Страница 123, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

3.21. Выполните вычисления в цепочке.

3.21

$$\begin{gathered} \frac{1}{3} · 2 = \frac{2}{3}; \\ \frac{2}{3} : \frac{1}{2} = \frac{2}{3} · 2=\frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}; \\ 1\frac{1}{3} - 1\frac{1}{5} = 1\frac{5}{15} - 1\frac{3}{15} = \frac{2}{15}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 6 : 9=\frac{6}{9} = \frac{2}{3}; \\ \frac{2}{3} + \frac{1}{4} = \frac{8}{12} + \frac{3}{12} = \frac{11}{12}; \\ \frac{11}{12} · \frac{12}{11} = 1; \\ 1 : 1\frac{4}{7} = 1 : \frac{11}{7} = 1 · \frac{7}{11} = \frac{7}{11}; \\ \frac{7}{11} · 9\frac{3}{7} = \frac{7}{11} · \frac{66}{7} = 6. \end{gathered}$$

a)

Для решения этой задачи необходимо последовательно выполнить все математические операции, указанные в цепочке, начиная с числа в зеленом квадрате.

1. Первое действие. Умножим начальное число $\frac{1}{3}$ на 2:

$\frac{1}{3} \cdot 2 = \frac{2}{3}$

Это значение в первом кружке.

2. Второе действие. Результат первого действия, $\frac{2}{3}$, разделим на $\frac{1}{2}$. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:

$\frac{2}{3} : \frac{1}{2} = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{1} = \frac{4}{3}$

Это значение во втором кружке.

3. Третье действие. Из результата второго действия, $\frac{4}{3}$, вычтем $1\frac{1}{5}$. Сначала представим смешанное число $1\frac{1}{5}$ в виде неправильной дроби:

$1\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{6}{5}$

Теперь выполним вычитание. Для этого приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 3 и 5 — это 15.

$\frac{4}{3} - \frac{6}{5} = \frac{4 \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{6 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{20}{15} - \frac{18}{15} = \frac{20 - 18}{15} = \frac{2}{15}$

Это и есть итоговое число в последнем квадрате.

Ответ: $\frac{2}{15}$.

б)

В этой задаче необходимо вычислить значения в каждом из четырех кружков, следуя по стрелкам от начального значения 6, которое находится в зеленом квадрате. Схема имеет два расходящихся пути от начальной точки и замыкающее звено, поэтому мы вычислим значения в кружках для каждого пути и проверим их согласованность.

Вычисления по верхнему пути:

1. Значение в верхнем левом кружке. Делим начальное число 6 на 9:

$6 : 9 = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$

2. Значение в верхнем правом кружке. К полученному значению $\frac{2}{3}$ прибавляем $\frac{1}{4}$. Общий знаменатель — 12.

$\frac{2}{3} + \frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4}{12} + \frac{1 \cdot 3}{12} = \frac{8+3}{12} = \frac{11}{12}$

3. Значение в нижнем правом кружке. Полученное значение $\frac{11}{12}$ умножаем на $\frac{12}{11}$:

$\frac{11}{12} \cdot \frac{12}{11} = 1$

Вычисления по нижнему пути:

4. Значение в нижнем левом кружке. Умножаем начальное число 6 на $9\frac{3}{7}$. Преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

$9\frac{3}{7} = \frac{9 \cdot 7 + 3}{7} = \frac{63+3}{7} = \frac{66}{7}$

Теперь выполняем умножение:

$6 \cdot \frac{66}{7} = \frac{396}{7}$

Проверка согласованности через замыкающее звено:

Схема показывает, что значение в нижнем левом кружке можно также получить, разделив значение из нижнего правого кружка (которое равно 1) на $1\frac{4}{7}$.

$1 : 1\frac{4}{7} = 1 : \frac{1 \cdot 7 + 4}{7} = 1 : \frac{11}{7} = 1 \cdot \frac{7}{11} = \frac{7}{11}$

Мы видим, что вычисления по разным путям приводят к разным результатам для нижнего левого кружка: $\frac{396}{7}$ и $\frac{7}{11}$. Это означает, что в условии задачи содержится противоречие. Поскольку задание состоит в том, чтобы "выполнить вычисления", мы приводим все полученные результаты.

Ответ: Результаты вычислений в кружках, исходя из начального значения 6:
- Верхний левый кружок: $\frac{2}{3}$
- Верхний правый кружок: $\frac{11}{12}$
- Нижний правый кружок: $1$
- Нижний левый кружок: $\frac{396}{7}$
(Примечание: условие задачи некорректно, так как вычисление значения в нижнем левом кружке через нижний правый дает другой результат: $\frac{7}{11}$).

3.22. На сколько надо уменьшить знаменатель дробей 317, 632, 755, 213, чтобы получить дробь 15?

3.22

$$\begin{gathered} \frac{3}{17 - х} = \frac{1}{5}; \\ 3 : (17 - х) = 0,2; \\ 17 - х = 3 : 0,2; \\ 17 - х = 30 : 2; \\ 17 - х = 15; \\ х = 17 - 15: \\ х = 2, \mathrm{т}.\mathrm{е}. \mathrm{уменьшить} \mathrm{на} 2. \end{gathered}$$

Ответ: на 2.

$$\begin{gathered} \frac{6}{32 - х} = \frac{1}{5}; \\ 6 : ( 32 - х) = 0,2; \\ 32 - х = 6 : 0,2; \\ 32 - х = 60 : 2; \\ 32 - х = 30; \\ х = 32 - 30; \\ \mathrm{х} = 2, \mathrm{т}.\mathrm{е}.\mathrm{уменьшить} \mathrm{на} 2 \end{gathered}$$

Ответ: на 2.

$$\begin{gathered} \frac{7}{55 - х}= \frac{1}{5}; \\ 7 : (55 -х) = 0,2; \\ 55 - х = 7 : 0,2; \\ 55 - х = 70 : 2; \\ 55 - х = 35; \\ х = 55 - 35; \\ х = 20, \mathrm{т}.\mathrm{е}. \mathrm{уменьшить} \mathrm{на} 20. \end{gathered}$$

Ответ: на 20.

$$\begin{gathered} \frac{2}{13 - х} = \frac{1}{5}; \\ 2 : (13 - х) = 0,2; \\ 13 - х = 2 : 0,2; \\ 13 - х= 20 : 2; \\ 13 - х = 10; \\ х = 13 - 10; \\ х = 3, \mathrm{т}.\mathrm{е}. \mathrm{уменьшить} \mathrm{на} 3 \end{gathered}$$

Ответ: на 3.

Для того чтобы найти, на сколько нужно уменьшить знаменатель каждой дроби, чтобы в результате получить дробь, равную $\frac{1}{5}$, необходимо для каждой исходной дроби вида $\frac{a}{b}$ найти такое число $x$, чтобы выполнялось равенство $\frac{a}{b-x} = \frac{1}{5}$.

Из этого равенства следует, что новый знаменатель $(b-x)$ должен быть в 5 раз больше числителя $a$. Математически это записывается так:
$b-x = 5 \times a$

Из этого выражения мы можем найти $x$ — величину, на которую нужно уменьшить знаменатель:
$x = b - 5a$

Теперь применим эту формулу для каждой из предложенных дробей.

Для дроби $\frac{3}{17}$

В этой дроби числитель $a=3$, а знаменатель $b=17$.
Вычислим $x$: $x = 17 - 5 \times 3 = 17 - 15 = 2$.
Проверка: если уменьшить знаменатель 17 на 2, получим 15. Новая дробь будет $\frac{3}{15}$, что после сокращения на 3 равно $\frac{1}{5}$.
Ответ: на 2.

Для дроби $\frac{6}{32}$

В этой дроби числитель $a=6$, а знаменатель $b=32$.
Вычислим $x$: $x = 32 - 5 \times 6 = 32 - 30 = 2$.
Проверка: если уменьшить знаменатель 32 на 2, получим 30. Новая дробь будет $\frac{6}{30}$, что после сокращения на 6 равно $\frac{1}{5}$.
Ответ: на 2.

Для дроби $\frac{7}{55}$

В этой дроби числитель $a=7$, а знаменатель $b=55$.
Вычислим $x$: $x = 55 - 5 \times 7 = 55 - 35 = 20$.
Проверка: если уменьшить знаменатель 55 на 20, получим 35. Новая дробь будет $\frac{7}{35}$, что после сокращения на 7 равно $\frac{1}{5}$.
Ответ: на 20.

Для дроби $\frac{2}{13}$

В этой дроби числитель $a=2$, а знаменатель $b=13$.
Вычислим $x$: $x = 13 - 5 \times 2 = 13 - 10 = 3$.
Проверка: если уменьшить знаменатель 13 на 3, получим 10. Новая дробь будет $\frac{2}{10}$, что после сокращения на 2 равно $\frac{1}{5}$.
Ответ: на 3.

3.23. Выразите в процентах число: 0,3; 0,85; 12; 45; 34; 720; 1; 4; 4925; 161140.

3.23

$0,3 · 100\% = 30\%;$

$0,85 · 100\% = 85\%;$

$\frac{1}{2} · 100\% = 50\%;$

$\frac{4}{5} · 100\% =\frac{400}{5} = 80\%;$

$\frac{3}{4} · 100\% = \frac{300}{4}= 75\%;$

$\frac{7}{20} · 100\% =\frac{700}{20}= 35\%;$

$1 · 100\% = 100\%;$

$4 · 100\% = 400\%;$

$$\begin{gathered} 4\frac{9}{25} = \left(4 + \frac{9}{25}\right) · 100\% = 400\% + \frac{900}{25}\% \\ = 400\% + 36\% = 436\%; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 16\frac{11}{40}= \left(16 + \frac{11}{40}\right) · 100\% = 1600\% + \frac{1100}{40}\% \\ = 1600\% + 27,5\% = 1627,5\%. \end{gathered}$$

Чтобы выразить число в процентах, его необходимо умножить на 100 и добавить знак процента (%).

0,3
Для перевода десятичной дроби в проценты умножаем ее на 100%.
$0,3 \times 100\% = 30\%$.
Ответ: 30%.

0,85
Умножаем десятичную дробь на 100%.
$0,85 \times 100\% = 85\%$.
Ответ: 85%.

1/2
Чтобы выразить обыкновенную дробь в процентах, можно умножить ее на 100%.
$\frac{1}{2} \times 100\% = \frac{100}{2}\% = 50\%$.
Альтернативный способ: сначала перевести дробь в десятичную: $\frac{1}{2} = 0,5$, а затем умножить на 100%: $0,5 \times 100\% = 50\%$.
Ответ: 50%.

4/5
Умножим дробь на 100%.
$\frac{4}{5} \times 100\% = \frac{400}{5}\% = 80\%$.
Альтернативный способ: перевести дробь в десятичную: $\frac{4}{5} = 0,8$, а затем умножить на 100%: $0,8 \times 100\% = 80\%$.
Ответ: 80%.

3/4
Умножим дробь на 100%.
$\frac{3}{4} \times 100\% = \frac{300}{4}\% = 75\%$.
Альтернативный способ: перевести дробь в десятичную: $\frac{3}{4} = 0,75$, а затем умножить на 100%: $0,75 \times 100\% = 75\%$.
Ответ: 75%.

7/20
Умножим дробь на 100%.
$\frac{7}{20} \times 100\% = \frac{700}{20}\% = 35\%$.
Альтернативный способ: перевести дробь в десятичную: $\frac{7}{20} = 0,35$, а затем умножить на 100%: $0,35 \times 100\% = 35\%$.
Ответ: 35%.

1
Умножаем целое число на 100%.
$1 \times 100\% = 100\%$.
Ответ: 100%.

4
Умножаем целое число на 100%.
$4 \times 100\% = 400\%$.
Ответ: 400%.

4 9/25
Для перевода смешанного числа в проценты, сначала преобразуем его в неправильную дробь:
$4\frac{9}{25} = \frac{4 \times 25 + 9}{25} = \frac{100 + 9}{25} = \frac{109}{25}$.
Теперь умножим полученную дробь на 100%:
$\frac{109}{25} \times 100\% = 109 \times \frac{100}{25}\% = 109 \times 4\% = 436\%$.
Другой способ — преобразовать в десятичную дробь: $4\frac{9}{25} = 4 + \frac{9}{25} = 4 + 0,36 = 4,36$. Тогда $4,36 \times 100\% = 436\%$.
Ответ: 436%.

16 11/40
Преобразуем смешанное число в неправильную дробь:
$16\frac{11}{40} = \frac{16 \times 40 + 11}{40} = \frac{640 + 11}{40} = \frac{651}{40}$.
Умножим дробь на 100%:
$\frac{651}{40} \times 100\% = \frac{65100}{40}\% = \frac{6510}{4}\% = 1627,5\%$.
Другой способ — преобразовать в десятичную дробь. Сначала дробную часть: $\frac{11}{40} = 0,275$.
$16\frac{11}{40} = 16 + 0,275 = 16,275$.
Тогда $16,275 \times 100\% = 1627,5\%$.
Ответ: 1627,5%.

3.24. Четверть от половины числа равна одной четвёртой. Найдите это число.

3.24

$\frac{1}{4} \mathrm{от} \frac{1}{2} \mathrm{числа} = \frac{1}{4}.$

Пусть х – число. Тогда:

$$\begin{gathered} \frac{1}{2} х · \frac{1}{4} = \frac{1}{4}; \\ \frac{1}{2} х = \frac{1}{4} : \frac{1}{4}; \\ \frac{1}{2} х = \frac{1}{4} · \frac{4}{1}; \\ \frac{1}{2} х = 1; \\ х = 1 : \frac{1}{2}; \\ х = 1 · 2; \\ х = 2. \\ \mathrm{Ответ}: 2. \end{gathered}$$

Для решения этой задачи давайте переведем словесное условие на язык математики. Пусть искомое число будет $x$.

Сначала найдем "половину числа". Это можно записать как: $$ \frac{1}{2}x \text{ или } \frac{x}{2} $$

Далее в условии говорится про "четверть от половины числа". Это означает, что нам нужно взять $\frac{1}{4}$ от предыдущего результата. Математически это выглядит так: $$ \frac{1}{4} \cdot \left(\frac{1}{2}x\right) $$

Согласно условию, это выражение "равна одной четвёртой", то есть $\frac{1}{4}$. Теперь мы можем составить полное уравнение: $$ \frac{1}{4} \cdot \left(\frac{1}{2}x\right) = \frac{1}{4} $$

Теперь решим это уравнение. Сначала упростим левую часть, перемножив дроби: $$ \frac{1 \cdot x}{4 \cdot 2} = \frac{1}{4} $$ $$ \frac{x}{8} = \frac{1}{4} $$

Чтобы найти $x$, нам нужно избавиться от знаменателя 8 в левой части. Для этого умножим обе части уравнения на 8: $$ x = \frac{1}{4} \cdot 8 $$ $$ x = \frac{8}{4} $$ $$ x = 2 $$

Давайте выполним проверку. Если искомое число равно 2, то его половина равна $2 \div 2 = 1$. Четверть от этой половины равна $\frac{1}{4} \cdot 1 = \frac{1}{4}$. Это в точности соответствует условию задачи.

Ответ: 2

3.25. Развивай внимание. Кто быстрее найдёт в таблице последовательно все числа от 26 до 50?

3.25

(решение не требуется)

а) В данной таблице необходимо последовательно, в порядке возрастания, найти все целые числа от 26 до 50. Все числа из этого диапазона присутствуют в таблице. Выполняя поиск, мы находим числа в следующем порядке.

Ответ: 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50.

б) Аналогично предыдущему заданию, в этой таблице также необходимо последовательно найти все целые числа от 26 до 50. Все числа из этого диапазона присутствуют в таблице. Полная найденная последовательность представлена ниже.

Ответ: 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50.

3.26. Вычислите значение выражения:

а) 0,3 · 56; б) 56 : 0,6; в) 227 + 13143,5; г) 6,3213 – 116; д) 7,2 · 1,60,4 · 0,8; е) 2,70,09.

3.26

$\mathit{а}\mathbf{)} 0,3 · \frac{5}{6} = \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{3}}}}{{\displaystyle \underset{2}{\bcancel{10}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{5}}}}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{6}}}} =\frac{1}{2} · \frac{1}{2} = \frac{1}{4};$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{5}{6} : 0,6 =\frac{5}{6} : \frac{6}{10}=\frac{5}{6} : \frac{3}{5}= \\ = \frac{5}{6} · \frac{5}{3}=\frac{25}{18} = 1\frac{7}{18}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{{2{\displaystyle \frac{2}{7}}}^{\overline{)·2}} + 1{\displaystyle \frac{3}{14}}}{3,5} =\frac{2{\displaystyle \frac{4}{14}} + 1{\displaystyle \frac{3}{14}}}{3{\displaystyle \frac{5}{10}}} = \frac{3{\displaystyle \frac{7}{14}}}{3{\displaystyle \frac{1}{2}}} = \\ = \frac{3{\displaystyle \frac{1}{2}}}{3\frac{1}{2}} =1; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{6,3}{{2{\displaystyle \frac{1}{3}}}^{\overline{)·2}} - 1{\displaystyle \frac{1}{6}} }=\frac{6,3}{2{\displaystyle \frac{2}{6}} - 1{\displaystyle \frac{1}{6}}}=\frac{6,3}{1{\displaystyle \frac{1}{6}}}= \\ =\frac{6{\displaystyle \frac{3}{10}}}{{\displaystyle \frac{7}{6}}}=\frac{63}{10} : \frac{7}{6} = \frac{{\displaystyle \stackrel{9}{\cancel{63}}}}{{\displaystyle \underset{5}{\bcancel{10}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\bcancel{6}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{7}}}} = \frac{9 · 3}{5 · 1} = \\ = \frac{27}{5} = 5\frac{2}{5}; \end{gathered}$$

$\mathit{д}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{7,2 · 1,6}{0,4 · 0,8}=\frac{{\displaystyle \stackrel{9}{\cancel{72}}} · {\displaystyle \stackrel{4}{16}}}{{\displaystyle \underset{1}{4}} · {\displaystyle \underset{1}{\cancel{8}}}}=\frac{9 · 4}{1 · 1} = 36;$

$\mathit{е}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{2,7}{0,09} = \frac{270}{9} = 30.$

а) Чтобы умножить десятичную дробь на обыкновенную, представим десятичную дробь в виде обыкновенной дроби: $0,3 = \frac{3}{10}$.
Теперь выполним умножение дробей и сократим полученную дробь: $0,3 \cdot \frac{5}{6} = \frac{3}{10} \cdot \frac{5}{6} = \frac{3 \cdot 5}{10 \cdot 6} = \frac{15}{60} = \frac{1}{4}$.
Переведем результат в десятичную дробь: $\frac{1}{4} = 0,25$.
Ответ: $0,25$.

б) Чтобы разделить обыкновенную дробь на десятичную, представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $0,6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.
Для деления на дробь нужно умножить на обратную ей дробь: $\frac{5}{6} : 0,6 = \frac{5}{6} : \frac{3}{5} = \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{3} = \frac{5 \cdot 5}{6 \cdot 3} = \frac{25}{18}$.
Выделим целую часть, чтобы представить результат в виде смешанного числа: $\frac{25}{18} = 1\frac{7}{18}$.
Ответ: $1\frac{7}{18}$.

в) Сначала выполним действие в числителе — сложение смешанных чисел. Для этого приведем их к общему знаменателю.
$2\frac{2}{7} + 1\frac{3}{14} = 2\frac{2 \cdot 2}{7 \cdot 2} + 1\frac{3}{14} = 2\frac{4}{14} + 1\frac{3}{14} = (2+1) + \frac{4+3}{14} = 3\frac{7}{14}$.
Сократим дробную часть: $3\frac{7}{14} = 3\frac{1}{2}$.
Теперь выражение имеет вид: $\frac{3\frac{1}{2}}{3,5}$.
Поскольку $3\frac{1}{2} = 3,5$, мы делим число само на себя.
$\frac{3,5}{3,5} = 1$.
Ответ: $1$.

г) Сначала выполним действие в знаменателе — вычитание смешанных чисел. Приведем их к общему знаменателю.
$2\frac{1}{3} - 1\frac{1}{6} = 2\frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} - 1\frac{1}{6} = 2\frac{2}{6} - 1\frac{1}{6} = (2-1) + \frac{2-1}{6} = 1\frac{1}{6}$.
Теперь выражение имеет вид: $\frac{6,3}{1\frac{1}{6}}$.
Для выполнения деления представим оба числа в виде обыкновенных дробей: $6,3 = 6\frac{3}{10} = \frac{63}{10}$, а $1\frac{1}{6} = \frac{7}{6}$.
Выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь: $\frac{63}{10} : \frac{7}{6} = \frac{63}{10} \cdot \frac{6}{7} = \frac{\cancel{63}^9 \cdot \cancel{6}^3}{\cancel{10}^5 \cdot \cancel{7}^1} = \frac{9 \cdot 3}{5} = \frac{27}{5}$.
Переведем результат в десятичную дробь: $\frac{27}{5} = 5,4$.
Ответ: $5,4$.

д) Для упрощения этого выражения можно сгруппировать множители и выполнить сокращение.
$\frac{7,2 \cdot 1,6}{0,4 \cdot 0,8} = \frac{7,2}{0,8} \cdot \frac{1,6}{0,4}$.
Вычислим значение каждой дроби отдельно, умножив числитель и знаменатель на 10, чтобы избавиться от десятичных знаков:
$\frac{7,2}{0,8} = \frac{72}{8} = 9$.
$\frac{1,6}{0,4} = \frac{16}{4} = 4$.
Теперь перемножим полученные результаты: $9 \cdot 4 = 36$.
Ответ: $36$.

е) Чтобы разделить $2,7$ на $0,09$, умножим делимое и делитель на 100, чтобы делитель стал целым числом. Это не изменит результат деления.
$\frac{2,7}{0,09} = \frac{2,7 \cdot 100}{0,09 \cdot 100} = \frac{270}{9}$.
Теперь выполним деление целых чисел: $270 : 9 = 30$.
Ответ: $30$.

3.27. На печать художественной литературы израсходовали 34 привезённой в типографию бумаги, а на детскую литературу ушло 29 от количества бумаги, израсходованного на художественную литературу. Сколько бумаги израсходовали на детскую литературу, если всего привезли 24 т бумаги?

3.27

$\mathbf{1}\mathbf{)} \frac{3}{4} · \frac{2}{9} = \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{6}}}}{{\displaystyle \underset{6}{\cancel{36}}}}=\frac{1}{6}$(части)-на детскую литературу;

$\mathbf{2}\mathbf{)} \stackrel{4}{\cancel{24}} · \frac{1}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{6}}}} = 4$ (т)-на детскую литературую

Ответ: 4 т.

Для решения задачи выполним последовательно два вычисления.

1. Найдем количество бумаги, израсходованное на печать художественной литературы.
По условию, на художественную литературу израсходовали $ \frac{3}{4} $ от всей привезенной бумаги. Всего привезли 24 тонны. Чтобы найти часть от числа, необходимо умножить это число на соответствующую дробь:

$ 24 \cdot \frac{3}{4} = \frac{24 \cdot 3}{4} = 6 \cdot 3 = 18 $ (т)

Таким образом, на художественную литературу ушло 18 тонн бумаги.

2. Найдем количество бумаги, израсходованное на детскую литературу.
Известно, что на детскую литературу ушло $ \frac{2}{9} $ от количества бумаги, израсходованного на художественную литературу, то есть $ \frac{2}{9} $ от 18 тонн:

$ 18 \cdot \frac{2}{9} = \frac{18 \cdot 2}{9} = 2 \cdot 2 = 4 $ (т)

Ответ: на детскую литературу израсходовали 4 тонны бумаги.

3.28. Напольной плиткой покрыто 25 площади квартиры. На пол на кухне ушло 17,5 м² плитки, что составило 59 всей напольной плитки. Какова площадь квартиры?

3.28

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }17,5 : \frac{5}{9} = 17,5 · \frac{9}{5} = 3,5 · 9 = 31,5$ (м²) - покрыто плиткой;

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }31,5 : \frac{2}{5} = 31,5:0,4=315:4=78,75$(м²) - площадь квартиры.

Ответ: 78,75 м².

Для решения задачи необходимо выполнить два последовательных действия.

1. Найдем общую площадь, покрытую напольной плиткой.

Из условия задачи известно, что на пол на кухне ушло $17,5 \text{ м}^2$ плитки, и эта величина составляет $ \frac{5}{9} $ от всей площади, покрытой плиткой. Чтобы найти целое по его части, необходимо значение этой части разделить на дробь, которую она составляет. Пусть $ S_{плитки} $ — общая площадь, покрытая плиткой.

$S_{плитки} = 17,5 : \frac{5}{9}$

Для удобства вычислений представим десятичную дробь $17,5$ в виде обыкновенной дроби $ \frac{175}{10} $ или, после сокращения, $ \frac{35}{2} $.

$S_{плитки} = \frac{35}{2} : \frac{5}{9} = \frac{35}{2} \cdot \frac{9}{5} = \frac{35 \cdot 9}{2 \cdot 5} = \frac{7 \cdot 9}{2} = \frac{63}{2} = 31,5 \text{ м}^2$.

Таким образом, общая площадь, покрытая напольной плиткой, составляет $31,5 \text{ м}^2$.

2. Найдем общую площадь квартиры.

Теперь известно, что общая площадь, покрытая плиткой ($31,5 \text{ м}^2$), составляет $ \frac{2}{5} $ от всей площади квартиры. Поступаем аналогично первому действию: находим общую площадь квартиры, разделив известную часть на соответствующую ей долю. Пусть $ S_{квартиры} $ — общая площадь квартиры.

$S_{квартиры} = 31,5 : \frac{2}{5}$

Представим десятичную дробь $31,5$ в виде обыкновенной дроби $ \frac{315}{10} $ или $ \frac{63}{2} $.

$S_{квартиры} = \frac{63}{2} : \frac{2}{5} = \frac{63}{2} \cdot \frac{5}{2} = \frac{63 \cdot 5}{2 \cdot 2} = \frac{315}{4} = 78,75 \text{ м}^2$.

Ответ: площадь квартиры составляет 78,75 м².

3.29. Вычислите объём прямоугольного параллелепипеда, у которого:

1) ширина 1,5 м и составляет 56 длины, а высота в 1,8 раза меньше длины;

2) длина 15,3 м и составляет 0,9 высоты, а высота в 3,4 раза больше ширины.

3.29

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }1,5 : \frac{5}{6} =\stackrel{0,3}{\cancel{ 1,5}} · \frac{6}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{5}}}} = 0,3 · 6 = 1,8$ (м) – длина прямоугольного параллелепипеда;

$\mathbf{2}\mathbf{)} 1,8 : 1,8 = 1$(м) – высота прямоугольного параллелепипеда;

$\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{ }V = 1,5 · 1,8 · 1 = 2,7 ({м}^3)$

Ответ: 2,7 м³

$\mathbf{1}\mathbf{)} 15,3 : 0,9 = 153 : 9 = 17$ (м) – высота прямоугольного параллелепипеда;

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }17 : 3,4 = 170 : 34 = 5$(м) – ширина прямоугольного параллелепипеда;

$\mathbf{3}\mathbf{)} V = 15,3 · 17 · 5 = 1300,5 ({м}^3)$

Ответ: 1300,5 м³

Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = a \cdot b \cdot c$, где $a$ – длина, $b$ – ширина, $c$ – высота.

1)

По условию задачи, ширина параллелепипеда $b = 1,5$ м. Эта ширина составляет $\frac{5}{6}$ от длины $a$. Чтобы найти длину, нужно ширину разделить на эту дробь:

$a = 1,5 : \frac{5}{6} = \frac{15}{10} : \frac{5}{6} = \frac{3}{2} \cdot \frac{6}{5} = \frac{18}{10} = 1,8$ м.

Высота $c$ в 1,8 раза меньше длины. Чтобы найти высоту, нужно длину разделить на 1,8:

$c = a : 1,8 = 1,8 : 1,8 = 1$ м.

Теперь, зная все три измерения, вычислим объём:

$V = a \cdot b \cdot c = 1,8 \cdot 1,5 \cdot 1 = 2,7$ м³.

Ответ: $2,7$ м³.

2)

По условию задачи, длина параллелепипеда $a = 15,3$ м. Эта длина составляет 0,9 от высоты $c$. Чтобы найти высоту, нужно длину разделить на 0,9:

$c = a : 0,9 = 15,3 : 0,9 = 153 : 9 = 17$ м.

Высота $c$ в 3,4 раза больше ширины $b$. Чтобы найти ширину, нужно высоту разделить на 3,4:

$b = c : 3,4 = 17 : 3,4 = 170 : 34 = 5$ м.

Теперь, зная все три измерения, вычислим объём:

$V = a \cdot b \cdot c = 15,3 \cdot 5 \cdot 17 = 76,5 \cdot 17 = 1300,5$ м³.

Ответ: $1300,5$ м³.