Страница 98, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

2.401. Первая упаковка моркови весит 3310 кг, а вторая — в 212 раза больше. Сколько моркови будет во второй упаковке, если в неё добавить ещё 134 кг моркови?

2.401

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }3\frac{3}{10} · 2\frac{1}{2} =\frac{33}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{10} }}}· \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{5}}}}{2} = \frac{33 · 1}{2 · 2}=$

$=\frac{33}{4}=8\frac{1}{4}$(кг)-в другой упаковке; 

$\mathbf{2}\mathbf{)} 8\frac{1}{4} + 1\frac{3}{4} = 9\frac{4}{4} = 10$(кг)-будет во второй упаковке.

Ответ: 10 кг.

Для решения задачи необходимо выполнить два основных действия. Сначала мы определим первоначальный вес второй упаковки моркови, а затем вычислим ее конечный вес после добавления дополнительного количества моркови.

1. Найдём первоначальный вес второй упаковки.

Вес первой упаковки составляет $3 \frac{3}{10}$ кг. Вторая упаковка весит в $2 \frac{1}{2}$ раза больше. Чтобы найти вес второй упаковки, нужно вес первой упаковки умножить на $2 \frac{1}{2}$. Для удобства вычислений преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:
$3 \frac{3}{10} = \frac{3 \cdot 10 + 3}{10} = \frac{33}{10}$
$2 \frac{1}{2} = \frac{2 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{5}{2}$

Теперь выполним умножение дробей:
$\frac{33}{10} \times \frac{5}{2} = \frac{33 \times 5}{10 \times 2} = \frac{165}{20}$

Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для 165 и 20 это 5:
$\frac{165 \div 5}{20 \div 5} = \frac{33}{4}$
Таким образом, первоначальный вес второй упаковки моркови равен $\frac{33}{4}$ кг.

2. Найдём итоговый вес второй упаковки.

К первоначальному весу второй упаковки ($\frac{33}{4}$ кг) добавили ещё $1 \frac{3}{4}$ кг моркови. Чтобы найти новый общий вес, сложим эти два значения. Сначала преобразуем $1 \frac{3}{4}$ в неправильную дробь:
$1 \frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{7}{4}$

Теперь сложим веса:
$\frac{33}{4} + \frac{7}{4} = \frac{33 + 7}{4} = \frac{40}{4}$

Выполним деление, чтобы получить окончательный результат:
$\frac{40}{4} = 10$ кг.

Ответ: 10 кг.

2.402. Маша читала рассказ в течение 16 ч, а учила стихотворение на 14 ч дольше, чем читала рассказ. Сколько минут Маша затратила на выполнение домашнего задания по литературе?

2.402

$\mathbf{1}\mathbf{)} {\frac{1}{6}}^{\overline{)·2}} + {\frac{1}{4}}^{\overline{)·3}} = \frac{2}{12} + \frac{3}{12} = \frac{5}{12}$(ч)-учила стихотворение;

$\mathbf{2}\mathbf{)} {\frac{1}{6}}^{\overline{)·2}} + \frac{5}{12 }= \frac{2}{12} + \frac{5}{12} = \frac{7}{12}$(ч)-затратила Маша. 

Ответ:  $\frac{7}{12}$ ч.

1. Найдем время, затраченное на чтение рассказа, в минутах.

В одном часе 60 минут. Маша читала рассказ в течение $\frac{1}{6}$ часа. Чтобы перевести это время в минуты, нужно 60 умножить на $\frac{1}{6}$:

$\frac{1}{6} \times 60 = \frac{60}{6} = 10$ (минут).

2. Найдем время, затраченное на изучение стихотворения, в минутах.

По условию, Маша учила стихотворение на $\frac{1}{4}$ часа дольше, чем читала рассказ. Сначала переведем $\frac{1}{4}$ часа в минуты:

$\frac{1}{4} \times 60 = \frac{60}{4} = 15$ (минут).

Теперь к времени, затраченному на чтение рассказа, прибавим 15 минут, чтобы найти время изучения стихотворения:

$10 + 15 = 25$ (минут).

3. Найдем общее время, затраченное на выполнение домашнего задания.

Домашнее задание по литературе состояло из чтения рассказа и изучения стихотворения. Чтобы найти общее время, сложим время, потраченное на каждую часть:

$10 + 25 = 35$ (минут).

Ответ: 35 минут.

2.403. Из 27 собранных ягод чёрной смородины сварили кисель, из 70 % — варенье, а оставшиеся ягоды съели. Сколько килограммов ягод съели, если всего собрали 2,8 кг ягод?

2.403

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }2,8 · \frac{2}{7} = 2\frac{8}{10 }· \frac{2}{7} =\frac{{\displaystyle \stackrel{4}{\cancel{28}}}}{10} · \frac{2}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{7}}}} =\frac{8}{10 }=0,8$ (кг)-сварили кисель; 

$\mathbf{2}\mathbf{)} 2,8 · 0,7=1,96$(кг) - сварили варенье

$\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{ }0,8+1,96=2,76$ (кг) - израсходовали;

$\mathbf{4}\mathbf{)} 2,8-2,76=0,04$(кг) - съели.

Ответ: 0,04 кг.

Для решения этой задачи необходимо последовательно выполнить несколько шагов, чтобы определить, какая часть ягод была съедена.

1. Первым действием найдем массу ягод, которая пошла на приготовление киселя. По условию, это $ \frac{2}{7} $ от всего урожая.
$ 2,8 \cdot \frac{2}{7} = \frac{2,8 \cdot 2}{7} = \frac{5,6}{7} = 0,8 $ кг ягод было использовано для киселя.

2. Вторым действием вычислим, сколько килограммов ягод осталось после приготовления киселя.
$ 2,8 - 0,8 = 2,0 $ кг ягод осталось.

3. Третьим действием определим, сколько ягод ушло на варенье. По условию, на варенье было потрачено 70% от оставшихся после киселя ягод. Сначала переведем проценты в десятичную дробь: $ 70\% = \frac{70}{100} = 0,7 $.
$ 2,0 \cdot 0,7 = 1,4 $ кг ягод было использовано для варенья.

4. Четвертым действием найдем массу ягод, которую съели. Это те ягоды, которые остались после того, как из остатка от киселя взяли ягоды на варенье.
$ 2,0 - 1,4 = 0,6 $ кг.

Ответ: 0,6 кг.

2.404. В первый день убрали 47 площади, засеянной подсолнечником, во второй день — 0,7 оставшейся площади. Сколько гектаров подсолнечника убрали за эти два дня, если было засеяно с га? Найдите значение получившегося выражения при с = 35; с = 42.

2.404

с = 35; 42.

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{4}{7} · с = \frac{4}{7} с$(части)-убрали в первый день;

$\mathbf{2}\mathbf{)} 1с - \frac{4}{7}с = \left(\frac{7}{7} - \frac{4}{7}\right)с = \frac{3}{7}с$ (части)-осталось после первого дня;

$\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{3}{7}с · 0,7=\frac{3}{\cancel{7}}с · \frac{\cancel{7}}{10}=\frac{3}{10}$(части)-убрали во второй день;

$\mathbf{4}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{4}{7}}^{\overline{)\mathbf{·}\mathbf{10}}} с + {\frac{3}{10}}^{\overline{)·7}} с =\left(\frac{40}{70} + \frac{21}{70}\right) с = \frac{61}{70} с$ (части)-убрали за два дня.

при c=35:    

$$\begin{gathered} \frac{61}{70}с = \frac{61}{70} · 35 = \frac{61 ·{\displaystyle \stackrel{1}{ \cancel{35} }}}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{70}}}} = \frac{61 · 1}{2}= \\ =\frac{61}{2}=35\frac{1}{2} \left(\mathrm{га}\right); \end{gathered}$$

при с = 42:

$$\begin{gathered} \frac{61}{70}с = \frac{61}{70} · 42 = \frac{61 ·{\displaystyle \stackrel{3}{ \cancel{42} }}}{{\displaystyle \underset{5}{\cancel{70}}}} = \frac{61 · 3}{5}= \\ =\frac{183}{5}=36\frac{3}{5} \left(\mathrm{га}\right). \end{gathered}$$

Для решения задачи сначала составим выражение для нахождения площади, убранной за два дня. Пусть $c$ — общая площадь, засеянная подсолнечником, в гектарах.

1. Площадь, которую убрали в первый день, составляет $\frac{4}{7}$ от всей площади:
$S_1 = \frac{4}{7}c$ га.

2. Найдем оставшуюся площадь после первого дня уборки:
$c - S_1 = c - \frac{4}{7}c = \frac{7}{7}c - \frac{4}{7}c = \frac{3}{7}c$ га.

3. Во второй день убрали 0,7 оставшейся площади. Переведем десятичную дробь в обыкновенную: $0,7 = \frac{7}{10}$.
Площадь, убранная во второй день:
$S_2 = 0,7 \cdot (\frac{3}{7}c) = \frac{7}{10} \cdot \frac{3}{7}c = \frac{3}{10}c$ га.

4. Общая площадь, убранная за два дня, равна сумме площадей, убранных в первый и второй день:
$S_{общ} = S_1 + S_2 = \frac{4}{7}c + \frac{3}{10}c$.

5. Приведем дроби к общему знаменателю (70) и сложим их, чтобы получить итоговое выражение:
$S_{общ} = (\frac{4 \cdot 10}{7 \cdot 10} + \frac{3 \cdot 7}{10 \cdot 7})c = (\frac{40}{70} + \frac{21}{70})c = \frac{61}{70}c$.
Итак, выражение для нахождения убранной площади за два дня: $\frac{61}{70}c$.

Теперь найдем значение этого выражения для заданных значений $c$.

при c = 35:

Подставим значение $c=35$ в полученное выражение:
$\frac{61}{70} \cdot 35 = \frac{61 \cdot 35}{70} = \frac{61 \cdot 1}{2} = 30,5$ га.

Ответ: при $c=35$ было убрано 30,5 гектаров подсолнечника.

при c = 42:

Подставим значение $c=42$ в полученное выражение:
$\frac{61}{70} \cdot 42 = \frac{61 \cdot 42}{70} = \frac{61 \cdot 6}{10} = \frac{366}{10} = 36,6$ га.

Ответ: при $c=42$ было убрано 36,6 гектаров подсолнечника.

2.405. На обувной фабрике было выпущено п пар кроссовок: мужских, женских и детских. Мужские кроссовки составляли 45 % от общего выпуска кроссовок, 80 % от выпуска мужских кроссовок составляли женские кроссовки, а остальные кроссовки были детскими. Сколько пар детских кроссовок было выпущено?

2.405

1) 0,45 • n = 0,45n (пар) - мужская обувь;

2) 0,45 • 0,8 = 0,36n (пар) - женская обувь;

3) 0,45 n + 0,36 n = 0,81 n (пар) – мужской и женской обуви вместе;

4) n – 0,81n = 0,19 n (пар) – детской обуви.

Ответ: 0,19 n.

Для решения задачи обозначим общее количество выпущенных пар кроссовок через $n$.

1. Найдем количество пар мужских кроссовок

По условию, мужские кроссовки составляют 45% от общего выпуска. Чтобы найти их количество, нужно общее число $n$ умножить на долю, соответствующую 45%. Для этого переведем проценты в десятичную дробь: $45\% = 0.45$.
Количество мужских кроссовок: $n_{мужские} = 0.45 \cdot n$.

2. Найдем количество пар женских кроссовок

Женские кроссовки составляют 80% от выпуска мужских кроссовок. Переведем 80% в десятичную дробь: $80\% = 0.8$.
Теперь рассчитаем количество женских кроссовок, взяв 80% от найденного ранее количества мужских:
$n_{женские} = 0.8 \cdot n_{мужские} = 0.8 \cdot (0.45n) = 0.36n$.
Таким образом, женские кроссовки составляют 36% от общего выпуска $n$.

3. Найдем количество пар детских кроссовок

Оставшиеся кроссовки были детскими. Чтобы найти их количество, нужно из общего количества $n$ вычесть количество мужских и женских пар:
$n_{детские} = n - n_{мужские} - n_{женские}$
Подставим в формулу полученные выражения:
$n_{детские} = n - 0.45n - 0.36n$
Вынесем общий множитель $n$ за скобки:
$n_{детские} = n \cdot (1 - 0.45 - 0.36)$
Выполним вычисления в скобках:
$n_{детские} = n \cdot (0.55 - 0.36)$
$n_{детские} = n \cdot 0.19$

Ответ: было выпущено $0.19n$ пар детских кроссовок.

2.406. Выполните действия:

а) (60,31 + 24,72 : (21,3 - 18,9)) : 2,3;

б) 110,864 : (4,1 · 5,2) + 3,74.

2.406

$\mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }(60,31 \stackrel{3}{+} 24,72 \stackrel{2}{:} (21,3 \stackrel{1}{–} 18,9))\stackrel{4}{ :} 2,3 = 30,7;$

1.	2.
3.	4.

$\mathit{б}\mathbf{)} 110,864\stackrel{2}{ :} (4,1 \stackrel{1}{·} 5,2) \stackrel{3}{+} 3,74 = 8,94.$

1.	2.
3.

a) $(60,31 + 24,72 : (21,3 - 18,9)) : 2,3$

Для решения этого примера необходимо соблюдать порядок действий. Сначала выполняются действия в самых внутренних скобках, затем операции внутри внешних скобок (сначала деление, потом сложение), и в последнюю очередь — деление за скобками.

1. Выполним вычитание в скобках:

$21,3 - 18,9 = 2,4$

2. Теперь выполним деление внутри внешних скобок:

$24,72 : 2,4 = 10,3$

3. Далее выполним сложение внутри внешних скобок:

$60,31 + 10,3 = 70,61$

4. Наконец, выполним последнее деление:

$70,61 : 2,3 = 30,7$

Ответ: $30,7$

б) $110,864 : (4,1 \cdot 5,2) + 3,74$

В этом примере сначала выполняется умножение в скобках, затем деление, и в конце — сложение.

1. Выполним умножение в скобках:

$4,1 \cdot 5,2 = 21,32$

2. Теперь выполним деление:

$110,864 : 21,32 = 5,2$

3. Выполним сложение:

$5,2 + 3,74 = 8,94$

Ответ: $8,94$

1. Вычислите наиболее удобным способом:

а) (78 + 56) · 24;

б) 1014750 · 250;

в) 347 · 91617 + 347 · 717;

г) 934 · 101526 – 10413 · 934.

Проверочная работа №1

1.

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }\left(\frac{7}{8} + \frac{5}{6}\right) · 24 = \frac{7}{8} · 24 + \frac{5}{6} · 24= \\ = \frac{7 · {\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{24}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{8}}}} + \frac{5 · {\displaystyle \stackrel{4}{\cancel{24}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{6}}}} = 21 + 20 =41; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }101\frac{47}{50} · 250 = \left(101 + \frac{47}{50}\right) · 250 = \\ = 101\stackrel{1}{ · }250 + \frac{47}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{50}}}}· \stackrel{5}{\cancel{250} }= 25250 + \\ + 47 \stackrel{2}{·} 5 = 25250 \stackrel{3}{+} 235 = 25485; \end{gathered}$$

1.

2.

3.

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)} 3\frac{4}{7} · 9\frac{16}{17} + 3\frac{4}{7} · 7\frac{1}{17} = \\ 3\frac{4}{7} · \left(9\frac{16}{17} + 7\frac{1}{17}\right) = 3\frac{4}{7} ·16\frac{17}{17} = \\ = 3\frac{4}{7} · 17 = \frac{425}{7} = 60\frac{5}{7}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)} 9\frac{3}{4} · 10 \frac{15}{26} -{ 10 \frac{4}{13}}^{\overline{)·2}} · 9\frac{3}{4} = \\ = 9\frac{3}{4} · \left(10 \frac{15}{26} - 10 \frac{8}{26}\right) = \\ = 9\frac{3}{4} · \frac{7}{26} = \frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{39} }}· 7 }{4 · {\displaystyle \underset{2}{\cancel{26}}}} = \frac{3 · 7 }{4 · 2} = \frac{21}{8} = 2\frac{5}{8}. \end{gathered}$$

а) Для вычисления выражения $(\frac{7}{8} + \frac{5}{6}) \cdot 24$ наиболее удобным способом будет использование распределительного свойства умножения относительно сложения. Это свойство позволяет умножить каждый член в скобках на число за скобками, а затем сложить результаты. Это избавляет от необходимости приводить дроби к общему знаменателю на первом шаге.

1. Раскроем скобки, умножив каждый член на 24:

$(\frac{7}{8} + \frac{5}{6}) \cdot 24 = \frac{7}{8} \cdot 24 + \frac{5}{6} \cdot 24$

2. Вычислим каждое произведение отдельно. Сократим дроби:

$\frac{7}{8} \cdot 24 = 7 \cdot \frac{24}{8} = 7 \cdot 3 = 21$

$\frac{5}{6} \cdot 24 = 5 \cdot \frac{24}{6} = 5 \cdot 4 = 20$

3. Сложим полученные результаты:

$21 + 20 = 41$

Ответ: 41

б) Чтобы вычислить произведение $101\frac{47}{50} \cdot 250$, удобно представить смешанное число $101\frac{47}{50}$ в виде суммы его целой и дробной частей и применить распределительное свойство умножения.

1. Представим смешанное число как сумму:

$101\frac{47}{50} = 101 + \frac{47}{50}$

2. Применим распределительное свойство:

$(101 + \frac{47}{50}) \cdot 250 = 101 \cdot 250 + \frac{47}{50} \cdot 250$

3. Вычислим каждое слагаемое:

$101 \cdot 250 = (100+1) \cdot 250 = 100 \cdot 250 + 1 \cdot 250 = 25000 + 250 = 25250$

$\frac{47}{50} \cdot 250 = 47 \cdot \frac{250}{50} = 47 \cdot 5 = 235$

4. Сложим результаты:

$25250 + 235 = 25485$

Ответ: 25485

в) В выражении $3\frac{4}{7} \cdot 9\frac{16}{17} + 3\frac{4}{7} \cdot 7\frac{1}{17}$ есть общий множитель $3\frac{4}{7}$. Удобнее всего вынести его за скобки, используя распределительное свойство.

1. Вынесем общий множитель за скобки:

$3\frac{4}{7} \cdot (9\frac{16}{17} + 7\frac{1}{17})$

2. Выполним сложение в скобках. Сначала сложим целые части, затем дробные:

$9\frac{16}{17} + 7\frac{1}{17} = (9+7) + (\frac{16}{17} + \frac{1}{17}) = 16 + \frac{17}{17} = 16 + 1 = 17$

3. Теперь выражение упростилось до $3\frac{4}{7} \cdot 17$. Переведем смешанное число в неправильную дробь:

$3\frac{4}{7} = \frac{3 \cdot 7 + 4}{7} = \frac{25}{7}$

4. Выполним умножение:

$\frac{25}{7} \cdot 17 = \frac{25 \cdot 17}{7} = \frac{425}{7}$

5. Переведем неправильную дробь обратно в смешанное число:

$\frac{425}{7} = 60\frac{5}{7}$

Ответ: $60\frac{5}{7}$

г) В выражении $9\frac{3}{4} \cdot 10\frac{15}{26} - 10\frac{4}{13} \cdot 9\frac{3}{4}$ также есть общий множитель $9\frac{3}{4}$. Вынесем его за скобки, чтобы упростить вычисления.

1. Вынесем общий множитель за скобки:

$9\frac{3}{4} \cdot (10\frac{15}{26} - 10\frac{4}{13})$

2. Выполним вычитание в скобках. Приведем дробные части к общему знаменателю, который равен 26:

$10\frac{4}{13} = 10\frac{4 \cdot 2}{13 \cdot 2} = 10\frac{8}{26}$

$10\frac{15}{26} - 10\frac{8}{26} = (10-10) + (\frac{15}{26} - \frac{8}{26}) = 0 + \frac{7}{26} = \frac{7}{26}$

3. Теперь исходное выражение равно $9\frac{3}{4} \cdot \frac{7}{26}$. Переведем смешанное число $9\frac{3}{4}$ в неправильную дробь:

$9\frac{3}{4} = \frac{9 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{39}{4}$

4. Выполним умножение, предварительно сократив множители 39 и 26 на их общий делитель 13:

$\frac{39}{4} \cdot \frac{7}{26} = \frac{3 \cdot 13}{4} \cdot \frac{7}{2 \cdot 13} = \frac{3 \cdot 7}{4 \cdot 2} = \frac{21}{8}$

5. Переведем результат в смешанное число:

$\frac{21}{8} = 2\frac{5}{8}$

Ответ: $2\frac{5}{8}$

2. Упростите выражение:

а) 13х + 79х + 1718х;

б) 127х + 457y + 21114х – 1114y.

2.

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} \frac{1}{3}х + \frac{7}{9} х + \frac{17}{18}х = \left({\frac{1}{3}}^{\overline{)·6}} + {\frac{7}{9}}^{\overline{)·2}} + \frac{17}{18}\right)х = \\ = \left(\frac{6}{18} + \frac{14}{18} + \frac{17}{18}\right) х = \frac{37}{18} х = 2\frac{1}{18} х; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}{ 1\frac{2}{7}}^{\overline{)· 2}} х + {4\frac{5}{7}}^{\overline{)·2}} у + 2\frac{11}{14} х - \frac{11}{14} у = \\ = 1\frac{4}{14} х + 4\frac{10}{14} у + 2\frac{11}{14}х - \frac{11}{14} у = \\ = \left(1\frac{4}{14} х + 2\frac{11}{14}х \right) + \left(4\frac{10}{14} у - \frac{11}{14} у \right)= \\ = \left(1\frac{4}{14} + 2\frac{11}{14}\right)х + \left(4\frac{10}{14} - \frac{11}{14}\right)у = \\ = 3\frac{15}{14} х + \left(3 \frac{24}{14} - \frac{11}{14}\right)у = 3 + 1\frac{1}{14} х + \\ + 3\frac{13}{14 }у = 4\frac{1}{14} х + 3\frac{13}{14}у. \end{gathered}$$

а) Чтобы упростить данное выражение, необходимо сложить коэффициенты при переменной $x$, так как все слагаемые являются подобными. Для этого сначала приведем дроби к общему знаменателю.

Исходное выражение: $\frac{1}{3}x + \frac{7}{9}x + \frac{17}{18}x$.

Вынесем $x$ за скобки: $(\frac{1}{3} + \frac{7}{9} + \frac{17}{18})x$.

Наименьший общий знаменатель для дробей $\frac{1}{3}$, $\frac{7}{9}$ и $\frac{17}{18}$ равен 18. Приведем дроби к этому знаменателю:

$\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 6}{3 \cdot 6} = \frac{6}{18}$

$\frac{7}{9} = \frac{7 \cdot 2}{9 \cdot 2} = \frac{14}{18}$

Теперь сложим коэффициенты:

$\frac{6}{18} + \frac{14}{18} + \frac{17}{18} = \frac{6 + 14 + 17}{18} = \frac{37}{18}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$\frac{37}{18} = 2\frac{1}{18}$

Домножим полученный коэффициент на $x$:

$2\frac{1}{18}x$

Ответ: $2\frac{1}{18}x$.

б) Для упрощения этого выражения сгруппируем подобные слагаемые (члены с переменной $x$ и члены с переменной $y$) и выполним действия с их коэффициентами.

Исходное выражение: $1\frac{2}{7}x + 4\frac{5}{7}y + 2\frac{11}{14}x - \frac{11}{14}y$.

Группируем слагаемые:

$(1\frac{2}{7}x + 2\frac{11}{14}x) + (4\frac{5}{7}y - \frac{11}{14}y)$

Выносим переменные за скобки:

$(1\frac{2}{7} + 2\frac{11}{14})x + (4\frac{5}{7} - \frac{11}{14})y$

Вычислим сумму коэффициентов при $x$. Приведем дроби к общему знаменателю 14:

$1\frac{2}{7} + 2\frac{11}{14} = 1\frac{4}{14} + 2\frac{11}{14} = (1+2) + (\frac{4}{14} + \frac{11}{14}) = 3 + \frac{15}{14} = 3 + 1\frac{1}{14} = 4\frac{1}{14}$

Вычислим разность коэффициентов при $y$. Приведем дроби к общему знаменателю 14:

$4\frac{5}{7} - \frac{11}{14} = 4\frac{10}{14} - \frac{11}{14}$

Так как дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, "займем" единицу у целой части:

$4\frac{10}{14} = 3 + 1 + \frac{10}{14} = 3 + \frac{14}{14} + \frac{10}{14} = 3\frac{24}{14}$

Теперь выполним вычитание:

$3\frac{24}{14} - \frac{11}{14} = 3\frac{24 - 11}{14} = 3\frac{13}{14}$

Подставим полученные коэффициенты обратно в выражение:

$4\frac{1}{14}x + 3\frac{13}{14}y$

Ответ: $4\frac{1}{14}x + 3\frac{13}{14}y$.

3. В фермерском хозяйстве для посева фасоли выделено три участка площадью 2056 м², 2723 м² и 29512 м², а для посева гороха — два участка площадью 2679 м² и 3156 м². Сколько килограммов семян фасоли и семян гороха необходимо закупить фермеру, если норма высева фасоли 12 г/м², а норма высева гороха 18 г/м²?

3.

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }{20 \frac{5}{6}}^{\overline{)·2}} + {27\frac{2}{3}}^{\overline{)·4}} + 29\frac{5}{12} = 20 \frac{10}{12} +$

$+ 27\frac{8}{12} + 29\frac{5}{12} = 76\frac{23}{12}$(м²) – площадь участка для фасоли;

$$\begin{gathered} \mathbf{2}\mathbf{)} 76\frac{23}{12} · 12 = \left(76 + \frac{23}{12}\right) · 12 = \\ = 76 · 12 + \frac{23}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{12}}}} · \stackrel{1}{\cancel{12}} = 912 + 23 = \end{gathered}$$

$= 935 \left(\mathrm{г}\right) = 935 : 1000 = 0,935$(кг)-семян фасоли;

$\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{ }26{\frac{7}{9}}^{\overline{)·2}} + 31{\frac{5}{6}}^{\overline{)·3}} = 26\frac{14}{18} + 31\frac{15}{18} =$

$=57 + 1\frac{11}{18} = 58\frac{11}{18}$(м²) – площадь участка для гороха;

$$\begin{gathered} \mathbf{4}\mathbf{)} 58\frac{11}{18} · 18 =\left(58 + \frac{11}{18}\right) · 18 = \\ = 58 · 18 + \frac{11}{18} · 18 = 1044 + 11 =1055 (\mathrm{г}) = \end{gathered}$$

$= 1055 : 1000 = 1,055$(кг)- семян гороха.

Ответ: 0,935 кг; 1,055 кг.

Для решения задачи необходимо выполнить расчеты для фасоли и гороха отдельно.

Расчет необходимого количества семян фасоли

1. Сначала найдем общую площадь всех участков, выделенных под фасоль. Для этого сложим площади трех участков:

$S_{фасоли} = 20\frac{5}{6} \text{ м}^2 + 27\frac{2}{3} \text{ м}^2 + 29\frac{5}{12} \text{ м}^2$

Сложим целые части: $20 + 27 + 29 = 76$.

Теперь сложим дробные части, приведя их к общему знаменателю 12:

$\frac{5}{6} + \frac{2}{3} + \frac{5}{12} = \frac{5 \cdot 2}{12} + \frac{2 \cdot 4}{12} + \frac{5}{12} = \frac{10}{12} + \frac{8}{12} + \frac{5}{12} = \frac{10+8+5}{12} = \frac{23}{12}$

Преобразуем неправильную дробь $\frac{23}{12}$ в смешанное число: $1\frac{11}{12}$.

Теперь сложим целую и дробную части: $76 + 1\frac{11}{12} = 77\frac{11}{12} \text{ м}^2$.

2. Зная общую площадь и норму высева фасоли (12 г/м²), рассчитаем общую массу семян в граммах:

$77\frac{11}{12} \text{ м}^2 \cdot 12 \text{ г/м}^2 = \frac{935}{12} \cdot 12 = 935 \text{ г}$

3. Переведем полученную массу из граммов в килограммы (1 кг = 1000 г):

$935 \text{ г} = 935 : 1000 = 0,935 \text{ кг}$.

Ответ: необходимо закупить 0,935 кг семян фасоли.

Расчет необходимого количества семян гороха

1. Найдем общую площадь участков, выделенных под горох, сложив их площади:

$S_{гороха} = 26\frac{7}{9} \text{ м}^2 + 31\frac{5}{6} \text{ м}^2$

Сложим целые части: $26 + 31 = 57$.

Сложим дробные части, приведя их к общему знаменателю 18:

$\frac{7}{9} + \frac{5}{6} = \frac{7 \cdot 2}{18} + \frac{5 \cdot 3}{18} = \frac{14}{18} + \frac{15}{18} = \frac{29}{18}$

Преобразуем неправильную дробь $\frac{29}{18}$ в смешанное число: $1\frac{11}{18}$.

Сложим целую и дробную части: $57 + 1\frac{11}{18} = 58\frac{11}{18} \text{ м}^2$.

2. Зная общую площадь и норму высева гороха (18 г/м²), рассчитаем общую массу семян в граммах:

$58\frac{11}{18} \text{ м}^2 \cdot 18 \text{ г/м}^2 = \frac{1055}{18} \cdot 18 = 1055 \text{ г}$

3. Переведем массу из граммов в килограммы:

$1055 \text{ г} = 1055 : 1000 = 1,055 \text{ кг}$.

Ответ: необходимо закупить 1,055 кг семян гороха.

Вопросы:

Какие две прямые называют перпендикулярными?

Что такое перпендикулярные отрезки; лучи?

Каким знаком обозначают перпендикулярные прямые?

Какие чертёжные инструменты используют для построения перпендикулярных прямых?

§ 6. Координаты на плоскости

41. Перпендикулярные прямые

Вопросы к параграфу

• Две пересекающиеся прямые называют перпендикулярными, если они образуют четыре прямых угла.

• Отрезки, лежащие на перпендикулярных прямых, называются перпендикулярными отрезками. Лучи, лежащие на перпендикулярных прямых, называются перпендикулярными лучами.

• Перпендикулярные прямые обозначают знаком $\perp$.

• Для построения перпендикулярных прямых используют прямоугольный треугольник или транспортир.

Какие две прямые называют перпендикулярными?

Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом. Прямой угол равен $90^\circ$. При пересечении двух перпендикулярных прямых образуются четыре прямых угла.

Ответ: Две прямые, которые пересекаются под углом $90^\circ$, называют перпендикулярными.

Что такое перпендикулярные отрезки; лучи?

Два отрезка называют перпендикулярными, если они лежат на перпендикулярных прямых. При этом сами отрезки могут как пересекаться, так и не иметь общих точек. Аналогично, два луча называют перпендикулярными, если они лежат на перпендикулярных прямых.

Ответ: Перпендикулярные отрезки (или лучи) — это отрезки (или лучи), которые лежат на перпендикулярных прямых.

Каким знаком обозначают перпендикулярные прямые?

Для обозначения перпендикулярности используется специальный математический знак «$\perp$». Если прямая a перпендикулярна прямой b, это записывают так: $a \perp b$. Читается запись: «прямая a перпендикулярна прямой b».

Ответ: Перпендикулярные прямые обозначают знаком $\perp$.

Какие чертёжные инструменты используют для построения перпендикулярных прямых?

Для построения перпендикулярных прямых на бумаге используют различные чертёжные инструменты.

• Чертёжный угольник (треугольник): Это самый распространённый и быстрый способ. Одну из сторон угольника, образующих прямой угол, прикладывают к данной прямой, а вдоль второй стороны проводят перпендикуляр.
• Транспортир и линейка: На исходной прямой выбирают точку, с помощью транспортира откладывают от неё угол в $90^\circ$ и ставят метку. Затем с помощью линейки проводят прямую через исходную точку и метку.
• Циркуль и линейка: Это классический метод геометрических построений, который позволяет добиться высокой точности. С помощью циркуля и линейки (без делений) можно построить перпендикуляр к прямой, проходящий через точку на самой прямой или вне её.

Ответ: Для построения перпендикулярных прямых используют чертёжный угольник, транспортир и линейку, циркуль и линейку.