Страница 109, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

2.492. Во время ремонта пол в кухне размером 4,2 х 3,6 м решили выложить кафельной плиткой. В магазине можно было купить плитку размером 0,3 х 0,3 м по цене 200 р. за штуку и размером 0,4 х 0,4 м по цене 320 р. за штуку. Какую плитку купить выгоднее? Сколько рублей составит выгода?

2.492

0,3 на 0,3 = 200 р за шт.

0,4 на 0,4 = 320 р за шт.

Комната: 42 х 3,6 м.

Выгоднее - ?, выгода -? руб.

1) S = 4,2 • 3,6 = 15,12 (м²)

2) 0,3 • 0,3 = 0,09 (м²) – площадь плитки по цене 200 р;

3) 15,12 : 0,09 = 1512 : 9 = 168 (п) – потребуется;

4) 168 • 200 = 33600 (р) – заплатят за плитку по цене 200 р.

5) 0,4 • 0,4 = 0,16 (м²) – площадь плитки по цене 320 р.

6) 15,12 : 0,16 = 1512 : 16 = 94,5, т.е. 95 плиток нужно

7) 95 • 320 = 30400 (р) – заплатят за плитку по цене 320 р.

8) 33600 – 30400 = 3200 (р) – выгода.

Ответ: выгоднее купить плитку по 320 р.; 3200 рублей выгода.

Для того чтобы определить, какую плитку купить выгоднее, и рассчитать выгоду, необходимо вычислить общую стоимость для каждого из двух вариантов и сравнить их. Важно учитывать, что плитку продают только целыми штуками, поэтому если при расчете получается дробное число, его нужно округлять в большую сторону.

Расчет стоимости для плитки размером 0,3×0,3 м

Размеры кухни — 4,2 м на 3,6 м. Сначала определим, сколько плиток потребуется, чтобы выложить пол по длине и по ширине.

1. Количество плиток по длине: $4,2 \text{ м} \div 0,3 \text{ м} = 14$ штук.

2. Количество плиток по ширине: $3,6 \text{ м} \div 0,3 \text{ м} = 12$ штук.

3. Общее количество плиток: $14 \times 12 = 168$ штук.

4. Общая стоимость этого варианта при цене 200 рублей за плитку:

$168 \times 200 = 33600$ рублей.

Расчет стоимости для плитки размером 0,4×0,4 м

Теперь определим, сколько плиток этого размера потребуется по длине и по ширине.

1. Количество плиток по длине: $4,2 \text{ м} \div 0,4 \text{ м} = 10,5$ штук. Так как плитку можно купить только целиком, округляем в большую сторону до 11 штук.

2. Количество плиток по ширине: $3,6 \text{ м} \div 0,4 \text{ м} = 9$ штук.

3. Общее количество плиток: $11 \times 9 = 99$ штук.

4. Общая стоимость этого варианта при цене 320 рублей за плитку:

$99 \times 320 = 31680$ рублей.

Сравнение вариантов и определение выгоды

Сравним общую стоимость двух вариантов: 33600 рублей за плитку 0,3×0,3 м и 31680 рублей за плитку 0,4×0,4 м.

Поскольку $31680 < 33600$, покупка плитки размером 0,4×0,4 м является более выгодной.

Выгода равна разнице в стоимости:

$33600 \text{ рублей} - 31680 \text{ рублей} = 1920$ рублей.

Ответ: Выгоднее купить плитку размером 0,4×0,4 м. Выгода составит 1920 рублей.

2.493. 1) Миша шёл с одной и той же скоростью. Сколько километров пройдёт Миша за 114 ч, если за 512 ч он прошел 212 км?

2) Поезд шёл с одной и той же скоростью. Сколько километров пройдёт поезд за 314 ч, если за 38 ч он прошёл 2212 км?

2.493

а)

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }2\frac{1}{2} : \frac{5}{12} = \frac{\cancel{5}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{2}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{6}{\bcancel{12}}}}{\cancel{5}} = \frac{1 · 6}{1 · 1} = 6$ (км⁄ч)-скорость Миши;

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }6 · 1\frac{1}{4} = 6 · \frac{5}{4} = \frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{6}}} · 5 }{1 · {\displaystyle \underset{2}{\cancel{4}}} }=$

$\frac{3 · 5 }{1 · 2} = \frac{15}{2} = 7\frac{1}{2}$ (км)-пройдет .

Ответ: $7\frac{1}{2}$ км.

б)

$\mathbf{1}\mathbf{)} 22\frac{1}{2} : \frac{3}{8} = \frac{{\displaystyle \stackrel{15}{\cancel{45}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{2}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{4}{\bcancel{8}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{3}}}} = \frac{15}{1} · \frac{4}{1} = 60$ (км ⁄ ч)-скорость поезда;

$\mathbf{2}\mathbf{)} 60 · 3\frac{1}{4} = \stackrel{15}{\cancel{60}} · \frac{13}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{4}}}} = 15 · 13 =195$ (км)-пройдет.

Ответ: 195 км.

1)

Чтобы решить задачу, сначала найдем скорость, с которой шёл Миша. Скорость ($v$) вычисляется по формуле $v = S / t$, где $S$ — расстояние, а $t$ — время.

Дано:

Расстояние $S_1 = 2 \frac{1}{2}$ км

Время $t_1 = \frac{5}{12}$ ч

1. Переведем смешанное число в неправильную дробь:

$S_1 = 2 \frac{1}{2} = \frac{2 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{5}{2}$ км

2. Найдем скорость Миши:

$v = S_1 \div t_1 = \frac{5}{2} \div \frac{5}{12} = \frac{5}{2} \cdot \frac{12}{5} = \frac{5 \cdot 12}{2 \cdot 5} = \frac{12}{2} = 6$ км/ч

3. Теперь, зная скорость, найдем расстояние ($S_2$), которое Миша пройдет за время $t_2 = 1 \frac{1}{4}$ ч. Сначала переведем время в неправильную дробь:

$t_2 = 1 \frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{5}{4}$ ч

4. Вычислим расстояние по формуле $S = v \cdot t$:

$S_2 = 6 \cdot \frac{5}{4} = \frac{6 \cdot 5}{4} = \frac{30}{4} = \frac{15}{2} = 7 \frac{1}{2}$ км

Ответ: за $1 \frac{1}{4}$ ч Миша пройдет $7 \frac{1}{2}$ км.

2)

Эта задача решается аналогично первой. Сначала найдем скорость поезда.

Дано:

Расстояние $S_1 = 22 \frac{1}{2}$ км

Время $t_1 = \frac{3}{8}$ ч

1. Переведем смешанное число в неправильную дробь:

$S_1 = 22 \frac{1}{2} = \frac{22 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{45}{2}$ км

2. Найдем скорость поезда:

$v = S_1 \div t_1 = \frac{45}{2} \div \frac{3}{8} = \frac{45}{2} \cdot \frac{8}{3} = \frac{45 \cdot 8}{2 \cdot 3} = \frac{15 \cdot 4}{1 \cdot 1} = 60$ км/ч

3. Теперь найдем расстояние ($S_2$), которое поезд пройдет за время $t_2 = 3 \frac{1}{4}$ ч. Переведем время в неправильную дробь:

$t_2 = 3 \frac{1}{4} = \frac{3 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{13}{4}$ ч

4. Вычислим искомое расстояние:

$S_2 = v \cdot t_2 = 60 \cdot \frac{13}{4} = \frac{60 \cdot 13}{4} = 15 \cdot 13 = 195$ км

Ответ: за $3 \frac{1}{4}$ ч поезд пройдет 195 км.

2.494. Вычислите:

1) 114 : 214 · 127; 2) 413 · 178 : 1315; 3) 137 · 1115 : 457; 4) 167 : 357 · 49.

2.494

$$\begin{gathered} \mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }1\frac{1}{4} : 2\frac{1}{4} · 1\frac{2}{7} = \frac{5}{4} : \frac{9}{4} · \frac{9}{7} = \\ = \frac{5}{\bcancel{4}} · \frac{\bcancel{4}}{\cancel{9}} · \frac{\cancel{9}}{7} = \frac{5}{7}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{2}\mathbf{)} 4\frac{1}{3} · 1\frac{7}{8} : \frac{13}{15} = \frac{\cancel{13}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{3}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{5}{\bcancel{15}}}}{8} · \frac{15}{\cancel{13}}= \\ = \frac{1 · 5 · 15}{1 · 8 · 1 }= \frac{75}{8} = 9\frac{3}{8}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{3}\mathbf{)} 1\frac{3}{7} · \frac{11}{15} : 4\frac{5}{7} = \frac{10}{7} · \frac{11}{15} : \frac{33}{7} = \\ = \frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\bcancel{10}}}}{\cancel{7}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\sout{11}}}}{{\displaystyle \underset{3}{\bcancel{15}}}} · \frac{\cancel{7}}{{\displaystyle \underset{3}{\sout{33}}}} = \frac{2 · 1 · 1}{1 · 3 · 3} = \frac{2}{9}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{4}\mathbf{)} 1\frac{6}{7} : 3\frac{5}{7} · \frac{4}{9} = \frac{13}{7} : \frac{26}{7} · \frac{4}{9} = \\ = \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{13}}}}{\cancel{7}} · \frac{\cancel{7}}{{\displaystyle \underset{2}{\bcancel{26}}}} · \frac{4}{9} =\frac{1 · 1 · {\displaystyle \stackrel{2}{\cancel{4}}}}{1 · {\displaystyle \underset{1}{\cancel{2}}} · 9 } = \frac{2}{9}. \end{gathered}$$

1) $1\frac{1}{4} : 2\frac{1}{4} \cdot 1\frac{2}{7}$
Для решения этого примера сначала преобразуем все смешанные числа в неправильные дроби.
$1\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{5}{4}$
$2\frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{9}{4}$
$1\frac{2}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 2}{7} = \frac{9}{7}$
Теперь подставим полученные дроби в исходное выражение и выполним действия по порядку (слева направо).
$ \frac{5}{4} : \frac{9}{4} \cdot \frac{9}{7} $
Первое действие — деление. Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.
$ \frac{5}{4} : \frac{9}{4} = \frac{5}{4} \cdot \frac{4}{9} = \frac{5 \cdot \cancel{4}}{\cancel{4} \cdot 9} = \frac{5}{9} $
Второе действие — умножение.
$ \frac{5}{9} \cdot \frac{9}{7} = \frac{5 \cdot \cancel{9}}{\cancel{9} \cdot 7} = \frac{5}{7} $
Ответ: $\frac{5}{7}$

2) $4\frac{1}{3} \cdot 1\frac{7}{8} : \frac{13}{15}$
Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби.
$4\frac{1}{3} = \frac{4 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{13}{3}$
$1\frac{7}{8} = \frac{1 \cdot 8 + 7}{8} = \frac{15}{8}$
Подставим дроби в выражение и выполним действия по порядку.
$ \frac{13}{3} \cdot \frac{15}{8} : \frac{13}{15} $
Первое действие — умножение. Сократим 15 и 3 на 3.
$ \frac{13}{3} \cdot \frac{15}{8} = \frac{13}{\cancel{3}_1} \cdot \frac{\cancel{15}_5}{8} = \frac{13 \cdot 5}{1 \cdot 8} = \frac{65}{8} $
Второе действие — деление. Умножим на обратную дробь.
$ \frac{65}{8} : \frac{13}{15} = \frac{65}{8} \cdot \frac{15}{13} $
Сократим 65 и 13 на 13.
$ \frac{\cancel{65}_5}{8} \cdot \frac{15}{\cancel{13}_1} = \frac{5 \cdot 15}{8} = \frac{75}{8} $
Преобразуем неправильную дробь в смешанное число.
$ \frac{75}{8} = 9\frac{3}{8} $
Ответ: $9\frac{3}{8}$

3) $1\frac{3}{7} \cdot \frac{11}{15} : 4\frac{5}{7}$
Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби.
$1\frac{3}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 3}{7} = \frac{10}{7}$
$4\frac{5}{7} = \frac{4 \cdot 7 + 5}{7} = \frac{28 + 5}{7} = \frac{33}{7}$
Подставим дроби в выражение.
$ \frac{10}{7} \cdot \frac{11}{15} : \frac{33}{7} $
Первое действие — умножение. Сократим 10 и 15 на 5.
$ \frac{10}{7} \cdot \frac{11}{15} = \frac{\cancel{10}_2}{7} \cdot \frac{11}{\cancel{15}_3} = \frac{2 \cdot 11}{7 \cdot 3} = \frac{22}{21} $
Второе действие — деление. Умножим на обратную дробь.
$ \frac{22}{21} : \frac{33}{7} = \frac{22}{21} \cdot \frac{7}{33} $
Сократим 22 и 33 на 11, а 21 и 7 на 7.
$ \frac{\cancel{22}_2}{\cancel{21}_3} \cdot \frac{\cancel{7}_1}{\cancel{33}_3} = \frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 3} = \frac{2}{9} $
Ответ: $\frac{2}{9}$

4) $1\frac{6}{7} : 3\frac{5}{7} \cdot \frac{4}{9}$
Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби.
$1\frac{6}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 6}{7} = \frac{13}{7}$
$3\frac{5}{7} = \frac{3 \cdot 7 + 5}{7} = \frac{21 + 5}{7} = \frac{26}{7}$
Подставим дроби в выражение.
$ \frac{13}{7} : \frac{26}{7} \cdot \frac{4}{9} $
Первое действие — деление. Умножим на обратную дробь.
$ \frac{13}{7} : \frac{26}{7} = \frac{13}{7} \cdot \frac{7}{26} $
Сократим 13 и 26 на 13, а также семерки.
$ \frac{\cancel{13}_1}{\cancel{7}_1} \cdot \frac{\cancel{7}_1}{\cancel{26}_2} = \frac{1}{2} $
Второе действие — умножение.
$ \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{9} $
Сократим 2 и 4 на 2.
$ \frac{1}{\cancel{2}_1} \cdot \frac{\cancel{4}_2}{9} = \frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 9} = \frac{2}{9} $
Ответ: $\frac{2}{9}$

2.495. Найдите значение выражения:

1) (7,061 : 2,3 – 2,2) · (4,2 + 17,391 : 5,27);

2) (3,7 + 14,058 : 6,39) · (23,641 : 4,7 – 4,6).

2.495

$\mathbf{1}\mathbf{)} (7,061\stackrel{1}{ :} 2,3 \stackrel{2}{–} 2,2) \stackrel{5}{· }(4,2 \stackrel{4}{+} 17,391\stackrel{3}{ :} 5,27) = 6,525;$

1.	2.
3.	4.
5.

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }(3,7\stackrel{2}{ +} 14,058\stackrel{1}{ :} 6,39) \stackrel{5}{·} (23,641\stackrel{3}{ : }4,7 \stackrel{4}{–} 4,6) = 2,537.$

1.	2.
3.	4.
5.

1) $(7,061 : 2,3 - 2,2) \cdot (4,2 + 17,391 : 5,27)$

Для решения этого выражения необходимо следовать порядку выполнения математических операций. Сначала выполняются действия в скобках, при этом деление имеет приоритет над вычитанием, а сложение — после деления.

1. Выполним действия в первой скобке:

а) Сначала деление: $7,061 : 2,3 = 3,07$

б) Затем вычитание: $3,07 - 2,2 = 0,87$

2. Выполним действия во второй скобке:

а) Сначала деление: $17,391 : 5,27 = 3,3$

б) Затем сложение: $4,2 + 3,3 = 7,5$

3. Теперь перемножим результаты, полученные из обеих скобок:

$0,87 \cdot 7,5 = 6,525$

Ответ: $6,525$

2) $(3,7 + 14,058 : 6,39) \cdot (23,641 : 4,7 - 4,6)$

Решим это выражение по действиям, соблюдая правильный порядок.

1. Выполним действия в первой скобке:

а) Сначала деление: $14,058 : 6,39 = 2,2$

б) Затем сложение: $3,7 + 2,2 = 5,9$

2. Выполним действия во второй скобке:

а) Сначала деление: $23,641 : 4,7 = 5,03$

б) Затем вычитание: $5,03 - 4,6 = 0,43$

3. Наконец, перемножим полученные результаты:

$5,9 \cdot 0,43 = 2,537$

Ответ: $2,537$

2.496. Никита прошёл на лыжах 400 м, что составило 415 всей дистанции. Чему равна длина дистанции?

2.496

$400 : \frac{4}{15} = \stackrel{100}{\cancel{400}} · \frac{15}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{4}}}} = 100 · \frac{15}{1} = 1500$ (м)-длина дистанции.

Ответ: 1500 м.

Из условия задачи известно, что 400 метров, которые прошёл Никита, составляют $\frac{4}{15}$ всей дистанции. Это означает, что всю дистанцию можно разделить на 15 равных частей, и 4 из этих частей составляют 400 м. Чтобы найти общую длину дистанции, можно действовать по шагам.

1. Сначала найдём, чему равна одна часть из пятнадцати ($\frac{1}{15}$). Для этого разделим известное расстояние на количество частей, которому оно соответствует:

$400 \text{ м} \div 4 = 100 \text{ м}$

Таким образом, $\frac{1}{15}$ всей дистанции равна 100 метрам.

2. Теперь, зная длину одной части, найдём длину всей дистанции, которая состоит из 15 таких частей. Для этого умножим длину одной части на 15:

$100 \text{ м} \cdot 15 = 1500 \text{ м}$

Следовательно, полная длина дистанции составляет 1500 метров.

Ответ: 1500 м.

2.497. Комбайнёр на новом комбайне убрал зерно с поля за 56 ч и затратил времени на 30 % меньше, чем на старом комбайне. Сколько времени потребовалось бы для выполнения этой работы на старом комбайне?

2.497

Новый комбайн – за 56 ч, на 30% <

Старый комбайн - ? ч.

1) 100 % – 30% = 70% = 0,7 времени – затратил на новом комбайне

2) 56 : 0,7 = 560 : 7 = 80 (ч) – затратил бы на старом комбайне.

Ответ: 80 ч.

Пусть $x$ — это время в часах, которое потребовалось бы для выполнения работы на старом комбайне.

Время, затраченное на уборку зерна на новом комбайне, составляет 56 часов. По условию задачи, это время на 30% меньше, чем время работы на старом комбайне. Это означает, что 56 часов составляют $100\% - 30\% = 70\%$ от времени, которое потребовалось бы на старом комбайне.

Чтобы найти исходное время (100%), можно составить уравнение. Переведем проценты в десятичную дробь: $70\% = 0.7$.
Теперь составим уравнение, где $x$ — это время работы на старом комбайне:
$0.7 \times x = 56$

Решим это уравнение относительно $x$:
$x = \frac{56}{0.7}$
Для удобства вычислений умножим числитель и знаменатель на 10:
$x = \frac{560}{7}$
$x = 80$

Следовательно, на старом комбайне для выполнения этой работы потребовалось бы 80 часов.

Ответ: 80 часов.

2.498. Найдите высоту опоры для моста, если она возвышается над водой на 3,3 м, что составляет 320 ее длины.

2.498

$3,3 : \frac{3}{20} = 3\frac{3}{10 } : \frac{3}{20}=\frac{{\displaystyle \stackrel{11}{\bcancel{33}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{10} }}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\cancel{20}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{3}}}} = \frac{11 · 2 }{1 · 1} = 22$ (м) – высота опоры

Ответ: 22 м.

Это задача на нахождение целого по его части. Нам известно, что некоторая часть от целого равна определенному числу.

Пусть $H$ — полная высота опоры моста.

Из условия задачи мы знаем, что высота опоры, которая возвышается над водой, составляет 3,3 м.

Также нам дано, что эта высота (3,3 м) составляет $\frac{3}{20}$ от всей длины опоры $H$.

Мы можем записать это в виде уравнения:

$\frac{3}{20} \cdot H = 3,3$

Чтобы найти полную высоту $H$, нам нужно разделить известную величину (3,3 м) на дробь, которую она составляет ($\frac{3}{20}$):

$H = 3,3 : \frac{3}{20}$

Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:

$H = 3,3 \cdot \frac{20}{3}$

Теперь выполним вычисление:

$H = \frac{3,3 \cdot 20}{3} = \frac{66}{3} = 22$

Следовательно, полная высота опоры моста равна 22 метрам.

Ответ: 22 м.

2.499. Строители в конце года сдали 432 тыс. м² жилья, что превысило запланированную площадь на 8 %. Сколько тысяч квадратных метров жилья должны были сдать строители?

2.499

Сдали – 432 тыс.м², превысило на 8 %.

Должны были сдать - ? тыс. м²

1) 100% + 8% = 108% = 1,08 - выполнили план строители

2) 432 : 1,08 = 43200 : 108 = 400 (тыс. м2) – должны были сдать строители.

Ответ: 400 тыс. м².

Пусть $x$ — это запланированная площадь жилья в тысячах квадратных метров.
По условию задачи, строители сдали 432 тыс. м² жилья, что превысило запланированную площадь на 8%. Это значит, что фактически сданная площадь составляет 100% от плана плюс еще 8%, то есть $100\% + 8\% = 108\%$ от запланированной площади.
Можно записать это в виде уравнения:
$x + 0.08 \cdot x = 432$
$1.08 \cdot x = 432$
Чтобы найти $x$, нужно разделить фактическую площадь на коэффициент, соответствующий 108%:
$x = \frac{432}{1.08}$
Для удобства вычислений, можно избавиться от десятичной дроби в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на 100:
$x = \frac{43200}{108}$
Выполним деление:
$x = 400$
Следовательно, запланированная площадь составляла 400 тыс. м².

Проверка:
Найдем 8% от запланированной площади (400 тыс. м²):
$400 \cdot \frac{8}{100} = 4 \cdot 8 = 32$ тыс. м²
Прибавим это значение к плану:
$400 + 32 = 432$ тыс. м²
Полученное значение совпадает с фактически сданной площадью, что подтверждает правильность решения.

Ответ: 400 тысяч квадратных метров.

2.500. Луч ВС делит угол ABD на два угла АВС и DBC так, что угол АВС составляет 0,45 угла DBC. Найдите градусные меры углов ABD и DBC, если угол АВС равен 13,5º.

2.500

1) 13,5 : 0,45 = 1350 : 45 = 30° - ∠DBC;

2) 13,5° + 30° = 43,5° - ∠ABD.

Ответ: 30° и 43,5°.

Найдем градусную меру угла DBC

Согласно условию, $\angle ABC$ составляет 0,45 от $\angle DBC$. Это можно записать в виде формулы: $\angle ABC = 0,45 \cdot \angle DBC$. Нам также известно, что $\angle ABC = 13,5^{\circ}$. Подставим это значение в формулу:
$13,5^{\circ} = 0,45 \cdot \angle DBC$
Чтобы найти $\angle DBC$, разделим известное значение угла на коэффициент:
$\angle DBC = \frac{13,5}{0,45}$
Для упрощения вычислений умножим числитель и знаменатель дроби на 100:
$\angle DBC = \frac{13,5 \cdot 100}{0,45 \cdot 100} = \frac{1350}{45} = 30^{\circ}$
Ответ: градусная мера угла DBC равна $30^{\circ}$.

Найдем градусную меру угла ABD

Луч BC делит угол ABD на два угла, $\angle ABC$ и $\angle DBC$. Следовательно, величина угла ABD равна сумме величин этих двух углов:
$\angle ABD = \angle ABC + \angle DBC$
Мы знаем, что $\angle ABC = 13,5^{\circ}$ и мы вычислили, что $\angle DBC = 30^{\circ}$. Подставим эти значения в формулу:
$\angle ABD = 13,5^{\circ} + 30^{\circ} = 43,5^{\circ}$
Ответ: градусная мера угла ABD равна $43,5^{\circ}$.

2.501. Длина первого из трёх участков беговой дистанции эстафеты по лёгкой атлетике составляла 45 % длины всей дистанции, длина второго участка — 0,8 от длины первого. Чему равна длина всей дистанции, если длина третьего участка составила 380 м?

2.501

1) 45% ∙ 0,8 = 36 % - составляет длина второго участка;

2) 45% + 36% = 81% - составляет длина первого и второго участков;

3) 100% - 81% = 19% = 0,19 - составляет длина третьего участка;

4) 380 : 0,19 = 38000 : 19 = 2000 (м) = 2 (км) – длина всей дистанции.

Ответ: 2 км.

Для решения задачи обозначим общую длину дистанции как $x$ метров. Дистанция состоит из трёх участков, сумма длин которых равна $x$.

1. Выразим длины первого и второго участков через $x$.

Длина первого участка составляет 45% от всей дистанции. Переведем проценты в десятичную дробь: $45\% = 0,45$. Значит, длина первого участка равна $0,45x$ м.

Длина второго участка составляет 0,8 от длины первого. Чтобы найти его длину как часть от всей дистанции, умножим долю первого участка на 0,8:

$0,8 \times 0,45x = 0,36x$

Итак, длина второго участка равна $0,36x$ м.

2. Составим и решим уравнение.

Сумма длин всех трёх участков равна общей длине дистанции. Длина третьего участка по условию равна 380 м. Составим уравнение:

Длина первого участка + Длина второго участка + Длина третьего участка = Вся дистанция

$0,45x + 0,36x + 380 = x$

Сложим слагаемые с переменной $x$ в левой части уравнения:

$0,81x + 380 = x$

Перенесем все слагаемые с $x$ в правую часть уравнения, чтобы найти, какую часть от всей дистанции составляет третий участок:

$380 = x - 0,81x$

$380 = 0,19x$

Теперь найдем $x$, разделив известную длину третьего участка на его долю в общей дистанции:

$x = \frac{380}{0,19}$

Для удобства вычислений избавимся от дроби в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на 100:

$x = \frac{38000}{19}$

$x = 2000$

Таким образом, длина всей дистанции составляет 2000 метров.

Ответ: 2000 м.

2.502. Из морозильника в столовой взяли 15,6 кг мяса и затем ещё 713 этого количества. После этого в морозильнике осталось 35 находившегося там изначально мяса. Сколько килограммов мяса было в морозильнике?

2.502

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }15,6 · \frac{7}{13} = 15\frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{6}}}}{{\displaystyle \underset{5}{\cancel{10}}}}· \frac{7}{13} = 15\frac{3}{5}· \frac{7}{13} =$

$= \frac{{\displaystyle \stackrel{6}{\cancel{78}}}}{5}· \frac{7}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{13}}}} = \frac{6 · 7 }{5 · 1} = {\frac{42}{5}}^{\overline{)·2}} = \frac{84}{10} = 8,4$ (кг) - мяса  взяли во второй раз;

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }15,6 + 8,4 = 24$ (кг) - мяса взяли всего;

$\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{ }1 - \frac{3}{5} = \frac{5}{5} - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$мяса – взяли из морозилки;

$\mathbf{4}\mathbf{)} 24 : \frac{2}{5} = \stackrel{12}{\cancel{24}} · \frac{5}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{2}}}} = 12 · 5 = 60$ (кг) - мяса было в морозильнике.

Ответ: 60 кг.

Пусть $x$ кг — это первоначальное количество мяса, которое было в морозильнике.

Сначала из морозильника взяли 15,6 кг мяса. Затем взяли ещё $\frac{7}{13}$ этого количества. Вычислим, сколько килограммов мяса взяли во второй раз:

$15,6 \cdot \frac{7}{13} = \frac{156}{10} \cdot \frac{7}{13}$

Так как $156 = 12 \cdot 13$, то:

$\frac{12 \cdot 13 \cdot 7}{10 \cdot 13} = \frac{12 \cdot 7}{10} = \frac{84}{10} = 8,4$ кг.

Теперь найдём общее количество мяса, которое взяли из морозильника, сложив обе части:

$15,6 + 8,4 = 24$ кг.

После того как из морозильника взяли 24 кг мяса, в нём осталось $(x - 24)$ кг. По условию задачи, это оставшееся количество составляет $\frac{3}{5}$ от первоначального количества мяса, то есть $\frac{3}{5}x$.

Составим и решим уравнение:

$x - 24 = \frac{3}{5}x$

Перенесём слагаемые, содержащие $x$, в левую часть уравнения, а числовые значения — в правую:

$x - \frac{3}{5}x = 24$

Приведём подобные слагаемые:

$\frac{5}{5}x - \frac{3}{5}x = 24$

$\frac{2}{5}x = 24$

Найдём $x$:

$x = 24 : \frac{2}{5} = 24 \cdot \frac{5}{2} = \frac{24 \cdot 5}{2} = 12 \cdot 5 = 60$

Следовательно, изначально в морозильнике было 60 кг мяса.

Ответ: 60 кг.

2.503. После того как туристы преодолели на байдарках 0,48 всего пути, им осталось пройти ещё 24 км. Чему равна протяжённость всего пути?

2.503

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }1 – 0,48 = 0,52$всего пути – осталось пройти туристам;

$\mathbf{2}\mathbf{)} 24 : 0,52 = 2400 : 52 = 46\frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\cancel{8}}}}{{\displaystyle \underset{13}{\cancel{52}}}} = 46\frac{2}{13}$(км) – весь путь.

Ответ: $46\frac{2}{13}$ км.

Примем всю протяжённость пути за 1 (единицу). Обозначим её как $x$.

1. Найдём, какая часть пути осталась не пройдена.

Согласно условию, туристы преодолели 0,48 всего пути. Чтобы найти оставшуюся часть, нужно из целого (1) вычесть пройденную долю:

$1 - 0,48 = 0,52$

Таким образом, туристам осталось пройти 0,52 от всего пути.

2. Найдём общую протяжённость пути.

Из условия мы знаем, что оставшаяся часть пути, равная 0,52, составляет 24 км. Чтобы найти весь путь ($x$), мы можем составить и решить уравнение:

$0,52 \cdot x = 24$

Для того чтобы найти неизвестный множитель $x$, нужно произведение (24) разделить на известный множитель (0,52):

$x = 24 : 0,52$

Для удобства вычислений избавимся от десятичной дроби в делителе, умножив и делимое, и делитель на 100:

$x = \frac{2400}{52}$

Теперь сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для 2400 и 52 равен 4:

$x = \frac{2400 \div 4}{52 \div 4} = \frac{600}{13}$

Результат можно оставить в виде неправильной дроби или перевести в смешанное число, разделив 600 на 13 с остатком:

$600 \div 13 = 46$ и $2$ в остатке.

Таким образом, $x = 46 \frac{2}{13}$ км.

Проверка:

Найдём, сколько километров составляет оставшийся путь, если весь путь равен $\frac{600}{13}$ км.

Оставшаяся часть пути равна 0,52. Умножим её на общую протяжённость:

$0,52 \cdot \frac{600}{13} = \frac{52}{100} \cdot \frac{600}{13} = \frac{52 \cdot 600}{100 \cdot 13} = \frac{52 \cdot 6}{13} = \frac{4 \cdot 13 \cdot 6}{13} = 4 \cdot 6 = 24$ км.

Результат совпадает с условием задачи.

Ответ: Протяжённость всего пути равна $46 \frac{2}{13}$ км.

2.504. Элеватор в первый день отгрузил из одной колонны 40 % имеющегося зерна, во второй день — 60 % остатка, а в третий день — последние 96 т. Сколько зерна было в колонне элеватора?

2.504

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }100\% - 40\% = 60\%$- отгрузил во второй и третий день;

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }60\% · 0,6 = 36\%$- отгрузил во второй день;

$\mathbf{3}\mathbf{)} 60\% - 36\% = 24\% = 0,24$ - отгрузил в третий день;

$\mathbf{4}\mathbf{)} 96 : 0,24 = 9600 : 24 = 400$(т) – зерна было в элеваторе.

Ответ: 400 т.

Для решения этой задачи будем рассуждать в обратном порядке, начиная с последнего известного значения.

Известно, что в третий день отгрузили последние 96 т зерна. Это означает, что к началу третьего дня в колонне находилось ровно 96 т.

Во второй день было отгружено 60% остатка, после чего осталось 96 т. Следовательно, эти 96 т составляют $100\% - 60\% = 40\%$ от того количества зерна, которое было в колонне в начале второго дня. Пусть $y$ — это количество зерна в начале второго дня. Тогда:
$y \cdot 0.40 = 96$
Чтобы найти $y$, разделим 96 на 0.40:
$y = \frac{96}{0.4} = \frac{960}{4} = 240$ т.
Таким образом, в конце первого дня (и в начале второго) в колонне оставалось 240 т зерна.

В первый день было отгружено 40% от всего имевшегося зерна. Значит, 240 т, которые остались после первого дня, составляют $100\% - 40\% = 60\%$ от первоначального количества зерна. Пусть $x$ — это первоначальное количество зерна. Тогда:
$x \cdot 0.60 = 240$
Чтобы найти $x$, разделим 240 на 0.60:
$x = \frac{240}{0.6} = \frac{2400}{6} = 400$ т.

Проверим полученный результат:
1. Первоначальное количество зерна: 400 т.
2. Отгрузка в первый день (40%): $400 \cdot 0.4 = 160$ т. Остаток: $400 - 160 = 240$ т.
3. Отгрузка во второй день (60% от остатка): $240 \cdot 0.6 = 144$ т. Остаток: $240 - 144 = 96$ т.
4. Отгрузка в третий день: 96 т.
Все условия задачи выполняются.

Ответ: 400 т.

6.75. Решите уравнение:.
а) х : 3,5 = 1,2 : 0,4;
б) 2,5 : 6,8 = 1,5 : у.

6.75

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathrm{х} : 3,5 = 1,2 : 0,4; \\ \mathrm{х} = \frac{3,5 · 1,2}{0,4}; \\ \mathrm{х} = \frac{3,5 · {\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{12}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{4}}}}; \\ \mathrm{х} = \frac{3,5 · 3}{1}; \\ \mathrm{х} = 10,5. \\ \mathrm{Ответ}: 10,5. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{б}\mathbf{)}\mathbf{ }2,5 : 6,8 = 1,5 : \mathrm{у}; \\ \mathrm{у} = \frac{6,8 · 1,5 }{2,5}; \\ \mathrm{у} = \frac{6,8 · {\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{15}}} }{{\displaystyle \underset{5}{\cancel{25}}}}; \\ \mathrm{у} = \frac{6,8 · 3}{5}; \\ \mathrm{у} = {\frac{20,4}{5}}^{\overline{)·2}}; \\ \mathrm{у} = \frac{40,8}{10}; \\ \mathrm{у} = 4,08. \\ \mathrm{Ответ}: 4,08. \end{gathered}$$

а) $x : 3,5 = 1,2 : 0,4$

Данное уравнение представляет собой пропорцию. Основное свойство пропорции гласит, что произведение крайних членов равно произведению средних членов. Запишем пропорцию в виде равенства дробей: $\frac{x}{3,5} = \frac{1,2}{0,4}$

Чтобы найти неизвестный крайний член пропорции $x$, нужно произведение средних членов разделить на известный крайний член. В виде формулы, используя перекрестное умножение: $x \cdot 0,4 = 3,5 \cdot 1,2$

Вычислим произведение в правой части уравнения: $3,5 \cdot 1,2 = 4,2$

Теперь уравнение имеет вид: $0,4x = 4,2$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на $0,4$: $x = \frac{4,2}{0,4}$

Для удобства вычислений избавимся от десятичных дробей, умножив числитель и знаменатель на 10: $x = \frac{42}{4}$

Выполним деление: $x = 10,5$

Ответ: $x = 10,5$.

б) $2,5 : 6,8 = 1,5 : y$

Это также пропорция. Запишем ее в виде равенства дробей, чтобы применить основное свойство пропорции: $\frac{2,5}{6,8} = \frac{1,5}{y}$

Используем правило перекрестного умножения (произведение крайних членов равно произведению средних): $2,5 \cdot y = 6,8 \cdot 1,5$

Вычислим произведение чисел в правой части: $6,8 \cdot 1,5 = 10,2$

Теперь уравнение выглядит следующим образом: $2,5y = 10,2$

Чтобы найти неизвестную переменную $y$, разделим обе части уравнения на $2,5$: $y = \frac{10,2}{2,5}$

Умножим числитель и знаменатель на 10, чтобы перейти к делению целых чисел: $y = \frac{102}{25}$

Выполним деление, чтобы найти окончательное значение $y$: $y = 4,08$

Ответ: $y = 4,08$.

6.76. Найдите объём и площадь поверхности куба с ребром:
а) 3 м;
б) 0,3 м;
в) 0,03 м.

6.76

$V = x^3; S = 6x^2$

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathrm{х} = 3 \mathrm{м} \\ \mathrm{V} = 3^3 = 27 ({\mathrm{м}}^3) \\ \mathrm{S} = 6 · 3^2 = 6 · 9 = 54 ({\mathrm{м}}^2) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathrm{х} = 0,3 \mathrm{м} \\ \mathrm{V} = {\left(0,3\right)}^3 = 0,027 ({\mathrm{м}}^3) \\ \mathrm{S} = 6 · {\left(0,3\right)}^2 = 6 · 0,09 = 0,54 ({\mathrm{м}}^2) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{в}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathrm{х} = 0,03 \mathrm{м} \\ \mathrm{V} = {\left(0,03\right)}^3 = 0,000027 ({\mathrm{м}}^3) \\ \mathrm{S} = 6 · {\left(0,03\right)}^2 = 6 · 0,0009 = 0,0054 ({\mathrm{м}}^2) \end{gathered}$$

Для нахождения объёма и площади поверхности куба с ребром $a$ применяются следующие формулы:

1. Объём куба ($V$) вычисляется как куб длины его ребра: $V = a^3$.

2. Площадь поверхности куба ($S$) вычисляется как сумма площадей шести его граней. Каждая грань является квадратом со стороной $a$, поэтому её площадь равна $a^2$. Общая площадь поверхности равна: $S = 6a^2$.

а)

Дано ребро куба $a = 3$ м.
Найдём объём куба:
$V = 3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$ м³.
Найдём площадь поверхности куба:
$S = 6 \cdot a^2 = 6 \cdot 3^2 = 6 \cdot 9 = 54$ м².
Ответ: объём куба равен 27 м³, а площадь поверхности — 54 м².

б)

Дано ребро куба $a = 0,3$ м.
Найдём объём куба:
$V = (0,3)^3 = 0,3 \cdot 0,3 \cdot 0,3 = 0,027$ м³.
Найдём площадь поверхности куба:
$S = 6 \cdot a^2 = 6 \cdot (0,3)^2 = 6 \cdot 0,09 = 0,54$ м².
Ответ: объём куба равен 0,027 м³, а площадь поверхности — 0,54 м².

в)

Дано ребро куба $a = 0,03$ м.
Найдём объём куба:
$V = (0,03)^3 = 0,03 \cdot 0,03 \cdot 0,03 = 0,000027$ м³.
Найдём площадь поверхности куба:
$S = 6 \cdot a^2 = 6 \cdot (0,03)^2 = 6 \cdot 0,0009 = 0,0054$ м².
Ответ: объём куба равен 0,000027 м³, а площадь поверхности — 0,0054 м².

6.77. Найдите корень уравнения:
1) –2(3,1х – 1) + 3(1,2х + 1) = –14,5;
2) –5(4,2у + 1) + 4(1,4у – 2) = –20,7.

6.77

$$\begin{gathered} \mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }-2(3,1\mathrm{х} – 1) + 3(1,2\mathrm{х} + 1) = -14,5; \\ -6,2\mathrm{х} + 2 + 3,6\mathrm{х} + 3 = -14,5; \\ -2,6\mathrm{х} = -14,5 – 2 – 3; \\ -2,6\mathrm{х} = -19,5; \\ \mathrm{х} = -19,5 : (-2,6); \\ \mathrm{х} = -195 : (-26) \\ \mathrm{х} = 7,5. \\ \mathrm{Ответ}: 7,5. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{б}\mathbf{)}\mathbf{ }-5(4,2\mathrm{у} + 1) + 4(1,4\mathrm{у} – 2) = -20,7; \\ -21\mathrm{у} – 5 + 5,6\mathrm{у} – 8 = -20,7; \\ -21\mathrm{у} + 5,6\mathrm{у} = -20,7 + 5 + 8; \\ -15,4\mathrm{у} = -7,7 \\ \mathrm{у} = -7,7 : (-15,4); \\ \mathrm{у} = -77 : (-154) \\ \mathrm{у} = 0,5. \\ \mathrm{Ответ}: 0,5. \end{gathered}$$

1)

Дано уравнение:

$-2(3,1x - 1) + 3(1,2x + 1) = -14,5$

Первым шагом раскроем скобки. Для этого умножим число перед скобками на каждый член внутри скобок:

$-2 \cdot 3,1x - 2 \cdot (-1) + 3 \cdot 1,2x + 3 \cdot 1 = -14,5$

Выполним умножение:

$-6,2x + 2 + 3,6x + 3 = -14,5$

Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые: члены с переменной $x$ и свободные члены (числа).

$(-6,2x + 3,6x) + (2 + 3) = -14,5$

$-2,6x + 5 = -14,5$

Перенесем число 5 из левой части уравнения в правую, изменив его знак на противоположный:

$-2,6x = -14,5 - 5$

$-2,6x = -19,5$

Чтобы найти $x$, нужно разделить обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на $-2,6$.

$x = \frac{-19,5}{-2,6}$

Деление отрицательного числа на отрицательное дает положительное:

$x = \frac{19,5}{2,6}$

Чтобы упростить деление, умножим числитель и знаменатель на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей:

$x = \frac{195}{26}$

Выполним деление:

$x = 7,5$

Ответ: 7,5

2)

Дано уравнение:

$-5(4,2y + 1) + 4(1,4y - 2) = -20,7$

Раскроем скобки, умножая множители на выражения в скобках:

$-5 \cdot 4,2y - 5 \cdot 1 + 4 \cdot 1,4y + 4 \cdot (-2) = -20,7$

$-21y - 5 + 5,6y - 8 = -20,7$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(-21y + 5,6y) + (-5 - 8) = -20,7$

$-15,4y - 13 = -20,7$

Перенесем число -13 из левой части в правую с противоположным знаком:

$-15,4y = -20,7 + 13$

$-15,4y = -7,7$

Теперь найдем $y$, разделив обе части уравнения на $-15,4$.

$y = \frac{-7,7}{-15,4}$

$y = \frac{7,7}{15,4}$

Можно заметить, что знаменатель в два раза больше числителя ($7,7 \cdot 2 = 15,4$). Сократим дробь:

$y = \frac{1}{2}$

Представим ответ в виде десятичной дроби:

$y = 0,5$

Ответ: 0,5

6.78. Постройте ломаную MNAP, если М(–10; –3), N(–8; 5), А(0; –1), Р(7; 2), и ломаную BCF, если F(5; 3), С(–2; 7), В(–6; –3). Отметьте точки пересечения ломаных и запишите их координаты.

6.78

K(-4; 2) – точка пересечения ломаных

Для нахождения точек пересечения двух ломаных MNAP и BCF необходимо проанализировать возможные пересечения их отрезков. Ломаная MNAP состоит из отрезков MN, NA и AP. Ломаная BCF состоит из отрезков BC и CF. Задача сводится к нахождению точек пересечения этих отрезков.

Для каждого отрезка найдем уравнение прямой вида $y = kx + b$, на которой он лежит.

• Отрезок MN: M(-10; -3), N(-8; 5).
  $k_{MN} = \frac{5 - (-3)}{-8 - (-10)} = \frac{8}{2} = 4$.
  $y - 5 = 4(x - (-8)) \implies y = 4x + 32 + 5 \implies y = 4x + 37$.
  Отрезок определен для $x \in [-10, -8]$.

• Отрезок NA: N(-8; 5), A(0; -1).
  $k_{NA} = \frac{-1 - 5}{0 - (-8)} = \frac{-6}{8} = -\frac{3}{4}$.
  Точка A(0; -1) является точкой пересечения с осью Y, поэтому $b = -1$.
  $y = -\frac{3}{4}x - 1$.
  Отрезок определен для $x \in [-8, 0]$.

• Отрезок AP: A(0; -1), P(7; 2).
  $k_{AP} = \frac{2 - (-1)}{7 - 0} = \frac{3}{7}$.
  Точка A(0; -1) является точкой пересечения с осью Y, поэтому $b = -1$.
  $y = \frac{3}{7}x - 1$.
  Отрезок определен для $x \in [0, 7]$.

• Отрезок BC: B(-6; -3), C(-2; 7).
  $k_{BC} = \frac{7 - (-3)}{-2 - (-6)} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$.
  $y - 7 = \frac{5}{2}(x - (-2)) \implies y = \frac{5}{2}x + 5 + 7 \implies y = \frac{5}{2}x + 12$.
  Отрезок определен для $x \in [-6, -2]$.

• Отрезок CF: C(-2; 7), F(5; 3).
  $k_{CF} = \frac{3 - 7}{5 - (-2)} = \frac{-4}{7}$.
  $y - 3 = -\frac{4}{7}(x - 5) \implies y = -\frac{4}{7}x + \frac{20}{7} + 3 \implies y = -\frac{4}{7}x + \frac{41}{7}$.
  Отрезок определен для $x \in [-2, 5]$.

Приравняем уравнения прямых, содержащих отрезки NA и BC, чтобы найти их точку пересечения:

$-\frac{3}{4}x - 1 = \frac{5}{2}x + 12$

Умножим уравнение на 4, чтобы избавиться от знаменателей:

$-3x - 4 = 10x + 48$

$-52 = 13x$

$x = -4$

Теперь найдем координату y, подставив значение x в одно из уравнений (например, для NA):

$y = -\frac{3}{4}(-4) - 1 = 3 - 1 = 2$

Получили точку с координатами $(-4; 2)$. Проверим, принадлежит ли эта точка обоим отрезкам.

• Для отрезка NA ($x \in [-8, 0]$): $-8 \le -4 \le 0$. Верно.

• Для отрезка BC ($x \in [-6, -2]$): $-6 \le -4 \le -2$. Верно.

Так как абсцисса точки пересечения лежит в пределах обоих отрезков, то точка $(-4; 2)$ является точкой их пересечения.

• Пары отрезков MN и BC, MN и CF, AP и BC не могут пересекаться, так как их проекции на ось X не пересекаются. Например, для MN $x \in [-10, -8]$, а для BC $x \in [-6, -2]$. Эти интервалы не имеют общих точек.

• Рассмотрим пару AP и CF. Их области определения по оси X пересекаются: $x \in [0, 7]$ для AP и $x \in [-2, 5]$ для CF. Общая область: $x \in [0, 5]$. Найдем точку пересечения их прямых:

  $\frac{3}{7}x - 1 = -\frac{4}{7}x + \frac{41}{7}$

  $3x - 7 = -4x + 41$

  $7x = 48 \implies x = \frac{48}{7} \approx 6.86$

  Полученное значение $x$ не принадлежит общей области определения $x \in [0, 5]$, поэтому отрезки не пересекаются.

• Аналогично, анализ пересечения прямых NA и CF показывает, что точка их пересечения не принадлежит ни одному из отрезков.

Таким образом, ломаные имеют только одну точку пересечения.

Ответ: Единственная точка пересечения ломаных имеет координаты $(-4; 2)$.

6.79. По координатам вершин М(–6; 4), N(2; 3), К(1; –3), D(–7; 1) постройте четырёхугольник MNKD. Найдите по рисунку координаты точки пересечения его диагоналей.

6.79

$О \left(-3\frac{3}{4}; 1\frac{3}{4}\right)$

Постройте четырехугольник MNKD

Для построения четырехугольника MNKD необходимо нанести на декартову плоскость координат его вершины по заданным координатам: M(-6; 4), N(2; 3), K(1; -3) и D(-7; 1). После этого следует последовательно соединить вершины отрезками прямых: M с N, N с K, K с D и D с M. В результате будет построен искомый четырехугольник.

Найдите по рисунку координаты точки пересечения его диагоналей

Диагоналями четырехугольника MNKD являются отрезки, соединяющие его противолежащие вершины. В данном случае это диагонали MK и ND. Построив эти диагонали на чертеже, мы можем найти их точку пересечения.

Визуальный анализ построенного графика показывает, что точка пересечения диагоналей не имеет целочисленных координат. Она расположена во второй координатной четверти, ее абсцисса (координата по оси x) находится в интервале от -4 до -3, а ордината (координата по оси y) — в интервале от 1 до 2.

Поскольку точное определение координат по рисунку затруднительно, применим аналитический метод для нахождения точного ответа. Для этого составим уравнения прямых, на которых лежат диагонали.

Уравнение прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, задается формулой: $\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$.

Для диагонали MK, проходящей через точки M(-6; 4) и K(1; -3):

$\frac{y - 4}{-3 - 4} = \frac{x - (-6)}{1 - (-6)}$

$\frac{y - 4}{-7} = \frac{x + 6}{7}$

Умножим обе части на -7:

$y - 4 = -(x + 6)$

$y - 4 = -x - 6$

$y = -x - 2$

Для диагонали ND, проходящей через точки N(2; 3) и D(-7; 1):

$\frac{y - 3}{1 - 3} = \frac{x - 2}{-7 - 2}$

$\frac{y - 3}{-2} = \frac{x - 2}{-9}$

Используя свойство пропорции, получаем:

$9(y - 3) = 2(x - 2)$

$9y - 27 = 2x - 4$

$2x - 9y + 23 = 0$

Координаты точки пересечения являются решением системы этих двух линейных уравнений:

$\begin{cases} y = -x - 2 \\ 2x - 9y + 23 = 0 \end{cases}$

Подставляем выражение для $y$ из первого уравнения во второе:

$2x - 9(-x - 2) + 23 = 0$

$2x + 9x + 18 + 23 = 0$

$11x + 41 = 0$

$11x = -41$

$x = -\frac{41}{11}$

Теперь находим соответствующее значение $y$, подставив найденный $x$ в первое уравнение:

$y = -(-\frac{41}{11}) - 2 = \frac{41}{11} - \frac{22}{11} = \frac{19}{11}$

Таким образом, точные координаты точки пересечения диагоналей — $(-\frac{41}{11}; \frac{19}{11})$. В виде десятичных дробей это приблизительно (-3.73; 1.73), что согласуется с первоначальной оценкой по рисунку.

Ответ: Координаты точки пересечения диагоналей равны $(-\frac{41}{11}; \frac{19}{11})$.

6.80. Отметьте на координатной плоскости точки А(0; 4), В(8; 0), L(–2; 0), K(–4; –1). Проведите прямые АВ и LK и найдите координаты точки пересечения. На какой из этих прямых лежит точка С(0; 1)?

6.80

P(2,9; 2,5) – точка пересечения прямых

точка С(0; 1) лежит на прямой LK

Для решения задачи сначала найдем уравнения прямых AB и LK, проходящих через заданные точки.

Уравнение прямой в общем виде: $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент, а $b$ — точка пересечения с осью Y.

1. Найдем уравнение прямой AB, проходящей через точки A(0; 4) и B(8; 0).

Найдем угловой коэффициент $k_{AB}$:

$k_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{0 - 4}{8 - 0} = \frac{-4}{8} = -0.5$

Точка A(0; 4) является точкой пересечения прямой с осью Y, поэтому $b = 4$.

Таким образом, уравнение прямой AB: $y = -0.5x + 4$.

2. Найдем уравнение прямой LK, проходящей через точки L(-2; 0) и K(-4; -1).

Найдем угловой коэффициент $k_{LK}$:

$k_{LK} = \frac{y_K - y_L}{x_K - x_L} = \frac{-1 - 0}{-4 - (-2)} = \frac{-1}{-2} = 0.5$

Теперь подставим координаты точки L(-2; 0) и найденный коэффициент $k_{LK}$ в общее уравнение прямой, чтобы найти $b$:

$0 = 0.5 \cdot (-2) + b$

$0 = -1 + b$

$b = 1$

Таким образом, уравнение прямой LK: $y = 0.5x + 1$.

Найдите координаты точки пересечения.

Чтобы найти точку пересечения прямых AB и LK, нужно решить систему уравнений:

$\begin{cases} y = -0.5x + 4 \\ y = 0.5x + 1 \end{cases}$

Приравняем правые части уравнений:

$-0.5x + 4 = 0.5x + 1$

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а свободные члены — в другую:

$4 - 1 = 0.5x + 0.5x$

$3 = x$

Теперь найдем координату $y$, подставив значение $x = 3$ в любое из двух уравнений. Воспользуемся вторым:

$y = 0.5 \cdot 3 + 1 = 1.5 + 1 = 2.5$

Координаты точки пересечения (3; 2.5).

Ответ: Координаты точки пересечения прямых AB и LK равны (3; 2.5).

На какой из этих прямых лежит точка C(0; 1)?

Чтобы определить, на какой прямой лежит точка C(0; 1), подставим ее координаты в уравнение каждой прямой.

1. Проверим для прямой AB: $y = -0.5x + 4$.

Подставляем $x=0$ и $y=1$:

$1 = -0.5 \cdot 0 + 4$

$1 = 4$

Равенство неверное, значит точка C(0; 1) не лежит на прямой AB.

2. Проверим для прямой LK: $y = 0.5x + 1$.

Подставляем $x=0$ и $y=1$:

$1 = 0.5 \cdot 0 + 1$

$1 = 1$

Равенство верное, значит точка C(0; 1) лежит на прямой LK.

Ответ: Точка C(0; 1) лежит на прямой LK.

6.81. Постройте на координатной плоскости треугольник MCD, если М(–1; –1), С(3; 5), D(5; –1). Найдите координаты точки пересечения стороны MD с осью у.

6.81

(0; -1) – точка пересечения стороны MD с осью у

Построение треугольника MCD

Для того чтобы построить треугольник $MCD$ на координатной плоскости, необходимо отметить точки, соответствующие его вершинам, и соединить их отрезками.
1. Отмечаем точку $M$ с координатами $(-1; -1)$. Для этого от начала координат отступаем на 1 единицу влево по оси $x$ и на 1 единицу вниз по оси $y$.
2. Отмечаем точку $C$ с координатами $(3; 5)$. Для этого от начала координат отступаем на 3 единицы вправо по оси $x$ и на 5 единиц вверх по оси $y$.
3. Отмечаем точку $D$ с координатами $(5; -1)$. Для этого от начала координат отступаем на 5 единиц вправо по оси $x$ и на 1 единицу вниз по оси $y$.
4. Соединяем отрезками точки $M$ и $C$, $C$ и $D$, $D$ и $M$.
В результате на координатной плоскости будет изображен треугольник $MCD$.

Ответ: Треугольник $MCD$ построен согласно заданным координатам вершин.

Нахождение координат точки пересечения стороны MD с осью y

Требуется найти координаты точки пересечения стороны $MD$ с осью ординат (осью $y$). Любая точка, лежащая на оси $y$, имеет абсциссу (координату $x$) равную нулю.
Рассмотрим координаты точек $M$ и $D$, которые образуют сторону $MD$: $M(-1; -1)$ и $D(5; -1)$.
Можно заметить, что ординаты (координаты $y$) этих точек одинаковы: $y_M = y_D = -1$.
Это означает, что все точки на прямой, проходящей через $M$ и $D$, имеют ординату $-1$. Следовательно, сторона $MD$ лежит на горизонтальной прямой, уравнение которой $y = -1$.
Точка пересечения этой прямой с осью $y$ — это точка, которая принадлежит одновременно и прямой $MD$, и оси $y$. Таким образом, ее координаты должны удовлетворять условиям: $x=0$ (так как точка лежит на оси $y$) и $y=-1$ (так как точка лежит на прямой $MD$).
Следовательно, искомая точка пересечения имеет координаты $(0; -1)$.

Ответ: $(0; -1)$

6.82. Постройте на координатной плоскости треугольник АВС, если А(4; 4), В(7; 0), С(1; –2). Постройте треугольник, симметричный треугольнику АВС относительно: а) начала координат; б) оси ординат; в) оси абсцисс.

6.82

а)

б)

в)

Для решения задачи сначала построим исходный треугольник $ABC$ по заданным координатам вершин: $A(4; 4)$, $B(7; 0)$ и $C(1; -2)$. Затем для каждого случая найдем координаты вершин симметричного треугольника, построив его на той же координатной плоскости.

а) относительно начала координат

Чтобы найти координаты вершин треугольника $A_1B_1C_1$, симметричного треугольнику $ABC$ относительно начала координат (точки $O(0;0)$), нужно изменить знаки обеих координат у каждой вершины исходного треугольника. Точка $M'(x'; y')$, симметричная точке $M(x; y)$ относительно начала координат, имеет координаты $x' = -x$ и $y' = -y$.
Применим это правило к вершинам треугольника $ABC$:
Вершина $A(4; 4)$ отобразится в точку $A_1(-4; -4)$.
Вершина $B(7; 0)$ отобразится в точку $B_1(-7; 0)$.
Вершина $C(1; -2)$ отобразится в точку $C_1(-1; 2)$.
Соединив полученные точки, получим треугольник $A_1B_1C_1$.

Ответ: Координаты вершин симметричного треугольника $A_1B_1C_1$ равны $A_1(-4; -4)$, $B_1(-7; 0)$ и $C_1(-1; 2)$.

б) относительно оси ординат

Чтобы найти координаты вершин треугольника $A_2B_2C_2$, симметричного треугольнику $ABC$ относительно оси ординат (оси $Oy$), нужно изменить знак координаты $x$ на противоположный, а координату $y$ оставить без изменений. Точка $M'(x'; y')$, симметричная точке $M(x; y)$ относительно оси ординат, имеет координаты $x' = -x$ и $y' = y$.
Применим это правило к вершинам треугольника $ABC$:
Вершина $A(4; 4)$ отобразится в точку $A_2(-4; 4)$.
Вершина $B(7; 0)$ отобразится в точку $B_2(-7; 0)$.
Вершина $C(1; -2)$ отобразится в точку $C_2(-1; -2)$.
Соединив полученные точки, получим треугольник $A_2B_2C_2$.

Ответ: Координаты вершин симметричного треугольника $A_2B_2C_2$ равны $A_2(-4; 4)$, $B_2(-7; 0)$ и $C_2(-1; -2)$.

в) относительно оси абсцисс

Чтобы найти координаты вершин треугольника $A_3B_3C_3$, симметричного треугольнику $ABC$ относительно оси абсцисс (оси $Ox$), нужно изменить знак координаты $y$ на противоположный, а координату $x$ оставить без изменений. Точка $M'(x'; y')$, симметричная точке $M(x; y)$ относительно оси абсцисс, имеет координаты $x' = x$ и $y' = -y$.
Применим это правило к вершинам треугольника $ABC$:
Вершина $A(4; 4)$ отобразится в точку $A_3(4; -4)$.
Вершина $B(7; 0)$ отобразится в точку $B_3(7; 0)$, так как она лежит на оси симметрии.
Вершина $C(1; -2)$ отобразится в точку $C_3(1; 2)$.
Соединив полученные точки, получим треугольник $A_3B_3C_3$.

Ответ: Координаты вершин симметричного треугольника $A_3B_3C_3$ равны $A_3(4; -4)$, $B_3(7; 0)$ и $C_3(1; 2)$.

6.83. Найдите корень уравнения:
а) 3 · (х + 4) = 7 · (х – 2) + 12;
б) 4 · (х – 1) + 2х = 5 · (2 – х) + 19.

6.83

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)} 3(\mathrm{х} + 4) = 7(\mathrm{х} – 2) + 12; \\ 3\mathrm{х} + 12 = 7\mathrm{х} – 14 + 12; \\ 3\mathrm{х} – 7\mathrm{х} = -14 + 12 – 12; \\ -4\mathrm{х} = -14; \\ \mathrm{х} = -14 : (-4); \\ \mathrm{х} = 3,5. \\ \mathrm{Ответ}: 3,5. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{б}\mathbf{)} 4(\mathrm{х} – 1) + 2\mathrm{х} = 5(2 – \mathrm{х}) + 19; \\ 4\mathrm{х} – 4 + 2\mathrm{х} = 10 – 5\mathrm{х} + 19; \\ 4\mathrm{х} + 2\mathrm{х} + 5\mathrm{х} = 10 + 19 + 4; \\ 11\mathrm{х} = 33; \\ \mathrm{х} = 33 : 11; \\ \mathrm{х} = 3. \\ \mathrm{Ответ}: 3. \end{gathered}$$

а) $3 \cdot (x + 4) = 7 \cdot (x - 2) + 12$

Для начала раскроем скобки в обеих частях уравнения, умножив число перед скобкой на каждое слагаемое внутри нее:

$3 \cdot x + 3 \cdot 4 = 7 \cdot x - 7 \cdot 2 + 12$

$3x + 12 = 7x - 14 + 12$

Теперь упростим правую часть уравнения, сложив числа:

$3x + 12 = 7x - 2$

Перенесем слагаемые, содержащие переменную $x$, в одну сторону уравнения, а свободные члены (числа) — в другую. При переносе слагаемого из одной части уравнения в другую его знак меняется на противоположный. Перенесем $3x$ вправо, а $-2$ влево:

$12 + 2 = 7x - 3x$

Приведем подобные слагаемые:

$14 = 4x$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 4:

$x = \frac{14}{4}$

Сократим дробь и представим ответ в виде десятичной дроби:

$x = \frac{7}{2} = 3.5$

Ответ: $3.5$

б) $4 \cdot (x - 1) + 2x = 5 \cdot (2 - x) + 19$

Сначала раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$4 \cdot x - 4 \cdot 1 + 2x = 5 \cdot 2 - 5 \cdot x + 19$

$4x - 4 + 2x = 10 - 5x + 19$

Теперь приведем подобные слагаемые в каждой части уравнения:

$(4x + 2x) - 4 = (10 + 19) - 5x$

$6x - 4 = 29 - 5x$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числа — в правую часть, не забывая менять знаки при переносе:

$6x + 5x = 29 + 4$

Снова приведем подобные слагаемые:

$11x = 33$

Чтобы найти корень уравнения, разделим обе части на 11:

$x = \frac{33}{11}$

$x = 3$

Ответ: $3$

6.84. Проведите две прямые m и l, пересекающиеся в точке А, так, чтобы один из углов между ними был 79°.

6.84

Задача состоит в построении двух пересекающихся прямых, один из углов между которыми равен заданной величине. Для выполнения этого построения используются стандартные чертежные инструменты: линейка и транспортир.

Пошаговое решение:

1. С помощью линейки начертим произвольную прямую. Назовем её m.

2. На прямой m выберем любую точку и обозначим её буквой А. Эта точка будет являться точкой пересечения наших двух прямых.

3. Возьмем транспортир. Приложим его к прямой m таким образом, чтобы центр транспортира совпал с точкой А, а его основание (нулевая линия) было выровнено по прямой m.

4. На шкале транспортира найдем деление, соответствующее $79^\circ$. Поставим рядом с этим делением маленькую вспомогательную точку (например, B).

5. Теперь уберем транспортир. С помощью линейки проведем прямую, проходящую через точку А и вспомогательную точку B. Эту новую прямую назовем l.

В результате этих действий мы получили две прямые m и l, которые пересекаются в точке А. Угол, образованный этими прямыми, по построению равен $79^\circ$.

Следует помнить, что при пересечении двух прямых образуется всего четыре угла. Они связаны между собой следующими свойствами:

• Вертикальные углы равны.
• Сумма смежных углов равна $180^\circ$.

Поэтому, если один из углов равен $79^\circ$ (это острый угол), то и вертикальный ему угол также будет равен $79^\circ$. Два других угла будут смежными к углу в $79^\circ$, и их величина будет равна: $180^\circ - 79^\circ = 101^\circ$.

Таким образом, мы построили прямые, при пересечении которых образуются две пары углов: два угла по $79^\circ$ и два угла по $101^\circ$.

Ответ: Чтобы провести две прямые m и l, пересекающиеся в точке А под углом $79^\circ$, нужно начертить прямую m, отметить на ней точку А, затем с помощью транспортира отложить от прямой m в точке А угол в $79^\circ$ и провести через точку А вторую прямую l в соответствии с отложенным углом.

6.85. Постройте угол АВС, равный 60°. Отметьте точку N на стороне ВС и проведите через неё прямую а, перпендикулярную стороне АВ, а через точку Р на стороне АВ проведите прямую с, перпендикулярную стороне ВС. Измерьте транспортиром углы, образовавшиеся при пересечении прямых а и с.

6.85

$$\begin{gathered} \angle \mathrm{АВС} = 60°; \mathrm{а} \perp \mathrm{АВ}; \mathrm{b} \perp \mathrm{ВC}; \\ \angle \mathrm{MOP} = \angle \mathrm{NOK} = 60° \\ \angle \mathrm{MOK} = \angle \mathrm{NOP} = 120° \end{gathered}$$

Для решения задачи выполним следующие шаги: сначала выполним все необходимые построения согласно условию, а затем проведем расчет углов, образовавшихся при пересечении построенных прямых.

1. С помощью линейки и транспортира строим угол $∠ABC$, равный $60°$. Для этого проводим луч $BC$, откладываем от точки $B$ угол в $60°$ и проводим луч $BA$.
2. Выбираем произвольную точку $N$ на стороне $BC$.
3. Через точку $N$ проводим прямую $a$, перпендикулярную стороне $AB$. Для этого можно использовать угольник. Обозначим точку пересечения прямой $a$ со стороной $AB$ как $D$. По построению, $a \perp AB$.
4. Выбираем произвольную точку $P$ на стороне $AB$.
5. Через точку $P$ проводим прямую $c$, перпендикулярную стороне $BC$. Обозначим точку пересечения прямой $c$ со стороной $BC$ как $E$. По построению, $c \perp BC$.
6. Прямые $a$ и $c$ пересекаются в некоторой точке, которую мы обозначим $M$.

Ниже представлен чертеж, иллюстрирующий данное построение:

Хотя в задаче предлагается измерить углы транспортиром, мы можем найти их точные значения с помощью геометрического расчета. Для этого рассмотрим четырехугольник $BDME$. Его вершинами являются: точка $B$, точка $D$ (пересечение прямой $a$ и $AB$), точка $M$ (пересечение прямых $a$ и $c$) и точка $E$ (пересечение прямой $c$ и $BC$).

Сумма внутренних углов любого выпуклого четырехугольника равна $360°$. Найдем величины углов четырехугольника $BDME$:

• Угол при вершине B: Угол $∠EBD$ совпадает с заданным углом $∠ABC$, поэтому $∠EBD = 60°$.
• Угол при вершине D: Это угол $∠BDM$. По построению, прямая $a$ (содержащая отрезок $DM$) перпендикулярна прямой $AB$ (содержащей отрезок $BD$). Следовательно, $∠BDM = 90°$.
• Угол при вершине E: Это угол $∠MEB$. По построению, прямая $c$ (содержащая отрезок $ME$) перпендикулярна прямой $BC$ (содержащей отрезок $BE$). Следовательно, $∠MEB = 90°$.
• Угол при вершине M: Это искомый угол $∠DME$.

Теперь мы можем найти четвертый угол четырехугольника, $∠DME$, используя свойство о сумме углов:
$∠DME + ∠BDM + ∠MEB + ∠EBD = 360°$
Подставим известные значения:
$∠DME + 90° + 90° + 60° = 360°$
$∠DME + 240° = 360°$
$∠DME = 360° - 240° = 120°$

Прямые $a$ и $c$ при пересечении в точке $M$ образуют четыре угла. Мы нашли один из них, он равен $120°$. Угол, вертикальный ему, также равен $120°$. Два других угла являются смежными с найденным, и их величина равна $180° - 120° = 60°$.

Таким образом, измерение транспортиром углов, образовавшихся при пересечении прямых $a$ и $c$, должно показать, что два угла равны $60°$, а два других — $120°$.

Ответ: При пересечении прямых $a$ и $c$ образовались две пары углов: два угла по $60°$ и два угла по $120°$.

6.86. Вычислите:
а) – 15 · (–0,4) · 0,3 – 0,01064 : (–0,14);
б) 44 : (–25) – (4,3 · 0,8 – 3,7).

6.86

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} {- \frac{1}{5}}^{\overline{)·2}} · \left(-0,4\right) · 0,3 - 0,01064 : (-0,14) = \\ = -0,2 · \left(-0,4\right) · 0,3 - 1,064\stackrel{1}{ :} (-14) = \\ = 0,08 · 0,3 – 1,064 : (-14) = 0,024 \stackrel{2}{+} 0,076 = \\ = 0,1 \end{gathered}$$

1.

2.

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }44 \stackrel{1}{:} (-25) – (4,3 \stackrel{2}{·} 0,8 – 3,7) = -1,76 – \\ - (3,44 \stackrel{3}{–} 3,7) = -1,76 – (– 0,26) = \\ =-1,76 + 0,26 = -1,5 \end{gathered}$$

1.
2.	3.

а) Вычислим значение выражения $\frac{1}{5} : (-0,4) \cdot 0,3 - 0,01064 : (-0,14)$ по действиям, соблюдая правильный порядок операций.

1. Выполним первое деление. Для удобства переведем обыкновенную дробь в десятичную: $\frac{1}{5} = 0,2$.
$0,2 : (-0,4) = - (2 : 4) = -0,5$.

2. Результат первого действия умножим на $0,3$.
$-0,5 \cdot 0,3 = -0,15$.

3. Теперь выполним второе деление в выражении.
$0,01064 : (-0,14) = - (0,01064 : 0,14) = - (1,064 : 14) = -0,076$.

4. Наконец, выполним вычитание.
$-0,15 - (-0,076) = -0,15 + 0,076 = -0,074$.

Ответ: $-0,074$.

б) Вычислим значение выражения $44 : (-25) - (4,3 \cdot 0,8 - 3,7)$ по действиям.

1. Согласно порядку выполнения операций, сначала вычисляем значение в скобках. Начнем с умножения.
$4,3 \cdot 0,8 = 3,44$.

2. Теперь выполним вычитание в скобках.
$3,44 - 3,7 = -0,26$.

3. Далее выполним деление, стоящее вне скобок.
$44 : (-25) = -\frac{44}{25} = -\frac{44 \cdot 4}{25 \cdot 4} = -\frac{176}{100} = -1,76$.

4. Последним действием выполним вычитание.
$-1,76 - (-0,26) = -1,76 + 0,26 = -1,5$.

Ответ: $-1,5$.

1. Какие из точек А(2; 4), В(4; –1), С(0; 3), D(2; 0), О(0; 0), P(12; 0), Q(0; –2,3), R(137; –234) расположены:

а) на оси абсцисс;
б) на оси ординат?

Проверочная работа

1.

а) на оси абсцисс расположены точки D(2; 0), O(0; 0), $\mathrm{Р} \left( \frac{1}{2}; 0\right)$

б) на оси ординат расположены точки C(0; 3), О(0; 0), Q(0; -2,3)

Для решения этой задачи необходимо вспомнить правило расположения точек на координатных осях. Точка с координатами $(x; y)$ лежит на оси абсцисс (оси Ox), если ее вторая координата (ордината) равна нулю, то есть $y=0$. Точка лежит на оси ординат (оси Oy), если ее первая координата (абсцисса) равна нулю, то есть $x=0$. Проанализируем каждую точку из списка: A(2; 4), B(4; -1), C(0; 3), D(2; 0), O(0; 0), $P(\frac{1}{2}; 0)$, Q(0; -2,3), $R(1\frac{3}{7}; -2\frac{3}{4})$.

а) на оси абсцисс

Ищем точки, у которых ордината (вторая координата) равна нулю. Это точки вида $(x; 0)$.

• A(2; 4) – ордината 4, не лежит на оси абсцисс.
• B(4; -1) – ордината -1, не лежит на оси абсцисс.
• C(0; 3) – ордината 3, не лежит на оси абсцисс.
• D(2; 0) – ордината 0, лежит на оси абсцисс.
• O(0; 0) – ордината 0, лежит на оси абсцисс (точка начала координат лежит на обеих осях).
• $P(\frac{1}{2}; 0)$ – ордината 0, лежит на оси абсцисс.
• Q(0; -2,3) – ордината -2,3, не лежит на оси абсцисс.
• $R(1\frac{3}{7}; -2\frac{3}{4})$ – ордината $-2\frac{3}{4}$, не лежит на оси абсцисс.

Таким образом, на оси абсцисс расположены точки D, O, P.

Ответ: D(2; 0), O(0; 0), $P(\frac{1}{2}; 0)$.

б) на оси ординат

Ищем точки, у которых абсцисса (первая координата) равна нулю. Это точки вида $(0; y)$.

• A(2; 4) – абсцисса 2, не лежит на оси ординат.
• B(4; -1) – абсцисса 4, не лежит на оси ординат.
• C(0; 3) – абсцисса 0, лежит на оси ординат.
• D(2; 0) – абсцисса 2, не лежит на оси ординат.
• O(0; 0) – абсцисса 0, лежит на оси ординат.
• $P(\frac{1}{2}; 0)$ – абсцисса $\frac{1}{2}$, не лежит на оси ординат.
• Q(0; -2,3) – абсцисса 0, лежит на оси ординат.
• $R(1\frac{3}{7}; -2\frac{3}{4})$ – абсцисса $1\frac{3}{7}$, не лежит на оси ординат.

Таким образом, на оси ординат расположены точки C, O, Q.

Ответ: C(0; 3), O(0; 0), Q(0; -2,3).

2. Постройте отрезок по координатам его концов:

а) М(2; –3), N(–3; 2); б) L(– 12; –4), K(3,5; 5).

2.

а) M(2; -3), N(-3; 2)

б) $\mathrm{L} \left(-\frac{1}{2}; -4\right)$, K(3,5; 5)

a) Для построения отрезка $MN$ по координатам его концов $M(2; -3)$ и $N(-3; 2)$ необходимо выполнить следующие действия на координатной плоскости:

1. Начертить прямоугольную систему координат, состоящую из горизонтальной оси абсцисс (Ox) и вертикальной оси ординат (Oy), пересекающихся в начале координат (0; 0).
2. Найти и отметить точку $M(2; -3)$. Для этого от начала координат отложить 2 единицы вправо по оси Ox и 3 единицы вниз параллельно оси Oy. Точка $M$ будет на пересечении этих проекций.
3. Найти и отметить точку $N(-3; 2)$. Для этого от начала координат отложить 3 единицы влево по оси Ox и 2 единицы вверх параллельно оси Oy. Точка $N$ будет на пересечении этих проекций.
4. Соединить точки $M$ и $N$ с помощью линейки. Полученная прямая линия между точками $M$ и $N$ является искомым отрезком.

Ниже представлено графическое построение отрезка $MN$.

Ответ: Отрезок $MN$ построен на координатной плоскости путем соединения точек $M(2; -3)$ и $N(-3; 2)$.

б) Для построения отрезка $LK$ по координатам его концов $L(-\frac{1}{2}; -4)$ и $K(3,5; 5)$ необходимо выполнить аналогичные шаги:

1. Начертить прямоугольную систему координат Ox, Oy.
2. Найти и отметить точку $L(-\frac{1}{2}; -4)$. Для удобства переведем дробь в десятичный вид: $-\frac{1}{2} = -0,5$. От начала координат откладываем 0,5 единицы влево по оси Ox и 4 единицы вниз параллельно оси Oy.
3. Найти и отметить точку $K(3,5; 5)$. От начала координат откладываем 3,5 единицы вправо по оси Ox и 5 единиц вверх параллельно оси Oy.
4. Соединить точки $L$ и $K$ прямой линией, получив искомый отрезок $LK$.

Ниже представлено графическое построение отрезка $LK$.

Ответ: Отрезок $LK$ построен на координатной плоскости путем соединения точек $L(-0,5; -4)$ и $K(3,5; 5)$.

3. Через точку F(3; −5) проведена прямая:
а) параллельная оси абсцисс;
б) параллельная оси ординат.

Запишите координату какой–нибудь точки, лежащей на этой прямой.

3.

F(3; -5)

а) точка (-2; -5)

б) точка (3; 3)

а) Прямая, параллельная оси абсцисс (оси $Ox$), является горизонтальной прямой. У всех точек, лежащих на такой прямой, одинаковая ордината (координата $y$). Поскольку прямая проходит через точку $F(3; -5)$, то ордината всех точек на этой прямой равна $-5$. Уравнение этой прямой имеет вид $y = -5$. Чтобы записать координаты какой-нибудь другой точки, лежащей на этой прямой, нужно выбрать любое значение абсциссы $x$, отличное от 3, при этом ордината должна оставаться равной $-5$. Например, возьмем $x = 0$. Тогда координаты точки будут $(0; -5)$.
Ответ: $(0; -5)$.

б) Прямая, параллельная оси ординат (оси $Oy$), является вертикальной прямой. У всех точек, лежащих на такой прямой, одинаковая абсцисса (координата $x$). Поскольку прямая проходит через точку $F(3; -5)$, то абсцисса всех точек на этой прямой равна $3$. Уравнение этой прямой имеет вид $x = 3$. Чтобы записать координаты какой-нибудь другой точки, лежащей на этой прямой, нужно выбрать любое значение ординаты $y$, отличное от $-5$, при этом абсцисса должна оставаться равной $3$. Например, возьмем $y = 0$. Тогда координаты точки будут $(3; 0)$.
Ответ: $(3; 0)$.