Страница 95, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

2.371. Найдите корень уравнения:

а) (34 – 35y) · 20 = 3;
б) (67x – 13) · 21 = 32;
в) 57x + 27x = 23;
г) 1115n + 35n – 13n = 9.

2.371

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }\left(\frac{3}{4} - \frac{3}{5}у\right) · 20 = 3; \\ \frac{3}{4} · 20 - \frac{3}{5}у · 20 = 3; \\ 15 - 12 у = 3; \\ 12 у = 15 - 3; \\ 12 у = 12; \\ у = 12 : 12; \\ у = 1. \\ \mathrm{Ответ}: 1. \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }\left(\frac{6}{7}х - \frac{1}{3}\right) · 21 = 32; \\ \frac{6}{7}х · 21 - \frac{1}{3} · 21 = 32; \\ 18 х - 7 = 32; \\ 18 х = 32 + 7; \\ 18 х = 39; \\ х = 39 : 18; \\ х = \frac{{\displaystyle \stackrel{13}{\cancel{39}}}}{{\displaystyle \underset{6}{\cancel{18}}}}; \\ х =\frac{13}{6}; \\ х = 2\frac{1}{6}. \\ \mathrm{Ответ}: 2\frac{1}{6}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)} \frac{5}{7} х + \frac{2}{7} х = 23; \\ \left(\frac{5}{7} + \frac{2}{7}\right) х = 23; \\ х = 23. \\ \mathrm{Ответ}: 23. \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{11}{15}n + \frac{3}{5} n - \frac{1}{3}n = 9; \\ \left(\frac{11}{15} + {\frac{3}{5}}^{\overline{)·3}} - {\frac{1}{3}}^{\overline{)·5}}\right) n = 9; \\ \left(\frac{11}{15} + \frac{9}{15} - \frac{5}{15}\right) n = 9; \\ n = 9. \\ \text{ Ответ: 9.} \end{gathered}$$

а) $(\frac{3}{4} - \frac{3}{5}y) \cdot 20 = 3$

Чтобы решить данное уравнение, можно сначала разделить обе части на 20 или раскрыть скобки. Раскроем скобки, умножив каждый член внутри скобок на 20.

$\frac{3}{4} \cdot 20 - \frac{3}{5}y \cdot 20 = 3$

Выполним вычисления:

$\frac{3 \cdot 20}{4} - \frac{3y \cdot 20}{5} = 3$

$3 \cdot 5 - 3y \cdot 4 = 3$

$15 - 12y = 3$

Теперь перенесем 15 из левой части в правую, изменив знак на противоположный:

$-12y = 3 - 15$

$-12y = -12$

Чтобы найти $y$, разделим обе части уравнения на -12:

$y = \frac{-12}{-12}$

$y = 1$

Ответ: $1$

б) $(\frac{6}{7}x - \frac{1}{3}) \cdot 21 = 32$

Раскроем скобки, умножив каждый член в скобках на 21:

$\frac{6}{7}x \cdot 21 - \frac{1}{3} \cdot 21 = 32$

Выполним умножение, сокращая дроби:

$\frac{6x \cdot 21}{7} - \frac{1 \cdot 21}{3} = 32$

$6x \cdot 3 - 7 = 32$

$18x - 7 = 32$

Перенесем -7 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$18x = 32 + 7$

$18x = 39$

Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 18:

$x = \frac{39}{18}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 3:

$x = \frac{39 \div 3}{18 \div 3} = \frac{13}{6}$

Можно также представить ответ в виде смешанного числа: $x = 2\frac{1}{6}$.

Ответ: $\frac{13}{6}$

в) $\frac{5}{7}x + \frac{2}{7}x = 23$

Так как оба слагаемых в левой части содержат переменную $x$ и имеют одинаковый знаменатель, мы можем их сложить:

$(\frac{5}{7} + \frac{2}{7})x = 23$

$\frac{5+2}{7}x = 23$

$\frac{7}{7}x = 23$

$1 \cdot x = 23$

$x = 23$

Ответ: $23$

г) $\frac{11}{15}n + \frac{3}{5}n - \frac{1}{3}n = 9$

Чтобы сложить и вычесть дроби с разными знаменателями, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 15, 5 и 3 это 15.

Приведем дроби к знаменателю 15:

$\frac{3}{5}n = \frac{3 \cdot 3}{5 \cdot 3}n = \frac{9}{15}n$

$\frac{1}{3}n = \frac{1 \cdot 5}{3 \cdot 5}n = \frac{5}{15}n$

Подставим полученные дроби в исходное уравнение:

$\frac{11}{15}n + \frac{9}{15}n - \frac{5}{15}n = 9$

Теперь выполним действия с коэффициентами при $n$:

$(\frac{11}{15} + \frac{9}{15} - \frac{5}{15})n = 9$

$\frac{11 + 9 - 5}{15}n = 9$

$\frac{15}{15}n = 9$

$1 \cdot n = 9$

$n = 9$

Ответ: $9$

2.372. Бобр живёт 15 лет, лев — в 123 раза дольше бобра, а дельфин — в 3 раза дольше льва. Сколько лет составляет продолжительность жизни дельфина?

2.372

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }15 · 1\frac{2}{3} = 15 · \left(1 + \frac{2}{3}\right)=$

$=15 · 1 + 15 ·\frac{2}{3}=15 + 10 = 25$ (лет)-живет лев;

$\mathbf{2}\mathbf{)} 25 ·3=75$(лет)-живет дельфин.

Ответ: 75 лет.

Чтобы решить эту задачу, нужно выполнить действия по порядку. Сначала мы определим продолжительность жизни льва, а затем, на основе этого значения, — продолжительность жизни дельфина.

1. Найдём продолжительность жизни льва.

Из условия известно, что бобр живёт 15 лет, а лев — в $1\frac{2}{3}$ раза дольше. Чтобы найти, сколько лет живёт лев, необходимо возраст бобра умножить на $1\frac{2}{3}$.

Для удобства вычислений представим смешанное число $1\frac{2}{3}$ в виде неправильной дроби:

$1\frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{5}{3}$

Теперь умножим продолжительность жизни бобра на полученную дробь:

$15 \cdot \frac{5}{3} = \frac{15 \cdot 5}{3} = \frac{75}{3} = 25$ лет.

Таким образом, продолжительность жизни льва составляет 25 лет.

2. Найдём продолжительность жизни дельфина.

В условии сказано, что дельфин живёт в 3 раза дольше льва. Поскольку мы уже знаем, что лев живёт 25 лет, мы можем найти продолжительность жизни дельфина, умножив возраст льва на 3:

$25 \cdot 3 = 75$ лет.

Ответ: продолжительность жизни дельфина составляет 75 лет.

2.373. На дачном участке есть сад и огород прямоугольной формы. Длина сада 13710 м, а ширина 9 м. Ширина огорода 9 м, а длина 10710 м. На сколько площадь огорода меньше площади сада?

2.373

Длина сада – $13\frac{7}{10}$ м;

Ширина сада – 9м;

Длина огорода - 9 м;

Ширина огорода - $10\frac{7}{10}$ м.

Площадь огорода – Площадь сада - ?

$$\begin{gathered} \mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }13\frac{7}{10 } · 9 = \left(13 + \frac{7}{10 }\right) · 9 = \\ = 13 · 9 + \frac{7}{10 } · 9 = 117 + \frac{63}{10} = \end{gathered}$$

$= 117 + 6\frac{3}{10}=123\frac{3}{10}$ (м²)-площадь сада;

$$\begin{gathered} \mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }9 · 10\frac{7}{10}= 9 · \left(10 + \frac{7}{10}\right)= \\ = 9 · 10 + 9 · \frac{7}{10}= 90 + \frac{63}{10}= \end{gathered}$$

$= 90 + 6\frac{3}{10}=96\frac{3}{10}$(м²)-площадь огорода;

$\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{ }123\frac{3}{10} - 96 \frac{3}{10}=27$(м²)-меньше.

Ответ: на 27 м² меньше.

На сколько площадь огорода меньше площади сада?

Для решения этой задачи необходимо найти разность между площадью сада и площадью огорода. Поскольку оба участка прямоугольные и имеют одинаковую ширину, можно использовать упрощенный метод решения.

1. Найдем разницу в длине между садом и огородом.
Длина сада: $13\frac{7}{10}$ м.
Длина огорода: $10\frac{7}{10}$ м.
Разница в длине составляет:
$13\frac{7}{10} \text{ м} - 10\frac{7}{10} \text{ м} = 3 \text{ м}$.

2. Теперь умножим полученную разницу в длине на общую для обоих участков ширину (9 м), чтобы найти разницу в площадях.
Разница в площадях равна:
$3 \text{ м} \times 9 \text{ м} = 27 \text{ м}^2$.

Таким образом, площадь огорода меньше площади сада на 27 квадратных метров.

Ответ: площадь огорода меньше площади сада на 27 м².

2.374. Маршрут равен s км. В первый день туристы прошли 14 маршрута. Какую часть маршрута осталось пройти? Найдите значение получившегося выражения при s = 56; s = 232; s = 18845.

2.374

s = 56; 232; $188\frac{4}{5}$.

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{1}{4} · 1s = \frac{1}{4}s$ - 1 день;

$\mathbf{2}\mathbf{)} 1s - \frac{1}{4}s=\left(1 - \frac{1}{4}\right)s=\frac{3}{4}s$ -осталось пройти;

при s = 56:  

$\frac{3}{4}s = \frac{3}{4} · 56 = \frac{3 · {\displaystyle \stackrel{14}{\cancel{56}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{4}}}}=\frac{3 · 14}{1}=42$ (км);

при s = 232: 

$\frac{3}{4}s = \frac{3}{4} · 232 = \frac{3 · {\displaystyle \stackrel{58}{\cancel{232}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{4}}}}=\frac{3 · 58}{1}=174$ (км)

при s = 188 $\frac{4}{5}$: 

$$\begin{gathered} \frac{3}{4}s = \frac{3}{4} · 188\frac{4}{5} = \frac{3}{4} · \left(188 + \frac{4}{5}\right)= \\ =\frac{3}{4} · 188 + \frac{3}{4} ·\frac{4}{5} = 141 + \frac{3}{5}=141\frac{3}{5} \left(\mathrm{км}\right) \end{gathered}$$

Сначала найдем, какую часть маршрута осталось пройти. Весь маршрут — это 1 (единица). Туристы прошли $\frac{1}{4}$ маршрута. Чтобы найти оставшуюся часть, вычтем пройденную часть из целого:
$1 - \frac{1}{4} = \frac{4}{4} - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
Таким образом, осталось пройти $\frac{3}{4}$ всего маршрута.

Выражение для вычисления оставшегося расстояния в километрах, если весь маршрут равен $s$, будет $\frac{3}{4}s$. Теперь найдем значение этого выражения для заданных $s$.

при s = 56:
$\frac{3}{4} \cdot 56 = \frac{3 \cdot 56}{4} = 3 \cdot 14 = 42$ км.
Ответ: 42 км.

при s = 232:
$\frac{3}{4} \cdot 232 = \frac{3 \cdot 232}{4} = 3 \cdot 58 = 174$ км.
Ответ: 174 км.

при s = $188\frac{4}{5}$:
Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь:
$s = 188\frac{4}{5} = \frac{188 \cdot 5 + 4}{5} = \frac{940 + 4}{5} = \frac{944}{5}$
Теперь подставим это значение в выражение и вычислим:
$\frac{3}{4} \cdot \frac{944}{5} = \frac{3 \cdot 944}{4 \cdot 5} = \frac{3 \cdot 236}{5} = \frac{708}{5} = 141\frac{3}{5}$ км.
Ответ: $141\frac{3}{5}$ км.

2.375. В первый день Маша прочитала 314 всей повести, во второй день — 17 всей повести. Сколько страниц прочитала Маша за два дня, если вся повесть занимает а страниц? Составьте выражение для решения задачи, упростите его и найдите значение при а = 42; а = 70; а = 98.

2.375

А = 42; 70; 98.

$\mathbf{1}\mathbf{)} \frac{3}{14} · а = \frac{3}{14}а$- прочитала за 1 день;

$\mathbf{2}\mathbf{)} \frac{1}{7} · а =\frac{1}{7}а$- прочитала за 2 день;

$\mathbf{3}\mathbf{)} \frac{3}{14}а + {\frac{1}{7}}^{\overline{)·2}}а = \left(\frac{3}{14} + \frac{2}{14}\right)а = \frac{5}{14}а$ - прочитала Маша за два дня;

при a=42: 

$\frac{5}{14} а = \frac{5}{14 }· 42 = \frac{ 5 · {\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{42}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{14}}}} = \frac{5 · 3}{1}=15 \left(\mathrm{стр}\right)$

при a=70: 

$\frac{5}{14} а = \frac{5}{14 }· 70 = \frac{ 5 · {\displaystyle \stackrel{5}{\cancel{70}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{14}}}} = \frac{5 · 5}{1}=25 \left(\mathrm{стр}\right)$

при a=98: 

$\frac{5}{14} а = \frac{5}{14 }· 98 = \frac{ 5 · {\displaystyle \stackrel{7}{\cancel{98}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{14}}}} = \frac{5 · 7}{1}=35 \left(\mathrm{стр}\right)$

Сначала составим выражение для нахождения общего количества страниц, прочитанных Машей за два дня, а затем упростим его. Пусть a — общее количество страниц в повести.
Количество страниц, прочитанных в первый день, составляет $\frac{3}{14}$ от всей повести, то есть $\frac{3}{14}a$.
Количество страниц, прочитанных во второй день, составляет $\frac{1}{7}$ от всей повести, то есть $\frac{1}{7}a$.
Выражение для общего числа прочитанных страниц — это сумма страниц, прочитанных в первый и второй дни:
$\frac{3}{14}a + \frac{1}{7}a$

Упростим это выражение, приведя дроби к общему знаменателю 14 и сложив коэффициенты при переменной a:
$\frac{3}{14}a + \frac{1}{7}a = \frac{3}{14}a + \frac{2}{14}a = (\frac{3}{14} + \frac{2}{14})a = \frac{5}{14}a$.
Итак, упрощенное выражение для расчета: $\frac{5}{14}a$.

Теперь найдем значение этого выражения для каждого из заданных значений a.

при a = 42
Подставляем $a=42$ в упрощенное выражение:
$\frac{5}{14} \cdot 42 = \frac{5 \cdot 42}{14} = 5 \cdot 3 = 15$.
Ответ: 15 страниц.

при a = 70
Подставляем $a=70$ в упрощенное выражение:
$\frac{5}{14} \cdot 70 = \frac{5 \cdot 70}{14} = 5 \cdot 5 = 25$.
Ответ: 25 страниц.

при a = 98
Подставляем $a=98$ в упрощенное выражение:
$\frac{5}{14} \cdot 98 = \frac{5 \cdot 98}{14} = 5 \cdot 7 = 35$.
Ответ: 35 страниц.

2.376. В двухкомнатной квартире жилой площадью а м² одна комната составляет 0,48 жилой площади, а другая составляет 58 площади первой комнаты. Чему равна площадь двух комнат вместе? Найдите значение получившегося выражения при а = 45; а = 70.

2.376

а = 45; 70.

1) 0,48 • а = 0,48 а - площаль 1 комнаты;

2) 0,48 a ∙ $\frac{5}{8}$= 0,48а •0,625 = 0,3а – площадь 2 комнаты;

3) 0,48а + 0,3а = (0,48 + 0,3) а = 0,78 а – площадь двух комнат;

при a=45: 0,78a = 0,78 ∙ 45=35,1 (м²)

при a=70 0,78a = 0,78 ∙ 70=54,6 (м²)

Чему равна площадь двух комнат вместе?

Сначала составим выражение для нахождения площади двух комнат. Пусть $a$ — общая жилая площадь квартиры в м².

1. Площадь первой комнаты ($S_1$) составляет $0,48$ от общей жилой площади. Это можно записать в виде формулы:

$S_1 = 0,48a$

2. Площадь второй комнаты ($S_2$) составляет $\frac{5}{8}$ от площади первой комнаты. Выразим $S_2$ через $a$:

$S_2 = \frac{5}{8} S_1 = \frac{5}{8} (0,48a)$

Упростим полученное выражение:

$S_2 = \frac{5 \cdot 0,48}{8} a = 5 \cdot 0,06a = 0,3a$

3. Общая площадь двух комнат ($S_{общ}$) равна сумме их площадей:

$S_{общ} = S_1 + S_2 = 0,48a + 0,3a = (0,48 + 0,3)a = 0,78a$

Ответ: выражение для площади двух комнат вместе равно $0,78a$.

Найдите значение получившегося выражения при a = 45

Подставим значение $a = 45$ в выражение $0,78a$:

$0,78 \cdot 45 = 35,1$

Ответ: 35,1 м².

Найдите значение получившегося выражения при a = 70

Подставим значение $a = 70$ в выражение $0,78a$:

$0,78 \cdot 70 = 54,6$

Ответ: 54,6 м².

2.377. На заправке было b тыс. л бензина. В первый день продали 38 этого бензина, во второй — 0,4 того количества, которое продали в первый день. Сколько бензина осталось на заправке? Найдите значение получившегося выражения при b = 6,4; b = 5614.

2.377

b = 6,4; $56\frac{1}{4}$.

$\mathbf{1}\mathbf{)} \frac{3}{8} · b = \frac{3}{8}b$- продали за 1 день;

$\mathbf{2}\mathbf{)} \frac{3}{8}b · 0,4 = \frac{3}{8}b · \frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\cancel{4}}}}{{\displaystyle \underset{5}{\cancel{10}}}}=\frac{3}{8}b ·\frac{2}{5} = \frac{6}{40}b$ (тыс. л) – бензина продали во второй день;

$\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{3}{8} b + \frac{6}{40}b = \left({\frac{3}{8}}^{\overline{)·5}} + \frac{6}{40}\right)b =$

$= \left(\frac{15}{40} +\frac{6}{40} \right)b = \frac{21}{40} b$ (тыс. л) – бензина продали за два дня;

$\mathbf{4}\mathbf{)}\mathbf{ }b - \frac{21}{40}b =\left(1 - \frac{21}{40}\right)b = \left(\frac{40}{40} - \frac{21}{40}\right)b =$

$=\frac{19}{40}b$(тыс. л) – бензина осталось.

b = 6,4:    

$$\begin{gathered} \frac{19}{40}b = \frac{19}{40} · 6,4 = \frac{19}{40} · (6 + 0,4) = \\ =\frac{19}{40} · (6 + \frac{2}{5}) =\frac{19}{40} · 6 + \frac{19}{40} · \frac{2}{5}= \\ =\frac{19 · {\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{6}}} }{{\displaystyle \underset{20}{\cancel{40}}}} + \frac{19 · {\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{2}}}}{{\displaystyle \underset{20}{\cancel{40}}} · 5}=\frac{19 · 3}{20} + \frac{19 · 1}{20 · 5}= \\ ={\frac{57}{20}}^{\overline{)·5}} + \frac{19}{100}= \frac{285}{100}+ \frac{19}{100}=\frac{304}{100}=3,04 (\mathrm{тыс}. \mathrm{л}); \end{gathered}$$

b = $56\frac{1}{4}$

$$\begin{gathered} \frac{19}{40}b= \frac{19}{40} · 56\frac{1}{4}=\frac{19}{40} ·\left(56 + \frac{1}{4}\right)= \\ =\frac{19}{40} · 56+ \frac{19}{40} ·\frac{1}{4}=\frac{19 · {\displaystyle \stackrel{7}{\cancel{56}}}}{{\displaystyle \underset{5}{\cancel{40}}}} + \\ + \frac{19 · 1}{40 · 4} = \frac{19 · 7}{5} + \frac{19}{160}={\frac{133}{5}}^{\overline{)·32}} + \frac{19}{160}= \\ =\frac{4256}{160} + \frac{19}{160}=\frac{{\displaystyle \stackrel{855}{\cancel{4275}}}}{{\displaystyle \underset{32}{\cancel{160}}} }= \frac{855}{32}=26\frac{23}{32}(\mathrm{тыс}. \mathrm{л} ) \end{gathered}$$

Сначала составим выражение для нахождения оставшегося количества бензина. Пусть $b$ тыс. л — это начальное количество бензина.

1. Количество бензина, проданного в первый день, составляет $\frac{3}{8}$ от общего количества:
$\frac{3}{8}b$ (тыс. л).

2. Количество бензина, проданного во второй день, составляет 0,4 от количества, проданного в первый день. Переведем 0,4 в обыкновенную дробь: $0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.
Количество проданного во второй день бензина:
$0,4 \cdot \left(\frac{3}{8}b\right) = \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{8}b = \frac{6}{40}b = \frac{3}{20}b$ (тыс. л).

3. Общее количество проданного за два дня бензина равно сумме проданного в первый и второй дни:
$\frac{3}{8}b + \frac{3}{20}b$.
Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю 40:
$\frac{3 \cdot 5}{8 \cdot 5}b + \frac{3 \cdot 2}{20 \cdot 2}b = \frac{15}{40}b + \frac{6}{40}b = \frac{21}{40}b$ (тыс. л).

4. Чтобы найти, сколько бензина осталось, вычтем из начального количества общее проданное количество:
$b - \frac{21}{40}b = \frac{40}{40}b - \frac{21}{40}b = \frac{19}{40}b$ (тыс. л).

Итак, выражение для оставшегося количества бензина: $\frac{19}{40}b$. Теперь найдем его значения для заданных $b$.

при b = 6,4;
Подставим $b = 6,4$ в полученное выражение. Удобно представить 6,4 в виде обыкновенной дроби: $6,4 = \frac{64}{10}$.
$\frac{19}{40} \cdot 6,4 = \frac{19}{40} \cdot \frac{64}{10} = \frac{19 \cdot 64}{40 \cdot 10}$.
Сократим дробь: 64 и 40 делятся на 8.
$\frac{19 \cdot (8 \cdot 8)}{(5 \cdot 8) \cdot 10} = \frac{19 \cdot 8}{5 \cdot 10} = \frac{152}{50} = 3,04$.
Ответ: 3,04 тыс. л.

при b = 56 1/4.
Подставим $b = 56\frac{1}{4}$ в выражение. Сначала переведем смешанное число в неправильную дробь:
$56\frac{1}{4} = \frac{56 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{224+1}{4} = \frac{225}{4}$.
Теперь выполним умножение:
$\frac{19}{40} \cdot \frac{225}{4} = \frac{19 \cdot 225}{40 \cdot 4}$.
Сократим дробь: 225 и 40 делятся на 5.
$\frac{19 \cdot (45 \cdot 5)}{(8 \cdot 5) \cdot 4} = \frac{19 \cdot 45}{8 \cdot 4} = \frac{855}{32}$.
Выделим целую часть, разделив 855 на 32 с остатком:
$855 \div 32 = 26$ и остаток $23$.
Получаем $26\frac{23}{32}$.
Ответ: $26\frac{23}{32}$ тыс. л.

2.378.Кладовщик в первый раз выдал 45 % имеющегося творога, во второй раз — 60 % остатка. Сколько килограммов творога осталось на складе, если первоначально было n кг? Найдите значение получившегося выражения при n = 2300; n = 700; n = 90.

2.378

n = 2300; 700; 90.

45 % = 0,45; 60% = 0,6.

1) 0,45 • n = 0,45 n (кг) – выдал в первый раз;

2) n – 0,45n = (1 - 0,45) n = 0,55n (кг) – остаток;

3) 0,55n • 0,6n = (0,55 • 0,6) n = 0,33n (кг) – выдал во 2 день;

4) 0,55n - 0,33n = (0,55 - 0,33) n = 0,22n (кг) - осталось;

n = 2300: 0,22n = 0,22 • 2300 = 506 кг

n = 700: 0,22n = 0,22 • 700 = 154 кг

n = 90: 0,22n = 0,22 • 90 = 19,8 кг

Сначала составим выражение для нахождения количества творога, оставшегося на складе. Пусть первоначально на складе было $n$ кг творога.

1. После того как кладовщик в первый раз выдал 45% творога, на складе осталось $100\% - 45\% = 55\%$ от первоначального количества. Чтобы найти эту величину, нужно умножить первоначальное количество на десятичную дробь, соответствующую 55%:
$n \cdot 0.55 = 0.55n$ кг.

2. Во второй раз кладовщик выдал 60% от остатка. Это означает, что на складе осталось $100\% - 60\% = 40\%$ от того количества, которое было после первой выдачи. Чтобы найти итоговое количество, нужно остаток после первой выдачи ($0.55n$) умножить на десятичную дробь, соответствующую 40%:
$(0.55n) \cdot 0.4 = 0.22n$ кг.

Таким образом, итоговое выражение для количества творога, оставшегося на складе, — $0.22n$.

Теперь найдем значения этого выражения для заданных в условии значений $n$.

при n = 2300

Подставляем $n = 2300$ в полученное выражение:
$0.22 \cdot 2300 = 506$ кг.

Ответ: 506 кг.

при n = 700

Подставляем $n = 700$ в полученное выражение:
$0.22 \cdot 700 = 154$ кг.

Ответ: 154 кг.

при n = 90

Подставляем $n = 90$ в полученное выражение:
$0.22 \cdot 90 = 19.8$ кг.

Ответ: 19.8 кг.

2.379. Найдите значение выражения:

а) (214 + 156) · (4 – 33849);

б) (2 + 31118) · (20 – 17916);

в) (2 + 189) · (345 – 3855);

г) 51315 · 511 – 715 · 16.

2.379

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} \left(2\frac{1}{4} \stackrel{1}{+} 1\frac{5}{6}\right) \stackrel{3}{·} \left(4 \stackrel{2}{-} 3\frac{38}{49}\right)=\frac{11}{12} \\ 1) {2\frac{1}{4}}^{\overline{)·3}} + {1\frac{5}{6}}^{\overline{)·2}} = 2\frac{3}{12} + 1\frac{10}{12} = 3\frac{13}{12}= \\ = 3 + 1\frac{1}{12}=4\frac{1}{12}; \\ 2) 4 - 3\frac{38}{49} = 3\frac{49}{49} - 3 \frac{38}{49} = \frac{11}{49}; \\ 3) 4\frac{1}{12} · \frac{11}{49} = \frac{49}{12} · \frac{ 11}{49} = \frac{\cancel{49} · 11}{12 · \cancel{49}} = \frac{11}{12}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} \left(2 \stackrel{1}{+} 3\frac{11}{18}\right) \stackrel{3}{·} \left(20\stackrel{2}{ -} 17\frac{9}{16}\right) = 13\frac{65}{96} \\ 1) 2 + 3\frac{11}{18} = 5\frac{11}{18}; \\ 2) 20 - 17 \frac{9}{16} = 19 \frac{16}{16} - 17 \frac{9}{16} =2\frac{7}{16}; \\ 3) 5\frac{11}{18} · 2\frac{7}{16} = \frac{101}{18} · \frac{39}{16} = \\ = \frac{101 · {\displaystyle \stackrel{13}{\cancel{39}}}}{{\displaystyle \underset{6}{\cancel{18}}} · 16} =\frac{101 · 13}{6 · 16} = \frac{1313}{96} = 13\frac{65}{96}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)} \left(2 \stackrel{1}{+} 1\frac{8}{9}\right) \stackrel{3}{·} \left(3\frac{4}{5} \stackrel{2}{-} \frac{38}{55}\right) = 12\frac{1}{11} \\ 1) 2 + 1\frac{8}{9} = 3\frac{8}{9}; \\ 2) {3\frac{4}{5}}^{\overline{)·11}} - \frac{38}{55} = 3\frac{44}{55} - \frac{38}{55} = \\ = 3\frac{6}{55}; \\ 3) 3\frac{8}{9} · 3\frac{6}{55} = \frac{35}{9} · \frac{171}{55} = \frac{{\displaystyle \stackrel{7}{\bcancel{35}}} · {\displaystyle \stackrel{19}{\cancel{171}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{9}}} · {\displaystyle \underset{11}{\bcancel{55}}}}= \\ =\frac{7 · 19}{1 · 11} = \frac{133}{11}=12\frac{1}{11}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }5\frac{13}{15}\stackrel{1}{ · }\frac{5}{11} \stackrel{3}{-} 7\frac{1}{5} \stackrel{2}{·} \frac{1}{6} = 1\frac{7}{15} \\ 1) 5\frac{13}{15} · \frac{5}{11} = \frac{88}{15} · \frac{5}{11} = \frac{{\displaystyle \stackrel{8}{\cancel{88} }}· {\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{5}}}}{{\displaystyle \underset{3}{\bcancel{15}}} · {\displaystyle \underset{1}{\cancel{11}}}}= \\ =\frac{8 · 1}{3 · 1}=\frac{8}{3}; \\ 2) 7\frac{1}{5} · \frac{1}{6} = \frac{36}{5} · \frac{1}{6} =\frac{{\displaystyle \stackrel{6}{\cancel{36}}} · 1}{5 · {\displaystyle \underset{1}{\cancel{6}}}}= \\ =\frac{6 · 1}{5 · 1}=\frac{6}{5}; \\ 3) {\frac{8}{3}}^{\overline{)·5}}-{\frac{6}{5}}^{\overline{)·3}}=\frac{40}{15}- \frac{18}{15}=\frac{22}{15}=1\frac{7}{15}. \end{gathered}$$

а) Для решения выражения $(2\frac{1}{4} + 1\frac{5}{6}) \cdot (4 - 3\frac{38}{49})$ выполним действия по порядку.
1. Выполним сложение в первой скобке. Для этого приведем смешанные числа к виду неправильных дробей и найдем общий знаменатель:
$2\frac{1}{4} + 1\frac{5}{6} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} + \frac{1 \cdot 6 + 5}{6} = \frac{9}{4} + \frac{11}{6}$.
Общий знаменатель для 4 и 6 равен 12.
$\frac{9}{4} + \frac{11}{6} = \frac{9 \cdot 3}{12} + \frac{11 \cdot 2}{12} = \frac{27}{12} + \frac{22}{12} = \frac{49}{12}$.
2. Выполним вычитание во второй скобке:
$4 - 3\frac{38}{49} = 3\frac{49}{49} - 3\frac{38}{49} = \frac{49 - 38}{49} = \frac{11}{49}$.
3. Перемножим результаты, полученные в пунктах 1 и 2:
$\frac{49}{12} \cdot \frac{11}{49} = \frac{\cancel{49} \cdot 11}{12 \cdot \cancel{49}} = \frac{11}{12}$.
Ответ: $\frac{11}{12}$.

б) Для решения выражения $(2 + 3\frac{11}{18}) \cdot (20 - 17\frac{9}{16})$ выполним действия по порядку.
1. Выполним сложение в первой скобке:
$2 + 3\frac{11}{18} = 5\frac{11}{18}$. Переведем в неправильную дробь: $5\frac{11}{18} = \frac{5 \cdot 18 + 11}{18} = \frac{90 + 11}{18} = \frac{101}{18}$.
2. Выполним вычитание во второй скобке:
$20 - 17\frac{9}{16} = 19\frac{16}{16} - 17\frac{9}{16} = (19-17) + (\frac{16-9}{16}) = 2\frac{7}{16}$. Переведем в неправильную дробь: $2\frac{7}{16} = \frac{2 \cdot 16 + 7}{16} = \frac{32 + 7}{16} = \frac{39}{16}$.
3. Перемножим результаты, сократив дроби:
$\frac{101}{18} \cdot \frac{39}{16} = \frac{101}{6 \cdot 3} \cdot \frac{13 \cdot 3}{16} = \frac{101 \cdot 13}{6 \cdot 16} = \frac{1313}{96}$.
Выделим целую часть: $\frac{1313}{96} = 13\frac{65}{96}$.
Ответ: $13\frac{65}{96}$.

в) Для решения выражения $(2 + 1\frac{8}{9}) \cdot (3\frac{4}{5} - \frac{38}{55})$ выполним действия по порядку.
1. Выполним сложение в первой скобке:
$2 + 1\frac{8}{9} = 3\frac{8}{9}$. Переведем в неправильную дробь: $3\frac{8}{9} = \frac{3 \cdot 9 + 8}{9} = \frac{27+8}{9} = \frac{35}{9}$.
2. Выполним вычитание во второй скобке. Сначала приведем смешанное число к виду неправильной дроби, а затем приведем дроби к общему знаменателю:
$3\frac{4}{5} - \frac{38}{55} = \frac{3 \cdot 5 + 4}{5} - \frac{38}{55} = \frac{19}{5} - \frac{38}{55}$.
Общий знаменатель 55.
$\frac{19 \cdot 11}{55} - \frac{38}{55} = \frac{209 - 38}{55} = \frac{171}{55}$.
3. Перемножим результаты, сократив дроби:
$\frac{35}{9} \cdot \frac{171}{55} = \frac{5 \cdot 7}{9} \cdot \frac{171}{5 \cdot 11} = \frac{7 \cdot 171}{9 \cdot 11}$.
Число 171 делится на 9 ($1+7+1=9$), $171 \div 9 = 19$.
$\frac{7 \cdot \cancel{171}_{19}}{\cancel{9}_1 \cdot 11} = \frac{7 \cdot 19}{11} = \frac{133}{11}$.
Выделим целую часть: $\frac{133}{11} = 12\frac{1}{11}$.
Ответ: $12\frac{1}{11}$.

г) Для решения выражения $5\frac{13}{15} \cdot \frac{5}{11} - 7\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{6}$ выполним действия согласно их приоритету (сначала умножение, затем вычитание).
1. Выполним первое умножение. Переведем смешанное число в неправильную дробь:
$5\frac{13}{15} \cdot \frac{5}{11} = \frac{5 \cdot 15 + 13}{15} \cdot \frac{5}{11} = \frac{75+13}{15} \cdot \frac{5}{11} = \frac{88}{15} \cdot \frac{5}{11}$.
Сократим дробь: $\frac{\cancel{88}_8}{\cancel{15}_3} \cdot \frac{\cancel{5}_1}{\cancel{11}_1} = \frac{8 \cdot 1}{3 \cdot 1} = \frac{8}{3}$.
2. Выполним второе умножение:
$7\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{6} = \frac{7 \cdot 5 + 1}{5} \cdot \frac{1}{6} = \frac{36}{5} \cdot \frac{1}{6}$.
Сократим дробь: $\frac{\cancel{36}_6}{5} \cdot \frac{1}{\cancel{6}_1} = \frac{6}{5}$.
3. Выполним вычитание полученных результатов:
$\frac{8}{3} - \frac{6}{5}$. Общий знаменатель 15.
$\frac{8 \cdot 5}{15} - \frac{6 \cdot 3}{15} = \frac{40 - 18}{15} = \frac{22}{15}$.
Выделим целую часть: $\frac{22}{15} = 1\frac{7}{15}$.
Ответ: $1\frac{7}{15}$.

2.380. Значение какого выражения больше:

(7 – 647) · (4 – 214) или 7 · 647 – 4 · 214?

$$\begin{gathered} \left(7 \stackrel{1}{-} 6\frac{4}{7}\right)\stackrel{3}{ ·} \left(4 \stackrel{2}{-} 2\frac{1}{4}\right) = \frac{3}{4} \\ 1) 7 - 6\frac{4}{7} = 6\frac{7}{7} - 6\frac{4}{7} =\frac{3}{7} \\ 2) 4 - 2\frac{1}{4}=3\frac{4}{4}-2\frac{1}{4} = 1\frac{3}{4} \\ 3) \frac{3}{7} · 1\frac{3}{4} = \frac{3}{7} · \frac{7}{4} = \frac{3 · \cancel{7}}{\cancel{7} · 4} = \frac{3}{4}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 7 \stackrel{1}{·} 6\frac{4}{7} \stackrel{3}{-} 4 \stackrel{2}{·} 2\frac{1}{4}=36 \\ 1) 7 · 6\frac{4}{7} = 7 · \left(6 + \frac{4}{7}\right)= 7 · 6 + 7 ·\frac{4}{7}= \\ = 42 + 4 = 46; \\ 2) 4 · 2\frac{1}{4} = 4 · \left(2 + \frac{1}{4}\right) = 4 · 2 + 4 ·\frac{1}{4}= \\ =8 + 1 = 9 \\ 3) 46 - 9 = 37 \end{gathered}$$

т.к. 37 > $\frac{3}{4}$, то $7 · 6\frac{4}{7} - 4 · 2\frac{1}{4}$ > $\left(7 - 6\frac{4}{7}\right) · \left(4 - 2\frac{1}{4}\right)$.

Чтобы определить, значение какого выражения больше, необходимо вычислить значение каждого из них и затем сравнить полученные результаты.

$(7 - 6\frac{4}{7}) \cdot (4 - 2\frac{1}{4})$

1. Вычислим значение первого сомножителя (выражения в первой скобке):

$7 - 6\frac{4}{7} = 6\frac{7}{7} - 6\frac{4}{7} = \frac{3}{7}$

2. Вычислим значение второго сомножителя (выражения во второй скобке):

$4 - 2\frac{1}{4} = 3\frac{4}{4} - 2\frac{1}{4} = 1\frac{3}{4}$

3. Перемножим полученные значения. Представим $1\frac{3}{4}$ как неправильную дробь $\frac{7}{4}$:

$\frac{3}{7} \cdot 1\frac{3}{4} = \frac{3}{7} \cdot \frac{7}{4} = \frac{3 \cdot \cancel{7}}{\cancel{7} \cdot 4} = \frac{3}{4}$

Таким образом, значение первого выражения равно $\frac{3}{4}$.

$7 \cdot 6\frac{4}{7} - 4 \cdot 2\frac{1}{4}$

1. Выполним первое умножение, преобразовав смешанное число $6\frac{4}{7}$ в неправильную дробь $\frac{46}{7}$:

$7 \cdot 6\frac{4}{7} = 7 \cdot \frac{6 \cdot 7 + 4}{7} = 7 \cdot \frac{46}{7} = 46$

2. Выполним второе умножение, преобразовав $2\frac{1}{4}$ в неправильную дробь $\frac{9}{4}$:

$4 \cdot 2\frac{1}{4} = 4 \cdot \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = 4 \cdot \frac{9}{4} = 9$

3. Найдем разность полученных произведений:

$46 - 9 = 37$

Таким образом, значение второго выражения равно $37$.

Сравнение

Теперь сравним результаты вычислений: $\frac{3}{4}$ и $37$.

Поскольку $\frac{3}{4}$ — это правильная дробь, то есть $\frac{3}{4} < 1$, а $37$ — это целое число, значительно большее 1, то очевидно, что:

$37 > \frac{3}{4}$

Следовательно, значение второго выражения больше, чем значение первого.

Ответ: значение выражения $7 \cdot 6\frac{4}{7} - 4 \cdot 2\frac{1}{4}$ больше.

2.381. Найдите значение выражения:

а) 435n + m при n = 1423, m = 61330;
б) 517(n + m) при n = 179, m = 219.

2.381

а) при n = $1\frac{4}{23}$, m = $6\frac{13}{30}$

$$\begin{gathered} 4\frac{3}{5}n + m =4\frac{3}{5} · 1\frac{4}{23}+6\frac{13}{30}= \\ =\frac{23}{5} · \frac{27}{23} +6\frac{13}{30}=\frac{\cancel{23} · 27}{5 · \cancel{23}} + 6\frac{13}{30}= \\ = \frac{1 · 27}{5 · 1}+ 6\frac{13}{30}=\frac{27}{5}+ 6\frac{13}{30}={5\frac{2}{5}}^{\overline{)·6}}+ 6\frac{13}{30}= \\ =5\frac{12}{30}+ 6\frac{13}{30}=11\frac{{\displaystyle \stackrel{5}{\cancel{25}}}}{{\displaystyle \underset{6}{\cancel{30}}}}=11\frac{5}{6}. \end{gathered}$$

б) при n = $1\frac{7}{9}$, m = $2\frac{1}{9}$

$$\begin{gathered} 5\frac{1}{7} (n + m) =5\frac{1}{7} · \left(1\frac{7}{9} + 2\frac{1}{9}\right)= \\ =5\frac{1}{7} ·3\frac{8}{9}=\frac{36}{7} · \frac{35}{9}=\frac{{\displaystyle \stackrel{4}{\cancel{36}}} · {\displaystyle \stackrel{5}{\bcancel{35}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{7}}} · {\displaystyle \underset{1}{\cancel{9}}}}= \\ =\frac{4 · 5}{1 · 1}=20. \end{gathered}$$

а) Найдём значение выражения $4\frac{3}{5}n + m$ при $n = 1\frac{4}{23}$ и $m = 6\frac{13}{30}$.

1. Подставим значения $n$ и $m$ в выражение:

$4\frac{3}{5} \cdot 1\frac{4}{23} + 6\frac{13}{30}$

2. Сначала выполним умножение. Для этого преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$4\frac{3}{5} = \frac{4 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{23}{5}$

$1\frac{4}{23} = \frac{1 \cdot 23 + 4}{23} = \frac{27}{23}$

3. Теперь умножим полученные дроби:

$\frac{23}{5} \cdot \frac{27}{23} = \frac{\cancel{23} \cdot 27}{5 \cdot \cancel{23}} = \frac{27}{5}$

4. Преобразуем результат обратно в смешанное число:

$\frac{27}{5} = 5\frac{2}{5}$

5. Теперь выполним сложение:

$5\frac{2}{5} + 6\frac{13}{30}$

6. Сложим целые части: $5 + 6 = 11$.

7. Сложим дробные части, приведя их к общему знаменателю 30:

$\frac{2}{5} + \frac{13}{30} = \frac{2 \cdot 6}{5 \cdot 6} + \frac{13}{30} = \frac{12}{30} + \frac{13}{30} = \frac{12 + 13}{30} = \frac{25}{30}$

8. Сократим полученную дробь:

$\frac{25}{30} = \frac{5}{6}$

9. Сложим результат сложения целых и дробных частей:

$11 + \frac{5}{6} = 11\frac{5}{6}$

Ответ: $11\frac{5}{6}$

б) Найдём значение выражения $5\frac{1}{7}(n + m)$ при $n = 1\frac{7}{9}$ и $m = 2\frac{1}{9}$.

1. Подставим значения $n$ и $m$ в выражение:

$5\frac{1}{7} \cdot (1\frac{7}{9} + 2\frac{1}{9})$

2. Сначала выполним действие в скобках — сложение смешанных чисел:

$1\frac{7}{9} + 2\frac{1}{9} = (1 + 2) + (\frac{7}{9} + \frac{1}{9}) = 3 + \frac{8}{9} = 3\frac{8}{9}$

3. Теперь выполним умножение. Для этого преобразуем оба смешанных числа в неправильные дроби:

$5\frac{1}{7} = \frac{5 \cdot 7 + 1}{7} = \frac{36}{7}$

$3\frac{8}{9} = \frac{3 \cdot 9 + 8}{9} = \frac{35}{9}$

4. Умножим полученные дроби, предварительно сократив их:

$\frac{36}{7} \cdot \frac{35}{9} = \frac{\cancel{36}^4}{\cancel{7}_1} \cdot \frac{\cancel{35}^5}{\cancel{9}_1} = 4 \cdot 5 = 20$

Ответ: $20$

5.128. В первом трамвае было в 3 раза меньше пассажиров, чем во втором. Когда на остановке из первого трамвая вышли 7 человек, а из второго – 25 человек, то в обоих трамваях людей стало поровну. Сколько пассажиров было в каждом трамвае первоначально?

5.128

Пусть х пассажиров – было в первом трамвае, тогда 3х пассажиров – было во втором трамвае, (х – 7) пассажиров – стало в первом трамвае, (3х – 25) пассажиров – стало во втором трамвае. Зная, что пассажиров в трамваях стало поровну, составим и решим уравнение

$$\begin{gathered} х – 7 = 3х – 25; \\ х – 3х = -25 + 7; \\ -2х = -18; \\ х = -18 : (-2); \end{gathered}$$

х = 9 (п) – было в первом трамвае;

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }3 · 9 = 27$ (п) – было во втором трамвае.

Ответ: 9 и 27 пассажиров.

Для решения данной задачи составим уравнение.

Пусть $x$ — это количество пассажиров, которое было в первом трамвае первоначально.

Согласно условию, во втором трамвае было в 3 раза больше пассажиров. Следовательно, во втором трамвае было $3x$ пассажиров.

Когда на остановке из первого трамвая вышли 7 человек, количество пассажиров в нем стало равно $(x - 7)$.

Когда из второго трамвая вышли 25 человек, количество пассажиров в нем стало равно $(3x - 25)$.

После этого число пассажиров в обоих трамваях сравнялось. На основе этого мы можем составить следующее уравнение:

$x - 7 = 3x - 25$

Теперь решим это уравнение. Перенесем все члены с переменной $x$ в одну сторону, а числовые значения — в другую.

$25 - 7 = 3x - x$

Выполним вычисления:

$18 = 2x$

Найдем $x$:

$x = 18 / 2$

$x = 9$

Таким образом, мы нашли, что первоначально в первом трамвае было 9 пассажиров.

Теперь определим, сколько пассажиров было во втором трамвае:

$3 \cdot x = 3 \cdot 9 = 27$

Во втором трамвае первоначально было 27 пассажиров.

Проверим наше решение. После остановки в первом трамвае осталось $9 - 7 = 2$ пассажира. Во втором трамвае осталось $27 - 25 = 2$ пассажира. Количество пассажиров стало равным, что соответствует условию задачи.

Ответ: первоначально в первом трамвае было 9 пассажиров, а во втором трамвае — 27 пассажиров.

5.129. Когда для полива огорода из первой бочки израсходовали 14 имевшейся в ней воды, а из второй – 35, то в обеих бочках воды стало поровну. Найдите, сколько литров воды было в каждой бочке первоначально, если в двух бочках было 445 л воды.

5.129

Всего – 445л.

Пусть х л воды – было в одной бочке, тогда (445 – х) л воды – было в другой бочке, $\left(1 - \frac{1}{4}\right) х = \frac{3}{4}х$ л воды – осталось в одной бочке,
$\left(1 - \frac{3}{5}\right) \left(445 - х\right)=\frac{2}{5} \left(445 - х\right)$ л воды – осталось в другой бочке. Зная, что воды в бочках осталось поровну, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} \frac{3}{4}х = \frac{2}{5}\left(445 - х\right) \overline{)·20} \\ \frac{3}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{4}}}}х ·\stackrel{5}{ \cancel{20}} = \frac{2}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{5}}}}\left(445 - х\right) · \stackrel{4}{\bcancel{20}}; \\ \frac{3}{1}х · 5 = \frac{2}{1}\left(445 - х\right) · 4; \\ 15x = 8 (445 – х) \\ 15х = 3560 – 8х ; \\ 15х + 8х = 3560; \\ 23х = 3560; \\ х = 3560 : 23 \end{gathered}$$

$х= \frac{3560}{23} = 154\frac{18}{23}$ (л) воды – было в одной бочке ;

$\mathbf{1}\mathbf{)} 445 - 154\frac{18}{23} = 444\frac{23}{23} - 154\frac{18}{23} = 290 \frac{5}{23}$ (л) воды – было в другой бочке.

Ответ: $154\frac{18}{23} \mathrm{л} \mathrm{и} 290 \frac{5}{23} \mathrm{л}$

Если в учебники опечатка и в двух бочках 345 л воды, тогда
Пусть х л воды – было в одной бочке, тогда (345 – х) л воды – было в другой бочке, $\left(1 - \frac{1}{4}\right)х = \frac{3}{4}х$ л воды – осталось в одной бочке,
$\left(1 - \frac{3}{5}\right)\left(345 - х\right) = \frac{2}{5}\left(345 - х\right)$ л воды – осталось в другой бочке. Зная, что воды в бочках осталось поровну, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} \frac{3}{4} х = \frac{2}{5} \left(345 - х\right) \overline{)· 20} \\ \frac{3}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{4}}}} х · \stackrel{5}{\bcancel{20}} = \frac{2}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{5}}}} \left(345 - х\right) ·\stackrel{4}{ \cancel{20}} \\ \frac{3}{1} х · 5 = \frac{2}{1} \left(345 - х\right) · 4 \\ 15x = 8 (345 – х) \\ 15х = 2760 – 8х ; \\ 15х + 8х = 2760; \\ 23х = 2760; \\ х = 2760 : 23 \end{gathered}$$

х = 120 (л) воды – было в одной бочке ;

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ } 345 – 120 = 225$(л) воды – было в другой бочке.

Ответ: 120 л и 225 л

Обозначим первоначальное количество воды в первой бочке как $x$ литров, а во второй бочке — как $y$ литров.Согласно условию задачи, всего в двух бочках было 445 литров воды. Это дает нам первое уравнение:

$x + y = 445$

Из первой бочки израсходовали $\frac{1}{4}$ воды, следовательно, в ней осталось $1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ от первоначального объема, то есть $\frac{3}{4}x$ литров.

Из второй бочки израсходовали $\frac{3}{5}$ воды, следовательно, в ней осталось $1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$ от первоначального объема, то есть $\frac{2}{5}y$ литров.

По условию, после расхода воды в обеих бочках ее стало поровну. Это дает нам второе уравнение:

$\frac{3}{4}x = \frac{2}{5}y$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$$ \begin{cases} x + y = 445 \\ \frac{3}{4}x = \frac{2}{5}y \end{cases} $$

Из второго уравнения найдем соотношение между $x$ и $y$. Для этого выразим отношение $\frac{x}{y}$:

$\frac{x}{y} = \frac{2}{5} : \frac{3}{4} = \frac{2}{5} \cdot \frac{4}{3} = \frac{8}{15}$

Это означает, что объемы воды в бочках относятся как $8:15$. Мы можем сказать, что первоначальный объем воды в первой бочке составляет 8 частей, а во второй — 15 таких же частей. Общий объем воды в двух бочках составляет $8 + 15 = 23$ части.

Весь объем воды, 445 литров, соответствует 23 частям. Найдем, сколько литров составляет одна часть:

$445 : 23 = \frac{445}{23}$ л.

Теперь найдем первоначальный объем воды в каждой бочке.

Объем в первой бочке ($x$) равен 8 частям:

$x = 8 \cdot \frac{445}{23} = \frac{3560}{23} = 154\frac{18}{23}$ л.

Объем во второй бочке ($y$) равен 15 частям:

$y = 15 \cdot \frac{445}{23} = \frac{6675}{23} = 290\frac{5}{23}$ л.

Проверим, что сумма объемов равна 445 л:

$154\frac{18}{23} + 290\frac{5}{23} = (154+290) + (\frac{18}{23} + \frac{5}{23}) = 444 + \frac{23}{23} = 444 + 1 = 445$ л.

Проверка верна.

Ответ: первоначально в первой бочке было $154\frac{18}{23}$ л воды, а во второй — $290\frac{5}{23}$ л воды.

5.130. Миша шёл в школу 0,25 ч со скоростью 4,8 км/ч. На сколько ему надо увеличить скорость, чтобы пройти это расстояние за 0,2 ч?

5.130

Пусть х км/ч – на сколько нужно увеличить скорость, тогда
$\left(0,25 · 4,8\right)$ км – расстояние с первоначальной скоростью,
$0,2 · \left(4,8 + х\right)$ км – расстояние с увеличенной скорость. Зная, что расстояние одинаковое, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} 0,2 · (4,8 + х) = 0,25 · 4,8; \\ 0,96 + 0,2х = 1,2; \\ 0,2 х = 1,2 – 0,96; \\ 0,2 х = 0,24; \\ х = 0,24 : 0,2; \\ х = 2,4 : 2; \end{gathered}$$

х = 1,2 (км/ч) – нужно увеличить скорость

Ответ: на 1,2 км/ч.

Для решения этой задачи сначала необходимо найти расстояние от дома до школы. Расстояние ($S$) вычисляется по формуле $S = v \cdot t$, где $v$ - это скорость, а $t$ - это время.

1. Найдем расстояние до школы.
Миша шёл 0,25 часа со скоростью 4,8 км/ч.
$S = 4,8 \text{ км/ч} \cdot 0,25 \text{ ч} = 1,2$ км.
Таким образом, расстояние до школы составляет 1,2 км.

2. Теперь найдем новую скорость ($v_{новая}$), с которой Миша должен пройти это же расстояние за 0,2 часа.
$v_{новая} = S / t_{новое} = 1,2 \text{ км} / 0,2 \text{ ч} = 6$ км/ч.
Чтобы успеть в школу за 0,2 часа, Миша должен идти со скоростью 6 км/ч.

3. Чтобы узнать, на сколько ему надо увеличить скорость, вычтем из новой скорости его первоначальную скорость.
$v_{новая} - v_{начальная} = 6 \text{ км/ч} - 4,8 \text{ км/ч} = 1,2$ км/ч.

Ответ: Мише надо увеличить скорость на 1,2 км/ч.

5.131. Одна сеялка может засеять всё поле за 150 мин, а другая – за 120 мин. Какую часть поля засеют обе машины за 1 мин; за 5 мин?

5.131

1 сеялка – за 150 мин

2 сеялка – за 120 мин.

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }1 : 150 = \frac{1}{150}$ поля – засеет одна сеялка за 1 мин;

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }1 : 120 = \frac{1}{120}$ поля – засеет другая сеялка за 1 мин;

$\mathbf{3}\mathbf{)} {\frac{1}{150}}^{\overline{)·4}} + {\frac{1}{120}}^{\overline{)·5}} = \frac{4}{600} + \frac{5}{600} =$

$\frac{9}{600} = \frac{3}{200}$ поля – засеют обе машины за 1 минуту;

$\mathbf{4}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{3}{{\displaystyle \underset{40}{\cancel{200}}}} · \stackrel{1}{\cancel{5}} = \frac{3}{40} · 1 = \frac{3}{40}$ поля – засеют обе машины за 5 минут

Ответ: $\frac{3}{200}$ поля и $\frac{3}{40}$поля.

Для решения этой задачи необходимо определить производительность каждой сеялки (какую часть поля она засевает за 1 минуту), а затем найти их общую производительность.

1. Найдем производительность первой сеялки.
Если первая сеялка засевает все поле (примем его за 1) за 150 минут, то ее производительность составляет $\frac{1}{150}$ поля в минуту.

2. Найдем производительность второй сеялки.
Если вторая сеялка засевает все поле за 120 минут, то ее производительность составляет $\frac{1}{120}$ поля в минуту.

3. Найдем совместную производительность обеих сеялок.
Для этого сложим их производительности:
$\frac{1}{150} + \frac{1}{120}$
Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для 150 и 120 это 600.
$\frac{4}{600} + \frac{5}{600} = \frac{9}{600}$
Сократим полученную дробь на 3:
$\frac{9 \div 3}{600 \div 3} = \frac{3}{200}$
Таким образом, совместная производительность двух сеялок составляет $\frac{3}{200}$ поля в минуту.

за 1 мин
Совместная производительность, которую мы рассчитали, и есть та часть поля, которую обе машины засеют за 1 минуту.
Ответ: $\frac{3}{200}$ часть поля.

за 5 мин
Чтобы найти, какую часть поля обе машины засеют за 5 минут, нужно их совместную производительность умножить на время работы:
$\frac{3}{200} \times 5 = \frac{15}{200}$
Теперь сократим полученную дробь на 5:
$\frac{15 \div 5}{200 \div 5} = \frac{3}{40}$
Ответ: $\frac{3}{40}$ часть поля.

5.132. Для приготовления травяного чая смешали зверобой и душицу. Душица составила 30 % всей смеси. Если в эту смесь добавить ещё 120 г душицы, то она составит 45 % смеси. Сколько граммов душицы было в травяной смеси первоначально?

5.132

30% = 0,3; 45% = 0,45.

Пусть х г – первоначальная масса всей смеси, тогда 0,3х г – душицы в первоначальной смеси, (х + 120) г – масса полученной смеси,
$0,45 · \left(х + 120\right)$ г – душицы в полученной смеси. Зная, что масса чая одинаковая, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} 0,3х + 120 = 0,45· (х + 120); \\ 0,3х + 120 = 0,45х + 54; \\ 0,3х – 0,45х = 54 – 120; \\ -0,15х = -66; \\ х = -66 : (-0,15); \\ х = 6600 : 15; \end{gathered}$$

х = 440 (г) – первоначальная масса смеси

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }0,3 · 440 = 132$ (г) – душицы было в смеси первоначально

Ответ: 132 г душицы.

Обозначим за $x$ первоначальную массу всей травяной смеси в граммах.

По условию, душица составляла 30% всей смеси. Значит, первоначальная масса душицы была $0,3x$ граммов.

После того как в смесь добавили 120 г душицы, масса душицы стала равна $(0,3x + 120)$ граммов.

Общая масса смеси также увеличилась на 120 г и стала равна $(x + 120)$ граммов.

По новому условию, душица составляет 45% от новой массы смеси. Мы можем составить уравнение, приравняв массу душицы к её доле в новой смеси:

$0,3x + 120 = 0,45 \cdot (x + 120)$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $x$:

$0,3x + 120 = 0,45x + 0,45 \cdot 120$

$0,3x + 120 = 0,45x + 54$

Перенесём слагаемые с $x$ в одну сторону, а числовые значения — в другую:

$120 - 54 = 0,45x - 0,3x$

$66 = 0,15x$

$x = \frac{66}{0,15}$

$x = 440$

Итак, первоначальная масса всей смеси составляла 440 граммов.

Вопрос задачи — сколько граммов душицы было в смеси первоначально. Для этого найдём 30% от общей первоначальной массы:

Масса душицы = $0,3 \cdot x = 0,3 \cdot 440 = 132$ грамма.

Ответ: 132.

5.133. Найдите значение выражения:

$\mathrm{а}) \frac{43,4 : 1{\displaystyle \frac{3}{4}} - 7,2 · {\displaystyle \frac{5}{6}}}{55,44 : 2,1 - 17};$

$\mathrm{б}) \frac{18,9 : {\displaystyle \frac{7}{13}} - 10,5 · 1{\displaystyle \frac{3}{7}}}{66,69 : 2,7 - 18}.$

5.133

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} \frac{43,4 : {1{\displaystyle \frac{3}{4}}}^{\overline{)·25}} - 7,2 · {\displaystyle \frac{5}{6}}}{55,44 : 2,1 - 17} = \frac{43,4 : 1{\displaystyle \frac{75}{100}} - {\displaystyle \frac{{\displaystyle \stackrel{12}{\bcancel{72}}}}{{\displaystyle \underset{2}{1\cancel{0}}}}} · {\displaystyle \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{5}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{6}}}}}}{554,4 : 21 - 17} = \\ = \frac{43,4 : 1,75 - {\displaystyle \frac{12}{2}} · {\displaystyle \frac{1}{1}}}{554,4 : 21 - 17} = \frac{4340 : 175 - 6}{26,4 - 17}=\frac{24,8 - 6}{9,4}= \\ = \frac{18,8}{9,4} = \frac{188}{94}= 2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{18,9 : {\displaystyle \frac{7}{13}} - 10,5 · 1{\displaystyle \frac{3}{7}}}{66,69 : 2,7 - 18}\mathbf{ }= \frac{{\displaystyle \frac{189}{10}} : {\displaystyle \frac{7}{13}} - {\displaystyle \frac{{\displaystyle \stackrel{15}{\bcancel{105}}}}{\cancel{10}}} · {\displaystyle \frac{\cancel{10}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{7}}}}}}{666,9 : 27 - 18}\mathbf{ }= \\ =\frac{{\displaystyle \frac{{\displaystyle \stackrel{27}{\cancel{189}}}}{10} · \frac{13}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{7}}}} - \frac{15}{1} · \frac{1}{1}}}{24,7- 18} = \frac{{\displaystyle \frac{27}{10} · \frac{13}{1} - 15}}{6,7} = \\ = \frac{{\displaystyle \frac{351}{10}} - 15}{6,7}= \frac{20,1}{6,7} = \frac{201}{67} = 3. \end{gathered}$$

а)

Решим выражение по действиям. Сначала вычислим значение числителя, затем — знаменателя, и в конце найдем их частное.

1. Вычислим значение числителя: $43,4 : 1\frac{3}{4} - 7,2 \cdot \frac{5}{6}$

Для удобства вычислений переведем десятичные дроби в обыкновенные, а смешанное число — в неправильную дробь.

$43,4 = \frac{434}{10} = \frac{217}{5}$

$1\frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{7}{4}$

$7,2 = \frac{72}{10} = \frac{36}{5}$

Теперь выполним действия:

1) $43,4 : 1\frac{3}{4} = \frac{217}{5} : \frac{7}{4} = \frac{217}{5} \cdot \frac{4}{7} = \frac{217 \cdot 4}{5 \cdot 7} = \frac{31 \cdot 4}{5} = \frac{124}{5} = 24,8$

2) $7,2 \cdot \frac{5}{6} = \frac{36}{5} \cdot \frac{5}{6} = \frac{36 \cdot 5}{5 \cdot 6} = \frac{36}{6} = 6$

3) $24,8 - 6 = 18,8$

Значение числителя равно 18,8.

2. Вычислим значение знаменателя: $55,44 : 2,1 - 17$

1) $55,44 : 2,1 = 554,4 : 21 = 26,4$

2) $26,4 - 17 = 9,4$

Значение знаменателя равно 9,4.

3. Найдем значение всего выражения:

$\frac{18,8}{9,4} = \frac{18,8 \cdot 10}{9,4 \cdot 10} = \frac{188}{94} = 2$

Ответ: 2

б)

Решим выражение по действиям, как и в предыдущем пункте.

1. Вычислим значение числителя: $18,9 : \frac{7}{13} - 10,5 \cdot 1\frac{3}{7}$

Переведем числа в удобный для вычислений формат.

$18,9 = \frac{189}{10}$

$10,5 = \frac{105}{10} = \frac{21}{2}$

$1\frac{3}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 3}{7} = \frac{10}{7}$

Теперь выполним действия:

1) $18,9 : \frac{7}{13} = \frac{189}{10} : \frac{7}{13} = \frac{189}{10} \cdot \frac{13}{7} = \frac{189 \cdot 13}{10 \cdot 7} = \frac{27 \cdot 13}{10} = \frac{351}{10} = 35,1$

2) $10,5 \cdot 1\frac{3}{7} = \frac{21}{2} \cdot \frac{10}{7} = \frac{21 \cdot 10}{2 \cdot 7} = \frac{3 \cdot 5}{1} = 15$

3) $35,1 - 15 = 20,1$

Значение числителя равно 20,1.

2. Вычислим значение знаменателя: $66,69 : 2,7 - 18$

1) $66,69 : 2,7 = 666,9 : 27 = 24,7$

2) $24,7 - 18 = 6,7$

Значение знаменателя равно 6,7.

3. Найдем значение всего выражения:

$\frac{20,1}{6,7} = \frac{20,1 \cdot 10}{6,7 \cdot 10} = \frac{201}{67} = 3$

Ответ: 3

1. Дано уравнение 2х + 4 = 3х + 5. Какое из уравнений имеет те же корни, что и данное:
а) 2х + 3х = 4 + 5;
б) 2х – 3х = 5 – 4;
в) 2х – 3х = 5 + 4;
г) 2х – 3х = 4 – 5.

Проверочная работа № 1

1.

Уравнение б) 2х – 3х = 5 – 4 имеет те же корни, что и данное уравнение

2х + 4 = 3х + 5

Для того чтобы определить, какое из предложенных уравнений имеет те же корни, что и данное, необходимо выполнить равносильные преобразования. Уравнения являются равносильными (или эквивалентными), если они имеют одинаковые корни или не имеют корней вовсе.

Исходное уравнение: $2x + 4 = 3x + 5$.

Основное правило для получения равносильного уравнения — это перенос слагаемых из одной части уравнения в другую с изменением их знака на противоположный. Сгруппируем все члены с переменной $x$ в левой части, а свободные члены (числа) — в правой.

Перенесем слагаемое $3x$ из правой части в левую, поменяв его знак с «+» на «–». Также перенесем число $4$ из левой части в правую, поменяв его знак с «+» на «–».

В результате получаем следующее уравнение:

$2x - 3x = 5 - 4$

Это уравнение равносильно исходному. Теперь сравним его с каждым из предложенных вариантов.

а) В уравнении $2x + 3x = 4 + 5$ преобразование выполнено неверно. При переносе слагаемого $3x$ в левую часть и слагаемого $4$ в правую часть их знаки не были изменены на противоположные.

б) Уравнение $2x - 3x = 5 - 4$ полностью совпадает с уравнением, которое мы получили после выполнения равносильных преобразований. Следовательно, оно имеет те же корни, что и исходное. Для проверки можно найти корень: $-x = 1$, откуда $x = -1$. Корень исходного уравнения $2x+4 = 3x+5$ также равен $-1$.

в) В уравнении $2x - 3x = 5 + 4$ преобразование выполнено неверно. Слагаемое $4$ было перенесено из левой части в правую без изменения знака на противоположный.

г) В уравнении $2x - 3x = 4 - 5$ преобразование выполнено неверно. Правая часть уравнения ($4 - 5$) не соответствует результату правильного переноса слагаемых ($5 - 4$).

Таким образом, единственным уравнением, равносильным данному, является уравнение из варианта б).

Ответ: б)

2. Решите уравнение:

а) 7y = –95,4 – 2y;
б) 56х – 34х + 1 = 23х – 16.

2.

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)} 7\mathrm{у} = -95,4 – 2\mathrm{у}; \\ 7\mathrm{у} + 2\mathrm{у} = -95,4; \\ 9\mathrm{y} = -95,4; \\ \mathrm{y} = -95,4 : 9; \\ \mathrm{y} = -10,6. \\ \mathrm{Ответ}: -10,6. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{б}\mathbf{)} \frac{5}{6} \mathrm{х} - \frac{3}{4} \mathrm{х} + 1 = \frac{2}{3} \mathrm{х} - \frac{1}{6}; \overline{) · 12} \\ \frac{5}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{6}}}} \mathrm{х} · \stackrel{2}{\cancel{12} }- \frac{3}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{4}}}} \mathrm{х} · \stackrel{3}{\bcancel{12} }+ 1 · 12 = \frac{2}{{\displaystyle \underset{1}{\sout{3}}}} \mathrm{х} · \stackrel{4}{\sout{12}} - \frac{1}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{6}}}} · \stackrel{2}{\bcancel{12}}; \\ \frac{5}{1} \mathrm{х} · 2- \frac{3}{1} \mathrm{х} · 3 + 12 = \frac{2}{1} \mathrm{х} · 4 - \frac{1}{1} · 2; \\ 10\mathrm{x} – 9\mathrm{x} + 12 = 8\mathrm{x} – 2; \\ \mathrm{x} – 8\mathrm{x} = -2 – 12; \\ -7\mathrm{x} = -14\mathrm{x}; \\ \mathrm{х} = -14 : (-7); \\ \mathrm{х} = 2. \\ \mathrm{Ответ}: 2. \end{gathered}$$

а) $7y = -95,4 - 2y$

Для решения этого линейного уравнения необходимо собрать все слагаемые с переменной $y$ в одной части уравнения, а числовые слагаемые — в другой. Перенесем $-2y$ из правой части в левую, изменив знак на противоположный:

$7y + 2y = -95,4$

Сложим слагаемые с переменной $y$ в левой части уравнения:

$9y = -95,4$

Теперь, чтобы найти $y$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $y$, то есть на 9:

$y = \frac{-95,4}{9}$

Выполним деление:

$y = -10,6$

Ответ: $y = -10,6$.

б) $\frac{5}{6}x - \frac{3}{4}x + 1 = \frac{2}{3}x - \frac{1}{6}$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 6, 4 и 3. НОК(6, 4, 3) = 12. Умножаем каждый член уравнения на 12:

$12 \cdot (\frac{5}{6}x) - 12 \cdot (\frac{3}{4}x) + 12 \cdot 1 = 12 \cdot (\frac{2}{3}x) - 12 \cdot (\frac{1}{6})$

Выполним умножение и сократим дроби:

$(12:6) \cdot 5x - (12:4) \cdot 3x + 12 = (12:3) \cdot 2x - (12:6) \cdot 1$

$2 \cdot 5x - 3 \cdot 3x + 12 = 4 \cdot 2x - 2$

$10x - 9x + 12 = 8x - 2$

Упростим левую часть уравнения:

$x + 12 = 8x - 2$

Теперь соберем все слагаемые с переменной $x$ в одной части, а числовые слагаемые — в другой. Перенесем $x$ в правую часть, а $-2$ — в левую, изменив их знаки:

$12 + 2 = 8x - x$

Выполним сложение и вычитание:

$14 = 7x$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 7:

$x = \frac{14}{7}$

$x = 2$

Ответ: $x = 2$.

3. Товарный поезд за 7 ч проходит такой же путь, как скорый поезд за 4 ч. Найдите скорость товарного поезда, если она меньше скорости скорого поезда на 24 км/ч.

3.

Пусть х км/ч – скорость товарного поезда, тогда (х + 24) км/ч – скорость скорого поезда, 7х км – прошел товарный поезд, 4(х + 24) км – прошел скорый поезд. Зная, что расстояние, пройденное поездами одинаковое, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} 7х = 4(х + 24); \\ 7х = 4х + 96; \\ 7х – 4х = 96; \\ 3х = 96 \end{gathered}$$

х = 32 (км/ч) – скорость товарного поезда

Ответ: 32 км/ч.

Для решения данной задачи составим уравнение. Пусть $x$ км/ч — искомая скорость товарного поезда.

Согласно условию, скорость скорого поезда на 24 км/ч больше, значит, она составляет $(x + 24)$ км/ч.

Расстояние вычисляется по формуле $S = v \cdot t$, где $S$ — расстояние, $v$ — скорость, а $t$ — время.

Товарный поезд за 7 часов проходит путь $S_1 = 7x$ км.

Скорый поезд за 4 часа проходит путь $S_2 = 4(x + 24)$ км.

Поскольку поезда проходят одинаковый путь ($S_1 = S_2$), мы можем приравнять выражения для расстояний и составить уравнение:

$7x = 4(x + 24)$

Теперь решим полученное уравнение. Сначала раскроем скобки в правой части:

$7x = 4x + 96$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть уравнения, а числовые значения оставим в правой:

$7x - 4x = 96$

$3x = 96$

Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 3:

$x = \frac{96}{3}$

$x = 32$

Следовательно, скорость товарного поезда равна 32 км/ч.

Ответ: 32 км/ч.

4. Решите уравнение 0,6 · (х – 3) – 0,5 · (х – 1) = 1,5.

4.

$$\begin{gathered} 0,6 · (\mathrm{х} – 3) – 0,5 · (\mathrm{х} – 1) = 1,5; \\ 0,6\mathrm{х} – 1,8 – 0,5\mathrm{х} + 0,5 = 1,5; \\ 0,6\mathrm{х} – 0,5\mathrm{х} = 1,5 + 1,8 – 0,5; \\ 0,1\mathrm{х} = 2,8; \\ \mathrm{х} = 2,8 : 0,1; \\ \mathrm{х} = 28. \\ \mathrm{Ответ}: 28. \end{gathered}$$

Чтобы решить данное линейное уравнение, выполним следующие шаги:

Исходное уравнение:

$0.6 \cdot (x - 3) - 0.5 \cdot (x - 1) = 1.5$

1. Раскроем скобки. Для этого умножим число перед скобкой на каждый член внутри скобки:

$0.6 \cdot x - 0.6 \cdot 3 - 0.5 \cdot x - 0.5 \cdot (-1) = 1.5$

Выполним умножение:

$0.6x - 1.8 - 0.5x + 0.5 = 1.5$

2. Приведем подобные слагаемые. Сгруппируем члены с переменной $x$ и числовые члены (константы):

$(0.6x - 0.5x) + (-1.8 + 0.5) = 1.5$

Выполним вычисления в скобках:

$0.1x - 1.3 = 1.5$

3. Теперь изолируем член с переменной $x$. Для этого перенесем $-1.3$ из левой части уравнения в правую, изменив знак на противоположный:

$0.1x = 1.5 + 1.3$

$0.1x = 2.8$

4. Найдем значение $x$. Для этого разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на $0.1$:

$x = \frac{2.8}{0.1}$

Чтобы разделить на десятичную дробь, можно умножить и делимое, и делитель на 10:

$x = \frac{28}{1}$

$x = 28$

5. Проверка. Подставим найденное значение $x=28$ в исходное уравнение:

$0.6 \cdot (28 - 3) - 0.5 \cdot (28 - 1) = 1.5$

$0.6 \cdot 25 - 0.5 \cdot 27 = 1.5$

$15 - 13.5 = 1.5$

$1.5 = 1.5$

Равенство верное, следовательно, уравнение решено правильно.

Ответ: 28

1. Выберите верное решение уравнения:

а) 23x + 12 = 2 – 56x;
4х + 1 = 12 – 5x;
4х – 5х = 12 – 1;
– х = 11;
х = – 11;

б) 23x + 12 = 2 – 56x;
4х + 3 = 12 – 5x;
4х + 5х = 12 – 3;
9х = 9;
х = 1;

в) 23x + 12 = 2 – 56x;
4х + 3 = 12 – 5х;
3 – 12 = – 5х – 4х;
9 = –9х;
х = – 1;