Страница 124, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

3.30. На тренировке у Кати из 18 прыжков на льду не получились 3, а у Даши из 21 прыжка не получились 2. Найдите, какую часть составляют удачные прыжки от числа прыжков для каждой из девочек. Кто прыгает лучше: Катя или Даша?

3.30

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }18– 3 = 15$(п) – получилось у Кати;

$\mathbf{2}\mathbf{)} 21– 2 = 19$(п) – получилось у Даши;

$\mathbf{3}\mathbf{)} 15 : 18 = \frac{{\displaystyle \stackrel{5}{\cancel{15}}}}{{\displaystyle \underset{6}{\cancel{18}}}} = \frac{5}{6}$ – часть удачных прыжков у Кати;

$\mathbf{4}\mathbf{)}\mathbf{ }19 : 21 = \frac{19}{21}$ - часть удачных прыжков у Даши;

$$\begin{gathered} \frac{5}{6} = \frac{35}{42} \mathrm{и} \frac{19}{21} = \frac{38}{42}; \\ \frac{35}{42} = \frac{38}{42} \end{gathered}$$

Ответ: $\frac{5}{6}; \frac{19}{21};$лучше прыгает Даша.

Найдите, какую часть составляют удачные прыжки от числа прыжков для каждой из девочек.

Для того чтобы найти, какую часть составляют удачные прыжки, необходимо сначала вычислить их количество для каждой девочки, а затем разделить это количество на общее число прыжков.

Для Кати:

1. Найдем количество удачных прыжков. Всего было совершено 18 прыжков, из которых 3 оказались неудачными.

$18 - 3 = 15$ (удачных прыжков)

2. Теперь найдем, какую часть удачные прыжки составляют от общего числа прыжков. Для этого разделим количество удачных прыжков на общее количество.

$\frac{15}{18}$

3. Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 3.

$\frac{15}{18} = \frac{15 \div 3}{18 \div 3} = \frac{5}{6}$

Для Даши:

1. Найдем количество удачных прыжков. Всего был совершен 21 прыжок, из которых 2 оказались неудачными.

$21 - 2 = 19$ (удачных прыжков)

2. Найдем, какую часть удачные прыжки составляют от общего числа прыжков.

$\frac{19}{21}$

Эта дробь является несократимой, так как у чисел 19 и 21 нет общих делителей, кроме 1.

Ответ: у Кати удачные прыжки составляют $\frac{5}{6}$ от общего числа прыжков, а у Даши — $\frac{19}{21}$.

Кто прыгает лучше: Катя или Даша?

Чтобы определить, кто прыгает лучше, необходимо сравнить дроби, выражающие долю успешных прыжков каждой девочки: $\frac{5}{6}$ для Кати и $\frac{19}{21}$ для Даши.

Для сравнения дробей приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 6 и 21 — это 42.

Приведем дробь Кати к знаменателю 42:

$\frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 7}{6 \cdot 7} = \frac{35}{42}$

Приведем дробь Даши к знаменателю 42:

$\frac{19}{21} = \frac{19 \cdot 2}{21 \cdot 2} = \frac{38}{42}$

Теперь сравним полученные дроби: $\frac{35}{42}$ и $\frac{38}{42}$.

Поскольку $38 > 35$, то и $\frac{38}{42} > \frac{35}{42}$.

Следовательно, $\frac{19}{21} > \frac{5}{6}$.

Это означает, что доля удачных прыжков у Даши больше, чем у Кати.

Ответ: Даша прыгает лучше.

3.31. Володя и Денис соревновались в стрельбе в тире. Володя сделал 60 выстрелов и попал в мишень 42 раза, а Денис сделал 70 выстрелов и попал 56 раз. Кто стреляет лучше?

3.31

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }42 : 60 = \frac{{\displaystyle \stackrel{7}{\cancel{42}}}}{{\displaystyle \underset{10}{\cancel{60}}}} = \frac{7}{10}$– часть удачных выстрелов у Володи;

$\mathbf{2}\mathbf{)} 56 : 70 = \frac{{\displaystyle \stackrel{4}{\cancel{56}}}}{{\displaystyle \underset{5}{\cancel{70}}}} = \frac{4}{5}$ – часть удачных выстрелов у Дениса

$\frac{4}{5} = \frac{8}{10}; \frac{8}{10} >\frac{7}{10}.$

Ответ: лучше стреляет Денис.

Чтобы определить, кто стреляет лучше, необходимо сравнить их точность. Точность стрельбы — это отношение количества попаданий к общему количеству выстрелов. Мы можем выразить это отношение в виде дроби или процента.

Точность стрельбы Володи

Володя сделал 60 выстрелов и попал 42 раза. Его точность составляет $ \frac{42}{60} $. Чтобы упростить сравнение, сократим эту дробь. Наибольший общий делитель чисел 42 и 60 равен 6.

$ \frac{42}{60} = \frac{42 \div 6}{60 \div 6} = \frac{7}{10} $

В виде десятичной дроби точность Володи равна $ 0.7 $, что составляет 70%.

Точность стрельбы Дениса

Денис сделал 70 выстрелов и попал 56 раз. Его точность составляет $ \frac{56}{70} $. Сократим эту дробь. Наибольший общий делитель чисел 56 и 70 равен 7.

$ \frac{56}{70} = \frac{56 \div 7}{70 \div 7} = \frac{8}{10} $

В виде десятичной дроби точность Дениса равна $ 0.8 $, что составляет 80%.

Сравнение результатов и вывод

Теперь сравним точность стрельбы обоих участников:

Точность Володи: $ 0.7 $ (70%)

Точность Дениса: $ 0.8 $ (80%)

Поскольку $ 0.8 > 0.7 $ (или 80% > 70%), Денис имеет более высокий процент попаданий.

Ответ: Денис стреляет лучше.

3.32. Для того чтобы заквасить капусту, хозяйка взяла 0,7 кг моркови и 4,9 кг капусты. В каком отношении по массе были взяты морковь и капуста?

3.32

Моркови – 0,7 кг;

Капусты – 4,9 кг.

$0,7 : 4,9 = 7 : 49 = \frac{7}{49} = \frac{1}{7} = 1 : 7$– соотношение моркови и капусты.

Ответ: 1 : 7.

Для того чтобы найти, в каком отношении по массе были взяты морковь и капуста, необходимо составить отношение массы моркови к массе капусты.

Масса моркови составляет 0,7 кг.
Масса капусты составляет 4,9 кг.

Составим отношение этих масс в виде дроби: $$ \frac{0,7}{4,9} $$

Чтобы упростить это отношение, избавимся от десятичных дробей. Для этого умножим числитель и знаменатель на 10: $$ \frac{0,7 \cdot 10}{4,9 \cdot 10} = \frac{7}{49} $$

Теперь сократим полученную дробь. Оба числа, 7 и 49, делятся на 7: $$ \frac{7 \div 7}{49 \div 7} = \frac{1}{7} $$

Это означает, что на 1 часть моркови приходится 7 частей капусты. Данное отношение записывается как 1:7.

Ответ: морковь и капуста были взяты в отношении 1:7.

3.33. На пути от автовокзала до пункта назначения автобус сделал две остановки. Протяжённость участка дороги до первой остановки равна 32 км, от первой до второй остановки — 28 км, а от второй остановки до пункта назначения — 40 км. Какую часть пути занимает каждый участок?

3.33

1 участок – 32 км;

2 участок – 28 км;

3 участок – 40 км.

Какую часть составляет каждый участок - ?.

1) 32 + 28 + 40 = 100 (км) – весь путь;

2) 32 : 100 = 0,32 (части) – до первой остановки;

3) 28 : 100 = 0,28 (части) – от первой до второй остановки;

4) 40 : 100 = 0,4 (части) – от второй остановки до пункта назначения.

Ответ: 0,32; 0,28; 0,4.

Для того чтобы определить, какую часть всего пути занимает каждый участок, необходимо сначала найти общую протяженность маршрута.

Общий путь складывается из длин трех участков: от автовокзала до первой остановки (32 км), от первой до второй остановки (28 км) и от второй остановки до пункта назначения (40 км).

Найдем общую протяженность пути, сложив длины всех участков:
$S_{общ} = 32 + 28 + 40 = 100$ км.

Теперь, зная общую длину пути ($100$ км), рассчитаем долю каждого участка. Доля (часть) вычисляется как отношение длины участка к общей длине пути.

Участок от автовокзала до первой остановки.
Длина этого участка составляет 32 км. Чтобы найти, какую часть он составляет от всего пути, составим дробь и сократим ее:
$\frac{32}{100} = \frac{32 \div 4}{100 \div 4} = \frac{8}{25}$
Ответ: $\frac{8}{25}$

Участок от первой до второй остановки.
Длина этого участка равна 28 км. Рассчитаем его долю от общего пути:
$\frac{28}{100} = \frac{28 \div 4}{100 \div 4} = \frac{7}{25}$
Ответ: $\frac{7}{25}$

Участок от второй остановки до пункта назначения.
Длина этого участка — 40 км. Найдем его долю от общего пути:
$\frac{40}{100} = \frac{40 \div 20}{100 \div 20} = \frac{2}{5}$
Ответ: $\frac{2}{5}$

3.34. Для приготовления рассола при засолке огурцов на 1200 г воды взяли 40 г соли. Найдите процентное содержание соли в рассоле. Рассол получился крепким, поэтому добавили ещё 800 г воды. Каким стало процентное содержание соли в рассоле?

3.34

Воды – 1200 г; + 800 г.

Соли – 40 г.

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }40 : 1200 = \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{40}}}}{{\displaystyle \underset{30}{\cancel{1200}}}} = \frac{1}{30} ·100\% = 3\frac{1}{3}\%$ -соли в 1200 г;

$\mathbf{2}\mathbf{)} 1200+800=2000$(г)-воды станет;

$\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{ }40:2000= \frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\cancel{40}}}}{{\displaystyle \underset{100}{\cancel{2000}}}}=\frac{2}{\cancel{100}} · \cancel{100}\% = 2\%$ -соли в 2000 г

$\mathrm{Ответ}:3 \frac{1}{3}\%; 2\%.$

Задача состоит из двух частей. Решим их последовательно.

Найдите процентное содержание соли в рассоле.

1. Сначала найдем общую массу первоначального рассола. Рассол состоит из воды и соли, поэтому его масса равна сумме масс компонентов.

Масса воды = $1200$ г.

Масса соли = $40$ г.

Общая масса рассола = $1200 \text{ г} + 40 \text{ г} = 1240 \text{ г}$.

2. Теперь вычислим процентное содержание соли. Оно равно отношению массы соли к общей массе рассола, умноженному на $100\%$.

Формула для процентного содержания: $C = (\frac{m_{соли}}{m_{рассола}}) \times 100\%$

Подставим наши значения:

$C_{соли} = (\frac{40}{1240}) \times 100\% = \frac{4}{124} \times 100\% = \frac{1}{31} \times 100\% = \frac{100}{31}\%$

Для удобства представим результат в виде смешанной дроби:

$\frac{100}{31}\% = 3 \frac{7}{31}\%$

Ответ: процентное содержание соли в первоначальном рассоле составляет $3 \frac{7}{31}\%$.

Каким стало процентное содержание соли в рассоле?

1. Рассол разбавили, добавив еще $800$ г воды. Масса соли при этом не изменилась, а масса воды и общая масса рассола увеличились. Найдем новые значения.

Новая масса воды = $1200 \text{ г} + 800 \text{ г} = 2000 \text{ г}$.

Масса соли осталась прежней = $40$ г.

Новая общая масса рассола = $2000 \text{ г} + 40 \text{ г} = 2040 \text{ г}$.

2. Теперь рассчитаем новое процентное содержание соли, используя те же пропорции, но с новой общей массой.

$C_{новой\ соли} = (\frac{40}{2040}) \times 100\% = \frac{4}{204} \times 100\% = \frac{1}{51} \times 100\% = \frac{100}{51}\%$

Представим результат в виде смешанной дроби:

$\frac{100}{51}\% = 1 \frac{49}{51}\%$

Ответ: после добавления воды процентное содержание соли в рассоле стало $1 \frac{49}{51}\%$.

3.35. Школьники собрали за год 720 кг макулатуры, превысив прошлогодний рекорд на 100 кг. На сколько процентов больше собрано макулатуры в этом году?

3.35

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }720 – 100 = 620$(кг) – собрали в прошлом году;

$\mathbf{2}\mathbf{)} 100 : 620 = \frac{{\displaystyle \stackrel{5}{\cancel{100}}}}{{\displaystyle \underset{31}{\cancel{620}}}} = \frac{5}{31} · 100\% =$

$=\frac{500}{31} \% = 16\frac{4}{31}\%$ -больше 

Ответ: $\mathrm{на} 16\frac{4}{31}\%$

Для решения задачи необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти количество макулатуры, собранное в прошлом году.

По условию, в этом году школьники собрали 720 кг макулатуры, что на 100 кг больше, чем в прошлом году. Чтобы найти прошлогодний результат, нужно из результата этого года вычесть разницу:

$720 \text{ кг} - 100 \text{ кг} = 620 \text{ кг}$

Итак, в прошлом году было собрано 620 кг макулатуры. Это значение мы принимаем за 100%.

2. Рассчитать, на сколько процентов больше собрано макулатуры в этом году.

Нужно найти, какую долю от прошлогоднего сбора (620 кг) составляет прирост (100 кг), и выразить эту долю в процентах. Для этого составим пропорцию:

620 кг — это 100%

100 кг — это $x$%

Чтобы найти $x$, воспользуемся формулой:

$x = \frac{\text{часть}}{\text{целое}} \cdot 100\% = \frac{100}{620} \cdot 100\%$

Проведем вычисления:

$x = \frac{100 \cdot 100}{620} = \frac{10000}{620} = \frac{1000}{62} = \frac{500}{31} \%$

Для удобства можно выделить целую часть, разделив 500 на 31:

$500 \div 31 = 16$ (остаток $4$)

Таким образом, получаем смешанную дробь:

$x = 16 \frac{4}{31} \%$

В этом году школьники собрали на $16 \frac{4}{31}\%$ больше макулатуры, чем в прошлом.

Ответ: на $16 \frac{4}{31}\%$.

3.36. Среди ребят, занимающихся в спортивном центре, 44 % занимается футболом, 27 % — баскетболом, остальные — лёгкой атлетикой.

а) Какой процент составляют ребята, занимающиеся футболом, от ребят, занимающихся игровыми видами спорта?

б) Какой процент составляют ребята, занимающиеся футболом, от ребят, занимающихся футболом или лёгкой атлетикой?

3.36

Футбол – 44%;

Баскетбол – 27%

Легкая атлетика - ?

а)

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }44\% + 27\% = 71\%$- игровые виды спорта;

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }44\% : 71\% = \frac{44}{71} · 100\% =$

$= \frac{4400}{71} = 61\frac{69}{71}\%$ - составляют ребята, занимающиеся футболом, от ребят, занимающихся игровыми видами спорта;

б)

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }100\% - (44\% + 27\%) = 29\%$- занимаются лёгкой атлетикой;

$\mathbf{2}\mathbf{)} 44\% + 29\% = 73\%$ - лёгкая атлетика и футбол;

$\mathbf{3}\mathbf{)} 44\% : 73\% =\frac{44}{73} · 100\% = \frac{4400}{73}\% = 60\frac{2}{73}\%$- составляют ребята, занимающиеся футболом, от ребят, занимающихся футболом или легкой атлетикой.

Ответ: а) $61\frac{69}{71}\%$; б) $60\frac{20}{73}\%$.

Примем общее количество ребят в спортивном центре за $100\%$. Известно, что футболом занимаются $44\%$, а баскетболом — $27\%$.

а)

1. Сначала найдём общий процент ребят, которые занимаются игровыми видами спорта. В данном случае это футбол и баскетбол. Для этого сложим их процентные доли: $44\% + 27\% = 71\%$

2. Теперь нам нужно определить, какой процент от этой группы ($71\%$, которые мы принимаем за новое целое) составляют ребята, занимающиеся футболом ($44\%$). Для этого необходимо найти отношение доли футболистов к общей доле занимающихся игровыми видами спорта и выразить результат в процентах.

Формула для расчёта: $ \frac{\text{часть}}{\text{целое}} \times 100\% $

Подставляем наши значения: $ \frac{44}{71} \times 100\% \approx 0.619718... \times 100\% $

Округляя до сотых, получаем: $ \approx 61.97\% $

Ответ: $\approx 61.97\%$

б)

1. Сначала вычислим, какой процент ребят занимается лёгкой атлетикой. Это все "остальные" ребята, поэтому их долю можно найти, вычтя из $100\%$ доли футболистов и баскетболистов: $ 100\% - (44\% + 27\%) = 100\% - 71\% = 29\% $

2. Далее найдём общий процент ребят, занимающихся футболом или лёгкой атлетикой. Для этого сложим их доли: $ 44\% (\text{футбол}) + 29\% (\text{лёгкая атлетика}) = 73\% $

3. Теперь эта группа ($73\%$) является нашим новым "целым". Найдём, какой процент от этой группы составляют футболисты ($44\%$), используя ту же логику, что и в пункте а):

$ \frac{44}{73} \times 100\% \approx 0.602739... \times 100\% $

Округляя до сотых, получаем: $ \approx 60.27\% $

Ответ: $\approx 60.27\%$

3.37. Измерения первого прямоугольного параллелепипеда а см, b см и с см, а второго — х см, у см и z см. Найдите отношение обbёма первого параллелепипеда к объёму второго и вычислите его значение при а = 8, b = 5, с = 0,2, х = 15, у = 4, z = 0,3.

3.37

V₁ = аbc – объем первого прямоугольного параллелепипеда

V₂= хуz – объем второго прямоугольного параллелепипеда

а = 8, b = 5, c = 0,2, x = 15, y = 4, z = 0,3

$$\begin{gathered} \frac{V_1}{V_2} = \frac{abc}{xyz}=\frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\bcancel{8}}} · {\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{5}}} · 0,2}{{\displaystyle \underset{3}{\cancel{15}}} · {\displaystyle \underset{1}{\bcancel{4} }}· 0,3}= \\ = \frac{2 · 1 · 2}{3 · 1 · 3} = \frac{4}{9}. \end{gathered}$$

Ответ: $\frac{4}{9}.$

Задача состоит из двух частей: найти общую формулу для отношения объёмов и затем вычислить её значение для конкретных данных.

1. Найти отношение объёма первого параллелепипеда к объёму второго

Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = l \cdot w \cdot h$, где $l, w, h$ — его измерения (длина, ширина и высота).

Для первого параллелепипеда с измерениями $a$ см, $b$ см и $c$ см его объём $V_1$ равен:
$V_1 = a \cdot b \cdot c$ см$^3$

Для второго параллелепипеда с измерениями $x$ см, $y$ см и $z$ см его объём $V_2$ равен:
$V_2 = x \cdot y \cdot z$ см$^3$

Отношение объёма первого параллелепипеда к объёму второго — это частное от деления $V_1$ на $V_2$:
$\frac{V_1}{V_2} = \frac{a \cdot b \cdot c}{x \cdot y \cdot z}$

Ответ: Отношение объёмов равно $\frac{a \cdot b \cdot c}{x \cdot y \cdot z}$.

2. Вычислить значение этого отношения при $a = 8, b = 5, c = 0,2, x = 15, y = 4, z = 0,3$

Подставим данные значения в полученную формулу:
$\frac{V_1}{V_2} = \frac{8 \cdot 5 \cdot 0,2}{15 \cdot 4 \cdot 0,3}$

Сначала вычислим произведение в числителе:
$8 \cdot 5 \cdot 0,2 = 40 \cdot 0,2 = 8$

Затем вычислим произведение в знаменателе:
$15 \cdot 4 \cdot 0,3 = 60 \cdot 0,3 = 18$

Теперь найдём значение дроби:
$\frac{8}{18}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 2:
$\frac{8 \div 2}{18 \div 2} = \frac{4}{9}$

Ответ: $\frac{4}{9}$.

3.38. Выполните действия:

а) 3112 + 216 – 18 1,4 + 0,6 · 4,5; б) 101011 : 1222122 · 612; в) 8 : 225514 : 7 : 217 : 574 : 89.

3.38

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{{3{\displaystyle \frac{1}{12}}}^{\overline{)·2}} + {2 {\displaystyle \frac{1}{6}}}^{\overline{)·4}} - {{\displaystyle \frac{1}{8}}}^{\overline{)·3}}}{1,4 + 0,6 · 4,5}\mathbf{ }=\mathbf{ }\frac{3{\displaystyle \frac{2}{24}} + 2 {\displaystyle \frac{4}{24}} - {\displaystyle \frac{3}{24}}}{1,4 + 2,7} = \\ =\frac{5{\displaystyle \frac{3}{24}}}{4,1}=\frac{5{\displaystyle \frac{1}{8}}}{4{\displaystyle \frac{1}{10}}}=5\frac{1}{8} : 4\frac{1}{10} = \frac{41}{8} : \frac{41}{10}= \\ = \frac{41}{8} · \frac{10}{41} = \frac{10}{8} = 1\frac{2}{8} = 1\frac{1}{4}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{10{\displaystyle \frac{10}{11}} : 12}{2{\displaystyle \frac{21}{22}}}· 6\frac{1}{2} = \frac{{\displaystyle \frac{{\displaystyle \stackrel{10}{\cancel{120}}}}{11}} · {\displaystyle \frac{1}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{12}}}}}}{{\displaystyle \frac{65}{22}}} · \frac{13}{2}= \\ = \frac{{\displaystyle \frac{10}{11}} · {\displaystyle \frac{1}{1}}}{{\displaystyle \frac{65}{22}}} · \frac{13}{2}=\frac{{\displaystyle \frac{10}{11} }}{{\displaystyle \frac{65}{22}}} · \frac{13}{2}=\frac{10}{11} : \frac{65}{22}· \frac{13}{2}= \\ =\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{10}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{11}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\cancel{22}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{65}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{13}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{2}}}}=\frac{1}{1} · \frac{2}{1} · \frac{1}{1} = 2; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{8 : 2{\displaystyle \frac{2}{5}}}{5{\displaystyle \frac{1}{4}} : 7} : \frac{2{\displaystyle \frac{1}{7}} : {\displaystyle \frac{5}{7}}}{4 : {\displaystyle \frac{8}{9}}} = \frac{8 : {\displaystyle \frac{12}{5}}}{{\displaystyle \frac{21}{4}} : 7} : \frac{{\displaystyle \frac{15}{7}} : {\displaystyle \frac{5}{7}}}{4 : {\displaystyle \frac{8}{9}}} = \\ =\frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\cancel{8}}}· {\displaystyle \frac{5}{{\displaystyle \underset{3}{\cancel{12}}}}}}{{\displaystyle \frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{21}}}}{4}} · {\displaystyle \frac{1}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{7}}}}}} : \frac{{\displaystyle \frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\bcancel{15}}}}{\cancel{7}}} · {\displaystyle \frac{\cancel{7}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{5}}}}}}{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{4}}} · {\displaystyle \frac{9}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{8}}}}}} = \frac{2 · {\displaystyle \frac{5}{3}}}{{\displaystyle \frac{3}{4}} · {\displaystyle \frac{1}{1}}} : \frac{{\displaystyle \frac{3}{1}} · {\displaystyle \frac{1}{1}}}{1 · {\displaystyle \frac{9}{2}}}= \\ =\frac{{\displaystyle \frac{10}{3}}}{{\displaystyle \frac{3}{4}}} : \frac{{\displaystyle \frac{3}{1}}}{{\displaystyle \frac{9}{2}}} = \left(\frac{10}{3} : \frac{3}{4} \right) : \left(\frac{3}{1} : \frac{9}{2} \right) = \left(\frac{10}{3} · \frac{4}{3}\right) : \left(\frac{3}{1} · \frac{2}{9}\right)= \\ = \frac{40}{9} : \frac{6}{9} = \frac{{\displaystyle \stackrel{20}{\bcancel{40}}}}{\cancel{9}} · \frac{\cancel{9}}{{\displaystyle \underset{3}{\bcancel{6}}}}=\frac{20}{3} = 6\frac{2}{3}. \end{gathered}$$

а) $\frac{3\frac{1}{12} + 2\frac{1}{6} - \frac{1}{8}}{1,4 + 0,6 \cdot 4,5}$

Решим по действиям. Сначала вычислим значение числителя.

1) $3\frac{1}{12} + 2\frac{1}{6} - \frac{1}{8}$

Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 12, 6 и 8 это 24.

$3\frac{1}{12} = 3\frac{1 \cdot 2}{12 \cdot 2} = 3\frac{2}{24}$

$2\frac{1}{6} = 2\frac{1 \cdot 4}{6 \cdot 4} = 2\frac{4}{24}$

$\frac{1}{8} = \frac{1 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{3}{24}$

Выполним сложение и вычитание:

$3\frac{2}{24} + 2\frac{4}{24} - \frac{3}{24} = (3+2) + (\frac{2}{24} + \frac{4}{24} - \frac{3}{24}) = 5 + \frac{2+4-3}{24} = 5 + \frac{3}{24} = 5\frac{1}{8}$

Теперь вычислим значение знаменателя.

2) $1,4 + 0,6 \cdot 4,5$

Сначала выполняем умножение:

$0,6 \cdot 4,5 = 2,7$

Затем сложение:

$1,4 + 2,7 = 4,1$

Теперь разделим результат числителя на результат знаменателя.

3) $5\frac{1}{8} : 4,1$

Переведем оба числа в дроби. Смешанное число в неправильную дробь, а десятичную дробь в обыкновенную.

$5\frac{1}{8} = \frac{5 \cdot 8 + 1}{8} = \frac{41}{8}$

$4,1 = \frac{41}{10}$

Выполним деление:

$\frac{41}{8} : \frac{41}{10} = \frac{41}{8} \cdot \frac{10}{41} = \frac{41 \cdot 10}{8 \cdot 41} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1,25$

Ответ: $1,25$

б) $\frac{10\frac{10}{11} : 12}{2\frac{21}{22}} \cdot 6\frac{1}{2}$

Решим по действиям. Сначала вычислим значение числителя сложной дроби.

1) $10\frac{10}{11} : 12$

Переведем смешанное число в неправильную дробь:

$10\frac{10}{11} = \frac{10 \cdot 11 + 10}{11} = \frac{120}{11}$

Выполним деление:

$\frac{120}{11} : 12 = \frac{120}{11} \cdot \frac{1}{12} = \frac{10}{11}$

Теперь преобразуем знаменатель сложной дроби.

2) $2\frac{21}{22} = \frac{2 \cdot 22 + 21}{22} = \frac{44+21}{22} = \frac{65}{22}$

Теперь разделим результат числителя на результат знаменателя.

3) $\frac{10}{11} : \frac{65}{22} = \frac{10}{11} \cdot \frac{22}{65} = \frac{10 \cdot 22}{11 \cdot 65} = \frac{10 \cdot 2}{65} = \frac{20}{65} = \frac{4}{13}$

Наконец, умножим полученный результат на $6\frac{1}{2}$.

4) $\frac{4}{13} \cdot 6\frac{1}{2}$

Переведем смешанное число в неправильную дробь:

$6\frac{1}{2} = \frac{6 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{13}{2}$

Выполним умножение:

$\frac{4}{13} \cdot \frac{13}{2} = \frac{4 \cdot 13}{13 \cdot 2} = \frac{4}{2} = 2$

Ответ: $2$

в) $\frac{8 : 2\frac{2}{5} \cdot 2\frac{1}{7} : \frac{5}{7}}{5\frac{1}{4} : 7 \cdot 4 : \frac{8}{9}}$

Сначала вычислим значение числителя. Выполняем действия слева направо.

1) $8 : 2\frac{2}{5} \cdot 2\frac{1}{7} : \frac{5}{7}$

Переведем смешанные числа в неправильные дроби:

$2\frac{2}{5} = \frac{12}{5}$; $2\frac{1}{7} = \frac{15}{7}$

Заменим деление умножением на обратную дробь и вычислим:

$8 \cdot \frac{5}{12} \cdot \frac{15}{7} \cdot \frac{7}{5} = \frac{8 \cdot 5 \cdot 15 \cdot 7}{12 \cdot 7 \cdot 5}$

Сокращаем дроби (5 и 7 в числителе и знаменателе сокращаются):

$\frac{8 \cdot 15}{12} = \frac{8 \cdot 3 \cdot 5}{3 \cdot 4} = \frac{8 \cdot 5}{4} = 2 \cdot 5 = 10$

Теперь вычислим значение знаменателя. Выполняем действия слева направо.

2) $5\frac{1}{4} : 7 \cdot 4 : \frac{8}{9}$

Переведем смешанное число в неправильную дробь:

$5\frac{1}{4} = \frac{21}{4}$

Заменим деление умножением на обратную дробь и вычислим:

$\frac{21}{4} \cdot \frac{1}{7} \cdot 4 \cdot \frac{9}{8} = \frac{21 \cdot 1 \cdot 4 \cdot 9}{4 \cdot 7 \cdot 8}$

Сокращаем дроби (4 в числителе и знаменателе сокращаются):

$\frac{21 \cdot 9}{7 \cdot 8} = \frac{3 \cdot 7 \cdot 9}{7 \cdot 8} = \frac{3 \cdot 9}{8} = \frac{27}{8}$

Теперь разделим результат числителя на результат знаменателя.

3) $10 : \frac{27}{8} = 10 \cdot \frac{8}{27} = \frac{80}{27}$

Выделим целую часть:

$\frac{80}{27} = 2\frac{26}{27}$

Ответ: $2\frac{26}{27}$

1. Найдите отношение:

а) 125 к 5; б) 5 к 125; в) 0,4 к 25; г) 0,7 к 0,2; д) 234 к 315; е) 427 к 0,14.

Проверочная работа

1.

$\mathit{а}\mathbf{)} 125 : 5 = 25$

$\mathit{б}\mathbf{)} 5 : 125 = \frac{5}{125} = \frac{1}{25}$

$\mathit{в}\mathbf{)} 0,4 : 25 =\frac{0,4}{25} = \frac{4}{250} = \frac{2}{125}$

$\mathit{г}\mathbf{)} 0,7 : 0,2 = \frac{0,7}{0,2}=\frac{7}{2} = 3,5$

$\mathit{д}\mathbf{)}\mathbf{ }2\frac{3}{4} : 3\frac{1}{5} = \frac{11}{4} : \frac{16}{5} = \frac{11}{4} · \frac{5}{16} = \frac{55}{64}$

$$\begin{gathered} \mathit{е}\mathbf{)} 4\frac{2}{7} : 0,14 = \frac{30}{7} : \frac{14}{100} = \frac{30}{7} · \frac{100}{14} = \\ = \frac{1500}{49} = 30\frac{30}{49} \end{gathered}$$

а) Чтобы найти отношение 125 к 5, необходимо разделить 125 на 5.
$125 \div 5 = 25$
Ответ: 25

б) Чтобы найти отношение 5 к 125, необходимо разделить 5 на 125. Результат представляется в виде дроби, которую можно сократить.
$\frac{5}{125} = \frac{5 \div 5}{125 \div 5} = \frac{1}{25}$
Ответ: $\frac{1}{25}$

в) Чтобы найти отношение 0,4 к 25, необходимо разделить 0,4 на 25. Для удобства вычислений можно умножить делимое и делитель на 10, чтобы избавиться от десятичной дроби в делимом, а затем сократить полученную дробь.
$\frac{0,4}{25} = \frac{0,4 \times 10}{25 \times 10} = \frac{4}{250} = \frac{4 \div 2}{250 \div 2} = \frac{2}{125}$
Ответ: $\frac{2}{125}$

г) Чтобы найти отношение 0,7 к 0,2, необходимо разделить 0,7 на 0,2. Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим делимое и делитель на 10.
$\frac{0,7}{0,2} = \frac{0,7 \times 10}{0,2 \times 10} = \frac{7}{2} = 3,5$
Ответ: 3,5

д) Чтобы найти отношение смешанных чисел $2\frac{3}{4}$ к $3\frac{1}{5}$, сначала преобразуем их в неправильные дроби.
$2\frac{3}{4} = \frac{2 \times 4 + 3}{4} = \frac{11}{4}$
$3\frac{1}{5} = \frac{3 \times 5 + 1}{5} = \frac{16}{5}$
Теперь разделим первую дробь на вторую. Деление на дробь — это умножение на обратную ей дробь.
$\frac{11}{4} \div \frac{16}{5} = \frac{11}{4} \times \frac{5}{16} = \frac{11 \times 5}{4 \times 16} = \frac{55}{64}$
Ответ: $\frac{55}{64}$

е) Чтобы найти отношение $4\frac{2}{7}$ к 0,14, преобразуем оба числа в обыкновенные дроби.
$4\frac{2}{7} = \frac{4 \times 7 + 2}{7} = \frac{30}{7}$
$0,14 = \frac{14}{100} = \frac{7}{50}$
Теперь выполним деление полученных дробей.
$\frac{30}{7} \div \frac{7}{50} = \frac{30}{7} \times \frac{50}{7} = \frac{30 \times 50}{7 \times 7} = \frac{1500}{49}$
Ответ: $\frac{1500}{49}$

В.1. Что такое система счисления? Почему используемую нами систему счисления называют позиционной и десятичной?

Вопросы и задачи на повторение

Вопросы

В.1

Способ записи чисел называют нумерацией или системой счисления.

Используемую нами систему счисления называют позиционной, т.к. важно, на каком месте (позиции) стоит цифра.

Используемую нами систему счисления называют десятичной, т.к. единица каждого следующего разряда числа в 10 раз больше единицы предыдущего разряда.

B.1

Система счисления — это символический метод записи чисел, то есть совокупность правил и знаков (символов), с помощью которых можно представить любое число. Системы счисления делятся на два основных типа: непозиционные и позиционные.

В непозиционных системах счисления значение, обозначаемое цифрой, не зависит от её положения в записи числа. Классическим примером является римская система счисления, где в числе XXX каждый символ X означает 10, вне зависимости от его места.

Используемую нами систему счисления называют позиционной, потому что количественный вклад каждой цифры в общую величину числа зависит от её позиции (или разряда) в записи числа. Каждая позиция в числе имеет свой «вес» — степень основания системы счисления.

Например, в числе 525 цифра «5» встречается дважды, но имеет разное значение. Первая «5» (слева) стоит в разряде сотен и означает 500, а последняя «5» стоит в разряде единиц и означает просто 5. Число можно представить как сумму произведений цифр на веса их позиций: $525_{10} = 5 \cdot 10^2 + 2 \cdot 10^1 + 5 \cdot 10^0 = 500 + 20 + 5$.

Эту же систему называют десятичной, потому что для представления любого числа используется десять различных знаков-цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Соответственно, основанием системы является число 10, и вес каждого разряда является степенью числа 10. Исторически это связано с тем, что у человека десять пальцев на руках, которые использовались для счета.

Ответ: Система счисления — это совокупность правил и знаков для записи чисел. Используемую нами систему называют позиционной, так как значение цифры зависит от её места (позиции) в числе, и десятичной, потому что для записи чисел используется десять цифр (от 0 до 9), а основанием системы является число 10.

В.2. Какие числа называют натуральными; целыми; дробными; положительными; отрицательными; рациональными?

В.2

Числа, которые используются для счета, называют натуральными.

Натуральные числа, им противоположные и ноль, называются целыми числами.

Дробные числа - это числа, у которых есть дробная часть.

Положительные числа – это числа, которые больше нуля. Они расположены правее нуля на координатной прямой.

Отрицательные числа – это числа, которые меньше нуля. Они расположены левее нуля на координатной прямой.

Рациональные числа — это все числа, которые можно представить в виде дроби $\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{n}}$, где числитель m — это целое число, а знаменатель n – натуральное.

Натуральными называют числа, которые используются при счете (нумерации) предметов: первый, второй, третий и так далее. Это множество чисел, начинающееся с 1. Множество натуральных чисел принято обозначать латинской буквой $N$.

Примеры: $1, 2, 3, 10, 25, 100$. Множество натуральных чисел имеет вид: $N = \{1, 2, 3, 4, ...\}$.

Ответ: числа, используемые при счете предметов: 1, 2, 3, ...

Целыми называют объединение множества натуральных чисел, множества чисел, противоположных натуральным (отрицательных целых), и числа ноль. Множество целых чисел обозначается латинской буквой $Z$. Целые числа позволяют выражать не только количество, но и его изменение, а также величины, которые могут быть отрицательными (например, температура или баланс на счете).

Примеры: $-10, -3, 0, 1, 5, 42$. Множество целых чисел имеет вид: $Z = \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}$.

Ответ: натуральные числа, им противоположные и число ноль.

Дробными называют числа, которые не являются целыми. Они выражают часть или несколько частей единицы. Дробное число может быть представлено в виде обыкновенной дроби (например, $\frac{1}{2}$) или десятичной дроби (например, 0.5). Дробные числа могут быть как положительными, так и отрицательными.

Примеры: $\frac{1}{3}$, $\frac{7}{2}$, $-\frac{4}{5}$, $0.7$, $-2.15$.

Ответ: числа, не являющиеся целыми и представляющие собой доли единицы.

Положительными называют все числа, которые больше нуля. На числовой прямой они располагаются справа от точки отсчета (нуля). К положительным числам относятся все натуральные числа, а также положительные дробные числа.

Примеры: $5, 123, 0.5, \frac{3}{4}, 10.98$.

Ответ: все числа, большие нуля (записываются как $x > 0$).

Отрицательными называют все числа, которые меньше нуля. На числовой прямой они располагаются слева от точки отсчета (нуля). При записи перед отрицательным числом всегда ставится знак минус (–).

Примеры: $-1, -25, -0.1, -\frac{8}{3}, -15.2$.

Ответ: все числа, меньшие нуля (записываются как $x < 0$).

Рациональными называют все числа, которые можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где числитель $m$ — целое число ($m \in Z$), а знаменатель $n$ — натуральное число ($n \in N$). Множество рациональных чисел обозначается буквой $Q$. Оно включает в себя все целые и все дробные числа. Любое рациональное число можно представить в виде конечной десятичной дроби или бесконечной периодической десятичной дроби.

Примеры: $7$ (так как $7 = \frac{7}{1}$), $-3$ (так как $-3 = \frac{-3}{1}$), $0.5$ (так как $0.5 = \frac{1}{2}$), $-\frac{12}{5}$, $\frac{1}{3}$.

Ответ: числа, представимые в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное число.

В.3. Какие числа называют взаимно обратными; противоположными?

В.3

Два числа называют взаимно обратными, если их произведение равно 1.

Числа, которые отличаются только знаком, называются противоположными.

взаимно обратными

Два числа называют взаимно обратными, если их произведение равно единице. Для любого числа $a$, не равного нулю, обратным ему будет число $\frac{1}{a}$.

Математически это свойство выражается формулой:

$a \cdot \frac{1}{a} = 1$, где $a \ne 0$.

Примеры взаимно обратных чисел:

• Числа $7$ и $\frac{1}{7}$, так как $7 \cdot \frac{1}{7} = 1$.
• Обыкновенные дроби $\frac{3}{5}$ и $\frac{5}{3}$, так как $\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{3} = 1$.
• Десятичная дробь $0,2$ и число $5$, так как $0,2 \cdot 5 = 1$.
• Отрицательные числа $-2$ и $-\frac{1}{2}$, так как $-2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 1$.

Следует помнить, что для числа $0$ не существует взаимно обратного числа, поскольку деление на ноль не определено.

Ответ: Взаимно обратными называют два числа, произведение которых равно 1.

противоположными

Два числа называют противоположными, если они отличаются друг от друга только знаком. На координатной прямой такие числа расположены на одинаковом расстоянии от нуля, но по разные стороны от него. Главное свойство противоположных чисел заключается в том, что их сумма всегда равна нулю.

Математически это свойство выражается формулой:

$a + (-a) = 0$.

Примеры противоположных чисел:

• Числа $15$ и $-15$.
• Числа $-\frac{2}{9}$ и $\frac{2}{9}$.
• Числа $3,14$ и $-3,14$.

Единственное число, которое является противоположным самому себе — это $0$, так как $0 = -0$ и $0 + 0 = 0$.

Ответ: Противоположными называют два числа, которые отличаются только знаком и в сумме дают ноль.

В.4. Какие вы знаете свойства числа 0; числа 1?

В.4

$$\begin{gathered} \mathrm{а} + 0 = \mathrm{а}, \\ \mathrm{а} – 0 = \mathrm{а}, \\ \mathrm{а} – \mathrm{а} = 0; \\ \mathrm{а} · 0 = 0, \\ 0 : \mathrm{а} = 0, \\ \mathrm{на} \mathrm{ноль} \mathrm{делить} \mathrm{нельзя} \\ \mathrm{а} · 1 = \mathrm{а}, \\ \mathrm{а} : 1 = \mathrm{а}, \\ \mathrm{а} : \mathrm{а} = 1 \end{gathered}$$

Свойства числа 0

Число 0 (нуль) обладает рядом уникальных свойств, которые отличают его от всех других чисел:

1. Нуль является нейтральным элементом при сложении (аддитивной единицей). Это означает, что прибавление нуля к любому числу не изменяет это число:
$a + 0 = 0 + a = a$

2. Вычитание нуля из любого числа также не изменяет его:
$a - 0 = a$

3. При вычитании числа из нуля получается противоположное ему число:
$0 - a = -a$

4. Умножение любого числа на нуль всегда дает в результате нуль:
$a \cdot 0 = 0 \cdot a = 0$

5. Деление нуля на любое число, не равное нулю, равно нулю:
$0 \div a = 0$ при $a \neq 0$

6. Деление на нуль в математике является неопределенной операцией.

7. Любое ненулевое число, возведенное в нулевую степень, равно единице:
$a^0 = 1$ при $a \neq 0$

8. Нуль, возведенный в любую положительную степень, равен нулю:
$0^a = 0$ при $a > 0$

9. Выражение $0^0$ (нуль в нулевой степени) является неопределенностью. В некоторых разделах математики, например в комбинаторике, его по соглашению принимают равным 1.

10. Нуль — это целое и чётное число, так как делится на 2 без остатка ($0 \div 2 = 0$).

11. Нуль не является ни положительным, ни отрицательным числом, он служит границей между ними на числовой оси.

12. Факториал нуля по определению равен 1:
$0! = 1$

Ответ: Перечислены основные арифметические и алгебраические свойства числа 0.

Свойства числа 1

Число 1 (один, единица) также имеет фундаментальные свойства в математике:

1. Единица является нейтральным элементом при умножении (мультипликативной единицей). Умножение любого числа на 1 не изменяет это число:
$a \cdot 1 = 1 \cdot a = a$

2. Деление любого числа на единицу не изменяет его:
$a \div 1 = a$

3. Возведение любого числа в первую степень равно самому числу:
$a^1 = a$

4. Единица, возведенная в любую степень, равна единице:
$1^a = 1$

5. Единица является делителем любого целого числа.

6. В теории чисел единица не относится ни к простым, ни к составным числам. Она является "единицей" или "обратимым элементом".

7. Единица — единственное положительное число, которое равно своему обратному по умножению:
$1/1 = 1$

8. Факториал единицы равен единице:
$1! = 1$

Ответ: Перечислены основные арифметические и алгебраические свойства числа 1.

В.5. Приведите примеры:
а) натуральных чисел;
б) целых чисел;
в) положительных чисел, не являющихся натуральными;
г) отрицательных чисел, не являющихся целыми;
д) рациональных чисел, не являющихся целыми;
е) двух взаимно обратных чисел;
ж) двух противоположных чисел;
з) двух чисел, произведение которых равно 0; 1;
и) двух целых чисел, сумма которых равна 0; 1.

В.5

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)} 1, 2, 3, 32, 778 \\ \mathbf{б}\mathbf{)}\mathbf{ }-14, -5, 0, 4, 99 \\ \mathbf{в}\mathbf{)} 2,3; 15,56; 63\frac{2}{3} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{г}\mathbf{)} -54,5; -8\frac{2}{7}; -2,22 \\ \mathbf{д}\mathbf{)} \frac{5}{7}; -1\frac{3}{5}; \frac{26}{11} \\ \mathbf{е}\mathbf{)} 2 \mathrm{и} \frac{1}{2}; \frac{3}{7} \mathrm{и} \frac{7}{3} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{ж}\mathbf{)}\mathbf{ }5 \mathrm{и} -5; -17 \mathrm{и} 17 \\ \mathbf{з}\mathbf{)} -4 · 0 = 0; 0 · 23\frac{2}{5} = 0 \\ \cancel{3} · \frac{1}{\cancel{3}} = 1; \frac{5}{6} · \frac{6}{5} = 1 \\ \mathbf{и}\mathbf{)} 5 + (-5) = 0; -12 + 12 = 0 \\ 6 + (-5) = 1; -49 + 50 = 1 \end{gathered}$$

а) натуральных чисел;

Натуральные числа — это числа, которые используются при счете предметов (целые положительные числа). Множество натуральных чисел обозначается $N = \{1, 2, 3, ...\}$.

Ответ: 5, 27, 2024.

б) целых чисел;

Целые числа — это натуральные числа, противоположные им отрицательные числа и число ноль. Множество целых чисел обозначается $Z = \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}$.

Ответ: -15, 0, 33.

в) положительных чисел, не являющихся натуральными;

Положительные числа, не являющиеся натуральными, — это все числа больше нуля, которые не являются целыми. Это могут быть положительные обыкновенные дроби, десятичные дроби или иррациональные числа.

Ответ: 2,5; 1/7; $\sqrt{3}$.

г) отрицательных чисел, не являющихся целыми;

Отрицательные числа, не являющиеся целыми, — это все числа меньше нуля, которые не являются целыми. Это могут быть отрицательные дроби или иррациональные числа.

Ответ: -4,1; -5/6; -$\sqrt{10}$.

д) рациональных чисел, не являющихся целыми;

Рациональные числа — это числа, которые можно представить в виде дроби $m/n$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное. Рациональные числа, не являющиеся целыми, — это все дробные числа (как положительные, так и отрицательные), которые нельзя представить в виде целого числа.

Ответ: 3/2; -0,7; -8/3.

е) двух взаимно обратных чисел;

Два числа называются взаимно обратными, если их произведение равно 1. Для любого ненулевого числа $a$ обратным ему является число $1/a$. Например, 4 и 1/4, так как $4 \cdot \frac{1}{4} = 1$.

Ответ: 4 и 1/4.

ж) двух противоположных чисел;

Два числа называются противоположными, если их сумма равна 0. Для любого числа $a$ противоположным ему является число $-a$. Например, 9 и -9, так как $9 + (-9) = 0$.

Ответ: 9 и -9.

з) двух чисел, произведение которых равно 0; 1;

Произведение двух чисел равно 0, если хотя бы один из сомножителей равен 0. Например, 21 и 0, так как $21 \cdot 0 = 0$.
Произведение двух чисел равно 1, если эти числа являются взаимно обратными. Например, 2 и 0,5, так как $2 \cdot 0,5 = 1$.

Ответ: для произведения, равного 0: 21 и 0; для произведения, равного 1: 2 и 0,5.

и) двух целых чисел, сумма которых равна 0; 1.

Сумма двух целых чисел равна 0, если они являются противоположными. Например, 50 и -50, так как $50 + (-50) = 0$.
Чтобы сумма двух целых чисел была равна 1, можно взять любое целое число $a$ и число $b = 1 - a$. Например, 10 и -9, так как $10 + (-9) = 1$.

Ответ: для суммы, равной 0: 50 и -50; для суммы, равной 1: 10 и -9.

В.6. Назовите условие, при котором равно нулю:
а) произведение рациональных чисел;
б) частное рациональных чисел.

В.6

а) Произведение рациональных чисел равно нулю, когда хотя бы одно из них равно нулю.

б) Частное рациональных чисел равно нулю, когда делимое равно нулю, а делитель не равен нулю.

а) произведение рациональных чисел;
Произведение нескольких рациональных чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
Пусть дано произведение $n$ рациональных чисел: $P = a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot \dots \cdot a_n$.
Условие, при котором $P = 0$, заключается в том, что существует хотя бы один множитель $a_i$ (где $i$ — любое целое число от 1 до $n$), который равен нулю. Например, $15 \cdot (-2.5) \cdot 0 \cdot \frac{3}{4} = 0$, так как один из множителей равен 0.

Ответ: Произведение рациональных чисел равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

б) частное рациональных чисел.
Частное двух рациональных чисел равно нулю тогда и только тогда, когда делимое равно нулю, а делитель отличен от нуля.
Пусть дано частное двух рациональных чисел $a$ и $b$, которое можно записать как $a \div b$ или в виде дроби $\frac{a}{b}$.
Для того чтобы это частное было равно нулю, должны одновременно выполняться два условия:
1. Делимое (числитель) должно быть равно нулю: $a = 0$.
2. Делитель (знаменатель) не должен быть равен нулю: $b \neq 0$, так как деление на ноль не определено.
Например, $0 \div 9 = \frac{0}{9} = 0$, но выражение $\frac{9}{0}$ не имеет смысла.

Ответ: Частное рациональных чисел равно нулю, если делимое равно нулю, а делитель не равен нулю.

В.7. Справедливо ли для всех рациональных чисел n и m:

а) −nm = −n · −m;

б) −(n + m) = −n + −m;

в) 1nm = 1n · 1m;

г) 1n + m = 1n + 1m?

В.7

а) нет, в правой части один минус лишний

б) да

в) да

г) нет, нельзя поменять слагаемое на обратное число

а) −nm = −n ⋅ m

Данное равенство является одним из основных свойств умножения рациональных чисел. Рассмотрим обе части равенства.

Левая часть, $-nm$, представляет собой число, противоположное произведению $n$ и $m$. Это можно записать как $(-1) \cdot (nm)$.

Правая часть, $-n \cdot m$, представляет собой произведение числа $-n$ (противоположного $n$) и числа $m$. Это можно записать как $((-1) \cdot n) \cdot m$.

Для рациональных чисел справедлив сочетательный (ассоциативный) закон умножения: $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$. Применим его к правой части:

$((-1) \cdot n) \cdot m = (-1) \cdot (n \cdot m)$

Как видим, левая и правая части тождественно равны. Следовательно, равенство справедливо для всех рациональных чисел $n$ и $m$.

Ответ: Да, справедливо.

б) −(n + m) = −n + −m

Это равенство является правилом раскрытия скобок с отрицательным знаком, которое основано на распределительном свойстве умножения.

Левая часть, $-(n+m)$, — это число, противоположное сумме $n$ и $m$. Его можно представить в виде произведения: $(-1) \cdot (n+m)$.

Правая часть, $-n + -m$, — это сумма чисел, противоположных $n$ и $m$, то есть $(-n) + (-m)$.

Используя распределительный (дистрибутивный) закон умножения относительно сложения $a \cdot (b+c) = ab + ac$, раскроем скобки в левой части:

$(-1) \cdot (n+m) = (-1) \cdot n + (-1) \cdot m$

По определению, $(-1) \cdot n = -n$ и $(-1) \cdot m = -m$. Таким образом, левая часть преобразуется к виду $-n + (-m)$, что полностью совпадает с правой частью.

Равенство справедливо для всех рациональных чисел $n$ и $m$.

Ответ: Да, справедливо.

в) $\frac{1}{nm} = \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{m}$

Данное равенство связывает операцию взятия обратного числа с умножением. Если $n$ и $m$ — ненулевые рациональные числа, то равенство справедливо. По правилу умножения дробей, правая часть равна:

$\frac{1}{n} \cdot \frac{1}{m} = \frac{1 \cdot 1}{n \cdot m} = \frac{1}{nm}$

Однако в вопросе указано, что равенство должно быть справедливым для **всех** рациональных чисел $n$ и $m$. Множество рациональных чисел включает 0.

Если хотя бы одно из чисел, $n$ или $m$, равно нулю, то их произведение $nm$ также равно нулю. В этом случае левая часть $\frac{1}{nm}$ превращается в $\frac{1}{0}$, а это выражение не определено (деление на ноль). Одновременно, если $n=0$ или $m=0$, то в правой части также возникает деление на ноль в выражении $\frac{1}{n}$ или $\frac{1}{m}$.

Поскольку существуют рациональные числа (например, $n=0$), для которых данное равенство не определено, оно не является справедливым для всех рациональных чисел.

Ответ: Нет, не справедливо.

г) $\frac{1}{n} + m = \frac{1}{n} + \frac{1}{m}$

Проанализируем данное равенство. Если предположить, что $n \neq 0$, мы можем вычесть из обеих частей равенства слагаемое $\frac{1}{n}$. Тогда получим:

$m = \frac{1}{m}$

Это новое равенство очевидно не выполняется для всех рациональных чисел $m$. Например, если $m=2$, то $2 \neq \frac{1}{2}$.

Чтобы доказать, что исходное равенство неверно для всех рациональных чисел, достаточно привести один контрпример. Пусть $n=2$ и $m=3$.

Левая часть: $\frac{1}{2} + 3 = 0.5 + 3 = 3.5$.

Правая часть: $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$.

Поскольку $3.5 \neq \frac{5}{6}$, равенство не является справедливым для всех рациональных чисел $n$ и $m$. Оно выполняется только при $m=1$ или $m=-1$ (и при условии, что $n, m \neq 0$).

Ответ: Нет, не справедливо.

В.8. Какое число называют простым; составным; чётным; нечётным?

В.8

Число, которое имеет только 2 делителя: единицу и само число, называют простым.

Число, которое имеет более двух делителей, называют составным.

Число, которое делится нацело на 2, называется четным.

Число, которое не делится нацело на 2, называют нечетным.

простым называют натуральное число (целое положительное число), которое больше 1 и имеет ровно два различных натуральных делителя: единицу и само себя. Важно отметить, что число 1 не является ни простым, ни составным, так как у него только один делитель. Все простые числа, кроме числа 2, являются нечётными. Примеры простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17.
Ответ: Простое число — это натуральное число больше 1, которое делится только на 1 и на само себя.

составным называют натуральное число, которое больше 1 и не является простым. Это означает, что у составного числа есть хотя бы один делитель, отличный от 1 и самого себя. Иными словами, у составного числа больше двух делителей. Любое составное число можно разложить на произведение двух или более простых множителей. Примеры составных чисел: 4 (делители 1, 2, 4), 6 (делители 1, 2, 3, 6), 9 (делители 1, 3, 9).
Ответ: Составное число — это натуральное число больше 1, которое имеет более двух делителей.

чётным называют целое число, которое делится на 2 без остатка. Любое чётное число $n$ может быть представлено в виде формулы $n = 2k$, где $k$ — некоторое целое число. Десятичная запись чётного числа всегда оканчивается на одну из цифр: 0, 2, 4, 6 или 8. Ноль также является чётным числом. Примеры чётных чисел: -8, -2, 0, 4, 16, 150.
Ответ: Чётное число — это целое число, которое без остатка делится на 2.

нечётным называют целое число, которое не делится на 2 без остатка. При делении на 2 такое число даёт в остатке 1. Любое нечётное число $n$ может быть представлено в виде формулы $n = 2k + 1$, где $k$ — некоторое целое число. Десятичная запись нечётного числа всегда оканчивается на одну из цифр: 1, 3, 5, 7 или 9. Примеры нечётных чисел: -7, -1, 3, 9, 21, 135.
Ответ: Нечётное число — это целое число, которое не делится на 2 без остатка.

В.9. Какое из утверждений верно:
а) любое простое число есть сумма простых чисел;
б) любое число есть произведение двух простых чисел;
в) любое число есть произведение двух составных чисел?

В.9

а) нет, например, простое число 19 = 15 + 4 – слагаемые не являются простыми числами.

б) нет, например, 36 = 4 • 9 – множители не являются простыми числами

в) нет, например, 12 = 2 • 6 – число 2 не является составным

Для определения верного утверждения проанализируем каждое из них по отдельности.

а) любое простое число есть сумма простых чисел;

Данное утверждение можно трактовать двумя способами, в зависимости от того, что понимать под "суммой".
1. Если под "суммой" подразумевается сложение как минимум двух чисел, то утверждение будет неверным. В качестве контрпримеров можно привести наименьшие простые числа: 2 и 3. Невозможно представить число 2 в виде суммы двух или более простых чисел, так как наименьшее простое число – это 2, а наименьшая сумма двух простых чисел равна $2 + 2 = 4$, что больше 2. Аналогичная ситуация и с числом 3.
2. Однако в математике понятие суммы является более общим, и сумма может состоять из одного слагаемого. Например, сумма ряда по единственному элементу множества равна этому элементу. При такой, более формальной, трактовке любое простое число $p$ можно представить в виде суммы, состоящей из одного простого числа – самого себя: $p = p$.
Поскольку два других утверждения (б и в) очевидно ложны, следует выбрать именно эту, математически корректную, трактовку. При таком подходе утверждение оказывается верным.
Ответ: Утверждение верно.

б) любое число есть произведение двух простых чисел;

Это утверждение неверно. Чтобы опровергнуть его, достаточно найти хотя бы один контрпример. Контрпримерами являются:
1. Любое простое число. Например, число 11. По определению, оно имеет только два делителя: 1 и 11. Так как 1 не является простым числом, 11 нельзя представить в виде произведения двух простых чисел.
2. Многие составные числа. Например, число 8. Его разложение на простые множители – это $8 = 2 \cdot 2 \cdot 2$. Это произведение трех простых чисел, а не двух. Другой пример – число $12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$.
Таким образом, утверждение не выполняется для всех простых чисел и для многих составных чисел, поэтому оно ложно.
Ответ: Утверждение неверно.

в) любое число есть произведение двух составных чисел?

Это утверждение также неверно. Составное число – это натуральное число больше 1, которое не является простым. Наименьшее составное число – это 4. Другие примеры: 6, 8, 9, 10.
Наименьшее возможное произведение двух составных чисел – это $4 \cdot 4 = 16$. Следовательно, любое натуральное число, меньшее 16, уже является контрпримером. Например:
1. Любое простое число, например 13.
2. Любое составное число, меньшее 16. Например, число 15 можно разложить только как $3 \cdot 5$, где оба множителя – простые, а не составные числа.
Так как существует множество контрпримеров, утверждение ложно.
Ответ: Утверждение неверно.