Страница 93, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

1. Вычислите:

а) 23 от 21; б) 25 от 57; в) 1718 от 1451; г) 2425 от 12936.

Проверочная работа

1.

$\mathit{а}\mathbf{)} 21 · \frac{2}{3} = \frac{{\displaystyle \stackrel{7}{\cancel{21}}} · 2}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{3}}}}=\frac{7 · 2}{1}=14;$

$\mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{5}{7} · \frac{2}{5} = \frac{\cancel{5} · 2}{7 · \cancel{5}}=\frac{2}{7};$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)} 1\frac{4}{51} · \frac{17}{18}=\frac{55}{51}· \frac{17}{18}=\frac{55 · {\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{17}}}}{{\displaystyle \underset{3}{\cancel{51}}} · 18}= \\ =\frac{55 · 1}{3 · 18}=\frac{55}{54}=1\frac{1}{54}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)} 1\frac{29}{36} · 2\frac{4}{25}=\frac{65}{36}· \frac{54}{25}=\frac{{\displaystyle \stackrel{13}{\bcancel{65} }}· {\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{54}}}}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{36}} · \underset{5}{\bcancel{25}}}}= \\ =\frac{13 · 3}{2 · 5}=\frac{39}{10}=3\frac{9}{10}. \end{gathered}$$

а) Чтобы найти дробь от числа, нужно умножить это число на данную дробь.
$\frac{2}{3} \times 21 = \frac{2 \times 21}{3}$
Сокращаем 21 и 3 на 3:
$\frac{2 \times 7}{1} = 14$
Ответ: 14.

б) Чтобы найти дробь от дроби, нужно перемножить эти дроби.
$\frac{2}{5} \times \frac{5}{7} = \frac{2 \times 5}{5 \times 7}$
Сокращаем 5 в числителе и знаменателе:
$\frac{2 \times \cancel{5}}{\cancel{5} \times 7} = \frac{2}{7}$
Ответ: $\frac{2}{7}$.

в) Сначала преобразуем смешанное число $1\frac{4}{51}$ в неправильную дробь.
$1\frac{4}{51} = \frac{1 \times 51 + 4}{51} = \frac{55}{51}$
Теперь умножим дроби:
$\frac{17}{18} \times \frac{55}{51} = \frac{17 \times 55}{18 \times 51}$
Сократим дробь. Заметим, что 17 и 51 делятся на 17 ($51 = 3 \times 17$):
$\frac{\cancel{17}^{1} \times 55}{18 \times \cancel{51}^{3}} = \frac{1 \times 55}{18 \times 3} = \frac{55}{54}$
Выделим целую часть из неправильной дроби:
$\frac{55}{54} = 1\frac{1}{54}$
Ответ: $1\frac{1}{54}$.

г) Сначала преобразуем оба смешанных числа в неправильные дроби.
$2\frac{4}{25} = \frac{2 \times 25 + 4}{25} = \frac{50 + 4}{25} = \frac{54}{25}$
$1\frac{29}{36} = \frac{1 \times 36 + 29}{36} = \frac{36 + 29}{36} = \frac{65}{36}$
Теперь перемножим полученные дроби:
$\frac{54}{25} \times \frac{65}{36} = \frac{54 \times 65}{25 \times 36}$
Сократим числитель и знаменатель на общие множители. $54$ и $36$ делятся на $18$; $65$ и $25$ делятся на $5$:
$\frac{\cancel{54}^{3} \times \cancel{65}^{13}}{\cancel{25}^{5} \times \cancel{36}^{2}} = \frac{3 \times 13}{5 \times 2} = \frac{39}{10}$
Выделим целую часть из неправильной дроби:
$\frac{39}{10} = 3\frac{9}{10}$
Ответ: $3\frac{9}{10}$.

2. Что больше: 227 от 42 или 123 от 57?

2.

$$\begin{gathered} 42 · 2\frac{2}{7} = 42 · \frac{16}{7}= \frac{{\displaystyle \stackrel{6}{\cancel{42}}} · 16}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{7}}}}= \\ =\frac{6 · 16}{1}= 96 – \mathrm{составляют} 2\frac{2}{7} \mathrm{от} 42 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 57· 1\frac{2}{3} = 57 · \frac{5}{3}= \frac{{\displaystyle \stackrel{19}{\cancel{57}} · 5}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{3}}}}= \\ =\frac{19 · 5}{1}= 95 – \mathrm{составляют} 1\frac{2}{3} \mathrm{от} 57 \end{gathered}$$

$\mathrm{т}.\mathrm{к}. 96 > 95, \mathrm{то} 2\frac{2}{7} \mathrm{от} 42 \mathrm{больше}, \mathrm{чем} 1\frac{2}{3} \mathrm{от} 57.$

Для того чтобы ответить на вопрос, необходимо вычислить значение каждого выражения, а затем сравнить полученные результаты.

$2\frac{2}{7}$ от 42

Выражение "дробь от числа" означает умножение. Чтобы найти значение этого выражения, нужно умножить число 42 на смешанную дробь $2\frac{2}{7}$.
1. Сначала преобразуем смешанное число $2\frac{2}{7}$ в неправильную дробь:
$2\frac{2}{7} = \frac{2 \times 7 + 2}{7} = \frac{14 + 2}{7} = \frac{16}{7}$
2. Теперь выполним умножение полученной дроби на число 42:
$\frac{16}{7} \times 42 = \frac{16 \times 42}{7}$
3. Сократим числитель и знаменатель на 7 (поскольку $42 \div 7 = 6$):
$16 \times 6 = 96$
Таким образом, $2\frac{2}{7}$ от 42 равно 96.

$1\frac{2}{3}$ от 57

Аналогично первому случаю, найдем значение второго выражения, умножив 57 на $1\frac{2}{3}$.
1. Преобразуем смешанное число $1\frac{2}{3}$ в неправильную дробь:
$1\frac{2}{3} = \frac{1 \times 3 + 2}{3} = \frac{3 + 2}{3} = \frac{5}{3}$
2. Выполним умножение:
$\frac{5}{3} \times 57 = \frac{5 \times 57}{3}$
3. Сократим числитель и знаменатель на 3 (поскольку $57 \div 3 = 19$):
$5 \times 19 = 95$
Таким образом, $1\frac{2}{3}$ от 57 равно 95.

Сравнение результатов

Теперь сравним полученные значения:
Значение первого выражения: $96$.
Значение второго выражения: $95$.
Сравниваем числа: $96 > 95$.
Следовательно, $2\frac{2}{7}$ от 42 больше, чем $1\frac{2}{3}$ от 57.

Ответ: $2\frac{2}{7}$ от 42.

3. В зоомагазине представлено 2400 наименований товаров. Известно, что 23 % наименований — товары для кошек, 17 % наименований — товары для собак.

а) Сколько в зоомагазине наименований товаров для кошек?

б) Во сколько раз наименований товаров для кошек больше, чем наименований товаров для собак?

г) Сколько наименований товаров будет в зоомагазине, если его ассортимент будет расширен на 13 %?

3.

23% = 0,23

17% = 0,17

а) 2400 • 0,23 = 552 – товара для кошек;

б) 1) 2400 • 0,17 = 408 – товаров для собак

$2) 552 : 408 = \frac{552}{408}=\frac{69}{51}=\frac{23}{17}=1\frac{6}{7}$раза – товаров для кошек больше

в) 13% = 0,13

1) 2400 • 0,13 = 312 товаров – станет больше

2) 2400 + 312 = 2712 товаров – станет всего.

Ответ: а) 552; б) в $1\frac{6}{7}$ раза; в) 2712.

а) Сколько в зоомагазине наименований товаров для кошек?

Чтобы найти количество наименований товаров для кошек, необходимо вычислить 23% от общего числа наименований товаров (2400). Для этого можно умножить общее количество на долю, соответствующую процентам.

Переведем проценты в десятичную дробь: $23\% = 0.23$.

Выполним вычисление:

$2400 \cdot 0.23 = 552$

Таким образом, в зоомагазине представлено 552 наименования товаров для кошек.

Ответ: 552 наименования.

б) Во сколько раз наименований товаров для кошек больше, чем наименований товаров для собак?

Сначала найдем количество наименований товаров для собак, которое составляет 17% от общего ассортимента.

Переведем проценты в десятичную дробь: $17\% = 0.17$.

Вычислим количество товаров для собак:

$2400 \cdot 0.17 = 408$

Теперь, чтобы определить, во сколько раз товаров для кошек больше, чем для собак, разделим количество товаров для кошек (552) на количество товаров для собак (408). Это же соотношение можно получить, разделив проценты: $23 / 17$.

$\frac{552}{408} = \frac{23 \cdot 24}{17 \cdot 24} = \frac{23}{17} = 1\frac{6}{17}$

Товаров для кошек больше, чем товаров для собак, в $1\frac{6}{17}$ раза.

Ответ: в $1\frac{6}{17}$ раза.

г) Сколько наименований товаров будет в зоомагазине, если его ассортимент будет расширен на 13 %?

Чтобы найти новое количество товаров, нужно увеличить исходное количество (2400) на 13%. Сначала найдем, сколько наименований составляет 13%.

Вычислим 13% от 2400:

$2400 \cdot 0.13 = 312$

Теперь прибавим это значение к исходному количеству товаров:

$2400 + 312 = 2712$

Альтернативный способ — это сразу рассчитать новое общее количество, которое будет составлять $100\% + 13\% = 113\%$ от первоначального.

$2400 \cdot 1.13 = 2712$

После расширения в зоомагазине будет 2712 наименований товаров.

Ответ: 2712 наименований.

5.108. Маркетинговая служба торгового центра проводила анализ продаж мобильных устройств в течение месяца и установила, что в первую декаду месяца было продано 0,56 всех мобильных устройств, во вторую декаду – 514 того, что было продано в первую, а в третью декаду – остальные 240 устройств. Сколько мобильных устройств было продано в течение всего месяца? (Примечание. Декада – это треть месяца, или 10 дней.)

5.108

Пусть х шт – мобильных устройств, тогда (0,56х) шт – мобильных устройств продали в первую декаду, $\left(\frac{5}{14} · 0,56 х\right)$ шт - мобильных устройств продали во вторую декаду. Составим и решим уравнение: 

$$\begin{gathered} 0,56 х + \frac{5}{14} · 0,56 х + 240 =х; \\ 0,56 х + \frac{5}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{14}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{4}{\cancel{56}}}}{100} х + 240 =х; \\ 0,56 х + \frac{5}{1} · \frac{4}{100} х + 240 =х; \\ 0,56 х +\frac{20}{100} х + 240 =х; \\ 0,56 х + 0,2 х -х = -240; \\ - 0,24х = - 240; \\ х = - 240 : (-0,24); \\ х = 24000 : 24; \end{gathered}$$

х = 1000 устройств – продано в течение месяца

Ответ: 1000 устройств.

Для решения задачи обозначим общее количество мобильных устройств, проданных за весь месяц, через $x$.

В первую декаду было продано 0,56 всех мобильных устройств, что составляет $0,56x$.

Во вторую декаду было продано $\frac{5}{14}$ от количества, проданного в первую декаду. Вычислим, какую долю от общего количества $x$ это составляет:

$\frac{5}{14} \times (0,56x)$

Для удобства вычислений представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $0,56 = \frac{56}{100}$.

$\frac{5}{14} \times \frac{56}{100}x = \frac{5 \times 56}{14 \times 100}x = \frac{280}{1400}x = \frac{28}{140}x = \frac{1}{5}x$

Таким образом, во вторую декаду была продана $\frac{1}{5}$ всех устройств, что равно $0,2x$.

В третью декаду было продано 240 устройств.

Сумма устройств, проданных за три декады, равна общему количеству проданных устройств за месяц. Составим уравнение:

$(\text{продажи в 1-ю декаду}) + (\text{продажи во 2-ю декаду}) + (\text{продажи в 3-ю декаду}) = x$

$0,56x + 0,2x + 240 = x$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $x$.

Сложим слагаемые, содержащие $x$, в левой части уравнения:

$0,76x + 240 = x$

Перенесем слагаемое $0,76x$ в правую часть уравнения, изменив его знак:

$240 = x - 0,76x$

$240 = 0,24x$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 0,24:

$x = \frac{240}{0,24}$

Для избавления от дроби в знаменателе умножим числитель и знаменатель на 100:

$x = \frac{24000}{24} = 1000$

Следовательно, всего за месяц было продано 1000 мобильных устройств.

Ответ: 1000 мобильных устройств.

5.109. Ленту длиной 20 м разрезали на два куска. Найдите длину каждого куска, если 0,3 длины первого куска равны 0,2 длины второго куска.

5.109

Лента – 20 м;

0,3 1-го куска = 0,2 2-го куска

Пусть х м – длина первого куска, тогда (20 – х) м – длина второго куска, 0,3х м – составляют 0,3 первого куска, 0,2(20 – х) м – составляют 0,2 длины второго куска. Зная, что их длины равны, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} 0,3х = 0,2(20 – х); \\ 0,3х = 4 – 0,2х; \\ 0,3х + 0,2х = 4; \\ 0,5х = 4; \\ х = 4 : 0,5; \\ х = 40 : 5; \end{gathered}$$

х = 8 м – длина первого куска;

1) 20 – 8 = 12 м – длина второго куска.

Ответ: 8 м и 12 м.

Обозначим длину первого куска ленты как $x$ метров, а длину второго куска — как $y$ метров.

Исходя из условий задачи, мы можем составить систему из двух уравнений.
Первое уравнение основано на общей длине ленты:
$x + y = 20$

Второе уравнение основано на соотношении длин кусков: 0,3 длины первого куска равны 0,2 длины второго куска.
$0.3x = 0.2y$

Получаем систему уравнений:
$ \begin{cases} x + y = 20 \\ 0.3x = 0.2y \end{cases} $

Для решения системы выразим одну переменную через другую из второго уравнения. Умножим обе части второго уравнения на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей:
$3x = 2y$
Отсюда выразим $x$:
$x = \frac{2}{3}y$

Теперь подставим это выражение для $x$ в первое уравнение системы:
$\frac{2}{3}y + y = 20$

Решим полученное уравнение относительно $y$:
$\frac{2}{3}y + \frac{3}{3}y = 20$
$\frac{5}{3}y = 20$
$y = 20 \div \frac{5}{3}$
$y = 20 \cdot \frac{3}{5}$
$y = \frac{60}{5}$
$y = 12$
Следовательно, длина второго куска ленты составляет 12 метров.

Теперь найдем длину первого куска, подставив значение $y$ в первое уравнение $x + y = 20$:
$x + 12 = 20$
$x = 20 - 12$
$x = 8$
Следовательно, длина первого куска ленты составляет 8 метров.

Проверка:
Сумма длин: $8 \text{ м} + 12 \text{ м} = 20 \text{ м}$.
Соотношение длин: $0.3 \cdot 8 = 2.4$; $0.2 \cdot 12 = 2.4$. Равенство $2.4 = 2.4$ верно.

Ответ: длина первого куска — 8 м, длина второго куска — 12 м.

5.110. На изготовление 5 тыс. экземпляров учебника требуется 2,5 т бумаги. На сколько больше бумаги нужно для печати 49 тыс. экземпляров?

5.110

$\frac{5}{49} =\frac{2,5}{х}$

$х = \frac{49 ·{\displaystyle \stackrel{0,5}{\cancel{ 2,5}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{5}}}} = \frac{49 · 0,5}{1} = 24,5$ (т) – бумаги на 49 тыс. экземпляров

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }24,5 – 2,5 = 22$ (т) – увеличится.

Ответ: на 22т.

Для решения этой задачи необходимо выполнить несколько шагов.

1. Сначала найдем, сколько тонн бумаги уходит на изготовление одной тысячи экземпляров учебника. Для этого разделим общую массу бумаги на количество тысяч экземпляров:

$2,5 \text{ т} \div 5 \text{ тыс. экз.} = 0,5$ т/тыс. экз.

Это означает, что на каждую тысячу учебников требуется 0,5 тонны бумаги.

2. Теперь выясним, на сколько тысяч экземпляров больше нужно напечатать:

$49 \text{ тыс. экз.} - 5 \text{ тыс. экз.} = 44$ тыс. экз.

3. Наконец, рассчитаем, сколько дополнительной бумаги потребуется для печати этих 44 тысяч экземпляров. Для этого умножим полученное количество тысяч экземпляров на расход бумаги на одну тысячу:

$44 \text{ тыс. экз.} \times 0,5 \text{ т/тыс. экз.} = 22$ т

Ответ: на 22 тонны бумаги нужно больше.

5.111. Содержание сахара в сиропе равно 20 %. Найдите, сколько граммов сахара было в этом сиропе, если после добавления 60 г сахара в нём стало 35 % сахара.

5.111

Пусть х г – первоначальная масса сиропа, 0,2х г – сахара в первоначальном сиропе, (0,2х + 60) г сахара – стало в новом сиропе, (х + 60) г – масса нового сиропа, 0,35(х + 60) г – сахара в новом сиропе, получим уравнение:

$$\begin{gathered} 0,2х + 60 = 0,35(х + 60); \\ 0,2х + 60 = 0,35х + 21; \\ 0,2х – 0,35х = 21 – 60; \\ -0,15х = -39; \\ х = -39 : (-0,15); \\ х = 3900 : 15; \end{gathered}$$

х = 260 (г) – первоначальная масса сиропа

$\mathbf{1}\mathbf{)} 0,2 · 260 = 52$ (г) сахара – было в сиропе

Ответ: 52 г сахара.

Пусть первоначальная масса сахара в сиропе равна $x$ граммов, а первоначальная масса всего сиропа — $m$ граммов.
По условию, содержание сахара в сиропе равно 20%. Это можно выразить формулой:
$\frac{x}{m} = 0.20$
Из этого соотношения можно выразить массу всего сиропа через массу сахара:
$m = \frac{x}{0.20} = 5x$
После того как в сироп добавили 60 г сахара, масса сахара в новом растворе стала равной $x + 60$ г.
Общая масса сиропа также увеличилась на 60 г и стала равной $m + 60 = 5x + 60$ г.
Содержание сахара в новом сиропе составило 35%. Запишем это в виде уравнения:
$\frac{x + 60}{5x + 60} = 0.35$
Теперь решим это уравнение для нахождения $x$.
$x + 60 = 0.35 \cdot (5x + 60)$
Раскроем скобки в правой части уравнения:
$x + 60 = 0.35 \cdot 5x + 0.35 \cdot 60$
$x + 60 = 1.75x + 21$
Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в одной части уравнения, а свободные члены — в другой:
$60 - 21 = 1.75x - x$
$39 = 0.75x$
Чтобы найти $x$, разделим 39 на 0,75:
$x = \frac{39}{0.75} = \frac{39}{3/4} = 39 \cdot \frac{4}{3} = 13 \cdot 4 = 52$
Таким образом, первоначальная масса сахара в сиропе составляла 52 грамма.

Ответ: 52 г.

5.112. Вычислите.

5.112

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} -1,8 – 4,6 = -6,4 ; \\ -6,4 : 1,6 = -64 : 16 = -40; \\ -40 + 12,1 = -27,9; \\ -27,9 : (-3) = 9,3; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} 0,1 – 10 = -9,9; \\ -9,9 : 3 = -3,3; \\ -3,3 – 2,7 = -6; \\ -6 : 4 = -1,5; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }4,6 – 6 = -1,4; \\ -1,4 · 2 = -2,8; \\ -2,8 – 1,4 = -4,2; \\ -4,2 : 3 = -1,4; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)} \frac{1}{4} - 1 =\frac{3}{4}; \\ -\frac{3}{\cancel{4}} · \cancel{4} = -3; \\ -3 : 6 = -0,5; \\ -0,5 - {\frac{1}{4}}^{\overline{)·25}} = -0,5 - 0,25 = -0,75 \end{gathered}$$

а) Выполним вычисления по порядку:
1) $-1,8 - 4,6 = -(1,8 + 4,6) = -6,4$
2) $-6,4 : 1,6 = -64 : 16 = -4$
3) $-4 + 12,1 = 12,1 - 4 = 8,1$
4) $8,1 : (-3) = -(8,1 : 3) = -2,7$
Ответ: -2,7

б) Выполним вычисления по порядку:
1) $0,1 - 10 = -9,9$
2) $-9,9 : 3 = -3,3$
3) $-3,3 - 2,7 = -(3,3 + 2,7) = -6$
4) $-6 : 4 = -1,5$
Ответ: -1,5

в) Выполним вычисления по порядку:
1) $4,6 - 6 = -1,4$
2) $-1,4 \cdot 2 = -2,8$
3) $-2,8 - 1,4 = -(2,8 + 1,4) = -4,2$
4) $-4,2 : 3 = -1,4$
Ответ: -1,4

г) Выполним вычисления по порядку. Для удобства представим обыкновенную дробь $\frac{1}{4}$ в виде десятичной: $0,25$.
1) $\frac{1}{4} - 1 = 0,25 - 1 = -0,75$
2) $-0,75 \cdot 4 = -3$
3) $-3 : 6 = -0,5$
4) $-0,5 - \frac{1}{4} = -0,5 - 0,25 = -0,75$
Ответ: -0,75

5.113. При каких значениях а неверно неравенство:

а) a < –a; б) –a < a; в) |–а| > a; г) |a| > –a?

5.113

а) а < -a равенство неверно при а > 0

б) -а < a равенство неверно при а < 0

в) |а| > a равенство неверно при а ≥ 0

г) |а| > -a равенство неверно при а ≤ 0

а) Неравенство $a < -a$ будет неверным, если выполняется противоположное ему неравенство: $a \ge -a$.
Решим это неравенство, прибавив a к обеим частям:
$a + a \ge -a + a$
$2a \ge 0$
Разделив обе части на 2, получим:
$a \ge 0$
Таким образом, исходное неравенство неверно для всех неотрицательных значений a.
Ответ: при $a \ge 0$.

б) Неравенство $-a < a$ будет неверным, если выполняется противоположное ему неравенство: $-a \ge a$.
Решим это неравенство, прибавив a к обеим частям:
$-a + a \ge a + a$
$0 \ge 2a$
Разделив обе части на 2, получим:
$0 \ge a$, что эквивалентно $a \le 0$.
Таким образом, исходное неравенство неверно для всех неположительных значений a.
Ответ: при $a \le 0$.

в) Неравенство $|-a| > a$ будет неверным, если выполняется противоположное ему неравенство: $|-a| \le a$.
По свойству модуля $|-a| = |a|$, поэтому неравенство можно переписать в виде: $|a| \le a$.
Рассмотрим два случая раскрытия модуля:
1. Если $a \ge 0$, то $|a| = a$. Неравенство принимает вид $a \le a$. Это тождество верно для всех $a \ge 0$.
2. Если $a < 0$, то $|a| = -a$. Неравенство принимает вид $-a \le a$, что равносильно $0 \le 2a$, или $a \ge 0$. Это противоречит начальному условию этого случая ($a < 0$), следовательно, здесь решений нет.
Объединяя результаты, мы видим, что неравенство $|-a| \le a$ выполняется при $a \ge 0$. Значит, исходное неравенство неверно при этих значениях.
Ответ: при $a \ge 0$.

г) Неравенство $|a| > -a$ будет неверным, если выполняется противоположное ему неравенство: $|a| \le -a$.
Рассмотрим два случая раскрытия модуля:
1. Если $a \ge 0$, то $|a| = a$. Неравенство принимает вид $a \le -a$, что равносильно $2a \le 0$, или $a \le 0$. Единственное значение, которое удовлетворяет одновременно условиям $a \ge 0$ и $a \le 0$, это $a = 0$.
2. Если $a < 0$, то $|a| = -a$. Неравенство принимает вид $-a \le -a$. Это тождество верно для всех $a < 0$.
Объединяя решения из обоих случаев ($a=0$ и $a<0$), получаем, что исходное неравенство неверно при $a \le 0$.
Ответ: при $a \le 0$.

5.114. Приведите подобные слагаемые:

а) 7,3х + 4х; б) За – 5а; в) n – 45n; г) – 57m + m; д) 2,1х + 4,5х – 1,9х; е) 74а + 811а – 411a; ж) –6а – а + 7; з) 9n – 5y – 4n + 7y; и) 3,6х + 5,1y – 2,9х – 4,2y.

5.114

$\mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }7,3х + 4х = (7,3 + 4)х = 11,3х$

$\mathit{б}\mathbf{)} 3а – 5а = (3 – 5)а = -2а$

$\mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }n -\frac{4}{5}n = \left(1 -\frac{4}{5}\right)n = \frac{1}{5}n$

$\mathit{г}\mathbf{)} -\frac{5}{7}m + m = \left(-\frac{5}{7} + 1\right) m = \frac{2}{7} m$

$\mathit{д}\mathbf{)} 2,1x + 4,5x – 1,9x = (2,1 + 4,5 – 1,9)x = 4,7x$

$$\begin{gathered} \mathit{е}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{7}{4} а + \frac{8}{11}а - \frac{4}{11}а = \\ = \left({\frac{7}{4}}^{\overline{)·11}} + {\frac{8}{11}}^{\overline{)·4}} - {\frac{4}{11}}^{\overline{)·4}} \right)а=\left(\frac{77}{44} + \frac{32}{44} - \frac{16}{44} \right)а= \\ = \frac{93}{44}а = 2\frac{5}{44}а \end{gathered}$$

$\mathit{ж}\mathbf{)} -6a – a + 7 = (-6 – 1)a + 7 = -7a + 7$

$$\begin{gathered} \mathit{з}\mathbf{)}\mathbf{ }9n – 5y – 4n + 7y = (9n – 4n) + \\ + (-5y + 7y) = 5n + 2y \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{и}\mathbf{)}\mathbf{ }3,6х + 5,1у – 2,9х – 4,2у = (3,6х – 2,9х) + \\ + (5,1у – 4,2у) = 0,7х + 0,9у \end{gathered}$$

а) В выражении $7,3x + 4x$ оба слагаемых являются подобными, так как имеют одинаковую буквенную часть $x$. Чтобы привести подобные слагаемые, нужно сложить их коэффициенты ($7,3$ и $4$) и умножить результат на общую буквенную часть.

$7,3x + 4x = (7,3 + 4)x = 11,3x$.

Ответ: $11,3x$.

б) Слагаемые $3a$ и $-5a$ подобны, так как у них общая буквенная часть $a$. Вынесем ее за скобки и найдем разность коэффициентов.

$3a - 5a = (3 - 5)a = -2a$.

Ответ: $-2a$.

в) Слагаемые $n$ и $-\frac{4}{5}n$ подобны. Коэффициент у слагаемого $n$ равен $1$. Найдем разность коэффициентов.

$n - \frac{4}{5}n = (1 - \frac{4}{5})n = (\frac{5}{5} - \frac{4}{5})n = \frac{1}{5}n$.

Ответ: $\frac{1}{5}n$.

г) Слагаемые $-\frac{5}{7}m$ и $m$ подобны. Коэффициент у слагаемого $m$ равен $1$. Найдем сумму коэффициентов.

$-\frac{5}{7}m + m = (-\frac{5}{7} + 1)m = (-\frac{5}{7} + \frac{7}{7})m = \frac{2}{7}m$.

Ответ: $\frac{2}{7}m$.

д) Все три слагаемых $2,1x$, $4,5x$ и $-1,9x$ имеют общую буквенную часть $x$, поэтому они подобны. Сложим и вычтем их коэффициенты.

$2,1x + 4,5x - 1,9x = (2,1 + 4,5 - 1,9)x = (6,6 - 1,9)x = 4,7x$.

Ответ: $4,7x$.

е) Все три слагаемых подобны, так как имеют общую часть $a$. Вынесем ее за скобки и выполним действия с коэффициентами. Сначала сгруппируем дроби с одинаковым знаменателем.

$\frac{7}{4}a + \frac{8}{11}a - \frac{4}{11}a = (\frac{7}{4} + \frac{8}{11} - \frac{4}{11})a = (\frac{7}{4} + \frac{4}{11})a$.

Приведем дроби к общему знаменателю $44$:

$(\frac{7 \cdot 11}{4 \cdot 11} + \frac{4 \cdot 4}{11 \cdot 4})a = (\frac{77}{44} + \frac{16}{44})a = \frac{93}{44}a$.

Ответ: $\frac{93}{44}a$.

ж) В выражении $-6a - a + 7$ подобными являются только слагаемые, содержащие переменную $a$: $-6a$ и $-a$. Слагаемое $7$ является свободным членом. Приведем подобные слагаемые.

$-6a - a + 7 = (-6 - 1)a + 7 = -7a + 7$.

Ответ: $-7a + 7$.

з) В выражении $9n - 5y - 4n + 7y$ есть две группы подобных слагаемых: с переменной $n$ ($9n$ и $-4n$) и с переменной $y$ ($-5y$ и $7y$). Сгруппируем их и приведем подобные для каждой группы.

$9n - 5y - 4n + 7y = (9n - 4n) + (-5y + 7y) = (9-4)n + (-5+7)y = 5n + 2y$.

Ответ: $5n + 2y$.

и) В выражении $3,6x + 5,1y - 2,9x - 4,2y$ есть две группы подобных слагаемых: с переменной $x$ ($3,6x$ и $-2,9x$) и с переменной $y$ ($5,1y$ и $-4,2y$). Сгруппируем их и приведем подобные для каждой группы.

$3,6x + 5,1y - 2,9x - 4,2y = (3,6x - 2,9x) + (5,1y - 4,2y) = (3,6-2,9)x + (5,1-4,2)y = 0,7x + 0,9y$.

Ответ: $0,7x + 0,9y$.

5.115. Упростите выражение:

а) 3а – (а + 4); б) а + 4(5а – 2); в) n + 0,5(4n – 10).

5.115

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }3а – (а + 4) = 3а – а – 4 = 2а – 4 \\ \mathit{б}\mathbf{)} а + 4(5а – 2) = а + 20а – 8 = 21а – 8 \\ \mathit{в}\mathbf{)} n + 0,5(4n – 10) = n + 2n – 5 = 3n – 5 \end{gathered}$$

а) Чтобы упростить выражение $3a - (a + 4)$, необходимо раскрыть скобки. Так как перед скобками стоит знак минус, знаки всех слагаемых внутри скобок меняются на противоположные:

$3a - (a + 4) = 3a - a - 4$

Теперь приведем подобные слагаемые. Подобными слагаемыми здесь являются $3a$ и $-a$:

$3a - a = (3 - 1)a = 2a$

Подставляем полученное значение обратно в выражение:

$2a - 4$

Ответ: $2a - 4$

б) Чтобы упростить выражение $a + 4(5a - 2)$, нужно сначала раскрыть скобки, используя распределительное свойство умножения. Умножим 4 на каждый член в скобках:

$4 \cdot 5a = 20a$

$4 \cdot (-2) = -8$

Теперь подставим эти значения в исходное выражение:

$a + 20a - 8$

Далее приведем подобные слагаемые $a$ и $20a$:

$a + 20a = (1 + 20)a = 21a$

Таким образом, упрощенное выражение выглядит так:

$21a - 8$

Ответ: $21a - 8$

в) Чтобы упростить выражение $n + 0,5(4n - 10)$, применим распределительное свойство умножения для раскрытия скобок. Умножим 0,5 на каждый член в скобках:

$0,5 \cdot 4n = 2n$

$0,5 \cdot (-10) = -5$

Подставим полученные результаты в исходное выражение:

$n + 2n - 5$

Теперь сложим подобные слагаемые $n$ и $2n$:

$n + 2n = (1 + 2)n = 3n$

В результате получаем упрощенное выражение:

$3n - 5$

Ответ: $3n - 5$

5.116. Сеялка может весь объём зерна посеять за 5 ч. Определите:
а) какую часть всего зерна она посеет за 1 ч;
б) сколько процентов всего зерна она посеет за 1 ч;
в) какую часть всего зерна она посеет за 3 ч;
г) сколько процентов всего зерна она посеет за 4 ч.

5.116

$\mathit{а}\mathbf{)} 1 : 5 = \frac{1}{5}$зерна – посеет за 1 час

$\mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{1}{5}}^{\overline{)·2}} · 100\% = 0,2 · 100\% = 20\%$ - посеет за 1 час

$\mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }3 : 5 = \frac{3}{5}$ зерна – посеет за 3 часа

$\mathit{г}\mathbf{)} {\frac{4}{5} }^{\overline{)·2}}· 100\% = 0,8 · 100\% = 80\%$ - посеет за 4 часа

Для решения задачи примем весь объём зерна за 1 (единицу).

Поскольку сеялка выполняет всю работу (посев 1 целого объёма зерна) за 5 часов, её производительность, то есть часть работы, выполняемая за 1 час, составляет:

$1 \div 5 = \frac{1}{5}$ (часть всего объёма зерна в час).

а) какую часть всего зерна она посеет за 1 ч;

За 1 час сеялка посеет часть зерна, равную её производительности.

$P_{1ч} = \frac{1}{5} \cdot 1 = \frac{1}{5}$

Ответ: $\frac{1}{5}$ часть всего зерна.

б) сколько процентов всего зерна она посеет за 1 ч;

Чтобы перевести часть, выполненную за 1 час ($\frac{1}{5}$), в проценты, нужно эту дробь умножить на 100%.

$\frac{1}{5} \cdot 100\% = \frac{100}{5}\% = 20\%$

Ответ: 20%.

в) какую часть всего зерна она посеет за 3 ч;

Чтобы найти часть зерна, посеянную за 3 часа, нужно производительность сеялки умножить на время.

$P_{3ч} = \frac{1}{5} \cdot 3 = \frac{3}{5}$

Ответ: $\frac{3}{5}$ часть всего зерна.

г) сколько процентов всего зерна она посеет за 4 ч.

Сначала определим, какую часть зерна сеялка посеет за 4 часа, умножив производительность на время.

$P_{4ч} = \frac{1}{5} \cdot 4 = \frac{4}{5}$

Теперь переведём полученную часть в проценты, умножив дробь на 100%.

$\frac{4}{5} \cdot 100\% = \frac{4 \cdot 100}{5}\% = 4 \cdot 20\% = 80\%$

Ответ: 80%.

5.117. За какое время Оля прочитает повесть, если она за 1 ч прочитывает:

а) 25 % всей повести; б) 18 всей повести; в) 0,6 всей повести?

5.117

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)} 25\% = 0,25 \\ 1 : 0,25 = 100 : 25 = 4 \mathrm{часа} \end{gathered}$$

$\mathbf{б}\mathbf{)}\mathbf{ }1 : \frac{1}{8} = 1 · 8 = 8 \mathrm{часов}$

$$\begin{gathered} \mathbf{в}\mathbf{)} 1 : 0,6 = 1 : \frac{6}{10} = 1 · \frac{10}{6} = \frac{10}{6}= \\ = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3}\mathrm{ч} = 1 \mathrm{ч} 40 \mathrm{мин} \end{gathered}$$

а)

Вся повесть составляет 100%. Оля прочитывает 25% повести за 1 час. Чтобы найти общее время, необходимо разделить общий объем (100%) на скорость чтения (25% в час).

Время = $100\% \div 25\% = 4$ часа.

Другой способ — представить всю повесть как 1. Тогда 25% — это 0,25. Чтобы найти общее время, нужно 1 разделить на 0,25.

Время = $1 \div 0,25 = 4$ часа.

Ответ: 4 часа.

б)

Оля прочитывает $\frac{1}{8}$ всей повести за 1 час. Чтобы найти время, за которое она прочитает всю повесть (которую мы принимаем за 1), нужно 1 разделить на скорость чтения $\frac{1}{8}$.

Время = $1 \div \frac{1}{8} = 1 \cdot \frac{8}{1} = 8$ часов.

Ответ: 8 часов.

в)

Оля прочитывает 0,6 всей повести за 1 час. Чтобы найти время, за которое она прочитает всю повесть (1), нужно 1 разделить на скорость чтения 0,6.

Время = $1 \div 0,6 = \frac{1}{0,6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$ часа.

Чтобы перевести это время в более привычный формат, выделим целую часть: $\frac{5}{3} \text{ часа} = 1\frac{2}{3}$ часа.

Теперь переведем дробную часть в минуты. В одном часе 60 минут, поэтому:

$\frac{2}{3} \cdot 60 = \frac{120}{3} = 40$ минут.

Таким образом, общее время составляет 1 час 40 минут.

Ответ: $\frac{5}{3}$ часа (или 1 час 40 минут).

5.118. За какое время будет посажен новый лес, если:
а) за 7 ч посажено 35 % всей площади;
б) за 7 ч посажено $\frac{14}{19}$ всей площади;
в) за 4 ч посажено 0,28 всей площади?

5.118

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)}\mathbf{ }35\% = 0,35 \\ 7 : 0,35 = 700 : 35 = 20 \mathrm{часов} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{б}\mathbf{)}\mathbf{ }7 : \frac{14}{19} =\stackrel{1}{ \cancel{7} }· \frac{19}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{14}}}} = 1 · \frac{19}{2} = \frac{19}{2}= \\ = 9\frac{1}{2} \mathrm{ч} = 9 \mathrm{ч} 30 \mathrm{мин} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{в}\mathbf{)}\mathbf{ }4 : 0,28 = 400 : 28 = \frac{400}{28} = \\ = \frac{100}{7} = 14\frac{2}{7}\mathrm{ч} \end{gathered}$$

а) По условию задачи, за 7 часов было посажено 35% всей площади. Чтобы найти, за какое время будет посажен весь лес (100%), можно использовать метод пропорции. Обозначим искомое время через $T$.
Составим пропорцию:
7 часов — 35%
$T$ часов — 100%
Из этой пропорции выразим $T$:
$T = \frac{7 \text{ часов} \times 100\%}{35\%} = \frac{700}{35} = 20$ часов.
Другой способ решения — найти производительность (скорость посадки). Сначала переведем проценты в десятичную дробь: $35\% = 0,35$.
Производительность равна $0,35 \text{ площади} \div 7 \text{ часов} = 0,05$ площади в час.
Тогда время на всю работу (1 целая площадь) составит:
$T = 1 \div 0,05 = 20$ часов.
Ответ: 20 часов.

б) По условию, за 7 часов посажено $\frac{14}{19}$ всей площади. Вся площадь принимается за 1. Чтобы найти общее время $T$, необходимое для посадки всей площади, нужно время, затраченное на выполнение части работы, разделить на эту часть.
$T = 7 \div \frac{14}{19}$
Чтобы разделить число на дробь, нужно умножить это число на дробь, обратную делителю:
$T = 7 \times \frac{19}{14}$
Выполним умножение и сократим дробь:
$T = \frac{7 \times 19}{14} = \frac{1 \times 19}{2} = \frac{19}{2} = 9,5$ часов.
Ответ: 9,5 часов.

в) По условию, за 4 часа посажено 0,28 всей площади. Вся площадь принимается за 1. Чтобы найти общее время $T$, нужно разделить затраченное время на выполненную долю работы.
$T = 4 \div 0,28$
Для выполнения деления можно избавиться от дроби в делителе, умножив и делимое, и делитель на 100:
$T = \frac{4}{0,28} = \frac{4 \times 100}{0,28 \times 100} = \frac{400}{28}$
Теперь сократим полученную дробь. Числитель и знаменатель делятся на 4:
$T = \frac{400 \div 4}{28 \div 4} = \frac{100}{7}$ часов.
Можно представить ответ в виде смешанного числа, выделив целую часть:
$\frac{100}{7} = 14 \frac{2}{7}$ часов.
Ответ: $14 \frac{2}{7}$ часов.