Страница 88, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

Вопросы:

Как найти дробь от числа?

Как найти проценты от числа?

13. Нахождение дроби от числа

Вопросы к параграфу

• чтобы найти дробь от числа, нужно умножить число на эту дробь

• чтобы найти проценты от числа, нужно проценты перевести в обыкновенную или десятичную дробь и умножить ее на число

Как найти дробь от числа?

Чтобы найти дробь от некоторого числа, нужно это число умножить на данную дробь. Есть два распространенных способа выполнения этого действия.

Способ 1: Умножение числа на дробь

Это самый прямой и универсальный способ. Чтобы найти дробь $\frac{a}{b}$ от числа $N$, необходимо умножить число $N$ на эту дробь.

Формула выглядит так: $N \times \frac{a}{b} = \frac{N \times a}{b}$

Пример: Найти $\frac{3}{4}$ от числа 20.

Решение: $20 \times \frac{3}{4} = \frac{20 \times 3}{4} = \frac{60}{4} = 15$.

Способ 2: Деление на знаменатель и умножение на числитель

Этот метод может быть более наглядным, так как разбивает задачу на два шага.

1. Сначала нужно разделить число на знаменатель дроби. Этим действием мы находим, чему равна одна доля (часть) от всего числа.

2. Затем полученный результат нужно умножить на числитель дроби, чтобы найти, чему равны несколько таких долей.

Пример: Найти $\frac{3}{4}$ от числа 20.

Решение:

1. Делим число 20 на знаменатель 4: $20 \div 4 = 5$. Это значение одной четвертой части ($\frac{1}{4}$) от 20.

2. Умножаем результат 5 на числитель 3: $5 \times 3 = 15$.

Ответ: Чтобы найти дробь от числа, нужно число умножить на эту дробь, либо разделить число на знаменатель дроби и результат умножить на ее числитель.

Как найти проценты от числа?

Процент — это специальное название для одной сотой части числа ($1\% = \frac{1}{100}$). Поэтому нахождение процента от числа — это частный случай нахождения дроби от числа.

Чтобы найти проценты от числа, нужно сначала представить проценты в виде десятичной или обыкновенной дроби, а затем умножить исходное число на эту дробь.

Способ 1: Через десятичную дробь

1. Переведите проценты в десятичную дробь. Для этого число процентов разделите на 100. Например, $25\% = 25 \div 100 = 0.25$.

2. Умножьте исходное число на полученную десятичную дробь.

Пример: Найти 25% от числа 80.

Решение:

1. Переводим проценты в дробь: $25\% = 0.25$.

2. Умножаем число на эту дробь: $80 \times 0.25 = 20$.

Способ 2: Через обыкновенную дробь

1. Представьте проценты в виде обыкновенной дроби со знаменателем 100. Например, $25\% = \frac{25}{100}$. Эту дробь можно сократить: $\frac{25}{100} = \frac{1}{4}$.

2. Умножьте число на полученную дробь.

Пример: Найти 25% от числа 80.

Решение:

1. Переводим проценты в дробь: $25\% = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$.

2. Умножаем число на эту дробь: $80 \times \frac{1}{4} = \frac{80}{4} = 20$.

Способ 3: Через нахождение 1%

1. Разделите число на 100. Так вы найдете, чему равен один процент (1%) от этого числа.

2. Умножьте полученное значение на искомое количество процентов.

Пример: Найти 25% от числа 80.

Решение:

1. Находим 1% от 80: $80 \div 100 = 0.8$.

2. Умножаем значение 1% на 25: $0.8 \times 25 = 20$.

Ответ: Чтобы найти проценты от числа, нужно перевести проценты в дробь (десятичную или обыкновенную) и умножить число на эту дробь. Также можно разделить число на 100 (чтобы найти 1%) и затем умножить результат на нужное количество процентов.

2.316. Вычислите:

а) 27 от 14; б) 59 от 48; в) 94 от 827; г) 49 от 316.

2.316

$\mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }14 · \frac{2}{7} = \frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\cancel{14} }}· 2}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{7}}}}=\frac{2 · 2}{1} = 4;$

$\mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }48 · \frac{5}{9} = \frac{{\displaystyle \stackrel{16}{\cancel{48} }· 5}}{{\displaystyle \underset{3}{\cancel{9}}}}=\frac{16 · 5}{3} =\frac{80}{3}=26\frac{2}{3};$

$\mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{8}{27} · \frac{9}{4}=\frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\cancel{8}}} · {\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{9}}}}{{\displaystyle \underset{3}{\bcancel{27}}} · {\displaystyle \underset{1}{\cancel{4}}}}=\frac{2 · 1}{3 · 1}=\frac{2}{3};$

$\mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{3}{16} · \frac{4}{9}=\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{3}} · \stackrel{1}{\bcancel{4}}}}{{\displaystyle \underset{4}{\bcancel{16}} · \underset{3}{\cancel{9}}}}=\frac{1 · 1}{4 · 3}=\frac{1}{12}.$

а) Чтобы найти дробь от числа, нужно умножить это число на дробь. Найдем $\frac{2}{7}$ от 14:

$\frac{2}{7} \times 14 = \frac{2 \times 14}{7}$

Сократим числитель и знаменатель на 7:

$\frac{2 \times (14 \div 7)}{7 \div 7} = \frac{2 \times 2}{1} = 4$

Ответ: 4

б) Чтобы найти $\frac{5}{9}$ от 48, умножим число на дробь:

$\frac{5}{9} \times 48 = \frac{5 \times 48}{9}$

Сократим числитель и знаменатель на их общий делитель 3:

$\frac{5 \times (48 \div 3)}{9 \div 3} = \frac{5 \times 16}{3} = \frac{80}{3}$

Так как получилась неправильная дробь, выделим из нее целую часть:

$80 \div 3 = 26$ с остатком 2, следовательно $\frac{80}{3} = 26\frac{2}{3}$.

Ответ: $26\frac{2}{3}$

в) Чтобы найти дробь от дроби, нужно перемножить эти дроби. Найдем $\frac{9}{4}$ от $\frac{8}{27}$:

$\frac{9}{4} \times \frac{8}{27} = \frac{9 \times 8}{4 \times 27}$

Прежде чем перемножать, выполним сокращение: сократим 9 и 27 на 9, а 8 и 4 на 4.

$\frac{(9 \div 9) \times (8 \div 4)}{(4 \div 4) \times (27 \div 9)} = \frac{1 \times 2}{1 \times 3} = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$

г) Аналогично предыдущему пункту, найдем $\frac{4}{9}$ от $\frac{3}{16}$, перемножив дроби:

$\frac{4}{9} \times \frac{3}{16} = \frac{4 \times 3}{9 \times 16}$

Выполним сокращение: сократим 4 и 16 на 4, а 3 и 9 на 3.

$\frac{(4 \div 4) \times (3 \div 3)}{(9 \div 3) \times (16 \div 4)} = \frac{1 \times 1}{3 \times 4} = \frac{1}{12}$

Ответ: $\frac{1}{12}$

2.317. Вычислите:

а) 0,7 от 40; б) 0,35 от 60; в) 0,3 от 0,9; г) 0,6 от 5,7.

2.317

а) 40 • 0,7 = 28

б) 60 • 0,35 = 2,1

в) 0,9 • 0,3 = 0,27

г) 5,7 • 0,6 = 3,42

а) Чтобы найти 0,7 от 40, нужно умножить число 40 на десятичную дробь 0,7.
$40 \cdot 0,7 = 28$
Ответ: 28

б) Чтобы найти 0,35 от 60, нужно умножить число 60 на десятичную дробь 0,35.
$60 \cdot 0,35 = 21$
Ответ: 21

в) Чтобы найти 0,3 от 0,9, нужно умножить число 0,9 на десятичную дробь 0,3.
$0,9 \cdot 0,3 = 0,27$
Ответ: 0,27

г) Чтобы найти 0,6 от 5,7, нужно умножить число 5,7 на десятичную дробь 0,6.
$5,7 \cdot 0,6 = 3,42$
Ответ: 3,42

2.318. Найдите:

а) 117 от 78; б) 145 от 200; в) 127 от 423; г) 3,25 от 413.

2.318

$\mathit{а}\mathbf{)} \frac{7}{8} · 1\frac{1}{7}=\frac{\cancel{7}}{\bcancel{8}}·\frac{\bcancel{8}}{\cancel{7}}=1;$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} 200 · 1\frac{4}{5} = 200 · \frac{9}{5}=\frac{{\displaystyle \stackrel{40}{\cancel{200}}} · 9}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{5}}}}= \\ =\frac{40 · 9}{1}=350; \end{gathered}$$

$\mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }4\frac{2}{3} · 1\frac{2}{7}=\frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\bcancel{14}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{3}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{9}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{7}}}}=\frac{2 · 3}{1 · 1}=6;$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{4}{13}· 3,25 = \frac{4}{13} · 3\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{25}}}}{{\displaystyle \underset{4}{\cancel{100}}}}= \\ =\frac{4}{13} ·3\frac{1}{4}=\frac{\bcancel{4}}{\cancel{13}}· \frac{\cancel{13}}{\bcancel{4}}=1 \end{gathered}$$

а) Чтобы найти $1\frac{1}{7}$ от $\frac{7}{8}$, необходимо умножить эти числа. Для этого сначала преобразуем смешанное число $1\frac{1}{7}$ в неправильную дробь.

$1\frac{1}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 1}{7} = \frac{8}{7}$

Теперь выполним умножение:

$\frac{8}{7} \times \frac{7}{8} = \frac{8 \cdot 7}{7 \cdot 8}$

Сокращаем числитель и знаменатель на 8 и на 7:

$\frac{\cancel{8}^1}{\cancel{7}^1} \times \frac{\cancel{7}^1}{\cancel{8}^1} = 1$

Ответ: 1

б) Чтобы найти $1\frac{4}{5}$ от 200, нужно умножить $1\frac{4}{5}$ на 200. Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь.

$1\frac{4}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 4}{5} = \frac{9}{5}$

Теперь умножим полученную дробь на 200:

$\frac{9}{5} \times 200 = \frac{9 \times 200}{5}$

Сократим 200 и 5 на 5:

$\frac{9 \times \cancel{200}^{40}}{\cancel{5}^1} = 9 \times 40 = 360$

Ответ: 360

в) Чтобы найти $1\frac{2}{7}$ от $4\frac{2}{3}$, нужно перемножить эти числа. Преобразуем оба смешанных числа в неправильные дроби.

$1\frac{2}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 2}{7} = \frac{9}{7}$

$4\frac{2}{3} = \frac{4 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{14}{3}$

Теперь выполним умножение дробей:

$\frac{9}{7} \times \frac{14}{3} = \frac{9 \cdot 14}{7 \cdot 3}$

Сократим дроби перед умножением: 9 и 3 сокращаются на 3, а 14 и 7 сокращаются на 7.

$\frac{\cancel{9}^3}{\cancel{7}^1} \times \frac{\cancel{14}^2}{\cancel{3}^1} = 3 \times 2 = 6$

Ответ: 6

г) Чтобы найти $3,25$ от $\frac{4}{13}$, нужно умножить $3,25$ на $\frac{4}{13}$. Сначала представим десятичную дробь $3,25$ в виде обыкновенной дроби.

$3,25 = 3\frac{25}{100} = 3\frac{1}{4}$

Теперь преобразуем смешанное число $3\frac{1}{4}$ в неправильную дробь:

$3\frac{1}{4} = \frac{3 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{13}{4}$

Выполним умножение:

$\frac{13}{4} \times \frac{4}{13} = \frac{13 \cdot 4}{4 \cdot 13}$

Сокращаем числитель и знаменатель на 13 и на 4:

$\frac{\cancel{13}^1}{\cancel{4}^1} \times \frac{\cancel{4}^1}{\cancel{13}^1} = 1$

Ответ: 1

2.319. Вычислите:

а) 40 % от 30; б) 55 % от 13,8; в) 63 % от 49; г) 78 % от 2613.

2.319

а) 40% = 40 : 100 = 0,4; 30 • 0,4 = 12;

б) 55% = 55 : 100 = 0,55; 13,8 • 0,55 = 7,59;

в) 63% = 63 : 100 = 0,6;

$$\begin{gathered} \frac{4}{9} · 0,63 = \frac{4}{9} · \frac{63}{100}=\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{4}}} · {\displaystyle \stackrel{7}{\bcancel{63}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{9 }}}· {\displaystyle \underset{25}{\cancel{100}}}}= \\ =\frac{1 · 7}{1 · 25}=\frac{7}{25} \end{gathered}$$

г) 78% = 78 : 100 = 0,78;

$$\begin{gathered} 26\frac{1}{3} · 0,78=\frac{79}{3} · \frac{78}{100}=\frac{79 · {\displaystyle \stackrel{26}{\cancel{78}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{3}}} · 100}= \\ =\frac{79 · {\displaystyle \stackrel{13}{\cancel{26}}}}{1 · {\displaystyle \underset{50}{\cancel{100}}}}=\frac{79 · 13}{50}=\frac{1027}{50}=20\frac{27}{50} \end{gathered}$$

а) Чтобы найти процент от числа, нужно представить проценты в виде десятичной дроби и умножить на это число. 40% — это $40 / 100 = 0,4$.

Выполним умножение:

$0,4 \cdot 30 = 12$

Ответ: 12

б) Чтобы найти 55% от числа 13,8, переведем проценты в десятичную дробь: $55\% = 55 / 100 = 0,55$.

Теперь умножим число 13,8 на полученную дробь:

$13,8 \cdot 0,55 = 7,59$

Ответ: 7,59

в) Чтобы найти 63% от дроби $\frac{4}{9}$, представим проценты в виде обыкновенной дроби: $63\% = \frac{63}{100}$.

Теперь умножим дроби:

$\frac{63}{100} \cdot \frac{4}{9} = \frac{63 \cdot 4}{100 \cdot 9}$

Сократим дробь перед вычислением. Разделим 63 и 9 на 9, а 100 и 4 на 4:

$\frac{(63 \div 9) \cdot (4 \div 4)}{(100 \div 4) \cdot (9 \div 9)} = \frac{7 \cdot 1}{25 \cdot 1} = \frac{7}{25}$

При желании, можно представить ответ в виде десятичной дроби: $\frac{7}{25} = 0,28$.

Ответ: $\frac{7}{25}$

г) Чтобы найти 78% от числа $26\frac{1}{3}$, сначала переведем проценты в обыкновенную дробь, а смешанное число — в неправильную дробь.

$78\% = \frac{78}{100}$

$26\frac{1}{3} = \frac{26 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{78 + 1}{3} = \frac{79}{3}$

Теперь выполним умножение полученных дробей:

$\frac{78}{100} \cdot \frac{79}{3} = \frac{78 \cdot 79}{100 \cdot 3}$

Сократим дробь, разделив 78 и 3 на 3 ($78 \div 3 = 26$):

$\frac{26 \cdot 79}{100} = \frac{2054}{100}$

Переведем неправильную дробь в десятичную:

$\frac{2054}{100} = 20,54$

Ответ: 20,54

2.320. Найдите 45%, 75%, 90%, 102%, 145%, 200% от 250 р. Сравните полученные результаты с 250 р.

2.320

45% = 0,45;

250 • 0,45 = 112,5;

112,5р < 250р

75% = 0,75;

250 • 0,75 = 187,5;

187,5р < 250р

90% = 0,9;

250 • 0,9 = 225;

225р < 250р

102% = 1,02;

250 •1,02 = 255;

255 р > 250р

145% = 0,45;

250 • 1,45 = 362,5;

362,5р > 250р

200% = 2;

250 • 2 = 500;

500р > 250р.

Для нахождения процента от числа необходимо это число умножить на дробь, соответствующую данному проценту (или на десятичную дробь). Исходное число для всех вычислений — 250 р.

45 %

Вычисляем 45 % от 250 р.: $250 \cdot \frac{45}{100} = 250 \cdot 0.45 = 112.5$ р.

Сравниваем результат с 250 р.: $112.5 \text{ р.} < 250 \text{ р.}$

Ответ: $112.5$ р.

75 %

Вычисляем 75 % от 250 р.: $250 \cdot \frac{75}{100} = 250 \cdot 0.75 = 187.5$ р.

Сравниваем результат с 250 р.: $187.5 \text{ р.} < 250 \text{ р.}$

Ответ: $187.5$ р.

90 %

Вычисляем 90 % от 250 р.: $250 \cdot \frac{90}{100} = 250 \cdot 0.9 = 225$ р.

Сравниваем результат с 250 р.: $225 \text{ р.} < 250 \text{ р.}$

Ответ: $225$ р.

102 %

Вычисляем 102 % от 250 р.: $250 \cdot \frac{102}{100} = 250 \cdot 1.02 = 255$ р.

Сравниваем результат с 250 р.: $255 \text{ р.} > 250 \text{ р.}$

Ответ: $255$ р.

145 %

Вычисляем 145 % от 250 р.: $250 \cdot \frac{145}{100} = 250 \cdot 1.45 = 362.5$ р.

Сравниваем результат с 250 р.: $362.5 \text{ р.} > 250 \text{ р.}$

Ответ: $362.5$ р.

200 %

Вычисляем 200 % от 250 р.: $250 \cdot \frac{200}{100} = 250 \cdot 2 = 500$ р.

Сравниваем результат с 250 р.: $500 \text{ р.} > 250 \text{ р.}$

Ответ: $500$ р.

Сравнение полученных результатов с 250 р.

Проанализировав вычисления, можно сделать общий вывод:

• Если искомый процент меньше 100 % (например, 45 %, 75 %, 90 %), то полученное значение будет меньше исходного числа (250 р.).
• Если искомый процент больше 100 % (например, 102 %, 145 %, 200 %), то полученное значение будет больше исходного числа (250 р.).
• Если бы мы искали 100 % от числа, то результат был бы равен самому числу, так как 100 % — это целое ($250 \cdot \frac{100}{100} = 250$ р.).

2.321. Что больше и на сколько:

а) 24 % от 46 или 42 % от 25;

б) 76% от 120 или 112% от 84;

в) 65 % от 52 или 52 % от 65;

г) 0,2 % от 50 или 0,5 % от 20?

2.321

а) 24% = 0,24; 46 • 0,24 = 11,04;

42% = 0,42; 25 • 0,42 = 10,5;

11,04 <10,5;

11,04 – 10,5 = 0,54;

б) 76% = 0,76; 120 • 0,76 = 91,2;

112% = 1,12; 84 • 1,12 = 94,08;

91,2 < 94,08;

94,08 – 91,2 = 2,88;

в) 65% = 0,65; 52 • 0,65 = 33,8;

52% = 0,52; 65 • 0,52 = 33,8;

33,8 = 33,8;

г) 0,2% = 0,002; 50 • 0,002 = 0,1;

0,5% = 0,005; 20 • 0,005 = 0,1;

0,1 = 0,1.

а) Чтобы определить, что больше и на сколько, вычислим каждое значение.

1. Найдем 24% от 46. Для этого переведем проценты в десятичную дробь и умножим на число:
$24\% = 0,24$
$0,24 \times 46 = 11,04$

2. Найдем 42% от 25:
$42\% = 0,42$
$0,42 \times 25 = 10,5$

3. Теперь сравним полученные результаты:
$11,04 > 10,5$

4. Найдем разницу между большим и меньшим значением:
$11,04 - 10,5 = 0,54$
Ответ: 24% от 46 больше, чем 42% от 25, на 0,54.

б) Аналогично выполним вычисления для второй пары значений.

1. Найдем 76% от 120:
$76\% = 0,76$
$0,76 \times 120 = 91,2$

2. Найдем 112% от 84:
$112\% = 1,12$
$1,12 \times 84 = 94,08$

3. Сравним результаты:
$94,08 > 91,2$

4. Найдем разницу:
$94,08 - 91,2 = 2,88$
Ответ: 112% от 84 больше, чем 76% от 120, на 2,88.

в) В этом случае можно воспользоваться свойством процентов: $a\%$ от числа $b$ равно $b\%$ от числа $a$. Это следует из формулы нахождения процента от числа, так как умножение коммутативно ($a \times b = b \times a$):
$a\% \text{ от } b = \frac{a \times b}{100}$
$b\% \text{ от } a = \frac{b \times a}{100}$
Следовательно, $65\%$ от $52$ должно быть равно $52\%$ от $65$.

Проверим вычислением:
1. $65\% \text{ от } 52 = 0,65 \times 52 = 33,8$
2. $52\% \text{ от } 65 = 0,52 \times 65 = 33,8$
Значения равны, разница между ними равна 0.
Ответ: эти величины равны.

г) Эта задача аналогична предыдущей. Проверим, равны ли произведения $0,2 \times 50$ и $0,5 \times 20$.
$0,2 \times 50 = 10$
$0,5 \times 20 = 10$
Поскольку произведения равны, то и значения процентов будут равны.

Выполним прямые вычисления:
1. Найдем 0,2% от 50:
$0,2\% = 0,002$
$0,002 \times 50 = 0,1$
2. Найдем 0,5% от 20:
$0,5\% = 0,005$
$0,005 \times 20 = 0,1$
Результаты одинаковы, разница равна 0.
Ответ: эти величины равны.

2.322. а) В бочке 130 л воды. Для полива использовали 0,6 этой воды. Сколько литров воды использовали для полива?

б) В бочке 130 л воды. Израсходовали 35 этой воды. Сколько литров воды израсходовали?

в) В бочке 130 л воды, 60 % этой воды ушло на полив огорода. Сколько литров воды ушло на полив огорода?

2.322

а) 130 • 0,6 = 78 (л) – воды использовали

Ответ: 78 л.

б) $130 · \frac{3}{5}=\frac{{\displaystyle \stackrel{26}{\cancel{130}}} · 3}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{5}}}}=\frac{26 · 3}{1}=78$ (л) – воды использовали

Ответ: 78 л.

в) 60% = 0,6;

130 • 0,6 = 78 (л) – воды использовали

Ответ: 78 л.

а) В бочке было 130 литров воды. Чтобы найти, какую часть от этого количества составляет 0,6, нужно умножить общее количество воды на эту десятичную дробь.

Выполним умножение:

$130 \times 0,6 = 78$

Таким образом, для полива использовали 78 литров воды.

Ответ: 78 литров.

б) В бочке было 130 литров воды. Чтобы найти, сколько литров составляет $\frac{3}{5}$ от этого количества, нужно умножить общее количество воды на эту дробь. Это эквивалентно тому, чтобы разделить общее количество на знаменатель дроби и умножить на ее числитель.

Выполним расчет:

$130 \times \frac{3}{5} = \frac{130}{5} \times 3 = 26 \times 3 = 78$

Следовательно, израсходовали 78 литров воды.

Ответ: 78 литров.

в) В бочке было 130 литров воды. На полив ушло 60% этой воды. Чтобы найти количество воды в литрах, сначала нужно представить проценты в виде десятичной дроби. Для этого разделим число процентов на 100.

$60\% = \frac{60}{100} = 0,6$

Теперь умножим общее количество воды на полученную дробь:

$130 \times 0,6 = 78$

Значит, на полив огорода ушло 78 литров воды.

Ответ: 78 литров.

2.323. На автостоянке было припарковано 20 автомобилей отечественного и зарубежного производства. Иномарки составляли 0,45 всех автомобилей. Сколько автомобилей отечественного производства было на стоянке?

2.323

1) 20 ∙ 0,45 = 9 (авт.) – иномарки;

2) 20 – 9 = 11 (авт.) – отечественного производства.

Ответ: 11 автомобилей.

Для того чтобы решить задачу, необходимо выполнить два действия: сначала найти количество автомобилей иностранного производства (иномарок), а затем вычесть это число из общего количества автомобилей на стоянке.

1. Вычисление количества иномарок

В условии сказано, что общее количество автомобилей равно 20, а иномарки составляют 0,45 от этого числа. Чтобы найти количество иномарок, нужно общее число автомобилей умножить на их долю:

$20 \times 0,45 = 9$

Следовательно, на стоянке было 9 иномарок.

2. Вычисление количества отечественных автомобилей

Теперь, зная общее количество автомобилей (20) и количество иномарок (9), мы можем найти количество автомобилей отечественного производства. Для этого из общего числа вычтем количество иномарок:

$20 - 9 = 11$

Альтернативный способ:

Можно сначала найти долю отечественных автомобилей. Все автомобили составляют 1 (единицу). Доля отечественных автомобилей равна:

$1 - 0,45 = 0,55$

Затем умножить общее количество автомобилей на эту долю:

$20 \times 0,55 = 11$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 11 автомобилей отечественного производства.

2.324. Масса одного учебника 260 г. Масса одной тетради составляет 0,15 массы учебника. Чему равна масса четырёх учебников и пяти тетрадей?

2.324

1) 260 • 0,15 = 39 (г) – масса тетради;

2) 4 • 260 = 1040 (г) – масса четырех учебников;

3) 5 • 39 = 195 (г) – масса пяти тетрадей;

4) 1040 + 195 = 1235 (г) = 1 кг 235 г – общая масса.

Ответ: 1 кг 235 г.

Для того чтобы найти общую массу четырёх учебников и пяти тетрадей, необходимо выполнить вычисления в несколько шагов.

1. Сначала найдём массу одной тетради. Известно, что она составляет 0,15 от массы учебника, которая равна 260 г. Умножим массу учебника на 0,15:

$260 \times 0,15 = 39 \text{ г}$

Таким образом, масса одной тетради – 39 г.

2. Теперь найдём массу четырёх учебников. Для этого умножим массу одного учебника на их количество:

$260 \text{ г} \times 4 = 1040 \text{ г}$

3. Далее найдём массу пяти тетрадей, умножив массу одной тетради на их количество:

$39 \text{ г} \times 5 = 195 \text{ г}$

4. Наконец, чтобы найти общую массу, сложим массу всех учебников и всех тетрадей:

$1040 \text{ г} + 195 \text{ г} = 1235 \text{ г}$

Ответ: 1235 г.

2.325. В художественной школе организовали выставку детских рисунков, на которой было представлено 144 работы. При этом графические рисунки составляли 518 всех работ, рисунки акварелью — 75% остальных работ. Сколько рисунков акварелью было представлено на выставке?

2.325

$\mathbf{1}\mathbf{)} 144 · \frac{5}{18}=\frac{{\displaystyle \stackrel{8}{\cancel{144}}} · 5}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{18}}}} =\frac{8 · 5}{1} =40$(р) – графические рисунки;

$\mathbf{2}\mathbf{)} 144 – 40 = 104$(р) – остальные;

$\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{ }104 · \frac{75}{100}=104 · 0,75 = 78$(р) – рисунки акварелью.

Ответ: 78 рисунков акварелью.

Для решения задачи выполним следующие действия:

1. Найдем количество графических рисунков.

Известно, что графические рисунки составляют $\frac{5}{18}$ от всех работ, а всего работ 144. Чтобы найти часть от числа, нужно это число умножить на дробь, выражающую эту часть.

$144 \cdot \frac{5}{18} = \frac{144 \cdot 5}{18}$

Сократим 144 и 18. Так как $144 = 18 \cdot 8$, получаем:

$8 \cdot 5 = 40$

Таким образом, на выставке было 40 графических рисунков.

2. Найдем количество остальных работ.

Для этого нужно из общего числа работ вычесть количество графических рисунков.

$144 - 40 = 104$

Следовательно, осталось 104 работы.

3. Найдем количество рисунков акварелью.

Рисунки акварелью составляют 75% от остальных работ. Сначала переведем проценты в дробь. 75% — это $\frac{75}{100}$, что после сокращения на 25 равно $\frac{3}{4}$.

Теперь найдем $\frac{3}{4}$ от 104:

$104 \cdot \frac{3}{4} = \frac{104 \cdot 3}{4}$

Сократим 104 и 4. Так как $104 : 4 = 26$, получаем:

$26 \cdot 3 = 78$

Значит, на выставке было 78 рисунков акварелью.

Ответ: на выставке было представлено 78 рисунков акварелью.

5.78. Стол на плане кухни, выполненном в масштабе 1 : 25, имеет форму прямоугольника со сторонами 38 мм и 26 мм. Найдите, какую площадь занимает стол на кухне.

5.78

$$\begin{gathered} \frac{1}{38} = \frac{25}{\mathrm{х}} \\ \mathrm{х} = \frac{38 · 25}{1} = 950 \mathrm{мм} = 95 \mathrm{см} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \frac{1}{26} = \frac{25}{\mathrm{х}} \\ \mathrm{х} = \frac{26 · 25}{1} = 650 \mathrm{мм} = 65 \mathrm{см} \end{gathered}$$

$S = 95 · 65 = 6175 \left(с{м}^2\right)$

Ответ: 6175 см².

Для того чтобы найти реальную площадь стола, необходимо сначала определить его реальные размеры, используя заданный масштаб, а затем вычислить площадь.

Масштаб плана 1:25 означает, что 1 мм на плане соответствует 25 мм в реальности. Стороны стола на плане имеют форму прямоугольника с размерами 38 мм и 26 мм.

Шаг 1: Нахождение реальных размеров стола.

Чтобы найти реальные размеры, нужно умножить размеры на плане на 25.

Реальная длина стола ($a_{реал}$):
$a_{реал} = 38 \text{ мм} \times 25 = 950 \text{ мм}$

Реальная ширина стола ($b_{реал}$):
$b_{реал} = 26 \text{ мм} \times 25 = 650 \text{ мм}$

Шаг 2: Вычисление площади стола.

Площадь прямоугольника ($S$) вычисляется по формуле $S = a \times b$. Для удобства и наглядности результата переведем размеры из миллиметров в метры (в 1 метре 1000 миллиметров):
$a_{реал} = 950 \text{ мм} = 0,95 \text{ м}$
$b_{реал} = 650 \text{ мм} = 0,65 \text{ м}$

Теперь вычислим площадь в квадратных метрах:
$S = 0,95 \text{ м} \times 0,65 \text{ м} = 0,6175 \text{ м}^2$

Ответ: Площадь, которую занимает стол на кухне, равна 0,6175 м².

5.79. Длина детали на чертеже с масштабом 2 : 9 равна 3,6 см. Найдите длину этой детали на плане с масштабом 5 : 4.

5.79

$$\begin{gathered} \frac{2}{3,6} = \frac{9}{\mathrm{х}} \\ \mathrm{х} = \frac{3,6 · 9}{2} = \frac{1,8 · 9}{1} = 16,2 \mathrm{см} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \frac{5}{\mathrm{х}}= \frac{4}{16,2} \\ \mathrm{х} = \frac{5 · {\displaystyle \stackrel{4,05}{\cancel{16,2}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{4}}}} = \frac{5 · 4,05}{1} = 20,25 \mathrm{см} \end{gathered}$$

Ответ: 20,25 см.

Данная задача решается в два действия. Сначала мы найдем фактическую длину детали, используя первый масштаб, а затем вычислим, какой будет длина этой детали на чертеже с другим масштабом.

1. Вычисление фактической длины детали.

Масштаб 2 : 9 показывает, что 2 единицы длины на чертеже равны 9 единицам фактической длины. Длина детали на чертеже составляет 3,6 см. Обозначим реальную длину детали как $x$. Составим пропорцию на основе определения масштаба:

$\frac{\text{длина на чертеже}}{\text{фактическая длина}} = \frac{2}{9}$

Подставим известные значения в пропорцию:

$\frac{3,6 \text{ см}}{x} = \frac{2}{9}$

Теперь решим уравнение, чтобы найти $x$:

$2 \cdot x = 3,6 \cdot 9$

$2x = 32,4$

$x = \frac{32,4}{2}$

$x = 16,2$ см.

Таким образом, фактическая длина детали составляет 16,2 см.

2. Вычисление длины детали на плане с новым масштабом.

Теперь нам нужно найти длину этой же детали на плане с масштабом 5 : 4. Этот масштаб означает, что 5 единиц длины на плане соответствуют 4 единицам фактической длины. Обозначим искомую длину на плане как $y$. Мы знаем, что фактическая длина детали — 16,2 см. Составим новую пропорцию:

$\frac{\text{длина на плане}}{\text{фактическая длина}} = \frac{5}{4}$

Подставим известные значения:

$\frac{y}{16,2 \text{ см}} = \frac{5}{4}$

Решим уравнение для $y$:

$4 \cdot y = 16,2 \cdot 5$

$4y = 81$

$y = \frac{81}{4}$

$y = 20,25$ см.

Ответ: 20,25 см.

5.80. 1) Марина готовила к сдаче проект по математике. После того как она набрала 3 страницы текста на компьютере, ей осталось подготовить ещё 40 % объяснительного текста по проекту. Сколько страниц текста содержится в проекте?

2) На соревнованиях по биатлону, после того как стартовало 7 спортсменов, осталось на старте 72 % участников. Сколько спортсменов было на соревнованиях?

5.80

1) Всего - ? стр;
Набрала – 3 стр;
Осталось - ? стр, 40 %.

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }100\% – 40\% = 60\% = 0,6$текста – набрала Марина;

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }3 : 0,6 = 30 : 6 = 5$(стр.) – текста в проекте.

Ответ: 5 страниц.

2) Спортсменов - ?
Стартовало – 7;
Осталось - ?, 72%

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }100\% – 72\% = 28\% = 0,28$участников – стартовали;

$\mathbf{2}\mathbf{)} 7 : 0,28 = 700 : 28 = 25$ (спортсменов) – было на соревнованиях

Ответ: 25 спортсменов.

1) Пусть $x$ — общее количество страниц в проекте. Это составляет $100\%$.
Марина набрала 3 страницы, после чего ей осталось подготовить ещё $40\%$ текста. Это значит, что 3 набранные страницы составляют ту часть проекта, которая уже выполнена.
Вычислим, какую часть проекта в процентах составляют набранные страницы:
$100\% - 40\% = 60\%$
Итак, 3 страницы — это $60\%$ всего проекта. Чтобы найти общее количество страниц ($100\%$), составим пропорцию:
3 страницы — $60\%$
$x$ страниц — $100\%$
Отсюда можно найти $x$:
$x = \frac{3 \cdot 100}{60} = \frac{300}{60} = 5$ страниц.
Таким образом, в проекте содержится 5 страниц.
Ответ: 5 страниц.

2) Пусть $y$ — общее количество спортсменов, участвовавших в соревнованиях. Это составляет $100\%$.
После того как стартовало 7 спортсменов, на старте осталось $72\%$ всех участников. Это означает, что 7 стартовавших спортсменов составляют ту часть от общего числа, которая уже покинула старт.
Вычислим, какой процент от общего числа составляют стартовавшие спортсмены:
$100\% - 72\% = 28\%$
Итак, 7 спортсменов — это $28\%$ от общего числа участников. Чтобы найти общее количество спортсменов ($100\%$), составим пропорцию:
7 спортсменов — $28\%$
$y$ спортсменов — $100\%$
Найдем значение $y$:
$y = \frac{7 \cdot 100}{28} = \frac{700}{28} = \frac{100}{4} = 25$ спортсменов.
Следовательно, на соревнованиях было 25 спортсменов.
Ответ: 25 спортсменов.

5.81. Выполните действия:
1) –1,7 · 14,2 – 7,2 · 3,4 + 19,4 · 4,3;
2) 0,5 · 39,5 – 4,1 · 8,3 – 7,8 · 2,1.

5.81

$$\begin{gathered} \mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }-1,7 \stackrel{1}{·} 14,2 – 7,2 \stackrel{2}{·} 3,4 + 19,4 \stackrel{3}{·} 4,3 = \\ = -24,14 \stackrel{4}{–} 24,48 + 83,42 = -48,62 \stackrel{5}{+} \\ + 83,42 = 34,8 \end{gathered}$$

1.	2.
3.	4.
5.

$$\begin{gathered} \mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }0,5 \stackrel{1}{· }39,5 – 4,1 \stackrel{2}{·} 8,3 – 7,8 \stackrel{3}{·} 2,1 = \\ =19,75 \stackrel{4}{–} 34,03 – 16,38 = -14,28 \stackrel{5}{–} \\ - 16,38 = -30,66 \end{gathered}$$

1.	2.
3.	4.
5.

1) $-1,7 \cdot 14,2 - 7,2 \cdot 3,4 + 19,4 \cdot 4,3$

Для решения этого выражения необходимо соблюдать порядок действий: сначала выполняются операции умножения, а затем — сложение и вычитание в порядке их следования слева направо.

1. Вычислим произведения:

$ -1,7 \cdot 14,2 = -24,14 $

$ 7,2 \cdot 3,4 = 24,48 $

$ 19,4 \cdot 4,3 = 83,42 $

2. Теперь подставим полученные значения обратно в выражение:

$ -24,14 - 24,48 + 83,42 $

3. Выполним вычитание и сложение по порядку:

$ -24,14 - 24,48 = -48,62 $

$ -48,62 + 83,42 = 34,8 $

Ответ: $34,8$.

2) $0,5 \cdot 39,5 - 4,1 \cdot 8,3 - 7,8 \cdot 2,1$

Решаем по действиям, начиная с умножения.

1. Вычислим произведения:

$ 0,5 \cdot 39,5 = 19,75 $ (умножение на 0,5 равносильно делению на 2)

$ 4,1 \cdot 8,3 = 34,03 $

$ 7,8 \cdot 2,1 = 16,38 $

2. Подставим результаты в исходное выражение:

$ 19,75 - 34,03 - 16,38 $

3. Выполним вычитания слева направо:

$ 19,75 - 34,03 = -14,28 $

$ -14,28 - 16,38 = -30,66 $

Ответ: $-30,66$.

5.82. Решите с помощью графа задачу.

Миша, Коля, Петя и Саша занимаются в секциях и студиях (волейбольной, шахматной, плавания, хоровой), но каждый только в одной. Они же изучают только один из иностранных языков (китайский, английский, немецкий, испанский).

Известно:
1) мальчик, который занимается плаванием, изучает испанский;
2) Коля не посещает хоровую студию и шахматную секцию и не изучает китайский;
3) Миша не посещает хоровую студию и шахматную секцию и не изучает ни немецкий, ни китайский;
4) мальчик, который говорит по–немецки, не занимается в шахматной секции;
5) Петя изучает английский язык, но не посещает хоровую студию.

Кто в какой секции или студии занимается и какой иностранный язык изучает?

5.82

Ответ: Коля – немецкий и волейбол; Петя – английский и шахматы;
Миша – испанский и плавание; Саша – китайский и хор

Для решения этой логической задачи будем последовательно анализировать предоставленные факты и делать выводы, чтобы установить однозначное соответствие между каждым мальчиком, его занятием и изучаемым языком.

Миша

Начнем с анализа информации о Мише. Из условия (3) мы знаем, что Миша не изучает немецкий и китайский языки. Из условия (5) следует, что английский язык изучает Петя. Поскольку каждый мальчик изучает свой уникальный язык, для Миши остается только один вариант из четырех — испанский. Теперь обратимся к условию (1), которое гласит: "мальчик, который занимается плаванием, изучает испанский". Так как мы установили, что Миша изучает испанский, то он и есть тот мальчик, который занимается плаванием.

Ответ: Миша занимается плаванием и изучает испанский язык.

Коля

Теперь рассмотрим Колю. Согласно условию (2), он не посещает хоровую студию и шахматную секцию. Мы также знаем, что плаванием занимается Миша. Методом исключения из четырех возможных секций (волейбол, шахматы, плавание, хоровая) для Коли остается только волейбол. По тому же условию (2), Коля не изучает китайский язык. Испанский и английский уже "заняты" Мишей и Петей. Следовательно, Коля изучает немецкий язык. Это не противоречит условию (4), которое утверждает, что мальчик, говорящий по-немецки, не занимается в шахматной секции (Коля занимается волейболом).

Ответ: Коля занимается волейболом и изучает немецкий язык.

Петя

Из условия (5) известно, что Петя изучает английский язык и не посещает хоровую студию. Мы уже определили, что плаванием занимается Миша, а волейболом — Коля. Таким образом, для Пети из оставшихся секций (шахматы) подходит только одна — шахматная секция.

Ответ: Петя занимается шахматами и изучает английский язык.

Саша

Последним остался Саша. Для него методом исключения остаются единственная свободная секция и единственный нераспределенный язык. Секции плавания, волейбола и шахмат заняты, значит, Саша занимается в хоровой студии. Языки испанский, немецкий и английский уже распределены, значит, Саша изучает китайский язык.

Ответ: Саша занимается в хоровой студии и изучает китайский язык.

5.83. Раскройте скобки:
а) (а + с – n) · 5;
б) 7 · (х – у – z);
в) –1,2 · (s – b – с);
г) (3х – 5 + 4k) · (–3);
д) (4а – 6с + z) · (–1);
е) (m + k – 9 – n) · а.

5.83

$\mathit{а}\mathbf{)} (a + c – n) · 5 = 5a + 5c – 5n$

$\mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }7 · (x – y – z) = 7x – 7y – 7z$

$\mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }-1,2 · (s – b – c) = -1,2s + 1,2b + 1,2c$

$\mathit{г}\mathbf{)} (3x – 5 + 4k) · (-3) = -9x + 15 – 12k$

$\mathit{д}\mathbf{)} (4a – 6c + z) · (-1) = -4a + 6c – z$

$\mathit{е}\mathbf{)}\mathbf{ }(m + k – 9 – n) · a = am + ak – 9a – an$

а) Чтобы раскрыть скобки в выражении $(a + c - n) \cdot 5$, нужно применить распределительный закон умножения. Это означает, что каждый член, находящийся в скобках, умножается на множитель за скобками, то есть на 5.

$(a + c - n) \cdot 5 = a \cdot 5 + c \cdot 5 - n \cdot 5$

Выполнив умножение, получаем:

$5a + 5c - 5n$

Ответ: $5a + 5c - 5n$

б) В данном случае необходимо умножить число 7 на каждый член в скобках:

$7 \cdot (x - y - z) = 7 \cdot x - 7 \cdot y - 7 \cdot z = 7x - 7y - 7z$

Ответ: $7x - 7y - 7z$

в) Здесь мы умножаем на отрицательное число -1,2. При умножении на отрицательное число знак каждого члена в скобках меняется на противоположный.

$-1,2 \cdot (s - b - c) = (-1,2) \cdot s - (-1,2) \cdot b - (-1,2) \cdot c = -1,2s + 1,2b + 1,2c$

Ответ: $-1,2s + 1,2b + 1,2c$

г) Умножаем каждый член многочлена в скобках на -3. Необходимо внимательно следить за знаками при умножении.

$(3x - 5 + 4k) \cdot (-3) = 3x \cdot (-3) - 5 \cdot (-3) + 4k \cdot (-3) = -9x + 15 - 12k$

Для стандартного вида многочлена можно упорядочить члены, например, по алфавиту переменных: $-9x - 12k + 15$.

Ответ: $-9x - 12k + 15$

д) Умножение выражения в скобках на -1 равносильно изменению знака каждого члена в этом выражении на противоположный.

$(4a - 6c + z) \cdot (-1) = 4a \cdot (-1) - 6c \cdot (-1) + z \cdot (-1) = -4a + 6c - z$

Ответ: $-4a + 6c - z$

е) В этом примере мы умножаем выражение в скобках на переменную $a$. Распределительный закон применяется так же, как и с числами: каждый член в скобках умножается на $a$.

$(m + k - 9 - n) \cdot a = m \cdot a + k \cdot a - 9 \cdot a - n \cdot a = am + ak - 9a - an$

Ответ: $am + ak - 9a - an$

5.84. Вычислите, применив распределительное свойство умножения:
а) 8 · 129 + 8 · 171;
б) 4,8 · 3,7 – 4,8 · 2,7;
в) 6,35 · 4,4 + 4,4 · 2,65;
г) 57 · 34 + 34 · 37;
д) 114 · 421 – 114 · 27;
е) 14,2 · 59 – 12,4 · 59;

5.84

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }8 · 129 + 8 · 171 = 8 · (129 + 171) = \\ = 8 · 300 = 2400 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} 4,8 · 3,7 – 4,8 · 2,7 = 4,8 · (3,7 – 2,7) = \\ = 4,8 · 1 = 4,8 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)} 6,35 · 4,4 + 4,4 · 2,65 = 4,4 \times \\ \times (6,35 + 2,65) = 4,4 · 9 = 39,6 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)} \frac{5}{7} · \frac{3}{4} + \frac{3}{4} · \frac{3}{7} = \frac{3}{4} · \left(\frac{5}{7} + \frac{3}{7}\right)= \\ = \frac{3}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{4}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\cancel{8}}}}{7} = \frac{3}{1} · \frac{2}{7} = \frac{6}{7} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{д}\mathbf{)}\mathbf{ }1\frac{1}{4} · \frac{4}{21} - 1\frac{1}{4} · \frac{2}{7} = 1\frac{1}{4} · \left(\frac{4}{21} - {\frac{2}{7}}^{\overline{)·3}}\right)= \\ = \frac{5}{4} · \left(\frac{4}{21} - \frac{6}{21}\right)=\frac{5}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{4}}}} · \left(-\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{2}}}}{21}\right) = \\ = \frac{5}{2} · \left(-\frac{1}{21}\right) = - \frac{5}{42} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{е}\mathbf{)} 14,2 · \frac{5}{9} - 12,4 · \frac{5}{9} = \left(14,2 - 12,4\right) · \frac{5}{9}= \\ = 1,8 · \frac{5}{9} =\frac{18}{10} · \frac{5}{9} = \frac{\cancel{9}}{\bcancel{5}} · \frac{\bcancel{5}}{\cancel{9}} = 1. \end{gathered}$$

а) $8 \cdot 129 + 8 \cdot 171$

Применим распределительное свойство умножения $a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c)$. Вынесем общий множитель 8 за скобки:

$8 \cdot 129 + 8 \cdot 171 = 8 \cdot (129 + 171)$

Сначала выполним действие в скобках:

$129 + 171 = 300$

Теперь умножим результат на общий множитель:

$8 \cdot 300 = 2400$

Ответ: 2400

б) $4,8 \cdot 3,7 - 4,8 \cdot 2,7$

Применим распределительное свойство умножения $a \cdot b - a \cdot c = a \cdot (b - c)$. Вынесем общий множитель 4,8 за скобки:

$4,8 \cdot 3,7 - 4,8 \cdot 2,7 = 4,8 \cdot (3,7 - 2,7)$

Сначала выполним действие в скобках:

$3,7 - 2,7 = 1$

Теперь умножим результат на общий множитель:

$4,8 \cdot 1 = 4,8$

Ответ: 4,8

в) $6,35 \cdot 4,4 + 4,4 \cdot 2,65$

Применим распределительное свойство умножения $b \cdot a + c \cdot a = (b + c) \cdot a$. Вынесем общий множитель 4,4 за скобки:

$6,35 \cdot 4,4 + 4,4 \cdot 2,65 = (6,35 + 2,65) \cdot 4,4$

Сначала выполним действие в скобках:

$6,35 + 2,65 = 9$

Теперь умножим результат на общий множитель:

$9 \cdot 4,4 = 39,6$

Ответ: 39,6

г) $\frac{5}{7} \cdot \frac{3}{4} + \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{7}$

Применим распределительное свойство умножения. Вынесем общий множитель $\frac{3}{4}$ за скобки:

$\frac{3}{4} \cdot (\frac{5}{7} + \frac{3}{7})$

Сначала выполним сложение дробей в скобках. Так как знаменатели одинаковые, складываем числители:

$\frac{5}{7} + \frac{3}{7} = \frac{5+3}{7} = \frac{8}{7}$

Теперь умножим результат на общий множитель и сократим дробь:

$\frac{3}{4} \cdot \frac{8}{7} = \frac{3 \cdot 8}{4 \cdot 7} = \frac{3 \cdot 2}{1 \cdot 7} = \frac{6}{7}$

Ответ: $\frac{6}{7}$

д) $1\frac{1}{4} \cdot \frac{4}{21} - 1\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{7}$

Применим распределительное свойство умножения. Вынесем общий множитель $1\frac{1}{4}$ за скобки:

$1\frac{1}{4} \cdot (\frac{4}{21} - \frac{2}{7})$

Сначала выполним вычитание в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю 21:

$\frac{4}{21} - \frac{2 \cdot 3}{7 \cdot 3} = \frac{4}{21} - \frac{6}{21} = \frac{4-6}{21} = -\frac{2}{21}$

Теперь представим смешанное число $1\frac{1}{4}$ в виде неправильной дроби:

$1\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{5}{4}$

Умножим результат из скобок на общий множитель и сократим:

$\frac{5}{4} \cdot (-\frac{2}{21}) = -\frac{5 \cdot 2}{4 \cdot 21} = -\frac{5 \cdot 1}{2 \cdot 21} = -\frac{5}{42}$

Ответ: $-\frac{5}{42}$

е) $14,2 \cdot \frac{5}{9} - 12,4 \cdot \frac{5}{9}$

Применим распределительное свойство умножения. Вынесем общий множитель $\frac{5}{9}$ за скобки:

$(14,2 - 12,4) \cdot \frac{5}{9}$

Сначала выполним вычитание в скобках:

$14,2 - 12,4 = 1,8$

Представим десятичную дробь 1,8 в виде обыкновенной дроби и выполним умножение:

$1,8 \cdot \frac{5}{9} = \frac{18}{10} \cdot \frac{5}{9} = \frac{9}{5} \cdot \frac{5}{9} = \frac{9 \cdot 5}{5 \cdot 9} = 1$

Ответ: 1

5.85. Приведите подобные слагаемые:
а) 3m + 2m + 4m;
б) 12a + 13a – 16a;
в) 0,9b – 1,3b + 0,7b;
г) 112m – 14m – 13m;
д) x – 0,2x – 0,7x;
е) c – 0,8c – 15c – 12c.

5.85

$\mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }3m + 2m + 4m = (3 + 2 + 4) · m = 9m$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} \frac{1}{2}а + \frac{1}{3}а - \frac{1}{6}а = \left({\frac{1}{2}}^{\overline{)·3}} + {\frac{1}{3}}^{\overline{)·2}} - \frac{1}{6}\right) · а = \\ = \left(\frac{3}{6} + \frac{2}{6} - \frac{1}{6}\right) · а = \frac{4}{6}а = \frac{2}{3}а \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)} 0,9b – 1,3b + 0,7b = (0,9 – 1,3 + 0,7) \times \\ \times b = 0,3b \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{1}{12}m - \frac{1}{4}m - \frac{1}{3}m = \left(\frac{1}{12} - {\frac{1}{4}}^{\overline{)·3}} - {\frac{1}{3}}^{\overline{)·4}}\right) · m= \\ = \left(\frac{1}{12} - \frac{3}{12} - \frac{4}{12}\right) · m=-\frac{6}{12}m = -\frac{1}{2}m \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{д}\mathbf{)} x – 0,2х – 0,7х = (1 – 0,2 – 0,7) · х = \\ = 0,1х \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{е}\mathbf{)} с – 0,8с -{\frac{1}{5}}^{\overline{)·2}}с -{\frac{1}{2}}^{\overline{)·5}}с = с – 0,8с – 0,2с – 0,5с = \\ = (1 – 0,8 – 0,2 – 0,5) · с = -0,5с \end{gathered}$$

а) Чтобы привести подобные слагаемые, нужно сложить их коэффициенты и умножить результат на общую буквенную часть. В данном случае все слагаемые имеют общую часть $m$.

$3m + 2m + 4m = (3 + 2 + 4)m = 9m$

Складываем коэффициенты в скобках: $3 + 2 = 5$, затем $5 + 4 = 9$.

Ответ: $9m$

б) В этом выражении все слагаемые также являются подобными, так как имеют общую буквенную часть $a$. Вынесем ее за скобки и выполним действия с коэффициентами.

$\frac{1}{2}a + \frac{1}{3}a - \frac{1}{6}a = (\frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{6})a$

Чтобы сложить и вычесть дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 2, 3 и 6 это 6.

$(\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6})a = (\frac{3}{6} + \frac{2}{6} - \frac{1}{6})a = \frac{3+2-1}{6}a = \frac{4}{6}a$

Сократим полученную дробь: $\frac{4}{6}a = \frac{2}{3}a$.

Ответ: $\frac{2}{3}a$

в) Все слагаемые имеют общую буквенную часть $b$, поэтому они подобные. Выполним действия с их десятичными коэффициентами.

$0,9b - 1,3b + 0,7b = (0,9 - 1,3 + 0,7)b$

Сгруппируем слагаемые для удобства вычислений: $(0,9 + 0,7 - 1,3)b = (1,6 - 1,3)b = 0,3b$.

Ответ: $0,3b$

г) Слагаемые являются подобными с общей буквенной частью $m$. Вынесем ее за скобки и выполним действия с дробями-коэффициентами.

$\frac{1}{12}m - \frac{1}{4}m - \frac{1}{3}m = (\frac{1}{12} - \frac{1}{4} - \frac{1}{3})m$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю 12:

$(\frac{1}{12} - \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} - \frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 4})m = (\frac{1}{12} - \frac{3}{12} - \frac{4}{12})m = \frac{1 - 3 - 4}{12}m = \frac{-6}{12}m$

Сократим полученную дробь: $\frac{-6}{12}m = -\frac{1}{2}m$.

Ответ: $-\frac{1}{2}m$

д) В данном выражении все слагаемые имеют общую буквенную часть $x$. Коэффициент у слагаемого $x$ равен 1.

$x - 0,2x - 0,7x = 1x - 0,2x - 0,7x = (1 - 0,2 - 0,7)x$

Выполним вычитание в скобках последовательно: $1 - 0,2 = 0,8$, затем $0,8 - 0,7 = 0,1$.

Таким образом, получаем $0,1x$.

Ответ: $0,1x$

е) Все слагаемые имеют общую буквенную часть $c$. Коэффициент у слагаемого $c$ равен 1. Для удобства вычислений преобразуем обыкновенные дроби в десятичные.

$\frac{1}{5} = 0,2$

$\frac{1}{2} = 0,5$

Подставим эти значения в исходное выражение:

$c - 0,8c - \frac{1}{5}c - \frac{1}{2}c = c - 0,8c - 0,2c - 0,5c$

Вынесем $c$ за скобки и выполним действия с коэффициентами:

$(1 - 0,8 - 0,2 - 0,5)c = (0,2 - 0,2 - 0,5)c = (0 - 0,5)c = -0,5c$

Ответ: $-0,5c$

5.86. Упростите выражение:
а) 0,4n – 0,7m – 0,9n + 0,7m;
б) 6с – 8с – 4с + 21 – 13;
в) 34a + 56b – 18a – 13b;
г) 79x – 34 – 1118x – 14;
д) 0,3m – 27 – 3m + 67;
е) 17а + 14с – 17а + 34с.

5.86

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }0,4n – 0,7m – 0,9n + 0,7m = (0,4n – 0,9n) + \\ + (-0,7m + 0,7m) = -0,5n + 0 = -0,5n \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} 6c – 8c – 4c + 21 – 13 = (6с – 8с – 4с) + \\ + (21 – 13) = -6c + 8 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)} \frac{3}{4}а + \frac{5}{6}b - \frac{1}{8}a - \frac{1}{3}b = \left({\frac{3}{4}}^{\overline{)·2}}a - \frac{1}{8}a\right)+ \\ + \left(\frac{5}{6}b - {\frac{1}{3}}^{\overline{)·2}}b\right) = \left(\frac{6}{8}a - \frac{1}{8}a\right) + \left(\frac{5}{6}b - \frac{2}{6}b\right) = \\ = \frac{5}{8}a + \frac{3}{6}b = \frac{5}{8}a + \frac{1}{2}b \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{7}{9}х - \frac{3}{4} - \frac{11}{18}х - \frac{1}{4} = \left({\frac{7}{9}}^{\overline{)·2}}х - \frac{11}{18}х\right) + \\ + \left(- \frac{3}{4} - \frac{1}{4}\right) = \left(\frac{14}{18} х - \frac{11}{18} х\right) -1 = \\ = \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{3}}}}{{\displaystyle \underset{6}{\cancel{18}}}} х- 1 = \frac{1}{6} х -1 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{д}\mathbf{)}\mathbf{ }0,3m -\frac{2}{7} – 3m + \frac{6}{7} = (0,3m – 3m) + \\ + \left(-\frac{2}{7}+\frac{6}{7}\right) =-2,7m + \frac{4}{7} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{е}\mathbf{)} \frac{1}{7}а + \frac{1}{4}с - \frac{1}{7}а + \frac{3}{4}с = \left(\frac{1}{7}а - \frac{1}{7}а\right)+ \\ + \left(\frac{1}{4}с + \frac{3}{4}с\right) = 0 + \frac{4}{4}с = с \end{gathered}$$

а) $0,4n - 0,7m - 0,9n + 0,7m$

Чтобы упростить выражение, нужно сгруппировать и сложить подобные слагаемые. Подобные слагаемые — это слагаемые с одинаковой буквенной частью.

Сгруппируем слагаемые с переменной $n$ и с переменной $m$:

$(0,4n - 0,9n) + (-0,7m + 0,7m)$

Теперь выполним действия с коэффициентами в каждой группе:

$0,4 - 0,9 = -0,5$

$-0,7 + 0,7 = 0$

Подставим полученные значения обратно в выражение:

$-0,5n + 0m = -0,5n$

Ответ: $-0,5n$

б) $6c - 8c - 4c + 21 - 13$

Сгруппируем подобные слагаемые: слагаемые с переменной $c$ и числовые слагаемые (константы).

$(6c - 8c - 4c) + (21 - 13)$

Выполним вычисления в каждой из групп:

$6 - 8 - 4 = -2 - 4 = -6$

$21 - 13 = 8$

Таким образом, упрощенное выражение выглядит так:

$-6c + 8$

Ответ: $-6c + 8$

в) $\frac{3}{4}a + \frac{5}{6}b - \frac{1}{8}a - \frac{1}{3}b$

Сгруппируем подобные слагаемые с переменными $a$ и $b$.

$(\frac{3}{4}a - \frac{1}{8}a) + (\frac{5}{6}b - \frac{1}{3}b)$

Чтобы выполнить действия с дробями, приведем их к общему знаменателю.

Для слагаемых с $a$ (общий знаменатель 8):

$(\frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} - \frac{1}{8})a = (\frac{6}{8} - \frac{1}{8})a = \frac{5}{8}a$

Для слагаемых с $b$ (общий знаменатель 6):

$(\frac{5}{6} - \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2})b = (\frac{5}{6} - \frac{2}{6})b = \frac{3}{6}b = \frac{1}{2}b$

Соберем упрощенные части вместе:

$\frac{5}{8}a + \frac{1}{2}b$

Ответ: $\frac{5}{8}a + \frac{1}{2}b$

г) $\frac{7}{9}x - \frac{3}{4} - \frac{11}{18}x - \frac{1}{4}$

Сгруппируем подобные слагаемые: слагаемые с переменной $x$ и константы.

$(\frac{7}{9}x - \frac{11}{18}x) + (-\frac{3}{4} - \frac{1}{4})$

Выполним действия в каждой группе.

Для слагаемых с $x$ (общий знаменатель 18):

$(\frac{7 \cdot 2}{9 \cdot 2} - \frac{11}{18})x = (\frac{14}{18} - \frac{11}{18})x = \frac{3}{18}x = \frac{1}{6}x$

Для констант:

$-\frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{-3-1}{4} = \frac{-4}{4} = -1$

Результат упрощения:

$\frac{1}{6}x - 1$

Ответ: $\frac{1}{6}x - 1$

д) $0,3m - \frac{2}{7} - 3m + \frac{6}{7}$

Сгруппируем подобные слагаемые: слагаемые с переменной $m$ и дробные константы.

$(0,3m - 3m) + (-\frac{2}{7} + \frac{6}{7})$

Выполним действия в каждой группе.

Для слагаемых с $m$:

$0,3 - 3 = -2,7$

Для констант:

$-\frac{2}{7} + \frac{6}{7} = \frac{-2+6}{7} = \frac{4}{7}$

Итоговое выражение:

$-2,7m + \frac{4}{7}$

Ответ: $-2,7m + \frac{4}{7}$

е) $\frac{1}{7}a + \frac{1}{4}c - \frac{1}{7}a + \frac{3}{4}c$

Сгруппируем подобные слагаемые с переменными $a$ и $c$.

$(\frac{1}{7}a - \frac{1}{7}a) + (\frac{1}{4}c + \frac{3}{4}c)$

Выполним действия в каждой группе.

Для слагаемых с $a$:

$(\frac{1}{7} - \frac{1}{7})a = 0 \cdot a = 0$

Для слагаемых с $c$:

$(\frac{1}{4} + \frac{3}{4})c = \frac{1+3}{4}c = \frac{4}{4}c = 1 \cdot c = c$

Складываем полученные результаты:

$0 + c = c$

Ответ: $c$