Страница 111, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

Вопросы:

Что называют дробным выражением? Приведите пример.

Назовите числитель и знаменатель дробного выражения 2α + b4nm.

17. Дробные выражения

Вопросы к параграфу

• дробным выражением называют запись частного двух числовых выражений, в котором знак деления обозначен чертой

• выражение, стоящее над чертой, называют числителем дробного выражения, а выражение, стоящее под чертой – знаменателем дробного выражения $$\begin{gathered} \frac{2a + b}{4nm} \\ 2a + b - \mathrm{числитель} \\ 4\mathrm{nm} - \mathrm{знаменатель} \end{gathered}$$

Что называют дробным выражением? Приведите пример.

Дробным рациональным выражением (или просто дробным выражением) называют частное от деления двух многочленов $P$ и $Q$, записанное в виде дроби $\frac{P}{Q}$. Ключевая особенность дробного выражения заключается в том, что его знаменатель ($Q$) содержит одну или несколько переменных и не является нулевым многочленом. Если в знаменателе переменной нет (то есть знаменатель — число, не равное нулю), то выражение называется целым.

Например, следующие выражения являются дробными:

$\frac{x+y}{z}$

$\frac{5a}{a-1}$

$\frac{b^2 - 4c + 1}{8b - 3c}$

Ответ: Дробным выражением называют частное от деления двух многочленов, в знаменателе которого содержится переменная. Примеры: $\frac{a}{b+2}$, $\frac{x^2-9}{y}$.

Назовите числитель и знаменатель дробного выражения $\frac{2a + b}{4nm}$.

В любом дробном выражении, имеющем вид дроби, есть две части: числитель и знаменатель. Числитель — это выражение, которое находится над чертой дроби (делимое). Знаменатель — это выражение, которое находится под чертой дроби (делитель).

Рассмотрим данное выражение $\frac{2a + b}{4nm}$.

Выражение, которое находится над чертой, — это $2a + b$. Следовательно, это числитель.

Выражение, которое находится под чертой, — это $4nm$. Следовательно, это знаменатель.

Ответ: Числитель: $2a + b$, знаменатель: $4nm$.

2.507. Назовите числитель и знаменатель дробного выражения:

а) 3,64,5; б) 534617; в) 4,2 – 31118,49 · 7,1; г) 4c – 8a 7xy.

2.507

$\mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{3,6}{4,5};$

3,6 – числитель, 4,5 – знаменатель;

$\mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{5{\displaystyle \frac{3}{4}}}{6{\displaystyle \frac{1}{7}}};$

$5\frac{3}{4} - \mathrm{числитель}; 6\frac{1}{7} - \mathrm{знаменатель};$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{4,2 - 3{\displaystyle \frac{1}{11}}}{8,49 · 7,1}; \\ 4,2 - 3\frac{1}{11} - \mathrm{числитель}; \\ 8,49 · 7,1 - \mathrm{знаменатель}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{4c - 8a}{7xy}; \\ 4c - 8a - \mathrm{числитель}; \\ 7\mathrm{xy} - \mathrm{знаменатель}. \end{gathered}$$

а) В дробном выражении $\frac{3,6}{4,5}$ числителем называется выражение, которое находится над дробной чертой, а знаменателем — выражение под ней. Для данной дроби числителем является число $3,6$, а знаменателем — число $4,5$.
Ответ: числитель $3,6$, знаменатель $4,5$.

б) В выражении $\frac{5\frac{3}{4}}{6\frac{1}{7}}$ числитель — это всё выражение над основной (длинной) дробной чертой, а знаменатель — всё выражение под ней. Таким образом, числителем является смешанное число $5\frac{3}{4}$, а знаменателем — смешанное число $6\frac{1}{7}$.
Ответ: числитель $5\frac{3}{4}$, знаменатель $6\frac{1}{7}$.

в) В дробном выражении $\frac{4,2 - 3\frac{1}{11}}{8,49 \cdot 7,1}$ числителем является вся разность, стоящая над чертой дроби, а знаменателем — всё произведение, стоящее под чертой дроби.
Числитель: $4,2 - 3\frac{1}{11}$.
Знаменатель: $8,49 \cdot 7,1$.
Ответ: числитель $4,2 - 3\frac{1}{11}$, знаменатель $8,49 \cdot 7,1$.

г) В алгебраической дроби $\frac{4c - 8a}{7xy}$ числителем является многочлен, находящийся над чертой дроби, а знаменателем — одночлен, находящийся под ней.
Числитель: $4c - 8a$.
Знаменатель: $7xy$.
Ответ: числитель $4c - 8a$, знаменатель $7xy$.

2.508. Запишите дробное выражение, у которого числитель 5n + 4m, а знаменатель 8,1с – s.

2.508

Выражение $\frac{5n + 4m}{8,1 c - s}$

Дробное выражение представляет собой частное от деления двух выражений, записанное с помощью дробной черты. Выражение, которое находится над чертой, является числителем дроби, а выражение под чертой — знаменателем.

Согласно условию задачи, нам необходимо составить дробное выражение, у которого:
- числитель равен $5n + 4m$;
- знаменатель равен $8,1c - s$.

Для этого мы записываем числитель над дробной чертой, а знаменатель — под ней.

Ответ: $\frac{5n + 4m}{8,1c - s}$

2.509. Запишите частное (5,5 · 3,6 – 3,7) : (10,8 : 2,7 – 3,6) в виде дробного выражения и найдите его значение.

2.509

$$\begin{gathered} (5,5 \stackrel{1}{· }3,6 \stackrel{2}{–} 3,7)\stackrel{5}{ :} (10,8\stackrel{3}{ :} 2,7 \stackrel{4}{–} 3,6) = \\ =\frac{5,5 ·3,6 - 3,7}{10,8 : 2,7 - 3,6)} = 40,25. \end{gathered}$$

1.	2.
3. 10,8 : 2,7 = 108 : 27 = 4 4. 4 – 3,6 = 0,4
5.

Чтобы записать частное $(5,5 \cdot 3,6 - 3,7) : (10,8 : 2,7 - 3,6)$ в виде дробного выражения, необходимо делимое $(5,5 \cdot 3,6 - 3,7)$ сделать числителем дроби, а делитель $(10,8 : 2,7 - 3,6)$ — знаменателем.

Дробное выражение имеет вид:

$\frac{5,5 \cdot 3,6 - 3,7}{10,8 : 2,7 - 3,6}$

Для нахождения значения этого выражения выполним вычисления по действиям.

1. Вычислим значение числителя: $5,5 \cdot 3,6 - 3,7$

Сначала выполняем умножение:

$5,5 \cdot 3,6 = 19,8$

Затем выполняем вычитание:

$19,8 - 3,7 = 16,1$

Итак, числитель равен $16,1$.

2. Вычислим значение знаменателя: $10,8 : 2,7 - 3,6$

Сначала выполняем деление. Для удобства можно умножить делимое и делитель на 10, чтобы работать с целыми числами:

$10,8 : 2,7 = 108 : 27 = 4$

Затем выполняем вычитание:

$4 - 3,6 = 0,4$

Итак, знаменатель равен $0,4$.

3. Найдем значение дроби.

Для этого разделим значение числителя на значение знаменателя:

$\frac{16,1}{0,4}$

Чтобы избавиться от дробей в числителе и знаменателе, умножим их на 10:

$\frac{16,1 \cdot 10}{0,4 \cdot 10} = \frac{161}{4}$

Теперь выполним деление:

$161 : 4 = 40,25$

Ответ: Дробное выражение: $\frac{5,5 \cdot 3,6 - 3,7}{10,8 : 2,7 - 3,6}$; его значение равно $40,25$.

2.510. Вычислите:

а) 3.614.4; б) 3.752.5; в) 2.80.35; г) 0.020.005.

2.510

$\mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{3,6}{14,4}}^{\overline{)·10}} = \frac{36}{144} = \frac{36 : 36}{144 : 36 }= \frac{1}{4};$

$\mathit{б}\mathbf{)} {\frac{3,75}{2,5}}^{\overline{)·100}} = \frac{375}{250} = \frac{375 : 125}{250 : 125} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2};$

$\mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{2,8}{0,35}}^{\overline{)·100}} = \frac{280}{35} = \frac{280 : 7}{35 : 7} = \frac{40}{5} =8;$

$\mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{0,02}{0,005}}^{\overline{)·1000}}=\frac{20}{5} = 4.$

а) Чтобы вычислить значение дроби $ \frac{3,6}{14,4} $, необходимо выполнить деление десятичных дробей. Удобнее всего избавиться от запятых, умножив числитель и знаменатель на 10, так как в обоих числах по одному знаку после запятой. Это действие основано на основном свойстве дроби.
$ \frac{3,6}{14,4} = \frac{3,6 \cdot 10}{14,4 \cdot 10} = \frac{36}{144} $
Теперь сократим полученную дробь. Заметим, что $ 144 = 36 \cdot 4 $. Поэтому мы можем разделить и числитель, и знаменатель на 36.
$ \frac{36}{144} = \frac{36 \div 36}{144 \div 36} = \frac{1}{4} $
Преобразуем обыкновенную дробь в десятичную.
$ \frac{1}{4} = 0,25 $
Ответ: 0,25

б) Чтобы вычислить значение дроби $ \frac{3,75}{2,5} $, избавимся от десятичных знаков. Для этого умножим числитель и знаменатель на 100 (по максимальному количеству знаков после запятой, которое равно двум в числителе).
$ \frac{3,75}{2,5} = \frac{3,75 \cdot 100}{2,5 \cdot 100} = \frac{375}{250} $
Сократим полученную дробь. Оба числа, 375 и 250, делятся на 25.
$ 375 \div 25 = 15 $
$ 250 \div 25 = 10 $
Следовательно:
$ \frac{375}{250} = \frac{15}{10} $
Представим результат в виде десятичной дроби.
$ \frac{15}{10} = 1,5 $
Ответ: 1,5

в) Чтобы вычислить значение дроби $ \frac{2,8}{0,35} $, умножим числитель и знаменатель на 100, чтобы знаменатель стал целым числом.
$ \frac{2,8}{0,35} = \frac{2,8 \cdot 100}{0,35 \cdot 100} = \frac{280}{35} $
Теперь выполним деление целых чисел.
$ 280 \div 35 = 8 $
Можно проверить умножением: $ 35 \cdot 8 = 280 $.
Ответ: 8

г) Чтобы вычислить значение дроби $ \frac{0,02}{0,005} $, умножим числитель и знаменатель на 1000, чтобы избавиться от десятичных знаков в знаменателе (в нем три знака после запятой).
$ \frac{0,02}{0,005} = \frac{0,02 \cdot 1000}{0,005 \cdot 1000} = \frac{20}{5} $
Выполним деление.
$ \frac{20}{5} = 4 $
Ответ: 4

2.511. Найдите значение выражения:

$\mathrm{а}) \frac{{\displaystyle \frac{3}{4}}}{{\displaystyle \frac{9}{16}}};$ $\mathrm{б}) \frac{7}{{\displaystyle \frac{3}{5}}};$ $\mathrm{в}) \frac{{\displaystyle \frac{5}{9}}}{2};$ $\mathrm{г}) \frac{6,5}{1,3}.$

2.511

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{{\displaystyle \frac{3}{4}}}{{\displaystyle \frac{9}{16}}}}^{\overline{)·16}} = \frac{{\displaystyle \frac{3}{\bcancel{4}} · \stackrel{4}{\bcancel{16}}}}{{\displaystyle \frac{9}{\cancel{16}} · \cancel{16}}}=\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{3}}} · 4 }{{\displaystyle \underset{3}{\cancel{9}}}} = \frac{1 · 4 }{3} = \\ = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}; \end{gathered}$$

$\mathit{б}\mathbf{)} {\frac{7}{{\displaystyle \frac{3}{5}} }}^{\overline{)·5}}=\frac{7 · 5 }{{\displaystyle \frac{3}{\cancel{5}} · \cancel{5}}}=\frac{35}{3} = 11\frac{2}{3};$

$\mathit{в}\mathbf{)}{ \frac{{\displaystyle \frac{5}{9}} }{2}}^{\overline{)·9}}=\frac{{\displaystyle \frac{5}{\cancel{9}} · \cancel{9}}}{2 · 9} = \frac{5}{18};$

$\mathit{г}\mathbf{)} {\frac{6,5}{1,3}}^{\overline{)·10}} = \frac{65}{13} = 5.$

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй (перевернутую):

$\frac{\frac{3}{4}}{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4} \div \frac{9}{16} = \frac{3}{4} \cdot \frac{16}{9}$

Сократим дроби перед умножением. Числитель 3 и знаменатель 9 сокращаются на 3. Числитель 16 и знаменатель 4 сокращаются на 4:

$\frac{3}{4} \cdot \frac{16}{9} = \frac{1}{1} \cdot \frac{4}{3} = \frac{4}{3}$

Ответ: $\frac{4}{3}$

Чтобы разделить число на дробь, нужно это число умножить на дробь, обратную данной:

$\frac{7}{\frac{3}{5}} = 7 \div \frac{3}{5} = 7 \cdot \frac{5}{3}$

Представим 7 как дробь $\frac{7}{1}$ и выполним умножение:

$\frac{7}{1} \cdot \frac{5}{3} = \frac{7 \cdot 5}{1 \cdot 3} = \frac{35}{3}$

Ответ: $\frac{35}{3}$

Чтобы разделить дробь на число, нужно знаменатель дроби умножить на это число:

$\frac{\frac{5}{9}}{2} = \frac{5}{9 \cdot 2} = \frac{5}{18}$

Ответ: $\frac{5}{18}$

Чтобы найти значение выражения $\frac{6,5}{1,3}$, нужно разделить десятичную дробь на десятичную дробь. Для этого можно умножить и числитель, и знаменатель на 10, чтобы избавиться от запятых (основное свойство дроби):

$\frac{6,5}{1,3} = \frac{6,5 \cdot 10}{1,3 \cdot 10} = \frac{65}{13}$

Теперь выполним деление целых чисел:

$65 \div 13 = 5$

Ответ: $5$