Номер 6.85, страница 109, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

Часть 2. Параграф 6. Координаты на плоскости. 43. Координатная плоскость - номер 6.85, страница 109.

Условие.

6.85. Постройте угол АВС, равный 60°. Отметьте точку N на стороне ВС и проведите через неё прямую а, перпендикулярную стороне АВ, а через точку Р на стороне АВ проведите прямую с, перпендикулярную стороне ВС. Измерьте транспортиром углы, образовавшиеся при пересечении прямых а и с.

Решение 1.

6.85

$$\begin{gathered} \angle \mathrm{АВС} = 60°; \mathrm{а} \perp \mathrm{АВ}; \mathrm{b} \perp \mathrm{ВC}; \\ \angle \mathrm{MOP} = \angle \mathrm{NOK} = 60° \\ \angle \mathrm{MOK} = \angle \mathrm{NOP} = 120° \end{gathered}$$

Решение 2.

Для решения задачи выполним следующие шаги: сначала выполним все необходимые построения согласно условию, а затем проведем расчет углов, образовавшихся при пересечении построенных прямых.

Построение

1. С помощью линейки и транспортира строим угол $∠ABC$, равный $60°$. Для этого проводим луч $BC$, откладываем от точки $B$ угол в $60°$ и проводим луч $BA$.
2. Выбираем произвольную точку $N$ на стороне $BC$.
3. Через точку $N$ проводим прямую $a$, перпендикулярную стороне $AB$. Для этого можно использовать угольник. Обозначим точку пересечения прямой $a$ со стороной $AB$ как $D$. По построению, $a \perp AB$.
4. Выбираем произвольную точку $P$ на стороне $AB$.
5. Через точку $P$ проводим прямую $c$, перпендикулярную стороне $BC$. Обозначим точку пересечения прямой $c$ со стороной $BC$ как $E$. По построению, $c \perp BC$.
6. Прямые $a$ и $c$ пересекаются в некоторой точке, которую мы обозначим $M$.

Ниже представлен чертеж, иллюстрирующий данное построение:

Расчет и измерение углов

Хотя в задаче предлагается измерить углы транспортиром, мы можем найти их точные значения с помощью геометрического расчета. Для этого рассмотрим четырехугольник $BDME$. Его вершинами являются: точка $B$, точка $D$ (пересечение прямой $a$ и $AB$), точка $M$ (пересечение прямых $a$ и $c$) и точка $E$ (пересечение прямой $c$ и $BC$).

Сумма внутренних углов любого выпуклого четырехугольника равна $360°$. Найдем величины углов четырехугольника $BDME$:

• Угол при вершине B: Угол $∠EBD$ совпадает с заданным углом $∠ABC$, поэтому $∠EBD = 60°$.
• Угол при вершине D: Это угол $∠BDM$. По построению, прямая $a$ (содержащая отрезок $DM$) перпендикулярна прямой $AB$ (содержащей отрезок $BD$). Следовательно, $∠BDM = 90°$.
• Угол при вершине E: Это угол $∠MEB$. По построению, прямая $c$ (содержащая отрезок $ME$) перпендикулярна прямой $BC$ (содержащей отрезок $BE$). Следовательно, $∠MEB = 90°$.
• Угол при вершине M: Это искомый угол $∠DME$.

Теперь мы можем найти четвертый угол четырехугольника, $∠DME$, используя свойство о сумме углов:
$∠DME + ∠BDM + ∠MEB + ∠EBD = 360°$
Подставим известные значения:
$∠DME + 90° + 90° + 60° = 360°$
$∠DME + 240° = 360°$
$∠DME = 360° - 240° = 120°$

Прямые $a$ и $c$ при пересечении в точке $M$ образуют четыре угла. Мы нашли один из них, он равен $120°$. Угол, вертикальный ему, также равен $120°$. Два других угла являются смежными с найденным, и их величина равна $180° - 120° = 60°$.

Таким образом, измерение транспортиром углов, образовавшихся при пересечении прямых $a$ и $c$, должно показать, что два угла равны $60°$, а два других — $120°$.

Ответ: При пересечении прямых $a$ и $c$ образовались две пары углов: два угла по $60°$ и два угла по $120°$.

Решение 3.

Решение 4.