Номер 6.79, страница 109, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

Часть 2. Параграф 6. Координаты на плоскости. 43. Координатная плоскость - номер 6.79, страница 109.

Условие.

6.79. По координатам вершин М(–6; 4), N(2; 3), К(1; –3), D(–7; 1) постройте четырёхугольник MNKD. Найдите по рисунку координаты точки пересечения его диагоналей.

Решение 1.

6.79

$О \left(-3\frac{3}{4}; 1\frac{3}{4}\right)$

Решение 2.

Постройте четырехугольник MNKD

Для построения четырехугольника MNKD необходимо нанести на декартову плоскость координат его вершины по заданным координатам: M(-6; 4), N(2; 3), K(1; -3) и D(-7; 1). После этого следует последовательно соединить вершины отрезками прямых: M с N, N с K, K с D и D с M. В результате будет построен искомый четырехугольник.

Найдите по рисунку координаты точки пересечения его диагоналей

Диагоналями четырехугольника MNKD являются отрезки, соединяющие его противолежащие вершины. В данном случае это диагонали MK и ND. Построив эти диагонали на чертеже, мы можем найти их точку пересечения.

Визуальный анализ построенного графика показывает, что точка пересечения диагоналей не имеет целочисленных координат. Она расположена во второй координатной четверти, ее абсцисса (координата по оси x) находится в интервале от -4 до -3, а ордината (координата по оси y) — в интервале от 1 до 2.

Поскольку точное определение координат по рисунку затруднительно, применим аналитический метод для нахождения точного ответа. Для этого составим уравнения прямых, на которых лежат диагонали.

Уравнение прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, задается формулой: $\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$.

Для диагонали MK, проходящей через точки M(-6; 4) и K(1; -3):

$\frac{y - 4}{-3 - 4} = \frac{x - (-6)}{1 - (-6)}$

$\frac{y - 4}{-7} = \frac{x + 6}{7}$

Умножим обе части на -7:

$y - 4 = -(x + 6)$

$y - 4 = -x - 6$

$y = -x - 2$

Для диагонали ND, проходящей через точки N(2; 3) и D(-7; 1):

$\frac{y - 3}{1 - 3} = \frac{x - 2}{-7 - 2}$

$\frac{y - 3}{-2} = \frac{x - 2}{-9}$

Используя свойство пропорции, получаем:

$9(y - 3) = 2(x - 2)$

$9y - 27 = 2x - 4$

$2x - 9y + 23 = 0$

Координаты точки пересечения являются решением системы этих двух линейных уравнений:

$\begin{cases} y = -x - 2 \\ 2x - 9y + 23 = 0 \end{cases}$

Подставляем выражение для $y$ из первого уравнения во второе:

$2x - 9(-x - 2) + 23 = 0$

$2x + 9x + 18 + 23 = 0$

$11x + 41 = 0$

$11x = -41$

$x = -\frac{41}{11}$

Теперь находим соответствующее значение $y$, подставив найденный $x$ в первое уравнение:

$y = -(-\frac{41}{11}) - 2 = \frac{41}{11} - \frac{22}{11} = \frac{19}{11}$

Таким образом, точные координаты точки пересечения диагоналей — $(-\frac{41}{11}; \frac{19}{11})$. В виде десятичных дробей это приблизительно (-3.73; 1.73), что согласуется с первоначальной оценкой по рисунку.

Ответ: Координаты точки пересечения диагоналей равны $(-\frac{41}{11}; \frac{19}{11})$.

Решение 3.

Решение 4.