Страница 118, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

13. Известному писателю Л. Н. Толстому очень нравилась следующая задача.

Артели косцов надо было скосить два луга, один вдвое больше другого. Половину дня артель косила большой луг. После этого артель разделилась пополам: первая половина осталась на большом лугу и докосила его к вечеру до конца; вторая же половина косила малый луг, на котором к вечеру ещё остался участок, скошенный на другой день косцом за один день работы. Сколько косцов было в артели?

13.

Пусть х – косцов в артели, у – площадь, которую 1 косец скашивает за один день.

$\mathbf{1}\mathbf{)} х · \frac{1}{2} · у = \frac{1}{2}ху$ (большой луг)- за 1 половину дня вся артёль косцов;

$\mathbf{2}\mathbf{)} \frac{1}{2} х · \frac{1}{2} у = \frac{1}{4} ху$ (большой луг) – во второй половине дня половина косцов;

Так как большой луг к вечеру докосила до конца, то его площадь составляет:

${\frac{1}{2}}^{\overline{)·2}}ху + \frac{1}{4} ху = \frac{2}{4}ху + \frac{1}{4}ху = \frac{3}{4}ху$

$\mathbf{3}\mathbf{)} \frac{1}{2} х · \frac{1}{2} у = \frac{1}{4} ху$ (малый луг)- другая половина косцов за
вторую половину дня;

Так как малый луг был докошен полностью одним косцом за один день работы, то площадь малого луга составляет:

$\frac{1}{4} ху + у$

Так как большой луг вдвое больше малого, то получим:

$$\begin{gathered} \frac{3}{4} ху = 2 · \left(\frac{1}{4 }ху +у\right); \\ \frac{3}{4} ху = 2 ·\frac{1}{4}ху + 2у; \\ \frac{3}{4} ху = \frac{2}{4}ху + 2у; \\ \frac{3}{4} ху - \frac{2}{4}ху = 2у; \\ \frac{1}{4} ху = 2у; \\ х = 2у : \frac{1}{4} у; \\ х = 2\cancel{у} · \frac{4}{\cancel{у}}; \end{gathered}$$

$х = 8$ – косцов.

Ответ: 8 косцов.

Для решения этой задачи введем переменные и составим уравнения, описывающие выполненную работу.

Пусть:
$n$ — искомое количество косцов в артели;
$p$ — производительность одного косца, то есть площадь, которую один косец скашивает за один полный рабочий день. Для удобства примем $p = 1$ (условная единица площади в день);
$S_б$ — площадь большого луга;
$S_м$ — площадь малого луга.

Согласно условию, площадь большого луга вдвое больше площади малого: $S_б = 2 \cdot S_м$. Рабочий день состоит из двух равных частей (утро и вечер), по 0.5 дня каждая.

Распишем работу артели по этапам.

1. Работа в первую половину дня

Вся артель из $n$ косцов работала на большом лугу. За 0.5 дня они скосили часть площади, равную:

$W_{б1} = n \cdot p \cdot 0.5 \text{ дня} = n \cdot 1 \cdot 0.5 = 0.5n$

2. Работа во вторую половину дня

Артель разделилась пополам. Следовательно, в каждой группе было по $n/2$ косцов.
Первая половина артели ($n/2$ косцов) осталась на большом лугу и докосила его до конца. За 0.5 дня они выполнили работу:
$W_{б2} = \frac{n}{2} \cdot p \cdot 0.5 \text{ дня} = \frac{n}{2} \cdot 1 \cdot 0.5 = 0.25n$
Вторая половина артели ($n/2$ косцов) косила малый луг. За 0.5 дня они выполнили работу:
$W_м = \frac{n}{2} \cdot p \cdot 0.5 \text{ дня} = \frac{n}{2} \cdot 1 \cdot 0.5 = 0.25n$

3. Определение площадей лугов

Большой луг был полностью скошен, значит, его площадь равна сумме работ, выполненных на нем в первую и вторую половины дня:

$S_б = W_{б1} + W_{б2} = 0.5n + 0.25n = 0.75n$

Так как большой луг вдвое больше малого, то площадь малого луга равна:

$S_м = \frac{S_б}{2} = \frac{0.75n}{2} = 0.375n$

4. Нахождение оставшейся площади на малом лугу

К вечеру на малом лугу была скошена площадь $W_м = 0.25n$. Оставшаяся нескошенная часть равна разности общей площади малого луга и скошенной части:

$S_{ост} = S_м - W_м = 0.375n - 0.25n = 0.125n$

5. Составление и решение уравнения

По условию, оставшийся на малом лугу участок равен тому, что может скосить один косец за один полный день. В наших единицах это работа, равная $1 \text{ косец} \cdot p \cdot 1 \text{ день} = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$.

Следовательно, мы можем приравнять вычисленную оставшуюся площадь к 1:

$0.125n = 1$

Теперь найдем $n$:

$n = \frac{1}{0.125} = \frac{1}{1/8} = 8$

Таким образом, в артели было 8 косцов.

Ответ: 8 косцов.

14. Задача Л. Ф. Магницкого. Некий человек нанял работника на год, обещал ему дати 12 рублёв и кафтан. Но тот, работав 7 месяцев, восхотел уйти и просил достойной платы с кафтаном. Хозяин дал ему по достоинству расчёт 5 рублей и кафтан, и ведательно есть, а коликие цены оный кафтан был.

14.

Пусть х р. стоит кафтан, а зарплата за год – (12 + х), тогда: $\frac{12 + х}{12}$ - зарплата за месяц, а за 7 месяцев – (5 + х), тогда за месяц - $\frac{5 + х}{7}$.

$$\begin{gathered} \frac{12 + х}{12} = \frac{5 + х}{7}; \\ 7 (12 + х) = 12 (5 + х); \\ 84 + 7х = 60 + 12х; \\ 12 х - 7 х = 84 - 60; \\ 5х = 24 \\ х = 24 : 5; \end{gathered}$$

$х = 4,8$ (р.)-стоит кафтан

Ответ: 4,8 р.

Решение

Это классическая задача из «Арифметики» Леонтия Магницкого. Для ее решения введем переменную.

Пусть цена кафтана равна $K$ рублей.

Согласно условию, плата за год работы (12 месяцев) была обещана в размере 12 рублей и кафтана. Таким образом, общая стоимость годовой работы составляет:

Годовая плата = $12 + K$ рублей.

Исходя из этого, мы можем рассчитать стоимость одного месяца работы, разделив годовую плату на 12:

Стоимость 1 месяца работы = $ \frac{12 + K}{12} $ рублей.

Работник проработал 7 месяцев. Следовательно, ему полагалась плата, пропорциональная отработанному времени:

Плата за 7 месяцев = $ 7 \times \frac{12 + K}{12} $ рублей.

В то же время, из условия известно, что за 7 месяцев он получил 5 рублей и кафтан. То есть, его фактическая плата составила:

Фактическая плата = $5 + K$ рублей.

Теперь мы можем приравнять расчетную плату за 7 месяцев к фактической и составить уравнение для нахождения цены кафтана $K$:

$$ 5 + K = \frac{7(12 + K)}{12} $$

Решим это уравнение. Сначала умножим обе части на 12, чтобы избавиться от дроби:

$$ 12(5 + K) = 7(12 + K) $$

Раскроем скобки в левой и правой частях:

$$ 60 + 12K = 84 + 7K $$

Теперь соберем все слагаемые с переменной $K$ в левой части уравнения, а числовые значения — в правой:

$$ 12K - 7K = 84 - 60 $$

Выполним вычитание:

$$ 5K = 24 $$

Наконец, найдем значение $K$:

$$ K = \frac{24}{5} = 4.8 $$

Таким образом, цена кафтана составляет 4,8 рубля (или 4 рубля 80 копеек).

Проверка

Проверим полученный результат. Если кафтан стоит 4,8 рубля, то общая годовая плата составляет $12 + 4.8 = 16.8$ рублей.

Стоимость одного месяца работы в таком случае равна $16.8 \div 12 = 1.4$ рубля.

За 7 месяцев работы плата должна составить $7 \times 1.4 = 9.8$ рубля.

По условию задачи работник получил 5 рублей и кафтан, что составляет $5 + 4.8 = 9.8$ рубля.

Так как расчетное значение совпало с фактическим, задача решена верно.

Ответ: цена кафтана была 4,8 рубля.

15. К табунщику пришли три казака покупать лошадей. «Хорошо, я вам продам лошадей, — сказал табунщик, — первому продам я полтабуна и ещё половину лошади, второму — половину оставшихся лошадей и ещё пол–лошади, третий также получит половину оставшихся лошадей с полулошадью. Себе же оставлю только 5 лошадей». Удивились казаки, как это табунщик будет делить лошадей на части. Но после некоторых размышлений они успокоились, и сделка состоялась. Сколько лошадей продал табунщик каждому из казаков?

15.

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }(5 + 0,5) · 2 = 11$ (лошадей) – осталось после второго казака;

$\mathbf{2}\mathbf{)} 11 – 5 = 6$(лошадей) – продал третьему казаку;

$\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{ }(11 + 0,5) · 2 = 23$(лошади) – осталось после первого казака;

$\mathbf{4}\mathbf{)}\mathbf{ }23 – 11 = 12$(лошадей) – продал второму казаку;

$\mathbf{5}\mathbf{)}\mathbf{ }(23 + 0,5) · 2 = 47$(лошадей) – в табуне;

$\mathbf{6}\mathbf{)} 47 – 23 = 24$(лошади) – продал первому казаку.

Ответ: 24 лошади, 12 лошадей, 6 лошадей.

Данная задача решается методом "с конца". Мы знаем, что в итоге у табунщика осталось 5 лошадей, и можем, идя в обратном порядке, восстановить исходное количество лошадей и количество проданных лошадей каждому казаку.

Для начала определим, сколько лошадей было у табунщика перед приходом каждого из казаков.

Пусть $N_{ост}$ — количество оставшихся лошадей, а $N_{до}$ — количество лошадей до покупки. Условие "продал половину и еще пол-лошади" означает, что оставшееся количество лошадей можно найти по формуле $N_{ост} = N_{до} - (\frac{N_{до}}{2} + 0.5) = \frac{N_{до}}{2} - 0.5$. Отсюда можно выразить $N_{до}$: $N_{до} = (N_{ост} + 0.5) \times 2$.

1. Расчет количества лошадей перед покупкой третьим казаком.

После покупки третьим казаком осталось 5 лошадей. Используя выведенную формулу, находим, сколько было до его прихода:

$N_{до\_3} = (5 + 0.5) \times 2 = 5.5 \times 2 = 11$ лошадей.

2. Расчет количества лошадей перед покупкой вторым казаком.

Перед приходом третьего казака было 11 лошадей. Это количество осталось после того, как совершил покупку второй казак. Рассчитаем, сколько было до него:

$N_{до\_2} = (11 + 0.5) \times 2 = 11.5 \times 2 = 23$ лошади.

3. Расчет исходного количества лошадей в табуне.

Перед приходом второго казака было 23 лошади. Это количество осталось после покупки первым казаком. Рассчитаем, сколько лошадей было в табуне изначально:

$N_{до\_1} = (23 + 0.5) \times 2 = 23.5 \times 2 = 47$ лошадей.

Теперь, зная исходное и промежуточные количества лошадей, мы можем вычислить, сколько лошадей купил каждый казак.

Первый казак

Первый казак купил половину от всего табуна (47 лошадей) и еще пол-лошади:

$\frac{47}{2} + 0.5 = 23.5 + 0.5 = 24$ лошади.

Можно также посчитать как разницу между количеством лошадей до и после его покупки: $47 - 23 = 24$ лошади.

Ответ: первому казаку табунщик продал 24 лошади.

Второй казак

Второму казаку досталась половина от оставшихся 23 лошадей и еще пол-лошади:

$\frac{23}{2} + 0.5 = 11.5 + 0.5 = 12$ лошадей.

Разница: $23 - 11 = 12$ лошадей.

Ответ: второму казаку табунщик продал 12 лошадей.

Третий казак

Третий казак купил половину от оставшихся 11 лошадей и еще пол-лошади:

$\frac{11}{2} + 0.5 = 5.5 + 0.5 = 6$ лошадей.

Разница: $11 - 5 = 6$ лошадей. После этой покупки у табунщика осталось 5 лошадей, что полностью совпадает с условием задачи.

Ответ: третьему казаку табунщик продал 6 лошадей.

16. Длина маршрутной тропы на гору Малое Седло в Кисловодске равна 5,4 км. Подняться на гору можно разными способами:

1) пройти по тропе пешком;

2) подняться в вагончике канатной дороги, который едет 116 ч. Затем пройти оставшиеся 2 км.

Рассчитайте время различных вариантов похода, если обычно средняя скорость восхождения на гору составляет 1,5 км/ч, а спуска — в два с половиной раза больше. При этом не забудьте добавить время на то, чтобы поесть, полюбоваться чудесными видами природы и отдохнуть.

16.

1)

$1) 5,4 : 1,5 = 54 : 15 = 3,6$(ч) – время подъема пешком;

$2) 1,5 · 2,5 = 3,75$(км/ч) – скорость на спуске пешком;

$3) 5,4 : 3,75 = 540 : 375 = 1,44$(ч) – время спуска пешком;

$4) 3,6 + 1,44 = 5,04$(ч) – время похода на гору пешком;

Ответ: 6 – 7 часов.

2)

$1) \frac{1}{16} + \frac{1}{16} = \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{2}}}}{{\displaystyle \underset{8}{\cancel{16}}}} = \frac{1}{8}$(ч) – время движения по канатной дороге;

$2) 2 : 1,5 = 20 : 15 = \frac{{\displaystyle \stackrel{4}{\cancel{20}}}}{{\displaystyle \underset{3}{\cancel{15}}}} = \frac{4}{3}$(ч) – время подъема 2 км пешком;

$3) 2 : 3,75 = 200 : 375 = \frac{{\displaystyle \stackrel{8}{\cancel{200}}}}{{\displaystyle \underset{15}{\cancel{375}}}} = \frac{8}{15}$(ч) – время спуска 2 км пешком;

$4) {\frac{1}{8}}^{\overline{)·15}} + {\frac{4}{3}}^{\overline{)·40}} + {\frac{8}{15}}^{\overline{)·8}} = \frac{15}{120} + \frac{160}{120} + \frac{64}{120} =$

$=\frac{239}{120} = 1\frac{119}{120}$(ч) – время похода на гору в вагончике канатной дороги.

Ответ: 2-3 часа.

Для расчета времени различных вариантов похода необходимо учесть время на подъем, спуск и отдых на вершине. В задаче сказано добавить время, "чтобы поесть, полюбоваться чудесными видами природы и отдохнуть". Предположим, что это время ($t_{отдыха}$) составляет 1,5 часа. Спуск в обоих вариантах будет одинаковым: пешком по всей тропе.

Сначала рассчитаем общие для обоих вариантов величины: скорость и время спуска.

Скорость восхождения ($v_{подъема}$) дана и равна 1,5 км/ч. Скорость спуска ($v_{спуска}$) в 2,5 раза больше:

$v_{спуска} = 1,5 \text{ км/ч} \times 2,5 = 3,75 \text{ км/ч}$

Длина тропы ($S$) составляет 5,4 км. Время, необходимое для спуска с горы, равно:

$t_{спуска} = \frac{S}{v_{спуска}} = \frac{5,4 \text{ км}}{3,75 \text{ км/ч}} = 1,44 \text{ часа}$

Это составляет 1 час и $0,44 \times 60 \approx 26$ минут.

Теперь рассчитаем общее время для каждого варианта похода, который включает подъем, отдых и спуск.

1) пройти по тропе пешком

Этот вариант предполагает полный пеший поход.

Время подъема составит:

$t_{подъема\_1} = \frac{S}{v_{подъема}} = \frac{5,4 \text{ км}}{1,5 \text{ км/ч}} = 3,6 \text{ часа}$

Это равно 3 часам и $0,6 \times 60 = 36$ минутам.

Общее время всего похода будет суммой времени подъема, времени на отдых и времени спуска:

$T_{1} = t_{подъема\_1} + t_{отдыха} + t_{спуска} = 3,6 \text{ ч} + 1,5 \text{ ч} + 1,44 \text{ ч} = 6,54 \text{ часа}$

Переведем в часы и минуты: $6,54 \text{ часа} = 6 \text{ часов} + 0,54 \times 60 \text{ мин} = 6 \text{ часов } 32,4 \text{ минуты}$. Округлим до целых минут.

Ответ: Общее время похода при подъеме и спуске пешком составит примерно 6 часов 32 минуты.

2) подняться в вагончике канатной дороги, который едет $\frac{1}{16}$ ч. Затем пройти оставшиеся 2 км

В этом варианте подъем комбинированный, а спуск — пеший.

Время подъема складывается из времени поездки на канатке и времени пешего участка.

Время на канатке: $t_{канатка} = \frac{1}{16}$ часа.

Время пешего подъема на оставшиеся 2 км:

$t_{подъема\_пешком} = \frac{2 \text{ км}}{1,5 \text{ км/ч}} = \frac{4}{3} \text{ часа}$

Суммарное время подъема:

$t_{подъема\_2} = t_{канатка} + t_{подъема\_пешком} = \frac{1}{16} + \frac{4}{3} = \frac{3 \times 1 + 4 \times 16}{48} = \frac{3+64}{48} = \frac{67}{48} \text{ часа}$

Общее время всего похода будет суммой времени подъема, времени на отдых и времени спуска:

$T_2 = t_{подъема\_2} + t_{отдыха} + t_{спуска} = \frac{67}{48} \text{ ч} + 1,5 \text{ ч} + 1,44 \text{ ч}$

Для точного расчета представим все слагаемые в виде обыкновенных дробей: $1,5 = \frac{3}{2}$ и $1,44 = \frac{144}{100} = \frac{36}{25}$.

$T_2 = \frac{67}{48} + \frac{3}{2} + \frac{36}{25}$. Общий знаменатель равен 1200.

$T_2 = \frac{67 \times 25}{1200} + \frac{3 \times 600}{1200} + \frac{36 \times 48}{1200} = \frac{1675 + 1800 + 1728}{1200} = \frac{5203}{1200} \text{ часа}$

Это составляет $4 \frac{403}{1200}$ часа. Переведем дробную часть в минуты:

$\frac{403}{1200} \text{ часа} \times 60 \frac{\text{мин}}{\text{час}} = \frac{403}{20} \text{ мин} = 20,15 \text{ минут}$.

Таким образом, общее время составит примерно 4 часа 20 минут.

Ответ: Общее время похода при комбинированном подъеме составит примерно 4 часа 20 минут.

6.120. График зависимости температуры воды от времени нагревания воды в электрическом чайнике показан на рисунке 6.38. На оси х откладывали время после включения чайника в минутах, а на оси у – температуру воды в °C . Ответьте по графику на следующие вопросы:
а) какой стала температура воды через 1 мин, 3 мин и 4 мин 30 с после включения чайника;
б) через какое время вода закипела;
в) сколько минут кипела вода в чайнике;
г) через сколько времени после включения температура воды в чайнике была 60 °C; 90 °C.

6.120

а) через 1 мин температура воды стала 26℃
через 3 мин температура воды стала 50℃
через 4 мин 30 с температура воды стала 82℃

б) вода закипела через 5 минут

в) вода кипела 1 мин 20 с

г) 60℃ стала температура воды через 3,5 мин и 9 мин
90℃ стала температура воды через 4 мин 40 с и 6,5 мин

а) какой стала температура воды через 1 мин, 3 мин и 4 мин 30 с после включения чайника;

Для ответа на этот вопрос необходимо найти на графике точки, соответствующие указанным моментам времени по оси абсцисс (время в минутах), и определить их ординаты (температуру в °C).

• Через 1 минуту: На оси времени (ось x) находим значение 1. Поднимаемся вертикально до пересечения с графиком. От точки пересечения проводим горизонтальную линию влево до оси температуры (ось y). Значение на оси y равно 30. Таким образом, через 1 минуту температура воды стала $30$ °C.
• Через 3 минуты: На оси времени находим значение 3. Аналогично, находим соответствующую температуру на оси y. Она равна $60$ °C.
• Через 4 минуты 30 секунд: Переведем время в минуты: $4 \text{ мин } 30 \text{ с} = 4,5 \text{ мин}$. Находим на оси x значение 4,5 (точка посредине между отметками 4 и 5). Соответствующая этой точке температура на оси y равна $90$ °C.

Ответ: через 1 мин температура была $30$ °C, через 3 мин — $60$ °C, через 4 мин 30 с — $90$ °C.

б) через какое время вода закипела;

Вода кипит при температуре $100$ °C. На графике нужно найти момент времени, когда температура впервые достигла этого значения. На оси температуры (ось y) находим значение 100. Проводим горизонтальную линию вправо до пересечения с графиком. Точка пересечения соответствует моменту времени на оси x. График достигает температуры $100$ °C при $x = 5$ минут.

Ответ: вода закипела через 5 минут после включения чайника.

в) сколько минут кипела вода в чайнике;

Процесс кипения на графике изображен горизонтальным участком, на котором температура постоянна и равна $100$ °C. Этот участок начинается в момент времени $t_1 = 5$ мин и заканчивается в момент времени $t_2 = 6$ мин (в этот момент чайник, вероятно, выключился и вода начала остывать). Продолжительность кипения равна разности этих моментов времени: $\Delta t = t_2 - t_1 = 6 \text{ мин} - 5 \text{ мин} = 1 \text{ мин}$.

Ответ: вода кипела 1 минуту.

г) через сколько времени после включения температура воды в чайнике была 60 °C; 90 °C?

Чтобы найти время, когда температура достигала определенных значений, нужно провести горизонтальные линии от этих значений на оси y до пересечения с графиком и затем определить соответствующие значения на оси x.

• Температура $60$ °C: Проводим горизонтальную линию от $y=60$. Линия пересекает график в двух точках. Первая точка соответствует процессу нагревания, время $x = 3$ минуты. Вторая точка соответствует процессу остывания, время $x = 9$ минут.
• Температура $90$ °C: Проводим горизонтальную линию от $y=90$. Линия также пересекает график в двух точках. Первая точка (нагревание) соответствует времени $x = 4,5$ минуты, или 4 минуты 30 секунд. Вторая точка (остывание) соответствует времени $x = 7$ минут.

Ответ: температура $60$ °C была через 3 минуты и через 9 минут; температура $90$ °C была через 4,5 минуты (4 мин 30 с) и через 7 минут.

6.121. У Леры в двух альбомах (на компьютере и в телефоне) было 450 фотографий. В компьютере 25 имевшихся там фотографий составляли фотографии друзей. В телефоне фотографии друзей составляли 0,8 имевшихся там фотографий. Найдите, сколько всего фотографий было в каждом альбоме, если фотографий друзей Леры в обоих альбомах было одинаковое количество.

6.121

Пусть х фотографий – было на компьютере, тогда (450 – х) фотографий – было в телефоне, $\frac{2}{5} х$ – фотографии друзей на компьютере, 0,8(450 – х) – фотографии друзей в телефоне. Зная, что их количество было одинаково, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} \frac{2}{5} х = 0,8(450 - х); \overline{) · 5} \\ \frac{2}{\bcancel{5}} х · \bcancel{5} = 0,8(450 - х) · 5; \\ \frac{2}{1} х · 1 = 4(450 - х) ; \\ 2х = 1800 – 4х; \\ 2х + 4х = 1800; \\ 6х = 1800; \\ х = 1800 : 6; \end{gathered}$$

х = 300 (ф) – было на компьютере;

$\mathbf{1}\mathbf{)} 450 – 300 = 150$ (ф) – было в телефоне.

Ответ: 300 ф. и 150 ф.

Для решения этой задачи введем переменные и составим систему уравнений.

Пусть $x$ — это общее количество фотографий в альбоме на компьютере, а $y$ — общее количество фотографий в альбоме на телефоне.

Из условия известно, что общее количество фотографий в двух альбомах равно 450. Это дает нам первое уравнение: $x + y = 450$

В альбоме на компьютере фотографии друзей составляют $\frac{2}{5}$ от всех фотографий в этом альбоме. Значит, количество фотографий друзей на компьютере равно $\frac{2}{5}x$.

В альбоме на телефоне фотографии друзей составляют 0,8 от всех фотографий в этом альбоме. Количество фотографий друзей на телефоне равно $0,8y$.

По условию, количество фотографий друзей в обоих альбомах одинаковое. Это дает нам второе уравнение: $\frac{2}{5}x = 0,8y$

Теперь решим полученную систему уравнений: $\begin{cases} x + y = 450 \\ \frac{2}{5}x = 0,8y \end{cases}$

Сначала упростим второе уравнение. Преобразуем десятичную дробь 0,8 в обыкновенную: $0,8 = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$.
$\frac{2}{5}x = \frac{4}{5}y$
Умножим обе части этого уравнения на 5, чтобы избавиться от знаменателей:
$2x = 4y$
Разделим обе части на 2:
$x = 2y$

Теперь подставим полученное выражение для $x$ в первое уравнение системы ($x + y = 450$):
$(2y) + y = 450$
$3y = 450$
$y = \frac{450}{3}$
$y = 150$
Следовательно, в альбоме на телефоне было 150 фотографий.

Чтобы найти количество фотографий на компьютере, подставим значение $y$ в выражение $x = 2y$:
$x = 2 \times 150$
$x = 300$
Таким образом, в альбоме на компьютере было 300 фотографий.

Проверим наше решение:
1. Общее количество фотографий: $300 + 150 = 450$. (Верно)
2. Количество фотографий друзей на компьютере: $\frac{2}{5} \times 300 = 2 \times 60 = 120$.
3. Количество фотографий друзей на телефоне: $0,8 \times 150 = 120$.
Количество фотографий друзей в обоих альбомах одинаково, что соответствует условию задачи.

Ответ: в альбоме на компьютере было 300 фотографий, а в альбоме на телефоне — 150 фотографий.

6.122. За первый месяц было построено 724 всей дороги от туристической базы до шоссе, за второй месяц – 38 всей дороги, а за третий месяц – остальные 1313 км. Какой длины построенная дорога?

6.122

Пусть х км – вся дорога, тогда $\frac{7}{24} х$ км – построили в первый месяц, $\frac{3}{8} х$ км – построили во второй месяц, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} \frac{7}{24}х + {\frac{3}{8} }^{\overline{)·3}}х + 13\frac{1}{3} = х; \\ \frac{7}{24}х + \frac{9}{24} х + 13\frac{1}{3} = х; \\ \frac{7}{24}х + \frac{9}{24} х - х = - 13\frac{1}{3}; \\ \frac{16}{24}х - х = - 13\frac{1}{3}; \\ - \frac{8}{24} х = - \frac{40}{3}; \\ х = - \frac{40}{3} : \left(-\frac{8}{24}\right); \\ х = \frac{{\displaystyle \stackrel{5}{\bcancel{40}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{3}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{8}{\cancel{24}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{8}}}}; \\ х = \frac{5}{1} · \frac{8}{1}; \end{gathered}$$

х = 40 (км) – весь путь.

Ответ: 40 км.

Для того чтобы найти общую длину дороги, сначала определим, какая часть дороги была построена за первые два месяца, затем найдем, какая часть осталась на третий месяц. Зная длину оставшегося участка, мы сможем вычислить общую длину всей дороги.

1. Найдем, какая часть дороги была построена за первые два месяца.
Для этого необходимо сложить доли дороги, построенные за первый и второй месяцы. Приведем дроби к общему знаменателю 24.
$ \frac{7}{24} + \frac{3}{8} = \frac{7}{24} + \frac{3 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{7}{24} + \frac{9}{24} = \frac{7+9}{24} = \frac{16}{24} $
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 8:
$ \frac{16}{24} = \frac{2}{3} $
Таким образом, за первые два месяца было построено $ \frac{2}{3} $ всей дороги.

2. Найдем, какая часть дороги была построена за третий месяц.
Всю дорогу примем за 1. Чтобы найти долю дороги, построенную в третий месяц, вычтем из единицы часть, построенную за первые два месяца:
$ 1 - \frac{2}{3} = \frac{3}{3} - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} $
Итак, за третий месяц была построена $ \frac{1}{3} $ всей дороги.

3. Найдем общую длину дороги.
Из условия задачи мы знаем, что за третий месяц построили $ 13\frac{1}{3} $ км, и это составляет $ \frac{1}{3} $ от общей длины дороги. Чтобы найти целое по его части, нужно значение этой части разделить на дробь, которую она составляет.
Сначала переведем смешанное число в неправильную дробь:
$ 13\frac{1}{3} = \frac{13 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{40}{3} $
Теперь найдем общую длину дороги, разделив длину участка на его долю:
$ \frac{40}{3} \div \frac{1}{3} = \frac{40}{3} \cdot \frac{3}{1} = 40 $ км.

Ответ: общая длина построенной дороги составляет 40 км.