Номер 6.78, страница 109, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

43. Координатная плоскость. § 6. Координаты на плоскости. ч. 2 - номер 6.78, страница 109.

6.78. Постройте ломаную MNAP, если М(–10; –3), N(–8; 5), А(0; –1), Р(7; 2), и ломаную BCF, если F(5; 3), С(–2; 7), В(–6; –3). Отметьте точки пересечения ломаных и запишите их координаты.

6.78

K(-4; 2) – точка пересечения ломаных

Для нахождения точек пересечения двух ломаных MNAP и BCF необходимо проанализировать возможные пересечения их отрезков. Ломаная MNAP состоит из отрезков MN, NA и AP. Ломаная BCF состоит из отрезков BC и CF. Задача сводится к нахождению точек пересечения этих отрезков.

1. Определение уравнений прямых для отрезков ломаных

Для каждого отрезка найдем уравнение прямой вида $y = kx + b$, на которой он лежит.

• Отрезок MN: M(-10; -3), N(-8; 5).
  $k_{MN} = \frac{5 - (-3)}{-8 - (-10)} = \frac{8}{2} = 4$.
  $y - 5 = 4(x - (-8)) \implies y = 4x + 32 + 5 \implies y = 4x + 37$.
  Отрезок определен для $x \in [-10, -8]$.

• Отрезок NA: N(-8; 5), A(0; -1).
  $k_{NA} = \frac{-1 - 5}{0 - (-8)} = \frac{-6}{8} = -\frac{3}{4}$.
  Точка A(0; -1) является точкой пересечения с осью Y, поэтому $b = -1$.
  $y = -\frac{3}{4}x - 1$.
  Отрезок определен для $x \in [-8, 0]$.

• Отрезок AP: A(0; -1), P(7; 2).
  $k_{AP} = \frac{2 - (-1)}{7 - 0} = \frac{3}{7}$.
  Точка A(0; -1) является точкой пересечения с осью Y, поэтому $b = -1$.
  $y = \frac{3}{7}x - 1$.
  Отрезок определен для $x \in [0, 7]$.

• Отрезок BC: B(-6; -3), C(-2; 7).
  $k_{BC} = \frac{7 - (-3)}{-2 - (-6)} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$.
  $y - 7 = \frac{5}{2}(x - (-2)) \implies y = \frac{5}{2}x + 5 + 7 \implies y = \frac{5}{2}x + 12$.
  Отрезок определен для $x \in [-6, -2]$.

• Отрезок CF: C(-2; 7), F(5; 3).
  $k_{CF} = \frac{3 - 7}{5 - (-2)} = \frac{-4}{7}$.
  $y - 3 = -\frac{4}{7}(x - 5) \implies y = -\frac{4}{7}x + \frac{20}{7} + 3 \implies y = -\frac{4}{7}x + \frac{41}{7}$.
  Отрезок определен для $x \in [-2, 5]$.

2. Нахождение точки пересечения отрезков NA и BC

Приравняем уравнения прямых, содержащих отрезки NA и BC, чтобы найти их точку пересечения:

$-\frac{3}{4}x - 1 = \frac{5}{2}x + 12$

Умножим уравнение на 4, чтобы избавиться от знаменателей:

$-3x - 4 = 10x + 48$

$-52 = 13x$

$x = -4$

Теперь найдем координату y, подставив значение x в одно из уравнений (например, для NA):

$y = -\frac{3}{4}(-4) - 1 = 3 - 1 = 2$

Получили точку с координатами $(-4; 2)$. Проверим, принадлежит ли эта точка обоим отрезкам.

• Для отрезка NA ($x \in [-8, 0]$): $-8 \le -4 \le 0$. Верно.

• Для отрезка BC ($x \in [-6, -2]$): $-6 \le -4 \le -2$. Верно.

Так как абсцисса точки пересечения лежит в пределах обоих отрезков, то точка $(-4; 2)$ является точкой их пересечения.

3. Анализ пересечения других пар отрезков

• Пары отрезков MN и BC, MN и CF, AP и BC не могут пересекаться, так как их проекции на ось X не пересекаются. Например, для MN $x \in [-10, -8]$, а для BC $x \in [-6, -2]$. Эти интервалы не имеют общих точек.

• Рассмотрим пару AP и CF. Их области определения по оси X пересекаются: $x \in [0, 7]$ для AP и $x \in [-2, 5]$ для CF. Общая область: $x \in [0, 5]$. Найдем точку пересечения их прямых:

  $\frac{3}{7}x - 1 = -\frac{4}{7}x + \frac{41}{7}$

  $3x - 7 = -4x + 41$

  $7x = 48 \implies x = \frac{48}{7} \approx 6.86$

  Полученное значение $x$ не принадлежит общей области определения $x \in [0, 5]$, поэтому отрезки не пересекаются.

• Аналогично, анализ пересечения прямых NA и CF показывает, что точка их пересечения не принадлежит ни одному из отрезков.

Таким образом, ломаные имеют только одну точку пересечения.

Ответ: Единственная точка пересечения ломаных имеет координаты $(-4; 2)$.