби и вычислите.

2.337

а) 19,35 • 0,4 % = 19,35 • $\frac{0,4}{100}$ = 19,35 •0,004 = 0,0774;

б) 15,7 • 89 % = 15,7 • $\frac{89}{100}$ = 15,7 • 0,89 = 13,973.

Чтобы найти процент от числа, нужно перевести проценты в десятичную дробь, а затем умножить число на эту дробь. Один процент ($1\%$) — это одна сотая часть числа, то есть $1\% = \frac{1}{100} = 0,01$.

а) Вычислим 0,4 % от 19,35.

Сначала переведем 0,4 % в десятичную дробь:

$0,4\% = \frac{0,4}{100} = 0,004$

Теперь умножим число 19,35 на полученную десятичную дробь:

$19,35 \times 0,004 = 0,0774$

Ответ: 0,0774

б) Вычислим 89 % от 15,7.

Сначала переведем 89 % в десятичную дробь:

$89\% = \frac{89}{100} = 0,89$

Теперь умножим число 15,7 на полученную десятичную дробь:

$15,7 \times 0,89 = 13,973$

Ответ: 13,973

5.87. Раскройте скобки и упростите выражение:
а) 6а – (4а + 7) + (3а – 5);
б) –7(х + 3) – (2х – 1);
в) 0,4(3n + 5) – 6(0,1n – 7);
г) 0,5(2,4m + 4) – 1,4(4 – 0,5m).

5.87

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} 6а – (4а + 7) + (3а – 5) = 6а – 4а – \\ - 7 + 3а – 5 = (6а – 4а + 3а) + \\ + (-7 – 5) = 5а – 12 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }-7(х + 3) – (2х – 1) = -7х – 21 – 2х + \\ + 1 = (-7х – 2х) + (-21 + 1) = -9х – 20 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }0,4(3n + 5) – 6(0,1n – 7) = 1,2n + 2 – \\ - 0,6n + 42 = (1,2n – 0,6n) + (2 + 42) = \\ = 0,6n + 44 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }0,5(2,4m + 4) – 1,4(4 – 0,5m) = 1,2m + 2 – \\ - 5,6 + 0,7m = (1,2m + 0,7m) + (2 – 5,6) = \\ = 1,9m – 3,6 \end{gathered}$$

а) Для упрощения выражения $6a - (4a + 7) + (3a - 5)$ необходимо раскрыть скобки. Если перед скобкой стоит знак «-», то знаки всех слагаемых внутри скобок меняются на противоположные. Если перед скобкой стоит знак «+», то знаки слагаемых не меняются.
$6a - (4a + 7) + (3a - 5) = 6a - 4a - 7 + 3a - 5$
Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые (члены с переменной $a$ и числовые члены):
$(6a - 4a + 3a) + (-7 - 5) = (6 - 4 + 3)a - 12 = 5a - 12$
Ответ: $5a - 12$

б) Для упрощения выражения $-7(x + 3) - (2x - 1)$ раскроем скобки. В первом случае умножим $-7$ на каждое слагаемое в скобках. Во втором случае, так как перед скобкой стоит знак «-», изменим знаки слагаемых в скобках на противоположные.
$-7(x + 3) - (2x - 1) = -7 \cdot x + (-7) \cdot 3 - 2x + 1 = -7x - 21 - 2x + 1$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(-7x - 2x) + (-21 + 1) = (-7 - 2)x - 20 = -9x - 20$
Ответ: $-9x - 20$

в) Для упрощения выражения $0,4(3n + 5) - 6(0,1n - 7)$ воспользуемся распределительным свойством умножения (раскроем скобки).
$0,4(3n + 5) - 6(0,1n - 7) = 0,4 \cdot 3n + 0,4 \cdot 5 - 6 \cdot 0,1n - 6 \cdot (-7) = 1,2n + 2 - 0,6n + 42$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(1,2n - 0,6n) + (2 + 42) = (1,2 - 0,6)n + 44 = 0,6n + 44$
Ответ: $0,6n + 44$

г) Для упрощения выражения $0,5(2,4m + 4) - 1,4(4 - 0,5m)$ раскроем скобки, умножая множитель перед каждой скобкой на все слагаемые внутри нее.
$0,5(2,4m + 4) - 1,4(4 - 0,5m) = 0,5 \cdot 2,4m + 0,5 \cdot 4 - 1,4 \cdot 4 - 1,4 \cdot (-0,5m)$
$1,2m + 2 - 5,6 + 0,7m$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(1,2m + 0,7m) + (2 - 5,6) = (1,2 + 0,7)m - 3,6 = 1,9m - 3,6$
Ответ: $1,9m - 3,6$

5.88. Упростите выражение:
а) 127a – (49a – 13a);
б) 57(75a – 7) – 9(213a + 59);
в) 45(1,5с – 4,5) – 39(2,7с – 6,3);
г) 19(0,9b – 1,8) – 12(0,2b – 0,4).

5.88

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{1}{27}а - \left(\frac{4}{9}а - \frac{1}{3}а\right) = \frac{1}{27}а -{\frac{4}{9}}^{\overline{)·3}}а + \\ + {\frac{1}{3}}^{\overline{)·9}}а = \frac{1}{27}а -\frac{12}{27}а + \frac{9}{27}а = -\frac{2}{17}а \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} \frac{5}{7} · \left(\frac{7}{5}а - 7\right) - 9 · \left(2\frac{1}{3}а + \frac{5}{9}\right) = \\ = \frac{\bcancel{5}}{\cancel{7}} · \frac{\cancel{7}}{\bcancel{5}}а - \frac{5}{\cancel{7}} · \cancel{7} - \stackrel{3}{\sout{9}} · \frac{7}{{\displaystyle \underset{1}{\sout{3}}}}а -\cancel{ 9} · \frac{5}{\cancel{9}} = \\ = \frac{1}{1} · \frac{1}{1}а - \frac{5}{1} · 1 - 3 · \frac{7}{1}а - 1 · \frac{5}{1} = \\ = а - 5 - 21а - 5 =\left(а -21а\right) + \left(-5 - 5\right)= \\ =-20а - 10 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)} \frac{4}{5} · \left(1,5 с - 4,5\right) - \frac{3}{9} · \left(2,7 с - 6,3\right)= \\ = \frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\bcancel{4}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{5}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{15}}}}{{\displaystyle \underset{5}{\bcancel{10}}}}с - \frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\cancel{4}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{5}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{9}{\bcancel{45}}}}{{\displaystyle \underset{5}{\cancel{10}}}} - \frac{3}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{9}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{27}}}}{10}с + \frac{3}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{9}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{7}{\cancel{63}}}}{10}= \\ = \frac{2}{1} · \frac{3}{5}с - \frac{2}{1} · \frac{9}{5} - \frac{3}{1} · \frac{3}{10}с + \frac{3}{1} · \frac{7}{10} = \\ = \frac{6}{5}с - \frac{18}{5} - \frac{9}{10}с + \frac{21}{10} = \left({\frac{6}{5}}^{\overline{)·2}}с - \frac{9}{10}с\right) + \\ + \left(- {\frac{18}{5}}^{\overline{)·2}} + \frac{21}{10}\right) = \left(\frac{12}{10}с - \frac{9}{10}с\right) + \\ + \left(- \frac{36}{10} + \frac{21}{10}\right) = \frac{3}{10}с - \frac{15}{10} = 0,3 с - 1,5 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)} \frac{1}{9} · \left(0,9b - 1,8\right) - \frac{1}{2} ·\left(0,2 b - 0,4\right) = \\ = \frac{1}{\cancel{9}} · \frac{\cancel{9}}{10}b - \frac{1}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{9}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{\stackrel{1}{\bcancel{2}}}{\cancel{18}}}}{{\displaystyle \underset{5}{\bcancel{10}}}} - \frac{1}{\bcancel{2}} · \frac{\bcancel{2}}{10}b + \frac{1}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{2}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{\stackrel{1}{\bcancel{2}}}{\cancel{4}}}}{{\displaystyle \underset{5}{\bcancel{10}}}}= \\ = \frac{1}{1} · \frac{1}{10}b - \frac{1}{1} · \frac{1}{5} - \frac{1}{1} · \frac{1}{10}b + \frac{1}{1} · \frac{1}{5}= \\ = \frac{1}{10}b - \frac{1}{5} -\frac{1}{10}b + \frac{1}{5} = 0 \end{gathered}$$

а) $\frac{1}{27}a - (\frac{4}{9}a - \frac{1}{3}a)$

Сначала упростим выражение в скобках. Для этого приведем дроби к общему знаменателю, который равен 9.

$\frac{4}{9}a - \frac{1}{3}a = \frac{4}{9}a - \frac{1 \cdot 3}{3 \cdot 3}a = \frac{4}{9}a - \frac{3}{9}a = (\frac{4-3}{9})a = \frac{1}{9}a$

Теперь подставим полученное значение обратно в исходное выражение:

$\frac{1}{27}a - \frac{1}{9}a$

Приведем дроби к общему знаменателю 27.

$\frac{1}{27}a - \frac{1 \cdot 3}{9 \cdot 3}a = \frac{1}{27}a - \frac{3}{27}a = (\frac{1-3}{27})a = -\frac{2}{27}a$

Ответ: $-\frac{2}{27}a$

б) $\frac{5}{7}(\frac{7}{5}a - 7) - 9(2\frac{1}{3}a + \frac{5}{9})$

Раскроем скобки, используя распределительное свойство умножения.

Сначала раскроем первую скобку:

$\frac{5}{7}(\frac{7}{5}a - 7) = \frac{5}{7} \cdot \frac{7}{5}a - \frac{5}{7} \cdot 7 = 1 \cdot a - 5 = a - 5$

Теперь раскроем вторую скобку. Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$.

$-9(2\frac{1}{3}a + \frac{5}{9}) = -9(\frac{7}{3}a + \frac{5}{9}) = -9 \cdot \frac{7}{3}a - 9 \cdot \frac{5}{9} = -\frac{9 \cdot 7}{3}a - \frac{9 \cdot 5}{9} = -3 \cdot 7a - 5 = -21a - 5$

Теперь объединим полученные выражения:

$(a - 5) + (-21a - 5) = a - 5 - 21a - 5$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(a - 21a) + (-5 - 5) = -20a - 10$

Ответ: $-20a - 10$

в) $\frac{4}{5}(1,5c - 4,5) - \frac{3}{9}(2,7c - 6,3)$

Сначала упростим дробь $\frac{3}{9} = \frac{1}{3}$. Затем представим дробь $\frac{4}{5}$ в виде десятичного числа: $\frac{4}{5} = 0,8$.

Выражение примет вид: $0,8(1,5c - 4,5) - \frac{1}{3}(2,7c - 6,3)$.

Раскроем скобки, используя распределительное свойство.

Для первого слагаемого:

$0,8(1,5c - 4,5) = 0,8 \cdot 1,5c - 0,8 \cdot 4,5 = 1,2c - 3,6$

Для второго слагаемого:

$-\frac{1}{3}(2,7c - 6,3) = -\frac{1}{3} \cdot 2,7c - (-\frac{1}{3} \cdot 6,3) = -0,9c + 2,1$

Теперь сложим полученные выражения:

$(1,2c - 3,6) + (-0,9c + 2,1) = 1,2c - 3,6 - 0,9c + 2,1$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(1,2c - 0,9c) + (-3,6 + 2,1) = 0,3c - 1,5$

Ответ: $0,3c - 1,5$

г) $\frac{1}{9}(0,9b - 1,8) - \frac{1}{2}(0,2b - 0,4)$

Раскроем скобки, используя распределительное свойство умножения.

Сначала раскроем первую скобку. Удобно представить десятичные дроби в виде обыкновенных:

$\frac{1}{9}(0,9b - 1,8) = \frac{1}{9}(\frac{9}{10}b - \frac{18}{10}) = \frac{1}{9} \cdot \frac{9}{10}b - \frac{1}{9} \cdot \frac{18}{10} = \frac{1}{10}b - \frac{2}{10} = 0,1b - 0,2$

Теперь раскроем вторую скобку. Можно представить $\frac{1}{2}$ как $0,5$:

$-\frac{1}{2}(0,2b - 0,4) = -0,5(0,2b - 0,4) = -0,5 \cdot 0,2b - (-0,5 \cdot 0,4) = -0,1b + 0,2$

Теперь объединим полученные выражения:

$(0,1b - 0,2) + (-0,1b + 0,2) = 0,1b - 0,2 - 0,1b + 0,2$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(0,1b - 0,1b) + (-0,2 + 0,2) = 0 \cdot b + 0 = 0$

Ответ: $0$

5.89. Найдите корень уравнения:
а) 4(z – 6) – 3(z – 3) = 8;
б) –6(6 – х) – 5х = 18;
в) 15(5х – 10) – 29(9х – 27) = 9;
г) 4,2(3z – 5) – 1,4(5z – 3) = 5,6.

5.89

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)} 4(\mathrm{z} – 6) – 3(\mathrm{z} – 3) = 8; \\ 4\mathrm{z} – 24 – 3\mathrm{z} + 9 = 8; \\ 4\mathrm{z} – 3\mathrm{z} – 24 + 9 =8; \\ \mathrm{z} – 15 = 8; \\ \mathrm{z} = 8 + 15; \\ \mathrm{z} = 23 . \\ \mathrm{Ответ}: 23. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{б}\mathbf{)}\mathbf{ }-6(6 – \mathrm{x}) – 5\mathrm{x} = 18; \\ -36 + 6\mathrm{x} – 5\mathrm{x} = 18; \\ \mathrm{x} – 36 = 18; \\ \mathrm{x} = 18 + 36; \\ \mathrm{х} = 54. \\ \mathrm{Ответ}: 54 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{в}\mathbf{)} \frac{1}{5}\left(5\mathrm{х} - 10\right) - \frac{2}{9}\left(9\mathrm{х} - 27\right) = 9; \\ \frac{1}{\cancel{5}} · \cancel{5}\mathrm{х} - \frac{1}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{5}}}} · \stackrel{2}{\bcancel{10}} - \frac{2}{\sout{9}} · \sout{9}\mathrm{х} + \frac{2}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{9}}}} · \stackrel{3}{\bcancel{27}} = 9; \\ \frac{1}{1} · 1\mathrm{х} - \frac{1}{1} · 2 - \frac{2}{1} · 1\mathrm{х} + \frac{2}{1} · 3 = 9; \\ \mathrm{x} – 2 – 2\mathrm{x} + 6 = 9; \\ -\mathrm{x} + 4 = 9; \\ -\mathrm{x} = 9 – 4; \\ -\mathrm{x} = 5; \\ \mathrm{x} = -5. \\ \mathrm{Ответ}: -5. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{г}\mathbf{)}\mathbf{ }4,2(3\mathrm{z} – 5) – 1,4(5\mathrm{z} – 3) = 5,6; \\ 4,2 · 3\mathrm{z} – 4,2 · 5 – 1,4 · 5\mathrm{z} + 1,4 · 3 = 5,6; \\ 12,6\mathrm{z} – 21 – 7\mathrm{z} + 4,2 = 5,6; \\ 12,6\mathrm{z} – 7\mathrm{z} – 21 + 4,2 = 5,6; \\ 5,6\mathrm{z} – 16,8 = 5,6; \\ 5,6\mathrm{z} = 5,6 + 16,8; \\ 5,6\mathrm{z} = 22,4; \\ \mathrm{z} = 22,4 : 5,6; \\ \mathrm{z} = 224 : 56; \\ \mathrm{z} = 4. \\ \mathrm{Ответ}: 4. \end{gathered}$$

а) $4(z - 6) - 3(z - 3) = 8$

Для решения уравнения сначала раскроем скобки. Для этого умножим число перед каждой скобкой на каждый член внутри скобок:

$4 \cdot z - 4 \cdot 6 - 3 \cdot z - 3 \cdot (-3) = 8$

$4z - 24 - 3z + 9 = 8$

Теперь сгруппируем подобные слагаемые: члены с переменной $z$ отдельно, и числовые константы отдельно.

$(4z - 3z) + (-24 + 9) = 8$

$z - 15 = 8$

Чтобы найти $z$, перенесем константу $-15$ в правую часть уравнения, изменив ее знак на противоположный.

$z = 8 + 15$

$z = 23$

Ответ: $23$.

б) $-6(6 - x) - 5x = 18$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$-6 \cdot 6 - 6 \cdot (-x) - 5x = 18$

$-36 + 6x - 5x = 18$

Приведем подобные слагаемые, содержащие переменную $x$.

$-36 + (6x - 5x) = 18$

$-36 + x = 18$

Перенесем число $-36$ в правую часть уравнения с противоположным знаком, чтобы найти $x$.

$x = 18 + 36$

$x = 54$

Ответ: $54$.

в) $\frac{1}{5}(5x - 10) - \frac{2}{9}(9x - 27) = 9$

Раскроем скобки, умножая дроби на выражения в скобках.

$\frac{1}{5} \cdot 5x - \frac{1}{5} \cdot 10 - (\frac{2}{9} \cdot 9x - \frac{2}{9} \cdot 27) = 9$

$x - 2 - (2x - 6) = 9$

Теперь раскроем вторые скобки. Так как перед ними стоит знак минус, знаки всех членов внутри скобок меняются на противоположные.

$x - 2 - 2x + 6 = 9$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые.

$(x - 2x) + (-2 + 6) = 9$

$-x + 4 = 9$

Перенесем число $4$ в правую часть.

$-x = 9 - 4$

$-x = 5$

Умножим обе части уравнения на $-1$, чтобы найти $x$.

$x = -5$

Ответ: $-5$.

г) $4,2(3z - 5) - 1,4(5z - 3) = 5,6$

Раскроем скобки, умножая десятичные дроби на выражения в скобках.

$4,2 \cdot 3z - 4,2 \cdot 5 - (1,4 \cdot 5z - 1,4 \cdot 3) = 5,6$

$12,6z - 21 - (7z - 4,2) = 5,6$

Раскроем вторые скобки, меняя знаки слагаемых на противоположные из-за минуса перед скобкой.

$12,6z - 21 - 7z + 4,2 = 5,6$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые.

$(12,6z - 7z) + (-21 + 4,2) = 5,6$

$5,6z - 16,8 = 5,6$

Перенесем $-16,8$ в правую часть с противоположным знаком.

$5,6z = 5,6 + 16,8$

$5,6z = 22,4$

Чтобы найти $z$, разделим обе части уравнения на $5,6$.

$z = \frac{22,4}{5,6}$

$z = 4$

Ответ: $4$.

5.90. Цена килограмма яблок на 20 р. ниже цены килограмма груш. Для приготовления компота купили 3 кг груш и 5 кг яблок. По какой цене покупали фрукты, если всего за покупку заплатили 660 р.?

5.90

Пусть х р. – стоит 1 кг яблок, тогда (х + 20) р. – стоит 1 кг груш, 5х р. – стоят 5 кг яблок, 3(х + 20) р. – стоят 3 кг груш. Зная, что всего заплатили 660 р., составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} 5х + 3(х + 20) = 660; \\ 5х + 3х + 60 = 660; \\ 8х = 660 – 60; \\ 8х = 600; \\ х = 600 : 8; \end{gathered}$$

х = 75 (р) – стоит 1 кг яблок;

1) 75 + 20 = 95 (р) – стоит 1 кг груш.

Ответ: 75 р и 95 р.

Для решения задачи введем переменную. Пусть цена одного килограмма груш равна $x$ рублей. По условию, цена килограмма яблок на 20 рублей ниже, значит, она составляет $(x - 20)$ рублей.

Стоимость 3 кг груш можно выразить как $3 \cdot x$ рублей.

Стоимость 5 кг яблок можно выразить как $5 \cdot (x - 20)$ рублей.

Зная, что общая стоимость покупки составляет 660 рублей, мы можем составить уравнение, сложив стоимость груш и яблок:

$3x + 5(x - 20) = 660$

Теперь решим полученное уравнение. Сначала раскроем скобки:

$3x + 5x - 100 = 660$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$8x - 100 = 660$

Перенесем число -100 в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:

$8x = 660 + 100$

$8x = 760$

Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 8:

$x = \frac{760}{8}$

$x = 95$

Таким образом, мы нашли цену одного килограмма груш — она составляет 95 рублей.

Теперь найдем цену одного килограмма яблок, которая на 20 рублей ниже:

$95 - 20 = 75$ рублей.

Проведем проверку: найдем общую стоимость покупки, используя найденные цены.

$3 \text{ кг груш} \cdot 95 \text{ р./кг} + 5 \text{ кг яблок} \cdot 75 \text{ р./кг} = 285 + 375 = 660$ рублей.

Общая стоимость совпадает с указанной в условии, значит, задача решена верно.

Ответ: цена килограмма груш — 95 рублей, цена килограмма яблок — 75 рублей.

5.91. На трёх полках 75 книг. На первой полке книг в 2 раза больше, чем на второй, а на третьей на 5 книг меньше, чем на первой. Сколько книг на каждой полке?

5.91

Пусть х книг – на второй полке, тогда 2х книг – на первой полке, (2х – 5) книг – на третьей полке. Зная, что на трех полках 75 книг, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} 2х + х + (2х – 5) = 75; \\ 2х + х + 2х – 5 = 75; \\ 5х = 75 + 5; \\ 5х = 80; \\ х = 80 : 5; \end{gathered}$$

х = 16 (к) – на второй полке;

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }2 · 16 = 32$(к) – на первой полке;

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }32 – 5 = 27$ (к) – на третьей полке.

Ответ: 32 к, 16 к, 27 к.

Для решения этой задачи составим уравнение. Давайте обозначим количество книг на второй полке за $x$.

Исходя из условий задачи:

- На первой полке книг в 2 раза больше, чем на второй, следовательно, на ней $2x$ книг.

- На третьей полке на 5 книг меньше, чем на первой, следовательно, на ней $2x - 5$ книг.

Общее количество книг на всех трех полках равно 75. Мы можем составить уравнение, сложив количество книг на каждой полке:

$x$ (на второй) + $2x$ (на первой) + $(2x - 5)$ (на третьей) = $75$

Решим это уравнение:

$x + 2x + 2x - 5 = 75$

Приведем подобные слагаемые:

$5x - 5 = 75$

Перенесем -5 в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:

$5x = 75 + 5$

$5x = 80$

Найдем $x$, разделив обе части на 5:

$x = \frac{80}{5}$

$x = 16$

Таким образом, на второй полке находится 16 книг.

Теперь найдем количество книг на остальных полках:

- Первая полка: $2x = 2 \cdot 16 = 32$ книги.

- Третья полка: $2x - 5 = 32 - 5 = 27$ книг.

Проверим наше решение, сложив количество книг на всех полках: $16 + 32 + 27 = 75$. Результат совпадает с условием задачи.

Ответ: на первой полке 32 книги, на второй — 16 книг, на третьей — 27 книг.

5.92. Расстояние между двумя пунктами на местности 500 м, а на карте – 2,5 см. Найдите масштаб карты.

5.92

$$\begin{gathered} \frac{1}{25} = \frac{х}{50 000} \\ х = \frac{1 · 50 000}{25} = \frac{500 000}{25} = 20 000 \end{gathered}$$

Ответ: 1 : 20000

Масштаб карты представляет собой отношение расстояния на карте к соответствующему расстоянию на местности. Для определения масштаба необходимо, чтобы оба расстояния были выражены в одинаковых единицах измерения.

В условии задачи даны:

• Расстояние на местности: 500 м
• Расстояние на карте: 2,5 см

Первым шагом приведем расстояние на местности к сантиметрам. В одном метре содержится 100 сантиметров, поэтому:

$1 \text{ м} = 100 \text{ см}$

Следовательно, расстояние на местности в сантиметрах равно:

$500 \text{ м} = 500 \times 100 \text{ см} = 50\,000 \text{ см}$

Теперь, когда оба расстояния выражены в сантиметрах, мы можем найти их отношение, которое и будет являться масштабом. Масштаб — это отношение длины на карте к реальной длине:

Масштаб = $2,5 \text{ см} : 50\,000 \text{ см}$

Обычно масштаб записывают в формате $1:N$. Чтобы привести наше отношение к этому виду, разделим обе его части на величину расстояния на карте, то есть на 2,5:

$\frac{2,5}{2,5} : \frac{50\,000}{2,5}$

Выполним деление:

$1 : 20\,000$

Таким образом, масштаб карты составляет 1:20 000. Это означает, что 1 см на карте соответствует 20 000 см (или 200 м) на местности.

Ответ: 1:20 000.

5.93. Река Тигр имеет длину 1850 км. Какой длины будет эта река на карте, если масштаб карты 1 : 2 500 000?

5.93

$$\begin{gathered} \frac{1}{\mathrm{х}} = \frac{2 500 000}{185 000 000} \\ \mathrm{х} = \frac{1 · 185 000 000}{2 500 000} = \frac{1850}{25} = 74 \mathrm{см} \end{gathered}$$

Ответ: 74 см.

Чтобы определить длину реки на карте, зная ее реальную длину и масштаб карты, необходимо выполнить следующие действия.

1. Анализ масштаба
Масштаб карты $1 : 2 500 000$ является числовым и показывает, что 1 единица длины на карте соответствует $2 500 000$ таким же единицам на местности. Для удобства расчетов переведем этот масштаб в именованный, то есть выразим, какому расстоянию на местности (в километрах) соответствует 1 сантиметр на карте.
В одном километре $1000$ метров, а в одном метре $100$ сантиметров. Следовательно:
$1 \text{ км} = 1000 \text{ м} \times 100 \frac{\text{см}}{\text{м}} = 100 000 \text{ см}$.
Теперь найдем, сколько километров в $2 500 000$ сантиметрах:
$2 500 000 \text{ см} = \frac{2 500 000}{100 000} \text{ км} = 25 \text{ км}$.
Таким образом, $1$ сантиметр на карте соответствует $25$ километрам на местности.

2. Расчет длины реки на карте
Реальная длина реки Тигр составляет $1850$ км. Чтобы найти ее длину на карте, нужно реальную длину разделить на количество километров, которое соответствует одному сантиметру на данной карте.
Длина на карте = $\frac{\text{Реальная длина}}{\text{Расстояние на местности в 1 см карты}}$
Длина на карте = $\frac{1850 \text{ км}}{25 \text{ км/см}} = 74 \text{ см}$.

Ответ: $74 \text{ см}$.

5.94. На карте ломаная линия, изображающая путь геолога, имеет длину 12,6 см. Чему равна длина пути геолога, если масштаб карты 1 : 150 000?

5.94

$$\begin{gathered} \frac{1}{12,6} = \frac{150 000}{\mathrm{х}} \\ \mathrm{х} = \frac{12,6 · 150 000}{1} = \frac{126 · 15 000}{1} = \\ = 1 890 000 \left(\mathrm{см}\right) = 18,9 \left(\mathrm{км}\right) \end{gathered}$$

Ответ: 18,9 км

Масштаб карты $1 : 150\,000$ означает, что $1$ сантиметр на карте соответствует $150\,000$ сантиметрам на местности.

Длина ломаной линии на карте, изображающей путь геолога, составляет $12,6$ см. Чтобы найти реальную длину пути, необходимо умножить длину отрезка на карте на масштаб.

1. Сначала найдем реальное расстояние в сантиметрах:

$12,6 \text{ см} \times 150\,000 = 1\,890\,000 \text{ см}$

2. Теперь переведем полученное значение в более удобные единицы измерения. Зная, что в $1$ метре $100$ сантиметров, а в $1$ километре $1000$ метров (то есть $100\,000$ сантиметров), выполним перевод.

Переведем сантиметры в метры:

$1\,890\,000 \text{ см} \div 100 = 18\,900 \text{ м}$

Переведем метры в километры:

$18\,900 \text{ м} \div 1000 = 18,9 \text{ км}$

Таким образом, реальная длина пути геолога равна $18,9$ км.

Ответ: $18,9$ км.

1. Какие слагаемые называются подобными? Выберите правильный ответ:
а) слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть;
б) слагаемые, имеющие одинаковые коэффициенты;
в) слагаемые с одинаковыми знаками;
г) слагаемые с разными знаками.

Проверочная работа

1.

Ответ: а.

Для того чтобы выбрать правильный ответ, необходимо вспомнить определение подобных слагаемых из курса алгебры.

Подобными слагаемыми (или подобными членами) называются слагаемые в алгебраическом выражении, которые имеют одинаковую буквенную часть. Буквенная часть слагаемого — это произведение всех переменных, входящих в него, с их показателями степеней. Коэффициенты (числовые множители) у подобных слагаемых могут быть как одинаковыми, так и различными.

Например, в выражении $5x^2 - 3y + 2x^2$ слагаемые $5x^2$ и $2x^2$ являются подобными, поскольку у них одна и та же буквенная часть $x^2$. Слагаемое $-3y$ не подобно им, так как его буквенная часть ($y$) отличается.

Теперь проанализируем каждый из предложенных вариантов:

а) слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть;

Это утверждение в точности соответствует определению подобных слагаемых. Именно совпадение буквенной части является главным и единственным критерием подобия.

б) слагаемые, имеющие одинаковые коэффициенты;

Это утверждение неверно. Слагаемые могут иметь одинаковые коэффициенты, но разную буквенную часть, и в таком случае они не будут подобными. Например, $7a$ и $7b$ не являются подобными.

в) слагаемые с одинаковыми знаками;

Это утверждение неверно. Знак слагаемого является частью его коэффициента и не влияет на подобие. Подобные слагаемые могут иметь разные знаки, например, $12xy$ и $-5xy$ подобны.

г) слагаемые с разными знаками.

Это утверждение также неверно. Подобные слагаемые могут иметь и одинаковые знаки, например, $2m$ и $10m$ подобны.

Таким образом, единственный правильный ответ — тот, который определяет подобные слагаемые как слагаемые с одинаковой буквенной частью.

Ответ: а

2. Приведите подобные слагаемые:
а) 3х + 1,5y – 0,2х – 10y + 1,7х;
б) 2a – 4,5b – 1,7a + 6b.

2.

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} 3х + 1,5у – 0,2х – 10у + 1,7х = \\ = (3х – 0,2х + 1,7х) + (1,5у – 10у) = \\ = (3 – 0,2 + 1,7)х + (1,5 – 10)у = \\ = 4,5х – 8,5 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} 2а – 4,5b – 1,7a + 6b = (2a – 1,7a) + \\ + (-4,5b + 6b) = (2 – 1,7)a + \\ + (-4,5 + 6)b = 0,3a + 1,5b \end{gathered}$$

Чтобы привести подобные слагаемые, необходимо сгруппировать и сложить члены выражения, которые имеют одинаковую буквенную часть.

а) В выражении $3x + 1,5y - 0,2x - 10y + 1,7x$ есть две группы подобных слагаемых: с переменной $x$ и с переменной $y$.

Сгруппируем их:

$(3x - 0,2x + 1,7x) + (1,5y - 10y)$

Теперь выполним действия с коэффициентами в каждой группе:

$3 - 0,2 + 1,7 = 4,5$

$1,5 - 10 = -8,5$

Таким образом, упрощенное выражение выглядит так:

$4,5x - 8,5y$

Ответ: $4,5x - 8,5y$

б) В выражении $2a - 4,5b - 1,7a + 6b$ есть две группы подобных слагаемых: с переменной $a$ и с переменной $b$.

Сгруппируем их:

$(2a - 1,7a) + (-4,5b + 6b)$

Выполним действия с коэффициентами в каждой группе:

$2 - 1,7 = 0,3$

$-4,5 + 6 = 1,5$

Таким образом, упрощенное выражение выглядит так:

$0,3a + 1,5b$

Ответ: $0,3a + 1,5b$

3. Найдите значение выражения 25m + 215m – 13m при m = 1213.

3.

$$\begin{gathered} \frac{2}{5}m + \frac{2}{15} m - \frac{1}{3}m = \left({\frac{2}{5}}^{\overline{)·3}} + \frac{2}{15} - {\frac{1}{3}}^{\overline{)·5}}\right) m = \\ = \left(\frac{6}{15} + \frac{2}{15} - \frac{5}{15}\right) m =\frac{3}{15}m = \frac{1}{5}m \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} m = 1\frac{2}{13} \\ \frac{1}{5} m = \frac{1}{5} · 1\frac{2}{13} = \frac{1}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{5}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{15}}}}{13} = \frac{1}{1} · \frac{3}{13} = \frac{3}{13} \end{gathered}$$

Для того чтобы найти значение выражения, сначала упростим его. Все слагаемые содержат общий множитель $m$, который можно вынести за скобки.

$\frac{2}{5}m + \frac{2}{15}m - \frac{1}{3}m = (\frac{2}{5} + \frac{2}{15} - \frac{1}{3})m$

Теперь выполним действия с дробями в скобках. Для этого их нужно привести к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 5, 15 и 3 равен 15.

Приведем дроби к знаменателю 15, домножив числитель и знаменатель на соответствующие множители:

$\frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{6}{15}$

$\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{5}{15}$

Теперь подставим полученные дроби в выражение в скобках и вычислим его значение:

$\frac{6}{15} + \frac{2}{15} - \frac{5}{15} = \frac{6 + 2 - 5}{15} = \frac{8 - 5}{15} = \frac{3}{15}$

Полученную дробь $\frac{3}{15}$ можно сократить, разделив числитель и знаменатель на 3:

$\frac{3}{15} = \frac{1}{5}$

Таким образом, исходное выражение упрощается до $\frac{1}{5}m$.

Далее подставим в это упрощенное выражение значение $m = 1\frac{2}{13}$. Перед подстановкой представим смешанное число в виде неправильной дроби:

$1\frac{2}{13} = \frac{1 \cdot 13 + 2}{13} = \frac{15}{13}$

Теперь вычислим итоговое значение:

$\frac{1}{5}m = \frac{1}{5} \cdot \frac{15}{13}$

Выполним умножение дробей:

$\frac{1}{5} \cdot \frac{15}{13} = \frac{1 \cdot 15}{5 \cdot 13} = \frac{15}{65}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 5:

$\frac{15 \div 5}{65 \div 5} = \frac{3}{13}$

Ответ: $\frac{3}{13}$.

4. Упростите выражение и найдите х:
а) 4х – 6х – 3х + 7 + х = 0,1;
б) 5х + х – 3х – 7х – 6 = 7.

4.

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)}\mathbf{ }4\mathrm{х} – 6\mathrm{х} – 3\mathrm{х} + 7 + \mathrm{х} = 0,1; \\ (4 – 6 – 3 + 1)\mathrm{х} + 7 = 0,1; \\ -4\mathrm{х} + 7 = 0,1; \\ -4\mathrm{х} = 0,1 – 7; \\ -4\mathrm{х} = -6,9; \\ \mathrm{х} = -6,9 : (-4); \\ \mathrm{х} = 1,725. \\ \mathrm{Ответ}: 1,725. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{б}\mathbf{)}\mathbf{ }5\mathrm{х} + \mathrm{х} – 3\mathrm{х} – 7\mathrm{х} – 6 = 7; \\ (5 + 1 – 3 – 7)\mathrm{х} – 6 = 7; \\ -4\mathrm{х} – 6 = 7; \\ -4\mathrm{х} = 7 + 6; \\ -4\mathrm{х} = 13; \\ \mathrm{х} = 13 : (-4); \\ \mathrm{х} = -3,25. \\ \mathrm{Ответ}: -3,25. \end{gathered}$$

а) $4x - 6x - 3x + 7 + x = 0,1$

Для решения данного уравнения сначала необходимо упростить его левую часть. Для этого сгруппируем и сложим все слагаемые, содержащие переменную $x$, и отдельно — числовые константы.

Сгруппируем члены с $x$: $4x - 6x - 3x + x$.

Сложим их коэффициенты: $4 - 6 - 3 + 1 = -2 - 3 + 1 = -5 + 1 = -4$.

Таким образом, сумма членов с $x$ равна $-4x$.

Теперь уравнение выглядит так:

$-4x + 7 = 0,1$

Далее, перенесем число 7 из левой части уравнения в правую, изменив его знак на противоположный:

$-4x = 0,1 - 7$

$-4x = -6,9$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на -4:

$x = \frac{-6,9}{-4}$

$x = 1,725$

Ответ: $x = 1,725$.

б) $5x + x - 3x - 7x - 6 = 7$

Сначала упростим левую часть уравнения, приведя подобные слагаемые. Сгруппируем все члены с переменной $x$.

Складываем коэффициенты при $x$: $5 + 1 - 3 - 7 = 6 - 3 - 7 = 3 - 7 = -4$.

Следовательно, сумма членов с $x$ равна $-4x$.

Теперь уравнение принимает вид:

$-4x - 6 = 7$

Перенесем свободный член (-6) из левой части в правую, поменяв его знак на "+":

$-4x = 7 + 6$

$-4x = 13$

Теперь, чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на -4:

$x = \frac{13}{-4}$

$x = -3,25$

Ответ: $x = -3,25$.