Страница 121, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

3.1. Составьте отношения чисел: 113 к 5; 21 к 30; 11,3 к 12; 6,78 к 0,3; 525 к 7,4; 0,55 к 0,77. Какие из них равны?

3.1

$113 : 5 = \frac{113}{5} = 22,6;$

$21 : 30 =\frac{ {\displaystyle \stackrel{7}{\cancel{21}}}}{{\displaystyle \underset{10}{\cancel{30}}}} = \frac{7}{10}= 0,7;$

$11,3 : \frac{1}{2} = \frac{11,3}{{\displaystyle \frac{1}{2}} }=11,3 · 2 = 22,6;$

$6,78 : 0,3 = \frac{6,78}{0,3} = \frac{67,8}{3} = 22,6;$

$113 : 5 = 11,3 : \frac{1}{2} = 11,3 · 2 = 22,6$

113 к 5

Отношение числа 113 к числу 5 — это результат деления 113 на 5. Запишем это в виде дроби и вычислим:

$\frac{113}{5} = 22,6$

Ответ: 22,6

21 к 30

Отношение числа 21 к числу 30 запишем в виде дроби $\frac{21}{30}$. Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 3:

$\frac{21}{30} = \frac{21:3}{30:3} = \frac{7}{10} = 0,7$

Ответ: 0,7

11,3 к $\frac{1}{2}$

Для нахождения отношения представим дробь $\frac{1}{2}$ в виде десятичной дроби $0,5$. Теперь разделим 11,3 на 0,5:

$11,3 : 0,5 = \frac{11,3}{0,5} = \frac{113}{5} = 22,6$

Ответ: 22,6

6,78 к 0,3

Найдем отношение делением $6,78$ на $0,3$. Чтобы избавиться от десятичной дроби в делителе, умножим оба числа на 10:

$6,78 : 0,3 = 67,8 : 3 = 22,6$

Ответ: 22,6

$5\frac{2}{5}$ к 7,4

Сначала преобразуем смешанное число $5\frac{2}{5}$ в десятичную дробь: $5\frac{2}{5} = 5 + \frac{2}{5} = 5 + 0,4 = 5,4$.

Теперь найдем отношение $5,4$ к $7,4$, записав его в виде дроби и сократив ее:

$\frac{5,4}{7,4} = \frac{54}{74} = \frac{27 \cdot 2}{37 \cdot 2} = \frac{27}{37}$

Ответ: $\frac{27}{37}$

0,55 к 0,77

Запишем отношение в виде дроби $\frac{0,55}{0,77}$ и сократим ее, разделив числитель и знаменатель на 0,11:

$\frac{0,55}{0,77} = \frac{55}{77} = \frac{5 \cdot 11}{7 \cdot 11} = \frac{5}{7}$

Ответ: $\frac{5}{7}$

Чтобы определить, какие из отношений равны, сравним полученные результаты: $22,6$; $0,7$; $22,6$; $22,6$; $\frac{27}{37}$; $\frac{5}{7}$.

Очевидно, что равны те отношения, значения которых равны $22,6$.

Ответ: Равны отношения 113 к 5, 11,3 к $\frac{1}{2}$ и 6,78 к 0,3.

3.2. Замените отношение дробных чисел равным ему отношением целых чисел:

а) 0,5 : 2,5; б) 6417 : 1917; в) 1,65 : 6512.

3.2

$\mathit{а}\mathbf{)} 0,5 : 2,5 = 5 : 25 = \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{5}}}}{{\displaystyle \underset{5}{\cancel{25}}}} = \frac{1}{5} = 1 : 5;$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} 6\frac{4}{17} : \frac{19}{17} = \frac{106}{17} : \frac{19}{17} = \\ = \frac{106}{\cancel{17}} · \frac{\cancel{17}}{19}=\frac{106}{19} = 106 : 19; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }1,65 : 6\frac{5}{12} = 1\frac{65}{100} : \frac{77}{12} = \\ = \frac{{\displaystyle \stackrel{33}{\cancel{165}}}}{{\displaystyle \underset{20}{\cancel{100}}}} · \frac{12}{77} = \frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{33}}}}{{\displaystyle \underset{5}{\bcancel{20}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\bcancel{12}}}}{{\displaystyle \underset{7}{\cancel{77}}}} = \frac{3 · 3}{5 · 7} = \frac{9}{35}= \\ = 9 : 35. \end{gathered}$$

а) Чтобы заменить отношение дробных чисел $0,5 : 2,5$ равным ему отношением целых чисел, необходимо избавиться от запятой в десятичных дробях. Для этого умножим оба члена отношения на 10, так как у каждого числа один знак после запятой. Умножение обеих частей отношения на одно и то же число не меняет само отношение.

$0,5 \cdot 10 : 2,5 \cdot 10 = 5 : 25$

Полученное отношение $5 : 25$ можно сократить. Найдем наибольший общий делитель (НОД) чисел 5 и 25. НОД(5, 25) = 5. Разделим обе части отношения на 5:

$5 \div 5 : 25 \div 5 = 1 : 5$

Ответ: $1 : 5$.

б) В отношении $6\frac{4}{17} : \frac{19}{17}$ сначала преобразуем смешанное число $6\frac{4}{17}$ в неправильную дробь.

$6\frac{4}{17} = \frac{6 \cdot 17 + 4}{17} = \frac{102 + 4}{17} = \frac{106}{17}$

Теперь отношение выглядит так: $\frac{106}{17} : \frac{19}{17}$.

Оба члена отношения имеют одинаковый знаменатель 17. Чтобы получить отношение целых чисел, умножим обе части на этот знаменатель:

$\frac{106}{17} \cdot 17 : \frac{19}{17} \cdot 17 = 106 : 19$

Число 19 является простым. Проверим, делится ли 106 на 19 без остатка: $106 \div 19 \approx 5,58$. Деление не является целочисленным, значит, отношение $106 : 19$ является несократимым.

Ответ: $106 : 19$.

в) В отношении $1,65 : 6\frac{5}{12}$ представлены числа разных типов: десятичная дробь и смешанное число. Чтобы с ними работать, приведем их к одному виду — к обыкновенным дробям.

Преобразуем $1,65$ в обыкновенную дробь и сократим ее:

$1,65 = 1\frac{65}{100} = 1\frac{13}{20} = \frac{1 \cdot 20 + 13}{20} = \frac{33}{20}$

Преобразуем $6\frac{5}{12}$ в неправильную дробь:

$6\frac{5}{12} = \frac{6 \cdot 12 + 5}{12} = \frac{72 + 5}{12} = \frac{77}{12}$

Теперь отношение имеет вид: $\frac{33}{20} : \frac{77}{12}$.

Чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части отношения на наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 20 и 12. НОК(20, 12) = 60.

$\frac{33}{20} \cdot 60 : \frac{77}{12} \cdot 60$

$(33 \cdot 3) : (77 \cdot 5)$

$99 : 385$

Теперь сократим полученное отношение. Найдем НОД(99, 385). Разложив на множители ($99 = 9 \cdot 11$, $385 = 5 \cdot 7 \cdot 11$), видим, что НОД = 11.

$99 \div 11 : 385 \div 11 = 9 : 35$

Ответ: $9 : 35$.

3.3. Тесто разделили на две части: для пирожков с капустой 890 г и для пирожков с мясом 980 г. Какую часть теста взяли для пирожков с капустой? Какую часть теста взяли для пирожков с мясом? Какую часть тесто для пирожков с капустой составляет от теста для пирожков с мясом?

3.3

Пирожки с капустой – 890г;

Пирожки с мясом – 980 г.

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }890 + 980 = 1870$ (г) – общая масса теста;

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }890 : 1870 = \frac{890}{1870} = \frac{89}{187}$ – взяли для пирожков с капустой;

$\mathbf{3}\mathbf{)} 980 : 1870 = \frac{980}{1870} = \frac{98}{187}$ – взяли для пирожков с мясом;

$\mathbf{4}\mathbf{)}\mathbf{ }890 : 980 = \frac{890}{980} = \frac{89}{98}$ – часть составляют тесто для пирожков с капустой от теста для пирожков с мясом.

Ответ: $\frac{89}{187}; \frac{98}{187}; \frac{89}{98}.$

Для решения задачи сначала найдем общую массу теста. Для этого нужно сложить массу теста, предназначенного для пирожков с капустой, и массу теста для пирожков с мясом.

1. Найдем общую массу теста:

$890 \text{ г} + 980 \text{ г} = 1870 \text{ г}$

Теперь мы можем ответить на все вопросы задачи.

Какую часть теста взяли для пирожков с капустой?

Чтобы определить, какую часть от всего теста составляет тесто для пирожков с капустой, необходимо массу этого теста разделить на общую массу всего теста. Получим дробь:

$\frac{890}{1870}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 10:

$\frac{890}{1870} = \frac{89}{187}$

Поскольку число 89 является простым, а 187 не делится на 89, дальнейшее сокращение дроби невозможно.

Ответ: $\frac{89}{187}$

Какую часть теста взяли для пирожков с мясом?

Аналогично, чтобы определить, какую часть от всего теста составляет тесто для пирожков с мясом, нужно массу этого теста разделить на общую массу всего теста:

$\frac{980}{1870}$

Сократим дробь на 10:

$\frac{980}{1870} = \frac{98}{187}$

Эта дробь также является несократимой, так как у числителя (98) и знаменателя (187) нет общих делителей, кроме 1.

Ответ: $\frac{98}{187}$

Какую часть тесто для пирожков с капустой составляет от теста для пирожков с мясом?

Чтобы найти, какую часть одно количество составляет от другого, нужно первое количество разделить на второе. В данном случае разделим массу теста для пирожков с капустой на массу теста для пирожков с мясом:

$\frac{890}{980}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 10:

$\frac{890}{980} = \frac{89}{98}$

Так как 89 — простое число, а 98 на 89 не делится, эта дробь несократимая.

Ответ: $\frac{89}{98}$

3.4. На отрезке АВ отмечена точка D, так что AD = 11 см и BD = 55 см. Какую часть отрезка АВ составляет отрезок BD? Какую часть отрезка АВ составляет отрезок AD?

3.4

AD = 11 см

BD = 55 см

AD + BD = AB

$\frac{BD}{AB} - ?: \frac{AD}{AB} - ?$

$\mathbf{1}\mathbf{)} 11+55=66$(см)-длина AB;

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{BD}{AB} = \frac{55}{66} = \frac{5}{6}$(части)-составляет BD от AB;

$\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{AD}{AB}= \frac{11}{66} = \frac{1}{6}$ (часть)-составляет AD от AB;

Ответ: $\frac{5}{6}; \frac{1}{6}.$

Для решения задачи сначала найдем общую длину отрезка AB. Поскольку точка D отмечена на отрезке AB, его полная длина является суммой длин его частей, AD и BD.
Вычислим длину AB:
$AB = AD + BD = 11 \text{ см} + 55 \text{ см} = 66 \text{ см}$.

Какую часть отрезка AB составляет отрезок BD?
Чтобы определить, какую часть отрезок BD составляет от отрезка AB, нужно найти отношение длины отрезка BD к длине отрезка AB.
Это отношение выражается дробью:
$\frac{BD}{AB} = \frac{55}{66}$
Для упрощения дроби найдем наибольший общий делитель числителя и знаменателя. Оба числа, 55 и 66, делятся на 11. Сократим дробь:
$\frac{55 \div 11}{66 \div 11} = \frac{5}{6}$
Таким образом, отрезок BD составляет $\frac{5}{6}$ отрезка AB.
Ответ: $\frac{5}{6}$.

Какую часть отрезка AB составляет отрезок AD?
Аналогично, чтобы определить, какую часть отрезок AD составляет от отрезка AB, найдем отношение длины отрезка AD к длине отрезка AB.
Запишем это отношение в виде дроби:
$\frac{AD}{AB} = \frac{11}{66}$
Сократим полученную дробь. Оба числа, 11 и 66, делятся на 11.
$\frac{11 \div 11}{66 \div 11} = \frac{1}{6}$
Следовательно, отрезок AD составляет $\frac{1}{6}$ отрезка AB.
Ответ: $\frac{1}{6}$.

3.5. Ширина прямоугольника равна 12,4 см. Найдите отношение ширины к длине прямоугольника, если его площадь равна 17,98 см². Запишите отношение, обратное полученному отношению. Что показывают эти отношения?

3.5

Ширина – 12,4 см;

S – 17,98 см²;

Длина - ? см.

$\frac{\mathrm{Ширина}}{\mathrm{Длина}} - ?$

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }17,98 : 12,4 = 179,8 : 124 = 1,45$(см) – длина прямоугольника;

$\mathbf{2}\mathbf{)} 12,4 : 1,45 = 1240 : 145 = \frac{{\displaystyle \stackrel{248}{\cancel{1240}}}}{{\displaystyle \underset{29}{\cancel{145}}}} = \frac{248}{29}$– отношение ширины прямоугольника к его длине.

Ответ: $\frac{248}{29}; \frac{29}{248}$- обратное отношение, оно показывает отношение длины прямоугольника к его ширине.

Для решения задачи нам даны ширина прямоугольника $w = 12,4$ см и его площадь $S = 17,98$ см². Площадь прямоугольника вычисляется по формуле $S = w \cdot l$, где $l$ — это длина.

Сначала необходимо найти длину прямоугольника. Выразим её из формулы площади:

$l = \frac{S}{w} = \frac{17,98}{12,4} = 1,45$ см.

Найдите отношение ширины к длине прямоугольника

Отношение ширины к длине представляет собой частное от деления значения ширины на значение длины, то есть $\frac{w}{l}$.

Подставим известные значения:

$\frac{w}{l} = \frac{12,4}{1,45}$

Для упрощения этого выражения избавимся от десятичных дробей, умножив числитель и знаменатель на 100:

$\frac{12,4 \cdot 100}{1,45 \cdot 100} = \frac{1240}{145}$

Теперь сократим полученную дробь. Оба числа, 1240 и 145, делятся на 5:

$\frac{1240 \div 5}{145 \div 5} = \frac{248}{29}$

Так как число 29 является простым, а 248 не делится на 29 без остатка, данная дробь является несократимой.

Ответ: Отношение ширины к длине равно $\frac{248}{29}$.

Запишите отношение, обратное полученному отношению

Отношение, обратное полученному, — это отношение длины к ширине, то есть $\frac{l}{w}$. Оно равно обратной дроби к той, что мы нашли в предыдущем пункте.

$\frac{l}{w} = \frac{1,45}{12,4} = \frac{145}{1240} = \frac{29}{248}$

Ответ: Отношение, обратное полученному, равно $\frac{29}{248}$.

Что показывают эти отношения?

Каждое из этих отношений имеет свой физический смысл:

1. Первое отношение, $\frac{w}{l} = \frac{248}{29}$, показывает, во сколько раз ширина прямоугольника больше его длины. Если перевести в десятичную дробь, получим $\frac{248}{29} \approx 8,55$, то есть ширина примерно в 8,55 раз больше длины.

2. Второе (обратное) отношение, $\frac{l}{w} = \frac{29}{248}$, показывает, какую часть длина составляет от ширины. В виде десятичной дроби это примерно $0,117$, то есть длина составляет приблизительно 0,117 от ширины.

Ответ: Отношение ширины к длине показывает, во сколько раз ширина больше длины. Обратное ему отношение (длины к ширине) показывает, какую долю от ширины составляет длина.

3.6. Начертите прямоугольники, отношение сторон которых равно: а) 2 : 1; б) 1 : 1; в) 2 : 3. Как называется прямоугольник в случае б)?

3.6

а) 1 : 2

б) 1 : 1 – стороны равны, значит это квадрат

в) 2 : 3

а) Для того чтобы начертить прямоугольник, у которого отношение сторон равно $2:1$, нужно, чтобы одна его сторона была в два раза длиннее другой. Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$. Тогда их отношение можно записать как $\frac{a}{b} = \frac{2}{1}$. Это значит, что $a = 2b$. Например, можно выбрать длину одной стороны равной 3 см, тогда вторая сторона должна быть $3 \times 2 = 6$ см. Таким образом, получится прямоугольник со сторонами 3 см и 6 см.
Ответ: Чтобы начертить такой прямоугольник, нужно выбрать любую длину для одной стороны (например, 4 см) и сделать другую сторону в два раза длиннее (в данном примере 8 см).

б) Отношение сторон $1:1$ означает, что стороны прямоугольника равны друг другу. Пусть стороны равны $a$ и $b$, тогда их отношение $\frac{a}{b} = \frac{1}{1}$, откуда следует, что $a=b$. Такой прямоугольник является частным случаем и имеет специальное название.
Отвечая на вопрос "Как называется прямоугольник в случае б)?", можно сказать, что это квадрат.
Чтобы начертить квадрат, нужно выбрать любую длину и сделать обе смежные стороны равными этой длине. Например, можно начертить прямоугольник со сторонами 5 см и 5 см.
Ответ: Прямоугольник с отношением сторон $1:1$ называется квадратом. Для его построения нужно начертить прямоугольник с равными по длине сторонами (например, 7 см и 7 см).

в) Отношение сторон $2:3$ означает, что длины сторон пропорциональны числам 2 и 3. Пусть стороны равны $a$ и $b$, тогда $\frac{a}{b} = \frac{2}{3}$. Чтобы начертить такой прямоугольник, можно выбрать некоторую единицу длины $x$ и сделать одну сторону равной $2x$, а другую — $3x$. Например, если выбрать $x=2$ см, то стороны прямоугольника будут $a = 2 \times 2 = 4$ см и $b = 3 \times 2 = 6$ см. Если взять $x=1$ см, то стороны будут 2 см и 3 см.
Ответ: Чтобы начертить такой прямоугольник, нужно выбрать стороны, длины которых относятся как 2 к 3. Например, можно взять стороны длиной 2 см и 3 см, или 4 см и 6 см, или 6 см и 9 см.

3.7. В каком отношении в сплаве взяты олово и сурьма, если сплав содержит 3,76 кг олова и 0,8 кг сурьмы? Какую часть сплава (по массе) составляет олово и какую часть — сурьма?

3.7

Олово – 3,76 кг;

Сурьма – 0,8 кг.

$\frac{\mathrm{Олово}}{\mathrm{Сурьма}} - ?, \frac{\mathrm{Олово}}{\mathrm{Сплав}} - ?; \frac{\mathrm{Сюрьма}}{\mathrm{Сплав}} - ?.$

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }3,76 : 0,8 = 376 : 80 = \frac{{\displaystyle \stackrel{47}{\cancel{376}}}}{{\displaystyle \underset{10}{\cancel{80}}}} = \frac{47}{10}$ – соотношение олова и сурьмы;

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }3,76 + 0,8 = 4,56$(кг) – общая масса сплава;

$\mathbf{3}\mathbf{)} 3,76 : 4,56 = 376 : 456 = \frac{{\displaystyle \stackrel{47}{\cancel{376}}}}{{\displaystyle \underset{57}{\cancel{456}}}} = \frac{47}{57}$массы сплава – составляет олово;

$\mathbf{4}\mathbf{)}\mathbf{ }0,8 : 4,56 = 80 : 456 = \frac{{\displaystyle \stackrel{10}{\cancel{80}}}}{{\displaystyle \underset{57}{\cancel{456}}}} = \frac{10}{57}$ массы сплава – составляет сурьма;

Ответ: $\frac{47}{10}; \frac{47}{57}; \frac{10}{57}.$

В каком отношении в сплаве взяты олово и сурьма?

Для того чтобы найти отношение, в котором взяты олово и сурьма, необходимо найти отношение их масс.

Масса олова ($m_{олова}$) в сплаве составляет $3,76$ кг.

Масса сурьмы ($m_{сурьмы}$) в сплаве составляет $0,8$ кг.

Найдем отношение массы олова к массе сурьмы:

$$ \frac{m_{олова}}{m_{сурьмы}} = \frac{3,76}{0,8} $$

Чтобы упростить это отношение и работать с целыми числами, умножим числитель и знаменатель на 100:

$$ \frac{3,76 \times 100}{0,8 \times 100} = \frac{376}{80} $$

Теперь сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для 376 и 80 равен 8. Разделим числитель и знаменатель на 8:

$$ \frac{376 \div 8}{80 \div 8} = \frac{47}{10} $$

Следовательно, отношение массы олова к массе сурьмы составляет $47$ к $10$.

Ответ: Олово и сурьма в сплаве взяты в отношении $47:10$.

Какую часть сплава (по массе) составляет олово и какую часть — сурьма?

1. Сначала определим общую массу сплава ($m_{сплава}$), сложив массы его компонентов:

$$ m_{сплава} = m_{олова} + m_{сурьмы} = 3,76 \text{ кг} + 0,8 \text{ кг} = 4,56 \text{ кг} $$

2. Далее найдем, какую часть от общей массы сплава составляет олово. Для этого разделим массу олова на общую массу сплава:

$$ \text{Часть олова} = \frac{m_{олова}}{m_{сплава}} = \frac{3,76}{4,56} $$

Упростим полученную дробь, умножив числитель и знаменатель на 100 и затем сократив на наибольший общий делитель, который равен 8:

$$ \frac{376}{456} = \frac{376 \div 8}{456 \div 8} = \frac{47}{57} $$

3. Аналогично найдем, какую часть от общей массы сплава составляет сурьма:

$$ \text{Часть сурьмы} = \frac{m_{сурьмы}}{m_{сплава}} = \frac{0,8}{4,56} $$

Упростим эту дробь:

$$ \frac{0,8}{4,56} = \frac{0,8 \times 100}{4,56 \times 100} = \frac{80}{456} = \frac{80 \div 8}{456 \div 8} = \frac{10}{57} $$

Можно проверить результат, сложив обе части: $\frac{47}{57} + \frac{10}{57} = \frac{57}{57} = 1$, что соответствует целому сплаву.

Ответ: Олово составляет $\frac{47}{57}$ часть сплава, а сурьма составляет $\frac{10}{57}$ часть сплава.

3.8. Урок истории длился 45 мин, из них 25 мин ушло на просмотр документального фильма. Какую часть урока занял просмотр фильма?

3.8

Урок – 45 мин;

Просмотр фильма – 25 мин;

$\frac{\mathrm{Фильм}}{\mathrm{Урок}} - ?$

$25 : 45 = \frac{25}{45} = \frac{5}{9}$урока – занял просмотр фильма.

Ответ: $\frac{5}{9}$ урока.

Для того чтобы найти, какую часть урока занял просмотр фильма, необходимо составить дробь. В числителе этой дроби будет время, потраченное на просмотр фильма, а в знаменателе — общая продолжительность урока.

1. Общая продолжительность урока (целое) — 45 минут.

2. Время, ушедшее на просмотр фильма (часть от целого) — 25 минут.

3. Составим дробь, показывающую отношение времени просмотра фильма ко времени всего урока:
$ \frac{25}{45} $

4. Чтобы получить окончательный ответ, данную дробь необходимо сократить. Для этого найдем наибольший общий делитель (НОД) для числителя (25) и знаменателя (45).
Оба числа делятся без остатка на 5.

5. Разделим числитель и знаменатель дроби на их наибольший общий делитель:
$ \frac{25 \div 5}{45 \div 5} = \frac{5}{9} $

Таким образом, просмотр документального фильма занял $ \frac{5}{9} $ часть всего урока.

Ответ: $ \frac{5}{9} $.

3.9. На клумбе 42 тюльпана. Из них 24 красных, а остальные — белые. Какую часть тюльпанов составляют белые тюльпаны, а какую — красные? Чему равно отношение числа красных тюльпанов к числу белых тюльпанов и что оно показывает?

3.9

Тюльпанов – 42 шт;

Красных – 24;

Белые - ? шт;

$\frac{\mathrm{Белые}}{\mathrm{Все}} - ?; \frac{\mathrm{Красные}}{\mathrm{Все}} - ?; \frac{\mathrm{Красные}}{\mathrm{Белые}} - ?.$

$\mathbf{1}\mathbf{)} 42 – 24 = 18$(т) – белые тюльпаны;

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }18 : 42 = \frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{18}}}}{{\displaystyle \underset{7}{\cancel{42}}}} = \frac{3}{7}$ всех тюльпанов – составляют белые;

$\mathbf{3}\mathbf{)} 24 : 42 = \frac{{\displaystyle \stackrel{4}{\cancel{24}}}}{{\displaystyle \underset{7}{\cancel{42}}}} = \frac{4}{7}$ всех тюльпанов – составляют красные;

$\mathbf{4}\mathbf{)}\mathbf{ }24 : 18 =\underset{3}{\frac{{\displaystyle \stackrel{4}{\cancel{24}}}}{\cancel{18}}} = \frac{4}{3}$ – отношение количества красных тюльпанов к числу белых тюльпанов, оно показывает, во сколько раз больше красных тюльпанов

Ответ: $\frac{3}{7}; \frac{4}{7}; \frac{4}{3}.$

Для начала найдем количество белых тюльпанов. Всего на клумбе 42 тюльпана, из них 24 красных.
Количество белых тюльпанов = Общее количество тюльпанов - Количество красных тюльпанов.
$42 - 24 = 18$ (белых тюльпанов).

Какую часть тюльпанов составляют белые тюльпаны?

Чтобы определить, какую часть от общего числа составляют белые тюльпаны, нужно их количество разделить на общее количество тюльпанов.
Часть белых тюльпанов = $\frac{ \text{Количество белых тюльпанов} }{ \text{Общее количество тюльпанов} } = \frac{18}{42}$
Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для чисел 18 и 42 равен 6.
$\frac{18 : 6}{42 : 6} = \frac{3}{7}$

Ответ: белые тюльпаны составляют $\frac{3}{7}$ от всех тюльпанов.

а какую — красные?

Аналогично, чтобы определить, какую часть составляют красные тюльпаны, нужно их количество разделить на общее количество тюльпанов.
Часть красных тюльпанов = $\frac{ \text{Количество красных тюльпанов} }{ \text{Общее количество тюльпанов} } = \frac{24}{42}$
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 6.
$\frac{24 : 6}{42 : 6} = \frac{4}{7}$

Ответ: красные тюльпаны составляют $\frac{4}{7}$ от всех тюльпанов.

Чему равно отношение числа красных тюльпанов к числу белых тюльпанов и что оно показывает?

Отношение числа красных тюльпанов к числу белых тюльпанов находится делением количества красных тюльпанов на количество белых.
Отношение = $\frac{ \text{Количество красных тюльпанов} }{ \text{Количество белых тюльпанов} } = \frac{24}{18}$
Сократим полученную дробь на 6:
$\frac{24 : 6}{18 : 6} = \frac{4}{3}$
Это отношение можно записать как $4:3$. Оно показывает, что на каждые 4 красных тюльпана приходится 3 белых тюльпана. Также оно показывает, во сколько раз количество красных тюльпанов больше, чем количество белых: в $\frac{4}{3}$ раза, или в $1\frac{1}{3}$ раза.

Ответ: отношение равно $\frac{4}{3}$ (или $4:3$). Оно показывает, что на каждые 4 красных тюльпана приходится 3 белых, или что красных тюльпанов в $1\frac{1}{3}$ раза больше, чем белых.

3.10. Две проходческие бригады строили тоннель, двигаясь навстречу друг другу. Первая бригада построила 59 всего тоннеля, а вторая — остальную часть. Во сколько раз часть тоннеля, построенная первой бригадой, больше части, построенной второй бригадой?

3.10

1 бригада - $\frac{5}{9}$;

2 бригада - ?.

Во сколько раз 1 бригада > 2 бригады - ?.

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }1 - \frac{5}{9} = \frac{9}{9} - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}$(части)-построила вторая бригада;

$\mathbf{2}\mathbf{)} \frac{5}{9} : \frac{4}{9} = \frac{5}{\cancel{9}} · \frac{\cancel{9}}{4} = \frac{5}{4} ={ 1\frac{1}{4}}^{\overline{)·25}}=$

$= 1\frac{25}{100}=1,25$ (раз)-больше.

Ответ: в 1,25 раз больше.

Примем весь тоннель за $1$ (единицу).

По условию задачи, первая бригада построила $ \frac{5}{9} $ всего тоннеля. Чтобы найти, какую часть тоннеля построила вторая бригада, нужно из всего объёма работы вычесть часть, выполненную первой бригадой.

$1 - \frac{5}{9} = \frac{9}{9} - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}$

Следовательно, вторая бригада построила $ \frac{4}{9} $ всего тоннеля.

Теперь, чтобы узнать, во сколько раз часть тоннеля, построенная первой бригадой, больше части, построенной второй бригадой, нужно разделить долю первой бригады на долю второй бригады.

$\frac{5}{9} \div \frac{4}{9}$

Чтобы разделить одну обыкновенную дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:

$\frac{5}{9} \div \frac{4}{9} = \frac{5}{9} \times \frac{9}{4} = \frac{5 \times 9}{9 \times 4} = \frac{5}{4}$

Преобразуем неправильную дробь $ \frac{5}{4} $ в смешанное число:

$\frac{5}{4} = 1\frac{1}{4}$

Таким образом, часть тоннеля, построенная первой бригадой, в $1\frac{1}{4}$ раза больше части, построенной второй бригадой.

Ответ: в $1\frac{1}{4}$ раза.

3.11. Три токаря сделали несколько деталей. Первый сделал четверть всех деталей, второй — треть всех деталей, третий — оставшиеся. Во сколько раз третий токарь сделал больше деталей, чем первый? Какую часть составляют детали, сделанные вторым токарем, от деталей, сделанных третьим токарем?

3.11

1 токарь – $\frac{1}{4}$;

2 токарь – $\frac{1}{3}$;

3 токарь - ?.

Во сколько раз 3 токарь > 1 токарь - ?.

$\frac{2 \mathrm{токарь}}{3 \mathrm{токарь}} - ?$

$\mathbf{1}\mathbf{)} {\frac{1}{4}}^{\overline{)·3}} + {\frac{1}{3}}^{\overline{)·4}} = \frac{3}{12} + \frac{4}{12} = \frac{7}{12}$ (части)-первый и второй токари вместе;

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }1 - \frac{7}{12} = \frac{12}{12} - \frac{7}{12} = \frac{5}{12}$(части)-третий токарь;

$\mathbf{3}\mathbf{)} \frac{5}{12} : \frac{1}{4} = \frac{5}{{\displaystyle \underset{3}{\cancel{12}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{4}}}}{1} = \frac{5}{3} · \frac{1}{1} = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3}$ (раз)-больше 3 токарь;

$\mathbf{4}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{1}{3} : \frac{5}{12} = \frac{1}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{3}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{4}{\cancel{12}}}}{5} = \frac{1}{1} ·\frac{4}{5} = \frac{4}{5}$ (части)-составляют второго от третьего.

Ответ: в $1\frac{2}{3} \mathrm{раз}; \frac{4}{5}.$

Примем общее количество деталей, сделанных тремя токарями, за 1 (одну целую).

Доля первого токаря составляет $ \frac{1}{4} $ от всех деталей.

Доля второго токаря составляет $ \frac{1}{3} $ от всех деталей.

Сначала найдем, какую часть деталей сделали первый и второй токари вместе. Для этого сложим их доли, приведя дроби к общему знаменателю 12:

$ \frac{1}{4} + \frac{1}{3} = \frac{3}{12} + \frac{4}{12} = \frac{7}{12} $

Третий токарь сделал все оставшиеся детали. Чтобы найти его долю, нужно вычесть из общего количества (1) долю, сделанную первыми двумя токарями:

$ 1 - \frac{7}{12} = \frac{12}{12} - \frac{7}{12} = \frac{5}{12} $

Теперь, зная доли каждого токаря (первый — $ \frac{1}{4} $, второй — $ \frac{1}{3} $, третий — $ \frac{5}{12} $), можем ответить на вопросы задачи.

Во сколько раз третий токарь сделал больше деталей, чем первый?

Чтобы найти это, необходимо разделить долю деталей третьего токаря на долю деталей первого токаря:

$ \frac{5/12}{1/4} = \frac{5}{12} \div \frac{1}{4} = \frac{5}{12} \times \frac{4}{1} = \frac{20}{12} $

Сократим полученную дробь: $ \frac{20}{12} = \frac{5}{3} $. Можно также представить эту дробь в виде смешанного числа: $ 1 \frac{2}{3} $.

Ответ: Третий токарь сделал в $ \frac{5}{3} $ раза (или в $ 1 \frac{2}{3} $ раза) больше деталей, чем первый.

Какую часть составляют детали, сделанные вторым токарем, от деталей, сделанных третьим токарем?

Чтобы найти эту часть, необходимо разделить долю деталей второго токаря на долю деталей третьего токаря:

$ \frac{1/3}{5/12} = \frac{1}{3} \div \frac{5}{12} = \frac{1}{3} \times \frac{12}{5} = \frac{12}{15} $

Сократим полученную дробь: $ \frac{12}{15} = \frac{4}{5} $.

Ответ: Детали, сделанные вторым токарем, составляют $ \frac{4}{5} $ от деталей, сделанных третьим токарем.

5. Спелеологи обследовали пещеру, вход и выход в которую совпадают и находятся на склоне горы на высоте 200 м над уровнем моря. График движения группы показан на рисунке 6.40, где на оси у отмечена высота в метрах над уровнем моря, а на оси х − время в часах. Используя график (см. рис. 6.40), ответьте на вопросы.

а) В какое время спелеологи вышли со стоянки? На какой высоте была стоянка спелеологов?
б) Сколько времени спелеологи поднимались ко входу в пещеру?
в) До какой глубины они обследовали пещеру?
г) Как долго осуществлялся спуск в пещере до нулевой высоты?
д) Как долго находились спелеологи на максимальной глубине?
е) В какое время спелеологи начали движение с максимальной глубины?
ж) На каком участке скорость передвижения спелеологов была больше? Сколько времени заняло это передвижение?
з) На какие ещё вопросы можно ответить по этому графику?

5.

а) Спелеологи вышли со стоянки в 7 часов.
Стоянка была на высоте 25 м.

б) Спелеологи поднимались до входа в пещеру 1 час.

в) Обследовали пещеру до глубины 50 м.

г) Спуск в пещеру до нулевой высоты осуществлялся 3 ч 42 мин.

д) На максимальной глубине спелеологи находились 2 часа.

е) Спелеологи начали движение с максимальной глубины в 16 часов.

ж) Наибольшая скорость передвижения была на первом участке пути, при подъеме до высоты 200 м. Это передвижение длилось 1 час.

з) Сколько времени отдыхали спелеологи? Какова продолжительность путешествия? Сколько было остановок?

а) В какое время спелеологи вышли со стоянки? На какой высоте была стоянка спелеологов?

Для ответа на этот вопрос необходимо найти начальную точку графика. График движения начинается в точке с координатами $(7; 0)$. Ось x представляет время в часах, а ось y — высоту в метрах над уровнем моря. Таким образом, движение началось в 7 часов, а начальная высота была равна 0 метров.

Ответ: Спелеологи вышли со стоянки в 7:00. Стоянка была на высоте 0 метров над уровнем моря.

б) Сколько времени спелеологи поднимались ко входу в пещеру?

Согласно условию, вход в пещеру находится на высоте 200 м. На графике видно, что спелеологи начали подъем в 7:00 с высоты 0 м и достигли высоты 200 м в 8:00. Время, затраченное на подъем, равно разности между временем прибытия и временем начала подъема.

Время подъема = $8 \text{ ч} - 7 \text{ ч} = 1 \text{ час}$.

Ответ: Спелеологи поднимались ко входу в пещеру 1 час.

в) До какой глубины они обследовали пещеру?

Глубина обследования пещеры определяется как разница между высотой входа и самой низкой точкой, которой достигли спелеологи. Вход в пещеру находится на высоте 200 м. По графику, минимальная высота, на которую опустились спелеологи, составляет -50 м над уровнем моря (это самая низкая точка на графике).

Глубина обследования = Высота входа - Минимальная достигнутая высота = $200 \text{ м} - (-50 \text{ м}) = 200 \text{ м} + 50 \text{ м} = 250 \text{ м}$.

Ответ: Они обследовали пещеру до глубины 250 метров (относительно входа).

г) Как долго осуществлялся спуск в пещере до нулевой высоты?

Вопрос касается суммарного времени, которое группа провела, спускаясь вниз, с момента входа в пещеру (в 8:00 на высоте 200 м) до первого достижения нулевой высоты.

1. Первый спуск происходит с 8:00 (200 м) до 9:00 (50 м). Длительность этого спуска: $9 - 8 = 1$ час.
2. Затем с 11:00 (75 м) начинается второй спуск. Группа достигает нулевой высоты (y=0) на отрезке между 11:00 и 12:00. Чтобы найти точное время, составим уравнение прямой для этого отрезка, проходящей через точки $(11; 75)$ и $(12; -25)$. Скорость спуска на этом участке: $v = \frac{-25 - 75}{12 - 11} = -100 \text{ м/ч}$. Время $t$ для достижения высоты $y=0$ от точки $(11; 75)$ можно найти так: $t = \frac{0 - 75}{-100} = 0.75$ часа. Таким образом, нулевая высота достигнута в $11 + 0.75 = 11.75$ часа. Длительность второго спуска до нулевой отметки составляет 0.75 часа.

Общее время, затраченное на спуски: $1 \text{ час} + 0.75 \text{ часа} = 1.75 \text{ часа}$.

Ответ: Спуск в пещере до нулевой высоты (суммарное время движения вниз) осуществлялся 1.75 часа, или 1 час 45 минут.

д) Как долго находились спелеологи на максимальной глубине?

Максимальная глубина соответствует минимальной высоте на графике, которая равна -50 м. На графике видно, что спелеологи достигли этой высоты в 13:00 и оставались на ней до 15:00. Этот участок на графике представляет собой горизонтальную линию.

Продолжительность пребывания = $15 \text{ ч} - 13 \text{ ч} = 2 \text{ часа}$.

Ответ: На максимальной глубине спелеологи находились 2 часа.

е) В какое время спелеологи начали движение с максимальной глубины?

Спелеологи находились на максимальной глубине (-50 м) с 13:00 до 15:00. Движение вверх с этой точки началось в тот момент, когда закончился период покоя.

Ответ: Спелеологи начали движение с максимальной глубины в 15:00.

ж) На каком участке скорость передвижения спелеологов была больше? Сколько времени заняло это передвижение?

Скорость передвижения (по вертикали) соответствует модулю тангенса угла наклона отрезка графика (крутизне склона). Нужно сравнить скорости на всех участках движения. Скорость $v$ вычисляется по формуле $v = |\frac{\Delta y}{\Delta t}|$, где $\Delta y$ — изменение высоты, а $\Delta t$ — изменение времени.

- с 7:00 до 8:00: $v_1 = |\frac{200 - 0}{8 - 7}| = 200 \text{ м/ч}$
- с 8:00 до 9:00: $v_2 = |\frac{50 - 200}{9 - 8}| = 150 \text{ м/ч}$
- с 10:00 до 11:00: $v_3 = |\frac{75 - 50}{11 - 10}| = 25 \text{ м/ч}$
- с 11:00 до 12:00: $v_4 = |\frac{-25 - 75}{12 - 11}| = 100 \text{ м/ч}$
- с 12:00 до 13:00: $v_5 = |\frac{-50 - (-25)}{13 - 12}| = 25 \text{ м/ч}$
- с 15:00 до 16:00: $v_6 = |\frac{-25 - (-50)}{16 - 15}| = 25 \text{ м/ч}$
- с 16:00 до 17:00: $v_7 = |\frac{50 - (-25)}{17 - 16}| = 75 \text{ м/ч}$
- с 18:00 до 19:00: $v_8 = |\frac{200 - 50}{19 - 18}| = 150 \text{ м/ч}$

Сравнивая полученные значения, видим, что максимальная скорость была 200 м/ч. Это произошло на участке подъема ко входу в пещеру с 7:00 до 8:00. Длительность этого передвижения составила 1 час.

Ответ: Скорость была больше на участке подъема к пещере (с 7:00 до 8:00). Это передвижение заняло 1 час.

з) На какие ещё вопросы можно ответить по этому графику?

По данному графику можно ответить на множество других вопросов, например:

1. Сколько всего времени группа находилась в состоянии покоя (на стоянках)?
Стоянки — это горизонтальные участки графика. - Первая стоянка: с 9:00 до 10:00 (1 час) на высоте 50 м. - Вторая стоянка: с 13:00 до 15:00 (2 часа) на высоте -50 м. - Третья стоянка: с 17:00 до 18:00 (1 час) на высоте 50 м. Общее время покоя: $1 + 2 + 1 = 4$ часа.

2. На какой высоте спелеологи находились в 16:30?
В 16:30 (t=16.5) группа находилась на участке подъема между точками (16; -25) и (17; 50). Уравнение прямой для этого отрезка: $y - (-25) = \frac{50 - (-25)}{17 - 16}(t - 16)$, что упрощается до $y + 25 = 75(t - 16)$. Подставим $t = 16.5$: $y + 25 = 75(16.5 - 16) = 75 \times 0.5 = 37.5$. $y = 37.5 - 25 = 12.5$ метров. В 16:30 спелеологи были на высоте 12.5 м над уровнем моря.

3. Когда спелеологи вышли из пещеры?
Вход и выход находятся на высоте 200 м. Группа вошла в пещеру в 8:00. На графике видно, что они снова достигли высоты 200 м в 19:00. Следовательно, они вышли из пещеры в 19:00.

Ответ: Примеры дополнительных вопросов: "Сколько всего времени группа находилась на стоянках?" (Ответ: 4 часа), "На какой высоте спелеологи находились в 16:30?" (Ответ: 12.5 м), "Когда спелеологи вышли из пещеры?" (Ответ: в 19:00).

6. Альпинисты планируют подъём в горы на высоту 5860 м. Через каждый километр подъёма термометр показывает примерно на 6 °C меньше. Постройте график зависимости температуры воздуха от высоты подъёма, если у подножия горы 14 °C.

6.

Для построения графика зависимости температуры от высоты подъёма необходимо выполнить несколько шагов: определить вид зависимости, найти ключевые точки и описать сам график.

1. Определение формулы зависимости

Пусть $h$ — это высота подъёма в километрах, а $T$ — это температура воздуха в градусах Цельсия.Зависимость температуры от высоты является линейной, так как по условию температура уменьшается на одну и ту же величину ($6 \ ^\circ\text{C}$) за каждый километр подъёма. Общий вид линейной функции: $T(h) = k \cdot h + b$.

Из условия известно, что у подножия горы, то есть при высоте $h = 0$ км, температура составляет $14 \ ^\circ\text{C}$. Подставим эти значения в формулу:

$T(0) = k \cdot 0 + b = 14$

Отсюда находим, что $b = 14$. Это начальная температура.

Также известно, что температура падает на $6 \ ^\circ\text{C}$ за каждый километр. Это означает, что угловой коэффициент (скорость изменения температуры) $k$ равен $-6$.

Таким образом, формула, описывающая зависимость температуры от высоты, имеет вид:

$T(h) = 14 - 6h$

2. Нахождение граничных точек для построения графика

График нужно построить для всего подъёма, от подножия до вершины. Высота подъёма меняется от 0 м до 5860 м.

Переведем максимальную высоту в километры:

$h_{max} = 5860 \text{ м} = 5.86 \text{ км}$

Теперь найдем температуру в двух крайних точках подъёма:

• У подножия горы:
  Высота $h_1 = 0$ км.
  Температура $T_1 = 14 \ ^\circ\text{C}$.
  Получаем первую точку для графика: $(0; 14)$.
• На вершине горы:
  Высота $h_2 = 5.86$ км.
  Температуру рассчитаем по нашей формуле:
  $T_2 = 14 - 6 \cdot 5.86 = 14 - 35.16 = -21.16 \ ^\circ\text{C}$.
  Получаем вторую точку для графика: $(5.86; -21.16)$.

3. Построение графика

Графиком зависимости является отрезок прямой линии. Для его построения необходимо:

1. Начертить систему координат, где по горизонтальной оси (оси абсцисс) откладывается высота $h$ в километрах, а по вертикальной оси (оси ординат) — температура $T$ в градусах Цельсия.
2. Выбрать удобный масштаб. Например, по оси $h$ от 0 до 6, по оси $T$ от -25 до 15.
3. Отметить на координатной плоскости две вычисленные точки: $(0; 14)$ и $(5.86; -21.16)$.
4. Соединить эти две точки прямым отрезком.

Этот отрезок и будет являться графиком зависимости температуры воздуха от высоты подъёма.

Ответ: Графиком зависимости является отрезок прямой, соединяющий точки $(0; 14)$ и $(5.86; -21.16)$ в системе координат, где по оси абсцисс отложена высота в км, а по оси ординат — температура в °C. Эта зависимость описывается формулой $T(h) = 14 - 6h$ для $h \in [0; 5.86]$.