Страница 107, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

Вопросы:

Как найти число по значению его дроби?

Как найти число по его процентам?

16. Нахождение числа по его дроби

Вопросы к параграфу

• Чтобы найти число по его значению, соответствующему данной дроби, надо это значение разделить на дробь.

• Чтобы найти число по его проценту, надо число процентом записать в виде дроби и найти число по значению его дроби.

Как найти число по значению его дроби?

Чтобы найти число по известному значению его дроби, необходимо это значение разделить на данную дробь. Это правило исходит из определения нахождения части от числа. Если нам известно, что часть некоторого числа $x$, выраженная дробью $\frac{m}{n}$, равна числу $a$, мы можем записать это как уравнение: $x \cdot \frac{m}{n} = a$. Для нахождения неизвестного множителя $x$ нужно произведение $a$ разделить на известный множитель $\frac{m}{n}$.

Таким образом, формула для вычисления искомого числа $x$ выглядит так:

$x = a \div \frac{m}{n} = a \cdot \frac{n}{m}$

Пример: Найти число, если известно, что $\frac{2}{5}$ этого числа равны 12.

Решение: Здесь значение дроби $a=12$, а сама дробь — $\frac{2}{5}$. Чтобы найти всё число, разделим 12 на $\frac{2}{5}$.

$12 \div \frac{2}{5} = 12 \cdot \frac{5}{2} = \frac{12 \cdot 5}{2} = 6 \cdot 5 = 30$.

Следовательно, искомое число равно 30.

Ответ: Чтобы найти число по значению его дроби, нужно это значение разделить на данную дробь.

Как найти число по его процентам?

Нахождение числа по его процентам является частным случаем предыдущей задачи, поскольку любой процент можно представить в виде дроби. По определению, один процент ($1\%$) — это одна сотая часть величины, то есть дробь $\frac{1}{100}$ или $0.01$.

Чтобы найти число по его процентам, нужно выполнить следующие шаги:

1. Перевести проценты в обыкновенную или десятичную дробь. Для этого число процентов нужно разделить на 100. Например, $p\% = \frac{p}{100}$.

2. Разделить значение, которое соответствует этим процентам, на полученную дробь (как в первой задаче).

Если известно, что $p\%$ от некоторого числа $x$ равны $a$, то формула для нахождения $x$ будет:

$x = a \div \frac{p}{100} = a \cdot \frac{100}{p}$

Пример: Найти число, если его 40% составляют 80.

Решение:

1. Представим 40% в виде десятичной дроби: $40\% = \frac{40}{100} = 0.4$.

2. Теперь разделим значение (80) на эту дробь:

$80 \div 0.4 = 200$.

Можно также использовать обыкновенную дробь: $40\% = \frac{40}{100} = \frac{2}{5}$.

$80 \div \frac{2}{5} = 80 \cdot \frac{5}{2} = \frac{80 \cdot 5}{2} = 40 \cdot 5 = 200$.

Искомое число — 200.

Ответ: Чтобы найти число по его процентам, нужно представить проценты в виде дроби и разделить значение, соответствующее этим процентам, на полученную дробь.

2.472. Найдите длину столба, если его наземная часть равна 512 м, а в землю врыто 311 его длины.

2.472

Наземная часть - $5\frac{1}{2}$ м;

В землю врыто – ? м, $\frac{3}{11}$длины столба

Длина столба - ? м.

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }1 - \frac{3}{11} = \frac{11}{11} - \frac{3}{11} = \frac{8}{11}$(части)-составляет наземная часть;

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }5\frac{1}{2} : \frac{8}{11} = \frac{11}{2} : \frac{8}{11} = \frac{121}{16} = 7\frac{9}{16}$(м)-длина столба.

Ответ: $7\frac{9}{16} \mathrm{м}.$

2.472

Пусть $x$ – полная длина столба в метрах. Столб состоит из двух частей: наземной и врытой в землю.

1. Найдем, какую долю от всей длины составляет наземная часть столба. Вся длина столба – это 1 (или $\frac{11}{11}$). Часть, врытая в землю, составляет $\frac{3}{11}$ от всей длины. Тогда наземная часть составляет:

$1 - \frac{3}{11} = \frac{11}{11} - \frac{3}{11} = \frac{8}{11}$

Итак, наземная часть составляет $\frac{8}{11}$ от всей длины столба.

2. По условию, длина наземной части равна $5\frac{1}{2}$ м. Зная часть числа и соответствующую ей дробь, мы можем найти всё число. В данном случае, нам известно, что $\frac{8}{11}$ от длины столба ($x$) равны $5\frac{1}{2}$ м. Составим уравнение:

$\frac{8}{11} \cdot x = 5\frac{1}{2}$

3. Решим это уравнение. Сначала переведем смешанное число $5\frac{1}{2}$ в неправильную дробь:

$5\frac{1}{2} = \frac{5 \times 2 + 1}{2} = \frac{11}{2}$

Теперь уравнение выглядит так:

$\frac{8}{11} \cdot x = \frac{11}{2}$

Чтобы найти $x$, разделим правую часть на коэффициент при $x$:

$x = \frac{11}{2} : \frac{8}{11}$

Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь:

$x = \frac{11}{2} \cdot \frac{11}{8} = \frac{11 \cdot 11}{2 \cdot 8} = \frac{121}{16}$

4. Переведем полученную неправильную дробь в смешанное число для наглядности:

$121 \div 16 = 7$ (целая часть), остаток $121 - 16 \cdot 7 = 121 - 112 = 9$.

Таким образом, полная длина столба равна $7\frac{9}{16}$ м.

Ответ: $7\frac{9}{16}$ м.

2.473. Первая часть фильма длится 1,55 ч, что составляет 0,62 времени всего фильма. Найдите продолжительность фильма.

2.473

Длительность первой части – 1,55 ч. = 0,62 всего фильма.

Весь фильм - ? ч.

$1,55 : 0,62 = 155 : 62 = \frac{{\displaystyle \stackrel{5}{\cancel{155}}}}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{62}}}} = \frac{5}{2} =2\frac{1}{2}$(ч) – продолжительность фильма

Ответ: $2\frac{1}{2} \mathrm{ч}.$

Пусть $x$ — это полная продолжительность фильма в часах. Согласно условию задачи, первая часть фильма, которая длится 1,55 ч, составляет 0,62 от всей продолжительности фильма. На основании этого можно составить пропорцию или уравнение.

Запишем это в виде уравнения:
$0,62 \cdot x = 1,55$

Чтобы найти $x$ (полную продолжительность фильма), нужно разделить длительность первой части на долю, которую она составляет от всего фильма:
$x = \frac{1,55}{0,62}$

Для удобства вычислений, умножим числитель и знаменатель на 100, чтобы избавиться от десятичных дробей:
$x = \frac{1,55 \cdot 100}{0,62 \cdot 100} = \frac{155}{62}$

Теперь выполним деление:
$x = 2,5$

Таким образом, полная продолжительность фильма составляет 2,5 часа.
Это время можно также представить в часах и минутах. 2,5 часа — это 2 целых часа и 0,5 часа. Поскольку в одном часе 60 минут, то 0,5 часа равно:
$0,5 \cdot 60 = 30$ минут.
Следовательно, продолжительность фильма составляет 2 часа 30 минут.

Ответ: 2,5 ч.

2.474. Во время распродажи цена на товар уменьшилась на 24 %, уменьшение цены составило 57,6 р. Сколько стоил товар до распродажи?

2.474

57,6 : 0,24 = 5760 : 24 = 240 (р) – стоил товар.

Ответ: 240 рублей.

Пусть $x$ — это первоначальная цена товара в рублях, которая соответствует $100\%$.

Из условия задачи известно, что цена уменьшилась на $24\%$, и это уменьшение в денежном выражении составило $57,6$ рубля.

Таким образом, $24\%$ от первоначальной цены $x$ равны $57,6$ рубля.

Для нахождения первоначальной цены составим пропорцию:

$x$ рублей — $100\%$

$57,6$ рублей — $24\%$

Из этой пропорции получаем следующее соотношение:

$\frac{x}{57,6} = \frac{100}{24}$

Теперь выразим $x$, чтобы найти первоначальную цену:

$x = \frac{57,6 \cdot 100}{24}$

$x = \frac{5760}{24}$

Выполним деление:

$x = 240$

Следовательно, первоначальная цена товара составляла $240$ рублей.

Проверка:

Найдем $24\%$ от $240$ рублей, чтобы убедиться, что скидка составляет $57,6$ рубля.

$240 \cdot \frac{24}{100} = 240 \cdot 0,24 = 57,6$ рубля.

Расчеты верны.

Ответ: 240 р.

2.475. На приусадебном участке 14 соток занимает огород, что составляет 0,56 всего участка. Чему равна площадь приусадебного участка?

2.475

14 : 0,56 = 1400 : 56 = 25 (соток) – площадь приусадебного участка

Ответ: 25 соток.

Для решения данной задачи необходимо найти общую площадь участка, зная его часть и долю, которую эта часть составляет от целого.

Пусть $S$ – это общая площадь всего приусадебного участка в сотках. Из условия известно, что площадь огорода равна 14 соткам. Также известно, что площадь огорода составляет 0,56 от общей площади участка.

Это можно выразить следующим математическим соотношением: $0,56 \times S = 14$

Чтобы найти неизвестную общую площадь $S$, необходимо разделить известную часть (площадь огорода) на долю, которую она составляет от целого: $S = 14 \div 0,56$

Выполним деление. Для удобства можно представить десятичную дробь в виде обыкновенной или умножить делимое и делитель на 100, чтобы избавиться от дроби в делителе. $S = \frac{14}{0,56} = \frac{14 \times 100}{0,56 \times 100} = \frac{1400}{56}$

Теперь разделим 1400 на 56: $1400 \div 56 = 25$

Следовательно, общая площадь приусадебного участка составляет 25 соток.

Проверим результат: найдем 0,56 от 25 соток. $25 \times 0,56 = 14$ соток. Полученное значение совпадает с площадью огорода, указанной в условии, значит, решение верное.

Ответ: 25 соток.

2.476. После того как 49 заготовленного на зиму сена было израсходовано на кормление животных, осталось 36 т. Сколько тонн сена было заготовлено на зиму?

2.476

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }1 - \frac{4}{9} = \frac{9}{9} - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$ сена – осталось;

$\mathbf{2}\mathbf{)} 36 : \frac{5}{9} = 36 · \frac{9}{5} = \frac{324}{5} = 64\frac{4}{5}$ (т) – сена заготовлено.

Ответ: $64\frac{4}{5} \mathrm{т}.$ сена.

Для решения этой задачи нужно определить, какая часть сена осталась, а затем найти общее количество, зная, что эта оставшаяся часть равна 36 тоннам.

1. Найдем, какая часть сена осталась.

Все заготовленное сено примем за единицу (1). По условию, было израсходовано $\frac{4}{9}$ всего сена. Чтобы найти оставшуюся часть, вычтем израсходованную часть из целого:

$1 - \frac{4}{9} = \frac{9}{9} - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$

Следовательно, осталось $\frac{5}{9}$ всего заготовленного сена.

2. Найдем общее количество заготовленного сена.

Мы знаем, что оставшиеся $\frac{5}{9}$ сена составляют 36 тонн. Чтобы найти целое по его части, нужно значение этой части (36 т) разделить на дробь, которую эта часть составляет ($\frac{5}{9}$).

$36 \div \frac{5}{9} = 36 \times \frac{9}{5} = \frac{324}{5} = 64.8$

Таким образом, всего на зиму было заготовлено 64.8 тонны сена.

Ответ: 64.8 т.

2.477. На детском танцевальном конкурсе было номинировано 6 участников, что составило 0,24 всех участников. Сколько всего было участников на конкурсе?

2.477

6 : 0,24 = 600 : 24 = 25 (у) – было на конкурсе.

Ответ: 25 участников.

Это задача на нахождение целого по его части. Нам известно, что 6 номинированных участников составляют 0,24 от общего числа участников.

Обозначим общее количество участников на конкурсе переменной x.

Согласно условию, 0,24 от общего числа участников (x) равно 6. Это можно выразить следующим уравнением:

$0.24 \cdot x = 6$

Чтобы найти неизвестное x (общее количество участников), нужно разделить известную часть (6) на долю, которую она составляет (0,24).

$x = 6 \div 0.24$

Для выполнения деления можно преобразовать десятичную дробь в обыкновенную или выполнить деление столбиком. Умножим делимое и делитель на 100, чтобы избавиться от дроби в делителе:

$x = \frac{6}{0.24} = \frac{6 \cdot 100}{0.24 \cdot 100} = \frac{600}{24}$

Выполним деление:

$x = 25$

Таким образом, всего на конкурсе было 25 участников.

Ответ: 25.

2.478. Вкладчик положил деньги в банк под 6 % годовых и в конце года получил 148,4 тыс. р. прибыли. Какая сумма была положена в банк?

2.478

$\mathbf{1}\mathbf{)} 100\% + 6\% = 106\%$- составляет сумма, которую получил вкладчик

$106\% = 1,06;$

$\mathbf{2}\mathbf{)} 148,4 : 1,06 =14840 : 106 = 140$(тыс.р.) – положили в банк.

Ответ: 140 тыс. р.

Пусть $S$ — это первоначальная сумма, которую вкладчик положил в банк. Сумма указана в тысячах рублей.

Годовая процентная ставка составляет 6%. Это означает, что прибыль, полученная в конце года, равна 6% от первоначальной суммы вклада.

Для проведения расчетов представим процентную ставку в виде десятичной дроби:

$6\% = \frac{6}{100} = 0.06$

Согласно условию, прибыль за год составила 148,4 тыс. р. Таким образом, 6% от суммы $S$ равны 148,4. Это можно записать в виде уравнения:

$S \times 0.06 = 148.4$

Чтобы найти первоначальную сумму вклада $S$, необходимо разделить сумму полученной прибыли на годовую процентную ставку, выраженную в долях:

$S = \frac{148.4}{0.06}$

Выполним вычисление. Для удобства избавимся от дробей в числителе и знаменателе, умножив оба на 100:

$S = \frac{148.4 \times 100}{0.06 \times 100} = \frac{14840}{6}$

Теперь разделим 14840 на 6:

$S = \frac{14840}{6} = \frac{7420}{3}$

Представим результат в виде смешанного числа, чтобы он был более наглядным:

$S = 2473 \frac{1}{3}$ тыс. р.

Это означает, что первоначальная сумма вклада составляла $2473 \frac{1}{3}$ тысяч рублей, или 2 473 333,33... рублей.

Ответ: $2473 \frac{1}{3}$ тыс. р.

2.479. При подготовке к олимпиаде Кирилл решил 25 задач. Потом он решил ещё несколько. Их количество составило 20 % от решённых ранее задач. Сколько всего задач собирался решить Кирилл, если решил 56 всех задач?

2.479

20% = 0,2

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }25 · 0,2 = 5$ (задач) – решил еще;

 $\mathbf{2}\mathbf{)} 25 + 5 = 30$ (задач) – решил всего;

$\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{ }30 : \frac{5}{6} = \stackrel{6}{\cancel{30} }· \frac{6}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{5}}}} = 6 · 6 = 36$ (задач)-собирался решить.

Ответ: 36 задач.

Для решения задачи выполним три действия:

1. Находим, сколько задач Кирилл решил дополнительно.
По условию, это 20% от 25 задач, решенных ранее. Переведем проценты в десятичную дробь и выполним умножение:
$20\% = 0.2$
$25 \cdot 0.2 = 5$ (задач).

2. Находим общее количество решенных задач.
Для этого сложим первоначальное и дополнительное количество решенных задач:
$25 + 5 = 30$ (задач).

3. Находим, сколько всего задач Кирилл собирался решить.
Известно, что 30 решенных задач — это $\frac{5}{6}$ от общего плана. Если принять общее количество запланированных задач за $x$, то можно составить уравнение:
$\frac{5}{6} \cdot x = 30$
Чтобы найти $x$, нужно найти целое по его части. Для этого разделим известную часть (30) на соответствующую ей долю ($\frac{5}{6}$):
$x = 30 : \frac{5}{6} = 30 \cdot \frac{6}{5} = \frac{180}{5} = 36$ (задач).

Ответ: 36 задач.

2.480. Лесник, объезжая верхом на лошади лесные угодья, сначала проехал 18,6 км до сторожки, затем ещё 56 пройденного пути. После этого ему осталось проехать 415 всего пути. Сколько километров составляет весь путь лесника?

2.480

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }\stackrel{3,1}{\cancel{18,6}} · \frac{5}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{6}}}} = 3,1 · 5 = 15,5$ (км)-проехал еще; 

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }18,6+15,5=34,1$(км)-проехал ;

$\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{ }1 - \frac{4}{15} = \frac{15}{15} - \frac{4}{15} = \frac{11}{15}$(части)-проехал; 

$\mathbf{4}\mathbf{)}\mathbf{ }34,1 : \frac{11}{15} = \frac{{\displaystyle \stackrel{31}{\bcancel{341}}}}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{10}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{15}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{11}}}} = \frac{31}{2} · \frac{3}{1}=$

$= \frac{93}{2} = \frac{465}{10} = 46,5$ (км)-весь путь.

Ответ: 46,5 км.

1. Найдем, какое расстояние лесник проехал во второй части пути

По условию, это расстояние составляет $\frac{5}{6}$ от уже пройденного пути, то есть от 18,6 км. Вычислим его:

$18,6 \cdot \frac{5}{6} = \frac{18,6 \cdot 5}{6} = 3,1 \cdot 5 = 15,5$ км.

2. Вычислим общее пройденное расстояние

Для этого сложим расстояние, пройденное в первой и второй частях пути:

$18,6 + 15,5 = 34,1$ км.

3. Определим, какую долю от всего пути составляет пройденное расстояние

Пусть весь путь равен 1. По условию, леснику осталось проехать $\frac{4}{15}$ всего пути. Следовательно, доля пройденного пути составляет:

$1 - \frac{4}{15} = \frac{15}{15} - \frac{4}{15} = \frac{11}{15}$

Таким образом, 34,1 км — это $\frac{11}{15}$ всего пути.

4. Найдем длину всего пути

Пусть $x$ — это длина всего пути в километрах. Составим и решим уравнение, зная, что $\frac{11}{15}$ от $x$ равны 34,1 км:

$\frac{11}{15} \cdot x = 34,1$

Чтобы найти $x$ (весь путь), нужно пройденное расстояние разделить на соответствующую ему часть:

$x = 34,1 : \frac{11}{15}$

$x = 34,1 \cdot \frac{15}{11}$

$x = \frac{34,1}{11} \cdot 15$

$x = 3,1 \cdot 15$

$x = 46,5$ км.

Ответ: 46,5 км.

2.481. Найдите число, если известно, что 13 этого числа равна 0,6 от числа 18.

2.481

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }0,6 · 18 = 10,8$ – составляют 0,6 от числа 18;

$\mathbf{2}\mathbf{)} 10,8 : \frac{1}{3} = 10,8 · 3 = 32,4$ - искомое число.

Ответ: 32,4.

Для решения этой задачи необходимо выполнить два основных действия. Сначала мы вычислим значение, которому равна одна треть искомого числа, а затем, исходя из этого значения, найдем само число.

1. Находим 0,6 от числа 18.

По условию, $\frac{1}{3}$ искомого числа равна 0,6 от числа 18. Чтобы найти часть от числа, нужно умножить это число на дробь (в данном случае десятичную), которая выражает эту часть.

$18 \cdot 0,6 = 10,8$

Таким образом, мы выяснили, что $\frac{1}{3}$ искомого числа составляет 10,8.

2. Находим искомое число.

Теперь, зная, что $\frac{1}{3}$ числа равна 10,8, мы можем найти целое число. Для этого нужно разделить известную часть на дробь, которую она составляет. Обозначим искомое число за $x$.

$\frac{1}{3} \cdot x = 10,8$

Чтобы найти $x$, нужно 10,8 умножить на 3:

$x = 10,8 \cdot 3 = 32,4$

Следовательно, искомое число — 32,4.

Ответ: 32,4.

2.482. Найдите число, если 45 % этого числа составляют 28 % от числа 180.

2.482

45% = 0,45

28% = 0,28

1) 180 • 0,28 = 50,4 – составляют 28% от числа 180;

2) 50,4 : 0,45 = 5040 : 45 = 112 – искомое число.

Ответ: 112.

Для решения задачи необходимо выполнить действия по шагам. Обозначим искомое число как $x$.

1. Сначала найдем, чему равны 28% от числа 180. Чтобы найти процент от числа, нужно перевести проценты в десятичную дробь и умножить на это число.
$28\% = \frac{28}{100} = 0.28$
Теперь умножим полученную дробь на 180:
$0.28 \cdot 180 = 50.4$

2. По условию задачи, 45% от искомого числа $x$ составляют 50.4. Это можно записать в виде уравнения. 45% в виде десятичной дроби — это $0.45$.
$0.45 \cdot x = 50.4$

3. Теперь решим это уравнение, чтобы найти $x$. Для этого нужно разделить 50.4 на 0.45.
$x = \frac{50.4}{0.45}$
Чтобы избавиться от дробей в делителе, можно умножить и числитель, и знаменатель на 100:
$x = \frac{50.4 \cdot 100}{0.45 \cdot 100} = \frac{5040}{45}$
Выполним деление:
$5040 \div 45 = 112$
Таким образом, искомое число равно 112.

Ответ: 112

6.53. На координатной плоскости постройте четырёхугольник MNKS с вершинами М(–9; –3), N(–3; –3), K(–3; –7), S(–9; –7).
а) Как называется этот четырёхугольник?
б) Чему равны его периметр и площадь, если единичный отрезок равен 1 дм?
в) Найдите по рисунку координаты точки А пересечения отрезков МК и NS.

6.53

а) это прямоугольник

б) $$\begin{gathered} \mathrm{Р} = 2 · (6 + 4) = 20 \mathrm{дм} \\ \mathrm{S} = 6 · 4 = 24 {\mathrm{дм}}^2 \end{gathered}$$

в) А(-6; -5)

Сначала построим четырехугольник MNKS на координатной плоскости, отметив его вершины M(-9; -3), N(-3; -3), K(-3; -7), S(-9; -7) и соединив их отрезками.

а) Чтобы определить вид четырехугольника, проанализируем его стороны.
Найдем длины сторон, используя формулу расстояния между двумя точками.
Для точек с одинаковыми ординатами (y) длина горизонтального отрезка равна модулю разности их абсцисс (x).
Длина стороны MN (M(-9; -3), N(-3; -3)): $MN = |-3 - (-9)| = |-3 + 9| = 6$.
Длина стороны KS (K(-3; -7), S(-9; -7)): $KS = |-9 - (-3)| = |-9 + 3| = |-6| = 6$.
Для точек с одинаковыми абсциссами (x) длина вертикального отрезка равна модулю разности их ординат (y).
Длина стороны NK (N(-3; -3), K(-3; -7)): $NK = |-7 - (-3)| = |-7 + 3| = |-4| = 4$.
Длина стороны SM (S(-9; -7), M(-9; -3)): $SM = |-3 - (-7)| = |-3 + 7| = 4$.
Так как стороны MN и KS параллельны оси абсцисс, а стороны NK и SM параллельны оси ординат, все углы этого четырехугольника прямые. Противоположные стороны попарно равны ($MN = KS = 6$ и $NK = SM = 4$). Следовательно, данный четырехугольник является прямоугольником.
Ответ: этот четырехугольник – прямоугольник.

б) По условию, единичный отрезок равен 1 дм. Значит, длины сторон прямоугольника равны 6 дм и 4 дм.
Периметр прямоугольника $P$ вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$, где $a$ и $b$ – длины смежных сторон.
$P = 2(6 + 4) = 2 \cdot 10 = 20$ дм.
Площадь прямоугольника $S$ вычисляется по формуле $S = a \cdot b$.
$S = 6 \cdot 4 = 24$ дм².
Ответ: периметр равен 20 дм, площадь равна 24 дм².

в) Точка А является точкой пересечения диагоналей MK и NS. В прямоугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, точка А является серединой каждой из диагоналей.
Найдем координаты середины диагонали NS, используя формулу координат середины отрезка: $A(x_A; y_A) = (\frac{x_N+x_S}{2}; \frac{y_N+y_S}{2})$.
Координаты точек: N(-3; -3) и S(-9; -7).
Вычисляем абсциссу точки A: $x_A = \frac{-3 + (-9)}{2} = \frac{-12}{2} = -6$.
Вычисляем ординату точки A: $y_A = \frac{-3 + (-7)}{2} = \frac{-10}{2} = -5$.
Таким образом, координаты точки пересечения диагоналей A(-6; -5).
Ответ: координаты точки A: (-6; -5).

6.54. Постройте треугольник АВС с вершинами А(3; 5), В(3; –2), С(–5; –2).
а) Убедитесь по рисунку, что он прямоугольный, назовите перпендикулярные отрезки.
б) Соедините отрезками середины К, М и N сторон АС, ВС и АВ. Проверьте, что длины сторон треугольника KMN пропорциональны длинам сторон треугольника АВС.

6.54

а) треугольник АВС – прямоугольный, ВС ⊥ ВА

б) $$\begin{gathered} \frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{KN}} = \frac{8}{4} = 2; \\ \frac{\mathrm{BA}}{\mathrm{KM}} = \frac{7}{3,5} = 2; \\ \frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{MN}} = \frac{6}{3} = 2. \end{gathered}$$

Длины сторон треугольника KMN пропорциональны длинам сторон треугольника АВС.

а) Построим треугольник ABC в декартовой системе координат по заданным вершинам: A(3; 5), B(3; -2), C(-5; -2).

Чтобы убедиться, что треугольник является прямоугольным, проанализируем координаты его вершин. У точек A(3; 5) и B(3; -2) одинаковая абсцисса $x=3$. Это означает, что сторона AB параллельна оси ординат (оси OY), то есть является вертикальным отрезком. У точек B(3; -2) и C(-5; -2) одинаковая ордината $y=-2$. Это означает, что сторона BC параллельна оси абсцисс (оси OX), то есть является горизонтальным отрезком. Поскольку оси координат перпендикулярны, то и отрезки AB и BC, параллельные им, также перпендикулярны. Следовательно, угол между ними, $\angle ABC$, равен 90°, а треугольник ABC является прямоугольным. Перпендикулярные отрезки (катеты) — это AB и BC.

Для дополнительной проверки воспользуемся теоремой Пифагора. Найдем квадраты длин сторон по формуле расстояния между двумя точками $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$:

• $AB^2 = (3-3)^2 + (-2-5)^2 = 0^2 + (-7)^2 = 49$
• $BC^2 = (-5-3)^2 + (-2-(-2))^2 = (-8)^2 + 0^2 = 64$
• $AC^2 = (-5-3)^2 + (-2-5)^2 = (-8)^2 + (-7)^2 = 64 + 49 = 113$

Проверим равенство $AB^2 + BC^2 = AC^2$: $49 + 64 = 113$. Равенство выполняется, следовательно, по обратной теореме Пифагора, треугольник ABC является прямоугольным с прямым углом при вершине B.

Ответ: Треугольник ABC является прямоугольным. Перпендикулярные отрезки: AB и BC.

б) Найдем координаты середин K, M и N сторон AC, BC и AB соответственно, используя формулу координат середины отрезка $((\frac{x_1+x_2}{2}); (\frac{y_1+y_2}{2}))$.

• K — середина AC: $K = ((\frac{3+(-5)}{2}); (\frac{5+(-2)}{2})) = ((\frac{-2}{2}); (\frac{3}{2})) = (-1; 1.5)$
• M — середина BC: $M = ((\frac{3+(-5)}{2}); (\frac{-2+(-2)}{2})) = ((\frac{-2}{2}); (\frac{-4}{2})) = (-1; -2)$
• N — середина AB: $N = ((\frac{3+3}{2}); (\frac{5+(-2)}{2})) = ((\frac{6}{2}); (\frac{3}{2})) = (3; 1.5)$

Отрезки KM, MN и NK являются средними линиями треугольника ABC. По свойству средней линии, она параллельна третьей стороне и равна её половине.

• Отрезок NK соединяет середины сторон AB и AC. Следовательно, $NK = \frac{1}{2} BC$.
• Отрезок KM соединяет середины сторон AC и BC. Следовательно, $KM = \frac{1}{2} AB$.
• Отрезок MN соединяет середины сторон BC и AB. Следовательно, $MN = \frac{1}{2} AC$.

Из этих соотношений следует, что стороны треугольника KMN пропорциональны сторонам треугольника ABC с коэффициентом пропорциональности $k=\frac{1}{2}$. $\frac{NK}{BC} = \frac{KM}{AB} = \frac{MN}{AC} = \frac{1}{2}$

Проверим это численно. Длины сторон треугольника ABC: $AB = \sqrt{49} = 7$, $BC = \sqrt{64} = 8$, $AC = \sqrt{113}$. Найдем длины сторон треугольника KMN:

• $NK = \sqrt{(-1-3)^2 + (1.5-1.5)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 0^2} = \sqrt{16} = 4$
• $KM = \sqrt{(-1-(-1))^2 + (-2-1.5)^2} = \sqrt{0^2 + (-3.5)^2} = \sqrt{12.25} = 3.5$
• $MN = \sqrt{(3-(-1))^2 + (1.5-(-2))^2} = \sqrt{4^2 + 3.5^2} = \sqrt{16 + 12.25} = \sqrt{28.25}$

Теперь найдем отношения длин соответствующих сторон:

• $\frac{NK}{BC} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$
• $\frac{KM}{AB} = \frac{3.5}{7} = \frac{1}{2}$
• $\frac{MN}{AC} = \frac{\sqrt{28.25}}{\sqrt{113}} = \sqrt{\frac{28.25}{113}} = \sqrt{0.25} = \frac{1}{2}$

Все отношения равны $\frac{1}{2}$, что подтверждает пропорциональность сторон.

Ответ: Координаты середин сторон: K(-1; 1.5), M(-1; -2), N(3; 1.5). Длины сторон треугольника KMN пропорциональны длинам сторон треугольника ABC, так как отношения соответствующих сторон равны $\frac{1}{2}$: $\frac{NK}{BC} = \frac{KM}{AB} = \frac{MN}{AC} = \frac{1}{2}$.

6.55. Найдите координаты точек В, F, Е, D, К, С, А и М (рис. 6.24).

6.55

А(1,3; 2), В(-2; 2,8), С(1; 1), D(-0,8; 0), Е(-0,8; -2,4), F(-2; -1), К(0; -2),
М(1,4; -1,7)

Для нахождения координат точек на плоскости, представленной на рис. 6.24, сначала определим масштаб координатной сетки. На осях $x$ и $y$ отмечены единичные отрезки. От начала координат O(0; 0) до отметки «1» на каждой оси расстояние составляет 2 клетки. Это означает, что цена одного деления (одной клетки) по каждой оси равна 0,5 единицы.

Координаты любой точки $(x; y)$ определяются ее положением относительно осей: $x$ — это абсцисса (горизонтальное смещение от оси $y$), а $y$ — это ордината (вертикальное смещение от оси $x$). Положительные значения $x$ находятся справа от оси $y$, отрицательные — слева. Положительные значения $y$ — выше оси $x$, отрицательные — ниже.

Для нахождения координат точки B определим ее смещение от начала координат. По горизонтали (ось $x$) точка B смещена влево на 3 клетки, значит, ее абсцисса равна $x = -3 \cdot 0.5 = -1.5$. По вертикали (ось $y$) точка B смещена вверх на 5 клеток, значит, ее ордината равна $y = 5 \cdot 0.5 = 2.5$.

Ответ: $B(-1.5; 2.5)$

Точка F смещена влево от оси $y$ на 3 клетки, поэтому ее абсцисса $x = -3 \cdot 0.5 = -1.5$. Точка F смещена вниз от оси $x$ на 2 клетки, поэтому ее ордината $y = -2 \cdot 0.5 = -1$.

Ответ: $F(-1.5; -1)$

Точка E смещена влево от оси $y$ на 1 клетку, поэтому ее абсцисса $x = -1 \cdot 0.5 = -0.5$. Точка E смещена вниз от оси $x$ на 4 клетки, поэтому ее ордината $y = -4 \cdot 0.5 = -2$.

Ответ: $E(-0.5; -2)$

Точка D лежит на оси $x$, поэтому ее ордината $y=0$. Она смещена влево от начала координат на 2 клетки, поэтому ее абсцисса $x = -2 \cdot 0.5 = -1$.

Ответ: $D(-1; 0)$

Точка K лежит на оси $y$, поэтому ее абсцисса $x=0$. Она смещена вниз от начала координат на 3 клетки, поэтому ее ордината $y = -3 \cdot 0.5 = -1.5$.

Ответ: $K(0; -1.5)$

Точка C смещена вправо от оси $y$ на 1 клетку, поэтому ее абсцисса $x = 1 \cdot 0.5 = 0.5$. Точка C смещена вверх от оси $x$ на 2 клетки, поэтому ее ордината $y = 2 \cdot 0.5 = 1$.

Ответ: $C(0.5; 1)$

Точка A смещена вправо от оси $y$ на 2 клетки, поэтому ее абсцисса $x = 2 \cdot 0.5 = 1$. Точка A смещена вверх от оси $x$ на 4 клетки, поэтому ее ордината $y = 4 \cdot 0.5 = 2$.

Ответ: $A(1; 2)$

Точка M смещена вправо от оси $y$ на 3 клетки, поэтому ее абсцисса $x = 3 \cdot 0.5 = 1.5$. Точка M смещена вниз от оси $x$ на 3 клетки, поэтому ее ордината $y = -3 \cdot 0.5 = -1.5$.

Ответ: $M(1.5; -1.5)$

6.56. Отметьте на линии (рис. 6.25) точку:
а) ордината которой равна 0,7; 2,3; –0,6; –1,5; –2,1;
б) абсцисса которой равна 1,2; 1,5; –1,5; 2,3.

6.56

а)

б)

а) Чтобы отметить на линии точки с заданной ординатой (координатой $y$), необходимо для каждого значения $y$ найти соответствующую ему абсциссу ($x$). Для этого находим на оси ординат ($y$) заданное значение, проводим от него горизонтальную линию до пересечения с графиком функции, а затем из точки пересечения опускаем перпендикуляр на ось абсцисс ($x$), чтобы определить её значение.Масштаб графика: 1 большая клетка на осях соответствует 1 единице. Каждая большая клетка разделена на 5 маленьких, значит, цена одного маленького деления составляет $1 / 5 = 0,2$ единицы.

• Для ординаты $y = 0,7$: Это значение находится на $3,5$ маленьких деления выше оси $x$. Горизонтальная линия, проведенная из этой точки, пересекает график в точке, абсцисса которой примерно равна $x \approx 0,8$ (4 маленьких деления вправо от оси $y$).
• Для ординаты $y = 2,3$: Это значение находится на $11,5$ маленьких делений выше оси $x$. Линия пересекает график в точке с абсциссой $x \approx 1,9$ (9,5 маленьких делений вправо).
• Для ординаты $y = -0,6$: Это значение находится на $3$ маленьких деления ниже оси $x$. Линия пересекает график в точке с абсциссой $x \approx -0,8$ (4 маленьких деления влево).
• Для ординаты $y = -1,5$: Это значение находится на $7,5$ маленьких делений ниже оси $x$. Линия пересекает график в точке с абсциссой $x \approx -1,4$ (7 маленьких делений влево).
• Для ординаты $y = -2,1$: Это значение находится на $10,5$ маленьких делений ниже оси $x$. Линия пересекает график в точке с абсциссой $x \approx -1,8$ (9 маленьких делений влево).

Ответ: Приблизительные координаты искомых точек: $(0,8; 0,7)$, $(1,9; 2,3)$, $(-0,8; -0,6)$, $(-1,4; -1,5)$, $(-1,8; -2,1)$.

б) Чтобы отметить на линии точки с заданной абсциссой (координатой $x$), необходимо для каждого значения $x$ найти соответствующую ему ординату ($y$). Для этого находим на оси абсцисс ($x$) заданное значение, проводим от него вертикальную линию до пересечения с графиком функции, а затем из точки пересечения проводим перпендикуляр к оси ординат ($y$), чтобы определить её значение.

• Для абсциссы $x = 1,2$: Это значение находится на $6$ маленьких делений вправо от оси $y$. Вертикальная линия из этой точки пересекает график в точке, ордината которой примерно равна $y \approx 1,3$ (6,5 маленьких делений вверх).
• Для абсциссы $x = 1,5$: Это значение находится на $7,5$ маленьких делений вправо. Ордината соответствующей точки на графике примерно равна $y \approx 1,7$ (8,5 маленьких делений вверх).
• Для абсциссы $x = -1,5$: Это значение находится на $7,5$ маленьких делений влево. Ордината соответствующей точки на графике примерно равна $y \approx -1,6$ (8 маленьких делений вниз).
• Для абсциссы $x = 2,3$: Это значение находится на $11,5$ маленьких делений вправо. Данная точка лежит за пределами нарисованной части графика. Однако, если экстраполировать (продолжить) кривую, сохраняя её тенденцию к увеличению крутизны, можно оценить, что ордината будет приблизительно равна $y \approx 3,4$.

Ответ: Приблизительные координаты искомых точек: $(1,2; 1,3)$, $(1,5; 1,7)$, $(-1,5; -1,6)$, $(2,3; 3,4)$.

6.57. Какие из точек М(2; 4), N(–1,5; 6), K(7,3; –4), L(0; 5) расположены:

а) ниже оси абсцисс;
б) правее оси ординат?

6.57

а) ниже оси абсцисс расположена точка К(7,3; -4)

б) правее оси ординат расположены точки М(2; 4), К(7,3; -4)

а) ниже оси абсцисс;

Точка расположена ниже оси абсцисс (оси $Ox$), если ее ордината (координата $y$) является отрицательным числом, то есть $y < 0$.
Проанализируем каждую из заданных точек:
- Для точки $M(2; 4)$ ордината равна $4$. Так как $4 > 0$, точка расположена выше оси абсцисс.
- Для точки $N(-1.5; 6)$ ордината равна $6$. Так как $6 > 0$, точка расположена выше оси абсцисс.
- Для точки $K(7.3; -4)$ ордината равна $-4$. Так как $-4 < 0$, точка расположена ниже оси абсцисс.
- Для точки $L(0; 5)$ ордината равна $5$. Так как $5 > 0$, точка расположена выше оси абсцисс.
Таким образом, только точка K расположена ниже оси абсцисс.
Ответ: K(7.3; -4).

б) правее оси ординат?

Точка расположена правее оси ординат (оси $Oy$), если ее абсцисса (координата $x$) является положительным числом, то есть $x > 0$.
Проанализируем каждую из заданных точек:
- Для точки $M(2; 4)$ абсцисса равна $2$. Так как $2 > 0$, точка расположена правее оси ординат.
- Для точки $N(-1.5; 6)$ абсцисса равна $-1.5$. Так как $-1.5 < 0$, точка расположена левее оси ординат.
- Для точки $K(7.3; -4)$ абсцисса равна $7.3$. Так как $7.3 > 0$, точка расположена правее оси ординат.
- Для точки $L(0; 5)$ абсцисса равна $0$. Так как $x = 0$, точка лежит на оси ординат, а не правее ее.
Таким образом, точки M и K расположены правее оси ординат.
Ответ: M(2; 4), K(7.3; -4).

6.58. Отметьте на координатной плоскости точку А(2; 5) и точку В с противоположными координатами. С помощью линейки выясните, лежат ли точки А, В и О (начало координат) на одной прямой. С помощью циркуля установите, верно ли, что ОА = ОВ.

6.58

А(2; 5) и В(-2; -5)

Точки А, О и В лежат на одной прямой.

АО = ВО

Для решения задачи выполним следующие шаги: построим точки на координатной плоскости, а затем с помощью инструментов и вычислений проверим требуемые условия.

Отметьте на координатной плоскости точку A(2; 5) и точку B с противоположными координатами.

1. Построим систему координат с осями абсцисс (Ox) и ординат (Oy), пересекающимися в начале координат O(0; 0).

2. Чтобы отметить точку A(2; 5), отложим 2 единицы вправо от начала координат по оси Ox и 5 единиц вверх по оси Oy. Точка A будет находиться на пересечении перпендикуляров, проведенных из этих отметок.

3. Точка B имеет координаты, противоположные координатам точки A. Если координаты точки A равны $(x; y)$, то координаты точки B будут $(-x; -y)$. Для точки A(2; 5) противоположными будут координаты B(-2; -5).

4. Чтобы отметить точку B(-2; -5), отложим 2 единицы влево от начала координат по оси Ox и 5 единиц вниз по оси Oy. Точка B будет находиться на пересечении перпендикуляров из этих отметок. Точки A и B симметричны относительно начала координат.

С помощью линейки выясните, лежат ли точки A, B и O (начало координат) на одной прямой.

Чтобы проверить это с помощью линейки, нужно приложить ее к координатной плоскости так, чтобы она проходила через две из этих точек, например, через A и O. Если линейка при этом также пройдет через третью точку B, то все три точки лежат на одной прямой.

Выполнив это действие, мы обнаружим, что точки A(2; 5), O(0; 0) и B(-2; -5) действительно лежат на одной прямой.

Алгебраическая проверка: Уравнение прямой, проходящей через начало координат, имеет вид $y = kx$. Подставим координаты точки A, чтобы найти коэффициент $k$: $5 = k \cdot 2$, откуда $k = 5/2 = 2.5$. Уравнение прямой AO имеет вид $y = 2.5x$. Теперь проверим, принадлежит ли точка B(-2; -5) этой прямой: $-5 = 2.5 \cdot (-2)$, что дает верное равенство $-5 = -5$. Следовательно, точки лежат на одной прямой.

Ответ: Да, точки A, B и O лежат на одной прямой.

С помощью циркуля установите, верно ли, что OA = OB.

Чтобы проверить равенство отрезков OA и OB с помощью циркуля, необходимо выполнить следующие действия:

1. Установить острие циркуля в точку O (начало координат).

2. Раздвинуть ножки циркуля так, чтобы грифель коснулся точки A. Таким образом, раствор циркуля станет равен длине отрезка OA.

3. Не меняя раствора циркуля, повернуть его и проверить, пройдет ли грифель через точку B.

При выполнении этого действия мы увидим, что грифель циркуля точно попадает в точку B. Это означает, что расстояние от O до A равно расстоянию от O до B.

Алгебраическая проверка: Найдем длины отрезков OA и OB по формуле расстояния между двумя точками $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$.

Длина отрезка OA (расстояние от O(0; 0) до A(2; 5)):
$OA = \sqrt{(2-0)^2 + (5-0)^2} = \sqrt{2^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29}$.

Длина отрезка OB (расстояние от O(0; 0) до B(-2; -5)):
$OB = \sqrt{(-2-0)^2 + (-5-0)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-5)^2} = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29}$.

Так как $OA = OB = \sqrt{29}$, равенство верно.

Ответ: Да, верно, что $OA = OB$.

6.59. Отметьте на координатной плоскости точки М и К, имеющие противоположные абсциссы и одинаковые ординаты. Проведите отрезок МК. Обозначьте точку пересечения отрезка МК с осью у буквой С. С помощью чертёжного треугольника проверьте, верно ли, что отрезок МК перпендикулярен оси у. Верно ли, что выполняется равенство СМ = СК? Ответ поясните.

6.59

пусть М(3; 5) и К(-3; 5)

К (-3;5) M(3; 5); МК ⊥ оси у

СМ = СК = 3,т.к. абсциссы точек К и М находятся на одинаковом расстоянии от точки О

Для решения задачи выберем две точки M и K на координатной плоскости, которые удовлетворяют заданным условиям. Условие гласит, что точки должны иметь противоположные абсциссы и одинаковые ординаты.

Пусть абсцисса точки M равна $x$. Тогда абсцисса точки K, будучи противоположной, будет равна $-x$. Пусть их одинаковая ордината равна $y$. Таким образом, координаты точек можно записать в общем виде как $M(x, y)$ и $K(-x, y)$, где $x \neq 0$ и $y$ — любые числа.

Для наглядности выберем конкретные числовые значения. Пусть $x = 5$ и $y = 3$. Тогда получаем точки $M(5, 3)$ и $K(-5, 3)$.

Проведем отрезок MK, соединив эти две точки. Так как у точек M и K одинаковая ордината ($y=3$), то отрезок MK будет параллелен оси абсцисс (оси $x$) и, следовательно, будет горизонтальным.

Точка C — это точка пересечения отрезка MK с осью ординат (осью $y$). Ось $y$ — это множество всех точек, у которых абсцисса равна нулю ($x=0$). Поскольку все точки отрезка MK имеют ординату $y=3$, точка их пересечения C будет иметь координаты $(0, 3)$.

Верно ли, что отрезок МК перпендикулярен оси у?

Да, это утверждение верно. Отрезок MK лежит на прямой, заданной уравнением $y=3$. Эта прямая горизонтальна. Ось $y$ (ось ординат) — это вертикальная прямая, заданная уравнением $x=0$. Горизонтальная и вертикальная прямые на декартовой координатной плоскости всегда пересекаются под прямым углом, то есть они перпендикулярны. Если приложить чертёжный треугольник одним катетом к оси $y$, то второй катет совпадет с отрезком MK, что подтверждает их перпендикулярность.

Ответ: Да, верно, отрезок МК перпендикулярен оси у.

Верно ли, что выполняется равенство СМ = СК? Ответ поясните.

Да, это равенство выполняется. Поясним это несколькими способами.

1. С помощью вычисления расстояний.
Координаты наших точек: $M(5, 3)$, $K(-5, 3)$ и $C(0, 3)$.
Длину горизонтального отрезка можно найти как модуль разности абсцисс его концов.
Длина отрезка CM: $CM = |5 - 0| = |5| = 5$.
Длина отрезка CK: $CK = |-5 - 0| = |-5| = 5$.
Так как $5 = 5$, то $CM = CK$.

2. С точки зрения симметрии.
Как указано в примечании к задаче, точки, имеющие противоположные абсциссы и одинаковые ординаты, называются симметричными относительно оси ординат (оси $y$). Точки M и K как раз являются такими точками. Ось $y$ — это их ось симметрии. Точка C является точкой пересечения отрезка MK с его осью симметрии. По определению, ось симметрии делит отрезок, соединяющий симметричные точки, пополам и перпендикулярна ему. Следовательно, точка C является серединой отрезка MK, а это означает, что отрезки CM и CK равны по длине.

Ответ: Да, верно, равенство $CM = CK$ выполняется, так как точка C является серединой отрезка MK.

6.60. Отметьте на координатной плоскости точки Т и Е, имеющие одинаковые абсциссы, но противоположные ординаты. Проверьте, верно ли, что ТЕ ⟂ ОА и АТ = АЕ, где О – начало координат, А – точка пересечения ТЕ с осью абсцисс.

6.60

Т(3; 5) и Е(3; -5)

ТЕ ⊥ ОА

АТ = АЕ

Для решения задачи выберем конкретные координаты для точек T и E, которые удовлетворяют условию: они имеют одинаковые абсциссы и противоположные ординаты. Пусть абсцисса (координата x) обеих точек будет равна 3. Пусть ордината (координата y) точки T будет равна 4. Тогда ордината точки E должна быть противоположной, то есть -4.

Таким образом, мы отметили на координатной плоскости точки: $T(3, 4)$ и $E(3, -4)$.

Далее определим координаты точек O и A.
Точка $O$ — начало координат, поэтому ее координаты $O(0, 0)$.
Точка $A$ — точка пересечения отрезка TE с осью абсцисс (осью Ox). Отрезок TE соединяет точки $T(3, 4)$ и $E(3, -4)$. Поскольку у них одинаковая абсцисса, отрезок TE является вертикальным и описывается уравнением $x=3$. Ось абсцисс описывается уравнением $y=0$. Точка их пересечения A имеет координаты $A(3, 0)$.

Теперь перейдем к проверке утверждений, изложенных в задаче.

Проверим, верно ли, что $TE \perp OA$

Отрезок TE, соединяющий точки $T(3, 4)$ и $E(3, -4)$, лежит на вертикальной прямой $x=3$. Эта прямая параллельна оси ординат (Oy).
Отрезок OA соединяет точки $O(0, 0)$ и $A(3, 0)$, следовательно, он полностью лежит на оси абсцисс (Ox).
В декартовой системе координат оси абсцисс и ординат по определению взаимно перпендикулярны ($Ox \perp Oy$). Так как отрезок TE параллелен оси Oy, а отрезок OA лежит на оси Ox, то отрезки TE и OA также перпендикулярны.

Ответ: да, утверждение $TE \perp OA$ верно.

Проверим, верно ли, что $AT = AE$

Для проверки этого равенства найдем длины отрезков AT и AE, используя формулу расстояния между двумя точками с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$.
Координаты точек: $A(3, 0)$, $T(3, 4)$ и $E(3, -4)$.
Длина отрезка AT:
$AT = \sqrt{(3-3)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{0^2 + 4^2} = \sqrt{16} = 4$.
Длина отрезка AE:
$AE = \sqrt{(3-3)^2 + (-4-0)^2} = \sqrt{0^2 + (-4)^2} = \sqrt{16} = 4$.
Сравнивая полученные длины, мы видим, что $AT = 4$ и $AE = 4$, следовательно, $AT = AE$. Это равенство также следует из того, что точки T и E по условию симметричны относительно оси абсцисс, а точка A является их общей проекцией на эту ось, поэтому расстояния от T и E до A равны.

Ответ: да, утверждение $AT = AE$ верно.