Страница 115, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

1. Найдите значение дробного выражения 1516 : 252257 : 1114 .

Проверочная работа

1.

$$\begin{gathered} \frac{{\displaystyle \frac{15}{16}} : {\displaystyle \frac{25}{22}}}{{\displaystyle \frac{5}{7}} : 1{\displaystyle \frac{1}{14}}} = \frac{{\displaystyle \frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{15}}}}{{\displaystyle \underset{8}{\bcancel{16}}}}} · {\displaystyle \frac{{\displaystyle \stackrel{11}{\bcancel{22}}}}{{\displaystyle \underset{5}{\cancel{25}}}}}}{{\displaystyle \frac{5}{7}} : {\displaystyle \frac{15}{14}}} = \frac{{\displaystyle \frac{3}{8}} · {\displaystyle \frac{11}{5}}}{{\displaystyle \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{5}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{7}}}}} · {\displaystyle \frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\cancel{14}}}}{{\displaystyle \underset{3}{\bcancel{15}}}}}}= \\ =\frac{{\displaystyle \frac{33}{40}}}{{\displaystyle \frac{1}{1}} · {\displaystyle \frac{2}{3}}}=\frac{{\displaystyle \frac{33}{40}}}{{\displaystyle \frac{2}{3}}} =\frac{33}{40} : \frac{2}{3}=\frac{33}{40} · \frac{3}{2} = \frac{99}{80} =1\frac{19}{80}. \end{gathered}$$

Для того чтобы найти значение данного дробного выражения, необходимо выполнить вычисления по действиям. Сначала вычислим значение числителя, затем знаменателя, и в конце разделим результат числителя на результат знаменателя.

1. Вычислим значение выражения в числителе дроби.

Исходное выражение в числителе: $ \frac{15}{16} : \frac{25}{22} $.

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй (перевернутую):

$ \frac{15}{16} : \frac{25}{22} = \frac{15}{16} \cdot \frac{22}{25} $

Сократим дроби перед умножением. Числитель 15 и знаменатель 25 делятся на 5. Знаменатель 16 и числитель 22 делятся на 2:

$ \frac{\cancel{15}^3}{\cancel{16}^8} \cdot \frac{\cancel{22}^{11}}{\cancel{25}^5} = \frac{3}{8} \cdot \frac{11}{5} = \frac{3 \cdot 11}{8 \cdot 5} = \frac{33}{40} $

2. Вычислим значение выражения в знаменателе дроби.

Исходное выражение в знаменателе: $ \frac{5}{7} : 1\frac{1}{14} $.

Сначала преобразуем смешанное число $ 1\frac{1}{14} $ в неправильную дробь:

$ 1\frac{1}{14} = \frac{1 \cdot 14 + 1}{14} = \frac{15}{14} $

Теперь выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь:

$ \frac{5}{7} : \frac{15}{14} = \frac{5}{7} \cdot \frac{14}{15} $

Сократим дроби: числитель 5 и знаменатель 15 делятся на 5, а числитель 14 и знаменатель 7 делятся на 7:

$ \frac{\cancel{5}^1}{\cancel{7}^1} \cdot \frac{\cancel{14}^2}{\cancel{15}^3} = \frac{1}{1} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{3} $

3. Найдем значение всего выражения.

Теперь разделим результат, полученный в числителе, на результат, полученный в знаменателе:

$ \frac{\frac{33}{40}}{\frac{2}{3}} = \frac{33}{40} : \frac{2}{3} $

Снова заменяем деление умножением на обратную дробь:

$ \frac{33}{40} \cdot \frac{3}{2} $

В данном случае сократить дроби нельзя, поэтому просто перемножаем числители и знаменатели:

$ \frac{33 \cdot 3}{40 \cdot 2} = \frac{99}{80} $

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число, выделив целую часть:

$ \frac{99}{80} = 1\frac{19}{80} $

Ответ: $ 1\frac{19}{80} $.

2. Расстояние между двумя населёнными пунктами s км. Пройдя четверть пути со скоростью v км/ч, пешеход остановился отдохнуть на 15 минут. Оставшуюся часть пути пешеход преодолел со скоростью на 2 км/ч большей.

а) Составьте дробное выражение для нахождения времени, затраченного на первую четверть пути.

б) Составьте дробное выражение для нахождения времени, затраченного на оставшуюся часть пути.

в) Составьте выражение для нахождения времени, затраченного на весь путь. Является ли составленное выражение дробным?

г) Сколько времени занял весь путь, если расстояние между населёнными пунктами 72 км, a v = 6 км/ч?

2.

$\mathit{а}\mathbf{)} \frac{1}{4}s = \frac{s}{4}$(км) – длина первой четверти пути

$\frac{{\displaystyle \frac{s}{4}}}{v}=\frac{s}{4} : v = \frac{s}{4} · v = \frac{cv}{4}$(ч) – затратил на первую четверть пути

$\mathit{б}\mathbf{)} s - \frac{1}{4}s = \frac{3}{4}s = \frac{3s}{4}$(км) – длина оставшейся части пути

$v + 2$(км/ч) – скорость на оставшейся части пути

$\frac{{\displaystyle \frac{3s}{4}}}{v + 2}$ (ч) – затратил на оставшуюся часть пути

$\mathit{в}\mathbf{)} \frac{{\displaystyle \frac{s}{4}}}{v} + \frac{{\displaystyle \frac{3s}{4}}}{v + 2} + \frac{15}{60}=\frac{{\displaystyle \frac{s}{4}}}{v + 2} + \frac{1}{4}$ (ч) – затратил на весь путь.

Это сумма дробных выражений

$\mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }s = 72 \mathrm{км}, \mathrm{v} = 6 \mathrm{км}/\mathrm{ч}$

$$\begin{gathered} \frac{{\displaystyle \frac{s}{4}}}{v} + \frac{{\displaystyle \frac{3s}{4}}}{v + 2} + \frac{1}{4}=\frac{{\displaystyle \frac{72}{4}}}{6} + \frac{{\displaystyle \frac{3 · 72}{4}}}{6 + 4}= \\ = \frac{18}{6} + \frac{{\displaystyle \stackrel{27}{\cancel{54}}}}{{\displaystyle \underset{4}{\cancel{8}}}} + \frac{1}{4} = 3 + \frac{27}{4} + \frac{1}{4} = \end{gathered}$$

$= 3 + \frac{28}{4} = 3 + 7 = 10$ (ч) – занял весь путь.

а) Составьте дробное выражение для нахождения времени, затраченного на первую четверть пути.

Чтобы найти время, необходимо расстояние разделить на скорость. Первая четверть пути составляет $\frac{1}{4}$ от общего расстояния $s$, то есть $\frac{s}{4}$ км. Скорость пешехода на этом участке равна $v$ км/ч. Таким образом, время $t_1$, затраченное на первую четверть пути, вычисляется по формуле:

$t_1 = \frac{s/4}{v} = \frac{s}{4v}$

Ответ: $\frac{s}{4v}$ ч.

б) Составьте дробное выражение для нахождения времени, затраченного на оставшуюся часть пути.

После прохождения первой четверти пути, оставшаяся часть составляет $s - \frac{s}{4} = \frac{3s}{4}$ км. Скорость пешехода на этом участке была на 2 км/ч больше, то есть $v + 2$ км/ч. Время $t_2$, затраченное на оставшуюся часть пути, вычисляется по формуле:

$t_2 = \frac{3s/4}{v+2} = \frac{3s}{4(v+2)}$

Ответ: $\frac{3s}{4(v+2)}$ ч.

в) Составьте выражение для нахождения времени, затраченного на весь путь. Является ли составленное выражение дробным?

Общее время в пути $T$ складывается из времени движения на первом участке ($t_1$), времени на отдых ($t_{отдыха}$) и времени движения на втором участке ($t_2$). Время на отдых составляет 15 минут, что в часах равно $\frac{15}{60} = \frac{1}{4}$ часа. Общее время равно:

$T = t_1 + t_{отдыха} + t_2 = \frac{s}{4v} + \frac{1}{4} + \frac{3s}{4(v+2)}$

Составленное выражение является дробным (или, более точно, дробно-рациональным), так как оно содержит переменные $v$ в знаменателях дробей.

Ответ: Выражение для нахождения времени, затраченного на весь путь: $T = \frac{s}{4v} + \frac{1}{4} + \frac{3s}{4(v+2)}$ ч. Да, это выражение является дробным.

г) Сколько времени занял весь путь, если расстояние между населёнными пунктами 72 км, а v = 6 км/ч?

Для нахождения общего времени подставим значения $s = 72$ км и $v = 6$ км/ч в выражение из пункта (в):

$T = \frac{72}{4 \cdot 6} + \frac{1}{4} + \frac{3 \cdot 72}{4(6+2)}$

Рассчитаем каждое слагаемое по отдельности:

Время на первый участок: $\frac{72}{24} = 3$ часа.

Время на отдых: $\frac{1}{4}$ часа (или 0,25 часа).

Время на второй участок: $\frac{3 \cdot 72}{4 \cdot 8} = \frac{216}{32} = 6.75$ часа.

Теперь сложим все части:

$T = 3 + 0.25 + 6.75 = 10$ часов.

Ответ: 10 часов.

6.93. В таблице показана зависимость времени на изготовление одной детали от количества деталей, изготовляемых за час. Определите характер зависимости, заполните пустые клетки. На координатной плоскости постройте график этой зависимости. Масштаб горизонтальной оси (время) – 1 мин в 5 мм, вертикальной – 1 деталь в 5 мм.

6.93

Обратно пропорциональная зависимость, где произведение времени изготовления одной детали и количества детали в час должен быть равно 60, тогда:

60 : 6 = 10 (мин) – время изготовления одной детали;

60 : 12 = 5 (дет.) – в час;

60 : 4 = 15 (мин) – время изготовления одной детали;

60 : 20 = 3 (дет.) – час.

1. Определите характер зависимости

Пусть $t$ — время на изготовление одной детали в минутах, а $n$ — количество деталей, изготовляемых за час.

Поскольку в одном часе 60 минут, общее время, затраченное на изготовление $n$ деталей, равно $t \cdot n$ минут. Это время составляет 1 час, то есть 60 минут. Таким образом, мы получаем формулу, связывающую эти две величины:

$t \cdot n = 60$

Эту зависимость можно выразить как $n = \frac{60}{t}$ или $t = \frac{60}{n}$.

Такой вид зависимости называется обратной пропорциональностью. Это означает, что при увеличении одной величины (например, времени на изготовление одной детали $t$), вторая величина (количество деталей в час $n$) уменьшается во столько же раз, и наоборот. Произведение этих величин всегда остается постоянным и равным коэффициенту пропорциональности $k=60$.

Ответ: Зависимость времени на изготовление одной детали от количества деталей, изготовляемых за час, является обратной пропорциональностью.

2. Заполните пустые клетки

Используя формулу $t \cdot n = 60$, найдем недостающие значения в таблице.

• Для клетки, где известно количество деталей $n = 6$, найдем время $t$:
  $t = \frac{60}{n} = \frac{60}{6} = 10$ мин.

• Для клетки, где известно время $t = 12$ мин, найдем количество деталей $n$:
  $n = \frac{60}{t} = \frac{60}{12} = 5$ шт.

• Для клетки, где известно количество деталей $n = 4$, найдем время $t$:
  $t = \frac{60}{n} = \frac{60}{4} = 15$ мин.

• Для клетки, где известно время $t = 20$ мин, найдем количество деталей $n$:
  $n = \frac{60}{t} = \frac{60}{20} = 3$ шт.

Заполненная таблица выглядит следующим образом:

Ответ: Пропущенные значения в первой строке: 10 и 15. Пропущенные значения во второй строке: 5 и 3.

3. На координатной плоскости постройте график этой зависимости

Графиком зависимости $n = \frac{60}{t}$ является гипербола. Для построения графика будем использовать точки из заполненной таблицы.

1. Начертим координатные оси. Горизонтальная ось (ось абсцисс) — это время $t$ в минутах. Вертикальная ось (ось ординат) — это количество деталей $n$ в штуках.

2. Выберем масштаб в соответствии с условием:

• По горизонтальной оси: 1 мин — 5 мм.
• По вертикальной оси: 1 деталь — 5 мм.

Это означает, что и по оси $t$, и по оси $n$ отрезок длиной 5 мм соответствует одной единице.

3. Отметим на координатной плоскости точки с координатами $(t, n)$ из таблицы: (2, 30), (3, 20), (4, 15), (5, 12), (6, 10), (7.5, 8), (10, 6), (12, 5), (15, 4), (20, 3).

4. Соединим отмеченные точки плавной линией. Полученная кривая является ветвью гиперболы.

Ниже представлен схематический вид графика:

Ответ: График зависимости построен на координатной плоскости, он представляет собой ветвь гиперболы.

6.94. Вычислите.

6.94

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} 9 – 60 = -51; \\ -51 – 11 = -62; \\ -62 : 2 = -31; \\ -31 · (-3) = 93. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }-22 + 100 = 78; \\ 78 : (-6) = -13; \\ -13 – 18 = -31; \\ -31 + 5 = -26. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }-21 – 54 = -75; \\ -75 : 15 = -5; \\ -5 – 9 = -14; \\ -14 : (-11) = \frac{14}{11} = 1\frac{3}{11}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)} -15 · 70 = -1050; \\ -1050 : 7 = -150; \\ -150 · (-2) = 300; \\ 300 – 150 = 150. \end{gathered}$$

а) Решим данный пример, выполняя действия последовательно сверху вниз:
1. Первое действие — вычитание: $9 - 60 = -51$.
2. Второе действие — вычитание из полученного результата: $-51 - 11 = -62$.
3. Третье действие — деление результата второго действия: $-62 : 2 = -31$.
4. Четвертое действие — умножение результата третьего действия: $-31 \cdot (-3) = 93$.
Ответ: 93

б) Решим данный пример, выполняя действия последовательно сверху вниз:
1. Первое действие — сложение: $-22 + 100 = 78$.
2. Второе действие — деление полученного результата: $78 : (-6) = -13$.
3. Третье действие — вычитание из результата второго действия: $-13 - 18 = -31$.
4. Четвертое действие — сложение с результатом третьего действия: $-31 + 5 = -26$.
Ответ: -26

в) Решим данный пример, выполняя действия последовательно сверху вниз:
1. Первое действие — вычитание: $-21 - 54 = -75$.
2. Второе действие — деление полученного результата: $-75 : 15 = -5$.
3. Третье действие — вычитание из результата второго действия: $-5 - 9 = -14$.
4. Четвертое действие — деление результата третьего действия: $-14 : (-11) = \frac{14}{11}$. Выделим целую часть: $\frac{14}{11} = 1\frac{3}{11}$.
Ответ: $1\frac{3}{11}$

г) Решим данный пример, выполняя действия последовательно сверху вниз:
1. Первое действие — умножение: $-15 \cdot 70 = -1050$.
2. Второе действие — деление полученного результата: $-1050 : 7 = -150$.
3. Третье действие — умножение результата второго действия: $-150 \cdot (-2) = 300$.
4. Четвертое действие — вычитание из результата третьего действия: $300 - 150 = 150$.
Ответ: 150

6.95. Вычислите.
а) $\frac{5}{6}$ от 24,6;
б) 0,3 от 48;
в) 34 % от 40.

6.95

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} \frac{5}{6} · 24,6 = \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{5}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{6}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{41}{\cancel{246}}}}{{\displaystyle \underset{2}{\bcancel{10}}}} = \frac{1}{1} · \frac{41}{2}= \\ = \frac{41}{2} ={ 20\frac{1}{2}}^{\overline{)·5}} = 20,5 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} 0,3 · 48 = 14,4 \\ \mathit{в}\mathbf{)} 0,34 · 40 = 13,6 \end{gathered}$$

а) Чтобы найти дробь от числа, необходимо умножить это число на данную дробь. В нашем случае, нужно вычислить $\frac{5}{6}$ от 24,6.
Для этого умножим число 24,6 на дробь $\frac{5}{6}$. Удобнее сначала разделить 24,6 на знаменатель 6, а затем результат умножить на числитель 5.
1. Делим число на знаменатель: $24,6 \div 6 = 4,1$.
2. Умножаем результат на числитель: $4,1 \cdot 5 = 20,5$.
Таким образом, $\frac{5}{6} \cdot 24,6 = 20,5$.
Ответ: 20,5

б) Чтобы найти десятичную дробь от числа, нужно умножить это число на данную десятичную дробь. В нашем случае, требуется найти 0,3 от 48.
Выполним умножение:
$0,3 \cdot 48 = 14,4$
Ответ: 14,4

в) Чтобы найти процент от числа, нужно сначала представить проценты в виде десятичной дроби, а затем умножить число на эту дробь. Нам нужно найти 34% от 40.
1. Переведем проценты в десятичную дробь, разделив их на 100:
$34\% = \frac{34}{100} = 0,34$
2. Теперь умножим полученную дробь на число 40:
$0,34 \cdot 40 = 13,6$
Ответ: 13,6

6.96. Определите число, если:
а) $\frac{4}{9}$ его равны 56;
б) 0,21 его равны 63;
в) 35 % его равны 28.

6.96

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }56 : \frac{4}{9} = \stackrel{14}{\cancel{56} }· \frac{9}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{4}}}} = 14 · \frac{9}{1} = 126 \\ \mathit{б}\mathbf{)} 63 : 0,21 = 6300 : 21 = 300 \\ \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }28 : \frac{35}{100} = 28 : \frac{7}{20} = \stackrel{4}{\cancel{28}} · \frac{20}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{7}}}} = 4 · \frac{20}{1} = 80 \end{gathered}$$

а) Это задача на нахождение числа по его дроби. Чтобы найти число, если известна его часть, выраженная дробью, нужно эту часть разделить на данную дробь. Пусть искомое число - это $x$. По условию, $\frac{4}{9}$ от этого числа равны 56. Составим уравнение:

$\frac{4}{9} \cdot x = 56$

Найдем $x$, разделив 56 на $\frac{4}{9}$:

$x = 56 : \frac{4}{9}$

Чтобы разделить число на дробь, нужно умножить это число на дробь, обратную делителю:

$x = 56 \cdot \frac{9}{4} = \frac{56 \cdot 9}{4}$

Сократим 56 и 4 на 4:

$x = 14 \cdot 9 = 126$

Ответ: 126

б) В данном случае часть числа выражена десятичной дробью. Принцип решения тот же: чтобы найти целое число, нужно известную часть разделить на соответствующую ей дробь. Пусть искомое число - это $x$. По условию, 0,21 от этого числа равны 63. Составим уравнение:

$0,21 \cdot x = 63$

Найдем $x$, разделив 63 на 0,21:

$x = 63 : 0,21$

Чтобы упростить деление, можно домножить делимое и делитель на 100, чтобы избавиться от дроби в делителе:

$x = 6300 : 21 = 300$

Ответ: 300

в) Здесь часть числа выражена в процентах. Сначала необходимо перевести проценты в десятичную дробь. Один процент – это одна сотая часть числа, поэтому $35\% = \frac{35}{100} = 0,35$. Далее задача решается аналогично предыдущим. Пусть искомое число - это $x$. По условию, 35% (или 0,35) от этого числа равны 28. Составим уравнение:

$0,35 \cdot x = 28$

Найдем $x$, разделив 28 на 0,35:

$x = 28 : 0,35$

Домножим делимое и делитель на 100:

$x = 2800 : 35$

Разделим 2800 на 35:

$x = 80$

Ответ: 80

6.90. Найдите:
а) какую часть 21 составляет от 56;
б) какую часть 40 составляет от 100;
в) сколько процентов 6 составляет от 30;
г) сколько процентов 82 составляет от 574.

6.97

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} \frac{21}{56} = \frac{3}{8} \\ \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{40}{100} = \frac{2}{5} \\ \mathit{в}\mathbf{)} \frac{6}{30} · 100\% = \frac{1}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{5}}}} · \stackrel{20}{\cancel{100}}\% = \frac{1}{1} · 20\% = 20\% \\ \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{82}{574} · 100\% = \frac{1}{7} · 100\% = \frac{100}{7} = 15\frac{2}{7}\% \end{gathered}$$

а) какую часть 21 составляет от 56;
Чтобы найти, какую часть одно число составляет от другого, нужно первое число (часть) разделить на второе (целое). В данном случае нужно разделить 21 на 56. Запишем это в виде дроби:
$ \frac{21}{56} $
Теперь необходимо сократить полученную дробь. Для этого найдем наибольший общий делитель (НОД) для числителя (21) и знаменателя (56). НОД(21, 56) = 7.
Разделим числитель и знаменатель на 7:
$ \frac{21 \div 7}{56 \div 7} = \frac{3}{8} $
Следовательно, число 21 составляет $ \frac{3}{8} $ от числа 56.
Ответ: $ \frac{3}{8} $

б) какую часть 40 составляет от 100;
Аналогично предыдущему пункту, разделим 40 на 100:
$ \frac{40}{100} $
Сократим эту дробь. Наибольший общий делитель для 40 и 100 равен 20.
$ \frac{40 \div 20}{100 \div 20} = \frac{2}{5} $
Таким образом, число 40 составляет $ \frac{2}{5} $ от числа 100.
Ответ: $ \frac{2}{5} $

в) сколько процентов 6 составляет от 30;
Чтобы найти, сколько процентов одно число составляет от другого, нужно сначала найти их отношение (разделить первое число на второе), а затем умножить результат на 100%.
1. Найдём отношение 6 к 30: $ \frac{6}{30} $.
2. Сократим дробь: $ \frac{6}{30} = \frac{1}{5} $.
3. Умножим полученное значение на 100%: $ \frac{1}{5} \times 100\% = \frac{100}{5}\% = 20\% $.
Следовательно, число 6 составляет 20% от числа 30.
Ответ: $ 20\% $

г) сколько процентов 82 составляет от 574.
Действуем по тому же алгоритму, что и в предыдущем пункте.
1. Найдём отношение 82 к 574: $ \frac{82}{574} $.
2. Сократим дробь. Можно заметить, что оба числа делятся на 82, так как $ 574 = 7 \times 82 $.
$ \frac{82 \div 82}{574 \div 82} = \frac{1}{7} $
3. Умножим результат на 100%: $ \frac{1}{7} \times 100\% = \frac{100}{7}\% $.
Для удобства представим неправильную дробь в виде смешанного числа: $ \frac{100}{7}\% = 14\frac{2}{7}\% $.
Следовательно, число 82 составляет $ 14\frac{2}{7}\% $ от числа 574.
Ответ: $ 14\frac{2}{7}\% $

6.98. Выполните действие:
а) 78 + 34;
б) 78 – 34;
в) 89 · 716;
г) 78 : 34;
д) 0,7 + 0,43;
е) 0,7 – 0,43;
ж) 0,7 · 0,43;
з) 0,7 : 0,43.

6.98

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{7}{8} + {\frac{3}{4}}^{\overline{)·2}} = \frac{7}{8} + \frac{6}{8} = \frac{13}{8} = 1\frac{5}{8} \\ \mathit{б}\mathbf{)} \frac{7}{8} - {\frac{3}{4}}^{\overline{)·2}} = \frac{7}{8} - \frac{6}{8} = \frac{1}{8} \\ \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{8}}}}{9} · \frac{7}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{16}}}} = \frac{1}{9} · \frac{7}{2} = \frac{7}{18} \\ \mathit{г}\mathbf{)} \frac{7}{8} : \frac{3}{4} = \frac{7}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{8}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{4}}}}{3} = \frac{7}{2} · \frac{1}{3} = \frac{7}{6} = 1\frac{1}{6} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{д}\mathbf{)} 0,7 + 0,43 = 1,13 \\ \mathit{е}\mathbf{)} 0,7 – 0,43 = 0,70 – 0,43 = 0,27 \\ \mathit{ж}\mathbf{)} 0,7 · 0,43 = 0,301 \\ \mathit{з}\mathbf{)}\mathbf{ }0,7 : 0,43 = 70 : 43 = \frac{70}{43} = 1\frac{27}{43} \end{gathered}$$

а) Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, их нужно привести к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для дробей $ \frac{7}{8} $ и $ \frac{3}{4} $ равен 8. Приведем дробь $ \frac{3}{4} $ к знаменателю 8, умножив ее числитель и знаменатель на 2: $ \frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} = \frac{6}{8} $. Теперь выполним сложение: $ \frac{7}{8} + \frac{6}{8} = \frac{7+6}{8} = \frac{13}{8} $. Это неправильная дробь, выделим из нее целую часть: $ \frac{13}{8} = 1 \frac{5}{8} $.
Ответ: $ 1 \frac{5}{8} $.

б) Для вычитания дробей $ \frac{7}{8} - \frac{3}{4} $ так же приведем их к общему знаменателю 8. Дробь $ \frac{3}{4} $ станет $ \frac{6}{8} $. Теперь выполним вычитание: $ \frac{7}{8} - \frac{6}{8} = \frac{7-6}{8} = \frac{1}{8} $.
Ответ: $ \frac{1}{8} $.

в) При умножении дробей $ \frac{8}{9} \cdot \frac{7}{16} $ перемножаются их числители и знаменатели. Для удобства можно предварительно сократить числа в числителях и знаменателях. Сократим 8 и 16 на 8: $ \frac{^1\cancel{8}}{9} \cdot \frac{7}{^2\cancel{16}} = \frac{1 \cdot 7}{9 \cdot 2} = \frac{7}{18} $.
Ответ: $ \frac{7}{18} $.

г) Деление на дробь заменяется умножением на обратную ей дробь. Таким образом, $ \frac{7}{8} : \frac{3}{4} = \frac{7}{8} \cdot \frac{4}{3} $. Сократим 4 и 8 на 4: $ \frac{7}{^2\cancel{8}} \cdot \frac{^1\cancel{4}}{3} = \frac{7 \cdot 1}{2 \cdot 3} = \frac{7}{6} $. Выделим целую часть из неправильной дроби: $ \frac{7}{6} = 1 \frac{1}{6} $.
Ответ: $ 1 \frac{1}{6} $.

д) Для сложения десятичных дробей $ 0,7 $ и $ 0,43 $ уравняем количество знаков после запятой, представив $ 0,7 $ как $ 0,70 $. Теперь сложим $ 0,70 $ и $ 0,43 $, складывая соответствующие разряды: $ 0,70 + 0,43 = 1,13 $.
Ответ: $ 1,13 $.

е) Для вычитания $ 0,43 $ из $ 0,7 $ также уравняем количество знаков после запятой: $ 0,7 = 0,70 $. Теперь выполним вычитание: $ 0,70 - 0,43 = 0,27 $.
Ответ: $ 0,27 $.

ж) Чтобы умножить $ 0,7 $ на $ 0,43 $, перемножим числа, не обращая внимания на запятые: $ 7 \cdot 43 = 301 $. В исходных числах ($ 0,7 $ и $ 0,43 $) в сумме три цифры после запятой ($ 1 + 2 = 3 $). Поэтому в результате $ 301 $ нужно отделить запятой три знака справа. Получаем $ 0,301 $.
Ответ: $ 0,301 $.

з) При делении $ 0,7 $ на $ 0,43 $, чтобы избавиться от дроби в делителе, умножим и делимое, и делитель на 100 (по количеству знаков после запятой в делителе). Получим $ 70 : 43 $. Результат можно записать в виде обыкновенной дроби $ \frac{70}{43} $. Так как 43 — простое число и 70 на него не делится, дробь является несократимой. Выделим целую часть: $ 70 \div 43 = 1 $ с остатком $ 27 $. Значит, $ \frac{70}{43} = 1\frac{27}{43} $.
Ответ: $ 1\frac{27}{43} $.

6.99. Отметьте на координатной плоскости точки М(0; 6), N(–2; 6), Р(–4; –6), Q(4; 10). Найдите по рисунку координаты точки пересечения прямых MN и PQ.

6.99

(2; 6) – точка пересечения прямых MN и PQ

Отметьте на координатной плоскости точки M(0; 6), N(-2; 6), P(-4; -6), Q(4; 10)

Для начала построим прямоугольную (декартову) систему координат Oxy. Затем отметим на ней заданные точки: M(0; 6), N(-2; 6), P(-4; -6) и Q(4; 10).

После этого проведем прямую через точки M и N. Так как у этих точек одинаковая координата y, равная 6, прямая MN будет горизонтальной линией, параллельной оси Ox.

Далее проведем прямую через точки P и Q.

Графическое построение представлено на рисунке ниже.

Найдите по рисунку координаты точки пересечения прямых MN и PQ

На рисунке видно, что прямая MN (синяя линия) и прямая PQ (зеленая линия) пересекаются в точке, которую мы обозначили буквой K. Чтобы определить ее координаты, спроецируем ее на оси координат. Проекция точки K на ось абсцисс (ось Ox) дает значение $x = 2$, а проекция на ось ординат (ось Oy) дает значение $y = 6$.

Таким образом, координаты точки пересечения K равны (2; 6).

Проверка (аналитический способ):
1. Найдем уравнение прямой MN. Так как у точек M(0; 6) и N(-2; 6) ординаты равны, уравнение этой прямой: $y = 6$.
2. Найдем уравнение прямой PQ, проходящей через точки P(-4; -6) и Q(4; 10), в виде $y = kx + b$.
Найдем угловой коэффициент $k$: $k = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P} = \frac{10 - (-6)}{4 - (-4)} = \frac{16}{8} = 2$.
Теперь уравнение имеет вид $y = 2x + b$. Подставим координаты точки Q(4; 10), чтобы найти $b$: $10 = 2 \cdot 4 + b \Rightarrow 10 = 8 + b \Rightarrow b = 2$.
Следовательно, уравнение прямой PQ: $y = 2x + 2$.
3. Найдем точку пересечения, решив систему уравнений: $\begin{cases} y = 6 \\ y = 2x + 2 \end{cases}$.
Подставим значение $y$ из первого уравнения во второе: $6 = 2x + 2 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2$.
Координаты точки пересечения (2; 6). Результат, полученный графически, подтвердился аналитическим расчетом.

Ответ: (2; 6).

6.100. Какие из точек С(1; 5), D(–4; 6), М(–3; 7), Q(1; –5), F(0; –4), Н(0; 2), Р(–1; 0), Z(6; 0) расположены:
а) на оси х;
б) на оси у;
в) правее оси у;
г) левее оси у;
д) выше оси х;
е) ниже оси х?

6.100

а) P(-1; 0), Z(6; 0)

б) F(0; -4), H(0; 2)

в) С(1; 5), Q(1; -5), Z(6; 0)

г) D(-4; 6), M(-3; 7), P(-1; 0)

д) С(1; 5), D(-4; 6), M(-3; 7), H(0; 2)

е) Q(1; -5), F(0; -4)

Для решения этой задачи необходимо проанализировать координаты каждой точки $(x; y)$ в соответствии с заданными условиями.

а) на оси x
Точка лежит на оси абсцисс (оси $x$), если ее ордината (вторая координата) равна нулю, то есть $y=0$. Проверим все точки:

• $C(1; 5)$, $y=5 \ne 0$
• $D(-4; 6)$, $y=6 \ne 0$
• $M(-3; 7)$, $y=7 \ne 0$
• $Q(1; -5)$, $y=-5 \ne 0$
• $F(0; -4)$, $y=-4 \ne 0$
• $H(0; 2)$, $y=2 \ne 0$
• $P(-1; 0)$, $y=0$ - подходит
• $Z(6; 0)$, $y=0$ - подходит

Ответ: $P(-1; 0)$, $Z(6; 0)$.

б) на оси y
Точка лежит на оси ординат (оси $y$), если ее абсцисса (первая координата) равна нулю, то есть $x=0$. Проверим все точки:

• $C(1; 5)$, $x=1 \ne 0$
• $D(-4; 6)$, $x=-4 \ne 0$
• $M(-3; 7)$, $x=-3 \ne 0$
• $Q(1; -5)$, $x=1 \ne 0$
• $F(0; -4)$, $x=0$ - подходит
• $H(0; 2)$, $x=0$ - подходит
• $P(-1; 0)$, $x=-1 \ne 0$
• $Z(6; 0)$, $x=6 \ne 0$

Ответ: $F(0; -4)$, $H(0; 2)$.

в) правее оси y
Точка расположена правее оси $y$, если ее абсцисса положительна, то есть $x>0$. Проверим все точки:

• $C(1; 5)$, $x=1 > 0$ - подходит
• $D(-4; 6)$, $x=-4 < 0$
• $M(-3; 7)$, $x=-3 < 0$
• $Q(1; -5)$, $x=1 > 0$ - подходит
• $F(0; -4)$, $x=0$
• $H(0; 2)$, $x=0$
• $P(-1; 0)$, $x=-1 < 0$
• $Z(6; 0)$, $x=6 > 0$ - подходит

Ответ: $C(1; 5)$, $Q(1; -5)$, $Z(6; 0)$.

г) левее оси y
Точка расположена левее оси $y$, если ее абсцисса отрицательна, то есть $x<0$. Проверим все точки:

• $C(1; 5)$, $x=1 > 0$
• $D(-4; 6)$, $x=-4 < 0$ - подходит
• $M(-3; 7)$, $x=-3 < 0$ - подходит
• $Q(1; -5)$, $x=1 > 0$
• $F(0; -4)$, $x=0$
• $H(0; 2)$, $x=0$
• $P(-1; 0)$, $x=-1 < 0$ - подходит
• $Z(6; 0)$, $x=6 > 0$

Ответ: $D(-4; 6)$, $M(-3; 7)$, $P(-1; 0)$.

д) выше оси x
Точка расположена выше оси $x$, если ее ордината положительна, то есть $y>0$. Проверим все точки:

• $C(1; 5)$, $y=5 > 0$ - подходит
• $D(-4; 6)$, $y=6 > 0$ - подходит
• $M(-3; 7)$, $y=7 > 0$ - подходит
• $Q(1; -5)$, $y=-5 < 0$
• $F(0; -4)$, $y=-4 < 0$
• $H(0; 2)$, $y=2 > 0$ - подходит
• $P(-1; 0)$, $y=0$
• $Z(6; 0)$, $y=0$

Ответ: $C(1; 5)$, $D(-4; 6)$, $M(-3; 7)$, $H(0; 2)$.

е) ниже оси x
Точка расположена ниже оси $x$, если ее ордината отрицательна, то есть $y<0$. Проверим все точки:

• $C(1; 5)$, $y=5 > 0$
• $D(-4; 6)$, $y=6 > 0$
• $M(-3; 7)$, $y=7 > 0$
• $Q(1; -5)$, $y=-5 < 0$ - подходит
• $F(0; -4)$, $y=-4 < 0$ - подходит
• $H(0; 2)$, $y=2 > 0$
• $P(-1; 0)$, $y=0$
• $Z(6; 0)$, $y=0$

Ответ: $Q(1; -5)$, $F(0; -4)$.

6.101. Найдите значение выражения:
а) (37 + 514) · 28;
б) 913 : 213 – 7;
в) 3 : 34 · 114;
г) 711 · 59 + 711 · 49.

6.101

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} \left(\frac{3}{7} + \frac{5}{14}\right) · 28 = \frac{3}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{7}}}} · \stackrel{4}{\bcancel{28}} + \frac{5}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{14}}}} · \stackrel{2}{\cancel{28}} = \\ = \frac{3}{1} · 4 + \frac{5}{1} · 2 = 12 + 10 = 22 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }9\frac{1}{3} : 2\frac{1}{3} - 7 = \frac{28}{3} : \frac{7}{3} - 7= \frac{{\displaystyle \stackrel{4}{\bcancel{28}}}}{\cancel{3}} \times \\ \times \frac{\cancel{3}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{7}}}} - 7 = \frac{4}{1} · \frac{1}{1} - 7 = 4 - 7 = -3 \end{gathered}$$

$\mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }3 : \frac{3}{4} · 1\frac{1}{4} = \cancel{3} · \frac{\bcancel{4}}{\cancel{3}} · \frac{5}{\bcancel{4}} = 1 · \frac{1}{1} · \frac{5}{1} =5$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)} \frac{7}{11} · \frac{5}{9} + \frac{7}{11} · \frac{4}{9} = \frac{7}{11 } · \left(\frac{5}{9} + \frac{4}{9}\right) = \\ = \frac{7}{11} · \frac{9}{9} = \frac{7}{11} · 1 = \frac{7}{11} \end{gathered}$$

а) $(\frac{3}{7} + \frac{5}{14}) \cdot 28$

Первым шагом выполним сложение дробей в скобках. Для этого необходимо привести их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 7 и 14 равен 14. Дополнительный множитель для дроби $\frac{3}{7}$ будет $14 : 7 = 2$.

$\frac{3}{7} + \frac{5}{14} = \frac{3 \cdot 2}{7 \cdot 2} + \frac{5}{14} = \frac{6}{14} + \frac{5}{14} = \frac{6+5}{14} = \frac{11}{14}$

Теперь умножим полученную дробь на 28. Представим 28 в виде дроби $\frac{28}{1}$.

$\frac{11}{14} \cdot 28 = \frac{11}{14} \cdot \frac{28}{1} = \frac{11 \cdot 28}{14 \cdot 1}$

Сократим числитель и знаменатель на 14:

$\frac{11 \cdot (2 \cdot 14)}{14} = 11 \cdot 2 = 22$

Ответ: 22

б) $9\frac{1}{3} : 2\frac{1}{3} - 7$

Согласно порядку выполнения арифметических действий, сначала выполним деление, а затем вычитание. Для этого преобразуем смешанные числа в неправильные дроби.

$9\frac{1}{3} = \frac{9 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{28}{3}$

$2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$

Выполним деление. Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную ей дробь.

$\frac{28}{3} : \frac{7}{3} = \frac{28}{3} \cdot \frac{3}{7} = \frac{28 \cdot 3}{3 \cdot 7}$

Сократим на 3, а затем разделим 28 на 7:

$\frac{28}{7} = 4$

Теперь выполним вычитание:

$4 - 7 = -3$

Ответ: -3

в) $3 : \frac{3}{4} \cdot 1\frac{1}{4}$

В выражении присутствуют деление и умножение. Эти операции имеют одинаковый приоритет, поэтому выполняем их последовательно слева направо. Начнем с деления.

$3 : \frac{3}{4} = 3 \cdot \frac{4}{3} = \frac{3 \cdot 4}{3} = 4$

Далее выполним умножение. Переведем смешанное число $1\frac{1}{4}$ в неправильную дробь.

$1\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{5}{4}$

Умножим результат первого действия на полученную дробь:

$4 \cdot \frac{5}{4} = \frac{4 \cdot 5}{4} = 5$

Ответ: 5

г) $\frac{7}{11} \cdot \frac{5}{9} + \frac{7}{11} \cdot \frac{4}{9}$

Для решения этого примера удобно использовать распределительное свойство умножения относительно сложения. Вынесем общий множитель $\frac{7}{11}$ за скобки.

$\frac{7}{11} \cdot \frac{5}{9} + \frac{7}{11} \cdot \frac{4}{9} = \frac{7}{11} \cdot (\frac{5}{9} + \frac{4}{9})$

Выполним сложение дробей в скобках. Так как у них одинаковый знаменатель, сложим их числители.

$\frac{5}{9} + \frac{4}{9} = \frac{5+4}{9} = \frac{9}{9} = 1$

Теперь умножим вынесенный за скобки множитель на полученную единицу:

$\frac{7}{11} \cdot 1 = \frac{7}{11}$

Ответ: $\frac{7}{11}$

6.102. Раскройте скобки:
а) 15 · ( 5 – 15а);
б) (58 – n) · 45.

6.102

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{1}{5} · \left(5 - 15а\right) = \frac{1}{\cancel{5}} · \cancel{5} - \frac{1}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{5}}}} · \stackrel{3}{\bcancel{15}}а = \\ = \frac{1}{1} · 1 - \frac{1}{1} · 3а = 1 - 3а \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} \left(\frac{5}{8} - n\right) · \frac{4}{5} = \frac{\cancel{5}}{{\displaystyle \underset{2}{\bcancel{8}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{4}}}}{\cancel{5}} - n · \frac{4}{5} = \\ =\frac{1}{2} - \frac{4}{5}n \end{gathered}$$

а) Чтобы раскрыть скобки в выражении $ \frac{1}{5} \cdot (5 - 15a) $, необходимо применить распределительный закон умножения. Это означает, что нужно умножить множитель перед скобками на каждый член внутри скобок.

$ \frac{1}{5} \cdot (5 - 15a) = \frac{1}{5} \cdot 5 - \frac{1}{5} \cdot 15a $

Выполним умножение для первого члена:

$ \frac{1}{5} \cdot 5 = \frac{5}{5} = 1 $

Выполним умножение для второго члена:

$ \frac{1}{5} \cdot 15a = \frac{15a}{5} = 3a $

Теперь соединим полученные результаты:

$ 1 - 3a $

Ответ: $ 1 - 3a $

б) Чтобы раскрыть скобки в выражении $ (\frac{5}{8} - n) \cdot \frac{4}{5} $, также воспользуемся распределительным законом. Умножим каждый член в скобках на множитель $ \frac{4}{5} $.

$ (\frac{5}{8} - n) \cdot \frac{4}{5} = \frac{5}{8} \cdot \frac{4}{5} - n \cdot \frac{4}{5} $

Выполним умножение дробей, сократив их:

$ \frac{5}{8} \cdot \frac{4}{5} = \frac{\cancel{5} \cdot 4}{8 \cdot \cancel{5}} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} $

Выполним второе умножение:

$ n \cdot \frac{4}{5} = \frac{4n}{5} $

Объединим результаты, чтобы получить конечное выражение:

$ \frac{1}{2} - \frac{4n}{5} $

Ответ: $ \frac{1}{2} - \frac{4}{5}n $

6.103. Как изменится частное, если из делителя вычесть 23 делителя?

6.103

Пусть имеется дробь $\frac{a}{b}$, тогда

$$\begin{gathered} \frac{a}{b - {\displaystyle \frac{2}{3}}b} = \frac{a}{{\displaystyle \frac{1}{3}}b} = a : \frac{1}{3}b = a · \frac{3}{b} = \\ = 3 · \frac{a}{b}, \end{gathered}$$

значит частное увеличится в 3 раза.

Ответ: увеличится в 3 раза.

Для решения этой задачи введем переменные. Пусть $a$ — это делимое, $b$ — это делитель. Тогда исходное частное, обозначим его $c_1$, будет равно: $c_1 = \frac{a}{b}$

Теперь изменим делитель согласно условию задачи. Из делителя $b$ нужно вычесть $\frac{2}{3}$ этого же делителя. Найдем новый делитель, который назовем $b_2$: $b_2 = b - \frac{2}{3}b$

Чтобы найти значение $b_2$, приведем к общему знаменателю и выполним вычитание: $b_2 = 1 \cdot b - \frac{2}{3}b = \frac{3}{3}b - \frac{2}{3}b = (\frac{3 - 2}{3})b = \frac{1}{3}b$ Таким образом, новый делитель стал в 3 раза меньше первоначального.

Теперь найдем новое частное, обозначив его $c_2$. Делимое $a$ при этом не изменилось, а делитель стал равен $b_2$: $c_2 = \frac{a}{b_2} = \frac{a}{\frac{1}{3}b}$

Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на дробь, обратную делителю: $c_2 = a \cdot \frac{3}{b} = \frac{3a}{b}$

Осталось сравнить новое частное $c_2$ с исходным $c_1$: $\frac{c_2}{c_1} = \frac{\frac{3a}{b}}{\frac{a}{b}} = \frac{3a}{b} \cdot \frac{b}{a} = 3$ Следовательно, $c_2 = 3c_1$.

Это означает, что частное увеличилось в 3 раза.

Ответ: частное увеличится в 3 раза.