Страница 110, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

2.505. Учащимся шестых классов было предложено выбрать один из трёх видов спорта, которым они будут заниматься во время дополнительного часа физкультуры. Плавание выбрали 512 всех шестиклассников, 0,6 от числа пловцов выбрали гимнастику, а остальные — карате. Сколько всего учащихся в шестых классах, если занятия карате выбрали на 6 человек меньше, чем плавание?

2.505

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }0, 6 · \frac{5}{12} = \frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{6}}}}{{\displaystyle \underset{5}{\cancel{10}}}} · \frac{5}{12} =\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{3}}}}{\cancel{5}} ·\frac{\cancel{5}}{{\displaystyle \underset{4}{\bcancel{12}}}} =$

$= \frac{1}{1} · \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$ (уч.) – выбрали гимнастику;

$\mathbf{2}\mathbf{)} \frac{5}{12} + {\frac{1}{4}}^{\overline{)·3}} = \frac{5}{12} + \frac{3}{12} =$

$= \frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\cancel{8}}}}{{\displaystyle \underset{3}{\cancel{12}}}} = \frac{2}{3}$(уч.) – выбрали плаванье и гимнастику;

$\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{ }1 - \frac{2}{3} = \frac{3}{3} - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ (уч.) – выбрали карате;

$\mathbf{4}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{5}{12} - {\frac{1}{3}}^{\overline{)·4}} = \frac{5}{12} - \frac{4}{12} = \frac{1}{12}$(уч.) – меньше выбрали карате;

$\mathbf{5}\mathbf{)}\mathbf{ }6 : \frac{1}{12} = 6 · 12 = 72$ (уч.) – всего.

Ответ: 72 ученика.

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ — это общее количество учащихся в шестых классах.

1. Найдем долю учащихся для каждого вида спорта.

Из условия известно, что плавание выбрали $\frac{5}{12}$ всех шестиклассников. Значит, число пловцов составляет $\frac{5}{12}x$.

Гимнастику выбрали 0,6 от числа пловцов. Выразим это как долю от общего числа учащихся ($x$):

$0,6 \times (\text{доля пловцов}) = 0,6 \times \frac{5}{12} = \frac{6}{10} \times \frac{5}{12} = \frac{3}{5} \times \frac{5}{12} = \frac{3 \times 5}{5 \times 12} = \frac{15}{60} = \frac{1}{4}$.

Следовательно, гимнастику выбрала $\frac{1}{4}$ всех учащихся, что составляет $\frac{1}{4}x$.

Остальные ученики выбрали карате. Чтобы найти их долю, нужно из общего числа (принятого за 1) вычесть доли пловцов и гимнастов:

$1 - (\frac{5}{12} + \frac{1}{4}) = 1 - (\frac{5}{12} + \frac{3}{12}) = 1 - \frac{8}{12} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.

Таким образом, карате выбрала $\frac{1}{3}$ всех учащихся, что составляет $\frac{1}{3}x$.

2. Составим и решим уравнение.

В задаче сказано, что занятия карате выбрали на 6 человек меньше, чем плавание. Запишем это в виде уравнения, используя выражения для количества учеников, которые мы нашли:

(Число пловцов) - (Число каратистов) = 6

$\frac{5}{12}x - \frac{1}{3}x = 6$

Для решения уравнения приведем дроби к общему знаменателю 12:

$\frac{5}{12}x - \frac{4}{12}x = 6$

$\frac{1}{12}x = 6$

Теперь найдем $x$:

$x = 6 \times 12$

$x = 72$

Мы нашли, что всего в шестых классах 72 учащихся.

3. Проверка.

Если всего 72 учащихся, то:

- Плаванием занимаются: $\frac{5}{12} \times 72 = 5 \times 6 = 30$ человек.

- Карате занимаются: $\frac{1}{3} \times 72 = 24$ человека.

Проверим условие: $30 - 24 = 6$. Количество каратистов действительно на 6 меньше, чем количество пловцов. Решение верное.

Ответ: 72 учащихся.

2.506. Найдите значение выражения:

а) 0,08 : 10 + 723 : 1000 – 1,32 : 100;

б) 0,357 · 100 – 0,0297 · 1000 – 0,1 · 10;

в) 209,57 – 1845,69 : ((81,3 – 78,5) · (4,2 + 2,85));

г) 409,3 – 399,3 : ((2,95 + 3,1) · (47,7 – 41,1)).

2.506

$\mathit{а}\mathbf{)} 0,08\stackrel{1}{ :} 10 \stackrel{4}{+} 723 \stackrel{2}{:} 1000 \stackrel{5}{–} 1,32\stackrel{3}{ : }100 = 0,7178;$

0,08 : 10 = 0,008; 723 : 1000 = 0,723; 1,32 : 100 = 0,0132;
4.	5.

$\mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }0,357\stackrel{1}{ ·} 100\stackrel{4}{ –} 0,0297 \stackrel{2}{·} 1000 \stackrel{5}{–} 0,1 \stackrel{3}{·} 10 = 5;$

0,357 • 100 = 35,7; 0,0297 • 1000 = 29,7; 0,1 • 10 = 1;

4.

5. 6 – 1 = 5.

$\mathit{в}\mathbf{)} 209,57 \stackrel{5}{–} 1845,69\stackrel{4}{ : }((81,3 \stackrel{1}{–} 78,5) \stackrel{3}{·} (4,2 \stackrel{2}{+} 2,85)) = 116,07;$

1.	2.
3.	4.
5.

$\mathit{г}\mathbf{)} 409,3 \stackrel{5}{–} 399,3\stackrel{4}{ : }((2,95 \stackrel{1}{+} 3,1)\stackrel{3}{ · }(47,7 \stackrel{2}{–} 41,1) = 399,3.$

1.	2.
3.	4. 399,3 : 39,93 = =39930 : 3993
5.

а) Для вычисления значения выражения $0,08 \cdot 10 + 723 : 1000 - 1,32 : 100$ выполним действия в правильном порядке: сначала умножение и деление слева направо, затем сложение и вычитание.
1. Выполним умножение: $0,08 \cdot 10 = 0,8$.
2. Выполним первое деление: $723 : 1000 = 0,723$.
3. Выполним второе деление: $1,32 : 100 = 0,0132$.
4. Теперь подставим полученные значения в исходное выражение: $0,8 + 0,723 - 0,0132$.
5. Выполним сложение: $0,8 + 0,723 = 1,523$.
6. Выполним вычитание: $1,523 - 0,0132 = 1,5098$.
Ответ: $1,5098$.

б) Для вычисления значения выражения $0,357 \cdot 100 - 0,0297 \cdot 1000 - 0,1 \cdot 10$ выполним сначала все операции умножения, а затем вычитания слева направо.
1. $0,357 \cdot 100 = 35,7$.
2. $0,0297 \cdot 1000 = 29,7$.
3. $0,1 \cdot 10 = 1$.
4. Подставим результаты в выражение: $35,7 - 29,7 - 1$.
5. $35,7 - 29,7 = 6$.
6. $6 - 1 = 5$.
Ответ: $5$.

в) Для вычисления значения выражения $209,57 - 1845,69 : ((81,3 - 78,5) \cdot (4,2 + 2,85))$ необходимо соблюдать порядок действий: сначала действия в скобках, затем деление, и в последнюю очередь вычитание.
1. Выполним действие в первой скобке: $81,3 - 78,5 = 2,8$.
2. Выполним действие во второй скобке: $4,2 + 2,85 = 7,05$.
3. Теперь выполним умножение результатов из скобок: $2,8 \cdot 7,05 = 19,74$.
4. Выполним деление: $1845,69 : 19,74 = 93,5$.
5. Выполним вычитание: $209,57 - 93,5 = 116,07$.
Ответ: $116,07$.

г) Для вычисления значения выражения $409,3 - 399,3 : ((2,95 + 3,1) \cdot (47,7 - 41,1))$ сначала выполним действия в скобках, затем деление, а потом вычитание.
1. Вычислим сумму в первой скобке: $2,95 + 3,1 = 6,05$.
2. Вычислим разность во второй скобке: $47,7 - 41,1 = 6,6$.
3. Умножим результаты, полученные в скобках: $6,05 \cdot 6,6 = 39,93$.
4. Выполним деление: $399,3 : 39,93 = 10$.
5. Выполним вычитание: $409,3 - 10 = 399,3$.
Ответ: $399,3$.

1. 18 страниц составляют 15 % от нужного количества страниц;

^{Проверочная работа}

^1.

^{15% = 0,15}

^{15 : 0,15 = 1800 : 15 = 120 (стр.) – нужно прочитать ученику}

^{Ответ: 120 страниц.}

1

Для решения этой задачи необходимо найти общее количество страниц, зная, что 18 страниц составляют 15% от этого общего количества. Пусть $x$ — это общее (нужное) количество страниц, которое нужно прочитать ученику. Это количество мы принимаем за 100%.

Можно составить пропорцию, чтобы найти неизвестное значение $x$:
18 страниц — 15%
$x$ страниц — 100%

Из пропорции следует равенство:
$ \frac{18}{x} = \frac{15}{100} $

Выразим $x$ из этого равенства:
$ x = \frac{18 \cdot 100}{15} $

Выполним вычисления:
$ x = \frac{1800}{15} $
Для удобства можно сократить дробь на 3, а затем на 5:
$ x = \frac{1800 : 3}{15 : 3} = \frac{600}{5} = 120 $

Таким образом, всего ученику нужно прочитать 120 страниц.

Ответ: 120 страниц.

2. $\frac{\mathbf{2}}{\mathbf{7}}$ от нужного количество страниц составляют 40 страниц;

2.

$40 : \frac{2}{7} = \stackrel{20}{\cancel{40} }· \frac{7}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{2}}}} = 20 · 7 = 140$ (стр.) – нужно прочитать ученику.

Ответ: 140 страниц.

2

В данной задаче нам нужно найти целое число по его части. Известно, что $\frac{2}{7}$ от нужного количества страниц составляют 40 страниц.

Обозначим искомое (нужное) количество страниц переменной $x$.

Тогда, согласно условию, мы можем составить следующее уравнение:

$\frac{2}{7} \cdot x = 40$

Чтобы найти $x$, нужно значение части (40) разделить на дробь, выражающую эту часть ($\frac{2}{7}$):

$x = 40 \div \frac{2}{7}$

Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей (перевёрнутую) дробь:

$x = 40 \cdot \frac{7}{2}$

Теперь вычислим значение $x$:

$x = \frac{40 \cdot 7}{2} = \frac{280}{2} = 140$

Таким образом, нужное количество страниц — 140.

Ответ: 140 страниц.

3. 110 страниц - это $\mathbf{1}\frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}}$ от нужного количества страниц;

3.

$110 : 1\frac{2}{3} = 110 : \frac{5}{3} =\stackrel{22}{ \cancel{110}} · \frac{3}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{5}}}} =$

$= 22 · 3 = 66$ (стр.) – нужно прочитать ученику.

Ответ: 66 страниц.

3.

Данная задача относится к типу задач на нахождение числа по его части. Нам известно, что некоторая часть от искомого числа равна 110, и эта часть выражена смешанной дробью $1\frac{2}{3}$.

Пусть $x$ — это нужное (общее) количество страниц.

Согласно условию, $1\frac{2}{3}$ от числа $x$ равняется 110. Составим уравнение:

$1\frac{2}{3} \cdot x = 110$

Для решения уравнения сначала преобразуем смешанное число $1\frac{2}{3}$ в неправильную дробь. Для этого умножим целую часть на знаменатель и прибавим числитель, а знаменатель оставим прежним:

$1\frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{5}{3}$

Теперь подставим полученную дробь обратно в уравнение:

$\frac{5}{3} \cdot x = 110$

Чтобы найти неизвестный множитель $x$, нужно произведение (110) разделить на известный множитель ($\frac{5}{3}$):

$x = 110 \div \frac{5}{3}$

Чтобы разделить число на дробь, нужно это число умножить на дробь, обратную делителю (то есть на $\frac{3}{5}$):

$x = 110 \cdot \frac{3}{5}$

Выполним вычисление. Можно сначала 110 разделить на 5, а затем результат умножить на 3:

$x = \frac{110}{5} \cdot 3 = 22 \cdot 3 = 66$

Таким образом, нужное количество страниц — 66.

Ответ: 66 страниц.

4. 135 страниц составляют 0,9 нужного количества страниц;

4.

$135 : 0,9 = 350 : 9 = 150$ (стр.) – нужно прочитать ученику.

Ответ: 150 страниц.

4

Для решения этой задачи необходимо найти целое число по его известной части. Нам дано, что 135 страниц — это 0,9 от всего нужного количества страниц.
Пусть $x$ — это искомое (нужное) количество страниц. Тогда мы можем составить следующее уравнение на основе условия задачи:
$0,9 \cdot x = 135$
Чтобы найти $x$, нужно разделить произведение (135) на известный множитель (0,9):
$x = \frac{135}{0,9}$
Для удобства вычисления можно умножить числитель и знаменатель дроби на 10, чтобы избавиться от десятичного знака в знаменателе:
$x = \frac{135 \cdot 10}{0,9 \cdot 10} = \frac{1350}{9}$
Теперь выполним деление:
$x = 150$
Таким образом, нужное количество страниц равно 150.

Проверка:
Найдем 0,9 от 150 страниц: $150 \cdot 0,9 = 135$. Результат совпадает с условием задачи, значит, решение верное.

Ответ: 150 страниц.

5. прочитав 45 страниц, ученик прочитает пятую часть нужного количества страниц;

5.

$45 : \frac{1}{5} = 45 · 5 = 225$ (стр.) – нужно прочитать ученику.

Ответ: 225 страниц.

Для решения этой задачи необходимо найти общее количество страниц, которое должен прочитать ученик.

Пусть $x$ — это общее (нужное) количество страниц в книге.

Согласно условию, 45 страниц составляют пятую часть от общего количества. Пятая часть математически записывается как дробь $ \frac{1}{5} $.

Таким образом, мы можем составить уравнение: $ \frac{1}{5} \cdot x = 45 $

Чтобы найти $x$ (целое по его части), нужно эту часть (45 страниц) умножить на знаменатель дроби (5). $ x = 45 \cdot 5 $

Вычислим произведение: $ 45 \cdot 5 = 225 $

Следовательно, общее количество страниц, которое нужно прочитать ученику, составляет 225.

Ответ: 225 страниц.

6. прочитав половину и ещё четверть нужного количества страниц, ученик прочитает 102 страницы?

6.

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}^{\overline{)\mathbf{·}\mathbf{2}}} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ - прочитано;

$\mathbf{2}\mathbf{)} 102 : \frac{3}{4} = \stackrel{34}{\cancel{102}} · \frac{4}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{3}}}} = 34 · 4 = 136$ (стр.) – нужно прочитать ученику.

Ответ: 136 страниц.

Для того чтобы решить эту задачу, нужно найти общее количество страниц, которое требовалось прочитать ученику. Обозначим это количество переменной $x$.

Согласно условию, ученик прочитал половину нужного количества страниц, что составляет $\frac{1}{2}x$.

Затем он прочитал ещё четверть нужного количества страниц, что составляет $\frac{1}{4}x$.

Общее количество прочитанных страниц равно 102. Мы можем составить уравнение, сложив части, которые прочитал ученик:

$\frac{1}{2}x + \frac{1}{4}x = 102$

Чтобы решить это уравнение, приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для 2 и 4 равен 4.

$\frac{2}{4}x + \frac{1}{4}x = 102$

Теперь сложим коэффициенты при $x$:

$\frac{3}{4}x = 102$

Чтобы найти $x$, нужно разделить 102 на $\frac{3}{4}$, что то же самое, что умножить 102 на обратную дробь $\frac{4}{3}$:

$x = 102 \cdot \frac{4}{3}$

Выполним вычисление:

$x = \frac{102 \cdot 4}{3} = 34 \cdot 4 = 136$

Таким образом, общее количество страниц, которое нужно было прочитать ученику, составляет 136 страниц. Вопрос в задаче можно интерпретировать как: "При каком общем количестве страниц ученик, прочитав половину и четверть, прочитает 102 страницы?". Мы нашли это количество.

Проверка:

Половина от 136 страниц: $136 / 2 = 68$ страниц.

Четверть от 136 страниц: $136 / 4 = 34$ страницы.

Всего прочитано: $68 + 34 = 102$ страницы.

Результат совпадает с условием задачи.

Ответ: ученик прочитает 102 страницы, если общее количество страниц, которое ему нужно прочитать, равно 136.