Страница 122, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

3.12. Картофель разложили в 3 ящика. В первый положили 0,2 всего картофеля, во второй — 0,5 всего картофеля, а в третий — 0,3 всего картофеля. Что показывает отношение:

а) 0,2 к 0,5; б) 0,2 к 0,3; в) 0,5 к 0,3; г) (0,5 + 0,3) к 0,2?

3.12

1 ящик – 0,2;

2 ящик – 0,5;

3 ящик – 0,3.

а) 0,2 к 0,5 – во сколько раз в первый ящик положили меньше, чем во второй;

б) 0,2 к 0,3 – во сколько раз в первый ящик положили меньше, чем в третий;

в) 0,5 к 0,3 – во сколько раз во второй ящик положили больше, чем в третий;

г) (0,5 + 0,3) к 0,2 – во сколько раз во второй и третий ящик вместе положили больше, чем в первый.

Пусть всё количество картофеля равно 1. Тогда согласно условию задачи:

• В первом ящике находится 0,2 всего картофеля.
• Во втором ящике находится 0,5 всего картофеля.
• В третьем ящике находится 0,3 всего картофеля.

Отношение двух чисел показывает, во сколько раз одно число больше другого, или какую часть одно число составляет от другого.

а) 0,2 к 0,5;

Это отношение количества картофеля в первом ящике (0,2) к количеству картофеля во втором ящике (0,5). Оно показывает, какую часть составляет картофель из первого ящика по сравнению с картофелем из второго ящика.
Вычислим это отношение: $ \frac{0,2}{0,5} = \frac{2}{5} = 0,4 $.
Это значит, что количество картофеля в первом ящике составляет 0,4 (или $ \frac{2}{5} $) от количества картофеля во втором ящике.
Ответ: отношение количества картофеля в первом ящике к количеству картофеля во втором ящике.

б) 0,2 к 0,3;

Это отношение количества картофеля в первом ящике (0,2) к количеству картофеля в третьем ящике (0,3). Оно показывает, какую часть составляет картофель из первого ящика по сравнению с картофелем из третьего ящика.
Вычислим это отношение: $ \frac{0,2}{0,3} = \frac{2}{3} $.
Это значит, что количество картофеля в первом ящике составляет $ \frac{2}{3} $ от количества картофеля в третьем ящике.
Ответ: отношение количества картофеля в первом ящике к количеству картофеля в третьем ящике.

в) 0,5 к 0,3;

Это отношение количества картофеля во втором ящике (0,5) к количеству картофеля в третьем ящике (0,3). Оно показывает, во сколько раз количество картофеля во втором ящике больше, чем в третьем.
Вычислим это отношение: $ \frac{0,5}{0,3} = \frac{5}{3} = 1 \frac{2}{3} $.
Это значит, что во втором ящике картофеля в $ 1 \frac{2}{3} $ раза больше, чем в третьем.
Ответ: отношение количества картофеля во втором ящике к количеству картофеля в третьем ящике.

г) (0,5 + 0,3) к 0,2?

Сначала найдем сумму в скобках: $ 0,5 + 0,3 = 0,8 $. Эта величина представляет собой общую долю картофеля во втором и третьем ящиках вместе.
Таким образом, мы рассматриваем отношение $ 0,8 $ к $ 0,2 $. Это отношение суммарного количества картофеля во втором и третьем ящиках к количеству картофеля в первом ящике. Оно показывает, во сколько раз картофеля во втором и третьем ящиках вместе больше, чем в первом.
Вычислим это отношение: $ \frac{0,5 + 0,3}{0,2} = \frac{0,8}{0,2} = 4 $.
Это значит, что во втором и третьем ящиках вместе в 4 раза больше картофеля, чем в первом ящике.
Ответ: отношение суммарного количества картофеля во втором и третьем ящиках к количеству картофеля в первом ящике.

3.13. а) В классе 30 учащихся, из них 6 человек получили за контрольную работу оценку «5». Какая часть класса получила оценку «5»? Сколько процентов всех учащихся это составляет?

б) Из 1000 семян моркови не взошло 20 семян. Найдите, сколько процентов семян взошло (процент всхожести)

3.13

а) В классе – 30 учащихся;

«5» - 6 уч;

$а) 6 : 30 = \frac{6}{30} = \frac{1}{5}$ - часть класса получила оценку «5»;

$\frac{1}{5} = \frac{1}{5} · 100\% = 20\%$

Ответ: $\frac{1}{5}; 20\%.$

б) Семян – 1000;

Не взошло – 20;

Взошло - ? %.

1) 1000 – 20 = 980 (с) – взошло;

2) 980 : 1000 = 0,98 • 100% = 98% - процент всхожести семян

Ответ: 98%.

а)

1. Сначала найдем, какую часть класса составляют 6 учеников от 30. Для этого нужно разделить количество учеников, получивших «5», на общее количество учеников в классе.

Часть = $\frac{6}{30}$

Эту дробь можно сократить, разделив числитель и знаменатель на 6:

$\frac{6 \div 6}{30 \div 6} = \frac{1}{5}$

Таким образом, $\frac{1}{5}$ часть класса получила оценку «5».

2. Теперь переведем эту часть в проценты. Для этого нужно умножить полученную дробь на 100%.

$\frac{1}{5} \times 100\% = \frac{100}{5}\% = 20\%$

Ответ: $\frac{1}{5}$ часть класса, что составляет 20%.

б)

1. Сначала определим количество семян моркови, которые взошли. Для этого из общего количества семян вычтем количество невзошедших семян.

$1000 - 20 = 980$ (семян)

2. Теперь найдем, какой процент от общего числа семян составляют взошедшие семена (процент всхожести). Для этого разделим количество взошедших семян на общее количество и умножим на 100%.

$\frac{980}{1000} \times 100\% = 0.98 \times 100\% = 98\%$

Ответ: 98%.

3.14. За жилищно–коммунальные услуги семья платила 3250 р. в месяц. После подорожания счёт за месяц составил 3900 р. На сколько процентов подорожали жилищно–коммунальные услуги?

3.14

Платили – 3250 р;

После подорожания – 3900р.

На сколько % подорожали - ?.

1) 3900 – 3250 = 650 (р) – больше стала платить семья;

2) 650 : 3250 = 0,2 •100% = 20% - подорожали жилищно – коммунальные услуги.

Ответ: на 20% подорожали жилищно – коммунальные услуги.

Для того чтобы определить, на сколько процентов подорожали жилищно-коммунальные услуги, нужно найти разницу в стоимости и соотнести ее с первоначальной ценой.

1. Находим абсолютное подорожание.

Вычтем из новой стоимости старую, чтобы узнать, на сколько рублей выросла цена:

$3900 \text{ р.} - 3250 \text{ р.} = 650 \text{ р.}$

Стоимость услуг увеличилась на 650 рублей.

2. Находим процентное увеличение.

Теперь необходимо рассчитать, какую долю составляет это увеличение от первоначальной цены. Для этого разделим абсолютное подорожание на исходную стоимость и умножим на 100%, чтобы выразить результат в процентах. Исходная стоимость (3250 р.) принимается за 100%.

Формула для расчета процентного изменения:

$ \text{Процентное увеличение} = \frac{\text{Новая цена} - \text{Старая цена}}{\text{Старая цена}} \times 100\% $

Подставим наши значения:

$ \frac{650}{3250} \times 100\% $

Сократим дробь:

$ \frac{650}{3250} = \frac{65}{325} = \frac{1}{5} $

Теперь умножим результат на 100%:

$ \frac{1}{5} \times 100\% = 0.2 \times 100\% = 20\% $

Ответ: Жилищно-коммунальные услуги подорожали на 20%.

3.15. Что показывает отношение:

а) числа всех карандашей, расфасованных в коробки, к числу коробок;
б) стоимости купленных тетрадей к их количеству;
в) количества собранного зерна к площади поля;
г) объёма куба к его высоте?

3.15

а) количество карандашей в одной коробке

б) цену тетради

в) урожайность

г) площадь основания куба.

а) Отношение числа всех карандашей, расфасованных в коробки, к числу коробок показывает, сколько карандашей в среднем находится в одной коробке. Если во всех коробках карандашей поровну, то это отношение показывает количество карандашей в каждой коробке. Например, если 120 карандашей разложили в 10 коробок, то отношение $120 / 10 = 12$ показывает, что в каждой коробке находится 12 карандашей.
Ответ: количество карандашей в одной коробке.

б) Отношение стоимости купленных тетрадей к их количеству показывает стоимость одной тетради, то есть её цену. Например, если за 5 тетрадей заплатили 100 рублей, то отношение $100 / 5 = 20$ показывает, что цена одной тетради составляет 20 рублей.
Ответ: цену одной тетради.

в) Отношение количества собранного зерна (обычно измеряется в единицах массы, например, в центнерах или тоннах) к площади поля (например, в гектарах) является важной сельскохозяйственной характеристикой, которая называется урожайностью. Она показывает, какое количество зерна было собрано с единицы площади поля.
Ответ: урожайность поля.

г) У куба все рёбра равны. Обозначим длину ребра куба как $a$. Тогда его высота также равна $a$, а объём вычисляется по формуле $V = a^3$. Отношение объёма куба к его высоте будет равно $\frac{V}{a} = \frac{a^3}{a} = a^2$. Величина $a^2$ — это площадь грани куба, в частности, площадь его основания.
Ответ: площадь основания куба.

3.16. Три отряда волонтёров собирали мусор в парке. Первый отряд собрал мусор с 45 % всей площади, второй — с 30 %, а третий — с 25 %. Вычислите, округлив ответ до десятых, сколько процентов составляет площадь, убранная:

а) первым отрядом, от площади, убранной двумя другими отрядами;
б) вторым отрядом, от площади, убранной двумя другими отрядами;
в) первым отрядом, от площади, убранной третьим отрядом;
г) вторым отрядом, от площади, убранной первым отрядом;
д) третьим отрядом, от площади, убранной вторым отрядом.

3.16

1 отряд – 45%;

2 отряд – 30 %;

3 отряд – 25%.

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }45\% : (30\% + 25\%) = 45\% : 55\%= \\ = 0,8181\dots · 100\% \approx 81,8\% \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} 30\% : (45\% + 25\%) =30\% : 70\% = \\ = 0,4285\dots · 100\% \approx 42,9\% \end{gathered}$$

$\mathit{в}\mathbf{)} 45\% : 25\% = 1,8 · 100\% = 180,0\%$

$\mathit{г}\mathbf{)} 30\% : 45\% = 0,6666\dots · 100\% \approx 66,7\%$

$\mathit{д}\mathbf{)} 25\% : 30\% = 0,8333\dots · 100\% \approx 83,3\%$

Обозначим доли площади, убранные каждым отрядом, как $P_1 = 45\%$, $P_2 = 30\%$ и $P_3 = 25\%$. Для решения задачи будем находить отношение соответствующих долей и выражать его в процентах.

а) первым отрядом, от площади, убранной двумя другими отрядами;
Сначала найдем суммарную площадь, убранную вторым и третьим отрядами: $P_2 + P_3 = 30\% + 25\% = 55\%$.Теперь найдем, какой процент составляет площадь, убранная первым отрядом ($P_1 = 45\%$), от найденной суммы. Для этого составим пропорцию:$\frac{P_1}{P_2 + P_3} \times 100\% = \frac{45}{55} \times 100\% = \frac{9}{11} \times 100\% \approx 0.8181... \times 100\% \approx 81.81...\%$Округлив до десятых, получаем $81.8\%$.
Ответ: $81.8\%$

б) вторым отрядом, от площади, убранной двумя другими отрядами;
Сначала найдем суммарную площадь, убранную первым и третьим отрядами: $P_1 + P_3 = 45\% + 25\% = 70\%$.Теперь найдем, какой процент составляет площадь, убранная вторым отрядом ($P_2 = 30\%$), от этой суммы:$\frac{P_2}{P_1 + P_3} \times 100\% = \frac{30}{70} \times 100\% = \frac{3}{7} \times 100\% \approx 0.4285... \times 100\% \approx 42.85...\%$Округлив до десятых, получаем $42.9\%$.
Ответ: $42.9\%$

в) первым отрядом, от площади, убранной третьим отрядом;
Найдем, какой процент составляет площадь, убранная первым отрядом ($P_1 = 45\%$), от площади, убранной третьим отрядом ($P_3 = 25\%$):$\frac{P_1}{P_3} \times 100\% = \frac{45}{25} \times 100\% = 1.8 \times 100\% = 180\%$Округлять до десятых не нужно, но для единообразия формата можно записать как $180.0\%$.
Ответ: $180.0\%$

г) вторым отрядом, от площади, убранной первым отрядом;
Найдем, какой процент составляет площадь, убранная вторым отрядом ($P_2 = 30\%$), от площади, убранной первым отрядом ($P_1 = 45\%$):$\frac{P_2}{P_1} \times 100\% = \frac{30}{45} \times 100\% = \frac{2}{3} \times 100\% \approx 0.6666... \times 100\% \approx 66.66...\%$Округлив до десятых, получаем $66.7\%$.
Ответ: $66.7\%$

д) третьим отрядом, от площади, убранной вторым отрядом.
Найдем, какой процент составляет площадь, убранная третьим отрядом ($P_3 = 25\%$), от площади, убранной вторым отрядом ($P_2 = 30\%$):$\frac{P_3}{P_2} \times 100\% = \frac{25}{30} \times 100\% = \frac{5}{6} \times 100\% \approx 0.8333... \times 100\% \approx 83.33...\%$Округлив до десятых, получаем $83.3\%$.
Ответ: $83.3\%$

3.17. Ученик прочитал в 3 раза меньше страниц книги, чем ему осталось прочитать. Определите:

а) какую часть страниц книги прочитал ученик, а какую — осталось;
б) сколько процентов страниц книги прочитано и сколько осталось прочитать;
в) какую часть от прочитанных страниц составляют те, что осталось прочитать.

3.17

1 + 3 = 4 части – вся книга

а)

$1) 1 : 4 = \frac{1}{4}$ часть книги – прочитал, 

$2) 3 : 4 = \frac{3}{4}$части книги – осталось прочитать;

б)

$1) 1 : 4 = 0,25 · 100\% = 25\%$ книги – прочитано;

$2) 100\% – 25\%= 75\%$книги – осталось прочитать;

в)

$1 : 3 = \frac{1}{3}$часть от прочитанных страниц составляют те, что осталось прочитать.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — это количество страниц, которое ученик уже прочитал. По условию, это в 3 раза меньше, чем ему осталось прочитать. Следовательно, количество страниц, которое осталось прочитать, составляет $3x$.

Общее количество страниц в книге — это сумма прочитанных и оставшихся страниц: $x + 3x = 4x$.

а) какую часть страниц книги прочитал ученик, а какую — осталось;
Чтобы найти, какую часть от всей книги составляют прочитанные страницы, нужно разделить количество прочитанных страниц на общее количество страниц в книге.
Часть, которую ученик прочитал: $\frac{x}{4x} = \frac{1}{4}$.
Чтобы найти, какую часть от всей книги составляют оставшиеся страницы, нужно разделить количество оставшихся страниц на общее количество страниц в книге.
Часть, которую осталось прочитать: $\frac{3x}{4x} = \frac{3}{4}$.
Ответ: ученик прочитал $\frac{1}{4}$ часть книги, а осталось прочитать $\frac{3}{4}$ часть книги.

б) сколько процентов страниц книги прочитано и сколько осталось прочитать;
Чтобы выразить части книги в процентах, необходимо умножить полученные в пункте а) дроби на 100%.
Процент прочитанных страниц: $\frac{1}{4} \cdot 100\% = 25\%$.
Процент оставшихся для прочтения страниц: $\frac{3}{4} \cdot 100\% = 75\%$.
Ответ: прочитано 25% страниц книги, а осталось прочитать 75%.

в) какую часть от прочитанных страниц составляют те, что осталось прочитать.
В этом вопросе необходимо найти отношение количества оставшихся страниц к количеству уже прочитанных страниц.
Отношение оставшихся страниц ($3x$) к прочитанным ($x$): $\frac{3x}{x} = 3$.
Это означает, что количество оставшихся страниц в 3 раза больше, чем количество прочитанных.
Ответ: оставшиеся для прочтения страницы составляют 3 части от прочитанных страниц.

3.18. а) Математику в седьмом классе изучают за 210 уроков на трёх курсах: алгебре, геометрии и вероятности и статистике. Найдите число уроков по каждому курсу, если число уроков алгебры и число уроков геометрии относятся как 3 : 2, а вероятность и статистика изучается 35 уроков.

б) Сплав массой 4,56 кг состоит из олова и сурьмы, массы которых относятся, как 47 : 10. Сколько в сплаве килограммов сурьмы?

3.18

а) Всего – 210 уроков;

Алгебра – ? уроков, 3 части

Геометрия – ? уроков, 2 части

Вероятность и статистка – 35 уроков.

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }210 – 35 = 175$(ур.) – по алгебре и геометрии;

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }3 + 2 = 5$частей - по алгебре и геометрии;

$\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{ }175 : 5 = 35$(ур.) – приходится на одну часть;

$\mathbf{4}\mathbf{)} 35 · 3 = 105$(ур.) – алгебры;

$\mathbf{5}\mathbf{)}\mathbf{ }35 · 2 = 70$ (ур.) – геометрии.

Ответ: 105 уроков алгебры, 70 уроков геометрии и 35 уроков вероятность и статистика.

б) Сплав – 4,56 кг.

Олово – ? кг, 47 частей;

Сурьма – ? кг, 10 частей.

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }47 + 10 = 57$(ч) – состоит сплав;

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }4,56 : 57 = 0,08$(кг) – приходится на одну часть;

$\mathbf{3}\mathbf{)} 10 · 0,08 = 0,8$ (кг) – сурьма;

Ответ: 0,8 кг сурьмы.

а)

1. Сначала найдем общее количество уроков по алгебре и геометрии. Для этого из общего числа уроков (210) вычтем количество уроков по вероятности и статистике (35):
$210 - 35 = 175$ (уроков) – приходится на алгебру и геометрию вместе.

2. По условию, число уроков алгебры и число уроков геометрии относятся как $3:2$. Это значит, что общее количество их уроков можно разделить на $3+2=5$ равных частей.

3. Найдем, сколько уроков приходится на одну часть, разделив 175 уроков на 5 частей:
$175 / 5 = 35$ (уроков) – в одной части.

4. Теперь можем найти количество уроков по каждому из курсов:
- Алгебра (3 части): $3 \times 35 = 105$ уроков.
- Геометрия (2 части): $2 \times 35 = 70$ уроков.
- Вероятность и статистика: 35 уроков (по условию).

Проверка: $105 + 70 + 35 = 210$ уроков. Соотношение $105:70$ сокращается до $3:2$. Все верно.

Ответ: 105 уроков алгебры, 70 уроков геометрии, 35 уроков по вероятности и статистике.

б)

1. Масса сплава состоит из массы олова и массы сурьмы. Их соотношение равно $47:10$. Это означает, что весь сплав можно условно разделить на $47 + 10 = 57$ равных частей.

2. Общая масса сплава составляет 4,56 кг, что соответствует 57 частям. Найдем массу одной части, разделив общую массу на количество частей:
$4,56 \text{ кг} / 57 = 0,08 \text{ кг}$ – масса одной части.

3. На сурьму в сплаве приходится 10 частей. Чтобы найти массу сурьмы, умножим количество ее частей на массу одной части:
$10 \times 0,08 \text{ кг} = 0,8 \text{ кг}$.

Ответ: в сплаве 0,8 килограммов сурьмы.

3.19. Найти, сколько процентов число 9,614 составляет от числа 83,6, можно, выполнив вычисление на калькуляторе по алгоритму 9,614 ÷ 83,6 % . Используя калькулятор:

а) найдите, сколько процентов составляет 0,1141 от 45,64 и 20,447 от 25,4;

б) решите задачу: «На овощной базе из 426 ц овощей продали 375 ц. Сколько процентов овощей продали? Сколько процентов овощей осталось продать?»

Ответ округлите до десятых долей процента.

3.19

а) 0,1141 : 45,64 = 0,25%;

20,447 : 25,4 = 80,5%

б) Овощей – 426 ц;

Продали – 375 ц.

$\mathbf{1}\mathbf{)} 375 : 426 \approx 0,8802\dots · 100\% \approx 88,0\%$- овощей продали;

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }100\% – 88\% \approx 12,0\%$ - овощей осталось продать

Ответ: 88,0%, 12,0%.

а) Чтобы найти, какой процент составляет одно число от другого, необходимо первое число разделить на второе и результат умножить на 100.
Найдем, сколько процентов составляет число 0,1141 от 45,64:
$(0,1141 \div 45,64) \times 100\% = 0,0025 \times 100\% = 0,25\%$
Согласно условию, ответ необходимо округлить до десятых долей процента. Округляем $0,25\%$ и получаем $0,3\%$.

Аналогично найдем, сколько процентов составляет число 20,447 от 25,4:
$(20,447 \div 25,4) \times 100\% = 0,805 \times 100\% = 80,5\%$
Этот результат уже имеет точность до десятых долей процента, поэтому дополнительное округление не требуется.
Ответ: 0,3% и 80,5%.

б) В задаче дано, что общее количество овощей составляет 426 центнеров (ц), а продали из них 375 ц.
1. Найдем, сколько процентов овощей продали. Для этого найдем отношение количества проданных овощей к общему количеству и выразим его в процентах:
$\frac{375}{426} \times 100\% \approx 0,88028169... \times 100\% \approx 88,028...\%$
Округляем результат до десятых долей процента: $88,0\%$.
Таким образом, продали 88,0% овощей.

2. Найдем, сколько процентов овощей осталось продать. Сначала вычислим, какое количество овощей осталось на базе:
$426 \text{ ц} - 375 \text{ ц} = 51 \text{ ц}$
Теперь вычислим, какой процент от общего количества составляют оставшиеся овощи:
$\frac{51}{426} \times 100\% \approx 0,1197183... \times 100\% \approx 11,971...\%$
Округляем результат до десятых долей процента: $12,0\%$.
Этот же результат можно получить, вычтя процент проданных овощей из 100%: $100\% - 88,0\% = 12,0\%$.
Таким образом, осталось продать 12,0% овощей.
Ответ: продали 88,0% овощей; осталось продать 12,0% овощей.

3.20. Вычислите.

3.20

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} 15 · 10 = 150; \\ 150 + 350 = 500; \\ 500 : 25 = 20; \\ 20 · 20 = 400; \\ 400 – 150 = 250; \end{gathered}$$     

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }900 : 15 = 60; \\ 60 · 9 = 540; \\ 540 + 260 = 800; \\ 800 : 16 = 50; \\ 50 · 20 = 1000; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }1 · 4 = 4; \\ 4 – 0,1 = 3,9; \\ 3,9 · 6 = 23,4; \\ 23,4 : 4,5 = 234 : 45 = 5,2 \\ 5,2 + 0,38 = 5,58 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }1,4 + 3,6 = 5; \\ 5 : 0,25 = 500 : 25= 20; \\ 20 · 0,14 = 2,8; \\ 2,8 – 2,7 = 0,1; \\ 0,1 · 7,3 = 0,73. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{д}\mathbf{)}\mathbf{ }3 · 1,6 = 4,8; \\ 4,8 – 1,2 = 3,6; \\ 3,6 : 1,8 = 36 : 18 = 2; \\ 2 – 0,2 = 1,8; \\ 1,8 · 0,4 = 0,72. \end{gathered}$$

а) Решим пример по действиям:
1) $15 \cdot 10 = 150$
2) $150 + 350 = 500$
3) $500 : 25 = 20$
4) $20 \cdot 20 = 400$
5) $400 - 150 = 250$
Ответ: 250

б) Решим пример по действиям:
1) $900 : 15 = 60$
2) $60 \cdot 9 = 540$
3) $540 + 260 = 800$
4) $800 : 16 = 50$
5) $50 \cdot 20 = 1000$
Ответ: 1000

в) Решим пример по действиям:
1) $1 \cdot 4 = 4$
2) $4 - 0,1 = 3,9$
3) $3,9 \cdot 6 = 23,4$
4) $23,4 : 4,5 = 5,2$
5) $5,2 + 0,38 = 5,58$
Ответ: 5,58

г) Решим пример по действиям:
1) $1,4 + 3,6 = 5$
2) $5 : 0,25 = 20$
3) $20 \cdot 0,14 = 2,8$
4) $2,8 - 2,7 = 0,1$
5) $0,1 \cdot 7,3 = 0,73$
Ответ: 0,73

д) Решим пример по действиям:
1) $3 \cdot 1,6 = 4,8$
2) $4,8 - 1,2 = 3,6$
3) $3,6 : 1,8 = 2$
4) $2 - 0,2 = 1,8$
5) $1,8 \cdot 0,4 = 0,72$
Ответ: 0,72

7. Рассчитайте, сколько паркетной доски размером 1 м 60 см на 17 см надо купить, чтобы застелить пол в комнате размером 5,6 м на 3,6 м. Остатки доски меньше 40 см не использовать.

7.

1 м 60 см = 160 см = 1,6 м; 17 см = 0,17 м.

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }1,6 · 0,17 = 0,272 ({\mathrm{м}}^2)$ – площадь одной доски;

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }5,6 · 3,6 = 20,16 ({\mathrm{м}}^2)$ – площадь пола

$$\begin{gathered} \mathbf{3}\mathbf{)} 20,16 : 0,272 = 20160 : 272 = \\ =74,11\dots \approx 75 \mathrm{досок} \end{gathered}$$

Ответ: 75 досок

Для решения задачи сначала переведем все размеры в одну единицу измерения — сантиметры (см), так как это позволит избежать ошибок при работе с дробными числами.

Размеры комнаты: длина $5,6$ м = $560$ см, ширина $3,6$ м = $360$ см.

Размеры одной паркетной доски: длина $1$ м $60$ см = $160$ см, ширина $17$ см.

Ограничение по остаткам: куски доски длиной менее $40$ см не используются.

Чтобы определить необходимое количество досок, нужно рассмотреть два возможных варианта их укладки: параллельно длинной стене комнаты и параллельно короткой. Выберем тот вариант, который требует меньшего количества материала.

Вариант 1: Укладка досок параллельно длинной стене (560 см)

При такой укладке ряды досок будут идти вдоль стены длиной 560 см. Ширина комнаты (360 см) будет покрываться рядами досок, каждая из которых имеет ширину 17 см.

1. Сначала найдем необходимое количество рядов. Для этого разделим ширину комнаты на ширину одной доски:$N_{рядов} = \frac{360 \text{ см}}{17 \text{ см}} \approx 21,18$Поскольку количество рядов должно быть целым, округляем результат в большую сторону. Таким образом, потребуется $22$ ряда.

2. Теперь рассчитаем, сколько досок необходимо для укладки одного ряда длиной $560$ см. Длина одной доски составляет $160$ см.$\frac{560 \text{ см}}{160 \text{ см}} = 3,5$Это означает, что на каждый ряд уходит 3 целые доски и один кусок длиной $560 - 3 \times 160 = 560 - 480 = 80$ см.Чтобы получить кусок в $80$ см, нужно распилить целую доску ($160$ см). Остаток от этого распила составит $160 - 80 = 80$ см. Этот остаток больше $40$ см, следовательно, он пригоден для использования.

3. Рассчитаем общее количество досок на все $22$ ряда.Количество досок, укладываемых целиком: $22 \text{ ряда} \times 3 \text{ доски/ряд} = 66$ досок.Кроме того, нам нужно $22$ куска по $80$ см. Из одной целой доски ($160$ см) можно получить два таких куска ($80 \text{ см} + 80 \text{ см}$). Значит, для изготовления $22$ кусков потребуется: $\frac{22}{2} = 11$ досок.Итого, общее количество досок для этого варианта: $66 + 11 = 77$ досок.

Вариант 2: Укладка досок параллельно короткой стене (360 см)

В этом случае ряды досок будут располагаться вдоль стены длиной 360 см. Ширина комнаты (560 см) будет покрываться рядами досок по 17 см.

1. Найдем количество рядов:$N_{рядов} = \frac{560 \text{ см}}{17 \text{ см}} \approx 32,94$Округляем в большую сторону и получаем $33$ ряда.

2. Рассчитаем, сколько досок нужно для одного ряда длиной $360$ см.$\frac{360 \text{ см}}{160 \text{ см}} = 2,25$Это означает, что на каждый ряд уходит 2 целые доски и один кусок. Длина этого куска: $360 - 2 \times 160 = 360 - 320 = 40$ см.Согласно условию, остатки меньше $40$ см не используются. Кусок длиной ровно $40$ см использовать можно. Остаток от распила доски для этого куска составит $160 - 40 = 120$ см, который также пригоден для использования.

3. Рассчитаем общее количество досок на все $33$ ряда.Количество досок, укладываемых целиком: $33 \text{ ряда} \times 2 \text{ доски/ряд} = 66$ досок.Нам необходимо $33$ куска по $40$ см. Из одной целой доски ($160$ см) можно нарезать ровно $160 / 40 = 4$ таких куска.Для изготовления $33$ кусков понадобится: $\lceil \frac{33}{4} \rceil = \lceil 8,25 \rceil = 9$ досок.Итого, общее количество досок для этого варианта: $66 + 9 = 75$ досок.

Сравнив два варианта, мы видим, что второй способ укладки (75 досок) является более экономичным, чем первый (77 досок). Следовательно, для минимизации затрат следует выбрать его.

Ответ: чтобы застелить пол в комнате, надо купить 75 паркетных досок.

8. Экспертная лаборатория определяет рейтинг R фенов по показателям функциональности F, качеству Q и дизайну D на основе коэффициента ценности, равного 0,01 средней цены Р. Показатели оцениваются целым числом от 0 до 4. Рейтинг вычисляется по формуле: R = 4(2F + 2Q + D) − 0,01Р. Какая модель фенов, представленных в таблице, получит наивысший рейтинг?

8.

R = 4(2F + 2Q + D) – 0,01P

R_A = 4(2 ∙ 3 + 2 ∙ 1 + 3) – 0,01 ∙ 1580 = 28,2 – модель А

R_Б = 4 4(2 ∙ 1 + 2 ∙ 2 + 2) – 0,01 ∙ 1610 = 15,9 – модель Б

R_В = 4(2 ∙ 2 + 2 ∙ 3 + 1) – 0,01 ∙ 2150 = 22,5 – модель В

R_Г = 4(2 ∙ 0 + 2 ∙ 2 + 0) – 0,01 ∙ 1970 = –3,7 – модель Г

Ответ: наивысший рейтинг у модели А

Для того чтобы определить, какая модель фена получит наивысший рейтинг, необходимо вычислить значение рейтинга $R$ для каждой модели по формуле $R = 4(2F + 2Q + D) - 0,01P$, используя данные из таблицы.

А

Для модели А с параметрами $F=3$, $Q=1$, $D=3$ и средней ценой $P=1580$ р., рейтинг составляет:

$R_А = 4(2 \cdot 3 + 2 \cdot 1 + 3) - 0,01 \cdot 1580 = 4(6 + 2 + 3) - 15,8 = 4 \cdot 11 - 15,8 = 44 - 15,8 = 28,2$.

Б

Для модели Б с параметрами $F=1$, $Q=2$, $D=2$ и средней ценой $P=1610$ р., рейтинг составляет:

$R_Б = 4(2 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 2) - 0,01 \cdot 1610 = 4(2 + 4 + 2) - 16,1 = 4 \cdot 8 - 16,1 = 32 - 16,1 = 15,9$.

В

Для модели В с параметрами $F=2$, $Q=3$, $D=1$ и средней ценой $P=2150$ р., рейтинг составляет:

$R_В = 4(2 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 1) - 0,01 \cdot 2150 = 4(4 + 6 + 1) - 21,5 = 4 \cdot 11 - 21,5 = 44 - 21,5 = 22,5$.

Г

Для модели Г с параметрами $F=0$, $Q=2$, $D=0$ и средней ценой $P=1970$ р., рейтинг составляет:

$R_Г = 4(2 \cdot 0 + 2 \cdot 2 + 0) - 0,01 \cdot 1970 = 4(0 + 4 + 0) - 19,7 = 4 \cdot 4 - 19,7 = 16 - 19,7 = -3,7$.

Сравнив полученные значения рейтингов ($R_А=28,2; R_Б=15,9; R_В=22,5; R_Г=-3,7$), приходим к выводу, что наивысший рейтинг у модели А.

Ответ: А.

9. Длина рулона обоев равна 10 м, а его ширина − 0,5 м. Сколько нужно рулонов обоев для комнаты длиной 6,2 м, шириной 4,5 м и высотой 3 м, если площадь окон и дверей составляет 10 % общей площади?

9.

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }(6,2 + 4,5) · 3 · 2 = 10,7 · 3 · 2 =$

$= 32,1 · 2 = 64,2 \left({\mathrm{м}}^2\right)$ – площадь стен без учета окон и дверей;

$\mathbf{2}\mathbf{)} 64,2 · \frac{10}{100} = 64, 2 · 0,1 = 6,42 ({\mathrm{м}}^2)$ – площадь окон и дверей;

$\mathbf{3}\mathbf{)} 64,2 – 6,42 = 57,78 ({\mathrm{м}}^2)$ – оклеиваемая площадь;

$\mathbf{4}\mathbf{)}\mathbf{ }10 · 0,5 = 5 ({\mathrm{м}}^2)$– площадь одного рулона обоев;

$\mathbf{5}\mathbf{)} 57,78 : 5 = 11,55\dots \approx 12$(рулонов) – обоев потребуется

Ответ: 12 рулонов

Для решения этой задачи необходимо последовательно вычислить площадь стен для оклейки, площадь одного рулона обоев и, наконец, необходимое количество рулонов.

1. Находим общую площадь стен комнаты.

Сначала вычислим периметр комнаты ($P$), которая имеет длину ($l$) 6,2 м и ширину ($w$) 4,5 м:

$P = 2 \cdot (l + w) = 2 \cdot (6,2 + 4,5) = 2 \cdot 10,7 = 21,4$ м.

Затем, зная высоту комнаты ($h$) 3 м, найдем общую площадь стен ($S_{общая}$), умножив периметр на высоту:

$S_{общая} = P \cdot h = 21,4 \cdot 3 = 64,2$ м².

2. Находим площадь стен для поклейки обоями.

По условию, площадь окон и дверей составляет 10% от общей площади стен. Следовательно, площадь, которую нужно оклеить обоями ($S_{поклейки}$), составляет $100\% - 10\% = 90\%$ от общей площади.

$S_{поклейки} = S_{общая} \cdot 0,9 = 64,2 \cdot 0,9 = 57,78$ м².

3. Находим площадь одного рулона обоев.

Длина рулона — 10 м, а ширина — 0,5 м. Площадь одного рулона ($S_{рулона}$) равна:

$S_{рулона} = 10 \cdot 0,5 = 5$ м².

4. Рассчитываем необходимое количество рулонов.

Для этого разделим площадь для поклейки на площадь одного рулона:

Количество рулонов = $\frac{S_{поклейки}}{S_{рулона}} = \frac{57,78}{5} = 11,556$.

Так как рулоны продаются только целиком, полученное число необходимо округлить в большую сторону до ближайшего целого числа. Таким образом, потребуется 12 рулонов.

Ответ: 12 рулонов.

10. Прочитайте внимательно текст и выполните задания 1−6.

Родители Юры и Светы решили на следующий год начать строительство нового дома в деревне, где живут их родители. Сначала они планируют залить ленточный фундамент из бетона для деревянного дома размером 8 X 12 м с одной внутренней перегородкой (рис. 6.41, а). Подземная часть фундамента планируется глубиной 0,9 м, а наземная часть высотой 0,40 м. Высота подушки гравия под фундамент должна составлять 15%, а песчаной 20 % от глубины подземной части фундамента (рис. 6.41, б). Стоимость кубометра гравия с доставкой 1900 р., а песка 720 от стоимости бетона.

Если траншею вырыть вручную, то залить бетон в траншею можно без опалубки. Для наземной части нужны опалубка из обрезной доски толщиной 25 мм и шириной 150 мм и крепёж для опалубки (рис. 6.41, в). Для столбиков крепежа в деревне есть арматура, а для крепежа сверху Юра распилит старые бруски.

Бетон можно заказать у трёх производителей.

Цена доставки бетона за кубометр у трёх поставщиков зависит от расстояния: до 10 км − 400 р., до 15 км − 450 р., до 20 км − 500 р. Цена кубометра бетона и дополнительные условия доставки бетона у трёх поставщиков приведены в таблице.

Осиновые доски длиной 6 м можно купить по цене от 10 тыс. р. за кубометр, а из хвои на 9 % дешевле, но осина хуже поддаётся гниению. Она практически не гниёт в воде и из неё делают лёгкие лодки. Бабушка планирует замену парников на следующий год, для них тоже потребуются доски. Доставка сосновых досок стоит 1400 р., а из осины − на 300 р. дешевле.

1. Определите объём фундамента.

2. Найдите, сколько кубометров песка потребуется для фундамента, и рассчитайте его стоимость.

3. Найдите, сколько кубометров гравия потребуется для фундамента, и рассчитайте его стоимость.

4. Найдите, сколько кубометров бетона потребуется для фундамента. Рассчитайте наиболее дешёвый вариант покупки бетона с доставкой на расстояние 15 км.

5. Найдите, сколько кубометров досок потребуется для фундамента. Определите стоимость покупки досок и решите, какие доски целесообразно приобрести.

6. Определите затраты на материалы для фундамента. Что можно исключить из затрат?

10.

1)

$$\begin{gathered} (10 · 0,5 · 2 + (8 – 0,5 – 0,5 ) · 0,5 · 3) \times \\ \times (0,9 + 0,4) = (10 + 10,5) · 1,3 = 20,5 · 1,3 = \\ = 26,65 \left({\mathrm{м}}^3\right) \end{gathered}$$

2)

$(10 · 0,5 · 2 + (8 – 0,5 – 0,5 ) · 0,5 · 3) · 0,9 · 0,2 =$

$= (10 + 10,5) · 0,18 = 20,5 · 0,18 = 3,69 \left({\mathrm{м}}^3\right)$ – песка потребуется

Если бетон брать у поставщика А, то стоимость песка составит

$\frac{7}{10} · 3100 = 1085$ (руб.) – за 1 м³

$3,69 · 1085 = 4003,65$ (руб.) – стоимость песка

3)

$(10 · 0,5 · 2 + (8 – 0,5 – 0,5 ) · 0,5 · 3) · 0,9 · 0,15 =$

$= (10 + 10,5) · 0,135 = 20,5 · 0,135 = 2,7675 \left({\mathrm{м}}^3\right)$– гравия потребуется

$2,7675 · 1900 = 5258,25$(р) – стоимость гравия

4)

$26,65 · 3100 + 500 · 0,05 = 82615 + 25 = 82640$(р) – от поставщика А

$26,65 · 3150 + 450 · 0,1 = 83947,5 + 45 = 83992,5$(р) – от поставщика Б

$26,65 · 3250 = 86612,5$(р) – от поставщика В

Дешевле от поставщика А.

5)

$8 · 2 + 10 · 2 + 7 · 4 + 8,5 · 2 =$

$16 + 20 + 28 + 17 = 67$(м) – длина досок для опалубки

$0,4 : 0,15 = 40 : 15 = 2,666\dots \approx 3$(доски) – для опалубки 

$67 \stackrel{1}{·} 0,15 \stackrel{3}{·} 0,025\stackrel{2}{ ·} 3 = 0,75375 \left({\mathrm{м}}^3\right)$– досок пойдет на фундамент

1.	2.
3.

$0,75375 · 10000 + (1400 – 300) =$

$= 7537,5 + 1100 = 8637,5$(руб.) – стоят осиновые доски с доставкой

$10000 – 10000 · 0,09 = 10000 – 900 = 9100$(руб.) – стоит 1 м³ хвойных досок

$0,75375 · 9100 + 1400 = 6859,125 + 1400 =$

$8259,125$(руб.) – стоят доски из хвои с доставкой

Дешевле купить доски из хвои.

6)

$4003,65 + 5258,25 + 82640 + 8259,125 =$

$= 100161,025$ (руб.) – затраты на материалы для фундамента

Если копать вручную, то можно из затрат убрать стоимость досок для подземной части фундамента.

1. Определите объём фундамента, и рассчитайте его стоимость.

Сначала найдём общие габариты ленточного фундамента. Согласно плану (рис. 6.41, а), фундамент представляет собой прямоугольник 10×8 м с одной внутренней перегородкой длиной 8 м. Ширина фундамента – 0.5 м.

Для расчёта объёма удобнее всего использовать метод расчёта по длине осевой линии.

1. Длина осевой линии внешнего прямоугольника: $L_{внеш} = 2 \times ((10 - 0.5) + (8 - 0.5)) = 2 \times (9.5 + 7.5) = 34$ м.

2. Длина осевой линии внутренней перегородки (она соединяет центры противоположных стен): $L_{внутр} = 8 - 2 \times 0.25 = 7.5$ м.

3. Общая длина осевой линии фундамента: $L_{общ} = 34 + 7.5 = 41.5$ м.

4. Площадь фундамента в плане: $S = L_{общ} \times Ширина = 41.5 \times 0.5 = 20.75$ м².

5. Общая высота фундамента: $H_{общ} = H_{подзем} + H_{надзем} = 0.9 + 0.4 = 1.3$ м.

6. Общий объём фундамента (объём земляных работ): $V_{общ} = S \times H_{общ} = 20.75 \times 1.3 = 26.975$ м³.

Для расчёта стоимости необходимо определить затраты на все материалы (гравий, песок, бетон, доски), что требует решения последующих задач. Проведя все расчёты (см. пункты 2–5), получаем, что общая стоимость материалов для фундамента составит 91 325 рублей (при выборе более долговечных досок из осины для опалубки).

Ответ: Общий объём фундамента составляет 26.975 м³, а его полная стоимость – 91 325.00 р.

2. Найдите, сколько кубометров песка потребуется для фундамента, и рассчитайте его стоимость.

1. Высота подушки из песка составляет 20% от глубины подземной части фундамента: $H_{песок} = 0.9 \times 0.20 = 0.18$ м.

2. Объём песка: $V_{песок} = S \times H_{песок} = 20.75 \times 0.18 = 3.735$ м³.

3. Стоимость кубометра песка составляет $\frac{7}{20}$ от стоимости кубометра бетона. Чтобы рассчитать стоимость, нужно выбрать поставщика бетона. Из решения задачи 4 мы знаем, что наиболее выгодный вариант — поставщик Б с ценой 3150 р. за м³.

4. Цена песка: $Цена_{песок} = \frac{7}{20} \times 3150 = 0.35 \times 3150 = 1102.5$ р. за м³.

5. Общая стоимость песка: $Стоимость_{песок} = V_{песок} \times Цена_{песок} = 3.735 \times 1102.5 = 4117.8375 \approx 4117.84$ р.

Ответ: Потребуется 3.735 м³ песка, его стоимость составит 4117.84 р.

3. Найдите, сколько кубометров гравия потребуется для фундамента, и рассчитайте его стоимость.

1. Высота подушки из гравия составляет 15% от глубины подземной части фундамента: $H_{гравий} = 0.9 \times 0.15 = 0.135$ м.

2. Объём гравия: $V_{гравий} = S \times H_{гравий} = 20.75 \times 0.135 = 2.80125$ м³.

3. Стоимость кубометра гравия с доставкой составляет 1900 р.

4. Общая стоимость гравия: $Стоимость_{гравий} = V_{гравий} \times 1900 = 2.80125 \times 1900 = 5322.375 \approx 5322.38$ р.

Ответ: Потребуется 2.80125 м³ гравия, его стоимость составит 5322.38 р.

4. Найдите, сколько кубометров бетона потребуется для фундамента. Рассчитайте наиболее дешёвый вариант покупки бетона с доставкой на расстояние 15 км.

1. Объём бетона равен общему объёму фундамента за вычетом объёмов гравийной и песчаной подушек.

$V_{бетон} = V_{общ} - V_{песок} - V_{гравий} = 26.975 - 3.735 - 2.80125 = 20.43875$ м³.

2. Рассчитаем стоимость у каждого возможного поставщика для доставки на 15 км. Поставщик В (10 км) не подходит.

Поставщик А (расстояние 20 км):

• Цена бетона: 3100 р./м³. Стоимость: $20.43875 \times 3100 = 63350.13$ р.

• Сумма заказа > 35 000 р., значит, на доставку действует скидка 5%.

• Стоимость доставки (тариф до 20 км): $(20.43875 \times 500) \times (1 - 0.05) = 10219.38 \times 0.95 = 9708.41$ р.

• Итого у А: $63350.13 + 9708.41 = 73058.54$ р.

Поставщик Б (расстояние 15 км):

• Цена бетона: 3150 р./м³. Стоимость: $20.43875 \times 3150 = 64382.06$ р.

• Сумма заказа > 26 000 р., значит, на доставку действует скидка 10%.

• Стоимость доставки (тариф до 15 км): $(20.43875 \times 450) \times (1 - 0.10) = 9197.44 \times 0.90 = 8277.70$ р.

• Итого у Б: $64382.06 + 8277.70 = 72659.76$ р.

Сравнение показывает, что вариант с поставщиком Б дешевле.

Ответ: Потребуется 20.43875 м³ бетона. Наиболее дешёвый вариант — заказать у поставщика Б, общая стоимость составит 72 659.76 р.

5. Найдите, сколько кубометров досок потребуется для фундамента. Определите стоимость покупки досок и решите, какие доски целесообразно приобрести.

1. Опалубка нужна для надземной части фундамента высотой 0.4 м. Она устанавливается с двух сторон по всему периметру и для перегородки.

• Длина опалубки с внешней стороны периметра: $2 \times (10 + 8) = 36$ м.

• Длина опалубки с внутренней стороны периметра: $2 \times ((10-1) + (8-1)) = 32$ м.

• Длина опалубки для перегородки (с двух сторон): $2 \times (8 - 1) = 14$ м.

• Общая длина стен опалубки: $36 + 32 + 14 = 82$ м.

2. Ширина доски 150 мм (0.15 м). Чтобы покрыть высоту 0.4 м, нужно $0.4 / 0.15 \approx 2.67$, то есть 3 ряда досок.

3. Общая длина досок: $82 \times 3 = 246$ м.

4. Доски продаются длиной 6 м. Количество досок: $246 / 6 = 41$ шт.

5. Объём одной доски: $6 \times 0.15 \times 0.025 = 0.0225$ м³.

6. Общий объём досок: $41 \times 0.0225 = 0.9225$ м³.

7. Сравним стоимость:

• Осиновые доски: $0.9225$ м³ $\times 10 000$ р./м³ = 9225 р.

• Доски из хвои: Цена на 9% дешевле: $10 000 \times (1-0.09) = 9100$ р./м³. Стоимость: $0.9225 \times 9100 = 8394.75$ р.

8. Выбор: Доски из хвои дешевле на $9225 - 8394.75 = 830.25$ р. Однако в условии сказано, что осина почти не гниёт и доски могут понадобиться в будущем для постройки парников. В долгосрочной перспективе покупка более качественных и долговечных досок из осины является более целесообразной, так как их можно будет использовать повторно.

Ответ: Потребуется 0.9225 м³ досок. Стоимость досок из хвои — 8394.75 р., из осины — 9225 р. Целесообразнее приобрести доски из осины из-за их долговечности и возможности повторного использования.

6. Определите затраты на материалы для фундамента. Что можно исключить из затрат?

Затраты на материалы для фундамента складываются из стоимости гравия, песка, бетона и досок для опалубки.

1. Стоимость гравия: 5322.38 р.

2. Стоимость песка: 4117.84 р.

3. Стоимость бетона (наиболее выгодный вариант): 72 659.76 р.

4. Стоимость досок (выбираем целесообразный вариант из осины): 9225.00 р.

5. Общие затраты: $5322.38 + 4117.84 + 72659.76 + 9225.00 = 91324.98 \approx 91325.00$ р.

Согласно условию, у семьи уже есть некоторые материалы. Поэтому из общих затрат на строительство фундамента можно исключить расходы на арматуру и крепёж для опалубки (бруски), так как они уже имеются в наличии.

Ответ: Суммарные затраты на материалы для фундамента составят 91 325.00 р. Из затрат можно исключить стоимость арматуры и брусков для крепежа опалубки, так как они есть в деревне.