Страница 105, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

2.460. Пятое из пяти чисел равно 21,5, первое меньше второго в 1,6 раза, третье больше первого в 2,1 раза, а четвёртое больше первого в 1,8 раза. Найдите эти пять чисел, если их среднее арифметическое равно 14,7.

2.460

Среднее арифметическое – 14,7.

Пусть х – первое число, тогда 1,6х – второе число, 2,1х – третье число, 1,8х – четвертое число. Зная, что среднее арифметическое этих чисел равно 21,5 составим и решим уравнение:

(х + 1,6х + 2,1х + 1,8х +21,5) : 5 = 14,7;

(6,5х + 21,5) : 5 = 14,7;

6,5х + 21,5 = 14,7 ∙ 5;

6,5х + 21,5 = 73,5;

6,5х = 73,5 – 21,5;

6,5х = 52;

х = 52 : 6,5;

х = 8 – первое число

1,6 ∙ 8 = 12,8 – второе число

2,1 ∙ 8 = 16,8 – третье число

1,8 ∙ 8 = 14,4 – четвертое число

Ответ: 8; 12,8; 16,8; 14,4; 21,5.

Обозначим пять искомых чисел как $n_1, n_2, n_3, n_4$ и $n_5$.

Из условия задачи нам известны следующие факты:

Пятое число: $n_5 = 21,5$.

Для решения задачи выразим остальные четыре числа через одно неизвестное. Удобнее всего выразить их через первое число, $n_1$. Давайте обозначим $n_1 = x$.

- Первое число меньше второго в 1,6 раза. Это эквивалентно тому, что второе число больше первого в 1,6 раза. Следовательно, $n_2 = 1,6 \cdot n_1 = 1,6x$.

- Третье число больше первого в 2,1 раза: $n_3 = 2,1 \cdot n_1 = 2,1x$.

- Четвёртое число больше первого в 1,8 раза: $n_4 = 1,8 \cdot n_1 = 1,8x$.

Также нам известно, что среднее арифметическое этих пяти чисел равно 14,7. Среднее арифметическое находится по формуле:

$\frac{n_1 + n_2 + n_3 + n_4 + n_5}{5} = 14,7$

Чтобы найти неизвестную переменную $x$, сначала найдем сумму всех пяти чисел. Для этого умножим их среднее арифметическое на их количество:

Сумма чисел = $14,7 \cdot 5 = 73,5$

Теперь мы можем составить уравнение, подставив выражения для каждого числа через $x$ и известное значение $n_5$:

$x + 1,6x + 2,1x + 1,8x + 21,5 = 73,5$

Сгруппируем и сложим все слагаемые с переменной $x$:

$(1 + 1,6 + 2,1 + 1,8)x + 21,5 = 73,5$

$6,5x + 21,5 = 73,5$

Теперь решим это линейное уравнение. Перенесем 21,5 в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:

$6,5x = 73,5 - 21,5$

$6,5x = 52$

Найдем $x$, разделив 52 на 6,5:

$x = \frac{52}{6,5} = \frac{520}{65} = 8$

Таким образом, мы нашли первое число: $n_1 = 8$.

Зная первое число, мы можем вычислить остальные:

Второе число: $n_2 = 1,6 \cdot 8 = 12,8$.
Третье число: $n_3 = 2,1 \cdot 8 = 16,8$.
Четвёртое число: $n_4 = 1,8 \cdot 8 = 14,4$.

Итак, искомые пять чисел: 8; 12,8; 16,8; 14,4; 21,5.

Ответ: 8; 12,8; 16,8; 14,4; 21,5.

2.461. Найдите частное:

а) 54 : 215; б) 23 : 89; в) 64131 : 3254; г) 64125 : 4; д) 9 : 34; е) 9 : 4; ж) 137 : 1114; з) 213 : 719; и) 3819 : 51538; к) 41736 : 1916.

2.461

$\mathit{а}\mathbf{)} \frac{5}{4} : \frac{2}{15} = \frac{5}{4} · \frac{15}{2} = \frac{75}{8} = 9\frac{3}{8};$

$\mathit{б}\mathbf{)} \frac{2}{3} : \frac{8}{9} = \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{2}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{3}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\bcancel{9}}}}{{\displaystyle \underset{4}{\cancel{8}}}} =\frac{1 · 3}{1 · 4} = \frac{3}{4};$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{64}{131} : \frac{32}{52} = \frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\cancel{64}}}}{131} · \frac{52}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{32}}}} = \\ = \frac{2 · 52}{131 · 1} = \frac{104}{131}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)} \frac{64}{125} : 4 = \frac{{\displaystyle \stackrel{16}{\cancel{64}}}}{125} · \frac{1}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{4}}}} = \frac{16 · 1}{125 · 1}= \\ = \frac{16}{125}; \end{gathered}$$

$\mathit{д}\mathbf{)} 9 : \frac{3}{4} = \stackrel{3}{\cancel{9} }· \frac{4}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{3}}}} = \frac{3 · 4 }{1} =12;$

$\mathit{е}\mathbf{)}\mathbf{ }9 : 4 = 9 · \frac{1}{4} = \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4};$

$$\begin{gathered} \mathit{ж}\mathbf{)} 1\frac{3}{7} : 1\frac{1}{14} = \frac{10}{7} : \frac{15}{14} = \frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\cancel{10}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{7}}}} \times \\ \times \frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\bcancel{14}}}}{{\displaystyle \underset{3}{\cancel{15}}}} = \frac{2 · 2}{1 · 3} = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{з}\mathbf{)} 2\frac{1}{3} : 7 \frac{1}{9} = \frac{7}{3} : \frac{64}{9} =\frac{7}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{3}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{9}}}}{64}= \\ = \frac{7 · 3 }{1 · 64} = \frac{21}{64}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{и}\mathbf{)}\mathbf{ }3 \frac{8}{19} : 5 \frac{15}{38} = \frac{65}{19} : \frac{205}{38} = \\ = \frac{{\displaystyle \stackrel{13}{\cancel{65}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{19}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\bcancel{38}}}}{{\displaystyle \underset{41}{\cancel{206}}}} = \frac{13 · 2 }{1 · 41} = \frac{26}{41}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{к}\mathbf{)}\mathbf{ }4 \frac{17}{36} : 19\frac{1}{6} = \frac{161}{36} : \frac{115}{6} = \\ = \frac{{\displaystyle \stackrel{7}{\bcancel{161}}}}{{\displaystyle \underset{6}{\cancel{36}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{6}}}}{{\displaystyle \underset{5}{\bcancel{115}}}} = \frac{7 · 1 }{6 · 5} = \frac{7}{30}. \end{gathered}$$

а) Чтобы разделить одну дробь на другую, необходимо делимое умножить на дробь, обратную делителю (перевернутую дробь).
$\frac{5}{4} : \frac{2}{15} = \frac{5}{4} \cdot \frac{15}{2} = \frac{5 \cdot 15}{4 \cdot 2} = \frac{75}{8}$.
Полученная дробь является неправильной. Преобразуем ее в смешанное число, разделив числитель на знаменатель с остатком: $75 \div 8 = 9$ (остаток $3$).
$\frac{75}{8} = 9\frac{3}{8}$.
Ответ: $9\frac{3}{8}$.

б) Умножаем первую дробь на перевернутую вторую. Перед умножением выполним сокращение, чтобы упростить вычисления.
$\frac{2}{3} : \frac{8}{9} = \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{8}$.
Сокращаем числитель $2$ и знаменатель $8$ на $2$. Сокращаем числитель $9$ и знаменатель $3$ на $3$:
$\frac{\cancel{2}^1}{\cancel{3}^1} \cdot \frac{\cancel{9}^3}{\cancel{8}^4} = \frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 4} = \frac{3}{4}$.
Ответ: $\frac{3}{4}$.

в) Выполняем деление, умножая на обратную дробь, и сокращаем общие множители.
$\frac{64}{131} : \frac{32}{52} = \frac{64}{131} \cdot \frac{52}{32}$.
Сокращаем $64$ и $32$ на их общий делитель $32$:
$\frac{\cancel{64}^2}{131} \cdot \frac{52}{\cancel{32}^1} = \frac{2 \cdot 52}{131} = \frac{104}{131}$.
Ответ: $\frac{104}{131}$.

г) Чтобы разделить дробь на целое число, можно представить это число в виде дроби со знаменателем $1$.
$\frac{64}{125} : 4 = \frac{64}{125} : \frac{4}{1} = \frac{64}{125} \cdot \frac{1}{4}$.
Сокращаем $64$ и $4$ на $4$:
$\frac{\cancel{64}^{16}}{125} \cdot \frac{1}{\cancel{4}^1} = \frac{16 \cdot 1}{125 \cdot 1} = \frac{16}{125}$.
Ответ: $\frac{16}{125}$.

д) Чтобы разделить целое число на дробь, нужно это число умножить на дробь, обратную делителю.
$9 : \frac{3}{4} = \frac{9}{1} \cdot \frac{4}{3}$.
Сокращаем $9$ и $3$ на $3$:
$\frac{\cancel{9}^3}{1} \cdot \frac{4}{\cancel{3}^1} = \frac{3 \cdot 4}{1} = 12$.
Ответ: $12$.

е) Деление одного целого числа на другое можно представить в виде обыкновенной дроби.
$9 : 4 = \frac{9}{4}$.
Так как это неправильная дробь, преобразуем ее в смешанное число: $9 \div 4 = 2$ (остаток $1$).
$\frac{9}{4} = 2\frac{1}{4}$.
Ответ: $2\frac{1}{4}$.

ж) Сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби.
$1\frac{3}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 3}{7} = \frac{10}{7}$.
$1\frac{1}{14} = \frac{1 \cdot 14 + 1}{14} = \frac{15}{14}$.
Теперь выполним деление дробей:
$\frac{10}{7} : \frac{15}{14} = \frac{10}{7} \cdot \frac{14}{15} = \frac{\cancel{10}^2 \cdot \cancel{14}^2}{\cancel{7}^1 \cdot \cancel{15}^3} = \frac{2 \cdot 2}{1 \cdot 3} = \frac{4}{3}$.
Преобразуем результат в смешанное число: $\frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$.
Ответ: $1\frac{1}{3}$.

з) Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби.
$2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$.
$7\frac{1}{9} = \frac{7 \cdot 9 + 1}{9} = \frac{63+1}{9} = \frac{64}{9}$.
Выполним деление, умножая на обратную дробь и сокращая:
$\frac{7}{3} : \frac{64}{9} = \frac{7}{3} \cdot \frac{9}{64} = \frac{7 \cdot \cancel{9}^3}{\cancel{3}^1 \cdot 64} = \frac{7 \cdot 3}{64} = \frac{21}{64}$.
Ответ: $\frac{21}{64}$.

и) Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби.
$3\frac{8}{19} = \frac{3 \cdot 19 + 8}{19} = \frac{57 + 8}{19} = \frac{65}{19}$.
$5\frac{15}{38} = \frac{5 \cdot 38 + 15}{38} = \frac{190 + 15}{38} = \frac{205}{38}$.
Выполним деление и сокращение. Заметим, что $38=2 \cdot 19$, $65=5 \cdot 13$ и $205=5 \cdot 41$.
$\frac{65}{19} : \frac{205}{38} = \frac{65}{19} \cdot \frac{38}{205} = \frac{65 \cdot 38}{19 \cdot 205} = \frac{(5 \cdot 13) \cdot (2 \cdot 19)}{19 \cdot (5 \cdot 41)} = \frac{13 \cdot 2}{41} = \frac{26}{41}$.
Ответ: $\frac{26}{41}$.

к) Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби.
$4\frac{17}{36} = \frac{4 \cdot 36 + 17}{36} = \frac{144 + 17}{36} = \frac{161}{36}$.
$19\frac{1}{6} = \frac{19 \cdot 6 + 1}{6} = \frac{114 + 1}{6} = \frac{115}{6}$.
Выполним деление. Для сокращения разложим числа на простые множители: $161 = 7 \cdot 23$, $115 = 5 \cdot 23$, $36 = 6 \cdot 6$.
$\frac{161}{36} : \frac{115}{6} = \frac{161}{36} \cdot \frac{6}{115} = \frac{161 \cdot 6}{36 \cdot 115} = \frac{(7 \cdot 23) \cdot 6}{(6 \cdot 6) \cdot (5 \cdot 23)} = \frac{7}{6 \cdot 5} = \frac{7}{30}$.
Ответ: $\frac{7}{30}$.

2.462. Выполните действия:

а) 729 : 413 · 9; б) 537 : 821 : 238; в) 11121 · 389 : 179; г) 56 · 611 : 1111.

2.462

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }7\frac{2}{9} : 4 \frac{1}{3} · 9 = \frac{65}{9} : \frac{13}{3} · \frac{9}{1}= \\ = \frac{{\displaystyle \stackrel{5}{\bcancel{65}}}}{\cancel{9}} · \frac{3}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{13}}}} · \frac{\cancel{9}}{1}=\frac{5 · 3 · 1}{1 · 1 · 1}=15; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }5\frac{3}{7} : \frac{8}{21} : 2\frac{3}{8} = \frac{38}{7} : \frac{8}{21} : \frac{19}{8} = \\ = \frac{38}{7} · \frac{21}{8} · \frac{8}{19} = \frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\sout{38} }}· {\displaystyle \stackrel{3}{\bcancel{\bcancel{ }21}}} ·\cancel{ 8}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{7}}} ·\cancel{ 8 }· {\displaystyle \underset{1}{\sout{19}}}}= \\ =\frac{2 · 3 · 1}{1 · 1 · 1} = 6; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)} 1\frac{11}{21} · 3\frac{8}{9} : 1\frac{7}{9} = \frac{32}{21}· \frac{35}{9} : \frac{16}{9} = \\ = \frac{32}{21}· \frac{35}{9} · \frac{9}{16} = \frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\bcancel{32}}} · {\displaystyle \stackrel{5}{\cancel{35}}} · \sout{9} }{{\displaystyle \underset{3}{\cancel{21}}} · \sout{9} · {\displaystyle \underset{1}{\bcancel{16}}}} = \\ = \frac{2 · 5 · 1}{3 · 1 · 1}= \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{5}{6} · \frac{6}{11} : 1\frac{1}{11} = \frac{5}{6}·\frac{6}{11} : \frac{12}{11} = \\ = \frac{5}{6}·\frac{6}{11} · \frac{11}{12} = \frac{5 · \bcancel{6} · \sout{11}}{\bcancel{6} · \sout{11}· 12} = \frac{5}{12}. \end{gathered}$$

а) $7\frac{2}{9}:4\frac{1}{3}\cdot 9$
Для выполнения действий со смешанными числами, сначала преобразуем их в неправильные дроби.
$7\frac{2}{9} = \frac{7 \cdot 9 + 2}{9} = \frac{63+2}{9} = \frac{65}{9}$
$4\frac{1}{3} = \frac{4 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{12+1}{3} = \frac{13}{3}$
Теперь выражение выглядит так:
$\frac{65}{9} : \frac{13}{3} \cdot 9$
Выполним действия по порядку. Сначала деление. Деление на дробь заменяется умножением на обратную (перевернутую) дробь.
$\frac{65}{9} : \frac{13}{3} = \frac{65}{9} \cdot \frac{3}{13}$
Сократим дроби перед умножением: 65 делится на 13 ($65 = 5 \cdot 13$), а 9 делится на 3 ($9 = 3 \cdot 3$).
$\frac{\cancel{65}^5}{\cancel{9}_3} \cdot \frac{\cancel{3}^1}{\cancel{13}_1} = \frac{5}{3}$
Теперь умножим полученный результат на 9:
$\frac{5}{3} \cdot 9 = \frac{5 \cdot 9}{3} = \frac{45}{3} = 15$
Ответ: $15$

б) $5\frac{3}{7}:\frac{8}{21}:2\frac{3}{8}$
Сначала преобразуем все смешанные числа в неправильные дроби.
$5\frac{3}{7} = \frac{5 \cdot 7 + 3}{7} = \frac{35+3}{7} = \frac{38}{7}$
$2\frac{3}{8} = \frac{2 \cdot 8 + 3}{8} = \frac{16+3}{8} = \frac{19}{8}$
Подставим полученные дроби в выражение:
$\frac{38}{7} : \frac{8}{21} : \frac{19}{8}$
Выполним действия последовательно слева направо. Заменим деление умножением на обратные дроби.
$\frac{38}{7} \cdot \frac{21}{8} \cdot \frac{8}{19}$
Теперь можно сократить общие множители в числителях и знаменателях:
- 38 и 19 сокращаются на 19 ($38 = 2 \cdot 19$).
- 21 и 7 сокращаются на 7 ($21 = 3 \cdot 7$).
- 8 в числителе и 8 в знаменателе сокращаются.
$\frac{\cancel{38}^2}{\cancel{7}_1} \cdot \frac{\cancel{21}^3}{\cancel{8}_1} \cdot \frac{\cancel{8}^1}{\cancel{19}_1} = \frac{2 \cdot 3 \cdot 1}{1 \cdot 1 \cdot 1} = 6$
Ответ: $6$

в) $1\frac{11}{21}\cdot 3\frac{8}{9}:1\frac{7}{9}$
Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби.
$1\frac{11}{21} = \frac{1 \cdot 21 + 11}{21} = \frac{32}{21}$
$3\frac{8}{9} = \frac{3 \cdot 9 + 8}{9} = \frac{27+8}{9} = \frac{35}{9}$
$1\frac{7}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 7}{9} = \frac{16}{9}$
Запишем выражение с неправильными дробями:
$\frac{32}{21} \cdot \frac{35}{9} : \frac{16}{9}$
Выполним действия по порядку. Заменим деление на умножение на обратную дробь.
$\frac{32}{21} \cdot \frac{35}{9} \cdot \frac{9}{16}$
Сократим дроби:
- 32 и 16 сокращаются на 16 ($32 = 2 \cdot 16$).
- 9 в числителе и 9 в знаменателе сокращаются.
- 35 и 21 сокращаются на 7 ($35=5 \cdot 7, 21=3 \cdot 7$).
$\frac{\cancel{32}^2}{\cancel{21}_3} \cdot \frac{\cancel{35}^5}{\cancel{9}_1} \cdot \frac{\cancel{9}^1}{\cancel{16}_1} = \frac{2 \cdot 5}{3} = \frac{10}{3}$
Преобразуем неправильную дробь обратно в смешанное число:
$\frac{10}{3} = 3\frac{1}{3}$
Ответ: $3\frac{1}{3}$

г) $\frac{5}{6}\cdot\frac{6}{11}:1\frac{1}{11}$
Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь.
$1\frac{1}{11} = \frac{1 \cdot 11 + 1}{11} = \frac{12}{11}$
Теперь выражение имеет вид:
$\frac{5}{6} \cdot \frac{6}{11} : \frac{12}{11}$
Выполним сначала умножение:
$\frac{5}{\cancel{6}} \cdot \frac{\cancel{6}}{11} = \frac{5}{11}$
Теперь выполним деление:
$\frac{5}{11} : \frac{12}{11}$
Заменяем деление умножением на обратную дробь и сокращаем:
$\frac{5}{\cancel{11}} \cdot \frac{\cancel{11}}{12} = \frac{5}{12}$
Ответ: $\frac{5}{12}$

2.463. Найдите значение выражения:

а) 45 : 113 + 213 · 37 – 1 : 138 ;

б) 216 : (1115 – 15) + (2 18 + 34) : 534;

в) (14 + 11114) · 1457 – 23 : 116 · 732;

г) (212 : 313 + 313 : 212) · 935;

д) (10513 – 72326) : 56;

е) ((112)³ – 34) : 78.

2.463

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} \frac{4}{5}\stackrel{1}{ :} 1\frac{1}{3} \stackrel{4}{+} 2\frac{1}{3} \stackrel{2}{·} \frac{3}{7} \stackrel{5}{-} 1\stackrel{3}{ : }1\frac{3}{8} = \frac{48}{55}; \\ 1) \frac{4}{5} : 1\frac{1}{3} = \frac{4}{5} : \frac{4}{3} = \frac{\cancel{4}}{5} · \frac{3}{\cancel{4}} = \frac{3}{5}; \\ 2) 2\frac{1}{3} · \frac{3}{7} = \frac{7}{3} · \frac{3}{7} = 1; \\ 3) 1 : 1\frac{3}{8} = 1 : \frac{11}{8} = 1 · \frac{8}{11} = \frac{8}{11}; \\ 4) \frac{3}{5} + 1 =1\frac{3}{5}; \\ 5) 1\frac{3}{5} - \frac{8}{11}={\frac{8}{5}}^{\overline{)·11}}- {\frac{8}{11}}^{\overline{)·5}}=\frac{88}{55} - \frac{40}{55} = \frac{48}{55}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }2\frac{1}{6} \stackrel{3}{:} \left(1 \frac{1}{15} \stackrel{1}{-} \frac{1}{5}\right) \stackrel{5}{+} \left(2\frac{1}{8} \stackrel{2}{+} \frac{3}{4}\right) \stackrel{4}{:} 5\frac{3}{4} = 3 \\ 1) 1 \frac{1}{15} - {\frac{1}{5}}^{\overline{)·3}} = \frac{16}{15} - \frac{3}{15} = \frac{13}{15}; \\ 2) 2\frac{1}{8} + {\frac{3}{4}}^{\overline{)·2}} = 2\frac{1}{8} + \frac{6}{8} = 2\frac{7}{8}; \\ 3) 2\frac{1}{6} : \frac{13}{15} = \frac{13}{6} : \frac{13}{15} = \frac{\cancel{13}}{{\displaystyle \underset{2}{\bcancel{6}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{5}{\bcancel{15}}}}{\cancel{13}} = \\ = \frac{1 · 5 }{2 · 1 }= \frac{5}{2}; \\ 4) 2 \frac{7}{8} : 5\frac{3}{4} = \frac{23}{8} : \frac{23}{4} = \frac{\cancel{23}}{{\displaystyle \underset{2}{\bcancel{8}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{4}}}}{\cancel{23}}= \\ = \frac{1}{2}; \\ 5) 2\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 3. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }\left(\frac{1}{4} \stackrel{1}{+} 1\frac{11}{14}\right) \stackrel{2}{·} \frac{14}{57} \stackrel{5}{-} \frac{2}{3}\stackrel{3}{ :} 1\frac{1}{6} \stackrel{4}{· }\frac{7}{32} = \frac{3}{8} \\ 1) {\frac{1}{4}}^{\overline{)· 7}} + {1\frac{11}{14}}^{\overline{)·2}} = \frac{7}{28} + 1\frac{22}{28} = 1 + \\ + 1\frac{1}{28} = 2\frac{1}{28}; \\ 2) 2\frac{1}{28} · \frac{14}{57} = \frac{\cancel{57}}{{\displaystyle \underset{2}{\bcancel{28}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{14}}}}{\cancel{57}} = \frac{1 · 1}{2 · 1} = \frac{1}{2}; \\ 3) \frac{2}{3} : 1\frac{1}{6} = \frac{2}{3} : \frac{7}{6} = \frac{2}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{3}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\cancel{6}}}}{7} = \frac{2 · 2 }{1 · 7} = \frac{4}{7}; \\ 4) \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{4}}}}{\cancel{7}} · \frac{\cancel{7}}{{\displaystyle \underset{8}{\bcancel{32}}}} = \frac{1}{8}; \\ 5) {\frac{1}{2}}^{\overline{)·4}} - \frac{1}{8} = \frac{4}{8} - \frac{1}{8} = \frac{3}{8}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)} \left(2\frac{1}{2}\stackrel{1}{ : }3\frac{1}{3} \stackrel{3}{+} 3\frac{1}{3}\stackrel{2}{ :} 2\frac{1}{2}\right) \stackrel{4}{·} 9\frac{3}{5} = 20 \\ 1) 2\frac{1}{2}: 3\frac{1}{3} = \frac{5}{2} : \frac{10}{3} = \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{5}}}}{2} · \frac{3}{{\displaystyle \underset{2}{\bcancel{10}}}} = \\ =\frac{1 · 3 }{2 · 2} = \frac{3}{4}; \\ 2) 3\frac{1}{3} : 2\frac{1}{2} = \frac{10}{3} : \frac{5}{2} = \frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\cancel{10}}}}{3} · \frac{2}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{5}}}} = \\ = \frac{2 · 2}{3 · 1} = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}; \\ 3) {\frac{3}{4}}^{\overline{)·3}} + {1\frac{1}{3}}^{\overline{)·4}} = \frac{9}{12} + 1\frac{4}{12} = 1\frac{13}{12}= \\ =1 + 1\frac{1}{12} = 2\frac{1}{12}; \\ 4) 2\frac{1}{12} · 9 \frac{3}{5} = \frac{{\displaystyle \stackrel{5}{\bcancel{25}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{12}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{4}{\cancel{48}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{5}}}}=\frac{5 · 4}{1 · 1} = 20. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{д}\mathbf{)}\mathbf{ }\left(10 \frac{5}{13} \stackrel{1}{-} 7 \frac{23}{26}\right) \stackrel{2}{:} \frac{5}{6} =3 \\ 1) {10 \frac{5}{13}}^{\overline{)·2}} - 7 \frac{23}{26}=10 \frac{10}{26} - 7 \frac{23}{26}= \\ =9\frac{36}{25} - 7 \frac{23}{26}=2\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{13}}}}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{26}}}} = 2\frac{1}{2}; \\ 2) 2\frac{1}{2} : \frac{5}{6} = \frac{\cancel{5}}{2} · \frac{6}{\cancel{5}} =\frac{6}{2} =3. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{е}\mathbf{)} \left({\left(1\frac{1}{2}\right)}^{\stackrel{1}{3}}\stackrel{2}{-}\frac{3}{4}\right) \stackrel{3}{:} \frac{7}{8} =3 \\ 1){\left(1\frac{1}{2}\right)}^3 = {\left(\frac{3}{2}\right)}^3=\frac{3}{2} · \frac{3}{2} · \frac{3}{2} = \frac{27}{8}; \\ 2) \frac{27}{8} - {\frac{3}{4}}^{\overline{)·2}}=\frac{27}{8} - \frac{6}{8}=\frac{21}{8}; \\ 3) \frac{21}{8} : \frac{7}{8} = \frac{21}{\cancel{8}} · \frac{\cancel{8}}{7} =\frac{21}{7} = 3. \end{gathered}$$

а) $\frac{4}{5} : 1\frac{1}{3} + 2\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{7} - 1 : 1\frac{3}{8} = \frac{4}{5} : \frac{4}{3} + \frac{7}{3} \cdot \frac{3}{7} - 1 : \frac{11}{8} = \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{4} + \frac{7 \cdot 3}{3 \cdot 7} - 1 \cdot \frac{8}{11} = \frac{3}{5} + 1 - \frac{8}{11} = \frac{8}{5} - \frac{8}{11} = \frac{88 - 40}{55} = \frac{48}{55}$.
Ответ: $\frac{48}{55}$.

б) $2\frac{1}{6} : (1\frac{1}{15} - \frac{1}{5}) + (2\frac{1}{8} + \frac{3}{4}) : 5\frac{3}{4} = \frac{13}{6} : (\frac{16}{15} - \frac{1 \cdot 3}{5 \cdot 3}) + (\frac{17}{8} + \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2}) : \frac{23}{4} = \frac{13}{6} : \frac{13}{15} + \frac{23}{8} : \frac{23}{4} = \frac{13}{6} \cdot \frac{15}{13} + \frac{23}{8} \cdot \frac{4}{23} = \frac{15}{6} + \frac{4}{8} = \frac{5}{2} + \frac{1}{2} = \frac{6}{2} = 3$.
Ответ: 3.

в) $(\frac{1}{4} + 1\frac{11}{14}) \cdot \frac{14}{57} - \frac{2}{3} : 1\frac{1}{6} \cdot \frac{7}{32} = (\frac{1}{4} + \frac{25}{14}) \cdot \frac{14}{57} - \frac{2}{3} : \frac{7}{6} \cdot \frac{7}{32} = (\frac{7}{28} + \frac{50}{28}) \cdot \frac{14}{57} - (\frac{2}{3} \cdot \frac{6}{7}) \cdot \frac{7}{32} = \frac{57}{28} \cdot \frac{14}{57} - \frac{4}{7} \cdot \frac{7}{32} = \frac{14}{28} - \frac{4}{32} = \frac{1}{2} - \frac{1}{8} = \frac{4}{8} - \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$.
Ответ: $\frac{3}{8}$.

г) $(2\frac{1}{2} : 3\frac{1}{3} + 3\frac{1}{3} : 2\frac{1}{2}) \cdot 9\frac{3}{5} = (\frac{5}{2} : \frac{10}{3} + \frac{10}{3} : \frac{5}{2}) \cdot \frac{48}{5} = (\frac{5}{2} \cdot \frac{3}{10} + \frac{10}{3} \cdot \frac{2}{5}) \cdot \frac{48}{5} = (\frac{3}{4} + \frac{4}{3}) \cdot \frac{48}{5} = (\frac{9 + 16}{12}) \cdot \frac{48}{5} = \frac{25}{12} \cdot \frac{48}{5} = 5 \cdot 4 = 20$.
Ответ: 20.

д) $(10\frac{5}{13} - 7\frac{23}{26}) : \frac{5}{6} = (\frac{135}{13} - \frac{205}{26}) : \frac{5}{6} = (\frac{270}{26} - \frac{205}{26}) : \frac{5}{6} = \frac{65}{26} : \frac{5}{6} = \frac{5}{2} \cdot \frac{6}{5} = \frac{6}{2} = 3$.
Ответ: 3.

е) $((1\frac{1}{2})^3 - \frac{3}{4}) : \frac{7}{8} = ((\frac{3}{2})^3 - \frac{3}{4}) : \frac{7}{8} = (\frac{27}{8} - \frac{6}{8}) : \frac{7}{8} = \frac{21}{8} : \frac{7}{8} = \frac{21}{8} \cdot \frac{8}{7} = \frac{21}{7} = 3$.
Ответ: 3.

2.464. Решите уравнение:

а) (z – 6) · 37 = 3; б) 514 y – 514 = 514.

2.464

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} \left(z - 6\right) · \frac{3}{7} = 3; \\ z - 6 = 3 : \frac{3}{7}; \\ z - 6 = \cancel{3} · \frac{7}{\cancel{3}}; \\ z - 6 = 7; \\ z = 7 + 6 \\ z = 13. \\ \mathrm{Ответ}: 13. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }5\frac{1}{4} у - 5\frac{1}{4} = 5\frac{1}{4}; \\ 5\frac{1}{4} · \left(у - 1\right) = 5\frac{1}{4}; \\ у - 1 =5\frac{1}{4} : 5\frac{1}{4}; \\ у - 1 = 1; \\ у = 1 + 1; \\ у = 2. \\ \mathrm{Ответ}: 2. \end{gathered}$$

а) $(z - 6) \cdot \frac{3}{7} = 3$

В данном уравнении скобка $(z - 6)$ является неизвестным множителем. Чтобы найти неизвестный множитель, необходимо произведение (3) разделить на известный множитель ($\frac{3}{7}$).

$z - 6 = 3 \div \frac{3}{7}$

Чтобы разделить число на дробь, нужно умножить это число на дробь, обратную делителю:

$z - 6 = 3 \cdot \frac{7}{3}$

Сокращаем множители:

$z - 6 = 7$

Теперь $z$ является неизвестным уменьшаемым. Чтобы найти уменьшаемое, нужно к разности (7) прибавить вычитаемое (6).

$z = 7 + 6$

$z = 13$

Проверка: $(13 - 6) \cdot \frac{3}{7} = 7 \cdot \frac{3}{7} = 3$. Равенство верно.

Ответ: $13$.

б) $5\frac{1}{4}y - 5\frac{1}{4} = 5\frac{1}{4}$

В данном уравнении выражение $5\frac{1}{4}y$ является неизвестным уменьшаемым. Чтобы найти уменьшаемое, нужно сложить вычитаемое ($5\frac{1}{4}$) и разность ($5\frac{1}{4}$).

$5\frac{1}{4}y = 5\frac{1}{4} + 5\frac{1}{4}$

Сложим целые и дробные части:

$5\frac{1}{4}y = (5+5) + (\frac{1}{4} + \frac{1}{4}) = 10 + \frac{2}{4} = 10\frac{1}{2}$

Теперь переменная $y$ является неизвестным множителем. Чтобы ее найти, нужно произведение ($10\frac{1}{2}$) разделить на известный множитель ($5\frac{1}{4}$).

$y = 10\frac{1}{2} \div 5\frac{1}{4}$

Для выполнения деления преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$10\frac{1}{2} = \frac{10 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{21}{2}$

$5\frac{1}{4} = \frac{5 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{21}{4}$

Теперь выполним деление дробей, заменив его умножением на обратную дробь:

$y = \frac{21}{2} \div \frac{21}{4} = \frac{21}{2} \cdot \frac{4}{21}$

Сократим одинаковые множители (21) в числителе и знаменателе:

$y = \frac{4}{2}$

$y = 2$

Проверка: $5\frac{1}{4} \cdot 2 - 5\frac{1}{4} = 10\frac{2}{4} - 5\frac{1}{4} = 5\frac{1}{4}$. Равенство верно.

Ответ: $2$.

2.465. С какой скоростью летел самолёт, если за 25 ч он пролетел 360 км?

2.465

Расстояние – 360 км;

Время - $\frac{2}{5}$ ч.

Скорость -? км/ч.

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }360 : \frac{2}{5} = \stackrel{180}{\cancel{360} }· \frac{5}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{2}}}} =$

$= 180 · 5 = 900$(км ⁄ ч)-скорость самолета.

Ответ: 900 км/ч.

Для решения этой задачи необходимо найти скорость движения самолёта. Скорость ($v$) вычисляется по формуле, где расстояние ($S$) делится на время ($t$):

$v = \frac{S}{t}$

Из условия задачи нам известны следующие величины:

Расстояние, которое пролетел самолёт: $S = 360$ км.

Время, за которое он пролетел это расстояние: $t = \frac{2}{5}$ ч.

Теперь подставим эти значения в формулу и произведём вычисления:

$v = \frac{360}{\frac{2}{5}}$

Чтобы разделить число на дробь, необходимо умножить это число на дробь, обратную делителю (то есть поменять числитель и знаменатель местами):

$v = 360 \cdot \frac{5}{2}$

Сократим 360 и 2, а затем выполним умножение:

$v = \frac{360 \cdot 5}{2} = 180 \cdot 5 = 900$

Скорость измеряется в километрах в час (км/ч). Таким образом, скорость самолёта составляла 900 км/ч.

Ответ: 900 км/ч.

2.466. У велосипеда, изобретённого крепостным уральским мастером Ефимом Артамоновым в 1800 г., переднее колесо было больше заднего. Длина окружности переднего колеса была равна З17 м, а заднего — 147 м. Сколько оборотов делало заднее колесо за 512 оборота переднего колеса?

2.466

Длина переднего - $3\frac{1}{7}$ м;

Длина заднего - $1\frac{4}{7}$ м.

Оборотов переднего колеса - $5\frac{1}{2}$

Оборотов заднего колеса - ?.

$\mathbf{1}\mathbf{)} 3\frac{1}{7} · 5 \frac{1}{2} = \frac{{\displaystyle \stackrel{11}{\cancel{22}}}}{7} · \frac{11}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{2}}}}=$

$= \frac{121}{7}=17\frac{2}{7}$(м)-растояние,которое
проехал велосипед;

$\mathbf{2}\mathbf{)} 17\frac{2}{7} : 1\frac{4}{7} = \frac{121}{7} : \frac{11}{7} =$

$=\frac{{\displaystyle \stackrel{11}{\bcancel{121}}}}{\cancel{7}} · \frac{\cancel{7}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{11}}}}=11$(оборотов)-делало заднее
колесо.

Ответ: 11 оборотов.

Чтобы узнать, сколько оборотов сделало заднее колесо, необходимо сначала определить общее расстояние, которое проехал велосипед. Это расстояние будет одинаковым для обоих колес.

1. Найдем расстояние, которое проехал велосипед.

Расстояние (S) вычисляется как произведение длины окружности переднего колеса на количество его оборотов.

Длина окружности переднего колеса = $3\frac{1}{7}$ м.
Количество оборотов переднего колеса = $5\frac{1}{2}$.

Для удобства вычислений переведем смешанные числа в неправильные дроби:
$3\frac{1}{7} = \frac{3 \cdot 7 + 1}{7} = \frac{22}{7}$ м.
$5\frac{1}{2} = \frac{5 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{11}{2}$ оборота.

Теперь вычислим пройденное расстояние:
$S = \frac{22}{7} \times \frac{11}{2} = \frac{22 \cdot 11}{7 \cdot 2}$
Сократим 22 и 2 на 2:
$S = \frac{11 \cdot 11}{7} = \frac{121}{7}$ м.

2. Найдем количество оборотов заднего колеса.

Чтобы найти количество оборотов заднего колеса, нужно общее расстояние разделить на длину окружности заднего колеса.

Длина окружности заднего колеса = $1\frac{4}{7}$ м.

Переведем это смешанное число в неправильную дробь:
$1\frac{4}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 4}{7} = \frac{11}{7}$ м.

Теперь вычислим количество оборотов заднего колеса:
Количество оборотов = $\frac{121}{7} \div \frac{11}{7}$
Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь:
$\frac{121}{7} \times \frac{7}{11} = \frac{121 \cdot 7}{7 \cdot 11}$
Сократим 7 и 7, а также 121 и 11:
$\frac{121}{11} = 11$ оборотов.

Ответ: 11 оборотов.

2.467. Ёмкость обbёмом 15 м³ наполняется водой через шланг за 813 ч. Сколько кубометров воды пропускает шланг за 1 ч?

2.467

V = 15 м³

Время - $8\frac{1}{3}$ч.

V - ? за 1 ч.

$15 : 8\frac{1}{3} = 15 : \frac{25}{3} = \stackrel{3}{\cancel{15}} · \frac{3}{{\displaystyle \underset{5}{\cancel{25}}}}=$

$= \frac{3 · 3}{5} = \frac{9}{5} = 1\frac{4}{5}$(м³ )-за 1 ч .

Ответ: $1\frac{4}{5}$м³

Чтобы определить, сколько кубометров воды шланг пропускает за 1 час, нужно найти скорость наполнения. Для этого необходимо общий объём ёмкости разделить на общее время, за которое она наполняется.

Решение:

1. Запишем данные из условия задачи:
Объём ёмкости: $V = 15$ м³.
Время наполнения: $t = 8\frac{1}{3}$ ч.

2. Для удобства вычислений представим время наполнения в виде неправильной дроби:
$8\frac{1}{3} = \frac{8 \times 3 + 1}{3} = \frac{25}{3}$ ч.

3. Теперь разделим общий объём на время, чтобы найти объём воды, пропускаемый за 1 час:
$V \div t = 15 \div \frac{25}{3}$

4. Деление на дробь равносильно умножению на обратную (перевёрнутую) дробь:
$15 \times \frac{3}{25} = \frac{15 \times 3}{25} = \frac{45}{25}$

5. Сократим полученную дробь. И числитель, и знаменатель делятся на 5:
$\frac{45 \div 5}{25 \div 5} = \frac{9}{5}$

6. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:
$\frac{9}{5} = 1\frac{4}{5}$ м³.

Таким образом, за 1 час шланг пропускает $1\frac{4}{5}$ кубометра воды.

Ответ: $1\frac{4}{5}$ м³

2.468. Расход бензина в автомобиле при пробеге по городу в 113 раза больше, чем при пробеге по скоростной трассе. На сколько километров хватит полного бака бензина обbёмом 40 л при движении по городу, если при движении по скоростной трассе на 400 км пути расходуется 58 бака бензина?

2.468

$\mathbf{1}\mathbf{)} \stackrel{5}{\cancel{40}} · \frac{5}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{8}}}} = 5 · 5 =25$(л)-расходуется на 400 км по трассе; 

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }25 : 400= \frac{1}{16}$(л)-расходуется на 1 км по трассе; 

$\mathbf{3}\mathbf{)} \frac{1}{16} · 1\frac{1}{3} = \frac{1}{{\displaystyle \underset{4}{\cancel{16}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{4}}}}{3} = \frac{1}{12}$(л)-расходуется на 1 км по городу; 

$\mathbf{4}\mathbf{)}\mathbf{ }40 : \frac{1}{12} = 40 · 12 = 480$ (км)-хватит полного бака при
движении по городу.

Ответ: 480 км.

Для решения задачи выполним следующие действия:

1. Найдем количество бензина, которое расходуется при движении по скоростной трассе на 400 км.

Объём полного бака составляет $40$ л. На 400 км пути по трассе расходуется $\frac{5}{8}$ бака. Чтобы найти, сколько это в литрах, умножим объём бака на эту дробь:

$40 \times \frac{5}{8} = \frac{40 \times 5}{8} = \frac{200}{8} = 25$ литров.

2. Определим расход бензина на 1 км по скоростной трассе.

Разделим количество израсходованного бензина на пройденное расстояние:

$25 \text{ л} \div 400 \text{ км} = \frac{25}{400} = \frac{1}{16}$ л/км.

3. Вычислим расход бензина на 1 км при движении по городу.

По условию, расход в городе в $1\frac{1}{3}$ раза больше, чем на трассе. Сначала представим смешанное число в виде неправильной дроби:

$1\frac{1}{3} = \frac{1 \times 3 + 1}{3} = \frac{4}{3}$

Теперь умножим расход по трассе на это число, чтобы найти расход по городу:

$\frac{1}{16} \times \frac{4}{3} = \frac{1 \times 4}{16 \times 3} = \frac{4}{48} = \frac{1}{12}$ л/км.

4. Найдём, на сколько километров хватит полного бака бензина при движении по городу.

Для этого разделим объём полного бака на расход бензина в городе на 1 км:

$40 \div \frac{1}{12} = 40 \times 12 = 480$ км.

Ответ: полного бака бензина хватит на 480 км при движении по городу.

2.469. Сейчас между автомобилями, движущимися навстречу друг другу, 126 км, и встретятся они через 1415 ч. Найдите скорость каждого автомобиля, если скорость одного из них составляет 80 % скорости другого.

2.469

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }126 : \frac{14}{15} =\stackrel{15}{ \cancel{126}} · \frac{15}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{14}}}} = 9 · 15 =135$ (км/ч) – скорость сближения автомобилей;

Пусть х км/ч – скорость первого автомобиля, тогда 0,8х км/ч – скорость второго автомобиля. Зная, что скорость сближения равна 135 км/ч составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} х + 0,8х = 135; \\ (1 + 0,8) х = 135; \\ 1,8х = 135; \\ х = 135 : 1,8; \\ х = 1350 : 18; \end{gathered}$$

$х = 75$(км/ч) – скорость 1 автомобиля;

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }0,8 · 75 = 60$(км/ч) – скорость 2 автомобиля.

Ответ: 75 км/ч и 60 км/ч.

Для решения этой задачи необходимо выполнить два основных шага: сначала найти общую скорость сближения автомобилей, а затем, зная их суммарную скорость и соотношение скоростей, вычислить скорость каждого автомобиля в отдельности.

1. Нахождение скорости сближения

Скорость сближения – это скорость, с которой сокращается расстояние между двумя объектами, движущимися навстречу друг другу. Она равна сумме их скоростей. Чтобы найти скорость сближения ($v_{сбл}$), нужно разделить общее расстояние ($S$) на время встречи ($t$).

Дано:

$S = 126$ км

$t = \frac{14}{15}$ ч

Вычисляем скорость сближения:

$v_{сбл} = \frac{S}{t} = 126 \div \frac{14}{15} = 126 \cdot \frac{15}{14}$

Сократим 126 и 14 (так как $126 = 9 \cdot 14$):

$v_{сбл} = 9 \cdot 15 = 135$ км/ч.

Таким образом, сумма скоростей двух автомобилей составляет 135 км/ч.

2. Нахождение скорости каждого автомобиля

Пусть скорость одного автомобиля равна $v_1$, а скорость второго — $v_2$. Из предыдущего шага мы знаем, что:

$v_1 + v_2 = 135$

По условию задачи, скорость одного из них составляет 80% скорости другого. Представим 80% в виде десятичной дроби: $80\% = 0.8$. Пусть $v_2$ будет скоростью более медленного автомобиля, тогда:

$v_2 = 0.8 \cdot v_1$

Подставим это выражение в уравнение для суммы скоростей:

$v_1 + 0.8 \cdot v_1 = 135$

$1.8 \cdot v_1 = 135$

Теперь найдем $v_1$:

$v_1 = \frac{135}{1.8} = \frac{1350}{18} = 75$ км/ч.

Мы нашли скорость одного автомобиля. Теперь найдем скорость второго автомобиля:

$v_2 = 135 - v_1 = 135 - 75 = 60$ км/ч.

Проверим, выполняется ли условие о 80%: $\frac{60}{75} = \frac{4}{5} = 0.8$, что соответствует 80%.

Ответ: скорость одного автомобиля 75 км/ч, а скорость другого — 60 км/ч.

2.470. Команда в соревновании по ориентированию на местности прошла маршрут, равный 11,5 км, причём по лугу она шла 123 ч, а по лесу — 114 ч. Путь по лесу составлял 914 пути по лугу. Найдите скорости передвижения команды по лесу и по лугу.

2.470

Маршрут – 11,5 км

Пусть х км – длина пути по лугу, тогда $\frac{9}{14}х$ км – длина пути по лесу. Зная, длина всего пути составляет 11,5 км, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} х + \frac{9}{14}х= 11,5; \\ \left(1 + \frac{9}{14}\right) х = 11,5; \\ 1\frac{9}{14} х = 11,5; \\ \frac{23}{14} х = 11\frac{1}{2}; \\ \frac{23}{14} х =\frac{23}{2}; \\ х = \frac{23}{2}: \frac{23}{14}; \\ х = \frac{\cancel{23}}{2} · \frac{14}{\cancel{23}}; \\ х = \frac{14}{2}; \end{gathered}$$

$х =7$(км) – длина пути по лугу

$\mathbf{1}\mathbf{)} \frac{9}{14} · 7 = \frac{9 · {\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{7}}} }{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{14}}}} = \frac{9}{2} = 4\frac{1}{2}$(км) – длина пути по лесу;

$\mathbf{2}\mathbf{)} 7 : 1\frac{2}{3} = 7 : \frac{5}{3} = 7 · \frac{3}{5} =$

$= \frac{21}{5} = 4\frac{1}{5} = 4,2$ (км/ч) – скорость движения по лугу;

$\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{ }4\frac{1}{2} : 1\frac{1}{4} = \frac{9}{2} : \frac{5}{4} = \frac{9}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{2}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\cancel{4}}}}{5}=$

$= \frac{9 · 2 }{5} = \frac{18}{5} = 3\frac{3}{5} = 3,6$ (км/ч) – скорость движения по лесу.

Ответ: 4,2 км/ч и 3,6 км/ч

Для решения задачи сначала найдем расстояния, которые команда прошла по лугу и по лесу. Затем, используя известное время для каждого участка, вычислим соответствующие скорости.

1. Нахождение расстояний.

Пусть $S_{луг}$ — это путь по лугу, а $S_{лес}$ — путь по лесу. Общий путь составляет 11,5 км, следовательно, мы можем записать первое уравнение:

$S_{луг} + S_{лес} = 11,5$

Из условия задачи известно, что путь по лесу составлял $\frac{9}{14}$ пути по лугу. Это дает нам второе уравнение:

$S_{лес} = \frac{9}{14} S_{луг}$

Теперь подставим второе уравнение в первое, чтобы найти $S_{луг}$:

$S_{луг} + \frac{9}{14} S_{луг} = 11,5$

Объединим слагаемые с $S_{луг}$:

$(1 + \frac{9}{14}) \cdot S_{луг} = 11,5$

$(\frac{14}{14} + \frac{9}{14}) \cdot S_{луг} = 11,5$

$\frac{23}{14} S_{луг} = 11,5$

Выразим $S_{луг}$:

$S_{луг} = 11,5 \div \frac{23}{14} = \frac{115}{10} \cdot \frac{14}{23} = \frac{5 \cdot 23}{5 \cdot 2} \cdot \frac{2 \cdot 7}{23} = 7$ км.

Таким образом, путь по лугу равен 7 км. Теперь легко найти путь по лесу:

$S_{лес} = 11,5 - S_{луг} = 11,5 - 7 = 4,5$ км.

2. Нахождение скоростей.

Теперь, когда мы знаем расстояния и время для каждого участка, мы можем найти скорости движения, используя формулу $v = \frac{S}{t}$.

скорость передвижения команды по лугу

Время движения по лугу $t_{луг} = 1\frac{2}{3}$ ч. Переведем это значение в неправильную дробь:

$t_{луг} = \frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{5}{3}$ ч.

Расстояние по лугу $S_{луг} = 7$ км. Рассчитаем скорость:

$v_{луг} = \frac{S_{луг}}{t_{луг}} = \frac{7}{\frac{5}{3}} = 7 \cdot \frac{3}{5} = \frac{21}{5} = 4,2$ км/ч.

Ответ: 4,2 км/ч.

скорость передвижения команды по лесу

Время движения по лесу $t_{лес} = 1\frac{1}{4}$ ч. Переведем это значение в неправильную дробь:

$t_{лес} = \frac{1 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{5}{4}$ ч.

Расстояние по лесу $S_{лес} = 4,5$ км. Рассчитаем скорость:

$v_{лес} = \frac{S_{лес}}{t_{лес}} = \frac{4,5}{\frac{5}{4}} = \frac{9/2}{5/4} = \frac{9}{2} \cdot \frac{4}{5} = \frac{36}{10} = 3,6$ км/ч.

Ответ: 3,6 км/ч.

Вопросы:

Как расположены по отношению друг к другу координатные прямые х и у? Какие названия имеют эти прямые? Как называют их общую точку?

Что такое координата точки? Какую координату ставят на первое место, а какую на второе?

Как найти абсциссу и ординату точки?

Как построить точку по её координатам?

У каких точек координатной плоскости ордината равна нулю; абсцисса равна нулю; ордината и абсцисса равны нулю?

43. Координатная плоскость

Вопросы к параграфу

• координатные прямые х и у перпендикулярны друг другу. Эти прямые называют осями координат: х – ось абсцисс, у – ось ординат. Их общая точка – начало отсчета.

• координата точки – это пара чисел х и у, где х – абсцисса, у – ордината точки. На первое место ставят абсциссу точки.

• чтобы найти абсциссу и ординату точки, нужно провести из этой точки перпендикуляры к каждой оси координат. Пересечение с осью х дает абсциссу точки, с осью у – ординату точки.

• чтобы построить точку по ее координатам х и у, нужно от точки О пройти по оси х на х единиц, затем вдоль оси у на у единиц

• ордината равна нулю у точек, которые лежат на оси х. Абсцисса равна нулю у точек, лежащих на оси у. Ордината и абсцисса равна нулю у точки начала координат.

Как расположены по отношению друг к другу координатные прямые x и y? Какие названия имеют эти прямые? Как называют их общую точку?

Координатные прямые $x$ и $y$ расположены перпендикулярно друг к другу, то есть они пересекаются под прямым углом ($90^\circ$). Такая система координат называется прямоугольной или декартовой.
Прямая $x$ называется осью абсцисс.
Прямая $y$ называется осью ординат.
Их общая точка пересечения называется началом координат.
Ответ: Координатные прямые $x$ и $y$ перпендикулярны. Прямая $x$ — ось абсцисс, прямая $y$ — ось ординат. Их общая точка — начало координат.

Что такое координата точки? Какую координату ставят на первое место, а какую на второе?

Координаты точки — это упорядоченная пара чисел $(x; y)$, которая однозначно определяет положение этой точки на координатной плоскости.
На первое место всегда ставится абсцисса — координата по оси $x$.
На второе место ставится ордината — координата по оси $y$.
Ответ: Координаты точки — это пара чисел $(x; y)$, определяющая ее положение на плоскости. На первое место ставят абсциссу ($x$), на второе — ординату ($y$).

Как найти абсциссу и ординату точки?

Чтобы найти координаты точки, отмеченной на плоскости, нужно опустить из этой точки перпендикуляры на обе координатные оси.
• Абсцисса ($x$) — это число на оси абсцисс (оси $x$), в которое приходит перпендикуляр, опущенный из точки.
• Ордината ($y$) — это число на оси ординат (оси $y$), в которое приходит перпендикуляр, опущенный из точки.
Ответ: Чтобы найти абсциссу, нужно из точки опустить перпендикуляр на ось $x$ и посмотреть значение в точке пересечения. Чтобы найти ординату, нужно опустить перпендикуляр на ось $y$ и посмотреть значение в точке пересечения.

Как построить точку по её координатам?

Чтобы построить точку $A$ с заданными координатами $(x_0; y_0)$, необходимо выполнить следующие действия:
1. Найти на оси абсцисс ($x$) число, равное $x_0$.
2. Мысленно или с помощью линейки провести через эту отметку прямую, перпендикулярную оси $x$ (вертикальную линию).
3. Найти на оси ординат ($y$) число, равное $y_0$.
4. Провести через эту отметку прямую, перпендикулярную оси $y$ (горизонтальную линию).
5. Место пересечения этих двух прямых и будет искомой точкой $A(x_0; y_0)$.
Ответ: Найти на осях $x$ и $y$ значения, соответствующие абсциссе и ординате, и найти точку пересечения перпендикуляров, восстановленных из этих отметок к осям.

У каких точек координатной плоскости ордината равна нулю; абсцисса равна нулю; ордината и абсцисса равны нулю?

В прямоугольной системе координат:
• Ордината равна нулю ($y=0$) у всех точек, которые лежат на оси абсцисс (оси $x$). Координаты таких точек имеют вид $(x; 0)$.
• Абсцисса равна нулю ($x=0$) у всех точек, которые лежат на оси ординат (оси $y$). Координаты таких точек имеют вид $(0; y)$.
• Ордината и абсцисса равны нулю ($x=0$ и $y=0$) только у одной точки — начала координат. Её координаты — $(0; 0)$.
Ответ: Ордината равна нулю у точек на оси абсцисс ($x$). Абсцисса равна нулю у точек на оси ординат ($y$). Обе координаты равны нулю у начала координат $(0; 0)$.